rumah › Sistem bahan bakar › Buatlah deret aritmatika dari selisih tersebut. Perkembangan aritmatika - urutan angka

Buatlah deret aritmatika dari selisih tersebut. Perkembangan aritmatika - urutan angka

Kalkulator daring.
Solusi perkembangan aritmatika.
Diberikan: a n , d, n
Temukan: 1

Program matematika ini menemukan $a_1$ dari perkembangan aritmatika berdasarkan angka yang ditentukan pengguna $a_n, d $ dan $n $.
Angka $a_n$ dan $d $ dapat ditentukan tidak hanya sebagai bilangan bulat, tetapi juga sebagai pecahan. Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan dalam bentuk pecahan desimal (\ (2,5 \)) dan dalam bentuk pecahan biasa($-5\frac(2)(7) $).

Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah tersebut, tetapi juga menampilkan proses pencarian solusi.

Kalkulator online ini dapat berguna untuk siswa sekolah menengah sekolah pendidikan umum dalam persiapan untuk pekerjaan kontrol dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum ujian, orang tua mengontrol solusi dari banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku teks baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya sesegera mungkin? pekerjaan rumah matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan demikian, Anda dapat melakukan Anda pelatihan sendiri dan/atau pembinaan adik-adiknya, sedangkan tingkat pendidikan di bidang tugas-tugas yang harus diselesaikan ditingkatkan.

Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan memasukkan angka, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan angka

Angka $a_n$ dan $d $ dapat ditentukan tidak hanya sebagai bilangan bulat, tetapi juga sebagai pecahan.
Angka $n$ hanya bisa berupa bilangan bulat positif.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan dalam pecahan desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti 2,5 atau seperti 2,5

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Memasukkan:
Hasil: $-\frac(2)(3) $

Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan ampersand: &
Memasukkan:
Hasil: $-1\frac(2)(3) $

Masukkan angka a n , d, n Temukan 1

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Anda telah menonaktifkan JavaScript di browser Anda.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda antri.
Setelah beberapa detik, solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menuliskannya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam bidang.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Urutan numerik

Penomoran sering digunakan dalam praktek sehari-hari. berbagai item untuk menunjukkan pesanan mereka. Misalnya, rumah-rumah di setiap jalan diberi nomor. Di perpustakaan, langganan pembaca diberi nomor dan kemudian diatur dalam urutan nomor yang ditetapkan dalam lemari arsip khusus.

Di bank tabungan, dengan nomor rekening pribadi deposan, Anda dapat dengan mudah menemukan rekening ini dan melihat jenis simpanan yang dimilikinya. Biarkan ada setoran 1 rubel di akun No. 1, setoran 2 rubel di akun No. 2, dll. urutan numerik
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
di mana N adalah jumlah semua akun. Di sini, setiap bilangan asli n dari 1 sampai N diberi nomor a n .

Matematika juga belajar urutan bilangan tak terbatas:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Angka 1 disebut anggota pertama dari urutan, nomor a 2 - anggota urutan kedua, nomor a 3 - anggota urutan ketiga dll.
Bilangan a n disebut ke-n (ke-n) anggota barisan tersebut, dan bilangan asli n adalah miliknya nomor.

Misalnya, pada barisan kuadrat bilangan asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... dan 1 = 1 adalah anggota barisan pertama; dan n = n 2 adalah anggota ke-n urutan; a n+1 = (n + 1) 2 adalah anggota (n + 1)th (en ditambah yang pertama) dari deret tersebut. Seringkali suatu barisan dapat ditentukan dengan rumus suku ke-nnya. Misalnya, rumus $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ memberikan urutan $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \titik,\frac(1)(n) , \titik$

perkembangan aritmatika

Lamanya satu tahun kira-kira 365 hari. Lagi nilai yang tepat sama dengan $365\frac(1)(4) $ hari, jadi setiap empat tahun kesalahan satu hari terakumulasi.

Untuk memperhitungkan kesalahan ini, satu hari ditambahkan ke setiap tahun keempat, dan tahun yang diperpanjang disebut tahun kabisat.

Misalnya, pada milenium ketiga, tahun kabisat adalah 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Dalam urutan ini, setiap anggota, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan angka yang sama 4. Urutan seperti itu disebut progresi aritmetika.

