Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu. Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije

Najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost ordinate u razmatranom intervalu.

Da biste pronašli najveći ili najmanja vrijednost potrebne funkcije:

1. Provjerite koje se stacionarne točke nalaze u zadanom segmentu.
2. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnim točkama iz koraka 3
3. Od dobivenih rezultata odaberite najveću ili najmanju vrijednost.

Da biste pronašli maksimalne ili minimalne bodove, trebate:

1. Nađite derivaciju funkcije $f"(x)$
2. Pronađite stacionarne točke rješavanjem jednadžbe $f"(x)=0$
3. Faktorizacija izvoda funkcije.
4. Nacrtajte koordinatni pravac, na njega postavite stacionarne točke i u dobivenim intervalima odredite predznake derivacije, koristeći zapis iz točke 3.
5. Pronađite najviše ili najmanje točke prema pravilu: ako u nekoj točki derivacija promijeni predznak s plusa na minus, tada će to biti maksimalna točka (ako s minusa na plus, onda će to biti minimalna točka). U praksi je zgodno koristiti sliku strelica na intervalima: na intervalu gdje je derivacija pozitivna, strelica je povučena prema gore i obrnuto.

Tablica derivacija nekih elementarnih funkcija:

Funkcija	Izvedenica
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$grijeh^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Osnovna pravila razlikovanja

1. Izvodnica zbroja i razlike jednaka je derivaciji svakog člana

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Pronađite derivaciju funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivacija zbroja i razlike jednaka je derivaciji svakog člana

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Nađite derivaciju $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivacija kvocijenta

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Nađite derivaciju $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije vanjske funkcije i derivacije unutarnje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Pronađite minimalnu točku funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Nađi ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11 dolara

2. Pronađite derivaciju funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Pronađite stacionarne točke izjednačavanjem derivacije s nulom

$(2x+21)/(x+11)=0$

Razlomak je nula ako je brojnik nula, a nazivnik nije nula

$2x+21=0; x≠-11$

4. Nacrtajte koordinatni pravac, na njega postavite stacionarne točke i u dobivenim intervalima odredite predznake izvodnice. Da bismo to učinili, zamijenimo u izvedenicu bilo koji broj iz krajnje desne regije, na primjer, nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. U točki minimuma izvod mijenja predznak iz minusa u plus, stoga je točka -10,5$ minimalna točka.

Odgovor: $-10,5 $

Pronaći najveća vrijednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na intervalu $[-5;1]$

1. Pronađite derivaciju funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izjednačiti derivaciju s nulom i pronaći stacionarne točke

$30x^4-270x^2=0$

Izbacimo zajednički faktor $30x^2$ iz zagrada

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Postavite svaki faktor jednak nuli

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Odaberite stacionarne točke koje pripadaju zadanom segmentu $[-5;1]$

Odgovaraju nam stacionarne točke $x=0$ i $x=-3$

4. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnim točkama iz točke 3.

Često se u fizici i matematici traži pronaći najmanju vrijednost funkcije. Kako to učiniti, sada ćemo reći.

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije: upute

1. Da biste izračunali najmanju vrijednost kontinuirane funkcije na danom intervalu, trebate slijediti ovaj algoritam:
2. Pronađite izvod funkcije.
3. Odredite na zadanom segmentu točke u kojima je derivacija jednaka nuli, kao i sve kritične točke. Zatim saznajte vrijednosti funkcije u tim točkama, odnosno riješite jednadžbu u kojoj je x jednak nuli. Saznajte koja je od vrijednosti najmanja.
4. Saznajte koju vrijednost funkcija ima na krajnjim točkama. Odredite najmanju vrijednost funkcije u tim točkama.
5. Usporedite primljene podatke s najmanjom vrijednošću. Manji od primljenih brojeva bit će najmanja vrijednost funkcije.

Imajte na umu da u slučaju da funkcija na segmentu nema najmanje točke, to znači da ona raste ili opada na tom segmentu. Stoga najmanju vrijednost treba izračunati na konačnim segmentima funkcije.

U svim ostalim slučajevima, vrijednost funkcije izračunava se prema navedenom algoritmu. U svakom koraku algoritma morat ćete riješiti jednostavan Linearna jednadžba s jednim korijenom. Riješite jednadžbu pomoću crteža kako biste izbjegli pogreške.

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na poluotvorenom segmentu? Na poluotvorenom odn otvoreno razdoblje funkciju, najmanju vrijednost treba pronaći na sljedeći način. Na krajnjim točkama vrijednosti funkcije izračunajte jednostranu granicu funkcije. Drugim riječima, riješite jednadžbu u kojoj su točke tendencije dane vrijednostima a+0 i b+0, gdje su a i b nazivi kritičnih točaka.

Sada znate kako pronaći najmanju vrijednost funkcije. Glavna stvar je izvršiti sve izračune ispravno, točno i bez pogrešaka.

Proces pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (grafa funkcije) helikopterom uz pucanje iz dalekometnog topa na određene točke i odabirom ove točke vrlo posebne točke za kontrolni hici. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O ovome ćemo dalje govoriti.

Ako funkcija g = f(x) kontinuirano na segmentu [ a, b] , tada doseže ovaj segment najmanje I najviše vrijednosti . To se može dogoditi ili u ekstremne točke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje I najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na segmentu [ a, b], morate izračunati njegove vrijednosti u svim kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

kritična točka naziva se točka u kojoj definirana funkcija, i nju izvedenica ili je nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, na kraju, treba usporediti vrijednost funkcije u kritične točke i na krajevima segmenta ( f(a) I f(b) ). Najveći od ovih brojeva bit će najveća vrijednost funkcije na intervalu [a, b] .

Problem pronalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije zajedno

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Riješenje. Nalazimo izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju s nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta iu točki , budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi da najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, doseže se na desnom kraju segmenta - u točki , i najveći(također crveno na grafikonu), jednako je 9, - u kritičnoj točki .

Ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu, a taj interval nije segment (ali jest npr. interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, ali granične točke segmenta uključene su u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na slici ispod kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Derivaciju izjednačavamo s nulom, što nam daje jednu kritičnu točku: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Usporedimo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednak 1 u točki .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima učitelja koji na temu pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije učenicima ne daju kompliciranije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojnik a nazivnik su polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima postoje ljubitelji natjerati učenike da razmišljaju u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Derivaciju izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Rezultat svih radnji: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u točki i u točki i najveća vrijednost jednak e², u točki.

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Riješenje. Nalazimo izvod ove funkcije:

Izjednačite derivaciju s nulom:

Jedina kritična točka pripada segmentu . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Zaključak: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .

U primijenjenim ekstremnim problemima nalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije u pravilu se svodi na nalaženje najmanje (maksimalne). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem su postignuti. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.

Primjer 8 Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelopipeda s kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti pokositren. Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika da bi se pokrilo sa što manje materijala?

Riješenje. Neka x- bazna strana h- visina spremnika, S– njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da je , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Ispitajmo ovu funkciju za ekstrem. Definirana je i diferencijabilna posvuda u ]0, +∞[ , i

.

Derivaciju izjednačavamo s nulom () i nalazimo kritičnu točku. Osim toga, pri , derivacija ne postoji, ali ta vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, - jedina kritična točka. Provjerimo postojanje ekstrema pomoću drugog dovoljnog kriterija. Nađimo drugu derivaciju. Kada je druga derivacija veća od nule (). To znači da kada funkcija dosegne minimum . Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njezina najmanja vrijednost. Dakle, strana baze spremnika trebala bi biti jednaka 2 m, a njegova visina.

Primjer 9 Iz paragrafa A, koji se nalazi na željezničkoj pruzi, do točke S, na udaljenosti od njega l, roba se mora transportirati. Cijena prijevoza jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom jednaka je , a autocestom jednaka je . Do koje točke M linije željeznička pruga treba izgraditi autocestu kako bi se transport robe iz A V S bila najekonomičnija AB pretpostavlja se da je pruga ravna)?

Proučavanje takvog objekta matematičke analize kao što je funkcija od velike je važnosti. značenje i u drugim područjima znanosti. Na primjer, u ekonomske analize stalno treba procjenjivati ​​ponašanje funkcije profita, odnosno odrediti njegov maksimum značenje i razviti strategiju za postizanje toga.

Uputa

Proučavanje bilo kojeg ponašanja uvijek treba započeti potragom za domenom definicije. Obično, prema stanju pojedinog problema, potrebno je odrediti najveći značenje funkcije bilo na cijelom ovom području, bilo na njegovom određenom intervalu s otvorenim ili zatvorenim granicama.

Na temelju , najveći je značenje funkcije y(x0), pod kojom je za bilo koju točku domene definicije zadovoljena nejednakost y(x0) ≥ y(x) (h ≠ x0). Grafički, ova će točka biti najviša ako rasporedite vrijednosti argumenta duž apscisne osi, a samu funkciju duž ordinatne osi.

Za određivanje najvećeg značenje funkcije, slijedite algoritam u tri koraka. Imajte na umu da morate znati raditi s jednostranim i , kao i izračunati derivaciju. Dakle, neka je dana neka funkcija y(x) i treba joj pronaći najveću značenje na nekom intervalu s graničnim vrijednostima A i B.

Saznajte je li ovaj interval unutar opsega funkcije. Da biste to učinili, morate ga pronaći, uzimajući u obzir sva moguća ograničenja: prisutnost razlomka u izrazu, korijen itd. Domena definicije je skup vrijednosti argumenata za koje funkcija ima smisla. Odredite je li dati interval njegov podskup. Ako da, prijeđite na sljedeći korak.

Nađi izvedenicu funkcije te dobivenu jednadžbu riješiti izjednačavanjem derivacije s nulom. Tako ćete dobiti vrijednosti takozvanih stacionarnih točaka. Ocijenite pripada li barem jedan od njih intervalu A, B.

Razmotrite ove točke u trećoj fazi, zamijenite njihove vrijednosti u funkciju. Izvršite sljedeće dodatne korake ovisno o vrsti intervala. Ako postoji segment oblika [A, B], granične točke su uključene u interval, to je označeno zagradama. Izračunajte vrijednosti funkcije za x = A i x = B. Ako je otvoreni interval (A, B), granične vrijednosti su probijene, tj. nisu uključeni u njega. Riješite jednostrane granice za x→A i x→B. Kombinirani interval oblika [A, B) ili (A, B), čija mu jedna granica pripada, a druga ne. Pronađite jednostranu granicu dok x teži iscrtanoj vrijednosti, a drugu zamijenite u Beskonačni dvostrani interval (-∞, +∞) ili jednostrani beskonačni intervali oblika: , (-∞, B) Za realne granice A i B postupite prema već opisanim principima, a za beskonačne , potražite granice za x→-∞ odnosno x→+∞.

Zadatak u ovoj fazi

Najveća i najmanja vrijednost funkcije

Najveća vrijednost funkcije naziva se najveća, najmanja vrijednost je najmanja od svih njezinih vrijednosti.

Funkcija može imati samo jednu najveću i samo jednu najmanju vrijednost, ili ne mora imati niti jednu. Pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti kontinuiranih funkcija temelji se na sljedećim svojstvima ovih funkcija:

1) Ako je u nekom intervalu (konačnom ili beskonačnom) funkcija y=f(x) kontinuirana i ima samo jedan ekstrem, a ako je to maksimum (minimum), tada će to biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije u ovom intervalu.

2) Ako je funkcija f(x) neprekidna na nekom segmentu, tada nužno ima najveću i najmanju vrijednost na tom segmentu. Ove vrijednosti se postižu ili na ekstremnim točkama koje leže unutar segmenta ili na granicama ovog segmenta.

Da biste pronašli najveće i najmanje vrijednosti na segmentu, preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1. Nađi izvod.

2. Pronađite kritične točke funkcije gdje je =0 ili ne postoji.

3. Nađite vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta i odaberite među njima najveći f max i najmanji f min.

Pri rješavanju primijenjenih problema, posebice optimizacijskih problema, važni su problemi nalaženja najveće i najmanje vrijednosti (globalni maksimum i globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rješavanje takvih problema treba na temelju uvjeta , izaberite nezavisnu varijablu i izrazite vrijednost koja se proučava kroz tu varijablu. Zatim pronađite željenu maksimalnu ili minimalnu vrijednost dobivene funkcije. U tom slučaju se iz uvjeta zadatka također određuje interval promjene nezavisne varijable koji može biti konačan ili beskonačan.

Primjer. Spremnik, koji ima oblik pravokutnog paralelopipeda s kvadratnim dnom, otvorenim na vrhu, mora biti iznutra pokositren. Koje bi trebale biti dimenzije spremnika s kapacitetom od 108 litara. vode tako da trošak njezina kalajisanja bude najmanji?

Riješenje. Trošak oblaganja spremnika kositrom bit će najmanji ako je za određeni kapacitet njegova površina minimalna. Označimo s a dm - stranicu baze, b dm - visinu spremnika. Tada je površina S njegove površine jednaka

I

Rezultirajuća relacija uspostavlja odnos između površine spremnika S (funkcija) i stranice baze a (argument). Istražujemo funkciju S za ekstrem. Pronađite prvu derivaciju, izjednačite je s nulom i riješite dobivenu jednadžbu:

Stoga je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije između.

Riješenje: Navedena funkcija je kontinuirana na cijeloj brojčanoj osi. Derivacija funkcije

Derivacija na i na . Izračunajmo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

.

Vrijednosti funkcije na krajevima zadanog intervala jednake su . Dakle, najveća vrijednost funkcije je na , najmanja vrijednost funkcije je na .

Pitanja za samoispitivanje

1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika . Navedite različite vrste nesigurnosti za koje se može koristiti L'Hospitalovo pravilo.

2. Formulirajte znakove rastuće i opadajuće funkcije.

3. Definirajte maksimum i minimum funkcije.

4. Formulirajte nužan uvjet za postojanje ekstrema.

5. Koje se vrijednosti argumenta (koje točke) nazivaju kritičnim? Kako pronaći te točke?

6. Koji su dovoljni znakovi postojanja ekstrema funkcije? Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije za ekstrem pomoću prve derivacije.

7. Ocrtajte shemu proučavanja funkcije za ekstremum pomoću druge derivacije.

8. Definirati konveksnost, konkavnost krivulje.

9. Što je točka infleksije grafa funkcije? Navedite kako pronaći te točke.

10. Formulirajte potrebne i dovoljne znake konveksnosti i konkavnosti krivulje na zadanom segmentu.

11. Definirajte asimptotu krivulje. Kako pronaći okomite, vodoravne i kose asimptote grafa funkcije?

12. Država opća shema proučavanje funkcije i konstrukcija njezina grafikona.

13. Formulirajte pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na zadanom segmentu.