Dom › Crash Test Auto › Što je izravna proporcionalnost? Linearna funkcija. Izravna proporcionalnost

Što je izravna proporcionalnost? Linearna funkcija. Izravna proporcionalnost

Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni omjer proporcionalnih veličina naziva se koeficijent proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pada na jedinicu druge.

Izravna proporcionalnost

Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj neka veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, te se varijable mijenjaju Proporcionalno, u jednakim omjerima, to jest, ako se argument dva puta promijenio u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija dvaput mijenja u istom smjeru.

Matematički, izravna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Obrnuta proporcionalnost

Obrnuta proporcija- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj porast nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje razmjerno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, obrnuta proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

I. Izravno proporcionalne vrijednosti.

Neka vrijednost g ovisi o veličini x. Ako s povećanjem x nekoliko puta veći na povećava za isti faktor, onda takve vrijednosti x I na nazivaju se izravno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i trošak nabave (po fiksnoj cijeni jedne jedinice robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je više robe kupljeno, toliko je puta više i plaćeno.

2 . Prijeđena udaljenost i vrijeme potrošeno na nju (pri konstantnoj brzini). Koliko je put duži, toliko ćemo više vremena potrošiti na njega.

3 . Volumen tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo izravne proporcionalnosti veličina.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljnih vrijednosti prve količine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine.

Zadatak 1. Za pekmez od malina 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko će šećera biti potrebno ako se uzme 9 kg maline?

Riješenje.

Raspravljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer na 9 kg maline. Masa malina i masa šećera upravno su proporcionalne: koliko puta manje malina, toliko je potrebno šećera. Dakle, omjer uzetih (težinski) malina ( 12:9 ) bit će jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobivamo omjer:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema moglo ovako:

Pusti dalje 9 kg maline uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, i nije važno gore ili dolje. Značenje: koliko puta broj 12 više broja 9 , isti broj 8 više broja x, tj. ovdje postoji izravna ovisnost).

Odgovor: na 9 kg maline uzeti 6 kg Sahara.

Zadatak 2. auto za 3 sata prijeđena udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati 440 km ako putuje istom brzinom?

Riješenje.

Neka za x sati automobil će prijeći udaljenost 440 km.

Odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

Pojam izravne proporcionalnosti

Zamislite da razmišljate o kupnji svog omiljenog slatkiša (ili onoga što vam se jako sviđa). Slatkiši u trgovini imaju svoju cijenu. Pretpostavimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, to više novca platiti. Odnosno, ako želite 2 kilograma - platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma - dajte 900 rubalja. Čini se da je s ovim sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno što je izravna proporcionalnost - to je koncept koji opisuje omjer dviju veličina koje ovise jedna o drugoj. A omjer tih količina ostaje nepromijenjen i stalan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova proporcionalno se povećava ili smanjuje druga.

Izravna proporcionalnost može se opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru slatkiša, cijena je konstanta, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, koliko god slatkiša odlučili kupiti. Neovisna varijabla (argument) x je koliko ćete kilograma slatkiša kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko novca na kraju platite za svoju kupnju. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formuli i dobiti: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Međuzaključak je sljedeći: ako argument raste, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Izravna proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearna funkcija. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, tada za izravnu proporcionalnost izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva faktorom proporcionalnosti, a to je uvijek broj različit od nule. Izračunavanje k je jednostavno - nalazi se kao kvocijent funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bi bilo jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od točke A do točke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina gibanja ostaje konstantna, tada se može uzeti kao konstanta. A onda napišemo uvjete u obliku: S \u003d 60 * t, a ova je formula slična funkciji izravne proporcionalnosti y \u003d k * x. Povucimo dalje paralelu: ako k \u003d y / x, tada se brzina automobila može izračunati, znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na cesti: V \u003d S / t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o izravnoj proporcionalnosti, vratimo se njezinoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegov podskup);

funkcija je neparna;

promjena varijabli izravno je proporcionalna cijeloj duljini brojevnog pravca.

Direktna proporcionalnost i njezin grafikon

Graf ravnoproporcionalne funkcije je pravac koji siječe ishodište. Za njegovu izgradnju dovoljno je označiti samo još jednu točku. I spojite ga i ishodište linije.

U slučaju grafa, ovo je nagib. Ako je nagib manji od nule (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf i oblik x-osi oštar kut, a funkcija se povećava.

I još jedno svojstvo grafa funkcije izravne proporcionalnosti izravno je povezano s nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, prema tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi su grafovi paralelni na koordinatnoj osi. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Primjeri zadataka

Odlučimo par problemi izravne proporcionalnosti

Počnimo jednostavno.

1. zadatak: Zamislite da je 5 kokoši snijelo 5 jaja u 5 dana. A ako ima 20 kokoši, koliko će jaja snijeti za 20 dana?

