Glavni elementi trokuta abc. Što je simetrala trokuta: svojstva vezana uz omjer stranica

Među brojnim predmetima u srednjoj školi postoji i "geometrija". Tradicionalno se smatra da su utemeljitelji ove sustavne znanosti Grci. Danas se grčka geometrija naziva elementarnom, jer je ona započela proučavanje najjednostavnijih oblika: ravnina, linija i trokuta. Usredotočit ćemo se na potonje, odnosno na simetralu ove figure. Za one koji su već zaboravili, simetrala trokuta je segment simetrale jednog od kutova trokuta, koji ga dijeli na pola i povezuje vrh s točkom koja se nalazi na suprotnoj strani.

Simetrala trokuta ima niz svojstava koja morate znati pri rješavanju određenih problema:

• Simetrala kuta je geometrijsko mjesto točaka koje su jednako udaljene od stranica koje graniče s kutom.
• Simetrala u trokutu dijeli suprotnu stranu kuta na segmente koji su proporcionalni susjednim stranicama. Na primjer, dan je trokut MKB, gdje simetrala izlazi iz kuta K, spajajući vrh tog kuta s točkom A na suprotnoj strani od MB. Nakon analize ovog svojstva i našeg trokuta, imamo MA/AB=MK/KB.
• Točka u kojoj se sijeku simetrale sva tri kuta trokuta je središte kružnice koja je upisana u isti trokut.
• Osnovice simetrala jednog vanjskog i dvaju unutarnjih kutova nalaze se na istom pravcu, s tim da simetrala vanjskog kuta nije paralelna sa suprotnom stranicom trokuta.
• Ako su dvije simetrale jednog onda ovo

Treba napomenuti da ako su dane tri simetrale, onda je nemoguće izgraditi trokut pomoću njih, čak i uz pomoć šestara.

Vrlo često kod rješavanja zadataka nepoznata je simetrala trokuta, ali je potrebno odrediti njezinu duljinu. Da bi se riješio takav problem, potrebno je znati kut koji je simetrala podijeljen na pola, te strane koje su uz ovaj kut. U ovom slučaju, željena duljina definirana je kao omjer dvostrukog umnoška stranica koje graniče s kutom i kosinusa kuta podijeljenog na pola prema zbroju stranica koje graniče s kutom. Na primjer, dan je isti trokut MKB. Simetrala napušta kut K i siječe suprotnu stranicu od MB u točki A. Kut iz kojeg izlazi simetrala označen je s y. Sada zapišimo sve što je riječima rečeno u obliku formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Ako je vrijednost kuta iz kojeg izlazi simetrala trokuta nepoznata, ali su poznate sve njegove stranice, tada ćemo za izračunavanje duljine simetrale koristiti dodatnu varijablu koju ćemo nazvati poluopseg i označiti slovom P: P=1/2*(MK+KB+MB). Nakon toga unijet ćemo neke izmjene u prethodnu formulu prema kojoj je određena duljina simetrale, naime u brojniku razlomka stavit ćemo dvostruki umnožak duljina stranica koje graniče s kutom i poluperimetrom i kvocijent, gdje se duljina treće stranice oduzima od poluperimetra. Nazivnik ostavljamo nepromijenjen. U obliku formule to će izgledati ovako: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Simetrala jednakokračnog trokuta, uz zajednička svojstva, ima i nekoliko svojih. Prisjetimo se što je trokut. U takvom trokutu dvije strane su jednake, a kutovi uz bazu su jednaki. Slijedi da su simetrale koje se spuštaju na stranice jednakokračnog trokuta međusobno jednake. Osim toga, simetrala spuštena na podnožje je istovremeno i visina i središnja.

Unutarnji kutovi trokuta nazivaju se simetrala trokuta.
Pod simetralom kuta trokuta podrazumijeva se i odsječak između njegovog vrha i sjecišta simetrale sa suprotnom stranom trokuta.
Teorem 8. Tri simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.
Doista, prvo razmotrimo točku R sjecišta dviju simetrala, na primjer, AK 1 i VC 2. Ta je točka jednako udaljena od stranica AB i AC, jer leži na simetrali kuta A, a jednako je udaljena od stranica AB i BC, koje pripadaju simetrali kuta B. Dakle, jednako je udaljena od simetrale kuta A. stranice AC i BC i tako pripada trećoj simetrali SK 3 , odnosno u točki P sijeku se sve tri simetrale.
Svojstva simetrala unutarnjih i vanjskih kutova trokuta
Teorem 9. Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
Dokaz. Promotrimo trokut ABC i simetralu njegova kuta B. Povucimo ravnu liniju CM kroz vrh C, paralelnu sa simetralom BK, dok je ne presječe u točki M kao produžetak stranice AB. Kako je VC simetrala kuta ABC, onda je ∠ ABK=∠ KBC. Nadalje, ∠ ABK=∠ VMS, kao odgovarajući kutovi kod paralelnih pravaca, i ∠ KBC=∠ VCM, kao poprečni kutovi kod paralelnih pravaca. Odavde je ∠ VCM=∠ VMS, pa je trokut VMS jednakokračan, stoga je BC=VM. Prema teoremu o paralelnim pravcima koji sijeku stranice kuta imamo AK:K C=AB:VM=AB:BC, što je trebalo dokazati.
Teorem 10 Simetrala vanjskog kuta B trokuta ABC ima slično svojstvo: odsječci AL i CL od vrhova A i C do točke L sjecišta simetrale s produžetkom stranice AC proporcionalni su stranicama trokuta ABC. trokut: AL: CL=AB :BC .
Ovo se svojstvo dokazuje na isti način kao i prethodno: na slici je povučena pomoćna pravac CM, paralelna sa simetralom BL . Kutovi BMC i BCM su jednaki, što znači da su stranice BM i BC trokuta BMC jednake. Iz čega dolazimo do zaključka AL:CL=AB:BC.

Teorem d4. (prva formula za simetralu): Ako je u trokutu ABC segment AL simetrala kuta A, onda je AL? = AB AC - LB LC.

Dokaz: Neka je M sjecišna točka pravca AL s kružnicom opisanom oko trokuta ABC (slika 41). Kut BAM jednak je kutu MAC prema konvenciji. Kutovi BMA i BCA jednaki su kao upisani kutovi koji se temelje na istoj tetivi. Dakle, trokuti BAM i LAC slični su u dva kuta. Prema tome, AL: AC = AB: AM. Dakle, AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Što je trebalo i dokazati. Napomena: za teorem o odsječcima tetiva koje se sijeku u kružnici i o upisanim kutovima vidi temu krug i kružnica.

Teorem d5. (druga formula za simetralu): U trokutu ABC sa stranicama AB=a, AC=b i kutom A jednakim 2? i simetrale l, vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Dokaz: Neka je ABC zadani trokut, AL njegova simetrala (sl. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Tada je S ABC = S ALB + S ALC . Stoga absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin? cos? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Teorem je dokazan.

Što je simetrala kuta trokuta? Na ovo pitanje neki ljudi imaju ozloglašenog štakora koji trči po uglovima i dijeli ugao na pola. "Ako odgovor mora biti "s humorom", onda je možda točan. Ali sa znanstvenog stajališta, odgovor na ovo je pitanje trebalo zvučati otprilike ovako: početi od vrha kuta i podijeliti ga na dva jednaka dijela. U geometriji se ovaj lik također percipira kao segment simetrale sve dok se ne siječe sa suprotnom stranom trokuta. To nije pogrešno mišljenje. A što se još zna o simetrali kuta, osim njezine definicije?

Kao i svako mjesto točaka, ima svoje karakteristike. Prvi od njih nije čak ni znak, već teorem koji se može ukratko izraziti na sljedeći način: "Ako je suprotna stranica podijeljena na dva dijela simetralom, tada će njihov omjer odgovarati omjeru stranica velikog trokut."

Drugo svojstvo koje ima: točka presjeka simetrala svih kutova naziva se središte upisa.

Treći znak: simetrale jednog unutarnjeg i dva vanjska kuta trokuta sijeku se u središtu jedne od tri u njega upisane kružnice.

Četvrto svojstvo simetrale kuta trokuta je da ako je svaki od njih jednak, onda je zadnji jednakokračan.

Peti znak također se odnosi na jednakokračni trokut i glavna je smjernica za njegovo prepoznavanje u crtežu simetralama, naime: u jednakokračnom trokutu on istovremeno djeluje kao središnja i visina.

Simetrala kuta može se konstruirati pomoću šestara i ravnala:

Šesto pravilo kaže da je nemoguće konstruirati trokut koristeći potonji samo s dostupnim simetralama, kao što je nemoguće konstruirati udvostručenje kocke, kvadrat kruga i trisekciju kuta na ovaj način. Strogo govoreći, ovo su sva svojstva simetrale kuta trokuta.

Ako ste pažljivo pročitali prethodni odlomak, možda vas je zanimala jedna fraza. "Što je trisekcija kuta?" - sigurno ćete pitati. Trisectrix je malo sličan simetrali, ali ako nacrtate potonju, tada će kut biti podijeljen na dva jednaka dijela, a kada se konstruira trisekcija, na tri. Naravno, simetralu kuta je lakše zapamtiti, jer se trisekcija ne uči u školi. Ali radi potpunosti, ispričat ću vam o tome.

Trisektor se, kao što rekoh, ne može napraviti samo šestarom i ravnalom, već se može napraviti pomoću Fujitinih pravila i nekih krivulja: Pascalovih puževa, kvadrata, Nikomedovih konhoida, konusnih presjeka,

Zadaci trisekcije kuta vrlo se jednostavno rješavaju uz pomoć nevsisa.

U geometriji postoji teorem o trisektorima kuta. Zove se Morley (Morleyev) teorem. Ona tvrdi da će točke presjeka trisektora u sredini svakog kuta biti vrhovi

Mali crni trokut unutar velikog će uvijek biti jednakostraničan. Ovaj teorem otkrio je britanski znanstvenik Frank Morley 1904. godine.

Evo koliko možete naučiti o dijeljenju kuta: trisektora i simetrala kuta uvijek zahtijevaju detaljna objašnjenja. Ali ovdje su dane mnoge definicije koje još nisam otkrio: Pascalov puž, Nikomedov konhoid, itd. Nema sumnje, o njima se može još pisati.

SVOJSTVA BISEKTRILE

Svojstvo simetrale: U trokutu simetrala dijeli suprotnu stranicu na segmente proporcionalne susjednim stranicama.

Simetrala vanjskog kuta Simetrala vanjskog kuta trokuta siječe produžetak njegove stranice u točki od koje su udaljenosti do krajeva te stranice proporcionalne, odnosno, susjednim stranicama trokuta. C B A D

Formule simetrale duljine:

Formula za određivanje duljina odsječaka na koje simetrala dijeli suprotnu stranicu trokuta

Formula za pronalaženje omjera duljina odsječaka na koje je simetrala podijeljena sjecištem simetrala

Zadatak 1. Jedna od simetrala trokuta podijeljena je sjecištem simetrala u omjeru 3:2, računajući od vrha. Odredi opseg trokuta ako je duljina stranice trokuta kojoj je povučena simetrala 12 cm.

Rješenje Pomoću formule nalazimo omjer duljina odsječaka na koje je simetrala podijeljena sjecištem simetrala u trokutu: 30. Odgovor: P = 30cm.

2. zadatak . Simetrale BD i CE ∆ ABC sijeku se u točki O. AB=14, BC=6, AC=10. Pronađite O D.

Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje duljine simetrale: Imamo: BD = BD = = Prema formuli za omjer odsječaka na koje je simetrala podijeljena sjecištem simetrala: l = . 2 + 1 = 3 dijela svega.

ovo je dio 1  OD = Odgovor: OD =

Zadaci U ∆ ABC nacrtane su simetrale AL i BK. Odredite duljinu odsječka KL ako je AB = 15, AK = 7,5, BL = 5. U ∆ ABC povučena je simetrala AD, a kroz točku D vodi pravac paralelan s AC i siječe AB u točki E. Odredite omjer površina ∆ ABC i ∆ BDE ako je AB = 5, AC = 7. Odredite simetrale šiljastih kutova pravokutnog trokuta s katetama 24 cm i 18 cm. Simetrala u pravokutnom trokutu oštar kut dijeli suprotnu nogu na segmente duljine 4 i 5 cm. Odredite površinu trokuta.

5. U jednakokračnom trokutu osnovica i stranica imaju 5 odnosno 20 cm.Nađi simetralu kuta na osnovici trokuta. 6. Odredi simetralu pravog kuta trokuta čije su katete jednake a i b. 7. Izračunaj duljinu simetrale kuta A trokuta ABC s duljinama stranica a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Nađite omjer u kojem se simetrale unutarnjih kutova dijele u točki njihova sjecišta.

Odgovori: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: AP = 6 AP = 10 vidi KL = CP =

Simetrala trokuta je uobičajeni geometrijski koncept koji ne uzrokuje velike poteškoće u učenju. Poznavajući njegova svojstva, mnogi se problemi mogu riješiti bez većih poteškoća. Što je simetrala? Pokušat ćemo upoznati čitatelja sa svim tajnama ove matematičke linije.

U kontaktu s

Suština pojma

Naziv koncepta proizašao je iz upotrebe riječi na latinskom, čije je značenje "bi" - dva, "sectio" - rez. Oni posebno ukazuju na geometrijsko značenje pojma - razbijanje prostora između zraka na dva jednaka dijela.

Simetrala trokuta je isječak koji polazi od vrha figure, a drugi kraj se nalazi na strani koja se nalazi nasuprot njoj, dok dijeli prostor na dva identična dijela.

Mnogi učitelji za brzo asocijativno pamćenje matematičkih pojmova od strane učenika koriste različitu terminologiju koja se prikazuje u stihovima ili asocijacijama. Naravno, ova se definicija preporučuje za stariju djecu.

Kako je označena ova linija? Ovdje se oslanjamo na pravila za označavanje segmenata ili zraka. Ako pričamo o oznaci simetrale kuta trokutaste figure, tada se obično piše kao segment, čiji su krajevi vrh i točku presjeka sa suprotnom stranom vrha. Štoviše, početak oznake napisan je točno s vrha.

Pažnja! Koliko simetrala ima trokut? Odgovor je očit: onoliko koliko ima vrhova - tri.

Svojstva

Pored definicije, školski udžbenik ne može se pronaći toliko svojstava ovog geometrijskog koncepta. Prvo svojstvo simetrale trokuta, s kojim se školarci upoznaju, je upisano središte, a drugo, izravno povezano s njim, je proporcionalnost segmenata. Zaključak je sljedeći:

1. Kakva god da je linija razdjelnice, na njoj postoje točke koje su na istoj udaljenosti od strana, koji čine prostor između zraka.
2. Da bismo u trokutastu figuru upisali krug, potrebno je odrediti točku u kojoj će se ti segmenti presijecati. Ovo je središnja točka kruga.
3. Dijelovi trokutaste stranice geometrijski lik, na koje se njegova razdjelnica dijeli, su u odnosu na stranice koje tvore kut.

Pokušat ćemo ostale značajke dovesti u sustav i iznijeti dodatne činjenice koje će pomoći boljem razumijevanju prednosti ovog geometrijskog koncepta.

Duljina

Jedan od tipova zadataka koji stvaraju poteškoće školarcima je pronalaženje duljine simetrale kuta trokuta. Prva opcija, u kojoj se nalazi njegova duljina, sadrži sljedeće podatke:

• veličina prostora između zraka, iz čijeg vrha izlazi dati segment;
• duljine stranica koje tvore ovaj kut.

Za rješavanje problema koristi se formula, čije je značenje pronaći omjer udvostručenog proizvoda vrijednosti strana koje čine kut, prema kosinusu njegove polovice, i zbroja strana.

Pogledajmo konkretan primjer. Pretpostavimo da nam je dana figura ABC, u kojoj je segment nacrtan iz kuta A i siječe stranicu BC u točki K. Vrijednost A označavamo s Y. Na temelju toga, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Druga verzija zadatka, u kojoj se određuje duljina simetrale trokuta, sadrži sljedeće podatke:

• poznate su vrijednosti svih strana figure.

Prilikom rješavanja problema ove vrste, u početku odrediti poluperimetar. Da biste to učinili, zbrojite vrijednosti svih strana i podijelite na pola: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Zatim primjenjujemo računsku formulu koja je korištena za određivanje duljine ovog segmenta u prethodnom zadatku. Potrebno je samo napraviti neke promjene u suštini formule u skladu s novim parametrima. Dakle, potrebno je pronaći omjer dvostrukog korijena drugog stupnja iz umnoška duljina stranica koje su uz vrh, poluopsega i razlike između poluopsega i duljine suprotnu stranu zbroju stranica koje čine kut. To jest, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Pažnja! Da biste lakše svladali materijal, možete se pozvati na dostupne na Internetu komične priče, govoreći o "avanturama" ove linije.