Konstruirajte graf funkcije koristeći opću shemu studije. Potpuno funkcionalno istraživanje i crtanje

Za potpuna studija funkcije i konstruirati njezin grafikon, preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1) pronaći opseg funkcije;

2) pronaći točke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalnu i kosu asimptotu;

4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) pronaći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) odrediti intervale konveksnosti i točaka infleksije;

7) pronaći točke presjeka s koordinatnim osima, ako je moguće, i neke dodatne točke koje preciziraju graf.

Proučavanje funkcije provodi se istodobno s izgradnjom njezinog grafikona.

Primjer 9 Istražite funkciju i izgradite grafikon.

1. Domena definicije: ;

2. Funkcija se lomi u točkama
,
;

Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Ravno
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Ravno
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je parna jer
. Paritet funkcije označava simetriju grafa u odnosu na y-os.

5. Odredite intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Pronađimo kritične točke, tj. točke gdje je derivacija 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove točke dijele cijelu realnu os u četiri intervala. Definirajmo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, a na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Pri prolasku kroz točku
derivacija mijenja predznak s plusa na minus, stoga u ovoj točki funkcija ima maksimum
.

6. Nađimo intervale konveksnosti, točke infleksije.

Pronađimo točke gdje je 0, ili ne postoji.

nema pravih korijena.
,
,

bodova
I
realnu os podijeliti na tri intervala. Definirajmo znak u svakom intervalu.

Dakle, krivulja na intervalima
I
konveksan prema dolje, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema infleksijskih točaka, jer funkcija u točkama
I
nije utvrđeno.

7. Pronađite točke sjecišta s osi.

s osovinom
graf funkcije siječe se u točki (0; -1), a s osi
graf se ne siječe, jer brojnik ove funkcije nema pravih korijena.

Graf zadane funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Elastičnost funkcije

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Elastičnost funkcije
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije relativnom prirastu varijable na
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje koliko će se postotaka funkcija promijeniti
pri promjeni nezavisne varijable za 1%.

Elastičnost funkcije koristi se u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i naći vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:

Neka je tada x=3
To znači da ako nezavisna varijabla poraste za 1%, tada će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira što se tiče cijene ima oblik
, Gdje ─ konstantni koeficijent. Odredite vrijednost indeksa elastičnosti funkcije potražnje pri cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje pomoću formule (VII)

Pretpostavljajući
monetarne jedinice, dobivamo
. To znači da po cijeni
monetarna jedinica povećanje cijene od 1% uzrokovat će smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Danas vas pozivamo da s nama istražite i iscrtate graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovu vrstu zadatka. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pozornost i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i izračune. Dobrodošli u nevjerojatan i fascinantan svijet matematike! Ići!

Domena

Kako biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava ovisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislimo da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjene. Dakle, y je funkcija od x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove ovisnosti izgrađen je graf funkcije. Što je graf funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafikoni mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Grafikon funkcije ne može se iscrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i iscrtati graf funkcije. Vrlo je važno voditi bilješke tijekom studija. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najprikladniji plan učenja:

1. Domena.
2. Kontinuitet.
3. Par ili nepar.
4. Periodičnost.
5. Asimptote.
6. Nule.
7. Postojanost.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Krajnosti.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom točkom. Pronađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domena definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se pojam "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima gibanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tava, termometar i tako dalje), kontinuirana linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja s lista olovkom).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne slomi. Jedan od naj dobri primjeri takav graf je sinusni val, što možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekoj točki x0 ako je ispunjen niz uvjeta:

• funkcija je definirana u danoj točki;
• desna i lijeva granica u točki su jednake;
• granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da je funkcija prekinuta. A točke u kojima se funkcija prekida nazivaju se prijelomne točke. Primjer funkcije koja će se "slomiti" kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štoviše, y ne postoji u točki x = 3 (jer ga je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju proučavamo (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Parni, neparni

Sada provjerite paritet funkcije. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti) zadovoljava uvjet f (-x) = f (x). Primjeri su:

• modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
• x na kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinusni val).

Imajte na umu da su svi ovi grafikoni simetrični kada se gledaju u odnosu na y-os.

Što se onda naziva neparnom funkcijom? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. Primjeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusoida;
• tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na točku (0:0), odnosno ishodište. Na temelju onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Ispitajmo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara ni jednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je krivulja koja je što bliža grafu, odnosno udaljenost od neke točke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

• okomito, to jest paralelno s osi y;
• horizontalno, tj. paralelno s osi x;
• kosi.

Što se tiče prve vrste, ove linije treba potražiti u nekim točkama:

• praznina;
• krajevima domene.

U našem slučaju funkcija je kontinuirana, a domena definicije je R. Dakle, nema okomitih asimptota.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći uvjet: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnosti, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovaj slučaj y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uvjeta:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada se može pronaći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcijske nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafa funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak povezan s pronalaženjem nula funkcija ne pojavljuje samo u proučavanju i konstrukciji grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafikonu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da točnije nacrtate funkciju. Ako govoriti prostim jezikom, tada je nula funkcije vrijednost varijable x, pri kojoj je y=0. Ako tražite nulte točke funkcije na grafu, tada trebate obratiti pozornost na točke u kojima se graf siječe s osi x.

Da biste pronašli nulte točke funkcije, trebate riješiti sljedeću jednadžbu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon potrebnih izračuna dobivamo sljedeći odgovor:

postojanost predznaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafika) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti na kojim intervalima funkcija ima pozitivnu, a na kojim negativnu vrijednost. U tome će nam pomoći nule funkcija iz prethodnog odjeljka. Dakle, moramo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafikona) i rasporediti nule funkcije duž nje ispravnim redoslijedom od najmanje do najveće. Sada morate odrediti koji od dobivenih intervala ima znak "+", a koji ima "-".

U našem slučaju funkcija dobiva pozitivnu vrijednost na intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

• od minus beskonačno do 1;
• od 4 do 9.

To je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je predznak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Kako bismo istražili i izgradili funkciju, moramo znati gdje će se graf povećati (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-osi).

Funkcija raste samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A posve suprotan fenomen opažamo u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

• opseg (već ga imamo);
• izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
• riješite jednadžbu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon izračuna dobivamo rezultat:

Dobivamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačno do 7/3 i od 7 do beskonačno, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Krajnosti

Istraživana funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za sve vrijednosti varijable x. Točka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače se također nalaze pomoću funkcije izvoda. Nakon pronalaska ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada ga moramo provjeriti na konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova prilično je teško razumjeti, bolje je analizirati sve s primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažete se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobivamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačimo desnu stranu s nulom i riješimo jednadžbu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo točku infleksije, odnosno mjesto gdje graf prelazi iz konveksnog u konkavni ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačno do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Također je vrlo važno napomenuti da točka infleksije na grafikonu treba biti glatka i mekana, br oštri kutovi ne bi trebao biti prisutan.

Definicija dodatnih točaka

Naš zadatak je istražiti i iscrtati graf funkcije. Završili smo studiju, neće biti teško sada ucrtati funkciju. Za točniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravnini možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzmemo x=3, riješimo dobivenu jednadžbu i pronađemo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Najmanje 3-5 ih se nađe.

Plotanje

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake tijekom proračuna napravljene su na koordinatnoj ravnini. Ostaje samo izgraditi graf, odnosno povezati sve točke međusobno. Spajanje točaka glatko je i točno, to je stvar vještine - malo vježbe i vaš će raspored biti savršen.

Uputa

Pronađite opseg funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana na cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Definirajte područja kontinuiteta i točke prekida. Obično je funkcija kontinuirana u istoj domeni u kojoj je definirana. Da biste otkrili diskontinuitete, trebate izračunati kada se argument približi izoliranim točkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+ i minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u točki x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u točki diskontinuiteta konačne, ali ne i jednake, tada se radi o diskontinuitetu prve vrste. Ako su jednaki, tada se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj točki.

Pronađite vertikalne asimptote, ako postoje. Ovdje će vam pomoći izračuni iz prethodnog koraka, budući da je vertikalna asimptota gotovo uvijek na točki diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad iz domene definicije nisu isključene pojedinačne točke, već čitavi intervali točaka, pa se vertikalne asimptote mogu nalaziti na rubovima tih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parno, neparno i periodično.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 su parne funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T koji se naziva periodom, a koji za bilo koji x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve glavne trigonometrijske funkcije(sinus, kosinus, tangens) - periodic.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju zadane funkcije i pronađite one x vrijednosti gdje ona nestaje. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima derivaciju g(x) = 3x^2 + 18x koja nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su točke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije u pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak s plusa na x = -6 i natrag s minusa na plus na x = 0. Dakle, funkcija f(x) ima minimum u prvoj točki i minimum u drugoj.

