Ketimpangan linier. Sistem pertidaksamaan linier

lihat juga Memecahkan masalah pemrograman linier secara grafis, bentuk masalah pemrograman linier kanonik

Sistem kendala untuk masalah tersebut terdiri dari ketidaksetaraan dalam dua variabel:
dan fungsi tujuan mempunyai bentuk F = C 1 X + C 2 kamu yang perlu dimaksimalkan.

Mari kita jawab pertanyaannya: pasangan bilangan apa ( X; kamu) apakah solusi terhadap sistem pertidaksamaan, yaitu memenuhi setiap pertidaksamaan secara bersamaan? Dengan kata lain, apa yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu sistem secara grafis?
Pertama, Anda perlu memahami apa solusi dari satu pertidaksamaan linier dengan dua pertidaksamaan yang tidak diketahui.
Menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui berarti menentukan semua pasangan nilai yang tidak diketahui yang memiliki pertidaksamaan tersebut.
Misalnya, ketimpangan 3 X – 5kamu≥ 42 pasangan yang memuaskan ( X , kamu) : (100, 2); (3, –10), dst. Tugasnya adalah menemukan semua pasangan tersebut.
Mari kita pertimbangkan dua ketidaksetaraan: kapak + oleh≤ C, kapak + oleh≥ C. Lurus kapak + oleh = C membagi bidang menjadi dua setengah bidang sehingga koordinat titik salah satunya memenuhi pertidaksamaan kapak + oleh >C, dan ketimpangan lainnya kapak + +oleh <C.
Memang benar, mari kita ambil suatu titik dengan koordinat X = X 0 ; kemudian suatu titik yang terletak pada suatu garis dan mempunyai absis X 0, memiliki ordinat

Biarkan untuk kepastian A< 0, B>0, C>0. Semua titik dengan absis X 0 berbaring di atas P(misalnya, titik M), memiliki kamu M>kamu 0 , dan semua titik di bawah titik tersebut P, dengan absis X 0 , punya kamu N<kamu 0 . Karena X 0 adalah titik sembarang, maka akan selalu ada titik pada salah satu sisi garisnya kapak+ oleh > C, membentuk setengah bidang, dan di sisi lain - titik-titik yang kapak + oleh< C.

Gambar 1

Tanda pertidaksamaan pada setengah bidang bergantung pada angka A, B , C.
Ini menyiratkan metode berikut untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier dua variabel secara grafis. Untuk menyelesaikan sistem yang Anda butuhkan:

1. Untuk setiap pertidaksamaan, tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan tersebut.
2. Buatlah garis lurus yang merupakan grafik fungsi yang ditentukan oleh persamaan.
3. Untuk setiap garis, tentukan setengah bidang yang diberikan oleh pertidaksamaan tersebut. Untuk melakukan ini, ambil titik sembarang yang tidak terletak pada suatu garis dan substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan. jika pertidaksamaan tersebut benar, maka setengah bidang yang memuat titik yang dipilih adalah penyelesaian pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan tersebut salah, maka setengah bidang pada sisi lain garis tersebut adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
4. Untuk menyelesaikan suatu sistem pertidaksamaan, perlu dicari luas perpotongan semua setengah bidang yang merupakan penyelesaian setiap pertidaksamaan sistem tersebut.

Area ini mungkin kosong, maka sistem ketimpangan tidak memiliki solusi dan tidak konsisten. Jika tidak, sistem dikatakan konsisten.
Solusinya bisa berjumlah terbatas atau tidak terbatas. Luasnya bisa berupa poligon tertutup atau tidak dibatasi.

Mari kita lihat tiga contoh yang relevan.

Contoh 1. Selesaikan sistem secara grafis:
X + kamu – 1 ≤ 0;
–2X - 2kamu + 5 ≤ 0.

• perhatikan persamaan x+y–1=0 dan –2x–2y+5=0 yang berhubungan dengan pertidaksamaan;
• Mari kita buat garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini.

Gambar 2

Mari kita definisikan setengah bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan. Mari kita ambil titik sembarang, misalkan (0; 0). Mari kita pertimbangkan X+ kamu– 1 0, substitusikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Artinya, pada setengah bidang tempat titik (0; 0), X + kamu – 1 ≤ 0, yaitu setengah bidang yang terletak di bawah garis merupakan penyelesaian pertidaksamaan pertama. Substitusikan titik ini (0; 0) ke titik kedua, kita peroleh: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, mis. pada setengah bidang tempat titik (0; 0) terletak, –2 X – 2kamu+ 5≥ 0, dan kami ditanya di mana –2 X – 2kamu+ 5 ≤ 0, oleh karena itu, pada setengah bidang lainnya - pada setengah bidang di atas garis lurus.
Mari kita cari perpotongan kedua setengah bidang ini. Garis-garisnya sejajar, sehingga bidang-bidang tersebut tidak berpotongan dimanapun, artinya sistem pertidaksamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten.

Contoh 2. Temukan solusi grafis untuk sistem pertidaksamaan:

Gambar 3
1. Mari kita tuliskan persamaan yang berhubungan dengan pertidaksamaan dan buatlah garis lurus.
X + 2kamu– 2 = 0

X	2	0
kamu	0	1

kamu – X – 1 = 0

X	0	2
kamu	1	3

kamu + 2 = 0;
kamu = –2.
2. Setelah memilih titik (0; 0), kita menentukan tanda-tanda pertidaksamaan pada setengah bidang:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, yaitu X + 2kamu– 2 ≤ 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;
0 – 0 – 1 ≤ 0, yaitu kamu –X– 1 ≤ 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;
0 + 2 =2 ≥ 0, mis. kamu+ 2 ≥ 0 pada setengah bidang di atas garis lurus.
3. Perpotongan ketiga setengah bidang tersebut adalah suatu luas segitiga. Tidak sulit menemukan titik sudut suatu daerah sebagai titik potong garis-garis yang bersesuaian


Dengan demikian, A(–3; –2), DI DALAM(0; 1), DENGAN(6; –2).

Mari kita perhatikan contoh lain di mana domain solusi yang dihasilkan sistem tidak terbatas.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Yang ada hanya “X” dan hanya sumbu x, tetapi sekarang “Y” ditambahkan dan bidang aktivitas meluas ke seluruh bidang koordinat. Lebih lanjut dalam teks tersebut, frasa “ketimpangan linier” dipahami dalam pengertian dua dimensi, yang akan menjadi jelas dalam hitungan detik.

Selain geometri analitik, materinya juga relevan untuk beberapa permasalahan analisis matematika dan pemodelan ekonomi dan matematika, oleh karena itu saya menyarankan untuk mempelajari kuliah ini dengan serius.

Ketimpangan linier

Ada dua jenis pertidaksamaan linier:

1) Ketat kesenjangan: .

2) Longgar kesenjangan: .

Apa arti geometris dari ketidaksetaraan ini? Jika persamaan linear mendefinisikan suatu garis, maka pertidaksamaan linear mendefinisikannya setengah bidang.

