Contoh perkembangan geometris. Selalu dalam mood

Perkembangan geometris, bersama dengan aritmatika, adalah deret bilangan penting yang dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah di kelas 9. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan penyebut suatu deret geometri, dan bagaimana nilainya memengaruhi sifat-sifatnya.

Definisi deret geometri

Untuk memulainya, kami memberikan definisi deret angka ini. Deret geometri adalah deret bilangan rasional yang dibentuk dengan mengalikan unsur pertamanya secara berurutan dengan bilangan konstan yang disebut penyebut.

Misalnya, bilangan-bilangan pada deret 3, 6, 12, 24, ... merupakan barisan geometri, karena jika kita mengalikan 3 (elemen pertama) dengan 2, kita mendapatkan 6. Jika kita mengalikan 6 dengan 2, kita mendapatkan 12, dan seterusnya.

Anggota deret yang ditinjau biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan jumlah elemen dalam deret tersebut.

Definisi deret di atas dapat ditulis dalam bahasa matematika sebagai berikut: an = bn-1 * a1, di mana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa rumus ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapatkan a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita kembali ke definisi deret angka yang dimaksud. Alasan serupa dapat dilanjutkan untuk nilai-nilai besar N.

Penyebut suatu deret geometri

Angka b sepenuhnya menentukan karakter apa yang akan dimiliki oleh seluruh seri angka. Penyebut b bisa positif, negatif, atau lebih besar dari atau kurang dari satu. Semua opsi di atas mengarah ke urutan yang berbeda:

• b > 1. Terjadi peningkatan deret bilangan rasional. Misalnya, 1, 2, 4, 8, ... Jika elemen a1 negatif, maka seluruh barisan hanya akan bertambah modulo, tetapi berkurang dengan memperhitungkan tanda bilangan.
• b = 1. Seringkali kasus seperti itu tidak disebut perkembangan, karena ada deret bilangan rasional identik yang biasa. Misalnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum melanjutkan ke pertimbangan masalah tertentu menggunakan penyebut dari jenis perkembangan yang dipertimbangkan, rumus penting harus diberikan untuk jumlah dari n elemen pertamanya. Rumusnya adalah: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda bisa mendapatkan ungkapan ini sendiri jika Anda mempertimbangkan urutan rekursif anggota perkembangan. Perhatikan juga bahwa dalam rumus di atas, cukup mengetahui hanya elemen pertama dan penyebutnya untuk menemukan jumlah dari sejumlah suku yang berubah-ubah.

Urutan menurun tak terhingga

Di atas adalah penjelasan tentang apa itu. Nah, setelah mengetahui rumus Sn, mari kita terapkan pada deret bilangan ini. Karena bilangan apa pun yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung nol ketika dipangkatkan menjadi besar, yaitu, b∞ => 0 jika -1

Karena selisih (1 - b) akan selalu positif, terlepas dari nilai penyebutnya, tanda dari penjumlahan dari deret geometris yang menurun tak terhingga S∞ secara unik ditentukan oleh tanda elemen pertamanya a1.

Sekarang kami akan mempertimbangkan beberapa masalah, di mana kami akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh ke nomor tertentu.

Tugas nomor 1. Perhitungan elemen perkembangan dan penjumlahan yang tidak diketahui

Diberikan barisan geometri, penyebut barisan tersebut adalah 2, dan elemen pertamanya adalah 3. Berapakah suku ke-7 dan ke-10, dan berapakah jumlah tujuh elemen awalnya?

Kondisi soal cukup sederhana dan melibatkan penggunaan langsung dari rumus di atas. Jadi, untuk menghitung elemen dengan angka n, kami menggunakan ekspresi an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita memiliki: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita mendapatkan: a7 = 26 * 3 = 192. Kita melakukan hal yang sama untuk anggota ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kami menggunakan rumus penjumlahan yang terkenal dan menentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama dari deret. Kami memiliki: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tugas nomor 2. Menentukan jumlah elemen perkembangan yang berubah-ubah

Biarkan -2 menjadi penyebut dari perkembangan eksponensial bn-1 * 4, di mana n adalah bilangan bulat. Penting untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 dari deret ini, inklusif.

Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan rumus yang diketahui. Itu dapat diselesaikan dengan 2 cara berbeda. Demi kelengkapan, kami hadirkan keduanya.

Metode 1. Idenya sederhana: Anda perlu menghitung dua jumlah yang sesuai dari suku pertama, lalu kurangi satu dengan yang lain. Hitung jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita menghitung jumlah yang besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahwa pada persamaan terakhir, hanya 4 suku yang dijumlahkan, karena suku ke-5 sudah termasuk dalam penjumlahan yang perlu dihitung sesuai dengan kondisi soal. Terakhir, kita ambil selisihnya: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Sebelum mensubstitusikan angka dan menghitung, Anda bisa mendapatkan rumus jumlah antara suku m dan n dari deret yang dimaksud. Kami bertindak dengan cara yang persis sama seperti pada metode 1, hanya saja kami bekerja terlebih dahulu dengan representasi simbolis dari penjumlahan tersebut. Kami memiliki: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda dapat mengganti angka yang diketahui ke dalam ekspresi yang dihasilkan dan menghitung hasil akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tugas nomor 3. Apa penyebutnya?

Misalkan a1 = 2, temukan penyebut dari barisan geometri, asalkan jumlah tak terhingganya adalah 3, dan diketahui bahwa ini adalah deret angka yang menurun.

Sesuai dengan kondisi soal, tidak sulit untuk menebak rumus mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, untuk jumlah dari perkembangan yang menurun tanpa batas. Kami memiliki: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b = 1 - a1 / S∞. Tetap mengganti nilai yang diketahui dan mendapatkan nomor yang diperlukan: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 atau -0,333 (3). Kami dapat memeriksa hasil ini secara kualitatif jika kami ingat bahwa untuk jenis urutan ini, modulus b tidak boleh melampaui 1. Seperti yang Anda lihat, |-1 / 3|

Tugas nomor 4. Memulihkan serangkaian angka

Biarkan 2 elemen dari deret angka diberikan, misalnya, yang ke-5 sama dengan 30 dan yang ke-10 sama dengan 60. Seluruh deret harus dipulihkan dari data ini, mengetahui bahwa itu memenuhi sifat-sifat deret geometris.

Untuk mengatasi masalah tersebut, Anda harus terlebih dahulu menuliskan ekspresi yang sesuai untuk setiap anggota yang diketahui. Kami memiliki: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang kita membagi ekspresi kedua dengan yang pertama, kita mendapatkan: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebutnya dengan mengambil akar derajat kelima dari rasio anggota yang diketahui dari kondisi soal, b = 1,148698. Kami mengganti angka yang dihasilkan menjadi salah satu ekspresi untuk elemen yang diketahui, kami mendapatkan: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Jadi, kita telah menemukan penyebut dari barisan bn, dan barisan geometri bn-1 * 17,2304966 = an, di mana b = 1,148698.

Di mana perkembangan geometris digunakan?

Jika tidak ada penerapan seri numerik ini dalam praktik, maka studinya akan direduksi menjadi minat teoretis murni. Tapi ada aplikasi seperti itu.

3 contoh paling terkenal tercantum di bawah ini:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang gesit tidak dapat mengejar kura-kura yang lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep urutan angka yang semakin berkurang.
• Jika butir gandum ditempatkan pada setiap sel papan catur sehingga 1 butir ditempatkan pada sel 1, 2 - pada tanggal 2, 3 - pada tanggal 3, dan seterusnya, maka diperlukan 18446744073709551615 butir untuk mengisi semua sel dari papan!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk mengatur ulang disk dari satu batang ke batang lainnya, perlu dilakukan operasi 2n - 1, yaitu, jumlahnya bertambah secara eksponensial dari jumlah disk n yang digunakan.

Kemajuan geometris tidak kalah pentingnya dalam matematika daripada dalam aritmatika. Deret geometri adalah barisan bilangan b1, b2,..., b[n] yang setiap anggota berikutnya diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan konstan. Angka ini, yang juga mencirikan laju pertumbuhan atau penurunan perkembangan, disebut penyebut suatu barisan geometri dan menunjukkan

Untuk menyelesaikan tugas barisan geometri, selain penyebutnya, perlu diketahui atau ditentukan suku pertamanya. Untuk nilai penyebut positif, perkembangannya adalah urutan monoton, dan jika urutan angka ini menurun secara monoton dan meningkat secara monoton ketika. Kasus ketika penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam praktik, karena kami memiliki urutan angka yang identik, dan penjumlahannya tidak menarik secara praktis

Istilah umum dari perkembangan geometris dihitung menurut rumus

Jumlah n suku pertama barisan geometri ditentukan oleh rumus

Mari kita pertimbangkan solusi dari masalah deret geometri klasik. Mari kita mulai dengan yang paling sederhana untuk dipahami.

Contoh 1. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 27 dan penyebutnya adalah 1/3. Temukan enam suku pertama dari barisan geometri.

Solusi: Kami menulis kondisi masalah di formulir

Untuk perhitungan, kami menggunakan rumus anggota ke-n dari deret geometri

Berdasarkan itu, kami menemukan anggota perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang Anda lihat, menghitung suku-suku deret geometri tidaklah sulit. Perkembangannya sendiri akan terlihat seperti ini

Contoh 2 Tiga anggota pertama dari barisan geometri diberikan: 6; -12; 24. Temukan penyebut dan suku ketujuh.

Solusi: Kami menghitung penyebut dari deret geometri berdasarkan definisinya

Kami mendapat perkembangan geometris bolak-balik yang penyebutnya adalah -2. Suku ketujuh dihitung dengan rumus

Pada tugas ini diselesaikan.

Contoh 3. Deret geometri diberikan oleh dua anggotanya . Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Larutan:

Mari tulis nilai yang diberikan melalui rumus

Menurut aturan, perlu mencari penyebut, dan kemudian mencari nilai yang diinginkan, tetapi untuk suku kesepuluh kita memiliki

Formula yang sama dapat diperoleh berdasarkan manipulasi sederhana dengan data masukan. Kami membagi suku keenam dari deret tersebut dengan yang lain, sebagai hasilnya kami dapatkan

Jika nilai yang dihasilkan dikalikan dengan suku keenam, kita mendapatkan suku kesepuluh

Jadi, untuk masalah seperti itu, dengan bantuan transformasi sederhana menjadi cara cepat Anda dapat menemukan solusi yang tepat.

Contoh 4. Perkembangan geometris diberikan oleh rumus berulang

Temukan penyebut dari deret geometri dan jumlah dari enam suku pertama.

Larutan:

Kami menulis data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan

Nyatakan penyebutnya dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama

Temukan suku pertama dari perkembangan dari persamaan pertama

Hitung lima suku berikut untuk mencari jumlah deret geometri

Jika setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, urutan numerik adalah fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor A 2 — anggota urutan kedua , nomor A 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota ke-n urutan , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota tetangga sebuah Dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.

Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya bisa ditentukan rumus berulang, yaitu, rumus yang menyatakan setiap anggota deret, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

5 = sebuah 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya jika memiliki banyak anggota tak terhingga.

Misalnya,

urutan bilangan asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Urutan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.

Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . adalah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . adalah urutan menurun. ◄

Urutan yang elemennya tidak berkurang dengan bertambahnya nomor, atau sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan yang monoton .

Urutan monoton, khususnya, meningkatkan urutan dan mengurangi urutan.

Kemajuan aritmatika

perkembangan aritmatika urutan disebut, yang setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah deret aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N kondisi terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - beberapa nomor.

Dengan demikian, perbedaan antara anggota berikutnya dan sebelumnya diberikan perkembangan aritmatika selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon selisih barisan aritmetika.

Untuk menetapkan deret aritmatika, cukup menentukan suku dan selisih pertamanya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka lima suku pertama dari deret tersebut adalah sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk deret aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaan D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh dari barisan aritmatika

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + t,

lalu jelas

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah anggota berurutan dari beberapa deret aritmatika jika dan hanya jika salah satu dari mereka sama dengan rata-rata aritmatika dari dua lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , merupakan barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

◄

Perhatikan bahwa N Anggota -th dari perkembangan aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya k

sebuah = k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat ditulis

5 = sebuah 1 + 4D,

5 = sebuah 2 + 3D,

5 = sebuah 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

sebuah = sebuah n-k + kd,

sebuah = n+k - kd,

lalu jelas

setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaannya benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misalnya,

dalam barisan aritmetika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N anggota deret aritmatika sama dengan produk setengah jumlah suku ekstrim dengan jumlah suku:

Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratannya

k, k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam barisan aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika deret aritmatika diberikan, maka jumlahnya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monoton. Di mana:

• Jika D > 0 , kemudian meningkat;
• Jika D < 0 , kemudian menurun;
• Jika D = 0 , maka barisan akan stasioner.

Kemajuan geometris

perkembangan geometris sebuah barisan disebut, yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli N kondisi terpenuhi:

b n +1 = b n · Q,

Di mana Q ≠ 0 - beberapa nomor.

Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut suatu barisan geometri.

Untuk menetapkan barisan geometri, cukup menentukan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka lima suku pertama dari deret tersebut adalah sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N suku -th dapat ditemukan dengan rumus:

b n = B 1 · q n -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh suatu barisan geometri 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = B 1 · q n,

lalu jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometris (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah anggota berurutan dari suatu deret geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan perkalian dua bilangan lainnya, yaitu, salah satu bilangan tersebut adalah rata-rata geometris dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

mari kita buktikan bahwa barisan diberikan oleh rumus b n= -3 2 N , adalah perkembangan geometris. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan asersi yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahwa N Suku ke deret geometri dapat ditemukan tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup menggunakan rumus

b n = b k · q n - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat ditulis

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · qk,

lalu jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuadrat dari setiap anggota barisan geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota barisan ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk deret geometri apa pun, persamaannya benar:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Misalnya,

secara eksponensial

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Pertama N anggota barisan geometri dengan penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai dengan rumus

S n= n.b. 1

Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan persyaratan

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka digunakan rumus :

Misalnya,

secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika deret geometri diberikan, maka jumlahnya B 1 , b n, Q, N Dan S n dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut berlangsung sifat monoton :

• progresi meningkat jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

• Suatu perkembangan menurun jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka deret geometri berganti-ganti tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil memiliki tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap memiliki tanda yang berlawanan. Jelas bahwa perkembangan geometris bergantian tidak monoton.

Produk pertama N istilah deret geometri dapat dihitung dengan rumus:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Perkembangan geometris yang menurun tanpa batas

Perkembangan geometris yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , itu adalah

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa deret geometri yang menurun tak terhingga mungkin bukan deret yang menurun. Ini cocok dengan kasusnya

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, urutannya berganti-ganti tanda. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah dari perkembangan geometris yang menurun tak terhingga nama nomor yang jumlah yang pertama N hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Angka ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus

Misalnya,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara barisan aritmetika dan geometri

Aritmatika dan perkembangan geometris terkait erat. Mari kita pertimbangkan dua contoh saja.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misalnya,

1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut Q , Itu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan log aQ .

Misalnya,

2, 12, 72, . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄

Mari kita pertimbangkan sebuah seri.

7 28 112 448 1792...

Sangat jelas bahwa nilai salah satu elemennya persis empat kali lebih besar dari yang sebelumnya. Jadi seri ini adalah perkembangan.

Perkembangan geometris adalah urutan angka yang tak terbatas Fitur utama yaitu bahwa angka berikutnya diperoleh dari yang sebelumnya dengan mengalikan dengan beberapa angka tertentu. Ini diungkapkan oleh rumus berikut.

a z +1 = a z q, di mana z adalah jumlah elemen yang dipilih.

Dengan demikian, z ∈ N.

Periode ketika deret geometri dipelajari di sekolah adalah kelas 9. Contoh akan membantu Anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan rumus ini, penyebut dari perkembangan dapat ditemukan sebagai berikut:

Baik q maupun bz tidak boleh nol. Juga, setiap elemen perkembangan tidak boleh sama dengan nol.

Karenanya, untuk mengetahui angka berikutnya dalam deret, Anda perlu mengalikan angka terakhir dengan q.

Untuk menentukan perkembangan ini, Anda harus menentukan elemen dan penyebut pertamanya. Setelah itu, Anda dapat menemukan salah satu suku berikutnya dan jumlahnya.

Varietas

Bergantung pada q dan 1, perkembangan ini dibagi menjadi beberapa jenis:

• Jika 1 dan q keduanya lebih besar dari satu, maka barisan tersebut merupakan deret geometri yang meningkat dengan setiap elemen berikutnya. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua parameter lebih besar dari satu.

Maka urutan numeriknya dapat ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| kurang dari satu yaitu perkalian dengannya sama dengan pembagian, maka barisan dengan syarat yang sama merupakan barisan geometri yang menurun. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar dari satu, q lebih kecil.

Maka barisan numerik tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

6 2 2/3 ... - elemen apa pun 3 kali lebih besar dari elemen yang mengikutinya.

• Variabel tanda. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3 , q = -2 - kedua parameter kurang dari nol.

Maka urutannya dapat ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Rumus

Untuk penggunaan progresi geometris yang nyaman, ada banyak rumus:

• Rumus anggota ke-z. Memungkinkan Anda menghitung elemen di bawah angka tertentu tanpa menghitung angka sebelumnya.

Contoh:Q = 3, A 1 = 4. Diperlukan untuk menghitung elemen keempat dari perkembangan tersebut.

Larutan:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah elemen pertama yang nomornya adalah z. Memungkinkan Anda menghitung jumlah semua elemen urutan hinggaa zinklusif.

Sejak (1-Q) berada di penyebut, maka (1 - q)≠ 0, maka q tidak sama dengan 1.

Catatan: jika q = 1, maka perkembangannya akan menjadi rangkaian angka berulang yang tak terhingga.

Jumlah deret geometri, contoh:A 1 = 2, Q= -2. Hitung S5 .

Larutan:S 5 = 22 - perhitungan dengan rumus.

• Jumlah jika |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:A 1 = 2 , Q= 0,5. Temukan jumlahnya.

Larutan:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa properti:

• properti karakteristik. Jika kondisi berikut dilakukan untuk apa sajaz, maka deret bilangan yang diberikan adalah deret geometri:

a z 2 = a z -1 · Az+1

• Juga, kuadrat dari bilangan apa pun dari deret geometri ditemukan dengan menjumlahkan kuadrat dari dua bilangan lain dalam deret tertentu, jika jaraknya sama dari elemen ini.

a z 2 = a z - T 2 + a z + T 2 , Di manaTadalah jarak antara angka-angka ini.

• Elemenberbeda qsekali.
• Logaritma elemen deret juga membentuk deret, tetapi sudah aritmatika, yaitu masing-masing lebih besar dari yang sebelumnya dengan angka tertentu.

Contoh beberapa soal klasik

Untuk lebih memahami apa itu perkembangan geometris, contoh dengan solusi untuk kelas 9 dapat membantu.

• Kondisi:A 1 = 3, A 3 = 48. TemukanQ.

Solusi: setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnyaQ sekali.Penting untuk mengekspresikan beberapa elemen melalui yang lain menggunakan penyebut.

Karena itu,A 3 = Q 2 · A 1

Saat menggantiQ= 4

• Kondisi:A 2 = 6, A 3 = 12. Hitung S 6 .

Larutan:Untuk melakukan ini, cukup menemukan q, elemen pertama dan menggantinya ke dalam rumus.

A 3 = Q· A 2 , karena itu,Q= 2

a 2 = q sebuah 1 ,Itu sebabnya a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. Temukan elemen keempat dari perkembangan.

Solusi: untuk melakukan ini, cukup menyatakan elemen keempat melalui yang pertama dan melalui penyebut.

a4 = q3· a 1 = -80

Contoh aplikasi:

• Klien bank melakukan setoran dalam jumlah 10.000 rubel, dengan syarat setiap tahun klien akan menambahkan 6% darinya ke jumlah pokok. Berapa banyak uang yang akan ada di akun setelah 4 tahun?

Solusi: Jumlah awal adalah 10 ribu rubel. Jadi, setahun setelah investasi, akun akan memiliki jumlah yang sama dengan 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Dengan demikian, jumlah dalam akun setelah satu tahun berikutnya akan dinyatakan sebagai berikut:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Artinya, setiap tahun jumlahnya meningkat 1,06 kali lipat. Artinya, untuk mengetahui jumlah dana di rekening setelah 4 tahun, cukup mencari elemen keempat dari perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama sama dengan 10 ribu, dan penyebutnya sama dengan 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk menghitung jumlah:

Dalam berbagai masalah, perkembangan geometris digunakan. Contoh untuk menemukan jumlah dapat diberikan sebagai berikut:

A 1 = 4, Q= 2, hitungS5.

Solusi: semua data yang diperlukan untuk penghitungan sudah diketahui, Anda hanya perlu menggantinya ke dalam rumus.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Hitung jumlah enam elemen pertama.

Larutan:

Geo. perkembangan, setiap elemen berikutnya q kali lebih besar dari yang sebelumnya, artinya, untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengetahui elemennyaA 1 dan penyebutQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Demikian pula, kita perlu menemukanA 1 , mengetahuiA 2 DanQ.

A 1 · Q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Deret geometri adalah deret bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Konsep perkembangan geometris

Deret geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, … .

Rasio dari setiap suku kesalahan geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ini mengikuti langsung dari definisi perkembangan aritmatika. Angka ini disebut penyebut deret geometri. Biasanya penyebut deret geometri dilambangkan dengan huruf q.

Jumlah deret geometri tak terhingga untuk |q|<1

Salah satu cara untuk menetapkan deret geometri adalah dengan menetapkan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini memberikan deret geometri 4, -8, 16, -32, … .

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka deret tersebut merupakan barisan monoton. Misalnya, barisan, 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan yang naik secara monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut q=1 dalam kesalahan geometri, maka semua anggota deret geometri akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti itu, perkembangannya dikatakan sebagai urutan konstan.

Agar barisan numerik (bn) menjadi barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus menjadi rata-rata geometris dari anggota tetangganya. Artinya, perlu untuk memenuhi persamaan berikut
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, di mana n milik himpunan bilangan asli N.

Sekarang mari kita letakkan (Xn) - perkembangan geometris. Penyebut deret geometri q, dengan |q|∞).
Jika sekarang kita menyatakan dengan S jumlah dari perkembangan geometris tak terhingga, maka rumus berikut akan berlaku:
S=x1/(1-q).

Pertimbangkan contoh sederhana:

Temukan jumlah dari deret geometri tak terhingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Untuk mencari S, kita menggunakan rumus jumlah deret aritmetika tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.