Izračunavanje udaljenosti između gradova po njihovim koordinatama. Kako izračunati udaljenost između GPS koordinata

Koordinate određuju položaj objekta na globusu. Koordinate su označene geografskom širinom i dužinom. Zemljopisne širine mjere se od linije ekvatora s obje strane. Na sjevernoj hemisferi geografske širine su pozitivne, u Južna polutka- negativno. Duljina se mjeri od početnog meridijana prema istoku ili zapadu, odnosno dobiva se istočna ili zapadna geografska dužina.

Prema općeprihvaćenom položaju, kao početni uzima se meridijan koji prolazi kroz staru zvjezdarnicu Greenwich u Greenwichu. Geografske koordinate lokacije mogu se dobiti pomoću GPS navigatora. Ovaj uređaj prima signale satelitskog sustava za pozicioniranje u koordinatnom sustavu WGS-84, jednakom za cijeli svijet.

Modeli Navigatora razlikuju se po proizvođačima, funkcionalnosti i sučelju. Trenutno su ugrađeni GPS-navigatori dostupni u nekim modelima mobilnih telefona. Ali bilo koji model može snimati i spremati koordinate točke.

Udaljenost između GPS koordinata

Za rješavanje praktičnih i teorijskih problema u nekim industrijama potrebno je moći odrediti udaljenosti između točaka njihovim koordinatama. Da biste to učinili, možete koristiti nekoliko metoda. Kanonski prikaz geografskih koordinata: stupnjevi, minute, sekunde.

Na primjer, možete odrediti udaljenost između sljedećih koordinata: točka br. 1 - zemljopisna širina 55°45′07″ N, zemljopisna dužina 37°36′56″ E; točka br. 2 - zemljopisna širina 58°00′02″ N, zemljopisna dužina 102°39′42″ E

Najlakši način je pomoću -kalkulatora izračunati udaljenost između dviju točaka. U tražilici preglednika morate postaviti sljedeće parametre pretraživanja: online - za izračun udaljenosti između dvije koordinate. U online kalkulatoru, vrijednosti zemljopisne širine i dužine unose se u polja upita za prvu i drugu koordinatu. Prilikom izračuna, online kalkulator je dao rezultat - 3.800.619 m.

Sljedeća metoda oduzima više vremena, ali je i vizualnija. Potrebno je koristiti bilo koji dostupni program za mapiranje ili navigaciju. Programi koji mogu stvoriti točke prema koordinatama i mjeriti udaljenosti između njih uključuju sljedeće aplikacije: BaseCamp ( moderni analog MapSource programi), Google Earth, SAS.Planet.

Svi gore navedeni programi dostupni su svakom korisniku mreže. Na primjer, da biste izračunali udaljenost između dviju koordinata u Google Earthu, trebate stvoriti dvije oznake koje označavaju koordinate prve i druge točke. Zatim, pomoću alata Ruler, trebate spojiti prvu i drugu oznaku linijom, program će automatski dati rezultat mjerenja i prikazati putanju na satelitskoj snimci Zemlje.

U slučaju gornjeg primjera, program Google Earth vratio je rezultat - duljina udaljenosti između točke #1 i točke #2 je 3.817.353 m.

Zašto postoji pogreška u određivanju udaljenosti

Svi izračuni udaljenosti između koordinata temelje se na izračunima duljine luka. Polumjer Zemlje uključen je u izračun duljine luka. Ali budući da je oblik Zemlje blizak spljoštenom elipsoidu, radijus Zemlje u određenim točkama je različit. Za izračunavanje udaljenosti između koordinata uzima se prosječna vrijednost polumjera Zemlje, što daje grešku u mjerenju. Što je veća izmjerena udaljenost, veća je pogreška.

Udaljenost od točke do točke je duljina segmenta koji povezuje te točke, u danom mjerilu. Dakle, kada pričamo mjerenje udaljenosti, morate znati mjerilo (jedinicu duljine) u kojem će se mjeriti. Stoga se problem nalaženja udaljenosti od točke do točke obično razmatra ili na koordinatnoj liniji ili u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru. Drugim riječima, najčešće morate izračunati udaljenost između točaka prema njihovim koordinatama.

U ovom članku, prvo se prisjećamo kako se određuje udaljenost od točke do točke na koordinatnoj liniji. Zatim dobivamo formule za izračunavanje udaljenosti između dvije točke ravnine ili prostora prema zadane koordinate. U zaključku ćemo detaljno razmotriti rješenja tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Udaljenost između dviju točaka na koordinatnoj liniji.

Najprije definirajmo notaciju. Udaljenost od točke A do točke B označit ćemo kao .

