X y rješenje sustava jednadžbi. Sustavi linearnih jednadžbi

Sustavi jednadžbi naširoko se koriste u gospodarstvu u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, pri rješavanju problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih putova ( transportni zadatak) ili smještaj opreme.

Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u području matematike, već iu fizici, kemiji i biologiji, pri rješavanju problema određivanja veličine populacije.

Sustav linearnih jednadžbi je pojam za dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice čiju vrijednost treba pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafa izgledat će kao ravna linija čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sustava linearnih jednadžbi

Najjednostavniji su primjeri sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcijske varijable.

Riješite sustav jednadžbi - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sustav postaje prava jednakost ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti x i y.

Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenja nema, nazivaju se ekvivalentni.

Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sustav nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bismo trebali govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijabli.

Suočeni sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može ih biti proizvoljno mnogo.

Jednostavne i složene metode rješavanja sustava jednadžbi

Ne postoji opći analitički način rješavanja takvih sustava, sve metode temelje se na numeričkim rješenjima. U školskom tečaju matematike detaljno su opisane metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavi metodika rješavanja je naučiti pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi 7. razreda programa Srednja škola prilično jednostavno i vrlo detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike ovom se odjeljku posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom Gaussa i Cramera detaljnije se proučava u prvim tečajevima visokoškolskih ustanova.

Rješavanje sustava metodom supstitucije

Radnje metode supstitucije usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se supstituira u preostalu jednadžbu, a zatim se reducira na oblik jedne varijable. Akcija se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu

Navedimo primjer sustava linearnih jednadžbi 7. razreda metodom supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbi sustava umjesto X, pomogao je dobiti jednu varijablu Y u 2. jednadžbi . Riješenje ovaj primjer ne uzrokuje poteškoće i omogućuje vam da dobijete vrijednost Y. Posljednji korak ovo je test primljenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sustava linearnih jednadžbi supstitucijom. Jednadžbe mogu biti složene, a izraz varijable u smislu druge nepoznanice bit će preglomazan za daljnje izračune. Kada u sustavu ima više od 3 nepoznanice, supstitucijsko rješenje je također nepraktično.

Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja

Pri traženju rješenja sustava metodom zbrajanja, zbrajanja po članu i množenja jednadžbi po razni brojevi. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednadžba s jednom varijablom.

Za aplikacije ovu metodu potrebna je praksa i promatranje. Nije lako riješiti sustav linearnih jednadžbi metodom sabiranja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko zbrajanje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam djelovanja rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednadžbe s nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dobiveni izraz zbrajajte član po član i pronađite jednu od nepoznanica.
3. Zamijenite dobivenu vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla može se uvesti ako sustav treba pronaći rješenje za najviše dvije jednadžbe, broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava s obzirom na unesenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.

Iz primjera je vidljivo da je uvođenjem nove varijable t 1. jednadžbu sustava bilo moguće svesti na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminante.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminante pomoću poznate formule: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željena diskriminanta, b, a, c su množitelji polinoma. U navedenom primjeru a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, tada postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za nastale sustave nalazi se metodom adicije.

Vizualna metoda za rješavanje sustava

Prikladno za sustave s 3 jednadžbe. Metoda se sastoji u crtanju grafova svake jednadžbe uključene u sustav na koordinatnoj osi. Koordinate točaka sjecišta krivulja bit će opće rješenje sustava.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrite nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, dvije točke su konstruirane za svaku liniju, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Na grafu su označene točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) i spojene linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Sjecište pravaca je rješenje sustava.

U sljedećem primjeru potrebno je pronaći grafičko rješenje sustava linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što je vidljivo iz primjera, sustav nema rješenja jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.

Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju, postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrix i njegove vrste

Matrice se koriste za skraćenica sustavi linearnih jednadžbi. Matrica je posebna vrsta tablice ispunjene brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.

Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica-vektor je matrica s jednim stupcem i beskonačno mogućim brojem redaka. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nula elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se izvorna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu

U sustavima jednadžbi koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi zapisani su brojevima matrice, jedna jednadžba je jedan redak matrice.

Red matrice se naziva ne-nula ako barem jedan element retka nije jednak nuli. Dakle, ako se u nekoj od jednadžbi broj varijabli razlikuje, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznanice koja nedostaje.

Stupci matrice moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu pisati samo u jednom stupcu, primjerice prvom, koeficijent nepoznate y - samo u drugom.

Kod množenja matrice svi elementi matrice se sukcesivno množe brojem.

Mogućnosti pronalaženja inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je vrlo jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva puta dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri sa tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu ili se možete sjetiti da trebate uzeti jedan element iz svakog retka i svakog stupca tako da se brojevi stupaca i redaka elemenata ne ponavljaju u umnošku.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sustava s velikim brojem varijabli i jednadžbi.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješavanje sustava Gaussovom metodom

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja sustava naziva se Gauss-Cramerova metoda rješavanja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijable sustava s puno linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima supstitucije i algebarskog zbrajanja, ali je sustavnija. U školskom kolegiju koristi se Gaussovo rješenje za sustave od 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je dovesti sustav u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama nalazi se vrijednost jedne varijable u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, te 3 i 4 - s 3 odnosno 4 varijable.

Nakon dovođenja sustava u opisani oblik daljnje rješavanje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.

U školske lektire za 7. razred opisan je primjer rješenja Gaussovom metodom:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje jednadžbe omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.

Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će rezultirajući sustav također biti ekvivalentan izvornom.

Učenicima je Gaussova metoda teška za razumijevanje Srednja škola, ali je jedan od naj zanimljive načine razvijati domišljatost djece upisane na napredni studij matematike i fizike.

Radi lakšeg bilježenja izračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbe i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki redak matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne strane. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.

Prvo zapišu matricu s kojom će raditi, zatim sve radnje koje se provode s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica se piše nakon znaka "strelica" i nastavlja se izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica je svedena na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti izračune s brojevima obje strane jednadžbe.

Ova notacija je manje glomazna i omogućuje vam da ne budete ometani nabrajanjem brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.

1. Metoda zamjene: iz bilo koje jednadžbe sustava jednu nepoznanicu izražavamo preko druge i supstituiramo je u drugu jednadžbu sustava.

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Riješenje. Iz prve jednadžbe sustava izražavamo na kroz x i zamijeniti u drugu jednadžbu sustava. Uhvatimo sustav ekvivalentan originalu.

Nakon donošenja takvih uvjeta sustav će imati oblik:

Iz druge jednadžbe nalazimo: . Zamjenom ove vrijednosti u jednadžbu na = 2 - 2x, dobivamo na= 3. Dakle, rješenje ovog sustava je par brojeva .

2. Algebarska metoda zbrajanja: zbrajanjem dviju jednadžbi dobivamo jednadžbu s jednom varijablom.

Zadatak. Riješite jednadžbu sustava:

Riješenje. Množenjem obje strane druge jednadžbe s 2, dobivamo sustav ekvivalentan originalu. Zbrajanjem dviju jednadžbi ovog sustava dolazimo do sustava

Nakon smanjenja sličnih uvjeta, ovaj sustav će imati oblik: Iz druge jednadžbe nalazimo . Zamjenom ove vrijednosti u jednadžbu 3 x + 4na= 5, dobivamo , gdje . Dakle, rješenje ovog sustava je par brojeva.

3. Metoda uvođenja novih varijabli: tražimo neke ponovljene izraze u sustavu, koje ćemo označiti novim varijablama, čime ćemo pojednostaviti oblik sustava.

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Riješenje. Zapišimo ovaj sustav drugačije:

Neka x + y = u, hu = v. Tada dobivamo sustav

Riješimo to metodom zamjene. Iz prve jednadžbe sustava izražavamo u kroz v i zamijeniti u drugu jednadžbu sustava. Uhvatimo sustav oni.

Iz druge jednadžbe sustava nalazimo v 1 = 2, v 2 = 3.

Zamjena ovih vrijednosti u jednadžbu u = 5 - v, dobivamo u 1 = 3,
u 2 = 2. Tada imamo dva sustava

Rješavanjem prvog sustava dobivamo dva para brojeva (1; 2), (2; 1). Drugi sustav nema rješenja.

Vježbe za samostalan rad

1. Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Uputa

Metoda zbrajanja.
Morate napisati dva strogo jedan ispod drugog:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
U proizvoljno odabranu (iz sustava) jednadžbu umjesto već pronađene "igre" umetnuti broj 11 i izračunati drugu nepoznanicu:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odgovor ovog sustava jednadžbi: x=116, y=11.

Grafički način.
Sastoji se od praktičnog pronalaženja koordinata točke u kojoj su pravci matematički zapisani u sustavu jednadžbi. Trebali biste nacrtati grafikone obje linije odvojeno u istom koordinatnom sustavu. Opći pogled: - y \u003d kx + b. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je pronaći koordinate dviju točaka, a x je odabrano proizvoljno.
Neka je zadan sustav: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Ravna linija izgrađena je prema prvoj, zbog praktičnosti treba je zapisati: y \u003d 2x-4. Smislite (lakše) vrijednosti za x, zamijenite ga u jednadžbu, riješite ga, pronađite y. Dobivaju se dvije točke duž kojih se gradi pravac. (vidi sliku.)
x 0 1

y -4 -2
Ravna linija je konstruirana prema drugoj jednadžbi: y \u003d -3x + 1.
Također izgradite liniju. (vidi sliku.)

1-5
Odredite koordinate sjecišta dvaju konstruiranih pravaca na grafu (ako se pravci ne sijeku, onda sustav jednadžbi nema - dakle).

Povezani Videi

Koristan savjet

Ako se isti sustav jednadžbi riješi pomoću tri različiti putevi, odgovor će biti isti (ako je rješenje točno).

Izvori:

• Algebra 8. razred
• riješite jednadžbu s dvije nepoznanice online
• Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi s dva

Sustav jednadžbe je skup matematičkih zapisa od kojih svaki sadrži određeni broj varijabli. Postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje.

Trebat će vam

• -ravnalo i olovka;
• -kalkulator.

Uputa

Razmotrimo redoslijed rješavanja sustava koji se sastoji od linearnih jednadžbi oblika: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Gdje su x i y nepoznate varijable, a b,c slobodni članovi. Pri primjeni ove metode svaki sustav je koordinate točaka koje odgovaraju svakoj jednadžbi. Prvo, u svakom slučaju, izrazite jednu varijablu u smislu druge. Zatim postavite varijablu x na bilo koji broj vrijednosti. Dvije su dovoljne. Uključite se u jednadžbu i pronađite y. Izgradite koordinatni sustav, na njemu označite dobivene točke i kroz njih povucite ravnu liniju. Slični proračuni moraju se provesti i za ostale dijelove sustava.

Sustav ima jedina odluka, ako se konstruirani pravci sijeku i jedan zajednička točka. Nedosljedno je ako su međusobno paralelne. I ima beskonačno mnogo rješenja kada se linije spajaju jedna s drugom.

Ova se metoda smatra vrlo jasnom. Glavni nedostatak je što izračunate nepoznanice imaju približne vrijednosti. Točniji rezultat daju tzv. algebarske metode.

Svako rješenje sustava jednadžbi vrijedi provjeriti. Da biste to učinili, zamijenite dobivene vrijednosti umjesto varijabli. Također možete pronaći njegovo rješenje na nekoliko načina. Ako je rješenje sustava točno, onda bi svi trebali ispasti isti.

Često postoje jednadžbe u kojima je jedan od članova nepoznat. Da biste riješili jednadžbu, trebate zapamtiti i izvršiti određeni skup radnji s ovim brojevima.

Trebat će vam

• - papir;
• - Olovka ili olovka.

Uputa

Zamislite da ispred sebe imate 8 zečeva, a imate samo 5 mrkvi. Mislite da trebate kupiti više mrkvi kako bi svaki kunić dobio mrkvu.

Predstavimo ovaj problem u obliku jednadžbe: 5 + x = 8. Zamijenimo x s brojem 3. Doista, 5 + 3 = 8.

Kada ste zamijenili broj umjesto x, radili ste istu operaciju kao oduzimanje 5 od 8. Dakle, da biste pronašli nepoznatočlan, od zbroja oduzmite poznati član.

Recimo da imate 20 zečeva i samo 5 mrkvi. Sastavljajmo. Jednadžba je jednakost koja vrijedi samo za određene vrijednosti slova koja su u njoj uključena. Zovu se slova čije vrijednosti želite pronaći. Napišite jednadžbu s jednom nepoznatom, nazovite je x. Rješavajući naš problem o zečevima, dobivamo sljedeću jednadžbu: 5 + x = 20.

Nađimo razliku između 20 i 5. Pri oduzimanju se smanjuje broj od kojeg se oduzima. Broj koji se oduzima naziva se , a konačni rezultat razlika. Dakle, x = 20 - 5; x = 15. Trebate kupiti 15 mrkvi za kuniće.

Provjerite: 5 + 15 = 20. Jednadžba je točna. Naravno, kada pričamo o takvim jednostavnim nije potrebno vršiti provjeru. Međutim, kada su u pitanju jednadžbe s troznamenkastim, četveroznamenkastim i tako dalje, obavezno je provjeriti kako biste bili potpuno sigurni u rezultat svog rada.

Povezani Videi

Koristan savjet

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je dodati umanjenik razlici.

Da bismo pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je od umanjenika oduzeti razliku.

Savjet 4: Kako riješiti sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice

Sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice možda nema rješenja, unatoč dovoljnom broju jednadžbi. Možete ga pokušati riješiti metodom zamjene ili metodom Cramer. Cramerova metoda, osim rješavanja sustava, omogućuje procjenu je li sustav rješiv prije pronalaženja vrijednosti nepoznanica.

Uputa

Metoda zamjene sastoji se od sekvencijalne jedne nepoznanice kroz druge dvije i zamjene dobivenog rezultata u jednadžbe sustava. Neka je dan sustav od tri jednadžbe opći pogled:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Izrazite x iz prve jednadžbe: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - i zamijenite u drugu i treću jednadžbu, zatim izrazite y iz druge jednadžbe i zamijenite u treću. Dobit ćete linearni izraz za z kroz koeficijente jednadžbi sustava. Sada se vratite "natrag": uključite z u drugu jednadžbu i pronađite y, zatim uključite z i y u prvu jednadžbu i pronađite x. Proces je općenito prikazan na slici dok se ne pronađe z. Nadalje, zapis u općem obliku bit će previše glomazan, u praksi, zamjenom , vrlo lako možete pronaći sve tri nepoznanice.

Cramerova metoda sastoji se u sastavljanju matrice sustava i izračunavanju determinante te matrice, kao i još tri pomoćne matrice. Matrica sustava sastavljena je od koeficijenata pri nepoznatim članovima jednadžbi. Stupac koji sadrži brojeve s desne strane jednadžbi, stupac s desne strane. Ne koristi se u sustavu, ali se koristi pri rješavanju sustava.

Povezani Videi

Bilješka

Sve jednadžbe u sustavu moraju pružiti dodatne informacije neovisne o drugim jednadžbama. U suprotnom, sustav će biti nedovoljno determiniran i neće biti moguće pronaći jednoznačno rješenje.

Koristan savjet

Nakon rješavanja sustava jednadžbi, pronađene vrijednosti zamijenite u izvorni sustav i provjerite zadovoljavaju li sve jednadžbe.

Samo po sebi jednadžba sa tri nepoznato ima mnogo rješenja pa se najčešće nadopunjuje s još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome kakvi su početni podaci, uvelike će ovisiti i tijek odluke.

Trebat će vam

• - sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice.

Uputa

Ako dva od tri sustava imaju samo dvije od tri nepoznanice, pokušajte izraziti neke varijable u terminima drugih i uključiti ih u jednadžba sa tri nepoznato. Vaš cilj s ovim je pretvoriti ga u normalu jednadžba s nepoznatim. Ako je to , daljnje rješenje je vrlo jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sustavi jednadžbi mogu se od jedne jednadžbe oduzeti drugom. Provjerite je li moguće pomnožiti jedan s ili varijablu tako da se dvije nepoznanice reduciraju odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je, najvjerojatnije, naknadna odluka neće biti teška. Ne zaboravite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Slično tome, kada oduzimate jednadžbe, zapamtite da se desna strana također mora oduzeti.

Ako prethodni načini nije pomoglo, upotrijebite opću metodu za rješavanje bilo koje jednadžbe s tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednadžbe u obliku a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sada napravite matricu koeficijenata na x (A), matricu nepoznanica (X) i matricu slobodnih (B). Obratite pozornost, množenjem matrice koeficijenata s matricom nepoznanica dobit ćete matricu, matricu slobodnih članova, odnosno A * X \u003d B.

Pronađite matricu A na potenciju (-1) nakon pronalaženja , imajte na umu da ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga pomnožite dobivenu matricu s matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Rješenje sustava od tri jednadžbe možete pronaći i pomoću Cramerove metode. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara matrici sustava. Zatim uzastopno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih članova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi s tri nepoznanice

Počevši rješavati sustav jednadžbi, shvatite koje su to jednadžbe. Metode rješavanja linearnih jednadžbi dobro su proučene. Nelinearne jednadžbe najčešće se ne rješavaju. Postoji samo jedan poseban slučaj, od kojih je svaki praktički individualan. Stoga proučavanje metoda rješavanja treba započeti s linearnim jednadžbama. Takve se jednadžbe mogu riješiti čak i čisto algoritamski.

nazivnici pronađenih nepoznanica potpuno su isti. Da, i brojnici su vidljivi neki uzorci njihove konstrukcije. Ako bi dimenzija sustava jednadžbi bila veća od dva, tada bi metoda eliminacije dovela do vrlo glomaznih izračuna. Kako bi ih se izbjeglo, razvijena su čisto algoritamska rješenja. Najjednostavniji od njih je Cramerov algoritam (Cramerove formule). Jer ti bi trebao znati opći sustav jednadžbe iz n jednadžbi.

Sustav od n linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznanica ima oblik (vidi sliku 1a). U njemu su aij koeficijenti sustava,
hj – nepoznanice, bi – slobodni članovi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Takav sustav može se kompaktno napisati u matričnom obliku AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, X je matrica stupca nepoznanica, B je matrica stupca slobodnih članova (vidi sliku 1b). Prema Cramerovoj metodi, svaka nepoznanica xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanta ∆ matrice koeficijenata naziva se glavna determinanta, a ∆i pomoćna. Za svaku nepoznanicu nalazi se pomoćna determinanta tako da se i-ti stupac glavne determinante zamijeni stupcem slobodnih članova. Cramerova metoda za slučaj sustava drugog i trećeg reda detaljno je prikazana na sl. 2.

Sustav je unija dviju ili više jednakosti, od kojih svaka ima dvije ili više nepoznanica. Postoje dva glavna načina za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje se koriste u okviru školski plan i program. Jedna od njih se zove metoda, druga je metoda sabiranja.

Standardni oblik sustava dviju jednadžbi

Na standardna forma prva jednadžba je a1*x+b1*y=c1, druga jednadžba je a2*x+b2*y=c2, i tako dalje. Na primjer, u slučaju dva dijela sustava u oba su dani a1, a2, b1, b2, c1, c2 neki numerički koeficijenti prikazani u specifičnim jednadžbama. S druge strane, x i y su nepoznanice čije vrijednosti treba odrediti. Željene vrijednosti pretvaraju obje jednadžbe istovremeno u prave jednakosti.

Rješenje sustava metodom adicije

Kako biste riješili sustav, odnosno pronašli one vrijednosti x i y koje će ih pretvoriti u prave jednakosti, potrebno je poduzeti nekoliko jednostavnih koraka. Prvi od njih je transformirati bilo koju od jednadžbi na takav način da se numerički koeficijenti za varijablu x ili y u obje jednadžbe podudaraju u apsolutnoj vrijednosti, ali razlikuju u predznaku.

Na primjer, neka je dan sustav koji se sastoji od dvije jednadžbe. Prvi od njih ima oblik 2x+4y=8, drugi ima oblik 6x+2y=6. Jedna od opcija za rješavanje zadatka je množenje druge jednadžbe s faktorom -2, što će je dovesti do oblika -12x-4y=-12. Pravilan izbor koeficijenta jedan je od ključnih zadataka u procesu rješavanja sustava metodom zbrajanja, jer određuje cjelokupni daljnji tijek postupka pronalaženja nepoznanica.

Sada je potrebno zbrojiti dvije jednadžbe sustava. Očito, međusobno uništavanje varijabli s koeficijentima jednake vrijednosti, ali suprotnog predznaka dovest će ga do oblika -10x=-4. Nakon toga potrebno je riješiti ovu jednostavnu jednadžbu iz koje nedvosmisleno proizlazi da je x=0,4.

Posljednji korak u procesu rješavanja je zamjena pronađene vrijednosti jedne od varijabli u bilo koju od početnih jednakosti dostupnih u sustavu. Na primjer, zamjenom x=0,4 u prvu jednadžbu, možete dobiti izraz 2*0,4+4y=8, iz čega je y=1,8. Dakle, x=0,4 i y=1,8 su korijeni sustava prikazanog u primjeru.

Kako bismo bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, korisno je provjeriti zamjenom pronađenih vrijednosti u drugu jednadžbu sustava. Na primjer, u ovaj slučaj dobije se jednakost oblika 0,4*6+1,8*2=6, što je točno.

Povezani Videi

Analizirat ćemo dvije vrste rješavanja sustava jednadžbi:

1. Rješenje sustava metodom supstitucije.
2. Rješenje sustava počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) jednadžbi sustava.

Kako bismo riješili sustav jednadžbi metoda supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izražavamo. Iz bilo koje jednadžbe izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Zamjenjujemo u drugu jednadžbu umjesto izražene varijable, dobivenu vrijednost.
3. Dobivenu jednadžbu rješavamo s jednom varijablom. Nalazimo rješenje za sustav.

Riješiti sustav počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) moram:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti iste koeficijente.
2. Zbrajamo ili oduzimamo jednadžbe, kao rezultat dobivamo jednadžbu s jednom varijablom.
3. Rješavamo dobivenu linearnu jednadžbu. Nalazimo rješenje za sustav.

Rješenje sustava su sjecišta grafova funkcije.

Razmotrimo detaljno rješenje sustava koristeći primjere.

Primjer #1:

Rješavajmo metodom zamjene

Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Izraziti
Vidi se da u drugoj jednadžbi postoji varijabla x s koeficijentom 1, stoga ispada da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednadžbe.
x=3+10y

2. Nakon izražavanja, zamijenimo 3 + 10y u prvoj jednadžbi umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Dobivenu jednadžbu rješavamo s jednom varijablom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorene zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rješenje sustava jednadžbi su sjecišne točke grafova, stoga trebamo pronaći x i y, jer se sjecišna točka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom odlomku gdje smo izrazili zamijenimo y tamo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da na prvo mjesto pišemo bodove, pišemo varijablu x, a na drugo mjesto varijablu y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rješavajmo počlanim zbrajanjem (oduzimanjem).

Rješavanje sustava jednadžbi metodom zbrajanja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Odaberite varijablu, recimo da odaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istima, za to imamo pravo pomnožiti jednadžbe ili podijeliti bilo kojim brojem. Prvu jednadžbu pomnožimo s 2, a drugu s 3 i dobijemo ukupni koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prve jednadžbe oduzmite drugu da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednadžbu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Pronađite x. Pronađeni y zamijenimo u bilo kojoj od jednadžbi, recimo u prvoj jednadžbi.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Točka presjeka će biti x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li besplatno pripremati ispite? Učitelj online besplatno. Bez šale.