rumah › peralatan listrik › Contoh perkembangan geometris. Jumlah dari perkembangan geometris menurun tak terbatas dan paradoks Zeno

Contoh perkembangan geometris. Jumlah dari perkembangan geometris menurun tak terbatas dan paradoks Zeno

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Urutan bilangan. Perkembangan geometris"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua materi diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 9
Fungsi dan Grafik Pangkat dan Akar

Teman-teman, hari ini kita akan berkenalan dengan jenis perkembangan lainnya.
Topik pelajaran hari ini adalah barisan geometri.

Kemajuan geometris

Definisi. Urutan numerik di mana setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan hasil kali suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap, disebut deret geometri.
Mari kita definisikan urutan kita secara rekursif: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
di mana b dan q adalah bilangan tertentu. Angka q disebut penyebut deret tersebut.

Contoh. 1,2,4,8,16… Deret geometri, di mana anggota pertama sama dengan satu, dan $q=2$.

Contoh. 8,8,8,8… Deret geometri yang suku pertamanya delapan,
dan $q=1$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Deret geometri yang suku pertamanya tiga,
dan $q=-1$.

Deret geometri memiliki sifat monoton.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka urutannya semakin meningkat.
Jika $b_(1)>0$, $0 Urutan biasanya dilambangkan sebagai: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Sama seperti dalam deret aritmatika, jika dalam perkembangan geometris jumlah elemennya berhingga, maka deretnya disebut deret geometri berhingga.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Perhatikan bahwa jika barisan tersebut merupakan barisan geometri, maka barisan suku-suku yang dikuadratkan juga merupakan barisan geometri. Barisan kedua memiliki suku pertama $b_(1)^2$ dan penyebut $q^2$.

Rumus anggota ke-n dari deret geometri

Perkembangan geometris juga dapat ditentukan dalam bentuk analitik. Mari kita lihat bagaimana melakukannya:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Kita dapat dengan mudah melihat polanya: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Rumus kita disebut "rumus anggota ke-n dari deret geometri".

Mari kita kembali ke contoh kita.

Contoh. 1,2,4,8,16… Deret geometri yang suku pertamanya sama dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Barisan geometri dengan suku pertamanya enam belas dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Contoh. 8,8,8,8… Deret geometri dengan suku pertama delapan dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3… Deret geometri dengan suku pertamanya tiga dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Contoh. Diberikan deret geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Diketahui bahwa $b_(1)=6, q=3$. Temukan $b_(5)$.
b) Diketahui bahwa $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Temukan n.
c) Diketahui bahwa $q=-2, b_(6)=96$. Temukan $b_(1)$.
d) Diketahui bahwa $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Temukan q.

Larutan.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ sejak $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Contoh. Selisih antara anggota barisan geometri ketujuh dan kelima adalah 192, jumlah anggota barisan kelima dan keenam adalah 192. Carilah anggota kesepuluh dari barisan tersebut.

Larutan.
Kita tahu bahwa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kita juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami mendapat sistem persamaan:
$\begin(kasus)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(kasus)$.
Menyamakan, persamaan kita mendapatkan:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua solusi q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substitusikan berturut-turut ke persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tidak ada solusi.
Kami mendapatkan itu: $b_(1)=4, q=2$.
Ayo cari suku kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Jumlah dari perkembangan geometris yang terbatas

Misalkan kita memiliki perkembangan geometris yang terbatas. Mari, serta untuk perkembangan aritmatika, hitung jumlah anggotanya.

Misalkan barisan geometri berhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari perkenalkan notasi untuk jumlah suku-sukunya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kasus ketika $q=1$. Semua anggota barisan geometri sama dengan anggota pertama, maka jelas bahwa $S_(n)=n*b_(1)$.
Pertimbangkan sekarang kasus $q≠1$.
Kalikan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Catatan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Kami telah memperoleh rumus jumlah deret geometri berhingga.

Contoh.
Hitunglah jumlah tujuh suku pertama suatu barisan geometri yang suku pertamanya 4 dan penyebutnya 3.

Larutan.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Contoh.
Temukan anggota kelima dari barisan geometri, yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Larutan.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Properti karakteristik dari perkembangan geometris

Guys, mengingat perkembangan geometris. Mari pertimbangkan tiga anggota berturut-turut: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Kami tahu bahwa:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Kemudian:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jika perkembangannya terbatas, maka persamaan ini berlaku untuk semua suku kecuali yang pertama dan terakhir.
Jika sebelumnya tidak diketahui barisan apa yang dimiliki barisan tersebut, tetapi diketahui bahwa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa ini adalah perkembangan geometris.

Barisan bilangan adalah deret geometri hanya jika kuadrat dari setiap sukunya sama dengan perkalian dua suku tetangganya dari barisan tersebut. Jangan lupa bahwa untuk perkembangan terbatas kondisi ini tidak terpenuhi untuk suku pertama dan terakhir.

Mari kita lihat identitas ini: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ disebut rata-rata geometris dari a dan b.

Modulus setiap anggota barisan geometri sama dengan rata-rata geometris dari dua anggota yang berdekatan.

Contoh.
Temukan x sehingga $x+2; 2x+2; 3x+3$ adalah tiga anggota berturut-turut dari barisan geometri.

Larutan.
Mari gunakan properti karakteristik:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Ganti secara berurutan dalam ekspresi aslinya, solusi kami:
Dengan $x=2$, kami mendapat urutan: 4;6;9 adalah perkembangan geometris dengan $q=1.5$.
Dengan $x=-1$, kami mendapat urutan: 1;0;0.
Jawaban: $x=2.$

Tugas untuk solusi independen

1. Temukan anggota kedelapan pertama dari barisan geometri 16; -8; 4; -2 ....
2. Temukan anggota kesepuluh dari barisan geometri 11,22,44….
3. Diketahui bahwa $b_(1)=5, q=3$. Temukan $b_(7)$.
4. Diketahui bahwa $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Temukan n.
5. Temukan jumlah dari 11 anggota pertama dari barisan geometri 3;12;48….
6. Temukan x sehingga $3x+4; 2x+4; x+5$ adalah tiga anggota berturut-turut dari perkembangan geometris.

Tujuan pelajaran: untuk mengenalkan siswa pada jenis barisan baru - deret geometri yang menurun tak terhingga.
Tugas:
rumusan ide awal limit urutan nomor;
berkenalan dengan cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah deret geometris yang menurun tak terhingga;
perkembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah, seperti pemikiran logis, kemampuan tindakan evaluatif, generalisasi;
pendidikan aktivitas, gotong royong, kolektivisme, minat pada subjek.

Unduh:

Pratinjau:

Pelajaran terkait “Perkembangan geometris yang menurun tak terhingga” (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada urutan jenis baru - perkembangan geometris yang menurun tanpa batas.

Tugas:

rumusan ide awal limit barisan bilangan; berkenalan dengan cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah deret geometris yang menurun tak terhingga;

perkembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah, seperti pemikiran logis, kemampuan tindakan evaluatif, generalisasi;

pendidikan aktivitas, gotong royong, kolektivisme, minat pada subjek.

Peralatan: kelas komputer, proyektor, layar.

Jenis pelajaran: Pelajaran - menguasai topik baru.

Selama kelas

I.Org. momen. Pesan tentang topik dan tujuan pelajaran.

II. Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9, Anda mempelajari deret aritmetika dan geometri.

Pertanyaan

1. Definisi deret aritmatika.

(Deret aritmatika adalah deret di mana setiap anggota,

Dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya, ditambah dengan bilangan yang sama).

2. Rumus n anggota -th dari perkembangan aritmatika

3. Rumus penjumlahan yang pertama N anggota barisan aritmatika.

( atau )

4. Definisi deret geometri.

(Deret geometri adalah deret bilangan bukan nol,

Setiap suku yang dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya, dikalikan dengan

nomor yang sama).

5. Rumus n suku ke deret geometri

6. Rumus penjumlahan yang pertama N anggota deret geometri.

7. Rumus apa yang masih kamu ketahui?

(, Di mana ; ;

; , )

Tugas

1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus a n = 7 - 4n. Temukan 10 . (-33)

2. Perkembangan aritmatika a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Temukan 4 . (4)

3. Perkembangan aritmatika a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Temukan 17 . (-35)

4. Perkembangan aritmatika a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Temukan S 17 . (-187)

5. Untuk perkembangan geometriscarilah suku kelima.

6. Untuk perkembangan geometris carilah suku ke-n.

7. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Temukan b 4 . (4)

8. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Temukan b 1 dan q .

9. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Cari S5 . (62)

AKU AKU AKU. Menjelajahi topik baru(presentasi demonstrasi).

Pertimbangkan sebuah bujur sangkar dengan sisi sama dengan 1. Mari kita menggambar bujur sangkar lain, yang sisinya adalah setengah dari bujur sangkar pertama, lalu satu lagi, yang sisinya adalah setengah dari kedua, lalu yang berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi kotak baru setengah dari yang sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapat urutan sisi kotakmembentuk barisan geometri dengan penyebut.

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membangun kotak seperti itu, semakin kecil sisi persegi itu. Misalnya ,

Itu. ketika angka n bertambah, suku-suku deret mendekati nol.

Dengan bantuan gambar ini, satu urutan lagi dapat dipertimbangkan.

Misalnya, urutan luas persegi:

Dan, sekali lagi, jika n meningkat tanpa batas, maka luasnya mendekati nol secara sewenang-wenang.

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 cm. Mari kita bangun segitiga berikutnya dengan simpul di titik tengah sisi segitiga pertama, menurut teorema garis tengah segitiga - sisi segitiga ke-2 sama dengan setengah sisi segitiga pertama, sisi segitiga ke-3 adalah setengah sisi segitiga pertama tanggal 2 dst. Sekali lagi kita mendapatkan urutan panjang sisi segitiga.

Pada .

Jika kita mempertimbangkan perkembangan geometris dengan penyebut negatif.

Kemudian, lagi, dengan angka yang terus meningkat N ketentuan perkembangan mendekati nol.

Mari perhatikan penyebut dari barisan-barisan ini. Di mana-mana penyebutnya kurang dari 1 modulo.

Kita dapat menyimpulkan: deret geometri akan menurun tanpa batas jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Pekerjaan depan.

Definisi:

Deret geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu..

Dengan bantuan definisi, adalah mungkin untuk memecahkan pertanyaan apakah suatu deret geometri menurun secara tak terhingga atau tidak.

Tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan oleh rumus:

Larutan:

Ayo cari q .

; ; ; .

perkembangan geometris ini menurun tanpa batas.

B) urutan ini bukanlah perkembangan geometris yang menurun tanpa batas.

Pertimbangkan sebuah bujur sangkar dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, satu lagi menjadi dua, dan seterusnya. area dari semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk perkembangan geometris yang menurun tak terhingga:

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.

Tetapi di sisi kiri persamaan ini adalah jumlah dari suku-suku yang jumlahnya tak terhingga.

Perhatikan jumlah n suku pertama.

Menurut rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri adalah sama dengan.

Jika n meningkat tanpa batas waktu, maka

atau . Oleh karena itu, mis. .

Jumlah dari perkembangan geometris yang menurun tak terhinggaada batas urutan S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Misalnya, untuk kemajuan,

kita punya

Karena

Jumlah dari perkembangan geometris yang menurun tak terhinggadapat dicari dengan menggunakan rumus.

AKU AKU AKU. Refleksi dan Konsolidasi(penyelesaian tugas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Meringkas.

Urutan apa yang Anda temui hari ini?

Tentukan perkembangan geometris yang menurun tanpa batas.

Bagaimana cara membuktikan bahwa perkembangan geometris menurun tanpa batas?

Berikan rumus untuk jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga.

V.Pekerjaan rumah.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Setiap orang harus dapat berpikir secara konsisten, menilai secara meyakinkan, dan menyangkal kesimpulan yang salah: fisikawan dan penyair, pengemudi traktor, dan ahli kimia. E.Kolman Dalam matematika, yang harus diingat bukanlah rumus, tetapi proses berpikir. VP Ermakov Lebih mudah menemukan kuadrat lingkaran daripada mengecoh ahli matematika. Augustus de Morgan Sains apa yang lebih mulia, lebih mengagumkan, lebih berguna bagi umat manusia daripada matematika? Franklin

Perkembangan geometris yang menurun tak terhingga Kelas 10

SAYA. Progresi aritmatika dan geometris. Pertanyaan 1. Definisi deret aritmatika. Deret aritmetika adalah barisan di mana setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan suku sebelumnya ditambahkan ke nomor yang sama. 2. Rumus anggota ke-n dari deret aritmatika. 3. Rumus jumlah n anggota pertama deret aritmetika. 4. Definisi deret geometri. Deret geometri adalah deret bilangan bukan nol, yang setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama 5. Rumus anggota ke-n dari suatu deret geometri. 6. Rumus jumlah n anggota pertama dari deret geometri.

II. perkembangan aritmatika. Tugas Perkembangan aritmatika diberikan dengan rumus a n = 7 – 4 n Temukan a 10 . (-33) 2. Dalam barisan aritmetika a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Temukan 4 . (4) 3. Dalam deret aritmetika a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Temukan 17 . (-35) 4. Dalam barisan aritmetika a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Temukan S 17 . (-187)

II. Kemajuan geometris. Tugas 5. Untuk barisan geometri, cari suku kelima 6. Untuk barisan geometri, cari suku ke-n. 7. Dalam barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4) 8. Deret geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Temukan b 1 dan q . 9. Dalam barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari S5 . (62)

Definisi: Deret geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu.

Soal №1 Apakah deret merupakan deret geometri yang menurun tak terhingga, jika diberikan dengan rumus: Solusi: a) deret geometri ini menurun tak terhingga. b) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Jumlah deret geometri yang menurun tak hingga adalah limit barisan S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Misalnya, untuk suatu perkembangan, kita memiliki Karena jumlah dari suatu perkembangan geometris yang menurun tak terhingga dapat ditemukan dengan rumus

Penyelesaian tugas Temukan jumlah dari deret geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama 3, suku kedua 0,3. 2. Nomor 13; No.14; buku teks, hal.138 3. No.15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. No.19; Nomor 20.

Urutan apa yang Anda temui hari ini? Tentukan perkembangan geometris yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara membuktikan bahwa perkembangan geometris menurun tanpa batas? Berikan rumus untuk jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga. Pertanyaan

Ahli matematika Polandia terkenal Hugo Steinghaus dengan bercanda mengklaim bahwa ada hukum yang dirumuskan sebagai berikut: ahli matematika akan melakukannya dengan lebih baik. Yakni, jika Anda mempercayakan dua orang, salah satunya adalah ahli matematika, untuk melakukan pekerjaan apa pun yang tidak mereka ketahui, maka hasilnya akan selalu seperti ini: ahli matematika akan melakukannya dengan lebih baik. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Petunjuk

10, 30, 90, 270...

Diperlukan untuk menemukan penyebut dari deret geometri.
Larutan:

1 opsi. Mari kita ambil anggota perkembangan yang berubah-ubah (misalnya, 90) dan membaginya dengan yang sebelumnya (30): 90/30=3.

Jika jumlah dari beberapa anggota deret geometri atau jumlah semua anggota deret geometri menurun diketahui, maka untuk menemukan penyebut dari deret tersebut, gunakan rumus yang sesuai:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dengan Sn adalah jumlah n suku pertama dari barisan geometri dan
S = b1/(1-q), di mana S adalah jumlah dari barisan geometri yang menurun tak terhingga (jumlah semua anggota barisan dengan penyebut kurang dari satu).
Contoh.

Suku pertama dari barisan geometri menurun sama dengan satu, dan jumlah semua sukunya sama dengan dua.

Diperlukan untuk menentukan penyebut dari perkembangan ini.
Larutan:

Gantikan data dari tugas ke dalam rumus. Mendapatkan:
2=1/(1-q), di mana – q=1/2.

Progresi adalah urutan angka. Dalam barisan geometri, setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu q, yang disebut penyebut barisan tersebut.

Petunjuk

Jika dua anggota bertetangga dari geometri b(n+1) dan b(n) diketahui, untuk mendapatkan penyebutnya, bilangan dengan bilangan besar harus dibagi dengan bilangan sebelumnya: q=b(n +1)/b(n). Ini mengikuti dari definisi perkembangan dan penyebutnya. Kondisi penting adalah bahwa suku pertama dan penyebut dari perkembangan tidak sama dengan nol, jika tidak dianggap tidak pasti.

Dengan demikian, hubungan berikut dibuat antara anggota deret: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Dengan rumus b(n)=b1 q^(n-1) setiap anggota barisan geometri dapat dihitung, di mana penyebut q dan anggota b1 diketahui. Juga, masing-masing modulo perkembangan sama dengan rata-rata anggota tetangganya: |b(n)|=√, maka perkembangannya mendapatkan .

Analog dari perkembangan geometris adalah yang paling sederhana Fungsi eksponensial y=a^x, di mana x dalam eksponen, a adalah angka tertentu. Dalam hal ini, penyebut dari perkembangan tersebut bertepatan dengan suku pertama dan sama dengan angka a. Nilai fungsi y dapat dipahami sebagai anggota ke-n progresi, jika argumen x diambil sebagai bilangan asli n (kontra).

Ada untuk jumlah n anggota pertama deret geometri: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Rumus ini berlaku untuk q≠1. Jika q=1, maka jumlah dari n suku pertama dihitung dengan rumus S(n)=n b1. Ngomong-ngomong, perkembangannya akan disebut meningkat untuk q lebih besar dari satu dan b1 positif. Ketika penyebut progresi, modulo tidak melebihi satu, progresi akan disebut menurun.

kasus spesial perkembangan geometris - perkembangan geometris yang menurun tanpa batas (b.u.g.p.). Faktanya adalah bahwa anggota deret geometri yang menurun akan terus berkurang, tetapi tidak akan pernah mencapai nol. Meskipun demikian, adalah mungkin untuk menemukan jumlah semua istilah dari perkembangan tersebut. Ini ditentukan oleh rumus S=b1/(1-q). Total n anggota tidak terbatas.

Untuk memvisualisasikan bagaimana Anda dapat menjumlahkan angka tak terhingga dan tidak mendapatkan tak terhingga, buat kue. Potong setengahnya. Kemudian potong 1/2 dari setengahnya, dan seterusnya. Potongan-potongan yang akan Anda dapatkan tidak lebih dari anggota deret geometri yang menurun tak terhingga dengan penyebut 1/2. Jika Anda menyatukan semua bagian ini, Anda akan mendapatkan kue aslinya.

Masalah geometri adalah variasi khusus latihan yang membutuhkan pemikiran spasial. Jika Anda tidak dapat memecahkan geometris tugas coba ikuti aturan di bawah ini.

Petunjuk

Baca kondisi soal dengan sangat hati-hati, jika Anda tidak ingat atau tidak mengerti sesuatu, baca kembali.

Cobalah untuk menentukan jenis masalah geometris itu, misalnya: komputasi, ketika Anda perlu mengetahui beberapa nilai, tugas yang membutuhkan rantai penalaran logis, tugas membangun menggunakan kompas dan penggaris. Lebih banyak tugas tipe campuran. Setelah Anda mengetahui jenis masalahnya, cobalah untuk berpikir secara logis.

Terapkan teorema yang diperlukan untuk masalah ini, jika ada keraguan atau tidak ada pilihan sama sekali, cobalah untuk mengingat teori yang Anda pelajari tentang topik yang relevan.

Buat draf masalahnya juga. Coba terapkan cara-cara yang diketahui memeriksa kebenaran solusi Anda.

Selesaikan penyelesaian soal dengan rapi di buku catatan, tanpa noda dan coretan, dan yang terpenting - Mungkin butuh waktu dan tenaga untuk menyelesaikan soal geometri pertama. Namun, begitu Anda memahami proses ini, Anda akan mulai mengklik tugas-tugas seperti orang gila dan bersenang-senang melakukannya!

Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sehingga b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Dengan kata lain, setiap anggota deret diperoleh dari deret sebelumnya dengan mengalikannya dengan beberapa penyebut bukan nol dari deret q.

Petunjuk

Masalah pada barisan paling sering diselesaikan dengan menyusun dan mengikuti sistem yang berhubungan dengan suku pertama dari barisan b1 dan penyebut dari barisan q. Untuk menulis persamaan, ada gunanya mengingat beberapa rumus.

Cara menyatakan anggota ke-n dari barisan melalui anggota pertama dari barisan dan penyebut dari barisan: b(n)=b1*q^(n-1).

Pertimbangkan secara terpisah kasus |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Deret geometri adalah deret bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Konsep perkembangan geometris

Deret geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, … .

Rasio dari setiap suku kesalahan geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ini mengikuti langsung dari definisi perkembangan aritmatika. Angka ini disebut penyebut deret geometri. Biasanya penyebut deret geometri dilambangkan dengan huruf q.

Jumlah deret geometri tak terhingga untuk |q|<1

Salah satu cara untuk menetapkan deret geometri adalah dengan menetapkan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini memberikan deret geometri 4, -8, 16, -32, … .

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka deret tersebut merupakan barisan monoton. Misalnya, barisan, 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan yang naik secara monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut q=1 dalam kesalahan geometri, maka semua anggota deret geometri akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti itu, perkembangannya dikatakan sebagai urutan konstan.

Agar barisan numerik (bn) menjadi barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus menjadi rata-rata geometris dari anggota tetangganya. Artinya, perlu untuk memenuhi persamaan berikut
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, di mana n milik himpunan bilangan asli N.

Sekarang mari kita letakkan (Xn) - perkembangan geometris. Penyebut deret geometri q, dengan |q|∞).
Jika sekarang kita menyatakan dengan S jumlah dari perkembangan geometris tak terhingga, maka rumus berikut akan berlaku:
S=x1/(1-q).

Pertimbangkan contoh sederhana:

Temukan jumlah dari deret geometri tak terhingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Untuk mencari S, kita menggunakan rumus jumlah deret aritmetika tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Jika setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, urutan numerik adalah fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor A 2 — anggota urutan kedua , nomor A 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota ke-n urutan , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota tetangga sebuah Dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.

Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya bisa ditentukan rumus berulang, yaitu, rumus yang menyatakan setiap anggota deret, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

5 = sebuah 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya jika memiliki banyak anggota tak terhingga.

Misalnya,

urutan bilangan asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Urutan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.

Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . adalah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . adalah urutan menurun. ◄

Urutan yang elemennya tidak berkurang dengan bertambahnya nomor, atau sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan yang monoton .

Urutan monoton, khususnya, meningkatkan urutan dan mengurangi urutan.

perkembangan aritmatika

perkembangan aritmatika urutan disebut, yang setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah deret aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N kondisi terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - beberapa nomor.

Dengan demikian, perbedaan antara anggota berikutnya dan sebelumnya dari deret aritmetika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon selisih barisan aritmetika.

Untuk menetapkan deret aritmatika, cukup menentukan suku dan selisih pertamanya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka lima suku pertama dari deret tersebut adalah sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk deret aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaan D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh dari barisan aritmatika

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + t,

lalu jelas

sebuah=	n-1 + n+1
	2

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah anggota berurutan dari beberapa deret aritmetika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmetika dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , merupakan barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan bahwa N Anggota -th dari perkembangan aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya k

sebuah = k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat ditulis

5 = sebuah 1 + 4D,

5 = sebuah 2 + 3D,

5 = sebuah 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

sebuah = sebuah n-k + kd,

sebuah = n+k - kd,

lalu jelas

sebuah=	A n-k + a n+k
	2

setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaannya benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misalnya,

dalam barisan aritmetika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N anggota deret aritmatika sama dengan produk setengah jumlah suku ekstrim dengan jumlah suku:

Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratannya

k, k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam barisan aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberikan perkembangan aritmatika, maka jumlahnya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monoton. Di mana:

Jika D > 0 , kemudian meningkat;
Jika D < 0 , kemudian menurun;
Jika D = 0 , maka barisan akan stasioner.

Kemajuan geometris

perkembangan geometris sebuah barisan disebut, yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli N kondisi terpenuhi:

b n +1 = b n · Q,

Di mana Q ≠ 0 - beberapa nomor.

Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut suatu barisan geometri.

Untuk menetapkan barisan geometri, cukup menentukan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka lima suku pertama dari deret tersebut adalah sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N suku -th dapat ditemukan dengan rumus:

b n = B 1 · q n -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh suatu barisan geometri 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = B 1 · q n,

lalu jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometris (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah anggota berurutan dari suatu deret geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan perkalian dua bilangan lainnya, yaitu, salah satu bilangan tersebut adalah rata-rata geometris dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

mari kita buktikan bahwa barisan diberikan oleh rumus b n= -3 2 N , adalah perkembangan geometris. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan asersi yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahwa N Suku ke deret geometri dapat ditemukan tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup menggunakan rumus

b n = b k · q n - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat ditulis

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · qk,

lalu jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuadrat dari setiap anggota barisan geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota barisan ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk deret geometri apa pun, persamaannya benar:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Misalnya,

secara eksponensial

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Pertama N suku barisan geometri dengan penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai dengan rumus

S n= n.b. 1

Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan persyaratan

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka digunakan rumus :

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - Q

Misalnya,

secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika deret geometri diberikan, maka jumlahnya B 1 , b n, Q, N Dan S n dihubungkan oleh dua rumus:

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut berlangsung sifat monoton :

progresi meningkat jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

Suatu perkembangan menurun jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka deret geometri berganti-ganti tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil memiliki tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap memiliki tanda yang berlawanan. Jelas bahwa perkembangan geometris bergantian tidak monoton.

Produk pertama N istilah deret geometri dapat dihitung dengan rumus:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Perkembangan geometris yang menurun tanpa batas

Perkembangan geometris yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , itu adalah

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa deret geometri yang menurun tak terhingga mungkin bukan deret yang menurun. Ini cocok dengan kasusnya

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, urutannya berganti-ganti tanda. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah dari perkembangan geometris yang menurun tak terhingga nama nomor yang jumlah yang pertama N hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Angka ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus