Rješavanje jednadžbi s x-ovima. Kalkulator iracionalnih jednadžbi online

riješiti matematiku. Pronađite brzo rješenje matematičke jednadžbe u načinu rada na liniji. Web stranica www.site dopušta riješiti jednadžbu gotovo svaki dan algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna jednadžba online. Kada proučavate gotovo bilo koji odjeljak matematike u različitim fazama, morate odlučiti jednadžbe online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije točan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućuje. Zahvaljujući www.site rješavati jednadžbe online trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site pri rješavanju matematičkih jednadžbe online- je brzina i točnost izdanog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koji algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, transcendentalne jednadžbe online, i jednadžbe s nepoznatim parametrima u načinu rada na liniji. Jednadžbe služe kao snažan matematički aparat rješenja praktičnih zadataka. Uz pomoć matematičke jednadžbe moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu djelovati zbunjujuće i složeno. nepoznate količine jednadžbe može se pronaći formuliranjem problema u matematički jezik u obliku jednadžbe I odlučiti primljeni zadatak u načinu na liniji na web stranici www.site. Bilo koje algebarska jednadžba, trigonometrijska jednadžba ili jednadžbe koji sadrži transcendentalno značajke vam lako odlučiti online i dobiti pravi odgovor. Proučavajući prirodne znanosti, neizbježno se susreće potreba rješavanje jednadžbi. U tom slučaju odgovor mora biti točan i mora se primiti odmah u načinu rada na liniji. Stoga, za rješavanje matematičkih jednadžbi online preporučamo stranicu www.site koja će postati vaš nezaobilazan kalkulator za rješavanje algebarskih jednadžbi online, trigonometrijske jednadžbe online, i transcendentalne jednadžbe online ili jednadžbe s nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja korijena raznih matematičke jednadžbe resurs www.. Rješavanje jednadžbe online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor pomoću online rješavanje jednadžbi na web stranici www.site. Potrebno je napisati jednadžbu ispravno i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo usporediti odgovor sa svojim rješenjem jednadžbe. Provjera odgovora neće trajati više od minute, dovoljno riješite jednadžbu online i usporediti odgovore. To će vam pomoći da izbjegnete pogreške u odluka i ispravite odgovor na vrijeme online rješavanje jednadžbi ili algebarski, trigonometrijski, transcendentan ili jednadžba s nepoznatim parametrima.

Dodjela usluge. Matrični kalkulator namijenjen je rješavanju sustava linearnih jednadžbi na matrični način (pogledajte primjer rješavanja sličnih problema).

Uputa. Za online rješenje morate odabrati vrstu jednadžbe i postaviti dimenziju odgovarajućih matrica. gdje su A, B, C zadane matrice, X je željena matrica. Matrične jednadžbe oblika (1), (2) i (3) rješavaju se preko inverzne matrice A -1 . Ako je dan izraz A X - B = C, tada je potrebno prvo zbrojiti matrice C + B i pronaći rješenje za izraz A X = D , gdje je D = C + B . Ako je dan izraz A*X = B 2, tada se matrica B mora prvo kvadrirati.

Također je preporučljivo upoznati se s osnovnim operacijama na matricama.

Primjer #1. Vježbajte. Pronađite rješenje matrične jednadžbe
Riješenje. Označiti:
Tada će matrična jednadžba biti zapisana u obliku: A·X·B = C.
Determinanta matrice A je detA=-1
Kako je A nesingularna matrica, postoji inverzna matrica A -1 . Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s A -1: Pomnožite obje strane ove jednadžbe s lijeve strane s A -1 i s desne s B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Kako je A A -1 = B B -1 = E i E X = X E = X, onda je X = A -1 C B -1

Inverzna matrica A -1:
Nađite inverznu matricu B -1 .
Transponirana matrica B T:
Inverzna matrica B -1:
Matricu X tražimo po formuli: X = A -1 C B -1

Odgovor:

Primjer #2. Vježbajte. Riješite matričnu jednadžbu
Riješenje. Označiti:
Tada će matrična jednadžba biti zapisana u obliku: A X = B.
Determinanta matrice A je detA=0
Budući da je A degenerirana matrica (determinanta je 0), jednadžba nema rješenja.

Primjer #3. Vježbajte. Pronađite rješenje matrične jednadžbe
Riješenje. Označiti:
Tada će matrična jednadžba biti zapisana u obliku: X·A = B.
Determinanta matrice A je detA=-60
Kako je A nesingularna matrica, postoji inverzna matrica A -1 . Pomnožimo s desne obje strane jednadžbe s A -1: X A A -1 = B A -1 , iz čega nalazimo da je X = B A -1
Nađi inverznu matricu A -1 .
Transponirana matrica A T:
Inverzna matrica A -1:
Matricu X tražimo po formuli: X = B A -1


Odgovor: >

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijenje;
2. Imaju točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratnih i linearnih jednadžbi, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova se formula mora znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema znaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:

1. Ako D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente za prvu jednadžbu i nalazimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na isti način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanta je negativna, nema korijena. Ostaje zadnja jednadžba:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti ispisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte raditi glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati ​​sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi ovo počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se u formulu zamijene negativni koeficijenti. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: doslovno promatrajte formulu, slikajte svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da u ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: za njih čak nije potrebno izračunati diskriminantu. Dakle, predstavimo novi koncept:

Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednadžbu (−c / a) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
2. Ako (−c / a )< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrade

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.