Dom › Sustav goriva › Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije iz jednadžbe. Najveća i najmanja vrijednost funkcije dviju varijabli u zatvorenom području

Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije iz jednadžbe. Najveća i najmanja vrijednost funkcije dviju varijabli u zatvorenom području

Minijaturni i prilično jednostavan zadatak od one vrste koja služi kao spas za lebdećeg učenika. U prirodi je uspavano carstvo sredine srpnja, pa je vrijeme da se skrasite s laptopom na plaži. Igrano rano ujutro sunčeva zraka teoriju da bi se uskoro usredotočio na praksu, koja, unatoč svojoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Za rješavanje praktičnih zadataka potrebno je znati pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta na intervalu. Formulirano je primjerno ponašanje funkcije na segmentu na sličan način. Funkcija je neprekidna na segmentu ako:

1) kontinuirana je na intervalu ;
2) kontinuirano u točki desno i u točki lijevo.

Drugi odlomak bavi se tzv jednostrani kontinuitet funkcije u točki. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati ranije započete linije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njena desna granica se podudara s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirana lijevo, ako je definiran u danoj točki i njegova lijeva granica je jednaka vrijednosti u toj točki:

Zamislite da su zelene točkice nokti na koje je pričvršćena čarobna gumica:

Mentalno uzmite crvenu liniju u ruke. Očito, bez obzira koliko razvukli graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živica gore, živica dolje, a naš proizvod pase u oboru. Tako, funkcija kontinuirana na segmentu je na njemu omeđena. Tijekom matematičke analize ova se naizgled jednostavna činjenica izriče i rigorozno dokazuje Weierstrassov prvi teorem.... Mnogima smeta što se elementarne tvrdnje dosadno potkrepljuju u matematici, ali postoji važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije izuma teleskopa ograničena funkcija u svemiru nije bila nimalo očita! Doista, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija traži dokaz =)

Prema drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija dosegne svoje točan gornji rub i njegov točan donji rub .

Broj se također zove maksimalnu vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , a broj - minimalna vrijednost funkcije na intervalu označeno .

U našem slučaju:

Bilješka : u teoriji, zapisi su uobičajeni .

Grubo rečeno, najveća vrijednost nalazi se gdje je visoka točka grafika, a najmanji - gdje je najniža točka.

Važno! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveću vrijednost funkcije I najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, Što maksimalna funkcija I minimum funkcije. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak ni poplava, u kontekstu razmatranog problema, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, nema potrebe za crtanjem!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jednu stvar: nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, jer, kao što je upravo pokazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još nije zajamčeno koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum i voljom sudbine isti broj je najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva slučajnost se ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku je brže i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne zamarajući se imaju li one ekstreme ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. odlomku odabiremo najmanju i najveću veliki broj, zapišite odgovor.

Sjedimo na obali plavog mora i udaramo petama u plitkoj vodi:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Riješenje:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj točki:

2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su "podebljani" rezultati s eksponencijalima i logaritmima, što znatno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da:

Sada je sve jasno.

Odgovor:

Frakcijsko-racionalna instanca za neovisno rješenje:

Primjer 6

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost ordinate u razmatranom intervalu.

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, trebate:

Provjerite koje se stacionarne točke nalaze u zadanom segmentu.
Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnim točkama iz koraka 3
Od dobivenih rezultata odaberite najveću ili najmanju vrijednost.

Da biste pronašli maksimalne ili minimalne bodove, trebate:

Nađite derivaciju funkcije $f"(x)$
Pronađite stacionarne točke rješavanjem jednadžbe $f"(x)=0$
Faktorizacija izvoda funkcije.
Nacrtajte koordinatni pravac, na njega postavite stacionarne točke i u dobivenim intervalima odredite predznake derivacije, koristeći zapis iz točke 3.
Pronađite najviše ili najmanje točke prema pravilu: ako u nekoj točki derivacija promijeni predznak s plusa na minus, tada će to biti maksimalna točka (ako s minusa na plus, onda će to biti minimalna točka). U praksi je zgodno koristiti sliku strelica na intervalima: na intervalu gdje je derivacija pozitivna, strelica je povučena prema gore i obrnuto.

Tablica derivacija nekih elementarnih funkcija:

Funkcija	Izvedenica
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$grijeh^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Osnovna pravila razlikovanja

1. Izvodnica zbroja i razlike jednaka je derivaciji svakog člana

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Pronađite derivaciju funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivacija zbroja i razlike jednaka je derivaciji svakog člana

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Nađite derivaciju $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivacija kvocijenta

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Nađite derivaciju $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije vanjske funkcije i derivacije unutarnje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Pronađite minimalnu točku funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Nađi ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11 dolara

2. Pronađite derivaciju funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Pronađite stacionarne točke izjednačavanjem derivacije s nulom

$(2x+21)/(x+11)=0$

Razlomak je nula ako je brojnik nula, a nazivnik nije nula

$2x+21=0; x≠-11$

4. Nacrtajte koordinatni pravac, na njega postavite stacionarne točke i u dobivenim intervalima odredite predznake izvodnice. Da bismo to učinili, zamijenimo u izvedenicu bilo koji broj iz krajnje desne regije, na primjer, nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. U točki minimuma izvod mijenja predznak iz minusa u plus, stoga je točka -10,5$ minimalna točka.

Odgovor: $-10,5 $

Pronađite najveću vrijednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Pronađite derivaciju funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izjednačiti derivaciju s nulom i pronaći stacionarne točke

$30x^4-270x^2=0$

Izbacimo zajednički faktor $30x^2$ iz zagrada

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Postavite svaki faktor jednak nuli

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Odaberite stacionarne točke koje pripadaju zadanom segmentu $[-5;1]$

Odgovaraju nam stacionarne točke $x=0$ i $x=-3$

4. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnim točkama iz točke 3.

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstremum . Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi lomove.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovaj slučaj kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus” pri prolasku kroz kritičnu točku x0, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne promijeni, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritična točka: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve točke infleksije linije y \u003d f (x), morate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula , beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema infleksije.

Korijeni jednadžbe f ? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost u svakom njihovom intervalu određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki proučavanog intervala pozitivna, tada je pravac y = f(x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x; y) dovoljno blizu P0. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativan, onda maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki R0 nema ekstrema.

Slično se određuju ekstremi funkcije za veći broj argumenata.

O čemu je Shrek Forever After?
Crtić: Shrek Forever After Godina izlaska: 2010. Premijera (Rusija): 20. svibnja 2010. Država: SAD Redatelj: Michael Pitchel Scenarij: Josh Klausner, Darren Lemke Žanr: obiteljska komedija, fantazija, avantura Službena stranica: www.shrekforeverafter.com radnja mazga

Mogu li donirati krv tijekom menstruacije?
Liječnici ne preporučuju davanje krvi tijekom menstruacije, jer. gubitak krvi, iako ne u značajnoj količini, ispunjen je smanjenjem razine hemoglobina i pogoršanjem dobrobiti žene. Tijekom postupka darivanja krvi, situacija s dobrobiti može se pogoršati sve do otkrivanja krvarenja. Stoga se žene trebaju suzdržati od davanja krvi tijekom menstruacije. I to već 5. dan nakon što su završili

Koliko kcal / sat se troši prilikom pranja podova
Vrste tjelesna aktivnost Potrošnja energije, kcal/h Kuhanje 80 Oblačenje 30 Vožnja 50 Brisanje prašine 80 Jelo 30 Vrtlarstvo 135 Peglanje 45 Pospremanje kreveta 130 Kupovina 80 Sjedeći posao 75 Cjepanje drva 300 Pranje podova 130 Seks 100-150 Aerobni ples niskog intenziteta

Što znači riječ "skitnica"?
Lopov je lopov koji se bavi sitnom krađom ili lupež sklon prijevarnim trikovima. Potvrda ove definicije sadržana je u Krylovljevom etimološkom rječniku, prema kojem je riječ "prevarant" nastala od riječi "prevarant" (lopov, prevarant), srodne glagolu &la

Kako se zove zadnja objavljena priča braće Strugatski
Mala priča Arkadij i Boris Strugatski "O pitanju ciklotacije" prvi put je objavljen u travnju 2008. godine u antologiji znanstvene fantastike "Podne. XXI stoljeće" (prilog časopisu "Vokrug sveta", koji izlazi pod uredništvom Borisa Strugatskog). Publikacija je bila posvećena 75. obljetnici Borisa Strugatskog.

Gdje mogu pročitati priče sudionika Work And Travel USA programa
Work and Travel USA (rad i putovanje u SAD) popularan je program razmjene studenata u kojem možete provesti ljeto u Americi, legalno radeći u uslužnom sektoru i putujući. Povijest programa Work & Travel dio je programa međuvladine razmjene Cultural Exchange Pro

Uho. Kulinarska i povijesna referenca Više od dva i pol stoljeća riječ "ukha" koristi se za označavanje juha ili uvarka od svježe ribe. Ali bilo je vremena kada se ova riječ tumačila šire. Označavali su juhu - ne samo ribu, već i meso, grašak, pa čak i slatko. Dakle, u povijesnom dokumentu - "

Portali za informacije i zapošljavanje Superjob.ru - portal za zapošljavanje Superjob.ru radi na rusko tržište online zapošljavanje od 2000. i vodeći je među resursima koji nude traženje posla i zapošljavanje. Više od 80.000 životopisa stručnjaka i više od 10.000 slobodnih radnih mjesta dodaju se dnevno u bazu podataka stranice.

Što je motivacija
Definicija motivacije Motivacija (od lat. moveo - krećem se) - poticaj za djelovanje; dinamički proces fiziološkog i psihološkog plana koji kontrolira ljudsko ponašanje, određuje njegov smjer, organizaciju, aktivnost i stabilnost; čovjekova sposobnost da radom zadovolji svoje potrebe. Motivac

Tko je Bob Dylan
Bob Dylan (engl. Bob Dylan, pravo ime - Robert Allen Zimmerman engl. Robert Allen Zimmerman; rođen 24. svibnja 1941.) američki je tekstopisac koji je - prema anketi časopisa Rolling Stone - drugi (

Kako transportirati sobne biljke
Nakon kupnje sobne biljke, vrtlar se suočava sa zadatkom da neozlijeđeno isporuči kupljeno egzotično cvijeće. Poznavanje osnovnih pravila za pakiranje i transport sobnih biljaka pomoći će u rješavanju ovog problema. Biljke moraju biti pakirane za transport ili transport. Koliko god se biljke prenosile, mogu se oštetiti, osušiti, a zimi &m

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične točke: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

Slično se određuju ekstremi funkcije za veći broj argumenata.

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

Za ovo slijedimo dobro poznati algoritam:

1 . Nalazimo ODZ funkcije.

2 . Pronalaženje derivacije funkcije

3 . Derivaciju izjednačiti s nulom

4 . Nađemo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih odredimo intervale porasta i opadanja funkcije:

Ako je na intervalu I izvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.

Ako je na intervalu I izvod funkcije , tada funkcija smanjuje u ovom intervalu.

5 . Pronašli smo maksimalne i minimalne točke funkcije.

U točka maksimuma funkcije, derivacija mijenja predznak iz "+" u "-".

U minimalna točka funkcijederivat mijenja predznak iz "-" u "+".

6 . Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,

zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu maksimalnim točkama, te odaberite najveću od njih ako želite pronaći najveću vrijednost funkcije
ili uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu točkama minimuma, te odaberite najmanji od njih ako želite pronaći najmanju vrijednost funkcije

Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na intervalu, ovaj se algoritam može znatno reducirati.

Razmotrite funkciju . Graf ove funkcije izgleda ovako:

Pogledajmo neke primjere rješavanja problema iz otvorena banka zadaci za

1 . Zadatak B15 (#26695)

Na rezu.

1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x

Očito, ova jednadžba nema rješenja, a derivacija je pozitivna za sve vrijednosti x. Dakle, funkcija raste i najveću vrijednost poprima na desnom kraju intervala, odnosno pri x=0.

Odgovor: 5.

2 . Zadatak B15 (br. 26702)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu.

1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivacija je nula na , ali u ovim točkama ne mijenja predznak:

Prema tome, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .

Da bismo pojasnili zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za derivaciju na sljedeći način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3 . Zadatak B15 (#26708)

Pronađite najmanju vrijednost funkcije na intervalu .

1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijsku kružnicu.

Interval sadrži dva broja: i

Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u točki x=0: . Pri prolasku kroz točke i derivacija mijenja predznak.

Oslikajmo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:

Očito, točka je minimalna točka (gdje derivacija mijenja predznak s "-" na "+"), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na intervalu, morate usporediti vrijednosti funkcije u minimalnoj točki i na lijevom kraju segmenta, .

Popularno u kategoriji: