Derivacija 5x 4. Derivacija e na potenciju x i eksponencijalna funkcija
Derivacija formule za izvod potencije (x na potenciju a). Razmatraju se derivacije korijena iz x. Formula za derivaciju funkcije višeg reda snage. Primjeri izračuna derivacija.
Derivacija od x na potenciju a je a puta x na potenciju minus jedan:
(1)
.
Derivacija n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2)
.
Derivacija formule za izvod potencije
Slučaj x > 0
Razmotrimo funkciju snage varijable x s eksponentom a:
(3)
.
Ovdje je a proizvoljni realni broj. Razmotrimo prvo slučaj.
Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije potencije i transformiramo je u sljedeći oblik:
.
Sada nalazimo izvod primjenom:
;
.
ovdje .
Formula (1) je dokazana.
Derivacija formule za derivaciju korijena stupnja n iz x u stupanj m
Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedeće forme:
(4)
.
Da bismo pronašli derivaciju, pretvaramo korijen u funkciju potencije:
.
Uspoređujući s formulom (3), vidimo da
.
Zatim
.
Po formuli (1) nalazimo derivaciju:
(1)
;
;
(2)
.
U praksi nema potrebe pamtiti formulu (2). Puno je prikladnije prvo pretvoriti korijene u potencne funkcije, a zatim pronaći njihove izvode pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).
Slučaj x = 0
Ako je , tada je funkcija snage definirana i za vrijednost varijable x = 0
. Nađimo izvod funkcije (3) za x = 0
. Da bismo to učinili, koristimo se definicijom derivata:
.
Zamjena x = 0
:
.
U ovom slučaju, pod izvodom mislimo na desnu granicu za koju .
Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga se vidi da je kod , .
U , .
U , .
Ovaj se rezultat također dobiva pomoću formule (1):
(1)
.
Stoga formula (1) vrijedi i za x = 0
.
slučaj x< 0
Ponovno razmotrite funkciju (3):
(3)
.
Za neke vrijednosti konstante a definirane su i negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može prikazati kao nesvodivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi bez zajedničkog djelitelja.
Ako je n neparan, tada je eksponencijalna funkcija također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, za n = 3
i m = 1
imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti x.
Nađimo derivaciju funkcije snage (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavljamo x u sljedećem obliku:
.
zatim,
.
Derivaciju nalazimo izuzimanjem konstante iz predznaka derivacije i primjenom pravila diferenciranja složene funkcije:
.
ovdje . Ali
.
Od tad
.
Zatim
.
Odnosno, formula (1) također vrijedi za:
(1)
.
Derivati viših redova
Sada nalazimo derivacije višeg reda funkcije potencije
(3)
.
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.
Izuzimanjem konstante a iz predznaka izvoda nalazimo izvod drugog reda:
.
Slično, nalazimo izvedenice trećeg i četvrtog reda:
;
.
Odavde je jasno da izvod proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.
primijeti da ako je a prirodan broj, , tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su sve sljedeće derivacije jednake nuli:
,
u .
Izvedeni primjeri
Primjer
Pronađite izvod funkcije:
.
Riješenje
Pretvorimo korijene u potencije:
;
.
Tada izvorna funkcija ima oblik:
.
Nalazimo izvode stupnjeva:
;
.
Derivacija konstante je nula:
.
Izračun derivata često se nalazi u USE zadaci. Ova stranica sadrži popis formula za pronalaženje izvedenica.
Pravila razlikovanja
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Derivacija složene funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), tada se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako je y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Derivacija implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) naziva se implicitna funkcija dana relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
- Derivacija inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, tada se funkcija g(x) naziva inverzna funkcija za funkciju y=f(x).
- Derivacija parametarski zadane funkcije. Neka su x i y zadani kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kaže se da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈ (a;b) ako se na tom intervalu jednadžba x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x).
- Derivacija eksponencijalne funkcije. Dobiva se uzimanjem logaritma na bazu prirodnog logaritma.
Prva razina
Derivacija funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)
Zamislite ravnu cestu koja prolazi kroz brdovito područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:
Os je određena razina nulte visine, u životu kao nju koristimo razinu mora.
Krećući se naprijed takvim putem, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se mijenja argument (pomiče se po apscisnoj osi), mijenja se i vrijednost funkcije (pomiče se po ordinatnoj osi). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Koja bi to vrijednost mogla biti? Vrlo jednostavno: koliko će se promijeniti visina kada se pomakne naprijed određenu udaljenost. Doista, na različitim dionicama puta, pomičući se naprijed (po apscisi) jedan kilometar, dignut ćemo se ili spustiti za različit broj metara u odnosu na razinu mora (po ordinati).
Označavamo napredak naprijed (čitaj "delta x").
Grčko slovo (delta) obično se koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena u veličini, - promjena; što je onda? Tako je, promjena veličine.
Važno: izraz je jedan entitet, jedna varijabla. Nikada ne smijete otkidati "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.
Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, dalje. Uspoređujemo li liniju ceste s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . Odnosno, kada se krećemo naprijed, dižemo se više.
Lako je izračunati vrijednost: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja bili smo na visini, onda. Ako se krajnja točka pokazala nižom od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već silazimo.
Natrag na "strmost": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) se visina povećava kada se kreće naprijed po jedinici udaljenosti:
Pretpostavimo da se na nekom odsječku staze, pri napredovanju za km, cesta uzdiže za km. Tada je strmina na ovom mjestu jednaka. A ako je cesta pri napredovanju za m potonula za km? Tada je nagib jednak.
Sada razmislite o vrhu brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra do vrha, a kraj - pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.
To jest, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Mnogo toga se može promijeniti samo nekoliko kilometara dalje. Za adekvatniju i točniju procjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manje površine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine pri pomicanju za jedan metar, rezultat će biti puno točniji. Ali čak ni ova točnost možda nam neće biti dovoljna - uostalom, ako je stup nasred ceste, jednostavno se možemo provući kroz njega. Koju udaljenost trebamo odabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!
U stvaran život mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra više je nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept bio infinitezimalnog, to jest, modulo vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I ovaj broj podijelite s - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo napisati da je vrijednost beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da taj broj nije jednak nuli! Ali vrlo blizu toga. To znači da se može podijeliti na.
Koncept suprotan beskonačno malom je beskonačno veliko (). Vjerojatno ste se već susreli s njim dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je veći po modulu od bilo kojeg broja koji vam pada na pamet. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još više. A beskonačnost je čak i više od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedni drugima, to jest at, i obrnuto: at.
Vratimo se sada našem putu. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment staze, to jest:
Napominjem da će kod beskonačno malog pomaka i promjena visine biti beskonačno mala. Ali dopustite mi da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači jednako nuli. Podijelite li beskonačno male brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, npr. To jest, jedna mala vrijednost može biti točno dvostruko veća od druge.
Čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na reli, ali učimo matematiku. I u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.
Pojam derivata
Derivacija funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta pri infinitezimalnom prirastu argumenta.
Povećanje u matematici se zove promjena. Poziva se koliko se argument () promijenio pri kretanju duž osi povećanje argumenta a označava se sa Koliko se promijenila funkcija (visina) pri pomicanju naprijed duž osi za udaljenost naziva se prirast funkcije i označena je.
Dakle, izvod funkcije je odnos prema kada. Derivaciju označavamo istim slovom kao i funkciju, samo crtom gore desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu izvedenice koristeći ove oznake:
Kao i u analogiji s cestom, i ovdje je pri rastu funkcije derivacija pozitivna, a pri opadanju negativna.
Ali je li derivacija jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. Doista, visina se uopće ne mijenja. Dakle s derivacijom: derivacija konstantne funkcije (konstante) jednaka je nuli:
budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koji.
Uzmimo primjer s vrha brda. Ispostavilo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:
Ali veliki segmenti znak su netočnog mjerenja. Podići ćemo naš segment gore paralelno sa samim sobom, tada će se njegova duljina smanjiti.
Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrhu, duljina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osi, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle izvedenica
To se može shvatiti na sljedeći način: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.
Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo već ranije ustanovili, kada funkcija raste, izvod je pozitivan, a kada opada negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (jer cesta nigdje ne mijenja oštro nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. Bit će tamo gdje funkcija niti raste niti opada - u točki vrha.
Isto vrijedi i za dolinu (područje gdje funkcija opada s lijeve strane, a raste s desne):
Još malo o inkrementima.
Dakle, mijenjamo argument u vrijednost. Od koje vrijednosti mijenjamo? Što je on (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.
Promotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isto povećanje: povećavamo koordinatu za. Koji je sad argument? Vrlo jednostavno: . Kolika je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je i dalje iznos za koji se funkcija promijenila:
Vježbajte pronalaženje povećanja:
- Pronađite prirast funkcije u točki s prirastom argumenta jednakim.
- Isto za funkciju u točki.
rješenja:
U različite točke s istim prirastom argumenta, prirast funkcije bit će drugačiji. To znači da izvodnica u svakoj točki ima svoju vlastitu (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina ceste na različitim točkama je različita). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo navesti u kojoj točki:
Funkcija snage.
Funkcijom snage naziva se funkcija čiji je argument do neke mjere (logičan, zar ne?).
I – u bilo kojoj mjeri: .
Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:
Nađimo njegovu derivaciju u točki. Zapamtite definiciju derivata:
Dakle, argument se mijenja iz u. Što je prirast funkcije?
Prirast je. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Zato:
Derivat je:
Derivat od je:
b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .
Prisjetimo se sada toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je beskonačno mala, pa stoga beznačajna u odnosu na drugi član:
Dakle, imamo još jedno pravilo:
c) Nastavljamo logički niz: .
Ovaj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu pomoću formule za skraćeno množenje kuba zbroja ili rastaviti cijeli izraz na faktore pomoću formule za razliku kubova. Pokušajte to učiniti sami na neki od predloženih načina.
Dakle, dobio sam sljedeće:
I sjetimo se toga još jednom. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:
Dobivamo: .
d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:
e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za potencnu funkciju s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:
| (2) |
Pravilo možete formulirati riječima: "stupanj se pomiče naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za".
To ćemo pravilo dokazati kasnije (gotovo na samom kraju). Sada pogledajmo nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:
- (na dva načina: formulom i pomoću definicije izvoda - računanjem prirasta funkcije);
- . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija moći. Ako imate pitanja poput „Kako je? A gdje je diploma? ”, Zapamtite temu„ ”!
Da, da, korijen je također stupanj, samo razlomak:.
Dakle naš Korijen je samo stupanj s eksponentom:
.
Tražimo izvedenicu koristeći nedavno naučenu formulu:Ako u ovom trenutku opet postane nejasno, ponovite temu "" !!! (o diplomi s negativnim pokazateljem)
- . Sada eksponent:
A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
;
.
Sada, kao i obično, zanemarujemo termin koji sadrži:
. - . Kombinacija prethodnih slučajeva: .
trigonometrijske funkcije.
Ovdje ćemo se poslužiti jednom činjenicom iz više matematike:
Kada izraz.
Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo došli, morate dobro položiti ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:
Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je probušena. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža. To je sama "težnja".
Dodatno, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne sramite se, uzmite kalkulator, nismo još na ispitu.
Pa pokušajmo: ;
Ne zaboravite prebaciti kalkulator u radijanski način rada!
itd. Vidimo da što je manji bliže značenje odnos prema.
a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, nalazimo njegov prirast:
Pretvorimo razliku sinusa u produkt. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu ""):.
Sada izvedenica:
Napravimo zamjenu: . Tada je za beskonačno malo također beskonačno malo: . Izraz za ima oblik:
I sada se toga sjećamo izrazom. I također, što ako se beskonačno mala vrijednost može zanemariti u zbroju (tj. at).
Tako dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinusu:
To su osnovne (“tablične”) izvedenice. Evo ih na jednom popisu:
Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovi su najvažniji jer se najčešće koriste.
Praksa:
- Naći derivaciju funkcije u točki;
- Pronađite izvod funkcije.
rješenja:
- Prvo nalazimo izvedenicu u opći pogled, a zatim ga zamijenite njegovom vrijednošću:
;
. - Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je osvijestiti
normalan pogled:
.
U redu, sada možete koristiti formulu:
.
. - . Eeeeeee….. Što je????
Dobro, u pravu ste, još uvijek ne znamo pronaći takve izvedenice. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:
Eksponent i prirodni logaritam.
U matematici postoji takva funkcija, čija je derivacija za bilo koju jednaka vrijednosti same funkcije za istu. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija
Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačni decimalni razlomak, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Naziva se "Eulerovim brojem", zbog čega se označava slovom.
Dakle, pravilo je:
Vrlo je lako zapamtiti.
Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzna eksponencijalna funkcija? Logaritam:
U našem slučaju baza je broj:
Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.
Čemu je jednako? Naravno, .
Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:
Primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Izlagač i prirodni logaritam- funkcije su jedinstveno jednostavne u smislu izvoda. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.
Pravila razlikovanja
Koja pravila? Opet novi mandat?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.
Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta se uzima iz predznaka izvoda.
Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.
Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka, ili lakše.
Primjeri.
Pronađite izvode funkcija:
- u točki;
- u točki;
- u točki;
- u točki.
rješenja:
- (izvodnica je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, zapamtiti?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin inkrement:
izvedenica:
Primjeri:
- Naći izvode funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u točki.
rješenja:
Derivacija eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).
Pa gdje je neki broj.
Već znamo izvedenicu funkcije, pa pokušajmo dovesti našu funkciju na novu bazu:
Za ovo koristimo jednostavno pravilo: . Zatim:
Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Dogodilo se?
Evo, provjerite sami:
Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kako je bilo, tako i ostaje, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.
Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne postoji način da se zapiše na više jednostavna forma. Stoga je u odgovoru ostavljen u ovom obliku.
Derivacija logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:
Stoga, za pronalaženje proizvoljnog iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :
Moramo dovesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Samo što ćemo sada umjesto napisati:
Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:
Izvodnice eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikad ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.
Derivacija složene funkcije.
Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "kompleksno" ne znači "teško".
Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi ga veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti suprotne korake obrnutim redoslijedom.
Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati dobiveni broj. Dakle, oni nam daju broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda ti kvadriraš ono što sam ja dobio (vežeš vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.
Možemo učiniti iste radnje obrnutim redoslijedom: prvo kvadrirate, a zatim tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složene funkcije: kada promijenite redoslijed radnji, funkcija se mijenja.
Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za prvi primjer,.
Drugi primjer: (isto). .
Pozvat će se zadnja akcija koju napravimo "vanjsku" funkciju, a prva izvršena radnja - respektivno "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:
odgovori: Razdvajanje unutarnje i vanjske funkcije vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kub. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.
E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za izvorni primjer to izgleda ovako:
Još jedan primjer:
Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
Čini se da je sve jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interno: ;
Vanjski: ;
2) Interno: ;
(samo nemojte pokušavati reducirati do sada! Ništa nije izvađeno ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interno: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da se ovdje radi o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.
U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Korijen. .
3. Sinus. .
4. Trg. .
5. Sve zajedno:
DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM
Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s infinitezimalnim prirastom argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila razlikovanja:
Konstanta se uzima iz predznaka izvoda:
Derivacija zbroja:
Izvedeni proizvod:
Derivacija kvocijenta:
Derivacija složene funkcije:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
- Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njen izvod.
- Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge točke.
Datum: 20.11.2014
Što je derivat?
Tablica izvedenica.
Derivacija je jedan od glavnih pojmova više matematike. U ovoj lekciji predstavit ćemo ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokazivanja.
Ovaj uvod će vam omogućiti da:
Razumjeti bit jednostavnih zadataka s izvedenicom;
Ove većinu uspješno riješite teške zadatke;
Pripremite se za ozbiljnije lekcije o derivatima.
Prvo, ugodno iznenađenje.
Stroga definicija derivacije temelji se na teoriji limita, a stvar je prilično komplicirana. To je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!
Za uspješno rješavanje većine zadataka u školi i na fakultetu dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- riješiti to. I to je to. Ovo me čini sretnim.
Hoćemo li se upoznati?)
Termini i oznake.
U elementarnoj matematici ima mnogo matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam, itd. Ako se tim operacijama doda još jedna, elementarna matematika postaje viša. Ovaj nova operacija nazvao diferencijacija. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u posebnim lekcijama.
Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija samo matematička operacija na funkciji. Uzimamo bilo koju funkciju i transformiramo je prema određenim pravilima. Rezultat će biti nova značajka. Ova nova funkcija se zove: izvedenica.
Diferencijacija- djelovanje na funkciju.
Izvedenica je rezultat ove radnje.
Baš kao npr. iznos je rezultat zbrajanja. Ili privatna je rezultat podjele.
Poznavajući uvjete, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacija je sljedeća: pronaći derivaciju funkcije; uzeti izvedenicu; razlikovati funkciju; izračunati izvedenicu i tako dalje. Ovo je sve isti. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferenciranje) biti samo jedan od koraka u rješavanju zadatka.
Derivacija je označena crticom gore desno iznad funkcije. Kao ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.
čitati y potez, ef potez od x, es potez od te, pa kužiš...)
Prim također može označavati derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivacija označava pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takav zapis u ovoj lekciji.
Pretpostavimo da smo naučili razumjeti zadatke. Ne preostaje ništa – naučiti ih rješavati.) Da vas još jednom podsjetim: pronalaženje izvodnice je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Tih je pravila iznenađujuće malo.
Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stupa na kojima počiva svaka diferencijacija. Evo tri kita:
1. Tablica izvodnica (formule diferenciranja).
3. Derivacija složene funkcije.
Krenimo redom. U ovoj lekciji ćemo razmotriti tablicu izvedenica.
Tablica izvedenica.
Svijet ima beskonačan broj funkcija. Među ovim skupom postoje funkcije koje su najvažnije za praktična aplikacija. Ove funkcije nalaze se u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija zove se elementarne funkcije. Upravo se te funkcije proučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.
Diferencijacija funkcija "od nule", tj. na temelju definicije derivacije i teorije limita – prilično dugotrajna stvar. A i matematičari su ljudi, da, da!) Pa su si pojednostavili život (i nama). Oni su prije nas izračunavali izvode elementarnih funkcija. Rezultat je tablica izvedenica, gdje je sve spremno.)
Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Lijevo - elementarna funkcija, desno - njezin izvod.
| Funkcija g |
Derivacija funkcije y y" |
|
| 1 | C (konstanta) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n je bilo koji broj) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | grijeh x | (sinx)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Preporučujem da obratite pozornost na treću skupinu funkcija u ovoj tablici izvedenica. Derivacija potencije jedna je od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Je li savjet jasan?) Da, poželjno je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tablica će biti zapamćena!)
Pronalaženje tablične vrijednosti derivata, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u formulaciji zadatka, ili u izvornoj funkciji, koja se ne čini u tablici ...
Pogledajmo nekoliko primjera:
1. Odredite izvod funkcije y = x 3
U tablici nema te funkcije. Ali postoji opća derivacija funkcije snage (treća skupina). U našem slučaju je n=3. Stoga zamijenimo trostruku umjesto n i pažljivo zapišemo rezultat:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je sve.
Odgovor: y" = 3x 2
2. Odredite vrijednost derivacije funkcije y = sinx u točki x = 0.
Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći izvod sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 ovoj istoj izvedenici. Tim je redom! Inače se događa da odmah zamene nulu u izvornu funkciju ... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost izvorne funkcije, već vrijednost njegova izvedenica. Izvedenica je, podsjetit ću, već nova funkcija.
Na ploči nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:
y" = (sinx)" = cosx
Zamijenite nulu u izvod:
y"(0) = cos 0 = 1
Ovo će biti odgovor.
3. Razlikujte funkciju:
Što inspirira?) Takve funkcije nema ni blizu u tablici izvedenica.
Dopustite mi da vas podsjetim da diferencirati funkciju znači jednostavno pronaći izvod te funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, pronalaženje derivacije naše funkcije prilično je problematično. Stol ne pomaže...
Ali ako vidimo da je naša funkcija kosinus dvostrukog kuta, tada sve odmah postaje bolje!
Da da! Zapamtite da je transformacija izvorne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I događa se da život bude puno lakši. Prema formuli za kosinus dvostrukog kuta:
Oni. naša lukava funkcija nije ništa drugo nego y = kormilar. A ovo je funkcija tablice. Odmah dobivamo:
Odgovor: y" = - sin x.
Primjer za napredne maturante i studente:
4. Pronađite izvod funkcije:
U tablici izvedenica te funkcije, naravno, nema. Ali ako se sjećate elementarne matematike, radnji s ovlastima... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Kao ovo:
A x na potenciju jedne desetine je već tablična funkcija! Treća skupina, n=1/10. Izravno prema formuli i napišite:
To je sve. Ovo će biti odgovor.
Nadam se da je s prvim kitom diferencijacije - tablicom izvedenica - sve jasno. Ostaje se pozabaviti s dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila razlikovanja.