Rješenje: nepoznanicu označimo s x. A mi ćemo raspravljati na sljedeći način: koliko je puta bilo više kokoši? Podijelite 20 s 5 i saznajte da je 4 puta. A koliko će puta više jaja snijeti 20 kokoši u istih 5 dana? Također 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaja snijet će 20 kokoši u 20 dana.

Sada je primjer malo kompliciraniji, preformulirajmo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Zadatak 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige za 8 dana. Kad bi imao pomoćnike, koliko bi ljudi bilo potrebno da napišu 420 stranica u 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisac + pomoćnici) povećava s povećanjem količine posla ako se on mora obaviti u istom vremenu. Ali koliko puta? Podijelimo li 420 s 14, dobivamo da se povećava 30 puta. Ali budući da se prema uvjetu zadatka daje više vremena za rad, broj pomoćnika se ne povećava za 30 puta, već na ovaj način: x \u003d 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 (dani). Hajdemo transformirati i otkriti da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica u 12 dana.

Riješimo još jedan problem sličan onima koje smo imali u primjerima.

3. zadatak: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom 70 km/h i prešao istu udaljenost za 2 sata kao drugi za 7 sati. Nađi brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, put je određen brzinom i vremenom - S = V *t. Budući da su oba automobila išla istim putem, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Gdje nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još nekoliko primjera zadataka s funkcijama izravne proporcionalnosti. Ponekad se u zadacima traži pronaći koeficijent k.

Zadatak 4: Zadane su funkcije y = - x / 16 i y = 5x / 2, odredite njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. Dakle, za prvu funkciju koeficijent je -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak poput Zadatka 5: Zapišite formulu izravne proporcionalnosti. Njegov graf i graf funkcije y \u003d -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je dana u uvjetu je linearna. Znamo da je izravna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. Također znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi grafovi su paralelni. To znači da je sve što je potrebno izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti izravnu proporcionalnost pomoću poznate formule: y \u003d k * x. Koeficijent k \u003d -5, izravna proporcionalnost: y \u003d -5 * x.

Zaključak

Sada ste naučili (ili zapamtili, ako ste već obradili ovu temu), kako se zove izravna proporcionalnost, i razmotrio je primjeri. Također smo razgovarali o funkciji izravne proporcionalnosti i njenom grafu, riješili npr. nekoliko zadataka.

Ako je ovaj članak bio koristan i pomogao razumjeti temu, recite nam o tome u komentarima. Tako da znamo možemo li vam koristiti.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Izravna i obrnuta proporcionalnost

Ako je t vrijeme kretanja pješaka (u satima), s je prijeđeni put (u kilometrima), a kreće se jednoliko brzinom od 4 km/h, tada se odnos između ovih veličina može izraziti formulom s = 4t. Budući da svaka vrijednost t odgovara jedinstvenoj vrijednosti s, možemo reći da je funkcija dana pomoću formule s = 4t. Naziva se izravnom proporcionalnošću i definira se na sljedeći način.

Definicija. Izravna proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti pomoću formule y \u003d kx, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv funkcije y \u003d k x je zbog činjenice da u formuli y \u003d kx postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti količina. A ako je omjer dviju vrijednosti jednak nekom broju osim nule, nazivaju se izravno proporcionalan . U našem slučaju = k (k≠0). Ovaj broj se zove faktor proporcionalnosti.

Funkcija y \u003d k x matematički je model mnogih stvarnih situacija koje su razmatrane već u početnom tečaju matematike. Jedan od njih je gore opisan. Drugi primjer: ako u jednom pakiranju ima 2 kg brašna, a kupuje se x takvih pakiranja, tada se cjelokupna masa kupljenog brašna (označavamo ga s y) može prikazati formulom y \u003d 2x, tj. odnos broja pakiranja i ukupne mase kupljenog brašna je upravno proporcionalan s koeficijentom k=2.

Prisjetite se nekih svojstava izravne proporcionalnosti, koja se proučavaju u školskom tečaju matematike.

1. Domena funkcije y \u003d k x i domena njezinih vrijednosti je skup realnih brojeva.

2. Graf izravne proporcionalnosti je pravac koji prolazi kroz ishodište. Stoga je za konstruiranje grafikona izravne proporcionalnosti dovoljno pronaći samo jednu točku koja mu pripada i ne podudara se s ishodištem, a zatim nacrtati ravnu liniju kroz tu točku i ishodište.

Na primjer, za crtanje funkcije y = 2x dovoljno je imati točku s koordinatama (1, 2), a zatim kroz nju i ishodište povući ravnu liniju (slika 7).

3. Za k > 0, funkcija y = kx raste u cijeloj domeni definicije; za k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ako je funkcija f izravna proporcionalnost i (x 1, y 1), (x 2, y 2) - parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, te x 2 ≠ 0 tada.

Doista, ako je funkcija f izravna proporcionalnost, tada se može dati formulom y \u003d kx, a zatim y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Budući da je pri x 2 ≠0 i k≠0, tada je y 2 ≠0. Zato i znači .

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se dokazano svojstvo izravne proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y se povećava (smanjuje) za isti iznos.

Ovo je svojstvo svojstveno samo izravnoj proporcionalnosti, a može se koristiti u rješavanju tekstualnih zadataka u kojima se razmatraju izravno proporcionalne veličine.

Zadatak 1. Za 8 sati tokar je izradio 16 dijelova. Koliko će sati tokaru trebati da izradi 48 dijelova ako radi pri istoj produktivnosti?

Riješenje. Problem razmatra količine - vrijeme tokara, broj dijelova koje je izradio i produktivnost (tj. broj dijelova koje tokar proizvede u 1 satu), pri čemu je zadnja vrijednost konstantna, a druge dvije uzimaju razna značenja. Osim toga, broj izrađenih dijelova i vrijeme rada izravno su proporcionalni, jer je njihov omjer jednak određenom broju koji nije jednak nuli, naime broju dijelova koje tokar izradi u 1 satu. izrađenih dijelova označava se slovom y, vrijeme rada je x, a učinak - k, tada se dobiva da je = k ili y = kx, tj. matematički model situacije prikazane u problemu je izravna proporcionalnost.

Zadatak se može riješiti na dva aritmetička načina:

1 način: 2 način:

1) 16:8 = 2 (djeca) 1) 48:16 = 3 (puta)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Rješavajući problem na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, on je jednak 2, a zatim, znajući da je y \u003d 2x, pronašli smo vrijednost x, pod uvjetom da je y \u003d 48.

Pri rješavanju problema na drugi način koristili smo se svojstvom izravne proporcionalnosti: koliko se puta poveća broj dijelova koje tokar izradi, za toliko se poveća i vrijeme potrebno za njihovu izradu.

Prijeđimo sada na razmatranje funkcije koja se naziva obrnuta proporcionalnost.

Ako je t vrijeme kretanja pješaka (u satima), v njegova brzina (u km/h) i on je prešao 12 km, tada se odnos između ovih vrijednosti može izraziti formulom v∙t = 20 ili v = .

Budući da svaka vrijednost t (t ≠ 0) odgovara jednoj vrijednosti brzine v, možemo reći da je funkcija dana pomoću formule v = . Naziva se obrnutom proporcionalnošću i definira se na sljedeći način.

Definicija. Obrnuta proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti pomoću formule y \u003d, gdje je k realni broj različit od nule.

Naziv ove funkcije dolazi od činjenice da y= postoje varijable x i y, koje mogu biti vrijednosti količina. A ako je umnožak dviju veličina jednak nekom broju različitom od nule, tada se one nazivaju obrnuto proporcionalnim. U našem slučaju je xy = k(k ≠ 0). Taj se broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.

Funkcija y= je matematički model mnogih stvarnih situacija razmatranih već u početnom tečaju matematike. Jedan od njih opisan je prije definicije obrnute proporcionalnosti. Drugi primjer: ako ste kupili 12 kg brašna i stavili ga u l:kante od po y kg, tada se odnos između ovih količina može prikazati kao x-y= 12, tj. obrnuto je proporcionalan s koeficijentom k=12.

Prisjetite se nekih svojstava obrnute proporcionalnosti, poznatih iz školskog tečaja matematike.

1. Opseg funkcije y= a njegov raspon x je skup realnih brojeva različitih od nule.

2. Graf obrnute proporcionalnosti je hiperbola.

3. Za k > 0, grane hiperbole nalaze se u 1. i 3. kvadrantu i funkcija y= opada na cijeloj domeni x (slika 8).

Riža. 8 Sl.9

Kada k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= raste preko cijele domene od x (slika 9).

4. Ako je funkcija f obrnuto proporcionalna i (x 1, y 1), (x 2, y 2) su parovi odgovarajućih vrijednosti varijabli x i y, tada.

Doista, ako je funkcija f obrnuto proporcionalna, tada se može dati formulom y= ,i onda . Budući da je x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, tada

Ako su vrijednosti varijabli x i y pozitivni realni brojevi, tada se ovo svojstvo obrnute proporcionalnosti može formulirati na sljedeći način: s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti varijable x nekoliko puta, odgovarajuća vrijednost varijable y smanjuje (povećava) za isti iznos.

Ovo svojstvo je svojstveno samo obrnutoj proporcionalnosti, a može se koristiti u rješavanju tekstualnih zadataka u kojima se razmatraju obrnuto proporcionalne veličine.

Zadatak 2. Biciklist je, krećući se brzinom 10 km/h, prešao put od A do B za 6 sati.

Riješenje. U zadatku se razmatraju sljedeće veličine: brzina biciklista, vrijeme kretanja i udaljenost od A do B, pri čemu je zadnja vrijednost konstantna, a druge dvije imaju različite vrijednosti. Osim toga, brzina i vrijeme kretanja obrnuto su proporcionalni, jer je njihov umnožak jednak određenom broju, odnosno prijeđenom putu. Ako vrijeme kretanja biciklista označimo slovom y, brzinu x, a udaljenost AB k, tada dobivamo da je xy \u003d k ili y \u003d, tj. matematički model situacije prikazane u problemu je obrnuta proporcionalnost.

Problem možete riješiti na dva načina:

1 način: 2 način:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (puta)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Rješavajući problem na prvi način, prvo smo pronašli koeficijent proporcionalnosti k, on je jednak 60, a zatim, znajući da je y \u003d, pronašli smo vrijednost y, pod uvjetom da je x \u003d 20.

Pri rješavanju problema na drugi način koristili smo svojstvo obrnute proporcionalnosti: koliko se puta poveća brzina kretanja, za toliko se smanjuje vrijeme prijeđenog puta iste udaljenosti.

Imajte na umu da se pri rješavanju specifičnih problema s obrnuto proporcionalnim ili izravno proporcionalnim veličinama nameću neka ograničenja za x i y, posebno se ne mogu razmatrati na cijelom skupu realnih brojeva, već na njegovim podskupovima.

Zadatak 3. Lena je kupila x olovaka, a Katya 2 puta više. Označite broj olovaka koje je Katya kupila kao y, izrazite y kroz x i iscrtajte utvrđeni graf korespondencije, pod uvjetom da je x ≤ 5. Je li ovo podudaranje funkcija? Koja je njegova domena definiranja i raspon vrijednosti?

Riješenje. Katja je kupila u = 2 olovke. Prilikom crtanja funkcije y=2x potrebno je uzeti u obzir da varijabla x označava broj olovaka i x≤5, što znači da može poprimiti samo vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ovo će biti domena ove funkcije. Da biste dobili raspon ove funkcije, morate svaku vrijednost x iz domene definicije pomnožiti s 2, tj. to će biti set (0, 2, 4, 6, 8, 10). Stoga će graf funkcije y \u003d 2x s domenom definicije (0, 1, 2, 3, 4, 5) biti skup točaka prikazanih na slici 10. Sve te točke pripadaju liniji y \u003d 2x.

Pojam izravne proporcionalnosti

Zamislite da razmišljate o kupnji svog omiljenog slatkiša (ili onoga što vam se jako sviđa). Slatkiši u trgovini imaju svoju cijenu. Pretpostavimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, više ćete novca platiti. Odnosno, ako želite 2 kilograma - platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma - dajte 900 rubalja. Čini se da je s ovim sve jasno, zar ne?

Međuzaključak je sljedeći: ako argument raste, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Izravna proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearne funkcije. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, tada za izravnu proporcionalnost izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva faktorom proporcionalnosti, a to je uvijek broj različit od nule. Izračunavanje k je jednostavno - nalazi se kao kvocijent funkcije i argumenta: k = y/x.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o izravnoj proporcionalnosti, vratimo se njezinoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegov podskup);

funkcija je neparna;

promjena varijabli izravno je proporcionalna cijeloj duljini brojevnog pravca.

Direktna proporcionalnost i njezin grafikon

Graf ravnoproporcionalne funkcije je pravac koji siječe ishodište. Za njegovu izgradnju dovoljno je označiti samo još jednu točku. I spojite ga i ishodište linije.

U slučaju grafikona, k je nagib. Ako je nagib manji od nule (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf i x-os čine šiljasti kut, a funkcija je rastuća.

Primjeri zadataka

Odlučimo par problemi izravne proporcionalnosti

Počnimo jednostavno.

1. zadatak: Zamislite da je 5 kokoši snijelo 5 jaja u 5 dana. A ako ima 20 kokoši, koliko će jaja snijeti za 20 dana?

Riješimo još jedan problem sličan onima koje smo imali u primjerima.

3. zadatak: Dva automobila krenula su na isti put. Jedan se kretao brzinom 70 km/h i prešao istu udaljenost za 2 sata kao drugi za 7 sati. Nađi brzinu drugog automobila.

I još nekoliko primjera zadataka s funkcijama izravne proporcionalnosti. Ponekad se u zadacima traži pronaći koeficijent k.

Zadatak 4: Zadane su funkcije y = - x / 16 i y = 5x / 2, odredite njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. Dakle, za prvu funkciju koeficijent je -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak poput Zadatka 5: Zapišite formulu izravne proporcionalnosti. Njegov graf i graf funkcije y \u003d -5x + 3 nalaze se paralelno.