rumah › Salon › Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan. Menyelesaikan persamaan, pertidaksamaan, sistem menggunakan grafik fungsi

Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan. Menyelesaikan persamaan, pertidaksamaan, sistem menggunakan grafik fungsi

Presentasi dan pembelajaran dengan topik: "Solusi grafis persamaan kuadrat"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 8
Pangkat dan akar Fungsi dan grafik

Grafik Fungsi Kuadrat

Pada pelajaran terakhir kita telah mempelajari cara membuat grafik fungsi kuadrat apa pun. Dengan bantuan fungsi tersebut kita dapat menyelesaikan apa yang disebut persamaan kuadrat, yang umumnya ditulis sebagai berikut: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ adalah bilangan apa pun, kecuali $a≠0$.
Teman-teman, bandingkan persamaan yang ditulis di atas dan ini: $y=ax^2+bx+c$.
Mereka hampir identik. Perbedaannya adalah alih-alih $y$ kami menulis $0$, yaitu. $y=0$. Lalu bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat? Hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah membuat grafik parabola $ax^2+bx+c$ dan mencari titik potong grafik ini dengan garis lurus $y=0$. Ada solusi lain. Mari kita lihat mereka menggunakan contoh spesifik.

Metode penyelesaian fungsi kuadrat

Contoh.
Selesaikan persamaan: $x^2+2x-8=0$.

Larutan.
Metode 1. Mari kita plot fungsi $y=x^2+2x-8$ dan mencari titik potong dengan garis lurus $y=0$. Koefisien derajat tertingginya bernilai positif, artinya cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Mari kita cari koordinat titik puncaknya:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Mari kita ambil titik dengan koordinat $(-1;-9)$ sebagai titik asal sistem koordinat baru dan buat grafik parabola $y=x^2$ di dalamnya.

Kita melihat dua titik perpotongan. Mereka ditandai dengan titik-titik hitam pada grafik. Kita sedang menyelesaikan persamaan untuk x, jadi kita perlu memilih absis titik-titik ini. Keduanya sama dengan $-4$ dan $2$.
Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat $x^2+2x-8=0$ adalah dua akar: $ x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Metode 2. Ubah persamaan asli menjadi bentuk: $x^2=8-2x$.
Jadi, kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan cara grafis biasa dengan mencari absis titik potong dua grafik $y=x^2$ dan $y=8-2x$.
Didapatkan dua titik potong yang absisnya sama dengan solusi yang diperoleh pada cara pertama, yaitu: $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Metode 3.
Mari kita ubah persamaan aslinya menjadi bentuk ini: $x^2-8=-2x$.
Mari kita buat dua grafik $y=x^2-8$ dan $y=-2x$ dan temukan titik potongnya.
Grafik $y=x^2-8$ adalah parabola yang digeser ke bawah sebanyak 8 satuan.
Didapatkan dua titik potong, dan absis titik-titik tersebut sama dengan dua cara sebelumnya yaitu: $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Metode 4.
Mari kita pilih kuadrat sempurna pada persamaan awal: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Mari kita buat dua grafik fungsi $y=(x+1)^2$ dan $y=9$. Grafik fungsi pertama adalah parabola yang digeser satu satuan ke kiri. Grafik fungsi kedua berupa garis lurus yang sejajar sumbu absis dan melalui ordinat sebesar $9$.
Sekali lagi kita memperoleh dua titik potong grafik, dan absis titik-titik tersebut sama dengan absis yang diperoleh pada metode sebelumnya $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Metode 5.
Bagilah persamaan awal dengan x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Mari kita selesaikan persamaan ini secara grafis, buatlah dua grafik $y=x+2$ dan $y=\frac(8)(x)$.
Sekali lagi kita mendapatkan dua titik potong, dan absis titik-titik ini bertepatan dengan absis yang diperoleh di atas $x_1=-4$ dan $x_2=2$.

Algoritma untuk solusi grafis fungsi kuadrat

Teman-teman, kami melihat lima cara menyelesaikan persamaan kuadrat secara grafis. Pada masing-masing metode tersebut, akar-akar persamaannya ternyata sama, yang berarti penyelesaiannya diperoleh dengan benar.

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara grafis $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - bilangan apa pun, kecuali $a≠0$:
1. Buatlah grafik fungsi $y=ax^2+bx+c$, carilah titik potong dengan sumbu absis yang akan menjadi penyelesaian persamaan tersebut.
2. Buatlah dua grafik $y=ax^2$ dan $y=-bx-c$, tentukan absis titik potong grafik tersebut.
3. Buatlah dua grafik $y=ax^2+c$ dan $y=-bx$, tentukan absis titik potong grafik tersebut. Grafik fungsi pertama berbentuk parabola, digeser ke bawah atau ke atas, tergantung tanda bilangan c. Grafik kedua adalah garis lurus yang melalui titik asal.
4. Pilih persegi lengkap, yaitu, ubah persamaan aslinya menjadi bentuk: $a(x+l)^2+m=0$.
Buatlah dua grafik fungsi $y=a(x+l)^2$ dan $y=-m$, tentukan titik potongnya. Grafik fungsi pertama berupa parabola yang digeser ke kiri atau ke kanan, bergantung pada tanda bilangan $l$. Grafik fungsi kedua berupa garis lurus yang sejajar sumbu absis dan memotong sumbu ordinat di titik sebesar $-m$.
5. Bagi persamaan awal dengan x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Ubah ke bentuk: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Buatlah dua grafik lagi dan temukan titik potongnya. Grafik pertama berbentuk hiperbola, grafik kedua berupa garis lurus. Sayangnya, metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak selalu merupakan solusi yang baik. Titik potong berbagai grafik tidak selalu bilangan bulat atau mungkin memiliki bilangan absis (ordinat) yang sangat besar sehingga tidak dapat diplot pada selembar kertas biasa.

Mari kita tunjukkan semua metode ini dengan lebih jelas dengan sebuah contoh.

Contoh.
Selesaikan persamaan: $x^2+3x-12=0$,

Larutan.
Mari kita gambarkan parabolanya dan cari koordinat simpulnya: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1.5$.
$y_(в)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
Saat membuat parabola seperti itu, masalah segera muncul, misalnya, dalam menandai titik puncak parabola dengan benar. Untuk menandai ordinat titik secara akurat, Anda perlu memilih satu sel yang sama dengan 0,25 satuan skala. Pada skala ini, Anda perlu turun 35 unit, dan ini merepotkan. Bagaimanapun, mari kita buat jadwal kita.
Masalah kedua yang kita hadapi adalah grafik fungsi kita memotong sumbu x di suatu titik yang koordinatnya tidak dapat ditentukan secara akurat. Solusi perkiraan mungkin saja dilakukan, tetapi matematika adalah ilmu pasti.
Oleh karena itu, metode grafis bukanlah yang paling nyaman. Oleh karena itu, menyelesaikan persamaan kuadrat memerlukan metode yang lebih universal, yang akan kita pelajari pada pelajaran berikut.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Selesaikan persamaan secara grafis (dalam lima cara): $x^2+4x-12=0$.
2. Selesaikan persamaan menggunakan metode grafis apa pun: $-x^2+6x+16=0$.

Terkadang persamaan diselesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengubah persamaan sedemikian rupa (jika belum disajikan dalam bentuk transformasi) sehingga di kiri dan kanan tanda sama dengan terdapat ekspresi yang dapat Anda gambar grafik fungsinya dengan mudah. Misalnya diberikan persamaan berikut:
x² – 2x – 1 = 0

Jika kita belum mempelajari penyelesaian persamaan kuadrat secara aljabar, kita dapat mencoba melakukannya dengan memfaktorkan atau secara grafis. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut secara grafis, kami menyajikannya dalam bentuk ini:
x² = 2x + 1

Dari representasi persamaan ini maka perlu dicari nilai x yang ruas kirinya akan sama dengan ruas kanannya.

Seperti diketahui grafik fungsi y = x² adalah parabola dan y = 2x + 1 adalah garis lurus. Koordinat x dari titik-titik bidang koordinat yang terletak pada grafik pertama dan grafik kedua (yaitu, titik potong grafik) adalah nilai x yang ruas kiri persamaannya akan sama. ke kanan. Dengan kata lain, koordinat x titik potong grafik adalah akar-akar persamaan.

Grafik dapat berpotongan di beberapa titik, pada satu titik, atau tidak berpotongan sama sekali. Oleh karena itu, suatu persamaan dapat memiliki beberapa akar, atau satu akar, atau tidak memiliki akar sama sekali.

Mari kita lihat contoh yang lebih sederhana:
x² – 2x = 0 atau x² = 2x

Mari kita menggambar grafik fungsi y = x² dan y = 2x:

Terlihat dari gambar, parabola dan garis lurus berpotongan di titik (0; 0) dan (2; 4). Koordinat x dari titik-titik tersebut masing-masing sama dengan 0 dan 2. Artinya persamaan x² – 2x = 0 mempunyai dua akar - x 1 = 0, x 2 = 2.

Mari kita periksa dengan menyelesaikan persamaan dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Angka nol di sisi kanan dapat muncul jika x adalah 0 atau 2.

Alasan mengapa kita tidak menyelesaikan persamaan x² – 2x – 1 = 0 secara grafis adalah karena pada sebagian besar persamaan, akar-akarnya adalah bilangan real (pecahan), dan sulit untuk menentukan nilai x pada grafik secara akurat. Oleh karena itu, untuk sebagian besar persamaan, solusi grafis bukanlah yang terbaik. Namun pengetahuan tentang metode ini memberikan pemahaman yang lebih mendalam tentang hubungan antara persamaan dan fungsi.

>>Matematika: Solusi persamaan grafis

Solusi grafis persamaan

Mari kita rangkum pengetahuan kita tentang grafik fungsi. Kita telah mempelajari cara membuat grafik dari fungsi-fungsi berikut:

y =b (garis lurus sejajar sumbu x);

y = kx (garis yang melalui titik asal);

y - kx + m (garis lurus);

y = x 2 (parabola).

Pengetahuan tentang grafik ini akan memungkinkan kita, jika perlu, mengganti grafik analitis model geometris (grafis), misalnya, alih-alih model y = x 2 (yang mewakili persamaan dengan dua variabel x dan y), pertimbangkan parabola pada bidang koordinat. Secara khusus, terkadang berguna untuk menyelesaikan persamaan. Mari kita bahas bagaimana hal ini dilakukan dengan menggunakan beberapa contoh.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Isi pelajaran catatan pelajaran kerangka pendukung metode percepatan penyajian pelajaran teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan lokakarya tes mandiri, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah, pertanyaan diskusi, pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video dan multimedia foto, gambar, grafik, tabel, diagram, humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Pengaya abstrak artikel trik untuk boks penasaran buku teks kamus dasar dan tambahan istilah lainnya Menyempurnakan buku teks dan pelajaranmemperbaiki kesalahan pada buku teks pemutakhiran suatu penggalan dalam buku teks, unsur inovasi dalam pembelajaran, penggantian pengetahuan yang sudah ketinggalan zaman dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun ini; rekomendasi metodologis; program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Misalkan terdapat persamaan kuadrat lengkap: A*x2+B*x+C=0, dengan A, B, dan C adalah sembarang bilangan, dan A tidak sama dengan nol. Ini adalah kasus umum persamaan kuadrat. Ada juga bentuk tereduksi di mana A=1. Untuk menyelesaikan persamaan apa pun secara grafis, Anda perlu memindahkan suku dengan derajat tertinggi ke bagian lain dan menyamakan kedua bagian tersebut dengan beberapa variabel.

Setelah ini, A*x2 akan tetap berada di ruas kiri persamaan, dan B*x-C di ruas kanan (kita dapat berasumsi bahwa B adalah bilangan negatif, hal ini tidak mengubah esensinya). Persamaan yang dihasilkan adalah A*x2=B*x-C=y. Agar lebih jelas, dalam hal ini kedua bagian tersebut disamakan dengan variabel y.

Merencanakan grafik dan memproses hasil

Sekarang kita dapat menulis dua persamaan: y=A*x2 dan y=B*x-C. Selanjutnya, Anda perlu membuat grafik dari masing-masing fungsi tersebut. Graf y=A*x2 adalah parabola yang mempunyai titik sudut di titik asal yang cabang-cabangnya mengarah ke atas atau ke bawah, bergantung pada tanda bilangan A. Jika negatif maka cabang-cabangnya mengarah ke bawah, jika positif, cabang-cabangnya mengarah ke atas.

Grafik y=B*x-C merupakan garis lurus beraturan. Jika C=0, garis melewati titik asal. Pada umumnya memotong suatu ruas sama dengan C dari sumbu ordinat.Sudut kemiringan garis ini terhadap sumbu absis ditentukan oleh koefisien B. Sama dengan garis singgung kemiringan sudut tersebut.

Setelah grafik-grafik tersebut diplot, akan terlihat grafik-grafik tersebut berpotongan di dua titik. Koordinat titik-titik sepanjang sumbu x menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukannya secara akurat, Anda perlu membuat grafik dengan jelas dan memilih skala yang tepat.

Solusi grafis lainnya

Ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara grafis. B*x+C tidak perlu dipindahkan ke sisi lain persamaan. Anda dapat langsung memplot fungsi y=A*x2+B*x+C. Grafik tersebut adalah parabola dengan titik di titik sembarang. Metode ini lebih rumit dari metode sebelumnya, tetapi Anda hanya dapat membuat satu grafik untuk...

Pertama, Anda perlu menentukan titik puncak parabola dengan koordinat x0 dan y0. Absisnya dihitung menggunakan rumus x0=-B/2*a. Untuk menentukan ordinatnya, Anda perlu mensubstitusikan nilai absis yang dihasilkan ke dalam fungsi aslinya. Secara matematis, pernyataan ini ditulis sebagai berikut: y0=y(x0).

Maka Anda perlu mencari dua titik yang simetris terhadap sumbu parabola. Di dalamnya, fungsi aslinya harus hilang. Setelah ini, Anda bisa membuat parabola. Titik potongnya dengan sumbu X akan menghasilkan dua akar persamaan kuadrat.