Dakle, također ste pronašli područja monotonosti: f(x) raste monotono na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovno raste na 0;+∞.

Pronađite drugu derivaciju. Njegovi korijeni pokazat će gdje će graf određene funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, druga derivacija funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Nestaje na x = -3, mijenjajući predznak iz minusa u plus. Stoga će graf f (x) prije ove točke biti konveksan, nakon nje - konkavan, a sama ova točka bit će točka infleksije.

Funkcija može imati i druge asimptote, osim vertikalnih, ali samo ako njezina domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, tada ste pronašli horizontalnu asimptotu.

Kosa asimptota je pravac oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) s istim x→∞.

Nacrtajte funkciju na izračunatim podacima. Označite asimptote, ako postoje. Označite točke ekstrema i vrijednosti funkcije u njima. Za veću točnost grafikona, izračunajte vrijednosti funkcije na još nekoliko međutočaka. Istraživanje završeno.

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalni račun je razvoj uobičajeni primjeri proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na intervalu, a njezin izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada y \u003d f (x) raste za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na segmentu , a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"( x)0)

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije, u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili se lomi nazivaju se kritične točke.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se podudaraju, onda x 0 nije točka ekstrema . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plusa u minus (lijevo od x 0 izvodi se f "(x)> 0, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 se izvršava pomoću f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake od točaka i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka, za ovu vrijednost kritičnih točaka zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dostatne ekstremne uvjete, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražite funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem izvoda s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivat je svugdje definiran; dakle, osim dvije nađene točke, nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y "=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2 derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u točki x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, tada je x 0 točka minimuma, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y \u003d f (x) može doseći najmanju (barem) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite točke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y \u003d f (x) u točkama dobivenim u stavku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, odnosno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na intervalu .

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na odsječku .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odsječku pripada samo točka x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Ispitivanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je okrenut s izbočinom prema gore, drugi - s izbočinom prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom gore (dolje) na ovom segmentu, ako za axb njezin graf ne leži više (ne niže) od tangente nacrtana u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na segmentu ; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivacija pri prolasku kroz točku x=0 mijenja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Stoga je x= točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 također je točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y= ; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a , tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema proučavanja funkcije i konstrukcija njezinog grafikona

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite točke mogućeg ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja porasta i opadanja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Izgradite grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj shemi

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva, osim x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, tada graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, već siječe os Oy u točki (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije točke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijeliti područje postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz znakova prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) pada, a na (1+√2;+∞) ponovno raste. Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, štoviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štoviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka gradimo skicu grafa funkcije

Referentne točke u proučavanju funkcija i konstrukciji njihovih grafikona su karakteristične točke - točke diskontinuiteta, ekstrema, infleksije, sjecišta s koordinatnim osima. Uz pomoć diferencijalnog računa moguće je utvrditi karakteristične značajke promjene funkcija: povećanje i smanjenje, maksimumi i minimumi, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.

Skica grafa funkcije se može (i treba) skicirati nakon pronalaska asimptota i točaka ekstrema, a zgodno je popuniti zbirnu tablicu proučavanja funkcije u tijeku proučavanja.

Obično se koristi sljedeća shema istraživanja funkcije.

1.Pronađite domenu, intervale kontinuiteta i prijelomne točke funkcije.

2.Ispitajte je li funkcija parna ili neparna (aksijalna ili središnja simetrija grafa.

3.Pronađite asimptote (vertikalne, vodoravne ili kose).

4.Naći i istražiti intervale rasta i opadanja funkcije, njezine točke ekstrema.

5.Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje, njezine točke infleksije.

6.Pronađite točke presjeka krivulje s koordinatnim osima, ako postoje.

7.Sastavite zbirnu tablicu studije.

8.Izgradite grafikon, uzimajući u obzir proučavanje funkcije, provedeno prema gornjim točkama.

Primjer. Istražite funkciju

i zacrtajte ga.

7. Napravimo zbirnu tablicu proučavanja funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične točke i intervale između njih. S obzirom na parnost funkcije dobivamo sljedeću tablicu: