Umnožak vektora i samog sebe. Vektorski produkt vektora zadanih koordinatama

Engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web preglednik koji se u budućnosti neće moći povezati s Wikipedijom. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 更加 安全 您 正 在 使用 旧 的 浏览器 在 在 将来 无法 维基 百科 百科。 您 设备 或 联络 您 的。 更 长 英语 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 英语 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 仅 或 或 或 或 或 或 或 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 联络 ，.英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英诂

španjolski: Wikipedia je na sigurnom mjestu. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: の の を め て ます ご 利用 の は が 古く 、 、 に 接続 なく なる 性 が を 更新 、 の ください。。。。。。。。。。。。。 技術。 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 技術 なる なる なる なる なる なる なる 性 性 性 性 性 性 性 性 性 性.詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 情報 以下 以下 に 英語 で 提供 し い ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

talijanski: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švedska: Wikipedia je pogledala stranicu više. Vaši drugi web-mjesta su uključeni u traženje Wikipedije u framtiden-u. Updatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg preglednika oslanja za povezivanje s našim stranicama. To je obično uzrokovano zastarjelim preglednicima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja korporativnog ili osobnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova će poruka ostati do 1. siječnja 2020. Nakon tog datuma vaš preglednik neće moći uspostaviti vezu s našim poslužiteljima.

Definicija. Vektorski umnožak vektora a (množitelja) s vektorom (množiteljem) koji mu nije kolinearan je treći vektor c (umnožak), koji se konstruira na sljedeći način:

1) njegov modul je numerički jednak površini paralelograma na sl. 155), izgrađen na vektorima, tj. jednak je pravcu okomitom na ravninu spomenutog paralelograma;

3) u ovom slučaju odabire se smjer vektora c (od dva moguća) tako da vektori c čine desni sustav (§ 110).

Oznaka: ili

Dodatak definiciji. Ako su vektori kolinearni, smatrajući lik (uvjetno) paralelogramom, prirodno je dodijeliti nultu površinu. Zato vektorski proizvod kolinearnih vektora smatra se jednakim nultom vektoru.

Budući da se nultom vektoru može dodijeliti bilo koji smjer, ova konvencija nije u suprotnosti s točkama 2 i 3 definicije.

Napomena 1. U izrazu "vektorski umnožak" prva riječ označava da je rezultat radnje vektor (za razliku od skalarnog umnoška; usp. § 104, napomena 1).

Primjer 1. Naći vektorski umnožak gdje su glavni vektori desnog koordinatnog sustava (sl. 156).

1. Budući da su duljine glavnih vektora jednake jedinici ljestvice, površina paralelograma (kvadrata) brojčano je jednaka jedinici. Stoga je modul vektorskog produkta jednak jedan.

2. Budući da je okomica na ravninu os, željeni vektorski produkt je vektor kolinearan vektoru k; a budući da oba imaju modul 1, traženi križni umnožak je k ili -k.

3. Od ova dva moguća vektora treba odabrati prvi, budući da vektori k čine desni sustav (a vektori lijevi).

Primjer 2. Pronađite umnožak

Riješenje. Kao u primjeru 1, zaključujemo da je vektor ili k ili -k. Ali sada trebamo odabrati -k, budući da vektori tvore desni sustav (a vektori tvore lijevi). Tako,

Primjer 3 Vektori imaju duljine 80, odnosno 50 cm i tvore kut od 30°. Uzimajući metar kao jedinicu duljine, pronađite duljinu vektorskog umnoška a

Riješenje. Površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka je Duljina željenog vektorskog umnoška jednaka je

Primjer 4. Odredite duljinu umnoška istih vektora, uzimajući centimetar kao jedinicu duljine.

Riješenje. Budući da je površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka duljini vektorskog umnoška je 2000 cm, tj.

Usporedba primjera 3 i 4 pokazuje da duljina vektora ne ovisi samo o duljinama faktora, već i o izboru jedinice za duljinu.

Fizičko značenje vektorskog produkta. Od mnogih fizikalnih veličina predstavljenih vektorskim umnoškom, razmotrit ćemo samo moment sile.

Neka je A točka primjene sile. Moment sile u odnosu na točku O naziva se vektorski proizvod. Budući da je modul ovog vektorskog proizvoda brojčano jednak površini paralelograma (slika 157), modul momenta jednak je umnošku baze s visinom, tj. sila pomnožena s udaljenosti od točke O do pravca po kojem sila djeluje.

U mehanici se dokazuje da je za ravnotežu krutog tijela potrebno da ne samo zbroj vektora koji predstavljaju sile koje djeluju na tijelo, već i zbroj momenata sila bude jednak nuli. U slučaju kada su sve sile paralelne s istom ravninom, zbrajanje vektora koji predstavljaju momente može se zamijeniti zbrajanjem i oduzimanjem njihovih modula. Ali za proizvoljne smjerove sila takva je zamjena nemoguća. Sukladno tome križni umnožak definiran je upravo kao vektor, a ne kao broj.

The online kalkulator izračunava umnožak vektora. Dano je detaljno rješenje. Da biste izračunali umnožak vektora, unesite koordinate vektora u ćelije i kliknite na "Izračunaj".

×

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputa za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak mora biti upisan u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Umnožak vektora

Prije nego što prijeđemo na definiciju vektorskog produkta vektora, razmotrite koncepte uređena trojka vektora, lijeva trojka vektora, desna trojka vektora.

Definicija 1. Tri vektora se nazivaju naručeno trostruko(ili trostruki) ako je naznačeno koji je od ovih vektora prvi, koji je drugi, a koji treći.

Snimanje cba- znači - prvi je vektor c, drugi je vektor b a treći je vektor a.

Definicija 2. Trojka nekoplanarnih vektora abc nazivamo desnim (lijevim) ako su, kada se svedu na zajednički početak, ovi vektori raspoređeni tako da su redom veliki, nesavijeni indeks i srednji prsti desna (lijeva) ruka.

Definicija 2 može se formulirati i na drugi način.

Definicija 2. Trojka nekoplanarnih vektora abc nazivamo desnim (lijevim) ako, kada se svede na zajedničko ishodište, vektor c koji se nalazi s druge strane ravnine definirane vektorima a I b, odakle je najkraći zavoj a Do b izvedeno suprotno (u smjeru kazaljke na satu).

Vektorski trio abc prikazano na sl. 1 je pravo i trostruko abc prikazano na sl. 2 je lijevo.

Ako su dvije trojke vektora desne ili lijeve, tada se kaže da imaju istu orijentaciju. Inače se kaže da su suprotne orijentacije.

Definicija 3. Kartezijanski ili afini koordinatni sustav nazivamo desnim (lijevim) ako tri bazna vektora tvore desnu (lijevu) trojku.

Definicije radi, u nastavku ćemo razmatrati samo desne koordinatne sustave.

Definicija 4. vektorska umjetnost vektor a po vektoru b nazvan vektor S, označen simbolom c=[ab] (ili c=[a,b], ili c=a×b) i zadovoljavaju sljedeća tri zahtjeva:

• duljina vektora S jednaka je umnošku duljina vektora a I b na sinus kuta φ između njih:

|c|=|[ab]|=|a||b|grijehφ;

(1)

• vektor S ortogonalno na svaki od vektora a I b;
• vektor c usmjerena tako da tri abc ispravno je.

Umnožak vektora ima sljedeća svojstva:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilnost faktori);
• [(λa)b]=λ [ab] (kompatibilnost u odnosu na numerički faktor);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (distribucija u odnosu na zbroj vektora);
• [aa]=0 za bilo koji vektor a.

Geometrijska svojstva umnoška vektora

Teorem 1. Da bi dva vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da njihov vektorski produkt bude jednak nuli.

Dokaz. Nužnost. Neka vektori a I b kolinearni. Tada je kut između njih 0 ili 180° i grijehφ=grijeh180=grijeh 0=0. Dakle, uzimajući u obzir izraz (1), duljina vektora c jednaka nuli. Zatim c nulti vektor.

Adekvatnost. Neka je umnožak vektora a I b navigacija do nule: [ ab]=0. Dokažimo da vektori a I b kolinearni. Ako je barem jedan od vektora a I b nula, onda su ti vektori kolinearni (jer nulti vektor ima neodređen smjer i može se smatrati kolinearnim bilo kojem vektoru).

Ako oba vektora a I b različit od nule, tada | a|>0, |b|>0. Zatim od [ ab]=0 i iz (1) slijedi da je grijehφ=0. Stoga vektori a I b kolinearni.

Teorem je dokazan.

Teorem 2. Duljina (modul) vektorskog produkta [ ab] jednako površini S paralelogram izgrađen na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a I b.

Dokaz. Kao što znate, površina paralelograma jednaka je proizvodu susjednih strana ovog paralelograma i sinusa kuta između njih. Stoga:

Tada umnožak ovih vektora ima oblik:

Proširujući determinantu preko elemenata prvog reda, dobivamo dekompoziciju vektora a×b osnova ja, j, k, što je ekvivalentno formuli (3).

Dokaz teorema 3. Sastavite sve moguće parove baznih vektora ja, j, k i izračunati njihov vektorski produkt. Treba uzeti u obzir da su bazni vektori međusobno ortogonalni, čine pravu trojku i imaju jediničnu duljinu (drugim riječima, možemo pretpostaviti da ja={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Zatim imamo:

Iz posljednje jednakosti i relacije (4) dobivamo:

Sastavite matricu 3×3, čiji su prvi redovi bazni vektori ja, j, k, a preostali redovi popunjavaju se elementima vektora a I b.

Prije davanja pojma vektorskog produkta, okrenimo se pitanju orijentacije uređene trojke vektora a → , b → , c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak odvojimo vektore a → , b → , c → iz jedne točke. Orijentacija trojke a → , b → , c → je desna ili lijeva, ovisno o smjeru vektora c → . Iz smjera u kojem je napravljen najkraći zavoj od vektora a → do b → od kraja vektora c → odredit će se oblik trojke a → , b → , c →.

Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva pravo ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b → . Odložimo zatim vektore A B → = a → i A C → = b → iz točke A. Konstruirajmo vektor A D → = c → , koji je istovremeno okomit na A B → i A C → . Dakle, kada konstruiramo vektor A D → = c →, možemo učiniti dvije stvari, dajući mu jedan ili suprotan smjer (vidi sliku).

Uređeni trio vektora a → , b → , c → može biti, kako smo saznali, desni ili lijevi ovisno o smjeru vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog produkta. Ova definicija dana je za dva vektora definirana u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski produkt dvaju vektora a → i b → nazvat ćemo takav vektor zadan u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora tako da je:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, bit će nula;
• bit će okomit na vektor a →​​ i na vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• duljina mu je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• trojka vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao zadani koordinatni sustav.

Umnožak vektora a → i b → ima sljedeću oznaku: a → × b → .

Koordinate križnih proizvoda

Budući da svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sustavu, moguće je uvesti drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate iz zadanih koordinata vektora.

Definicija 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora vektorski produkt dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazovimo vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdje su i → , j → , k → koordinatni vektori.

Vektorski umnožak može se prikazati kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, gdje su prvi red orta vektori i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći je koordinate vektora b → u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu ova determinanta matrice izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Proširujući ovu determinantu na elemente prvog retka, dobivamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Svojstva unakrsnog proizvoda

Poznato je da se vektorski umnožak u koordinatama predstavlja kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , tada na bazi svojstva determinante matrice sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b → , gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva nemaju komplicirane dokaze.

Na primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva retka matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotnu, dakle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , što i dokazuje antikomutativnost vektorskog produkta.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U zadacima prvog tipa obično su zadane duljine dvaju vektora i kut između njih, ali je potrebno pronaći duljinu umnoška. U ovom slučaju upotrijebite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Odredite duljinu umnoška vektora a → i b → ako je poznato a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Riješenje

Koristeći definiciju duljine vektorskog umnoška vektora a → i b →, rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Odgovor: 15 2 2 .

Zadaci drugog tipa imaju vezu s koordinatama vektora, sadrže vektorski produkt, njegovu duljinu itd. pretraživali po poznatim koordinatama zadani vektori a → = (a x; a y; a z) I b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu zadataka možete riješiti puno opcija za zadatke. Na primjer, ne koordinate vektora a → i b → , već njihova proširenja u koordinatne vektore oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ili se vektori a → i b → mogu dati koordinatama svojih početne i krajnje točke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu postavljena su dva vektora a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Pronađite njihov vektorski umnožak.

Riješenje

Prema drugoj definiciji nalazimo vektorski umnožak dvaju vektora u zadanim koordinatama: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako križni umnožak napišemo u terminima determinante matrice, tada je rješenje ovaj primjer izgleda ovako: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odredite duljinu umnoška vektora i → - j → i i → + j → + k → , gdje su i → , j → , k → - orti pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava.

Riješenje

Najprije pronađimo koordinate zadanog vektorskog umnoška i → - j → × i → + j → + k → u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1 ; - 1 ; 0) odnosno (1 ; 1 ; 1). Nađite duljinu vektorskog umnoška pomoću determinante matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Stoga vektorski produkt i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u zadanom koordinatnom sustavu.

Duljinu vektorskog umnoška nalazimo po formuli (pogledajte odjeljak o pronalaženju duljine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

Koordinate triju točaka A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) dane su u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu. Pronađite neki vektor okomit na A B → i A C → istodobno.

Riješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) odnosno (0 ; 4 ; 1). Nakon što smo pronašli vektorski umnožak vektora A B → i A C → , očito je da je on po definiciji okomit vektor na A B → i A C → , odnosno da je to rješenje našeg problema. Nađi A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedan od okomitih vektora.

Problemi treće vrste usmjereni su na korištenje svojstava vektorskog umnoška vektora. Nakon čije primjene ćemo dobiti rješenje zadanog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → okomiti su i duljine su im 3 odnosno 4. Odredite duljinu umnoška 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Riješenje

Svojstvom distributivnosti vektorskog produkta možemo pisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti izbacujemo numeričke koeficijente iza predznaka vektorskih produkata u zadnjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski produkti a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da je a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , tada je 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog produkta slijedi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog umnoška, ​​dobivamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prema uvjetu, vektori a → i b → su okomiti, odnosno kut između njih je jednak π 2 . Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Duljina umnoška vektora po definiciji je a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Budući da je već poznato (iz školskog tečaja) da je površina trokuta jednaka polovici umnoška duljina njegovih dviju strana pomnoženih sa sinusom kuta između tih strana. Dakle, duljina vektorskog produkta jednaka je površini paralelograma - dvostrukog trokuta, odnosno produkta stranica u obliku vektora a → i b → , odloženih iz jedne točke, sinusom kuta između njih sin ∠ a → , b → .

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog produkta.

Fizičko značenje vektorskog produkta

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na točku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → , primijenjenom na točku B , u odnosu na točku A razumjet ćemo sljedeći vektorski produkt A B → × F → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Svojstva točkastog produkta

Točkasti umnožak vektora, definicija, svojstva

Linearne operacije na vektorima.

Vektori, osnovni pojmovi, definicije, linearne operacije nad njima

Vektor na ravnini je uređeni par svojih točaka, pri čemu se prva točka naziva početak, a druga kraj - vektora.

Dva vektora nazivamo jednakima ako su jednaki i susmjerni.

Vektori koji leže na istom pravcu nazivaju se susmjernim ako su susmjerni s nekim od istog vektora koji ne leži na tom pravcu.

Vektori koji leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima nazivaju se kolinearni, a kolinearni, ali ne suusmjerni, nazivaju se suprotno usmjereni.

Vektori koji leže na okomitim pravcima nazivaju se ortogonalnima.

Definicija 5.4. iznos a+b vektori a I b naziva se vektor koji dolazi s početka vektora A do kraja vektora b , ako je početak vektora b poklapa s krajem vektora A .

Definicija 5.5. razlika a - b vektori A I b takav se vektor naziva S , koji zajedno s vektorom b daje vektor A .

Definicija 5.6. raditik a vektor A po broju k nazvan vektor b , kolinearni vektor A , koji ima modul jednak | k||a |, i smjer koji je isti kao i smjer A na k>0 i suprotno A na k<0.

Svojstva množenja vektora brojem:

Svojstvo 1. k(a+b ) = k a+ k b.

Svojstvo 2. (k+m)a = k a+ m a.

Svojstvo 3. k(m a) = (km)a .

Posljedica. Ako vektori različiti od nule A I b su kolinearni, onda postoji broj k, Što b= k a.

Skalarni produkt dva vektora različita od nule a I b naziva se broj (skalar) jednak umnošku duljina tih vektora i kosinusa kuta φ između njih. Skalarni umnožak može se izraziti na različite načine, na primjer, kao ab, a · b, (a , b), (a · b). Dakle, točkasti proizvod je:

a · b = |a| · | b| cos φ

Ako je barem jedan od vektora jednak nuli, tada je skalarni umnožak jednak nuli.

Svojstvo permutacije: a · b = b · a(skalarni produkt se ne mijenja permutacijom faktora);

svojstvo distribucije: a · ( b · c) = (a · b) · c(rezultat ne ovisi o redoslijedu množenja);

Svojstvo kombinacije (u odnosu na skalarni faktor): (λ a) · b = λ ( a · b).

Svojstvo ortogonalnosti (okomitosti): ako vektor a I b različit od nule, tada je njihov točkasti umnožak nula samo kada su ti vektori ortogonalni (okomiti jedan na drugi) a ┴ b;

Kvadratno svojstvo: a · a = a 2 = |a| 2 (skalarni umnožak vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegovog modula);

Ako koordinate vektora a=(x 1 , y 1 , z 1 ) i b=(x 2 , y 2 , z 2 ), tada je skalarni umnožak a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor drži vektore. Definicija: Vektorski produkt dvaju vektora i shvaća se kao vektor za koji:

Modul je jednak površini paralelograma izgrađenog na tim vektorima, tj. , gdje je kut između vektora i

Ovaj vektor je okomit na umnožene vektore, tj.

Ako vektori nisu kolinearni, onda tvore desnu trojku vektora.

Svojstva unakrsnog proizvoda:

1. Kada se promijeni redoslijed faktora, vektorski produkt mijenja predznak u suprotan, zadržavajući modul, tj.

2 .Kvadrat vektora jednak je nul-vektoru, tj.

3 .Skalarni faktor se može izvući iz predznaka vektorskog produkta, t.j.

4 .Za bilo koja tri vektora, jednakost

5 .Potreban i dovoljan uvjet kolinearnosti dva vektora i :