Untuk memahami informasi berikut ini, Anda perlu mengetahui jenis-jenis garis pada suatu bidang dan mampu membuat garis lurus. Jika Anda mengalami kesulitan pada bagian ini, baca bantuannya Grafik dan sifat fungsi– paragraf tentang fungsi linier.

Mari kita mulai dengan pertidaksamaan linier yang paling sederhana. Impian setiap siswa miskin adalah bidang koordinat yang tidak ada apa-apanya:

Seperti yang Anda ketahui, sumbu x diberikan oleh persamaan - “y” selalu (untuk nilai “x”) sama dengan nol

Mari kita pertimbangkan kesenjangan. Bagaimana memahaminya secara informal? “Y” selalu (untuk nilai “x”) positif. Jelas sekali, ketidaksetaraan ini menentukan setengah bidang atas - lagipula, semua titik dengan “permainan” positif terletak di sana.

Jika pertidaksamaannya tidak tegas, sampai setengah bidang atas tambahan sumbu itu sendiri ditambahkan.

Demikian pula: pertidaksamaan dipenuhi oleh semua titik pada setengah bidang bawah; pertidaksamaan tak tegas terletak pada setengah bidang bawah + sumbu.

Kisah biasa yang sama terjadi pada sumbu y:

– pertidaksamaan menentukan setengah bidang kanan;
– pertidaksamaan menentukan setengah bidang kanan, termasuk sumbu ordinat;
– pertidaksamaan menentukan setengah bidang kiri;
– pertidaksamaan menentukan setengah bidang kiri, termasuk sumbu ordinat.

Pada langkah kedua, kita mempertimbangkan pertidaksamaan yang salah satu variabelnya hilang.

Hilang "Y":

Atau tidak ada “x”:

Ketimpangan ini dapat diatasi dengan dua cara: harap pertimbangkan kedua pendekatan tersebut. Mari kita ingat dan konsolidasi tindakan-tindakan sekolah yang mengandung kesenjangan yang telah dibahas di kelas Domain Fungsi.

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan linier:

Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan pertidaksamaan linier?

Menyelesaikan pertidaksamaan linier berarti mencari setengah bidang, yang titik-titiknya memenuhi pertidaksamaan ini (ditambah garis itu sendiri, jika pertidaksamaan tersebut tidak tegas). Larutan, biasanya, grafis.

Lebih mudah untuk segera mengeksekusi gambar dan kemudian mengomentari semuanya:

a) Selesaikan pertidaksamaan

Metode satu

Caranya sangat mengingatkan pada cerita dengan sumbu koordinat yang telah kita bahas di atas. Idenya adalah untuk mengubah pertidaksamaan - membiarkan satu variabel di ruas kiri tanpa konstanta apa pun, dalam hal ini variabel “x”.

Aturan: Pada suatu pertidaksamaan, suku-sukunya dipindahkan dari bagian ke bagian dengan perubahan tanda, sedangkan tanda pertidaksamaan itu sendiri tidak berubah(misalnya, jika ada tanda “kurang dari”, maka akan tetap “kurang dari”).

Kami memindahkan "lima" ke sisi kanan dengan perubahan tanda:

Aturan POSITIF tidak berubah.

Sekarang gambarlah garis lurus (garis putus-putus biru). Garis lurus digambarkan sebagai garis putus-putus karena adanya pertidaksamaan ketat, dan titik-titik yang termasuk dalam garis ini tentu saja tidak akan dimasukkan dalam penyelesaian.

Apa yang dimaksud dengan ketimpangan? “X” selalu (untuk nilai “Y”) kurang dari . Jelasnya, pernyataan ini dipenuhi oleh semua titik pada setengah bidang kiri. Setengah bidang ini, pada prinsipnya, dapat diarsir, tetapi saya akan membatasi diri pada panah biru kecil agar tidak mengubah gambar menjadi palet artistik.

Metode dua

Ini adalah metode universal. BACA DENGAN SANGAT TELITI!

Pertama kita menggambar garis lurus. Untuk kejelasan, disarankan untuk menyajikan persamaan dalam bentuk .

Sekarang pilih titik mana saja di pesawat, bukan milik langsung. Tentu saja, dalam kebanyakan kasus, titik terbaiknya adalah. Mari kita substitusikan koordinat titik ini ke dalam pertidaksamaan:

Diterima ketidaksetaraan palsu(dengan kata sederhana, hal ini tidak mungkin terjadi), artinya titik tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan.

Aturan utama dari tugas kita:
tidak memuaskan ketimpangan, kalau begitu SEMUA titik-titik pada setengah bidang tertentu tidak memuaskan ketimpangan ini.
– Jika ada titik pada setengah bidang (yang tidak termasuk dalam garis) memuaskan ketimpangan, kalau begitu SEMUA titik-titik pada setengah bidang tertentu memuaskan ketimpangan ini.

Anda dapat menguji: titik mana pun di sebelah kanan garis tidak akan memenuhi pertidaksamaan.

Apa kesimpulan dari percobaan dengan titik tersebut? Tidak ada tempat untuk pergi, pertidaksamaan dipenuhi oleh semua titik di sisi lain - setengah bidang kiri (Anda juga dapat memeriksanya).

b) Selesaikan pertidaksamaan

Metode satu

Mari kita ubah pertidaksamaan tersebut:

Aturan: Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan NEGATIF bilangan yang diberi tanda pertidaksamaan BERUBAH sebaliknya (misalnya, jika ada tanda “lebih besar dari atau sama dengan”, maka menjadi “kurang dari atau sama dengan”).

Kita mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan:

Mari kita menggambar garis lurus (merah), dan menggambar garis padat, karena kita memiliki pertidaksamaan tidak ketat, dan garis lurus jelas merupakan milik solusinya.

Setelah menganalisis pertidaksamaan yang dihasilkan, kita sampai pada kesimpulan bahwa penyelesaiannya adalah setengah bidang bawah (+ garis lurus itu sendiri).

Kami menaungi atau menandai setengah bidang yang sesuai dengan panah.

Metode dua

Mari kita menggambar garis lurus. Mari kita pilih titik sembarang pada bidang (bukan milik garis), misalnya, dan substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan kita:

Diterima ketimpangan yang sebenarnya, artinya titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, dan secara umum, SEMUA titik pada setengah bidang bawah memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Di sini, dengan titik percobaan, kita “mencapai” setengah bidang yang diinginkan.

Penyelesaian masalah ditunjukkan dengan garis merah dan panah merah.

Secara pribadi, saya lebih suka solusi pertama, karena solusi kedua lebih formal.

Contoh 2

Selesaikan pertidaksamaan linier:

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Cobalah untuk menyelesaikan masalah dengan dua cara (omong-omong, ini adalah cara yang baik untuk memeriksa solusinya). Jawaban di akhir pelajaran hanya berisi gambar akhir.

Saya pikir setelah semua tindakan yang dilakukan dalam contoh, Anda harus mengawinkannya; tidak akan sulit untuk menyelesaikan ketidaksetaraan yang paling sederhana seperti, dll.

Mari kita beralih ke kasus umum ketiga, ketika kedua variabel ada dalam pertidaksamaan:

Alternatifnya, istilah bebas "ce" mungkin nol.

Contoh 3

Temukan setengah bidang yang sesuai dengan pertidaksamaan berikut:

Larutan: Metode solusi universal dengan substitusi titik digunakan di sini.

a) Mari kita buat persamaan garis lurus, dan garis tersebut harus digambarkan sebagai garis putus-putus, karena pertidaksamaannya tegas dan garis lurus itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaiannya.

Misalnya, kita memilih titik percobaan pada bidang yang bukan termasuk dalam garis tertentu, dan mensubstitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan kita:

Diterima ketidaksetaraan palsu, yang berarti bahwa titik dan SEMUA titik pada setengah bidang tertentu tidak memenuhi pertidaksamaan. Solusi terhadap pertidaksamaan tersebut adalah setengah bidang lagi, kita mengagumi petir biru:

b) Mari kita selesaikan pertidaksamaan tersebut. Pertama, mari kita buat garis lurus. Hal ini tidak sulit untuk dilakukan; kita mempunyai proporsionalitas langsung kanonik. Kami terus menarik garis karena ketimpangan tidak terlalu ketat.

Mari kita pilih titik sembarang pada bidang yang tidak termasuk dalam garis lurus. Saya ingin menggunakan yang asli lagi, tetapi sayangnya, sekarang tidak cocok. Oleh karena itu, Anda harus bekerja dengan teman lain. Lebih menguntungkan mengambil titik dengan nilai koordinat kecil, misalnya . Mari kita substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan kita:

Diterima ketimpangan yang sebenarnya, yang berarti bahwa titik dan semua titik pada setengah bidang tertentu memenuhi pertidaksamaan . Setengah bidang yang diinginkan ditandai dengan panah merah. Selain itu, penyelesaiannya mencakup garis lurus itu sendiri.

Contoh 4

Temukan setengah bidang yang sesuai dengan pertidaksamaan:

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap, contoh contoh desain akhir dan jawaban di akhir pembelajaran.

Mari kita lihat masalah kebalikannya:

Contoh 5

a) Diberikan garis lurus. Mendefinisikan setengah bidang tempat titik itu berada, sedangkan garis lurus itu sendiri harus termasuk dalam penyelesaiannya.

b) Diberikan garis lurus. Mendefinisikan setengah bidang di mana titik tersebut berada. Garis lurus itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian.

Larutan: Tidak diperlukan gambar di sini dan solusinya bersifat analitis. Tidak ada yang sulit:

a) Mari kita buat polinomial bantu dan hitung nilainya di titik:
. Dengan demikian, pertidaksamaan yang diinginkan akan memiliki tanda “kurang dari”. Dengan syarat, garis lurus termasuk dalam penyelesaian, sehingga pertidaksamaan tidak tegas:

b) Mari kita buat polinomial dan hitung nilainya di titik:
. Dengan demikian, pertidaksamaan yang diinginkan akan memiliki tanda “lebih besar dari”. Dengan syarat garis lurus tidak termasuk dalam penyelesaian, oleh karena itu pertidaksamaannya akan tegas: .

Menjawab:

Contoh kreatif untuk belajar mandiri:

Contoh 6

Diberikan titik dan garis lurus. Di antara titik-titik yang terdaftar, temukan titik-titik yang, bersama dengan titik asal koordinat, terletak pada sisi yang sama dari garis tertentu.

Sedikit petunjuk: pertama-tama Anda perlu membuat pertidaksamaan yang menentukan setengah bidang tempat titik asal koordinat berada. Solusi analitis dan jawaban di akhir pelajaran.

Sistem pertidaksamaan linier

Sistem pertidaksamaan linier, seperti yang Anda pahami, adalah sistem yang terdiri dari beberapa pertidaksamaan. Loh, nah, saya kasih definisinya =) Landak adalah landak, pisau adalah pisau. Tapi itu benar – ternyata sederhana dan mudah diakses! Tidak, sungguh, saya tidak ingin memberikan contoh umum apa pun, jadi mari kita langsung ke masalah yang mendesak:

Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier?

Memecahkan sistem pertidaksamaan linier- ini berarti temukan himpunan titik pada bidang tersebut, yang memuaskan untuk masing-masing ketimpangan sistem.

Sebagai contoh paling sederhana, perhatikan sistem pertidaksamaan yang menentukan seperempat koordinat dari sistem koordinat persegi panjang (“gambar siswa miskin” ada di awal pelajaran):

Sistem pertidaksamaan mendefinisikan kuarter koordinat pertama (kanan atas). Koordinat titik mana pun pada kuartal pertama, misalnya, dll. memuaskan untuk masing-masing ketimpangan sistem ini.

Juga:
– sistem pertidaksamaan menentukan kuarter koordinat kedua (kiri atas);
– sistem pertidaksamaan mendefinisikan kuarter koordinat ketiga (kiri bawah);
– sistem pertidaksamaan mendefinisikan kuarter koordinat keempat (kanan bawah).

Sistem pertidaksamaan linier mungkin tidak memiliki solusi, yaitu menjadi non-bersama. Sekali lagi contoh paling sederhana: . Jelas sekali bahwa “x” tidak boleh lebih dari tiga dan kurang dari dua secara bersamaan.

Penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat berupa garis lurus, contoh: . Angsa, udang karang, tanpa tombak, menarik gerobak ke dua arah berbeda. Ya, semuanya masih ada – solusi untuk sistem ini adalah garis lurus.

Namun kasus yang paling umum adalah ketika solusi terhadap sistem adalah beberapa daerah pesawat. Daerah solusi Mungkin tidak terbatas(misalnya, koordinat tempat tinggal) atau terbatas. Daerah solusi terbatas disebut sistem solusi poligon.

Contoh 7

Memecahkan sistem pertidaksamaan linier

Dalam praktiknya, dalam sebagian besar kasus, kita harus menghadapi kesenjangan yang lemah, sehingga merekalah yang akan memimpin pembelajaran selama sisa pelajaran.

Larutan: Fakta bahwa terdapat terlalu banyak kesenjangan seharusnya tidak menjadi hal yang menakutkan. Berapa banyak kesenjangan yang bisa terjadi dalam sistem ini? Ya, sebanyak yang Anda suka. Hal utama adalah mematuhi algoritma rasional untuk membangun area solusi:

1) Pertama, kita membahas ketidaksetaraan yang paling sederhana. Pertidaksamaan menentukan kuarter koordinat pertama, termasuk batas sumbu koordinat. Ini sudah jauh lebih mudah karena area pencarian telah menyempit secara signifikan. Pada gambar, kami segera menandai setengah bidang yang sesuai dengan panah (panah merah dan biru)

2) Pertidaksamaan paling sederhana kedua adalah tidak ada “Y” di sini. Pertama, kita membuat garis lurus itu sendiri, dan kedua, setelah mengubah pertidaksamaan menjadi bentuk , segera menjadi jelas bahwa semua “X” kurang dari 6. Kita menandai setengah bidang yang bersesuaian dengan panah hijau. Nah, area pencarian menjadi lebih kecil - persegi panjang tidak dibatasi dari atas.

3) Pada langkah terakhir kita menyelesaikan pertidaksamaan “dengan amunisi penuh”: . Kami membahas algoritma solusi secara rinci di paragraf sebelumnya. Singkatnya: pertama kita membuat garis lurus, kemudian dengan menggunakan titik percobaan, kita mencari setengah bidang yang kita butuhkan.

Berdirilah, anak-anak, berdiri melingkar:


Area solusi sistem adalah poligon, pada gambar digariskan dengan garis merah dan diarsir. Saya sedikit berlebihan =) Di buku catatan, cukup dengan menaungi area solusi atau menguraikannya lebih tebal dengan pensil sederhana.

Titik mana pun pada poligon tertentu memenuhi SETIAP pertidaksamaan sistem (Anda dapat memeriksanya untuk bersenang-senang).

Menjawab: Solusi sistem tersebut adalah poligon.

Saat mengajukan permohonan salinan bersih, sebaiknya jelaskan secara rinci titik mana yang Anda gunakan untuk membuat garis lurus (lihat pelajaran Grafik dan sifat fungsi), dan bagaimana setengah bidang ditentukan (lihat paragraf pertama pelajaran ini). Namun, dalam praktiknya, dalam banyak kasus, Anda hanya akan diberi kredit dengan gambar yang benar. Perhitungannya sendiri dapat dilakukan secara draft atau bahkan secara lisan.

Selain poligon solusi sistem, dalam praktiknya, meskipun lebih jarang, terdapat wilayah terbuka. Cobalah untuk memahami sendiri contoh berikut. Meski demi keakuratan, tidak ada penyiksaan di sini - algoritma konstruksinya sama, hanya saja areanya tidak dibatasi.

Contoh 8

Selesaikan sistem

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran. Kemungkinan besar Anda akan memiliki huruf berbeda untuk simpul dari wilayah yang dihasilkan. Ini tidak penting, yang utama adalah menemukan simpul dengan benar dan membangun luasnya dengan benar.

Hal ini tidak jarang terjadi ketika permasalahan tidak hanya membutuhkan konstruksi domain solusi suatu sistem, tetapi juga menemukan koordinat simpul dari domain tersebut. Dalam dua contoh sebelumnya, koordinat titik-titik ini terlihat jelas, namun dalam praktiknya semuanya jauh dari es:

Contoh 9

Selesaikan sistemnya dan temukan koordinat titik-titik daerah yang dihasilkan

Larutan: Mari kita gambarkan dalam gambar luas solusi sistem ini. Pertidaksamaan menentukan setengah bidang kiri dengan sumbu ordinat, dan tidak ada lagi yang gratis di sini. Setelah perhitungan pada salinan/draf akhir atau proses pemikiran mendalam, kami mendapatkan solusi berikut:

Pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan merupakan salah satu topik yang dibahas dalam aljabar di sekolah menengah. Dari segi tingkat kesulitan, ini bukan yang paling sulit, karena aturannya sederhana (lebih lanjut tentangnya nanti). Biasanya, anak-anak sekolah belajar memecahkan sistem ketidaksetaraan dengan cukup mudah. Hal ini juga disebabkan oleh kenyataan bahwa guru hanya “melatih” siswanya tentang topik ini. Dan mereka mau tidak mau melakukan hal ini, karena kedepannya dipelajari dengan menggunakan besaran matematika lainnya, dan juga diujikan pada UN Unified State dan UN Unified State. Dalam buku pelajaran sekolah, topik ketimpangan dan sistem ketimpangan dibahas dengan sangat rinci, jadi jika Anda ingin mempelajarinya, sebaiknya gunakan topik tersebut. Artikel ini hanya merangkum materi yang lebih besar dan mungkin ada beberapa kekurangan.

Konsep sistem ketidaksetaraan

Jika kita beralih ke bahasa ilmiah, kita dapat mendefinisikan konsep “sistem ketidaksetaraan”. Ini adalah model matematika yang mewakili beberapa ketidaksetaraan. Model ini tentunya memerlukan penyelesaian, dan ini akan menjadi jawaban umum untuk semua pertidaksamaan sistem yang diajukan dalam tugas (biasanya tertulis di dalamnya, misalnya: “Selesaikan sistem pertidaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6... "). Namun, sebelum beralih ke jenis dan metode penyelesaian, Anda perlu memahami hal lain.

Sistem pertidaksamaan dan sistem persamaan

Saat mempelajari suatu topik baru, sering terjadi kesalahpahaman. Di satu sisi, semuanya jelas dan Anda ingin mulai menyelesaikan tugas sesegera mungkin, namun di sisi lain, beberapa momen masih dalam "bayangan" dan tidak sepenuhnya dipahami. Selain itu, beberapa elemen pengetahuan yang telah diperoleh mungkin terkait dengan pengetahuan baru. Akibat “tumpang tindih” ini, sering terjadi kesalahan.

Oleh karena itu, sebelum kita mulai menganalisis topik kita, kita harus mengingat perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan serta sistemnya. Untuk melakukan ini, kita perlu sekali lagi menjelaskan apa yang diwakili oleh konsep-konsep matematika ini. Persamaan selalu merupakan persamaan, dan selalu sama dengan sesuatu (dalam matematika kata ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketimpangan adalah model di mana suatu nilai lebih besar atau lebih kecil dari nilai lainnya, atau mengandung pernyataan bahwa keduanya tidak sama. Jadi, dalam kasus pertama, adalah tepat untuk berbicara tentang kesetaraan, dan dalam kasus kedua, betapapun jelasnya kedengarannya dari namanya, tentang ketidaksetaraan data awal. Sistem persamaan dan pertidaksamaan praktis tidak berbeda satu sama lain dan cara penyelesaiannya sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam kasus pertama persamaan digunakan, dan dalam kasus kedua digunakan ketidaksetaraan.

Jenis-jenis ketidaksetaraan

Ada dua jenis pertidaksamaan: numerik dan dengan variabel yang tidak diketahui. Tipe pertama merepresentasikan besaran (angka) yang tidak sama satu sama lain, misalnya 8 > 10. Tipe kedua adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel yang tidak diketahui (dilambangkan dengan huruf alfabet Latin, paling sering X). Variabel ini perlu ditemukan. Tergantung pada jumlahnya, model matematika membedakan antara pertidaksamaan dengan satu (membentuk sistem pertidaksamaan dengan satu variabel) atau beberapa variabel (membentuk sistem pertidaksamaan dengan beberapa variabel).

Dua jenis terakhir, menurut tingkat konstruksinya dan tingkat kerumitan solusinya, dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Pertidaksamaan sederhana disebut juga pertidaksamaan linier. Mereka, pada gilirannya, dibagi menjadi ketat dan tidak ketat. Yang ketat secara khusus “mengatakan” bahwa suatu besaran harus lebih kecil atau lebih besar, jadi ini adalah ketimpangan murni. Beberapa contoh dapat diberikan: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dst. Yang tidak ketat juga mencakup kesetaraan. Artinya, suatu nilai bisa lebih besar atau sama dengan nilai lain (tanda “≥”) atau lebih kecil atau sama dengan nilai lain (tanda “≤”). Bahkan dalam pertidaksamaan linier, variabelnya tidak berada pada akar, kuadrat, atau habis dibagi apa pun, oleh karena itu disebut “sederhana”. Yang kompleks melibatkan variabel yang tidak diketahui yang memerlukan lebih banyak matematika untuk menemukannya. Mereka sering terletak di persegi, kubus atau di bawah akar, mereka dapat berbentuk modular, logaritmik, pecahan, dll. Namun karena tugas kita adalah kebutuhan untuk memahami solusi sistem pertidaksamaan, kita akan berbicara tentang sistem pertidaksamaan linier . Namun, sebelum itu, beberapa kata harus disampaikan tentang propertinya.

Sifat-sifat ketidaksetaraan

Sifat-sifat ketidaksetaraan antara lain sebagai berikut:

1. Tanda pertidaksamaan dibalik jika suatu operasi digunakan untuk mengubah urutan sisi-sisinya (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 2 ≥ t 1).
2. Kedua ruas pertidaksamaan memungkinkan Anda menjumlahkan bilangan yang sama ke bilangan itu sendiri (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 1 + bilangan ≤ t 2 + bilangan).
3. Dua atau lebih pertidaksamaan yang bertanda searah memungkinkan penjumlahan ruas kiri dan kanannya (misalnya, jika t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, maka t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Kedua bagian pertidaksamaan tersebut dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan suatu bilangan ≤ 0, maka bilangan · t 1 ≥ bilangan · t 2).
5. Dua atau lebih pertidaksamaan yang suku-sukunya positif dan bertanda searah dapat dikalikan satu sama lain (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 maka t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Kedua bagian pertidaksamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, tetapi dalam hal ini tanda pertidaksamaannya berubah (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan suatu bilangan ≤ 0, maka bilangan tersebut · t 1 ≥ angka · t 2).
7. Semua pertidaksamaan mempunyai sifat transitivitas (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan t 2 ≤ t 3, maka t 1 ≤ t 3).

Kini, setelah mempelajari prinsip-prinsip dasar teori terkait ketimpangan, kita bisa langsung membahas aturan-aturan penyelesaian sistemnya.

Memecahkan sistem ketidaksetaraan. Informasi Umum. Solusi

Seperti disebutkan di atas, solusinya adalah nilai-nilai variabel yang sesuai untuk semua pertidaksamaan sistem yang diberikan. Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah penerapan operasi matematika yang pada akhirnya menghasilkan solusi untuk keseluruhan sistem atau membuktikan bahwa sistem tersebut tidak mempunyai solusi. Dalam hal ini, variabel tersebut dikatakan termasuk dalam himpunan numerik kosong (ditulis sebagai berikut: huruf yang menunjukkan variabel∈ (tanda “milik”) ø (tanda “himpunan kosong”), misalnya x ∈ ø (baca: “Variabel “x” termasuk himpunan kosong”). Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan: grafis, aljabar, metode substitusi. Perlu dicatat bahwa mereka mengacu pada model matematika yang memiliki beberapa variabel yang tidak diketahui. Jika hanya ada satu, metode interval cocok.

Metode grafis

Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan beberapa besaran yang tidak diketahui (dari dua ke atas). Berkat metode ini, sistem pertidaksamaan linier dapat diselesaikan dengan cukup mudah dan cepat, sehingga merupakan metode yang paling umum. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa membuat grafik mengurangi jumlah penulisan operasi matematika. Sangat menyenangkan untuk beristirahat sejenak dari pena, mengambil pensil dengan penggaris dan memulai tindakan lebih lanjut dengan bantuan mereka ketika banyak pekerjaan telah dilakukan dan Anda menginginkan sedikit variasi. Namun, beberapa orang tidak menyukai metode ini karena mereka harus melepaskan diri dari tugas dan mengalihkan aktivitas mentalnya ke menggambar. Namun, ini adalah cara yang sangat efektif.

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan menggunakan metode grafis, semua suku dari setiap pertidaksamaan perlu dipindahkan ke ruas kirinya. Tandanya akan dibalik, nol harus ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap pertidaksamaan harus ditulis terpisah. Akibatnya, fungsi akan diperoleh dari pertidaksamaan. Setelah ini, Anda bisa mengeluarkan pensil dan penggaris: sekarang Anda perlu menggambar grafik dari setiap fungsi yang diperoleh. Seluruh himpunan bilangan yang berada pada selang perpotongannya akan menjadi penyelesaian sistem pertidaksamaan.

cara aljabar

Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Selain itu, pertidaksamaan juga harus mempunyai tanda pertidaksamaan yang sama (artinya, pertidaksamaan tersebut hanya boleh memuat tanda “lebih besar dari”, atau hanya tanda “kurang dari”, dsb.). Walaupun terdapat keterbatasan, metode ini juga lebih rumit. Itu diterapkan dalam dua tahap.

Yang pertama melibatkan tindakan untuk menghilangkan salah satu variabel yang tidak diketahui. Pertama Anda perlu memilihnya, lalu periksa keberadaan angka di depan variabel ini. Jika tidak ada (maka variabelnya akan terlihat seperti satu huruf), maka kita tidak mengubah apa pun, jika ada (jenis variabelnya misalnya 5y atau 12y), maka perlu dibuat yakin bahwa pada setiap pertidaksamaan, angka di depan variabel yang dipilih adalah sama. Untuk melakukannya, Anda perlu mengalikan setiap suku pertidaksamaan dengan faktor persekutuan, misalnya jika 3y ditulis pada pertidaksamaan pertama, dan 5y pada pertidaksamaan kedua, maka Anda perlu mengalikan semua suku pertidaksamaan pertama dengan 5 , dan yang kedua dengan 3. Hasilnya berturut-turut adalah 15y dan 15y.

Solusi tahap kedua. Ruas kiri setiap pertidaksamaan harus dipindahkan ke ruas kanannya, mengubah tanda setiap suku menjadi kebalikannya, dan menulis nol di sebelah kanan. Kemudian tibalah bagian yang menyenangkan: menghilangkan variabel yang dipilih (atau dikenal sebagai “pengurangan”) sambil menambahkan pertidaksamaan. Hal ini mengakibatkan adanya ketimpangan dengan satu variabel yang perlu diselesaikan. Setelah ini, Anda harus melakukan hal yang sama, hanya dengan variabel lain yang tidak diketahui. Hasil yang diperoleh akan menjadi solusi sistem.

Metode substitusi

Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan jika memungkinkan untuk memasukkan variabel baru. Biasanya, metode ini digunakan jika variabel yang tidak diketahui pada satu suku pertidaksamaan dipangkatkan keempat, dan pada suku lainnya dikuadratkan. Dengan demikian, cara ini bertujuan untuk mengurangi derajat kesenjangan dalam sistem. Pertidaksamaan sampel x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 diselesaikan dengan cara ini. Variabel baru diperkenalkan, misalnya t. Mereka menulis: “Misalkan t = x 2,” kemudian model tersebut ditulis ulang dalam bentuk baru. Dalam kasus kita, kita mendapatkan t 2 - t - 1 ≤0. Pertidaksamaan ini perlu diselesaikan dengan menggunakan metode interval (lebih lanjut nanti), lalu kembali ke variabel X, lalu lakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan lainnya. Jawaban yang diterima akan menjadi solusi sistem.

Metode interval

Ini adalah cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem kesenjangan, dan sekaligus bersifat universal dan tersebar luas. Ini digunakan di sekolah menengah dan bahkan di sekolah tinggi. Esensinya terletak pada siswa mencari interval pertidaksamaan pada garis bilangan yang digambar di buku catatan (ini bukan grafik, melainkan hanya garis biasa dengan angka). Jika interval pertidaksamaan berpotongan, penyelesaian sistem akan ditemukan. Untuk menggunakan metode interval, Anda perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Semua suku setiap pertidaksamaan dipindahkan ke ruas kiri dengan tanda berubah ke arah sebaliknya (di sebelah kanan ditulis nol).
2. Pertidaksamaan dituliskan secara terpisah, dan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan ditentukan.
3. Perpotongan pertidaksamaan pada garis bilangan ditemukan. Semua bilangan yang terletak pada perpotongan tersebut akan menjadi penyelesaian.

Metode mana yang harus saya gunakan?

Jelas salah satu yang tampaknya paling mudah dan nyaman, tetapi ada kalanya tugas memerlukan metode tertentu. Paling sering mereka mengatakan bahwa Anda perlu menyelesaikannya menggunakan metode grafik atau interval. Metode aljabar dan substitusi sangat jarang digunakan atau tidak digunakan sama sekali, karena cukup rumit dan membingungkan, selain itu, metode ini lebih banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada pertidaksamaan, jadi Anda harus menggunakan menggambar grafik dan interval. Mereka memberikan kejelasan, yang tidak bisa tidak berkontribusi pada pelaksanaan operasi matematika yang efisien dan cepat.

Jika sesuatu tidak berhasil

Saat mempelajari topik tertentu dalam aljabar, tentu saja ada masalah dengan pemahamannya. Dan hal ini wajar, karena otak kita dirancang sedemikian rupa sehingga tidak mampu memahami materi yang kompleks sekaligus. Seringkali Anda perlu membaca ulang sebuah paragraf, meminta bantuan dari guru, atau berlatih menyelesaikan tugas-tugas standar. Dalam kasus kita, persamaannya terlihat seperti ini: “Selesaikan sistem pertidaksamaan 3 x + 1 ≥ 0 dan 2 x - 1 > 3.” Jadi, keinginan pribadi, bantuan dari pihak luar, dan latihan membantu dalam memahami topik yang kompleks.

Pemecah?

Buku solusi juga sangat cocok, tapi bukan untuk menyalin pekerjaan rumah, tapi untuk membantu diri sendiri. Di dalamnya Anda dapat menemukan sistem ketidaksetaraan dengan solusi, melihatnya (sebagai templat), mencoba memahami dengan tepat bagaimana pembuat solusi mengatasi tugas tersebut, dan kemudian mencoba melakukan hal yang sama sendiri.

kesimpulan

Aljabar adalah salah satu mata pelajaran tersulit di sekolah. Nah, apa yang bisa kamu lakukan? Matematika selalu seperti ini: bagi sebagian orang mudah, tetapi bagi sebagian lainnya sulit. Namun bagaimanapun juga, harus diingat bahwa program pendidikan umum disusun sedemikian rupa sehingga setiap siswa dapat mengatasinya. Selain itu, kita harus ingat banyaknya jumlah asisten. Beberapa di antaranya telah disebutkan di atas.

Setelah memperoleh informasi awal tentang pertidaksamaan dengan variabel, kita beralih ke pertanyaan untuk menyelesaikannya. Kami akan menganalisis solusi pertidaksamaan linier dengan satu variabel dan semua metode penyelesaiannya dengan algoritma dan contoh. Hanya persamaan linear dengan satu variabel yang akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB RA-339285-1

Apa itu ketimpangan linier?

Pertama, Anda perlu mendefinisikan persamaan linier dan mencari tahu bentuk standarnya serta perbedaannya dari persamaan lainnya. Dari pembelajaran di sekolah kita mengetahui bahwa tidak ada perbedaan mendasar antara ketimpangan, sehingga perlu menggunakan beberapa definisi.

Definisi 1

Pertidaksamaan linier dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan berbentuk a · x + b > 0, bila ada tanda pertidaksamaan yang digunakan sebagai pengganti >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definisi 2

Pertidaksamaan ax< c или a · x >c, dengan x sebagai variabel dan a dan c sebagai bilangan, disebut pertidaksamaan linier dengan satu variabel.

Karena tidak ada yang dikatakan tentang apakah koefisiennya bisa sama dengan 0, maka pertidaksamaan tegas berbentuk 0 x > c dan 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Perbedaan mereka adalah:

• bentuk notasi a · x + b > 0 pada notasi pertama, dan a · x > c – pada notasi kedua;
• diterimanya koefisien a sama dengan nol, a ≠ 0 - pada yang pertama, dan a = 0 - pada yang kedua.

Pertidaksamaan a · x + b > 0 dan a · x > c dianggap ekuivalen, karena diperoleh dengan memindahkan suku dari satu bagian ke bagian lain. Menyelesaikan pertidaksamaan 0 x + 5 > 0 akan mengakibatkan pertidaksamaan tersebut perlu diselesaikan, dan kasus a = 0 tidak akan berhasil.

Definisi 3

Pertidaksamaan linier pada satu variabel x dianggap merupakan pertidaksamaan bentuk a x + b< 0 , a · x + b >0, ax + b ≤ 0 Dan a x + b ≥ 0, dimana a dan b adalah bilangan real. Alih-alih x, bisa ada angka biasa.

Berdasarkan aturan tersebut, kita mendapatkan bahwa 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 disebut dapat direduksi menjadi linier.

Cara mengatasi pertidaksamaan linier

Cara utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut adalah dengan menggunakan transformasi ekuivalen untuk mencari pertidaksamaan elementer x< p (≤ , >, ≥) , p yang merupakan bilangan tertentu, untuk a ≠ 0, dan berbentuk a< p (≤ , >, ≥) untuk a = 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dalam satu variabel, Anda dapat menggunakan metode interval atau merepresentasikannya secara grafis. Salah satu dari mereka dapat digunakan secara terpisah.

Menggunakan transformasi yang setara

Menyelesaikan pertidaksamaan linier berbentuk a x + b< 0 (≤ , >, ≥), maka perlu diterapkan transformasi pertidaksamaan ekuivalen. Koefisiennya mungkin nol atau tidak. Mari kita pertimbangkan kedua kasus tersebut. Untuk mengetahuinya, Anda harus mengikuti skema yang terdiri dari 3 poin: esensi proses, algoritma, dan solusi itu sendiri.

Definisi 4

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier a x + b< 0 (≤ , >, ≥) untuk ≠ 0

• bilangan b akan dipindahkan ke ruas kanan pertidaksamaan yang bertanda berlawanan, sehingga kita dapat memperoleh persamaan a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Kedua ruas pertidaksamaan tersebut akan dibagi dengan angka yang tidak sama dengan 0. Selain itu, bila a bernilai positif, tandanya tetap ada; bila a bernilai negatif, maka tandanya berubah menjadi sebaliknya.

Mari kita pertimbangkan penerapan algoritma ini untuk menyelesaikan contoh.

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan bentuk 3 x + 12 ≤ 0.

Larutan

Pertidaksamaan linier ini memiliki a = 3 dan b = 12. Artinya koefisien a dari x tidak sama dengan nol. Mari terapkan algoritma di atas dan selesaikan.

Suku 12 perlu dipindahkan ke bagian lain pertidaksamaan dan mengubah tanda di depannya. Kemudian kita mendapatkan pertidaksamaan berbentuk 3 x ≤ − 12. Kedua bagian harus dibagi 3. Tandanya tidak akan berubah karena 3 adalah bilangan positif. Kita mendapatkan (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, sehingga menghasilkan x ≤ − 4.

Pertidaksamaan berbentuk x ≤ − 4 adalah ekuivalen. Artinya, penyelesaian 3 x + 12 ≤ 0 adalah bilangan real apa pun yang lebih kecil atau sama dengan 4. Jawabannya ditulis sebagai pertidaksamaan x ≤ − 4, atau interval numerik dalam bentuk (− ∞, − 4].

Seluruh algoritma yang dijelaskan di atas ditulis seperti ini:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Menjawab: x ≤ − 4 atau (− ∞ , − 4 ] .

Contoh 2

Tunjukkan semua solusi yang tersedia untuk pertidaksamaan − 2, 7 · z > 0.

Larutan

Dari kondisi tersebut kita melihat bahwa koefisien a untuk z sama dengan - 2,7, dan b jelas tidak ada atau sama dengan nol. Anda tidak dapat menggunakan langkah pertama dari algoritme, tetapi segera melanjutkan ke langkah kedua.

Kami membagi kedua ruas persamaan dengan angka - 2, 7. Karena angkanya negatif, maka tanda pertidaksamaannya perlu dibalik. Artinya, kita mendapatkan (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Mari kita tuliskan keseluruhan algoritma dalam bentuk singkat:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Menjawab: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Contoh 3

Selesaikan pertidaksamaan - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Larutan

Berdasarkan kondisi tersebut, kita melihat bahwa pertidaksamaan dengan koefisien a untuk variabel x, yang sama dengan - 5, perlu diselesaikan dengan koefisien b, yang sesuai dengan pecahan - 15 22. Penyelesaian pertidaksamaan harus dilakukan dengan mengikuti algoritma, yaitu: pindahkan - 15 22 ke bagian lain yang bertanda berlawanan, bagi kedua bagian dengan - 5, ubah tanda pertidaksamaan:

5x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pada transisi terakhir untuk ruas kanan, digunakan aturan pembagian bilangan dengan tanda berbeda 15 22: - 5 = - 15 22: 5, setelah itu kita membagi pecahan biasa dengan bilangan asli - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Menjawab: x ≥ - 3 22 dan [ - 3 22 + ∞) .

Mari kita perhatikan kasus ketika a = 0. Ekspresi linier bentuk a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Semuanya didasarkan pada penentuan solusi pertidaksamaan tersebut. Untuk setiap nilai x kita memperoleh pertidaksamaan numerik dalam bentuk b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Kami akan mempertimbangkan semua penilaian dalam bentuk algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definisi 5

Bentuk pertidaksamaan numerik b< 0 (≤ , >, ≥) benar, maka pertidaksamaan awal mempunyai solusi untuk nilai apa pun, dan salah jika pertidaksamaan awal tidak memiliki solusi.

Contoh 4

Selesaikan pertidaksamaan 0 x + 7 > 0.

Larutan

Pertidaksamaan linier 0 x + 7 > 0 ini dapat bernilai x berapa pun. Kemudian kita mendapatkan pertidaksamaan berbentuk 7 > 0. Pertidaksamaan terakhir dianggap benar, artinya bilangan berapa pun bisa menjadi penyelesaiannya.

Menjawab: interval (− ∞ , + ∞) .

Contoh 5

Temukan solusi untuk pertidaksamaan 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Larutan

Saat mensubstitusi variabel x dari bilangan apa pun, kita memperoleh bahwa pertidaksamaan berbentuk − 12, 7 ≥ 0. Itu tidak benar. Artinya, 0 x − 12, 7 ≥ 0 tidak mempunyai penyelesaian.

Menjawab: tidak ada solusi.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian pertidaksamaan linier yang kedua koefisiennya sama dengan nol.

Contoh 6

Tentukan pertidaksamaan tak terselesaikan dari 0 x + 0 > 0 dan 0 x + 0 ≥ 0.

Larutan

Saat mensubstitusi bilangan apa pun selain x, kita memperoleh dua pertidaksamaan berbentuk 0 > 0 dan 0 ≥ 0. Yang pertama salah. Artinya 0 x + 0 > 0 tidak mempunyai solusi, dan 0 x + 0 ≥ 0 mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga, yaitu bilangan berapa pun.

Menjawab: pertidaksamaan 0 x + 0 > 0 tidak mempunyai penyelesaian, tetapi 0 x + 0 ≥ 0 mempunyai penyelesaian.

Metode ini dibahas dalam mata pelajaran matematika sekolah. Metode interval mampu menyelesaikan berbagai jenis pertidaksamaan, termasuk pertidaksamaan linier.

Metode interval digunakan untuk pertidaksamaan linier bila nilai koefisien x tidak sama dengan 0. Jika tidak, Anda harus menghitung menggunakan metode lain.

Definisi 6

Metode intervalnya adalah:

• memperkenalkan fungsi y = a · x + b ;
• mencari angka nol untuk membagi domain definisi menjadi beberapa interval;
• definisi tanda untuk konsep mereka tentang interval.

Mari kita menyusun algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear ax + b< 0 (≤ , >, ≥) untuk a ≠ 0 menggunakan metode interval:

• mencari nol dari fungsi y = a · x + b untuk menyelesaikan persamaan bentuk a · x + b = 0 . Jika a ≠ 0, maka solusinya adalah akar tunggal, yang diberi notasi x 0;
• konstruksi garis koordinat yang menggambarkan suatu titik dengan koordinat x 0, dengan pertidaksamaan tegas titik tersebut dilambangkan dengan pertidaksamaan tak tegas – dengan pertidaksamaan tegas;
• menentukan tanda-tanda fungsi y = a · x + b pada interval, untuk itu perlu mencari nilai fungsi pada titik-titik pada interval;
• menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda > atau ≥ pada garis koordinat, menambahkan bayangan pada interval positif,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian pertidaksamaan linier menggunakan metode interval.

Contoh 6

Selesaikan pertidaksamaan − 3 x + 12 > 0.

Larutan

Berdasarkan algoritma tersebut, pertama-tama Anda perlu mencari akar persamaan − 3 x + 12 = 0. Kita peroleh bahwa − 3 · x = − 12 , x = 4 . Kita perlu menggambar garis koordinat tempat kita menandai titik 4. Ini akan tertusuk karena ketimpangan yang sangat ketat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Penting untuk menentukan tanda-tanda pada intervalnya. Untuk menentukannya pada interval (− ∞, 4), perlu dihitung fungsi y = − 3 x + 12 pada x = 3. Dari sini kita peroleh bahwa − 3 3 + 12 = 3 > 0. Tanda pada interval tersebut positif.

Kita tentukan tandanya dari interval (4, + ∞), lalu substitusikan nilai x = 5. Kita mempunyai − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Kami menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, dan bayangan dilakukan pada interval positif. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar terlihat jelas bahwa solusi yang diinginkan berbentuk (− ∞ , 4) atau x< 4 .

Menjawab: (− ∞ , 4) atau x< 4 .

Untuk memahami cara menggambarkannya secara grafis, perlu diperhatikan 4 pertidaksamaan linier sebagai contoh: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 dan 0, 5 x − 1 ≥ 0. Solusinya adalah nilai x< 2 , x ≤ 2 , x >2 dan x ≥ 2. Untuk melakukannya, mari kita plot fungsi linier y = 0, 5 x − 1 seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Sudah jelas itu

Definisi 7

• menyelesaikan pertidaksamaan 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• solusi 0, 5 x − 1 ≤ 0 dianggap sebagai interval di mana fungsi y = 0, 5 x − 1 lebih rendah dari O x atau bertepatan;
• solusinya 0, 5 · x − 1 > 0 dianggap sebagai interval, fungsinya terletak di atas O x;
• solusi 0, 5 · x − 1 ≥ 0 dianggap sebagai interval dimana grafik di atas O x atau bertepatan.

Arti menyelesaikan pertidaksamaan secara grafis adalah untuk menemukan interval yang perlu digambarkan pada grafik. Dalam hal ini, kita menemukan bahwa ruas kiri mempunyai y = a · x + b, dan ruas kanan mempunyai y = 0, dan berimpit dengan O x.

Definisi 8

Grafik fungsi y = a x + b diplot:

• sambil menyelesaikan pertidaksamaan a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• ketika menyelesaikan pertidaksamaan a · x + b ≤ 0, interval ditentukan jika grafik digambarkan di bawah sumbu O x atau bertepatan;
• ketika menyelesaikan pertidaksamaan a · x + b > 0, intervalnya ditentukan di mana grafik digambarkan di atas O x;
• Saat menyelesaikan pertidaksamaan a · x + b ≥ 0, interval ditentukan jika grafiknya berada di atas O x atau bertepatan.

Contoh 7

Selesaikan pertidaksamaan - 5 · x - 3 > 0 menggunakan grafik.

Larutan

Perlu dibuat grafik fungsi linier - 5 · x - 3 > 0. Garis ini menurun karena koefisien x negatif. Untuk menentukan koordinat titik potongnya dengan O x - 5 · x - 3 > 0, kita peroleh nilai - 3 5. Mari kita gambarkan secara grafis.

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, maka perlu memperhatikan interval di atas O x. Mari kita sorot bagian pesawat yang diperlukan dengan warna merah dan dapatkan itu

Celah yang dibutuhkan adalah bagian O x merah. Artinya sinar bilangan terbuka - ∞ , - 3 5 merupakan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Jika menurut kondisi kita mempunyai pertidaksamaan tidak tegas, maka nilai titik - 3 5 juga merupakan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Dan itu akan bertepatan dengan O x.

Menjawab: - ∞ , - 3 5 atau x< - 3 5 .

Solusi grafis digunakan jika ruas kiri bersesuaian dengan fungsi y = 0 x + b, yaitu y = b. Maka garis lurus tersebut akan sejajar dengan O x atau bertepatan di b = 0. Kasus-kasus ini menunjukkan bahwa pertidaksamaan tersebut mungkin tidak mempunyai solusi, atau solusinya bisa berupa bilangan berapa pun.

Contoh 8

Tentukan dari pertidaksamaan 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Larutan

Representasi y = 0 x + 7 adalah y = 7, maka akan diberikan bidang koordinat dengan garis yang sejajar dengan O x dan terletak di atas O x. Jadi 0x+7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Grafik fungsi y = 0 x + 0 dianggap y = 0, yaitu garis lurus berimpit dengan O x. Artinya pertidaksamaan 0 x + 0 ≥ 0 mempunyai banyak penyelesaian.

Menjawab: Pertidaksamaan kedua mempunyai solusi untuk sembarang nilai x.

Ketimpangan yang mereduksi menjadi linear

Penyelesaian pertidaksamaan dapat direduksi menjadi penyelesaian persamaan linier, yang disebut pertidaksamaan yang direduksi menjadi linier.

Ketimpangan ini dipertimbangkan dalam kursus sekolah, karena merupakan kasus khusus untuk menyelesaikan ketidaksetaraan, yang menyebabkan pembukaan tanda kurung dan pengurangan suku serupa. Misalnya, anggaplah 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Pertidaksamaan yang diberikan di atas selalu direduksi menjadi bentuk persamaan linier. Setelah itu, tanda kurung dibuka dan suku-suku serupa diberikan, dipindahkan dari bagian yang berbeda, mengubah tandanya menjadi sebaliknya.

Saat mereduksi pertidaksamaan 5 − 2 x > 0 menjadi linier, kita nyatakan sedemikian rupa sehingga berbentuk − 2 x + 5 > 0, dan untuk mereduksi per detik kita peroleh bahwa 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Anda perlu membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, memindahkan semua suku ke sisi kiri dan membawa suku-suku serupa. Ini terlihat seperti ini:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Hal ini menyebabkan penyelesaiannya menjadi pertidaksamaan linier.

Pertidaksamaan ini dianggap linier, karena mempunyai prinsip penyelesaian yang sama, setelah itu dapat direduksi menjadi pertidaksamaan elementer.

Untuk mengatasi pertidaksamaan jenis ini, perlu direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Ini harus dilakukan dengan cara ini:

Definisi 9

• buka tanda kurung;
• kumpulkan variabel di sebelah kiri dan angka di sebelah kanan;
• berikan istilah serupa;
• bagi kedua ruas dengan koefisien x.

Contoh 9

Selesaikan pertidaksamaan 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Larutan

Kita buka tanda kurungnya, lalu kita peroleh pertidaksamaan berbentuk 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Setelah mereduksi suku-suku serupa, kita mendapatkan 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Setelah memindahkan suku dari kiri ke kanan, kita mendapatkan bahwa 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Jadi terdapat pertidaksamaan berbentuk 32 ≤ 0 dari pertidaksamaan yang diperoleh dengan menghitung 0 x + 32 ≤ 0. Terlihat bahwa pertidaksamaan tersebut salah, artinya pertidaksamaan yang diberikan oleh kondisi tidak memiliki solusi.

Menjawab: tidak ada solusi.

Perlu dicatat bahwa ada banyak jenis pertidaksamaan lain yang dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier atau seperti yang ditunjukkan di atas. Misalnya, 5 2 x − 1 ≥ 1 adalah persamaan eksponensial yang direduksi menjadi solusi bentuk linier 2 x − 1 ≥ 0. Kasus-kasus ini akan dipertimbangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter