Eksponencijalna jednadžba je nula. eksponencijalne jednadžbe

Jednadžbe se nazivaju eksponencijalnim ako je nepoznanica sadržana u eksponentu. Najjednostavnija eksponencijalna jednadžba ima oblik: a x \u003d a b, gdje je a> 0, a 1, x je nepoznanica.

Glavna svojstva stupnjeva, uz pomoć kojih se transformiraju eksponencijalne jednadžbe: a>0, b>0.

Prilikom odlučivanja eksponencijalne jednadžbe također uživajte u sljedećim svojstvima eksponencijalna funkcija: y = a x , a > 0, a1:

Da biste broj predstavili kao potenciju, upotrijebite bazu logaritamski identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.

Zadaci i testovi na temu "Eksponencijalne jednadžbe"

• eksponencijalne jednadžbe

  Lekcije: 4 Zadaci: 21 Testovi: 1

• eksponencijalne jednadžbe - Važne teme za ponavljanje ispita iz matematike

  Zadaci: 14

• Sustavi eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi - Eksponencijalne i logaritamske funkcije 11. razred

  Lekcija: 1 Zadaci: 15 Testovi: 1

• §2.1. Rješenje eksponencijalnih jednadžbi

  Lekcija: 1 Zadaci: 27

• §7 Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe - Dio 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije 10. razred

  Lekcija: 1 Zadaci: 17

Za uspješno rješenje eksponencijalne jednadžbe Morate poznavati osnovna svojstva potencija, svojstva eksponencijalne funkcije, osnovni logaritamski identitet.

Pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi koriste se dvije glavne metode:

1. prijelaz s jednadžbe a f(x) = a g(x) na jednadžbu f(x) = g(x);
2. uvođenje novih linija.

Primjeri.

1. Svođenje jednadžbi na najjednostavnije. Rješavaju se dovođenjem obje strane jednadžbe na potenciju s istom bazom.

3x \u003d 9x - 2.

Riješenje:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Odgovor: 4.

2. Jednadžbe rješavane stavljanjem zajedničkog faktora u zagrade.

Riješenje:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Odgovor: 3.

3. Jednadžbe rješavane promjenom varijable.

Riješenje:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Označavamo 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Jednadžba nema rješenja, jer 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Odgovor: dnevnik 2 3.

4. Jednadžbe koje sadrže potencije s dvije različite (koje se ne mogu svesti jedna na drugu) baze.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Odgovor: 2.

5. Jednadžbe koje su homogene s obzirom na a x i b x .

Opći obrazac: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Riješenje:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Odgovor: trupac 3/2 2; - trupac 3/2 2.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što se dogodilo eksponencijalna jednadžba? Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori neki stupnjevi. I samo tamo! To je važno.

Tu si ti primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bilješka! U bazama stupnjeva (ispod) - samo brojevi. U indikatori stupnjevi (iznad) - veliki izbor izraza s x. Ako se iznenada x pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednadžba mješoviti tip. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješenje eksponencijalnih jednadžbi u svom najčišćem obliku.

Zapravo, čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su tipovi koje ćemo promatrati.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:

Čak i bez ikakve teorije, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nema drugih bacanja vrijednosti x. A sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Što smo učinili? Mi smo, zapravo, samo izbacili iste dna (trojke). Potpuno izbačen. I, što drago, pogodio u metu!

Doista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi s lijeve i s desne strane isto brojeva u bilo kojem stupnju, ti se brojevi mogu ukloniti i jednaki eksponenti. Matematika dopušta. Ostaje riješiti puno jednostavniju jednadžbu. Dobro je, zar ne?)

Međutim, prisjetimo se ironično: možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednadžbama:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ili

Ne možete ukloniti dvojnike!

Eto, svladali smo ono najvažnije. Kako prijeći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

— Evo tih vremena! - Ti kažeš. "Tko će dati takvog primitivca na kontrolnim i ispitima!?"

Prisiljen pristati. Nitko neće. Ali sada znate kamo ići kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno je to dovesti u obzir, kada je isti osnovni broj s lijeve strane - s desne strane. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo izvorni primjer i transformiramo ga u željeni nas um. Po matematičkim pravilima, naravno.

Razmotrite primjere koji zahtijevaju dodatne napore da ih dovedete do najjednostavnijih. Nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješenje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi glavna su pravila akcije s ovlastima. Bez znanja o tim radnjama ništa neće uspjeti.

Radnjama sa stupnjevima treba dodati osobno zapažanje i domišljatost. Trebaju li nam isti osnovni brojevi? Stoga ih u primjeru tražimo u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Dajmo nam primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vrijeme je da se toga prisjetimo

Dva i osam su srodnici u stupnju.) Sasvim je moguće zapisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz akcija s ovlastima:

(a n) m = a nm,

općenito radi odlično:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Izvorni primjer izgleda ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

prenosimo 2 3 (x+1) desno (nitko nije otkazao elementarne radnje matematike!), dobivamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je praktički sve. Uklanjanje baze:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je točan odgovor.

U ovom primjeru pomoglo nam je poznavanje moći dvojke. Mi identificiran u osmici, šifrirana dvojka. Ova tehnika (kodiranje zajedničkih baza pod različitim brojevima) vrlo je popularan trik u eksponencijalnim jednadžbama! Da, čak iu logaritmima. Čovjek mora znati prepoznati moći drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi.

Činjenica je da podizanje bilo kojeg broja na bilo koju potenciju nije problem. Umnožite, makar i na komad papira, i to je sve. Na primjer, svatko može podići 3 na petu potenciju. 243 će se ispostaviti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednadžbama, mnogo češće je potrebno ne dizati na potenciju, već obrnuto ... koji broj u kojoj mjeri krije se iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nikakav kalkulator neće pomoći.

Moći nekih brojeva morate znati iz viđenja, da ... Hoćemo li vježbati?

Odredi koje su potencije i koji brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (u neredu, naravno!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako bolje pogledate, možete vidjeti čudnu činjenicu. Više je odgovora nego pitanja! Pa, događa se... Na primjer, 2 6 , 4 3 , 8 2 je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili na znanje informacije o poznavanju brojeva.) Dopustite mi da vas podsjetim da za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi primjenjujemo cjelina zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz niže srednje klase. Nisi valjda otišao ravno u srednju školu?

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi vrlo često pomaže stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled - na terene! Osnove stupnjeva su različite ... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju, želja je sasvim izvediva!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Prema istim pravilima za akcije sa stupnjevima:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je super, možete napisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dali smo primjer iz istih razloga. Dakle, što je sljedeće!? Trojke se ne mogu izbaciti ... Ćorsokak?

Nikako. Prisjećanje na najuniverzalnije i najsnažnije pravilo odlučivanja svi matematički zadaci:

Ako ne znate što učiniti, učinite što možete!

Gledate, sve je formirano).

Što je u ovoj eksponencijalnoj jednadžbi Limenkačini? Da, lijeva strana izravno traži zagrade! Zajednički faktor 3 2x jasno to upućuje. Pokušajmo, pa ćemo vidjeti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Podsjećamo da nam je za eliminiranje baza potreban čisti stupanj, bez ikakvih koeficijenata. Muči nas brojka 70. Podijelimo obje strane jednadžbe sa 70 i dobijemo:

Op-pa! Sve je bilo u redu!

Ovo je konačan odgovor.

Događa se, međutim, da se po istim osnovama dobije taksiranje, ali ne i njihova likvidacija. To se događa u eksponencijalnim jednadžbama druge vrste. Uzmimo ovu vrstu.

Promjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Riješimo jednadžbu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Prijeđimo na bazu. Do dvojke.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobivamo jednadžbu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje ćemo visjeti. Prethodni trikovi neće uspjeti, kako god okrenete. Morat ćemo iz arsenala nabaviti još jedan moćan i svestran način. To se zove varijabilna supstitucija.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju 2 x), pišemo drugu, jednostavniju (na primjer t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Zatim 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Zamjenjujemo u našoj jednadžbi sve potencije s x-ovima s t:

Pa, svanulo je?) Još niste zaboravili kvadratne jednadžbe? Rješavamo kroz diskriminantu, dobivamo:

Ovdje je glavna stvar ne stati, kao što se događa ... Ovo još nije odgovor, trebamo x, a ne t. Vraćamo se na Xs, tj. izrada zamjene. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu, iz t 2:

Hm... Lijevo 2 x, Desno 1... Zastoj? Da, nikako! Dovoljno je zapamtiti (od radnji sa stupnjevima, da ...) da je jedinica bilo koji broj do nule. Bilo koje. Što god trebate, mi ćemo to staviti. Trebamo dva. Sredstva:

Sada je to sve. Dobio 2 korijena:

Ovo je odgovor.

Na rješavanje eksponencijalnih jednadžbi na kraju se ponekad dobije neki neugodan izraz. Tip:

Od sedam, dvojka kroz jednostavan stupanj ne radi. Oni nisu rođaci ... Kako mogu biti ovdje? Netko može biti zbunjen ... Ali osoba koja je na ovoj stranici pročitala temu "Što je logaritam?" , samo se škrto nasmiješite i čvrstom rukom zapišite apsolutno točan odgovor:

Takav odgovor ne može biti u zadacima "B" na ispitu. Potreban je određeni broj. Ali u zadacima "C" - lako.

Ova lekcija pruža primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednadžbi. Istaknimo ono glavno.

Praktični savjeti:

1. Prije svega gledamo osnove stupnjeva. Da vidimo mogu li se učiniti isto. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije s ovlastima. Ne zaboravite da se i brojevi bez x mogu pretvoriti u stupnjeve!

2. Pokušavamo eksponencijalnu jednadžbu dovesti u oblik kada su lijevo i desno isto brojevi do bilo kojeg stupnja. Koristimo akcije s ovlastima I faktorizacija.Što se brojkama može prebrojati - mi brojimo.

3. Ako drugi savjet nije uspio, pokušavamo primijeniti zamjenu varijable. Rezultat može biti jednadžba koja se lako rješava. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednadžbi potrebno je poznavati stupnjeve nekih brojeva "iz viđenja".

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo riješite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Pronađite produkt korijena:

2 3-x + 2 x = 9

Dogodilo se?

Dobro onda najteži primjer(odlučio, međutim, u umu ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Što je zanimljivije? Onda vam je loš primjer. Prilično vuče na povećanu težinu. Nagovijestit ću da u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih zadataka.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Primjer je jednostavniji, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

A za desert. Pronađite zbroj korijena jednadžbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednadžba mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. A što ih smatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa, potrebna je domišljatost ... I da, pomoći će vam sedmi razred (ovo je hint!).

Odgovori (u nizu, odvojeni točkom i zarezom):

1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Je li sve uspješno? Sjajno.

Imamo problem? Nema problema! U posebnom odjeljku 555 sve ove eksponencijalne jednadžbe rješavaju se uz detaljna objašnjenja. Što, zašto i zašto. I, naravno, tu su dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Ne samo s ovim.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji radili smo s eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječ o ODZ? U jednadžbama, ovo je vrlo važna stvar, usput ...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Predavanje: "Metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi."

1 . eksponencijalne jednadžbe.

Jednadžbe koje sadrže nepoznanice u eksponentu nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednadžba ax = b, gdje je a > 0 i a ≠ 1.

1) Za b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teorem o korijenu, jednadžba ima jedan korijen. Da bismo ga pronašli, b se mora predstaviti kao b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.

Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi koje se rješavaju sljedećim metodama:

1) način svođenja na jednu osnovicu;

2) način ocjenjivanja;

3) grafička metoda;

4) način uvođenja novih varijabli;

5) metoda faktorizacije;

6) jednadžbe eksponencijalne snage;

7) eksponencijalni s parametrom.

2 . Metoda svođenja na jednu osnovicu.

Metoda se temelji na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stupnja jednaka i njihove baze jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. jednadžbu treba pokušati svesti na oblik

Primjeri. Riješite jednadžbu:

1 . 3x=81;

Predstavimo desnu stranu jednadžbe u obliku 81 = 34 i napišimo jednadžbu ekvivalentnu izvornoj 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> i idite na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odgovor: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Imajte na umu da su brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 potencije broja 5. Iskoristimo ovo i transformirajmo izvornu jednadžbu na sljedeći način:

, odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, odakle nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Prema definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo jednadžbu kao 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Stoga je x - 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva potencija, jednadžbu napišemo u obliku e. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Banka zadataka br.1.

Riješite jednadžbu:

Test broj 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) nema korijena
	1) 7;1 2) nema korijena 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda ocjenjivanja.

Teorem o korijenu: ako funkcija f (x) raste (opada) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednadžba f (x) = a ima jedan korijen na intervalu I.

Pri rješavanju jednadžbi metodom estimacije koristi se ovaj teorem i svojstva monotonosti funkcije.

Primjeri. Riješite jednadžbe: 1. 4x = 5 - x.

Riješenje. Prepišimo jednadžbu kao 4x + x = 5.

1. ako je x \u003d 1, tada je 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 točno, tada je 1 korijen jednadžbe.

Funkcija f(x) = 4x raste na R i g(x) = x raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R kao zbroj rastućih funkcija, pa je x = 1 jedini korijen jednadžbe 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

2.

Riješenje. Jednadžbu prepisujemo u obliku .

1. ako je x = -1, tada , 3 = 3-točno, pa je x = -1 korijen jednadžbe.

2. dokazati da je jedinstven.

3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x - opada na R => h(x) = f(x) + g(x) - opada na R, kao zbroj opadajućih funkcija . Prema teoremu o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednadžbe. Odgovor: -1.

Banka zadataka br.2. riješiti jednadžbu

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda uvođenja novih varijabli.

Metoda je opisana u odjeljku 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se provodi nakon transformacija (pojednostavljenja) članova jednadžbe. Razmotrite primjere.

Primjeri. R jesti jednadžba: 1. .

Napišimo jednadžbu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj..png" width="210" height = "45">

Riješenje. Napišimo jednadžbu drugačije:

Označite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> je iracionalna jednadžba. Imajte na umu da

Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, pa je 2,5 korijen jednadžbe. Odgovor: 2.5.

Riješenje. Prepišimo jednadžbu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobivamo jednadžbu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, dakle..png" width="118" height="56">

Korijenje kvadratna jednadžba– t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Riješenje . Jednadžbu prepisujemo u obliku

te uočimo da je to homogena jednadžba drugog stupnja.

Podijelimo jednadžbu s 42x, dobivamo

Zamijenite https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0,5.

Banka zadataka #3. riješiti jednadžbu

b)

G)

Test #3 s izborom odgovora. Minimalna razina.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 s izborom odgovora. Opća razina.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena

5. Metoda faktorizacije.

1. Riješite jednadžbu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Riješenje. Izbacimo 6x s lijeve strane jednadžbe i 2x s desne strane. Dobivamo jednadžbu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Budući da je 2x >0 za sve x, obje strane ove jednadžbe možemo podijeliti s 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobivamo 3x = 1ó x = 0.

3.

Riješenje. Jednadžbu rješavamo rastavljanjem na faktore.

Odaberemo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je korijen jednadžbe.

Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Opća razina.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponencijalno-potencije jednadžbe.

Eksponencijalnim jednadžbama pridružuju se takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, tj. jednadžbe oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, tada se jednadžba, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).

Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada te slučajeve moramo uzeti u obzir pri rješavanju jednadžbe eksponencijalne snage.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Riješenje. x2 +2x-8 - ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, pa je jednadžba ekvivalentna skupu

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.

1. Za koje vrijednosti parametra p vrijedi jednadžba 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) jedina odluka?

Riješenje. Uvedimo promjenu 2x = t, t > 0, tada će jednadžba (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminant jednadžbe (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Jednadžba (1) ima jedinstveno rješenje ako jednadžba (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.

1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednadžba (2) imati oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednadžba (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.

2. Ako je p1, tada je 9(p – 1)2 > 0, tada jednadžba (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Skup sustava zadovoljava uvjet problema

Zamjenom t1 i t2 u sustave imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Riješenje. Neka tada će jednadžba (3) poprimiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)

Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.

Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Slučaj 2. Jednadžba (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako

D = 0, ako je a = – 9, tada će jednadžba (4) imati oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Slučaj 3. Jednadžba (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dakle, pri a 0 jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen . Tada jednadžba (3) ima jedinstveno rješenje

Za< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;

ako je a  0, tada

Usporedimo metode rješavanja jednadžbi (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednadžbu, čiji je diskriminant puni kvadrat; stoga su korijeni jednadžbe (2) odmah izračunati po formuli korijena kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednadžbu (4), čija diskriminanta nije puni kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o položaju korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti pomoću Vieta teorema.

Riješimo složenije jednadžbe.

Zadatak 3. Riješite jednadžbu

Riješenje. ODZ: x1, x2.

Uvedimo zamjenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba poprimiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen iz jednadžba (*) zadovoljava uvjet t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: ako je a > - 13, a  11, a  5, onda ako je a - 13,

a = 11, a = 5, tada nema korijena.

Bibliografija.

1. Guzeev temelji obrazovne tehnologije.

2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.

M. "Ravnatelj" broj 4, 1996

3. Guzeev i organizacijski oblici učenje.

4. Guzeev i praksa integralne obrazovne tehnologije.

M. "Narodna prosvjeta", 2001

5. Guzeev iz oblika lekcije - seminara.

Matematika u školi br. 2, 1987., str. 9 - 11.

6. Selevko obrazovne tehnologije.

M. "Narodna prosvjeta", 1998

7. Episheva školarci uče matematiku.

M. "Prosvjeta", 1990

8. Ivanov za pripremu lekcija – radionica.

Matematika u školi broj 6, 1990., str. 37-40 (prikaz, ostalo).

9. Smirnovljev model nastave matematike.

Matematika u školi broj 1, 1997., str. 32-36 (prikaz, ostalo).

10. Tarasenko načini organizacije praktičnog rada.

Matematika u školi broj 1, 1993., str. 27 - 28 (prikaz, znanstveni).

11. O jednoj od vrsta samostalnog rada.

Matematika u školi broj 2, 1994., str. 63 - 64.

12. Khazankin Kreativne vještineŠkolska djeca.

Matematika u školi broj 2, 1989., str. 10.

13. Scanavi. Izdavač, 1997

14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali Za

15. Krivonogov zadaci iz matematike.

M. "Prvi rujan", 2002

16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i

upis na sveučilišta. "A S T - press škola", 2002

17. Zhevnyak za kandidate za sveučilišta.

Minsk i RF "Review", 1996

18. Pisani D. Pripreme za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999. (monografija).

19. i dr. Učenje rješavanja jednadžbi i nejednadžbi.

M. "Intelekt - centar", 2003

20. i dr. Edukativni - materijali za obuku pripremiti se za E G E.

M. "Intelekt - Centar", 2003. i 2004. godine

21 i dr. Varijante CMM-a. Ispitni centar Ministarstva obrane Ruske Federacije, 2002., 2003

22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" broj 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspješno poučavati matematiku.

Matematika, 1997. br.3.

24 Okunev za lekciju, djeco! M. Prosvjeta, 1988

25. Yakimanskaya - usmjereno obrazovanje u školi.

26. Liimets rade na lekciji. M. Znanje, 1975

Na youtube kanal naše web stranice kako biste bili svjesni svih novih video lekcija.

Prvo se prisjetimo osnovnih formula stupnjeva i njihovih svojstava.

Umnožak broja a dogodi sam od sebe n puta, ovaj izraz možemo napisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potencije ili eksponencijalne jednadžbe- to su jednadžbe u kojima su varijable u potencijama (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovaj primjer broj 6 je baza, uvijek je na dnu, i varijabla x stupanj ili mjera.

Navedimo još primjera eksponencijalnih jednadžbi.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Sada pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednadžbu:

2 x = 2 3

Takav se primjer može riješiti čak iu umu. Vidi se da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate umjesto x staviti broj 3.
Sada da vidimo kako bi se ova odluka trebala donijeti:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili ovu jednadžbu, uklonili smo iste osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stupnjevi. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada rezimirajmo naše rješenje.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li baze jednadžbe s desne i s lijeve strane. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što su baze iste, izjednačiti stupnja i riješite dobivenu novu jednadžbu.

Sada riješimo neke primjere:

Počnimo jednostavno.

Baze na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da baze možemo odbaciti i njihove stupnjeve izjednačiti.

x+2=4 Ispala je najjednostavnija jednadžba.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite, to su 3 i 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za početak, prebacujemo devet na desnu stranu, dobivamo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2 . Upotrijebimo formulu za potenciju (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dobivamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 sada je jasno da su baze na lijevoj i desnoj strani jednake i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.

3x=2x+16 dobili smo najjednostavniju jednadžbu
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze su različite dva i četiri. I mi trebamo biti isti. Četvorku transformiramo prema formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Također koristimo jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte jednadžbi:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dali smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam ostali brojevi 10 i 24. Što s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da na lijevoj strani ponavljamo 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednadžbu dijelimo sa 6:

Zamislite 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze su iste, odbacite ih i izjednačite stupnjeve.
Pokazalo se da je 2x \u003d 2 najjednostavnija jednadžba. Podijelimo ga s 2, dobivamo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Riješimo jednadžbu:

9 x - 12*3 x +27= 0

Preobrazimo se:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobivamo jednadžbu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru je jasno da prva trojka ima stupanj dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete odlučiti metoda supstitucije. Broj s najmanjim stupnjem zamjenjuje se s:

Zatim 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamijenimo sve stupnjeve s x-ovima u jednadžbi s t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobivamo kvadratnu jednadžbu. Rješavamo kroz diskriminantu, dobivamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Povratak na varijablu x.

Uzimamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu, iz t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na web stranici možete u odjeljku POMOĆI ODLUČITI postaviti pitanja od interesa, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi

Rješavanje većine matematičkih problema nekako je povezano s transformacijom numeričkih, algebarskih ili funkcionalnih izraza. To se posebno odnosi na rješenje. U USE varijantama iz matematike ova vrsta zadataka uključuje, posebice, zadatak C3. Naučiti rješavati C3 zadatke nije važno samo zbog svrhe uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, ali i iz razloga što je ova vještina korisna pri proučavanju tečaja matematike u visokom obrazovanju.

Obavljanje zadataka C3, morate odlučiti različite vrste jednadžbe i nejednadžbe. Među njima su racionalni, iracionalni, eksponencijalni, logaritamski, trigonometrijski, koji sadrže module (apsolutne vrijednosti), kao i kombinirani. Ovaj članak govori o glavnim vrstama eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi, kao io različitim metodama za njihovo rješavanje. Pročitajte o rješavanju drugih vrsta jednadžbi i nejednadžbi pod naslovom "" u člancima posvećenim metodama rješavanja C3 problema iz USE opcije matematika.