Definisi.
Barisan bilangan a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... disebut perkembangan aritmatika, jika untuk semua alam n persamaan
$a_(n+1) = a_n+d, $
di mana d adalah beberapa angka.

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa a n+1 - a n = d. Angka d disebut selisih perkembangan aritmatika.

Menurut definisi perkembangan aritmatika, kita memiliki:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
Di mana
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, di mana $n>1 $

Jadi, setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua anggota yang berdekatan. Ini menjelaskan perkembangan nama "aritmatika".

Perhatikan bahwa jika a 1 dan d diberikan, suku sisa dari deret aritmetika dapat dihitung menggunakan rumus rekursif a n+1 = a n + d. Dengan cara ini, tidak sulit untuk menghitung beberapa suku pertama dari deret, namun, misalnya, untuk 100, sudah banyak perhitungan yang diperlukan. Biasanya, rumus suku ke-n digunakan untuk ini. Sesuai dengan definisi deret aritmatika
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
dll.
Sama sekali,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
Karena anggota ke-n deret aritmetika diperoleh dari suku pertama dengan menjumlahkan (n-1) dengan bilangan d.
Rumus ini disebut rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Jumlah n suku pertama barisan aritmetika

Mari kita temukan jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100.
Kami menulis jumlah ini dalam dua cara:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Kami menambahkan persamaan ini istilah demi istilah:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ada 100 istilah dalam jumlah ini.
Oleh karena itu, 2S = 101 * 100, dimana S = 101 * 50 = 5050.

Pertimbangkan sekarang perkembangan aritmatika yang sewenang-wenang
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Misalkan S n adalah jumlah dari n suku pertama dari barisan ini:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Kemudian jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

Karena $a_n=a_1+(n-1)d $, lalu mengganti n dalam rumus ini, kita mendapatkan rumus lain untuk mencari jumlah n suku pertama barisan aritmatika:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

Buku (buku teks) Abstrak Ujian Negara Bersatu dan tes OGE game online, teka-teki Konstruksi grafik fungsi Kamus Ejaan Bahasa Rusia Kamus bahasa gaul pemuda Direktori sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universitas Rusia Daftar tugas

Atau aritmatika - ini adalah jenis urutan numerik terurut, yang sifat-sifatnya dipelajari dalam kursus aljabar sekolah. Artikel ini membahas secara rinci pertanyaan tentang bagaimana menemukan jumlah deret aritmatika.

Apa perkembangan ini?

Sebelum melanjutkan ke pertimbangan pertanyaan (bagaimana menemukan jumlah deret aritmatika), ada baiknya memahami apa yang akan dibahas.

Urutan bilangan real apa pun yang diperoleh dengan menambahkan (mengurangi) beberapa nilai dari setiap bilangan sebelumnya disebut perkembangan aljabar (aritmatika). Definisi ini, diterjemahkan ke dalam bahasa matematika, berbentuk:

Di sini i adalah bilangan urut dari elemen deret a i . Dengan demikian, hanya dengan mengetahui satu nomor awal, Anda dapat dengan mudah memulihkan seluruh rangkaian. Parameter d dalam rumus disebut perbedaan perkembangan.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa persamaan berikut berlaku untuk deret angka yang ditinjau:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Yaitu, untuk mencari nilai elemen ke-n secara berurutan, tambahkan selisih d ke elemen pertama a sebanyak 1 n-1 kali.

Apa jumlah dari perkembangan aritmatika: formula

Sebelum memberikan rumus untuk jumlah yang ditunjukkan, ada baiknya mempertimbangkan yang sederhana kasus spesial. Mengingat perkembangan bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu mencari jumlahnya. Karena ada beberapa istilah dalam deret (10), masalah ini dapat diselesaikan secara langsung, yaitu menjumlahkan semua elemen secara berurutan.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Perlu dipertimbangkan satu hal yang menarik: karena setiap suku berbeda dari suku berikutnya dengan nilai yang sama d \u003d 1, maka penjumlahan berpasangan dari yang pertama dengan yang kesepuluh, yang kedua dengan yang kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama . Benar-benar:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang Anda lihat, hanya ada 5 dari jumlah ini, tepatnya dua kali lebih sedikit dari jumlah elemen dalam deret. Kemudian mengalikan jumlah penjumlahan (5) dengan hasil dari setiap penjumlahan (11), Anda akan mendapatkan hasil yang diperoleh pada contoh pertama.

Jika kami menggeneralisasi argumen ini, kami dapat menulis ekspresi berikut:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahwa sama sekali tidak perlu menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup mengetahui nilai yang pertama a 1 dan yang terakhir a n , dan juga jumlah total syarat n.

Dipercayai bahwa Gauss pertama kali memikirkan persamaan ini ketika dia mencari solusi untuk masalah yang ditetapkan oleh guru sekolahnya: menjumlahkan 100 bilangan bulat pertama.

Jumlah elemen dari m ke n: rumus

Rumus yang diberikan di paragraf sebelumnya menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan jumlah deret aritmatika (dari elemen pertama), tetapi seringkali dalam tugas perlu menjumlahkan deret angka di tengah deret. Bagaimana cara melakukannya?

Cara termudah untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan mempertimbangkan contoh berikut: misalkan perlu mencari jumlah suku dari m ke n. Untuk mengatasi masalah tersebut, segmen tertentu dari m ke n dari perkembangan harus direpresentasikan sebagai deret bilangan baru. Sedemikian representasi m-th istilah a m akan menjadi yang pertama, dan a n akan diberi nomor n-(m-1). Dalam hal ini, menerapkan rumus standar untuk jumlah tersebut, ekspresi berikut akan diperoleh:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh penggunaan rumus

Mengetahui cara menemukan jumlah deret aritmatika, ada baiknya mempertimbangkan contoh sederhana penggunaan rumus di atas.

Di bawah ini adalah urutan numerik, Anda harus menemukan jumlah anggotanya, mulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 12:

Angka-angka yang diberikan menunjukkan bahwa selisih d sama dengan 3. Dengan menggunakan ekspresi untuk elemen ke-n, Anda dapat menemukan nilai anggota perkembangan ke-5 dan ke-12. Ternyata:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Mengetahui nilai-nilai angka di ujung deret aljabar yang dipertimbangkan, serta mengetahui angka mana dalam deret yang ditempati, Anda dapat menggunakan rumus penjumlahan yang diperoleh di paragraf sebelumnya. Mendapatkan:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Perlu dicatat bahwa nilai ini dapat diperoleh secara berbeda: pertama, temukan jumlah dari 12 elemen pertama menggunakan rumus standar, lalu hitung jumlah dari 4 elemen pertama menggunakan rumus yang sama, lalu kurangi jumlah pertama dengan yang kedua .

Apa Titik utama formula?

Formula ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA" N" .

Tentu saja, Anda perlu mengetahui istilah pertama sebuah 1 dan perbedaan perkembangan D, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.

Tidak cukup hanya menghafal (atau menipu) rumus ini. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan rumus tersebut dalam berbagai soal. Ya, dan jangan lupa di waktu yang tepat ya…) Bagaimana tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana mengingat Jika perlu, saya akan memberi Anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita bahas rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Apa itu rumus secara umum - kita bayangkan.) Apa itu perkembangan aritmatika, bilangan anggota, perbedaan perkembangan - dinyatakan dengan jelas di pelajaran sebelumnya. Coba lihat jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Tetap mencari tahu apa anggota ke-n.

perkembangan di pandangan umum dapat ditulis sebagai deret angka:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1- menunjukkan suku pertama dari perkembangan aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan istilah kelima, katakanlah kita bekerja dengan 5, jika seratus dua puluh - dari sebuah 120.

Cara mendefinisikan secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

sebuah

Itulah apa itu anggota ke-n dari barisan aritmatika. Di bawah huruf n semua nomor anggota disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ...

Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan banyak tugas untuk diselesaikan secara bertahap. Anda akan melihat lebih jauh.

Dalam rumus anggota ke-n dari perkembangan aritmatika:

a n = a 1 + (n-1)d

sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika;

N- nomor anggota.

Rumus menghubungkan parameter kunci dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; D Dan N. Di sekitar parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis deret tertentu. Misalnya, dalam soal dapat dikatakan bahwa perkembangan diberikan oleh kondisi:

a n = 5 + (n-1) 2.

Masalah seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada seri, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumusnya, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.

Dan itu bisa lebih marah lagi!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka tanda kurung dan berikan yang serupa? Kami mendapatkan formula baru:

an = 3 + 2n.

Ini Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak jebakannya. Beberapa orang berpikir bahwa istilah pertama adalah tiga. Meskipun pada kenyataannya anggota pertama adalah lima ... Sedikit lebih rendah kami akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi.

Dalam tugas untuk kemajuan, ada notasi lain - n+1. Anda dapat menebaknya, ini adalah suku "n ditambah suku pertama" dari barisan tersebut. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota perkembangan, yang jumlahnya lebih besar dari angka n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil sebuah suku kelima, lalu n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.

Paling sering penunjukan n+1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan takut dengan kata yang mengerikan ini!) Ini hanyalah cara untuk mengungkapkan istilah dari deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Misalkan kita diberi perkembangan aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:

n+1 = n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a3 = a2 + 3 = 8+3 = 11

Yang keempat - sampai ketiga, kelima - sampai keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung dengan segera, ucapkan suku kedua puluh, sebuah 20? Tapi tidak mungkin!) Meskipun suku ke-19 tidak diketahui, suku ke-20 tidak dapat dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus rekursif dan rumus suku ke-n. Rekursif hanya bekerja melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n - sampai Pertama dan memungkinkan langsung menemukan anggota dengan nomornya. Tidak menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam perkembangan aritmatika, rumus rekursif dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemukan.

Penerapan rumus anggota ke-n dari perkembangan aritmatika.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung dari rumus tersebut. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:

Diberikan deret aritmetika (an). Temukan 121 jika 1 =3 dan d=1/6.

Masalah ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, hanya berdasarkan arti dari deret aritmatika. Tambahkan, ya tambahkan ... Satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami yang memutuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Masih harus dilihat apa N. Tidak masalah! Kita perlu menemukan sebuah 121. Di sini kami menulis:

Mohon perhatian! Alih-alih indeks N nomor tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota perkembangan aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita N. Inilah maknanya N= 121 kita akan mengganti lebih jauh ke dalam rumus, di dalam tanda kurung. Gantikan semua angka dalam rumus dan hitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Hanya itu yang ada untuk itu. Dengan cepat seseorang dapat menemukan lima ratus sepuluh anggota, dan seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya N nomor yang diinginkan dalam indeks surat " A" dan dalam tanda kurung, dan kami pertimbangkan.

Biarkan saya mengingatkan Anda intinya: formula ini memungkinkan Anda untuk menemukannya setiap suku suatu barisan aritmatika DENGAN NOMORNYA" N" .

Mari selesaikan masalah dengan lebih cerdas. Katakanlah kita memiliki masalah berikut:

Tentukan suku pertama barisan aritmetika (a n) jika a 17 =-2; d=-0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan menyarankan langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika! Ya ya. Tulis tangan, tepat di buku catatan Anda:

a n = a 1 + (n-1)d

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dari rumus tersebut, kami memahami data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas ... Semuanya? Kalau menurut anda itu saja, berarti anda tidak bisa menyelesaikan masalah, ya...

Kami juga punya nomor N! Dalam kondisi a 17 = -2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah nilai anggota ketujuh belas (-2) dan nomornya (17). Itu. n=17."Hal kecil" ini sering lolos dari kepala, dan tanpanya, (tanpa "hal kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita masukkan:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Itu, pada intinya, adalah segalanya. Tetap menyatakan suku pertama dari perkembangan aritmatika dari rumus, dan menghitung. Anda mendapatkan jawabannya: a 1 = 6.

Teknik seperti itu - menulis rumus dan hanya mengganti data yang diketahui - sangat membantu dalam tugas-tugas sederhana. Nah, tentu saja Anda harus bisa mengekspresikan variabel dari rumus, tapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak dapat dipelajari sama sekali ...

Masalah populer lainnya:

Tentukan selisih deret aritmetika (an) jika a 1 =2; 15 = 12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami menulis rumusnya!)

a n = a 1 + (n-1)d

Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 =12; dan (sorotan khusus!) n=15. Jangan ragu untuk mengganti dalam rumus:

12=2 + (15-1)d

Mari kita lakukan aritmatika.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas a n, a 1 Dan D diputuskan. Tetap mempelajari cara menemukan nomor:

Angka 99 adalah anggota deret aritmetika (an), di mana a 1 =12; d=3. Temukan nomor anggota ini.

Kami mengganti jumlah yang diketahui ke dalam rumus suku ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: n dan n. Tetapi sebuah adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor tersebut N... Dan anggota perkembangan ini yang kita kenal! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. N, jadi nomor ini juga perlu ditemukan. Gantikan suku perkembangan 99 ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus N, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.

Dan sekarang masalah tentang topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah angka 117 akan menjadi anggota deret aritmatika (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis rumusnya lagi. Apa, tidak ada pilihan? Hm... Mengapa kita membutuhkan mata?) Apakah kita melihat anggota pertama dari perkembangan? Kami melihat. Ini adalah -3,6. Anda dapat menulis dengan aman: a 1 \u003d -3,6. Perbedaan D dapat ditentukan dari deret tersebut? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ya, kami melakukan hal yang paling sederhana. Tetap berurusan dengan nomor yang tidak dikenal N dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui bahwa yang diberikan adalah istilah progresi. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu itu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi... Nyalakan Keterampilan kreatif!)

Kami memperkirakan bahwa 117, bagaimanapun, adalah anggota dari perkembangan kita. Dengan nomor yang tidak dikenal N. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya-ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1.2

Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusN, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang kita tarik? Ya! Nomor 117 tidak anggota perkembangan kita. Itu berada di antara anggota ke-101 dan ke-102. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka angka tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan angka yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: TIDAK.

Tugas berdasarkan versi nyata dari GIA:

perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:

a n \u003d -4 + 6.8n

Temukan suku pertama dan kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Di sini perkembangan diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam rumus ... Itu terjadi.) Namun, rumus ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus anggota ke-n dari perkembangan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya.

Kami mencari anggota pertama. Orang yang berpikir. bahwa suku pertamanya dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal diubah. Suku pertama dari deret aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n=1 ke dalam rumus ini:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Di Sini! Suku pertamanya adalah 2,8, bukan -4!

Demikian pula, kami mencari istilah kesepuluh:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Hanya itu yang ada untuk itu.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca hingga baris-baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit di GIA atau Ujian Negara Bersatu, Anda lupa rumus yang berguna dari anggota ke-n dari perkembangan aritmatika. Sesuatu terlintas dalam pikiran, tapi entah bagaimana tidak pasti ... Apakah N ada, atau n+1, atau n-1... Bagaimana menjadi!?

Tenang! Formula ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi pasti cukup untuk kepercayaan diri dan keputusan yang tepat!) Sebagai kesimpulan, cukup mengingat arti dasar dari deret aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Kami menggambar sumbu numerik dan menandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:

Kami melihat gambar itu dan berpikir: sama dengan apa suku kedua? Kedua satu D:

A 2 =a 1+ 1 D

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.

A 3 =a 1+ 2 D

Apa kau mengerti? Saya tidak menaruh beberapa kata dalam huruf tebal untuk apa-apa. Oke, satu langkah lagi.)

Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.

A 4 =a 1+ 3 D

Sudah waktunya untuk menyadari bahwa jumlah celah, mis. D, Selalu satu kurang dari jumlah anggota yang Anda cari N. Artinya, sampai jumlahnya n, jumlah celah akan n-1. Jadi, rumusnya adalah (tanpa opsi!):

a n = a 1 + (n-1)d

Secara umum, gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan mengabaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda menghubungkan seluruh gudang matematika yang kuat ke solusi - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan...

Tugas untuk keputusan independen.

Untuk pemanasan:

1. Dalam deret aritmetika (an) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Temukan 3 .

Petunjuk: sesuai gambar, soal selesai dalam 20 detik... Menurut rumusnya, ternyata lebih sulit. Tapi untuk menguasai rumus, itu lebih bermanfaat.) Di Bagian 555, masalah ini diselesaikan baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam deret aritmetika (an) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Temukan a 3 .

Apa, keengganan untuk menggambar?) Tetap saja! Formula yang lebih baik, ya ...

3. Deret aritmatika diberikan dengan syarat:a 1 \u003d -5,5; n+1 = n+0,5. Temukan suku seratus dua puluh lima dari barisan ini.

Dalam tugas ini, perkembangan diberikan dengan cara yang berulang. Tapi menghitung sampai suku ke seratus dua puluh lima... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diberikan deret aritmetika (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Temukan jumlah suku positif terkecil dari perkembangan tersebut.

5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari barisan tersebut.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari barisan aritmatika yang meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .

Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini metode "dengan jari" tidak akan berfungsi. Anda harus menulis rumus dan memecahkan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Telah terjadi? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Ngomong-ngomong, di penugasan terakhir ada satu titik halus. Perhatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika.

Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan momen halus untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan masalah apa pun untuk rumus suku ke-n - semuanya dicat. Saya merekomendasi.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Ya, ya: perkembangan aritmatika bukan mainan untukmu :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih belum tahu apa itu deret aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Nilai sendiri. Set pertama hanyalah angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka yang berdekatan sudah sama dengan lima, tetapi selisih ini tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sementara $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua deret seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan angka di mana setiap berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang persis sama disebut perkembangan aritmatika. Jumlah perbedaan angka disebut perbedaan perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa komentar penting. Pertama, perkembangan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa terbatas atau tidak terbatas. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan deret aritmetika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah kemajuan tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa perkembangan meningkat dan menurun. Kami telah melihat yang meningkat - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh penurunan progresi:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Suatu barisan aritmetika disebut :

meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;

menurun, jika sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - urutan tersebut terdiri dari angka berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semua yang ada di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
Terakhir, ada kasus $d=0$ — dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner dari angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Coba kita hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi penurunan di atas. Untuk melakukan ini, cukup mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan kurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang mereka miliki.

Anggota perkembangan dan formula berulang

Karena elemen deret kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan$\]

Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, anggota deret yang bertetangga dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke-$n$ dari barisan, Anda perlu mengetahui suku ke-$n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya di semua jenis buku referensi dan reshebnik. Dan dalam buku pelajaran matematika mana pun yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmetika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita tahu suku pertama $((a)_(1))=8$ dan perbedaan perkembangannya $d=-5$. Mari gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; -2)

Itu saja! Perhatikan bahwa perkembangan kita menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.

Tugas nomor 2. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmetika jika suku ketujuh adalah −40 dan suku ketujuh belas adalah −50.

Larutan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya memasang tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kami perhatikan bahwa jika kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kami berhak melakukan ini, karena kami memiliki sistem), kami mendapatkan ini:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))+16d-\kiri(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\kiri(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Begitu saja, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap mengganti nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \akhir(matriks)\]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan perbedaan dari perkembangan dikalikan dengan angka $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Sederhana tapi sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat secara signifikan mempercepat penyelesaian banyak masalah secara bertahap. Berikut adalah contoh utama dari ini:

Tugas nomor 3. Suku kelima barisan aritmetika tersebut adalah 8,4, dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu menemukan $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Tetapi dengan kondisi $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita memiliki:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota perkembangan yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sedangkan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku positif akan muncul di dalamnya. Begitu pula sebaliknya: istilah perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kami hanya akan tertidur sampai kami menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan cara yang lebih cepat.

Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmetika -38,5; -35,8; …?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ kita langsung cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertamanya negatif, jadi memang suatu saat kita akan tersandung pada bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu, sampai bilangan asli $n$) kenegatifan dari suku-suku tersebut dipertahankan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1\kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diperbolehkan adalah $n=15$, dan tidak ada kasus 16.

Tugas nomor 5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari perkembangan ini.

Ini akan menjadi masalah yang persis sama dengan yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah tetangga diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba ungkapkan suku kelima dengan suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana angka positif urutan kami akan muncul:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))=-162+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap perhatikan bahwa dalam tugas terakhir semuanya direduksi menjadi ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi$n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang setelah kita mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari pelajari properti lain yang sangat berguna dari perkembangan aritmatika, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa mendatang. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat anggota sewenang-wenang $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan tidak ada $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang akan saya beri tahu sekarang, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan tuliskan untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \akhir(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \akhir(sejajarkan)\]

Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas waktu, tetapi gambar tersebut menggambarkan artinya dengan baik

Anggota deret terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika nomor tetangga diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan tetap saja rumusnya akan benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sekilas, fakta ini mungkin tampak tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas yang secara khusus "diasah" untuk penggunaan rata-rata aritmatika. Lihatlah:

Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga angka $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berturut-turut dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).

Larutan. Karena angka-angka ini adalah anggota dari suatu perkembangan, kondisi rata-rata aritmatika dipenuhi untuk mereka: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam bentuk elemen tetangga:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: -3; 2.

Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Sekali lagi, kita menyatakan suku tengah dalam bentuk rata-rata aritmetika dari suku-suku tetangga:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses memecahkan masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin dengan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah di soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa mengecek apakah jawaban ini benar? Mari kita sambungkan ke kondisi asli dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang seharusnya membentuk perkembangan aritmatika. Pengganti $x=-3$:

\[\begin(sejajarkan) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka -54; −2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan deret aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(sejajarkan) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Lagi-lagi perkembangan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, soal diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua sendiri, tetapi saya akan langsung mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan tugas terakhir, kami menemukan tugas lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Kedepannya, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” perkembangan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" seperti itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti dari apa yang telah kita bahas.

Pengelompokan dan penjumlahan elemen

Mari kita kembali ke garis bilangan lagi. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lainnya:

6 elemen ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba ungkapkan "ekor kiri" dalam bentuk $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam bentuk $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita mempertimbangkan sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan sejumlah $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (menuju satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini paling baik direpresentasikan secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah secara lebih mendasar level tinggi kompleksitas daripada yang dibahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas nomor 8. Tentukan selisih barisan aritmetika yang suku pertamanya 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah kemungkinan terkecil.

Larutan. Mari tulis semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangannya $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil faktor persekutuan 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat sehubungan dengan variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=11\kiri(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \kanan)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien pada suku tertinggi adalah 11 - ini nomor positif, jadi kita benar-benar berhadapan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola
Harap dicatat: parabola ini mengambil nilai minimum di puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini sesuai dengan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, sehingga titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d\kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan rata-rata aritmatika dari angka −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang dibutuhkan diambil nilai terkecil(Ngomong-ngomong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - kami tidak diharuskan melakukan ini). Pada saat yang sama, angka ini merupakan selisih dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: -36

Tugas nomor 9. Sisipkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama-sama dengan angka yang diberikan membentuk deret aritmatika.

Larutan. Padahal, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan yang pertama dan nomor terakhir sudah diketahui. Nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari deret kita - berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangan. Ingat rata-rata aritmatika:

Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Itu sebabnya

Dengan alasan yang sama, kami menemukan nomor yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan yang harus disisipkan di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nomor 10. Di antara angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama dengan angka yang diberikan membentuk deret aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir dari angka yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Tugas yang bahkan lebih sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui rata-rata aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Perhatikan, bagaimanapun, bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah menuju satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini artinya

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tapi kemudian ungkapan di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \akhir(sejajarkan)\]

Jadi, pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan perkembangan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Nah, sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang muncul di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya menyarankan agar Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bagian lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa bagian yang diproduksi brigade pada bulan November?

Larutan. Jelas, jumlah bagian, dicat per bulan, akan menjadi perkembangan aritmatika yang meningkat. Dan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \akhir(sejajarkan)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas nomor 12. Bengkel penjilidan buku ini menjilid 216 buku di bulan Januari, dan setiap bulan menjilid 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(sejajarkan)$

Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan "kursus petarung muda" dalam deret aritmatika. Anda dapat dengan aman pergi ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus penjumlahan perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Jika setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, urutan numerik adalah fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor A 2 — anggota urutan kedua , nomor A 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota ke-n dari barisan tersebut , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota tetangga sebuah Dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.

Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya bisa ditentukan rumus berulang, yaitu, rumus yang menyatakan setiap anggota deret, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

5 = sebuah 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya jika memiliki banyak anggota tak terhingga.

Misalnya,

urutan bilangan asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Urutan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.

Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . adalah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . adalah urutan menurun. ◄

Urutan yang elemennya tidak berkurang dengan bertambahnya nomor, atau sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan yang monoton .

Urutan monoton, khususnya, meningkatkan urutan dan mengurangi urutan.

perkembangan aritmatika

perkembangan aritmatika urutan disebut, yang setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah deret aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N kondisi terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - beberapa nomor.

Dengan demikian, perbedaan antara anggota berikutnya dan sebelumnya dari deret aritmetika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon selisih barisan aritmetika.

Untuk menetapkan deret aritmatika, cukup menentukan suku dan selisih pertamanya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka lima suku pertama dari deret tersebut adalah sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk deret aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaan D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh dari barisan aritmatika

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + t,

lalu jelas

sebuah=	n-1 + n+1
	2

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah anggota berurutan dari beberapa deret aritmatika jika dan hanya jika salah satu dari mereka sama dengan rata-rata aritmatika dari dua lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , merupakan barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan bahwa N Anggota -th dari perkembangan aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya k

sebuah = k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat ditulis

5 = sebuah 1 + 4D,

5 = sebuah 2 + 3D,

5 = sebuah 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

sebuah = sebuah n-k + kd,

sebuah = n+k - kd,

lalu jelas

sebuah=	A n-k +a n+k
	2

setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaannya benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Misalnya,

dalam barisan aritmetika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N anggota deret aritmatika sama dengan produk setengah jumlah suku ekstrim dengan jumlah suku:

Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratannya

k, k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam barisan aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika deret aritmatika diberikan, maka jumlahnya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monoton. Di mana:

Jika D > 0 , kemudian meningkat;
Jika D < 0 , kemudian menurun;
Jika D = 0 , maka barisan akan stasioner.

Kemajuan geometris

perkembangan geometris sebuah barisan disebut, yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli N kondisi terpenuhi:

b n +1 = b n · Q,

Di mana Q ≠ 0 - beberapa nomor.

Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut suatu barisan geometri.

Untuk menetapkan barisan geometri, cukup menentukan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka lima suku pertama dari deret tersebut adalah sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N suku -th dapat ditemukan dengan rumus:

b n = B 1 · q n -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh suatu barisan geometri 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = B 1 · q n,

lalu jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometris (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah anggota berurutan dari suatu deret geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan perkalian dua bilangan lainnya, yaitu, salah satu bilangan tersebut adalah rata-rata geometris dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

mari kita buktikan bahwa barisan diberikan oleh rumus b n= -3 2 N , adalah perkembangan geometris. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan asersi yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahwa N Suku ke deret geometri dapat ditemukan tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup menggunakan rumus

b n = b k · q n - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat ditulis

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · qk,

lalu jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuadrat dari setiap anggota barisan geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota barisan ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk deret geometri apa pun, persamaannya benar:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Misalnya,

secara eksponensial

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Pertama N suku barisan geometri dengan penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai dengan rumus

S n= n.b. 1

Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan persyaratan

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka digunakan rumus :

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - Q

Misalnya,

secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika diberikan perkembangan geometris, maka jumlahnya B 1 , b n, Q, N Dan S n dihubungkan oleh dua rumus:

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut berlangsung sifat monoton :

progresi meningkat jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

Suatu perkembangan menurun jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka deret geometri berganti-ganti tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil memiliki tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap berlawanan tanda. Jelas bahwa perkembangan geometris bergantian tidak monoton.

Produk pertama N istilah deret geometri dapat dihitung dengan rumus:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Perkembangan geometris yang menurun tanpa batas

Perkembangan geometris yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , itu adalah

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa deret geometri yang menurun tak terhingga mungkin bukan deret yang menurun. Ini cocok dengan kasusnya

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, urutannya berganti-ganti tanda. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah dari perkembangan geometris yang menurun tak terhingga nama nomor yang jumlah yang pertama N hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Angka ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus