Kako napisati jednadžbu harmonijskih oscilacija. Harmonijske oscilacije i njihove karakteristike

Najjednostavniji tip vibracija su harmonijske vibracije- fluktuacije kod kojih se pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja mijenja tijekom vremena prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Dakle, s ravnomjernom rotacijom lopte po obodu, njezina projekcija (sjena u paralelnim zrakama svjetlosti) izvodi harmonično oscilatorno gibanje na okomitom ekranu (slika 1).

Pomak iz ravnotežnog položaja tijekom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematički zakon harmonijskog gibanja) oblika:

gdje je x - pomak - vrijednost koja karakterizira položaj oscilirajuće točke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjerena udaljenošću od ravnotežnog položaja do položaja točke u određenom trenutku; A - amplituda oscilacija - najveći pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T - oscillation period - vrijeme jednog potpunog titraja; oni. najmanji vremenski period nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; - početna faza;

Faza titranja u trenutku t. Faza titranja je argument periodičke funkcije, koji za zadanu amplitudu titranja određuje stanje oscilatornog sustava (pomak, brzinu, ubrzanje) tijela u bilo kojem trenutku.

Ako je u početnom trenutku oscilirajuća točka maksimalno pomaknuta iz ravnotežnog položaja, tada se , a pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Ako je oscilirajuća točka na u položaju stabilne ravnoteže, tada se pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Vrijednost V, recipročna vrijednost perioda i jednaka broju potpunih oscilacija izvedenih u 1 s, naziva se frekvencija oscilacija:

Ako za vrijeme t tijelo napravi N potpunih oscilacija, tada

vrijednost , koji pokazuje koliko oscilacija tijelo napravi u s, zove se ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog gibanja može se napisati kao:

Grafički se ovisnost pomaka oscilirajuće točke o vremenu prikazuje kosinusom (ili sinusoidom).

Slika 2, a prikazuje vremensku ovisnost pomaka oscilirajuće točke od ravnotežnog položaja za slučaj .

Otkrijmo kako se brzina oscilirajuće točke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremensku derivaciju ovog izraza:

gdje je amplituda projekcije brzine na x-osu.

Ova formula pokazuje da se tijekom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na os x također mijenja prema harmonijskom zakonu s istom frekvencijom, s različitom amplitudom, te je ispred faze miješanja za (slika 2, b) .

Da bismo saznali ovisnost o ubrzanju, nalazimo vremenski izvod projekcije brzine:

gdje je amplituda projekcije ubrzanja na x-osu.

Za harmonijske oscilacije, projekcija ubrzanja je ispred pomaka u fazi za k (slika 2, c).

Slično, možete izgraditi grafikone ovisnosti

Harmonijska valna jednadžba

Harmonijska jednadžba titranja utvrđuje ovisnost koordinate tijela o vremenu

Kosinusni graf ima najveću vrijednost u početnom trenutku, a sinusni graf ima nultu vrijednost u početnom trenutku. Ako počnemo istraživati ​​titranje iz položaja ravnoteže, tada će titranje ponoviti sinusoidu. Ako počnemo razmatrati oscilaciju od položaja najvećeg odstupanja, tada će oscilacija opisati kosinus. Ili se takva oscilacija može opisati formulom sinusa s početnom fazom.

Promjena brzine i ubrzanja tijekom harmonijskog titranja

Ne samo da se koordinata tijela mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa. Ali takve veličine kao što su sila, brzina i ubrzanje također se mijenjaju na sličan način. Sila i akceleracija su najveći kada se tijelo koje oscilira nalazi u krajnjim položajima u kojima je pomak najveći, a jednaki su nuli kada tijelo prolazi kroz položaj ravnoteže. Brzina je, naprotiv, u krajnjim položajima jednaka nuli, a kada tijelo prođe ravnotežni položaj, dostiže najveću vrijednost.

Ako se titranje opisuje prema kosinusnom zakonu

Ako se titranje opisuje prema sinusnom zakonu

Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Nakon analize jednadžbi ovisnosti v(t) i a(t), može se pretpostaviti da se maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja uzimaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom

Mehaničke vibracije. Parametri oscilacija. Harmonijske vibracije.

oklijevanje Proces se naziva točno ili približno ponavljanje u određenim intervalima.

Značajka oscilacija je obvezna prisutnost stabilnog ravnotežnog položaja na putanji, u kojem je zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, naziva se ravnotežni položaj.

Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na tanku, bestežinsku i nerastezljivu nit.

Parametri oscilatornog gibanja.

1. Odmak ili koordinata (x) - odstupanje od ravnotežnog položaja u datom

trenutak vremena.	[x ]=m

2. Amplituda ( xm) je maksimalno odstupanje od ravnotežnog položaja.

[ x m ]=m

3. Period oscilacije ( T) je vrijeme potrebno za jednu potpunu oscilaciju.

[T ]=c.

0 "style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Matematičko njihalo

Opružno njihalo

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src="> Frekvencija (linearna) ( n ) – broj potpunih oscilacija u 1 s.

[n]= Hz

5. Ciklička frekvencija ( w ) – broj potpunih oscilacija u 2p sekundi, tj. približno 6,28 s.

w = 2pn ; [w]=0" style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Sjena na ekranu varira.

Jednadžba i graf harmonijskih oscilacija.

Harmonijske vibracije - to su oscilacije kod kojih se koordinata mijenja tijekom vremena po zakonu sinusa ili kosinusa.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src="> x=xmgrijeh(š t+ j 0 )

x=xmcos(š t+ j 0 )

x - koordinata,

Xm je amplituda oscilacija,

w je ciklička frekvencija,

wt+j 0 = j je faza titranja,

j 0 je početna faza oscilacija.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Grafikoni su različiti samo amplituda

Grafikoni se razlikuju samo po periodu (učestalosti)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Ako se amplituda oscilacija ne mijenja tijekom vremena, oscilacije se nazivaju neovlažen.

Prirodne vibracije ne uzimaju u obzir trenje, ukupna mehanička energija sustava ostaje konstantna: E na + E n = E krzno = konst.

Prirodne oscilacije su neprigušene.

Kod prisilnih oscilacija, energija koja se kontinuirano ili povremeno dovodi iz vanjskog izvora kompenzira gubitke koji nastaju zbog rada sile trenja, a oscilacije mogu biti neprigušene.

Kinetička i potencijalna energija tijela tijekom vibracija prelaze jedna u drugu. Kada je otklon sustava od ravnotežnog položaja najveći, potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija jednaka je nuli. Pri prolasku kroz ravnotežni položaj, obrnuto.

Frekvencija slobodnih oscilacija određena je parametrima oscilatornog sustava.

Frekvencija prisilnih oscilacija određena je frekvencijom vanjske sile. Amplituda prisilnih oscilacija također ovisi o vanjskoj sili.

Resonan c

Rezonancija naziva se nagli porast amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija djelovanja vanjske sile podudara s frekvencijom vlastitih oscilacija sustava.

Kada se frekvencija w promjene sile poklapa s vlastitom frekvencijom w0 oscilacija sustava, sila tijekom cijelog perioda vrši pozitivan rad, povećavajući amplitudu titranja tijela. Na bilo kojoj drugoj frekvenciji, tijekom jednog dijela perioda sila radi pozitivan, a tijekom drugog dijela perioda negativan rad.

Kod rezonancije povećanje amplitude oscilacija može dovesti do uništenja sustava.

Godine 1905. pod kopitima eskadrona gardijske konjice srušio se egipatski most preko rijeke Fontanke u St.

Samooscilacije.

Vlastitim oscilacijama nazivamo neprigušene oscilacije u sustavu, podržane unutarnjim izvorima energije bez promjene vanjske sile.

Za razliku od prisilnih oscilacija, frekvencija i amplituda vlastitih oscilacija određene su svojstvima samog oscilatornog sustava.

Autooscilacije se razlikuju od slobodnih po neovisnosti amplitude o vremenu i o početnom kratkotrajnom udaru koji pobuđuje proces titranja. Samooscilirajući sustav obično se može podijeliti na tri elementa:

1) oscilatorni sustav;

2) izvor energije;

3) uređaj s povratnom spregom koji regulira protok energije iz izvora u oscilatorni sustav.

Energija koja dolazi iz izvora tijekom razdoblja jednaka je energiji izgubljenoj u oscilatornom sustavu tijekom istog vremena.

Razmatrali smo nekoliko fizički potpuno različitih sustava i uvjerili se da se jednadžbe gibanja svedu na isti oblik

Razlike između fizikalnih sustava očituju se samo u različitim definicijama količine a u različitom fizičkom smislu varijable x: to može biti koordinata, kut, naboj, struja itd. Uočimo da u ovom slučaju, kao što proizlazi iz same strukture jednadžbe (1.18), veličina uvijek ima dimenziju inverznog vremena.

Jednadžba (1.18) opisuje tzv harmonijske vibracije.

Jednadžba harmonijskih oscilacija (1.18) je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda (budući da sadrži drugu derivaciju varijable x). Linearnost jednadžbe znači da

ako ikakva funkcija x(t) je rješenje ove jednadžbe, zatim funkcija Cx(t) također će biti njegovo rješenje ( C je proizvoljna konstanta);

ako funkcije x 1 (t) I x 2 (t) su rješenja ove jednadžbe, zatim njihov zbroj x 1 (t) + x 2 (t) također će biti rješenje iste jednadžbe.

Također je dokazan matematički teorem prema kojem jednadžba drugog reda ima dva neovisna rješenja. Sva ostala rješenja, prema svojstvima linearnosti, mogu se dobiti kao njihove linearne kombinacije. Lako je izravnim diferenciranjem provjeriti da nezavisne funkcije i zadovoljavaju jednadžbu (1.18). Dakle, opće rješenje ove jednadžbe je:

Gdje C1,C2 su proizvoljne konstante. Ovo se rješenje može prikazati iu drugom obliku. Predstavljamo količinu

i definirajte kut kao:

Tada se opće rješenje (1.19) piše kao

Prema trigonometrijskim formulama, izraz u zagradi je

Napokon stižemo do opće rješenje jednadžbe harmonijskih oscilacija kao:

Nenegativna vrijednost A nazvao amplituda oscilacija, - početna faza titranja. Poziva se cijeli argument kosinusa - kombinacija faza oscilacije.

Izrazi (1.19) i (1.23) savršeno su ekvivalentni, pa zbog jednostavnosti možemo koristiti bilo koji od njih. Oba rješenja su periodične funkcije vremena. Doista, sinus i kosinus su periodični s periodom . Stoga se različita stanja sustava koji izvodi harmonijske oscilacije ponavljaju nakon određenog vremena t*, za koju faza oscilacije dobiva prirast koji je višekratnik :

Otuda slijedi da

Najmanje od ovih vremena

nazvao period oscilacije (Sl. 1.8), a - njegov kružni (ciklički) frekvencija.

Riža. 1.8.

Oni također koriste frekvencija oklijevanje

Prema tome, kružna frekvencija jednaka je broju oscilacija po sekundi.

Dakle, ako sustav na vrijeme t karakterizira vrijednost varijable x(t), tada će istu vrijednost varijabla imati nakon određenog vremena (sl. 1.9), tj.

Ista vrijednost će se, naravno, nakon nekog vremena ponoviti. 2T, ZT itd.

Riža. 1.9. Period oscilacije

Opće rješenje uključuje dvije proizvoljne konstante ( C 1 , C 2 ili A, a), čije vrijednosti treba odrediti s dva početni uvjeti. Obično (iako ne nužno) njihovu ulogu igraju početne vrijednosti varijable x(0) i njegova izvedenica.

Uzmimo primjer. Neka rješenje (1.19) jednadžbe harmonijskih oscilacija opisuje gibanje opružnog njihala. Vrijednosti proizvoljnih konstanti ovise o načinu na koji smo visak izveli iz ravnoteže. Na primjer, izvukli smo oprugu na daljinu i pustio loptu bez početne brzine. U ovom slučaju

Zamjena t = 0 u (1.19) nalazimo vrijednost konstante od 2

Rješenje dakle izgleda ovako:

Brzina tereta nalazi se diferenciranjem s obzirom na vrijeme

Zamjena ovdje t = 0, pronađite konstantu od 1:

Konačno

Uspoređujući s (1.23), nalazimo da je amplituda titranja, a njegova početna faza jednaka je nuli: .

Izvodimo sada visak iz ravnoteže na drugi način. Udarimo teret, tako da dobije početnu brzinu, ali se praktički ne pomiče tijekom udara. Zatim imamo druge početne uvjete:

naše rješenje izgleda

Brzina tereta će se mijenjati prema zakonu:

Stavimo to ovdje:

Teme kodifikatora USE: harmonijske oscilacije; amplituda, period, frekvencija, faza oscilacija; slobodne vibracije, prisilne vibracije, rezonancija.

fluktuacije su promjene u stanju sustava koje se ponavljaju tijekom vremena. Pojam oscilacija pokriva vrlo širok raspon pojava.

Vibracije mehaničkih sustava, odn mehaničke vibracije- to je mehaničko kretanje tijela ili sustava tijela, koje ima ponovljivost u vremenu i događa se u blizini položaja ravnoteže. ravnotežni položaj To je stanje sustava u kojem može ostati proizvoljno dugo vremena bez vanjskih utjecaja.

Na primjer, ako se visak skrene i otpusti, tada će početi oscilacije. Položaj ravnoteže je položaj njihala bez otklona. U tom položaju visak, ako se ne dira, može ostati neograničeno dugo. Kada njihalo oscilira, više puta prolazi ravnotežni položaj.

Odmah nakon otpuštanja otklonjeno njihalo se počelo gibati, prošlo ravnotežni položaj, došlo do suprotnog krajnjeg položaja, u njemu se na trenutak zaustavilo, pomaknulo u suprotnom smjeru, ponovno prošlo ravnotežni položaj i vratilo se natrag. Jedna stvar se dogodila puni zamah. Ovaj proces će se zatim povremeno ponavljati.

Amplituda oscilacija tijela je veličina njegovog najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja.

Period oscilacije je vrijeme za jednu potpunu oscilaciju. Možemo reći da za period tijelo prijeđe put od četiri amplitude.

Frekvencija osciliranja je recipročna vrijednost perioda: . Frekvencija se mjeri u hercima (Hz) i pokazuje koliko se potpunih oscilacija dogodi u jednoj sekundi.

Harmonijske vibracije.

Pretpostavit ćemo da je položaj tijela koje oscilira određen jednom koordinatom. Vrijednost odgovara ravnotežnom položaju. Glavni zadatak mehanike u ovom slučaju je pronaći funkciju koja daje koordinatu tijela u bilo kojem trenutku.

Za matematički opis oscilacija prirodno je koristiti periodične funkcije. Postoji mnogo takvih funkcija, ali dvije od njih - sinus i kosinus - su najvažnije. Imaju mnoga dobra svojstva i usko su povezani sa širokim spektrom fizikalnih pojava.

Budući da se funkcije sinus i kosinus dobivaju jedna iz druge pomakom argumenta za , možemo se ograničiti samo na jednu od njih. Radi određenosti koristit ćemo kosinus.

Harmonijske vibracije su oscilacije kod kojih koordinata ovisi o vremenu prema harmonijskom zakonu:

(1)

Otkrijmo značenje količina uključenih u ovu formulu.

Pozitivna vrijednost je najveća vrijednost koordinate u apsolutnoj vrijednosti (jer je najveća vrijednost kosinusnog modula jednaka jedinici), odnosno najveće odstupanje od ravnotežnog položaja. Prema tome – amplituda oscilacija.

Poziva se argument kosinusa faza fluktuacije. Vrijednost jednaka vrijednosti faze pri naziva se početna faza. Početna faza odgovara početnoj koordinati tijela: .

Vrijednost se zove ciklička frekvencija. Pronađimo njegovu vezu s periodom i frekvencijom titranja. Jedna potpuna oscilacija odgovara faznom prirastu jednakom radijanima: , odakle

(2)

(3)

Ciklička frekvencija se mjeri u rad/s (radijanima u sekundi).

Sukladno izrazima (2) i (3) dobivamo još dva oblika zapisa harmonijskog zakona (1):

Graf funkcije (1), koji izražava ovisnost koordinate o vremenu tijekom harmonijskih oscilacija, prikazan je na sl. 1 .

Harmonijski zakon oblika (1) je najopćenitije prirode. Odgovara, na primjer, na situaciju kada su dvije početne radnje izvršene istovremeno s njihalom: otklonile su ga za određeni iznos i dale mu neku početnu brzinu. Postoje dva važna posebna slučaja u kojima jedna od ovih radnji nije izvršena.

Neka je njihalo odbačeno, ali početna brzina nije prijavljena (pušteni su bez početne brzine). Jasno je da u ovom slučaju, tako da možemo staviti. Dobivamo zakon kosinusa:

Graf harmonijskih oscilacija u ovom slučaju prikazan je na sl. 2.

Riža. 2. Zakon kosinusa

Pretpostavimo sada da njihalo nije otklonjeno, nego mu je početna brzina dodijeljena iz ravnotežnog položaja udarcem. U ovom slučaju, tako da možete staviti. Dobivamo sinusni zakon:

Raspored fluktuacija prikazan je na sl. 3 .

Riža. 3. Zakon sinusa

Jednadžba harmonijskih oscilacija.

Vratimo se na opći harmonijski zakon (1) . Razlikujmo ovu jednadžbu:

. (4)

Sada diferenciramo dobivenu jednakost (4) :

. (5)

Usporedimo izraz (1) za koordinatu i izraz (5) za projekciju ubrzanja. Vidimo da se projekcija ubrzanja razlikuje od koordinate samo za faktor:

. (6)

Taj se omjer naziva jednadžba harmonijskih oscilacija. Također se može prepisati u ovom obliku:

. (7)

S matematičkog gledišta, jednadžba (7) je diferencijalna jednadžba. Rješenja diferencijalnih jednadžbi su funkcije (a ne brojevi, kao u običnoj algebri).
Dakle, možemo dokazati da:

Rješenje jednadžbe (7) je bilo koja funkcija oblika (1) s proizvoljnim ;

Nijedna druga funkcija nije rješenje ove jednadžbe.

Drugim riječima, relacije (6) , (7) opisuju harmonijske oscilacije s cikličkom frekvencijom i samo one. Iz početnih uvjeta određene su dvije konstante - početnim vrijednostima koordinate i brzine.

Opružno njihalo.

Opružno njihalo je teret fiksiran na oprugu, koji može oscilirati u vodoravnom ili okomitom smjeru.

Nađimo period malih horizontalnih oscilacija opružnog njihala (slika 4). Oscilacije će biti male ako je veličina deformacije opruge mnogo manja od njezinih dimenzija. Za male deformacije možemo koristiti Hookeov zakon. To će uzrokovati da oscilacije budu harmonične.

Zanemarujemo trenje. Masa ima masu, a konstanta opruge je .

Koordinata odgovara ravnotežnom položaju u kojem opruga nije deformirana. Stoga je veličina deformacije opruge jednaka modulu koordinate opterećenja.

Riža. 4. Opružno njihalo

U horizontalnom smjeru na teret djeluje samo elastična sila iz opruge. Drugi Newtonov zakon za opterećenje u projekciji na os je:

. (8)

Ako je (teret pomaknut udesno, kao na slici), tada je elastična sila usmjerena u suprotnom smjeru, a . Obrnuto, ako je , tada . Predznaci i su cijelo vrijeme suprotni, pa se Hookeov zakon može napisati na sljedeći način:

Tada relacija (8) ima oblik:

Dobili smo jednadžbu harmonijskih oscilacija oblika (6) u kojoj

Ciklička frekvencija titranja opružnog njihala je dakle jednaka:

. (9)

Odavde i iz omjera nalazimo period horizontalnih oscilacija opružnog njihala:

. (10)

Ako na oprugu objesite uteg, dobit ćete opružno njihalo koje oscilira u okomitom smjeru. Može se pokazati da u ovom slučaju formula (10) vrijedi i za period oscilacije.

Matematičko njihalo.

Matematičko njihalo - ovo je malo tijelo obješeno na bestežinsku neprotezljivu nit (slika 5). Matematičko njihalo može oscilirati u okomitoj ravnini u polju sile teže.

Riža. 5. Matematičko njihalo

Nađimo period malih oscilacija matematičkog njihala. Duljina niti je. Otpor zraka se zanemaruje.

Zapišimo drugi Newtonov zakon za njihalo:

i projiciramo ga na os:

Ako klatno zauzima položaj kao na slici (tj.), tada je:

Ako je njihalo s druge strane ravnotežnog položaja (tj.), tada:

Dakle, za bilo koji položaj njihala imamo:

. (11)

Kada njihalo miruje u ravnotežnom položaju, jednakost je ispunjena. Za male oscilacije, kada su odstupanja njihala od ravnotežnog položaja mala (u usporedbi s duljinom niti), približna jednakost je ispunjena. Iskoristimo ga u formuli (11):

To je jednadžba harmonijskih oscilacija oblika (6) u kojoj

Stoga je ciklička frekvencija titranja matematičkog njihala jednaka:

. (12)

Otuda period titranja matematičkog njihala:

. (13)

Imajte na umu da formula (13) ne uključuje masu tereta. Za razliku od opružnog njihala, period titranja matematičkog njihala ne ovisi o njegovoj masi.

Slobodne i prisilne vibracije.

Za sustav se kaže da slobodnih vibracija, ako se jednom izvede iz ravnotežnog položaja i naknadno prepusti samome sebi. Nema periodičnih vanjskih
Istovremeno, sustav ne doživljava nikakve udare i nema unutarnjih izvora energije koji podržavaju oscilacije u sustavu.

Gore razmotrene oscilacije opruge i matematičkog njihala primjeri su slobodnih oscilacija.

Frekvencija na kojoj se javljaju slobodne vibracije naziva se prirodna frekvencija oscilatorni sustav. Dakle, formule (9) i (12) daju prirodne (cikličke) frekvencije oscilacija opružnog i matematičkog njihala.

U idealiziranoj situaciji u kojoj nema trenja, slobodne oscilacije su neprigušene, tj. imaju konstantnu amplitudu i traju neograničeno. U realnim oscilatornim sustavima trenje je uvijek prisutno, pa slobodne oscilacije postupno guše (slika 6).

Prisilne vibracije- to su oscilacije koje stvara sustav pod utjecajem vanjske sile, koja se povremeno mijenja u vremenu (tzv. pogonska sila).

Pretpostavimo da je vlastita frekvencija titranja sustava , a pogonska sila ovisi o vremenu prema harmonijskom zakonu:

Neko vrijeme uspostavljaju se prisilne oscilacije: sustav izvodi složeno gibanje, koje je superpozicija prisilnih i slobodnih oscilacija. Slobodne oscilacije postupno guše, au stacionarnom stanju sustav izvodi prisilne oscilacije, koje se također pokazuju harmonijskim. Frekvencija ravnomjernih prisilnih oscilacija podudara se s frekvencijom
pokretačka sila (vanjska sila, takoreći, nameće svoju frekvenciju sustavu).

Amplituda stacionarnih prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile. Grafikon ove ovisnosti prikazan je na sl. 7.

Riža. 7. Rezonancija

Vidimo da se u blizini frekvencije javlja rezonancija – pojava porasta amplitude prisilnih oscilacija. Rezonantna frekvencija približno je jednaka vlastitoj frekvenciji titranja sustava: , a ta je jednakost to točnija što je trenje u sustavu manje. U nedostatku trenja, rezonantna frekvencija koincidira s vlastitom frekvencijom titranja, , a amplituda titranja raste do beskonačnosti pri .