Prije nego što prijeđete na analizu specifičnih eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, kao učitelj matematike, predlažem da obnovite nešto teorijsko gradivo koji će nam trebati.

Eksponencijalna funkcija

Što je eksponencijalna funkcija?

Pregled funkcija g = a x, Gdje a> 0 i a≠ 1, tzv eksponencijalna funkcija.

Glavni svojstva eksponencijalne funkcije g = a x:

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije je izlagač:

Grafovi eksponencijalnih funkcija (eksponenti)

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi

indikativan nazivaju se jednadžbe u kojima se nepoznata varijabla nalazi samo u eksponentima bilo koje potencije.

Za rješenja eksponencijalne jednadžbe morate znati i moći koristiti sljedeći jednostavni teorem:

Teorem 1. eksponencijalna jednadžba a f(x) = a g(x) (Gdje a > 0, a≠ 1) ekvivalentna je jednadžbi f(x) = g(x).

Osim toga, korisno je zapamtiti osnovne formule i radnje sa stupnjevima:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Primjer 1 Riješite jednadžbu:

Riješenje: koristite gornje formule i zamjenu:

Jednadžba tada postaje:

Diskriminant dobivene kvadratne jednadžbe je pozitivan:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

To znači da ova jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:

Vraćajući se na zamjenu, dobivamo:

Druga jednadžba nema korijena, budući da je eksponencijalna funkcija strogo pozitivna u cijeloj domeni definicije. Riješimo drugi:

Uzimajući u obzir ono što je rečeno u teoremu 1, prelazimo na ekvivalentnu jednadžbu: x= 3. Ovo će biti odgovor na zadatak.

Odgovor: x = 3.

Primjer 2 Riješite jednadžbu:

Riješenje: jednadžba nema ograničenja na područje dopuštenih vrijednosti, budući da radikalni izraz ima smisla za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija g = 9 4 -x pozitivan i nije jednak nuli).

Jednadžbu rješavamo ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila množenja i dijeljenja potencija:

Zadnji prijelaz je izveden u skladu s teoremom 1.

Odgovor:x= 6.

Primjer 3 Riješite jednadžbu:

Riješenje: obje strane izvorne jednadžbe mogu se podijeliti s 0,2 x. Ovaj prijelaz će biti ekvivalentan, jer je ovaj izraz veći od nule za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija je strogo pozitivna na svojoj domeni). Tada jednadžba poprima oblik:

Odgovor: x = 0.

Primjer 4 Riješite jednadžbu:

Riješenje: jednadžbu pojednostavljujemo na elementarnu ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila dijeljenja i množenja potencija navedenih na početku članka:

Dijeljenje obje strane jednadžbe s 4 x, kao u prethodnom primjeru, je ekvivalentna transformacija, jer ovaj izraz nije jednak nuli ni za jednu vrijednost x.

Odgovor: x = 0.

Primjer 5 Riješite jednadžbu:

Riješenje: funkcija g = 3x, koji stoji na lijevoj strani jednadžbe, raste. Funkcija g = —x-2/3, koji stoji na desnoj strani jednadžbe, je opadajući. To znači da ako se grafovi ovih funkcija sijeku, onda najviše u jednoj točki. U ovaj slučaj lako je pogoditi da se grafovi sijeku u točki x= -1. Neće biti drugih korijena.

Odgovor: x = -1.

Primjer 6 Riješite jednadžbu:

Riješenje: pojednostavljujemo jednadžbu ekvivalentnim transformacijama, imajući posvuda na umu da je eksponencijalna funkcija strogo veća od nule za bilo koju vrijednost x i korištenjem pravila za izračunavanje umnoška i parcijalnih potencija navedenih na početku članka:

Odgovor: x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi

indikativan nazivaju se nejednadžbe u kojima je nepoznata varijabla sadržana samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne nejednakosti potrebno je poznavanje sljedećeg teoreme:

Teorem 2. Ako a> 1, onda nejednakost a f(x) > a g(x) ekvivalentna je nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x). Ako je 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) ekvivalentna je nejednakosti suprotnog značenja: f(x) < g(x).

Primjer 7 Riješite nejednadžbu:

Riješenje: originalnu nejednakost predstaviti u obliku:

Podijelite obje strane ove nejednakosti s 3 2 x, i (zbog pozitivnosti funkcije g= 3 2x) znak nejednakosti se neće promijeniti:

Upotrijebimo zamjenu:

Tada nejednakost ima oblik:

Dakle, rješenje nejednadžbe je interval:

prelazeći na obrnutu zamjenu, dobivamo:

Lijeva nejednadžba se, zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije, automatski ispunjava. Koristeći dobro poznato svojstvo logaritma, prelazimo na ekvivalentnu nejednadžbu:

Budući da je baza stupnja broj veći od jedan, ekvivalent (prema teoremu 2) bit će prijelaz na sljedeću nejednadžbu:

Pa konačno dobivamo odgovor:

Primjer 8 Riješite nejednadžbu:

Riješenje: koristeći svojstva množenja i dijeljenja potencija, nejednakost prepisujemo u obliku:

Uvedimo novu varijablu:

Ovom zamjenom nejednakost poprima oblik:

Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka sa 7, dobit ćemo sljedeću ekvivalentnu nejednadžbu:

Dakle, nejednakost je zadovoljena sljedećim vrijednostima varijable t:

Zatim, vraćajući se na zamjenu, dobivamo:

Budući da je baza stupnja ovdje veća od jedan, ekvivalentno je (prema teoremu 2) prijeći na nejednadžbu:

Napokon dobivamo odgovor:

Primjer 9 Riješite nejednadžbu:

Riješenje:

Obje strane nejednakosti dijelimo izrazom:

Uvijek je veći od nule (jer je eksponencijalna funkcija pozitivna), pa znak nejednakosti ne treba mijenjati. Dobivamo:

t , koji se nalaze u intervalu:

Prelazeći na obrnutu zamjenu, nalazimo da se izvorna nejednakost dijeli na dva slučaja:

Prva nejednadžba nema rješenja zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije. Riješimo drugi:

Primjer 10 Riješite nejednadžbu:

Riješenje:

Grane parabole g = 2x+2-x 2 usmjerena je prema dolje, stoga je odozgo ograničena vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Grane parabole g = x 2 -2x+2, koji se nalazi u indikatoru, usmjeren je prema gore, što znači da je ograničen odozdo vrijednošću koju postiže na vrhu:

Istovremeno se ispostavlja da je funkcija ograničena odozdo g = 3 x 2 -2x+2 na desnoj strani jednadžbe. Ona je dostigne najmanja vrijednost u istoj točki kao parabola u eksponentu, a ta je vrijednost 3 1 = 3. Dakle, izvorna nejednakost može biti istinita samo ako funkcija lijevo i funkcija desno poprime vrijednost 3 u jednoj točki (prema prelazeći nizove ovih funkcija je samo ovaj broj). Ovaj uvjet je zadovoljen u jednoj točki x = 1.

Odgovor: x= 1.

Da naučite kako riješiti eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, morate se stalno uvježbavati u njihovom rješenju. U ovoj teškoj stvari razni nastavna sredstva, zadataknici iz osnovne matematike, zbirke natjecateljskih zadataka, nastava matematike u školi, kao i pojedinačne sesije sa stručnim mentorom. Od srca vam želim uspjeh u pripremi i sjajne rezultate na ispitu.

Sergej Valerievič

P.S. Dragi gosti! Molimo vas da ne pišete zahtjeve za rješavanje vaših jednadžbi u komentarima. Nažalost, uopće nemam vremena za ovo. Takve poruke će biti izbrisane. Molimo pročitajte članak. Možda ćete u njemu pronaći odgovore na pitanja koja vam nisu dopuštala da sami riješite svoj zadatak.