Iz ovoga možemo zaključiti da udaljenost od točke A s koordinatom do točke B s koordinatom jednaka je modulu razlike koordinata, to je, za bilo koji raspored točaka na koordinatnoj liniji.

Udaljenost od točke do točke na ravnini, formula.

Dobijmo formulu za izračunavanje udaljenosti između točaka i zadanih u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini.

Ovisno o položaju točaka A i B, moguće su sljedeće opcije.

Ako se točke A i B podudaraju, tada je udaljenost između njih nula.

Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os x, tada se točke i podudaraju, a udaljenost je jednaka udaljenosti. U prethodnom paragrafu saznali smo da je udaljenost dviju točaka na koordinatnoj liniji jednaka modulu razlike njihovih koordinata, dakle . Stoga, .

Slično, ako točke A i B leže na ravnoj liniji okomitoj na y-os, tada se udaljenost od točke A do točke B izračunava kao .

U ovom slučaju, trokut ABC je pravokutne konstrukcije, i i . Po Pitagorin teorem možemo napisati jednakost, odakle .

Rezimirajmo sve rezultate: udaljenost od točke do točke na ravnini nalazi se preko koordinata točaka formulom .

Dobivena formula za pronalaženje udaljenosti između točaka može se koristiti kada se točke A i B podudaraju ili leže na ravnoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osi. Doista, ako su A i B isti, tada je . Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os Ox, tada je . Ako A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os Oy, tada je .

Udaljenost između točaka u prostoru, formula.

Uvedimo pravokutni koordinatni sustav Oxyz u prostoru. Dobijte formulu za određivanje udaljenosti od točke do točke .

Općenito, točke A i B ne leže u ravnini paralelnoj s jednom od koordinatnih ravnina. Povucimo kroz točke A i B u ravnini okomite na koordinatne osi Ox, Oy i Oz. Sječne točke tih ravnina s koordinatnim osima dat će nam projekcije točaka A i B na te osi. Označite projekcije .

Željena udaljenost između točaka A i B je dijagonala pravokutnog paralelopipeda prikazanog na slici. Po konstrukciji, dimenzije ovog paralelopipeda su i . U kolegiju geometrije Srednja škola dokazano je da je kvadrat dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak zbroju kvadrata njegovih triju dimenzija, dakle, . Na temelju informacija iz prvog odjeljka ovog članka možemo napisati sljedeće jednakosti, dakle,

gdje stignemo formula za određivanje udaljenosti između točaka u prostoru .

Ova formula također vrijedi ako točke A i B

• podudarati se;
• pripadaju jednoj od koordinatnih osi ili pravoj liniji paralelnoj s jednom od koordinatnih osi;
• pripadaju jednoj od koordinatnih ravnina ili ravnini paralelnoj s jednom od koordinatnih ravnina.

Određivanje udaljenosti od točke do točke, primjeri i rješenja.

Dakle, dobili smo formule za pronalaženje udaljenosti između dvije točke koordinatne crte, ravnine i trodimenzionalnog prostora. Vrijeme je da razmotrimo rješenja tipičnih primjera.

Broj zadataka u kojima je posljednji korak pronalaženje udaljenosti između dviju točaka prema njihovim koordinatama uistinu je golem. Potpuni pregled takvih primjera je izvan dosega ovog članka. Ovdje ćemo se ograničiti na primjere u kojima su poznate koordinate dviju točaka i potrebno je izračunati udaljenost između njih.

TEORIJSKA PITANJA

ANALITIČKA GEOMETRIJA NA RAVNINI

1. Metoda koordinata: brojevni pravac, koordinate na pravcu; pravokutni (kartezijev) koordinatni sustav na ravnini; polarne koordinate.

Pogledajmo ravnu liniju. Izaberimo na njemu pravac (onda će postati os) i neku točku 0 (ishodište). Ravnica s odabranim smjerom i ishodištem naziva se koordinatna linija(u ovom slučaju pretpostavljamo da je odabrana jedinica mjerila).

Neka M je proizvoljna točka na koordinatnoj liniji. Stavimo u skladu s točkom M pravi broj x, jednako vrijednosti OM segment: x=OM. Broj x naziva koordinata točke M.

Dakle, svakoj točki koordinatne crte odgovara određeni realni broj - njezina koordinata. Vrijedi i obrnuto, svakom realnom broju x odgovara neka točka na koordinatnom pravcu, odnosno takva točka M, čija je koordinata x. Ovo dopisivanje se zove međusobno nedvosmisleni.

Dakle, realni brojevi se mogu prikazati točkama koordinatne linije, tj. koordinatna linija služi kao slika skupa svih realnih brojeva. Stoga se skup svih realnih brojeva naziva brojevni pravac, a bilo koji broj je točka ovog pravca. U blizini točke na brojevnoj liniji često se označava broj - njegova koordinata.

Pravokutni (ili Kartezijev) koordinatni sustav na ravnini.

Dvije međusobno okomite osi Oko x I Oko y imajući zajednički početak OKO i ista jedinica mjerila, oblik pravokutni (ili kartezijanski) koordinatni sustav na ravnini.

Os OH naziva se x-os, os OY- y-os. Točka OKO sjecište osi nazivamo ishodištem. Ravnina u kojoj se nalaze osi OH I OY, naziva se koordinatna ravnina i označava Oh xy.

Dakle, pravokutni koordinatni sustav na ravnini uspostavlja korespondenciju jedan na jedan između skupa svih točaka ravnine i skupa parova brojeva, što omogućuje primjenu algebarskih metoda pri rješavanju geometrijskih problema. Koordinatne osi dijele ravninu na 4 dijela, nazivaju se četvrtine, kvadrat ili koordinatni kutovi.

Polarne koordinate.

Polarni koordinatni sustav sastoji se od neke točke OKO nazvao pol, i zraku koja izlazi iz njega OE nazvao polarna os. Dodatno je postavljena jedinica mjerila za mjerenje duljina segmenata. Neka je zadan polarni koordinatni sustav i neka M je proizvoljna točka ravnine. Označimo sa R– udaljenost točke M od točke OKO, i kroz φ - kut za koji je zraka zakrenuta u smjeru suprotnom od kazaljke na satu od polarne osi kako bi se poklopila sa zrakom OM.

polarne koordinate bodova M nazovite brojeve R I φ . Broj R smatrati prvom koordinatom i nazivati polarni radijus, broj φ - zove se druga koordinata polarni kut.

Točka M s polarnim koordinatama R I φ označeni su kako slijedi: M( ;φ). Uspostavimo vezu između polarnih koordinata točke i njezinih pravokutnih koordinata.
U tom slučaju pretpostavit ćemo da je ishodište pravokutnog koordinatnog sustava na polu, a pozitivna poluos apscise poklapa se s polarnom osi.

Neka točka M ima pravokutne koordinate x I Y i polarne koordinate R I φ .

(1)

Dokaz.

Ispustite s točkica M 1 I M 2 okomice M 1 V I M 1 A,. jer (x 2; y 2). Po teoriji, ako M 1 (x 1) I M 2 (x 2) su bilo koje dvije točke i α je udaljenost između njih, tada α = ‌‌‌‍‌|x 2 - x 1 | .

Izračun udaljenosti između točaka prema njihovim koordinatama na ravnini je elementaran, na površini Zemlje malo je kompliciraniji: razmotrit ćemo mjerenje udaljenosti i početnog azimuta između točaka bez transformacija projekcije. Prvo, shvatimo terminologiju.

Uvod

Duljina luka velike kružnice- najkraća udaljenost između bilo koje dvije točke koje se nalaze na površini sfere, mjerena duž crte koja povezuje te dvije točke (takva linija se naziva ortodroma) i prolazi duž površine sfere ili druge površine revolucije. Sferna geometrija razlikuje se od uobičajene euklidske, a jednadžbe udaljenosti također imaju drugačiji oblik. U euklidskoj geometriji najkraća udaljenost između dviju točaka je ravna linija. Na sferi nema ravnih linija. Ove linije na sferi dio su velikih kružnica – kružnica čija se središta poklapaju sa središtem sfere. Početni azimut- azimut, koji će, kada se kreće od točke A, prateći veliki krug za najkraću udaljenost do točke B, krajnja točka biti točka B. Kada se kreće od točke A do točke B duž velike kružnice, azimut od trenutni položaj do krajnje točke B je konstantan i mijenja se. Početni azimut je različit od konstantnog, nakon čega se azimut od trenutne točke do konačne ne mijenja, ali ruta nije najkraća udaljenost između dvije točke.

Kroz bilo koje dvije točke na površini sfere, ako nisu ravno nasuprot jedna drugoj (to jest, nisu antipodi), može se povući jedinstvena velika kružnica. Dvije točke dijele veliku kružnicu na dva luka. Duljina kratkog luka je najkraća udaljenost između dviju točaka. Između dviju suprotnih točaka može se nacrtati beskonačan broj velikih kružnica, ali će udaljenost između njih biti ista na bilo kojoj kružnici i jednaka polovici opsega kružnice, ili π*R, gdje je R polumjer sfere.

Na ravnini (u pravokutnom koordinatnom sustavu), velike kružnice i njihovi fragmenti, kao što je gore navedeno, su lukovi u svim projekcijama, osim u gnomonskoj, gdje su velike kružnice ravne linije. U praksi to znači da zrakoplovi i drugi zračni prijevoz uvijek koriste rutu minimalne udaljenosti između točaka radi uštede goriva, odnosno let se izvodi na udaljenosti velikog kruga, u ravnini izgleda kao luk.

Oblik Zemlje može se opisati kao kugla, pa su jednadžbe za izračunavanje udaljenosti na veliki krug važni su za izračunavanje najkraće udaljenosti između točaka na Zemljinoj površini i često se koriste u navigaciji. Izračunavanje udaljenosti ovom metodom je učinkovitije iu mnogim slučajevima točnije od izračunavanja za projicirane koordinate (u pravokutnim koordinatnim sustavima), jer, prvo, ne treba prevesti zemljopisne koordinate u pravokutni koordinatni sustav (izvedite transformacije projekcije) i, drugo, mnoge projekcije, ako su pogrešno odabrane, mogu dovesti do značajnih iskrivljenja duljine zbog značajki iskrivljenja projekcije. Poznato je da ne sfera, već elipsoid točnije opisuje oblik Zemlje, međutim, ovaj članak govori o izračunu udaljenosti na sferi, za izračune se koristi sfera polumjera 6372795 metara, što može dovesti do greška u izračunavanju udaljenosti reda veličine 0,5%.

Formule

Postoje tri načina za izračunavanje sferne udaljenosti velikog kruga. 1. Teorem sfernog kosinusa U slučaju malih udaljenosti i male dubine bita izračuna (broj decimalnih mjesta), korištenje formule može dovesti do značajnih pogrešaka zaokruživanja. φ1, λ1; φ2, λ2 - zemljopisna širina i dužina dviju točaka u radijanima Δλ - koordinatna razlika u dužini Δδ - kutna razlika Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Da biste kutnu udaljenost pretvorili u metriku, morate pomnožiti kutna razlika polumjera Zemlje (6372795 metara), jedinice konačne udaljenosti bit će jednake jedinicama u kojima je izražen polumjer (u ovaj slučaj- metara). 2. Haversinus formula Koristi se za izbjegavanje problema s kratkim udaljenostima. 3. Modifikacija za antipode Prethodna formula je također podložna problemu antipoda, kako bi se to riješilo, koristi se sljedeća modifikacija.

Moja implementacija u PHP-u

// Zemljin radijus define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Udaljenost između dvije točke * $φA, $λA - zemljopisna širina, dužina 1. točke, * $φB, $λB - širina, dužina 2. točke * Na temelju http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ funkcija izračunaUdaljenost ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // pretvori koordinate u radijane $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // kosinusi i sinusi razlika geografskih širina i dužina $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // izračuni duljina velike kružnice $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Primjer poziva funkcije: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo izračunajUdaljenost($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metri"; // Vraća "17166029 metara"

Svaka točka A ravnine karakterizirana je svojim koordinatama (x, y). One se podudaraju s koordinatama vektora 0A , koji izlazi iz točke 0 - ishodišta.

Neka su A i B proizvoljne točke ravnine s koordinatama (x 1 y 1) odnosno (x 2, y 2).

Tada vektor AB očito ima koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Poznato je da je kvadrat duljine vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata. Dakle, udaljenost d između točaka A i B, odnosno, što je isto, duljina vektora AB, određena je iz uvjeta

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Rezultirajuća formula omogućuje vam da pronađete udaljenost između bilo koje dvije točke ravnine, ako su poznate samo koordinate tih točaka

Svaki put, govoreći o koordinatama jedne ili druge točke ravnine, imamo na umu dobro definiran koordinatni sustav x0y. Općenito, koordinatni sustav u ravnini može se odabrati na različite načine. Dakle, umjesto x0y koordinatnog sustava možemo uzeti u obzir xִy koordinatni sustav koji se dobiva rotiranjem starih koordinatnih osi oko početne točke 0 suprotno od kazaljke na satu strelice na uglu α .

Ako neka točka ravnine u koordinatnom sustavu x0y ima koordinate (x, y), tada in novi sustav koordinate hִu već će imati druge koordinate (h, y).

Kao primjer, razmotrite točku M koja se nalazi na osi 0x i udaljena je od točke 0 na udaljenosti jednakoj 1.

Očito, u x0y koordinatnom sustavu, ova točka ima koordinate (cos α , grijeh α ), a u koordinatnom sustavu hִu koordinate su (1,0).

Koordinate bilo koje dvije točke ravnine A i B ovise o tome kako je postavljen koordinatni sustav u toj ravnini. I ovdje udaljenost između tih točaka ne ovisi o tome kako je zadan koordinatni sustav .

Ostali materijali