Rumus selisih barisan aritmetika. Jumlah suku-n pertama dari barisan aritmatika
perkembangan aritmatika nama urutan angka (anggota perkembangan)
Di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan istilah baja, yang juga disebut perbedaan langkah atau perkembangan.
Jadi, dengan menetapkan langkah deret dan suku pertamanya, Anda dapat mencari salah satu elemennya menggunakan rumus
Sifat-sifat barisan aritmatika
1) Setiap anggota deret aritmatika, mulai dari angka kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota deret sebelumnya dan berikutnya
Kebalikannya juga benar. Jika rata-rata aritmatika dari anggota barisan ganjil (genap) yang berdekatan sama dengan anggota yang berdiri di antara mereka, maka urutan angka ini adalah barisan aritmatika. Dengan pernyataan ini sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.
Juga dengan sifat perkembangan aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut
Ini mudah dibuktikan jika kita menulis suku-suku di sebelah kanan tanda sama dengan
Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam masalah.
2) Jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika dihitung dengan rumus
Ingat baik-baik rumus jumlah deret aritmatika, ini sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup umum dalam situasi kehidupan sederhana.
3) Jika Anda tidak perlu menemukan jumlah keseluruhan, tetapi bagian dari deret yang dimulai dari anggota ke-k, maka rumus penjumlahan berikut akan berguna bagi Anda
4) Hal ini menarik secara praktis untuk menemukan jumlah n anggota deret aritmatika mulai dari angka k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus
Hal ini bahan teoretis berakhir dan kami melanjutkan untuk memecahkan masalah praktis umum.
Contoh 1. Temukan suku keempat puluh dari deret aritmetika 4;7;...
Larutan:
Sesuai dengan kondisi, kita memiliki
Tentukan langkah perkembangan
Menurut rumus terkenal, kami menemukan suku keempat puluh dari perkembangan tersebut
Contoh2. perkembangan aritmatika diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuh. Temukan suku pertama dari perkembangan dan jumlah sepuluh.
Larutan:
Kami menulis elemen perkembangan yang diberikan sesuai dengan rumus
Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangannya
Nilai yang ditemukan disubstitusi ke salah satu persamaan untuk menemukan suku pertama dari perkembangan aritmatika
Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan tersebut
Tanpa menerapkan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua nilai yang diperlukan.
Contoh 3. Suatu deret aritmetika diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Temukan suku pertama dari barisan tersebut, jumlah dari 50 sukunya mulai dari 50, dan jumlah dari 100 suku pertama.
Larutan:
Mari tulis rumus untuk elemen keseratus dari perkembangan
dan temukan yang pertama
Berdasarkan suku pertama, kita mencari suku ke-50 dari barisan tersebut
Menemukan jumlah bagian dari perkembangan
dan jumlah 100 pertama
Jumlah perkembangannya adalah 250.
Contoh 4
Hitunglah banyaknya anggota barisan aritmatika jika:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Larutan:
Kami menulis persamaan dalam suku pertama dan langkah perkembangan dan mendefinisikannya
Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus penjumlahan untuk menentukan jumlah suku dalam penjumlahan
Membuat penyederhanaan
dan menyelesaikan persamaan kuadrat
Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi soal. Jadi, jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah 111.
Contoh 5
memecahkan persamaan
1+3+5+...+x=307.
Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari deret aritmatika. Kami menulis istilah pertamanya dan menemukan perbedaan perkembangannya
Jumlah dari perkembangan aritmatika.
Jumlah dari perkembangan aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun rumus. Tetapi ada banyak tugas tentang topik ini. Dari dasar sampai cukup padat.
Pertama, mari kita bahas arti dan rumus penjumlahan. Dan kemudian kita akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari jumlah itu sesederhana melenguh. Untuk menemukan jumlah dari perkembangan aritmatika, Anda hanya perlu menjumlahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menjumlahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.
Rumus penjumlahannya sederhana:
Mari kita cari tahu huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.
S n adalah jumlah dari barisan aritmetika. Hasil penjumlahan semua anggota, dengan Pertama Oleh terakhir. Itu penting. Jumlahkan dengan tepat Semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari Pertama. Dalam soal-soal seperti mencari jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan rumus secara langsung akan mengecewakan.)
sebuah 1 - Pertama anggota progresi. Semuanya jelas di sini, sederhana Pertama nomor baris.
sebuah- terakhir anggota progresi. nomor terakhir baris. Bukan nama yang sangat akrab, tetapi jika diterapkan pada jumlahnya, itu sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.
N adalah nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini bertepatan dengan jumlah suku yang ditambahkan.
Mari kita tentukan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: akan menjadi anggota seperti apa terakhir, jika diberikan tak ada habisnya perkembangan aritmatika?
Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari perkembangan aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)
Dalam tugas mencari jumlah barisan aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang seharusnya dibatasi. Kalau tidak, jumlah yang terbatas dan spesifik hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah perkembangan seperti apa yang diberikan: terbatas atau tidak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.
Yang paling penting adalah untuk memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari perkembangan ke suku dengan angka N. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. N, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering kali dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)
Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.
Pertama, informasi yang bermanfaat:
Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan yang benar dari unsur-unsur rumus.
Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup menguraikannya saja. Mari kita lihat beberapa contoh secara mendetail. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA yang sebenarnya.
1. Deret aritmetika diberikan dengan syarat: a n = 2n-3.5. Temukan jumlah 10 suku pertama.
Kerja bagus. Gampang.) Untuk menentukan besaran sesuai rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya nomor suku terakhir N.
Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir N? Ya, di tempat yang sama, dalam kondisi! Dikatakan temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya kesepuluh!) Oleh karena itu, bukan sebuah kita akan mengganti ke dalam rumus 10, melainkan N- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.
Masih harus ditentukan sebuah 1 Dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.
sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantinya, dan menghitung:
Hanya itu yang ada untuk itu. Jawaban: 75.
Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:
2. Diberikan deret aritmetika (an), yang selisihnya 3,7; a 1 \u003d 2.3. Temukan jumlah 15 suku pertama.
Kami segera menulis rumus penjumlahan:
Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Tetap mengganti semua elemen dalam rumus dengan jumlah perkembangan aritmatika dan menghitung jawabannya:
Jawaban: 423.
Omong-omong, jika dalam rumus penjumlahan, bukan sebuah ganti saja dengan rumus suku ke-n, kita dapatkan:
Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota dari perkembangan aritmatika:
 |
Seperti yang Anda lihat, tidak perlu anggota ke-n sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)
Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):
3. Temukan jumlah semua bilangan dua digit positif yang merupakan kelipatan tiga.
Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada perkembangan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?
Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan mengeluarkan dari kondisi semua elemen penjumlahan dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Angka dua digit apa yang akan Pertama? 10, mungkin.) hal terakhir angka dua digit? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...
Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah angka yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah bisa menulis rangkaian sesuai dengan kondisi soal:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Apakah seri ini akan menjadi deret aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah tersebut, katakanlah, hasilnya, mis. angka baru tidak lagi dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan selisih deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)
Jadi, kita dapat menuliskan beberapa parameter perkembangan dengan aman:
Apa yang akan menjadi nomor N anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga teratas. Mereka tidak cocok.
Ada dua solusi di sini. Salah satunya adalah untuk pekerja super keras. Anda dapat melukis perkembangan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah suku dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus suku ke-n. Jika rumus tersebut diterapkan pada soal kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari deret tersebut. Itu. n = 30.
Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:
Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:
sebuah 1= 12.
sebuah 30= 99.
S n = S 30.
Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Ganti angka dalam rumus dan hitung:
Jawaban: 1665
Jenis teka-teki populer lainnya:
4. Deret aritmatika diberikan:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Temukan jumlah suku-suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.
Kami melihat rumus penjumlahan dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam soal Anda perlu menghitung jumlahnya sejak tanggal dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.
Anda dapat, tentu saja, mengecat seluruh perkembangan secara berurutan, dan menempatkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, bukan?)
Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecahkan seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai ke sembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas jika kita menghitung jumlah suku-suku bagian pertama S 1-19, mari tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama sampai suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ini menunjukkan bahwa untuk menemukan jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kedua jumlah di sisi kanan dipertimbangkan dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita memulai?
Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:
d = 1,5.
sebuah 1= -21,5.
Untuk menghitung jumlah dari 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Jawaban: 262.5
Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa yang tampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka ditentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil lengkap. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)
Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah yang cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)
Saat memecahkan masalah apa pun untuk penjumlahan deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menuliskan dua rumus utama dari topik ini.
Rumus suku ke-n:
Rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana harus berpikir untuk menyelesaikan masalah. Membantu.
Dan sekarang tugas untuk solusi independen.
5. Temukan jumlah semua bilangan dua digit yang tidak habis dibagi tiga.
Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan soal 4. Nah, soal 3 akan membantu.
6. Deret aritmatika diberikan dengan syarat: a 1 =-5,5; n+1 = n+0,5. Temukan jumlah dari 24 suku pertama.
Tidak biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.
7. Vasya menabung untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberikan orang yang paling saya cintai (saya sendiri) kebahagiaan beberapa hari). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal diri Anda apa pun. Habiskan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uangnya habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?
Apakah sulit?) Formula tambahan dari tugas 2 akan membantu.
Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.
Saat mempelajari aljabar di sekolah pendidikan umum(Kelas 9) salah satunya topik penting adalah studi tentang urutan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.
Apa itu barisan aritmatika?
Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang dimaksud, serta memberikan rumusan dasar yang selanjutnya akan digunakan dalam pemecahan masalah.
Aritmatika atau himpunan bilangan rasional terurut, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan beberapa nilai konstan. Nilai ini disebut perbedaan. Artinya, dengan mengetahui anggota mana saja dari rangkaian angka yang diurutkan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh perkembangan aritmatika.
Mari kita ambil contoh. Urutan angka berikutnya adalah deret aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisih dalam kasus ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formula Penting
Kami sekarang memberikan rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan perkembangan aritmatika. Misalkan a n menunjukkan anggota ke-n dari deret, di mana n adalah bilangan bulat. Mari kita tunjukkan perbedaannya huruf latin D. Maka ungkapan berikut ini benar:
- Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Untuk menentukan jumlah dari n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.
Untuk memahami contoh perkembangan aritmatika apa pun dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat kedua rumus ini, karena masalah apa pun dari jenis yang dipertimbangkan dibuat berdasarkan penggunaannya. Selain itu, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .
Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal
Kami memberikan contoh sederhana tentang perkembangan aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.
Misalkan barisan 10, 8, 6, 4, ..., perlu dicari lima suku di dalamnya.
Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Yang kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:
- Kita hitung selisihnya dulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, seseorang dapat mengambil dua istilah lain yang berdiri berdampingan. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Metode kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang perbedaan perkembangan yang dimaksud, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti yang ditunjukkan di atas (d = -2). Mengetahui bahwa suku pertama a 1 = 10, kita menggunakan rumus bilangan ke-n dari barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Seperti yang Anda lihat, kedua solusi mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini selisih d dari perkembangan adalah negatif. Urutan seperti itu disebut menurun karena setiap suku berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.
Contoh #2: perbedaan perkembangan
Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika.
Diketahui bahwa dalam beberapa deret aljabar suku pertama sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perbedaannya perlu dicari dan dikembalikan barisan ini menjadi suku ke-7.
Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ungkapan ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dengan demikian, bagian pertama dari soal telah terjawab.
Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kami memulihkan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.
Contoh #3: membuat kemajuan
Mari kita semakin memperumit kondisi masalahnya. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan perkembangan aritmatika. Kita dapat memberikan contoh berikut: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat perkembangan aljabar agar tiga suku lagi cocok di antaranya.
Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu untuk memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan selanjutnya. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini selisihnya bukan nilai bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus perkembangan aljabar tetap sama.
Sekarang mari kita tambahkan perbedaan yang ditemukan menjadi 1 dan kembalikan anggota perkembangan yang hilang. Kita mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi permasalahan.
Contoh #4: Anggota pertama dari perkembangan
Kami terus memberikan contoh perkembangan aritmatika dengan solusinya. Dalam semua masalah sebelumnya, angka pertama dari perkembangan aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: misalkan diberikan dua angka, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Perlu untuk menemukan dari angka berapa urutan ini dimulai.
Rumus yang selama ini digunakan mengasumsikan pengetahuan a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.
Sistem yang ditentukan paling mudah untuk dipecahkan jika Anda menyatakan 1 di setiap persamaan, lalu membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dimana selisihnya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (hanya diberikan 3 tempat desimal).
Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya menentukan anggota ke-43 dari perkembangan yang ditentukan dalam kondisi tersebut. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.
Contoh #5: Jumlahkan
Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.
Biarkan perkembangan numerik dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?
Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah perkembangan aljabar, dan perbedaannya adalah 1. Menerapkan rumus penjumlahan, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Sangat menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan pasangan angka yang terletak di tepi deret, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup mengalikan 50 dengan 101.
Contoh #6: jumlah suku dari n ke m
Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu mencari jumlah suku-sukunya dari 8 hingga 14.
Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena istilahnya sedikit, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.
Idenya adalah untuk mendapatkan rumus jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk penjumlahan:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (an + a 1) / 2.
Karena n > m, jelaslah bahwa penjumlahan 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara penjumlahan ini, dan menambahkan suku a m ke dalamnya (dalam hal mengambil selisihnya, dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Penting untuk mengganti rumus untuk n dan m ke dalam ungkapan ini. Maka kita dapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mengganti angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.
Seperti yang dapat dilihat dari solusi di atas, semua soal didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.
Kiat lainnya adalah mengupayakan kesederhanaan, yaitu jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematis yang rumit, maka Anda hanya perlu melakukan itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti di rumus S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan berpisah tugas bersama menjadi subtugas terpisah (dalam kasus ini cari dulu suku a n dan a m).
Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Cara menemukan perkembangan aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.
IV Yakovlev | Materi Matematika | MathUs.ru
perkembangan aritmatika
Deret aritmatika adalah jenis barisan khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan deret aritmetika (dan kemudian geometri), kita perlu membahasnya secara singkat konsep penting urutan nomor.
Selanjutnya
Bayangkan sebuah perangkat di layar yang menampilkan beberapa nomor satu demi satu. Katakanlah 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Himpunan angka seperti itu hanyalah contoh dari urutan.
Definisi. Urutan numerik adalah sekumpulan angka di mana setiap angka dapat diberi nomor unik (yaitu, dimasukkan ke dalam korespondensi dengan satu bilangan asli)1. Bilangan dengan bilangan n disebut anggota ke-n urutan.
Jadi, pada contoh di atas, bilangan pertama memiliki bilangan 2, yang merupakan anggota deret pertama, yang dapat dilambangkan dengan a1 ; angka lima memiliki angka 6 yang merupakan anggota urutan kelima, yang dapat dilambangkan dengan a5 . Secara umum, anggota urutan ke-n dilambangkan dengan an (atau bn , cn , dll.).
Situasi yang sangat nyaman adalah ketika anggota urutan ke-n dapat ditentukan oleh beberapa rumus. Misalnya, rumus an = 2n 3 menentukan urutan: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Rumus an = (1)n mendefinisikan barisan: 1; 1; 1; 1; : : :
Tidak setiap rangkaian angka adalah urutan. Jadi, segmen bukanlah urutan; itu berisi ¾terlalu banyak¿ angka untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan selama analisis matematis.
Perkembangan aritmatika: definisi dasar
Sekarang kita siap untuk mendefinisikan perkembangan aritmatika.
Definisi. Barisan aritmetika adalah deret di mana setiap suku (dimulai dari suku kedua) sama dengan jumlah suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap (disebut selisih barisan aritmetika).
Misalnya urutan 2; 5; 8; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Barisan 7; 2; 3; 8; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisih 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah deret aritmatika dengan perbedaan nol.
Definisi ekuivalen: Barisan an disebut deret aritmetika jika selisih an+1 an adalah nilai tetap (tidak bergantung pada n).
Barisan aritmetika dikatakan naik jika selisihnya positif, dan turun jika selisihnya negatif.
1 Dan inilah definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya barisan bilangan real adalah fungsi f:n! R.
Secara default, urutan dianggap tidak terbatas, yaitu berisi jumlah angka yang tidak terbatas. Tapi tidak ada yang peduli untuk mempertimbangkan urutan yang terbatas juga; pada kenyataannya, himpunan bilangan berhingga apa pun dapat disebut barisan berhingga. Misalnya urutan terakhir 1; 2; 3; 4; 5 terdiri dari lima angka.
Rumus anggota ke-n dari perkembangan aritmatika
Sangat mudah untuk memahami bahwa perkembangan aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua bilangan: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, muncul pertanyaan: bagaimana, dengan mengetahui suku pertama dan selisihnya, menemukan suku arbitrer dari barisan aritmatika?
Tidaklah sulit untuk mendapatkan rumus yang diinginkan untuk suku ke-n dari barisan aritmetika. Biarkan sebuah
barisan aritmatika dengan perbedaan d. Kita punya: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Secara khusus, kami menulis: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
dan sekarang menjadi jelas bahwa rumus untuk an adalah: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Tugas 1. Dalam perkembangan aritmatika 2; 5; 8; sebelas; : : : temukan rumus suku ke-n dan hitung suku keseratus.
Larutan. Menurut rumus (1) kami memiliki:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Properti dan tanda perkembangan aritmatika
sifat deret aritmatika. Dalam deret aritmetika an untuk sembarang
Dengan kata lain, setiap anggota deret aritmetika (dimulai dari detik) adalah rata-rata aritmetika dari anggota tetangganya.
Bukti. Kita punya: | ||||
sebuah n 1+ sebuah n +1 | (dan d) + (an + d) | |||
itulah yang dibutuhkan.
Secara lebih umum, deret aritmatika memenuhi persamaan
a n = a n k+ a n+k
untuk setiap n > 2 dan setiap k alami< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ternyata rumus (2) bukan hanya syarat perlu tetapi juga syarat cukup bagi suatu barisan menjadi deret aritmetika.
Tanda perkembangan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an merupakan deret aritmetika.
Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:
a na n 1= a n+1a n:
Ini menunjukkan bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya berarti bahwa barisan an merupakan deret aritmetika.
Sifat dan tanda suatu deret aritmetika dapat dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka (ini adalah situasi yang sering terjadi dalam masalah).
Karakterisasi deret aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk deret aritmetika jika dan hanya jika 2b = a + c.
Soal 2. (Universitas Negeri Moskow, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 dalam urutan yang ditentukan membentuk deret aritmetika menurun. Temukan x dan tulis perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan. Dengan properti dari perkembangan aritmatika, kami memiliki:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Jika x = 1, maka diperoleh perkembangan menurun sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh perkembangan meningkat sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak bekerja.
Jawab: x = 1, selisihnya 6.
Jumlah n suku pertama barisan aritmetika
Legenda mengatakan bahwa suatu ketika guru menyuruh anak-anak untuk menemukan jumlah angka dari 1 sampai 100 dan duduk membaca koran dengan tenang. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki berkata bahwa dia telah menyelesaikan masalahnya. Itu adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan terhebat dalam sejarah.
Gagasan Gauss kecil adalah ini. Membiarkan
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Mari kita tulis jumlah ini dalam urutan terbalik:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
dan tambahkan dua rumus ini:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Setiap suku dalam tanda kurung sama dengan 101, dan total ada 100 suku
2S = 101 100 = 10100;
Kami menggunakan ide ini untuk menurunkan rumus penjumlahan
S = a1 + a2 + : : : + an + an n: (3)
Modifikasi yang berguna dari rumus (3) diperoleh dengan mensubstitusikan rumus untuk suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:
2a1 + (n 1)d | |||||
Tugas 3. Temukan jumlah semua bilangan tiga digit positif yang habis dibagi 13.
Larutan. Bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan 13 membentuk deret aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisih 13; Suku ke-n dari barisan ini adalah:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Mari kita cari tahu berapa banyak anggota yang terdapat dalam perkembangan kita. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan ketidaksetaraan:
sebuah 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Jadi ada 69 anggota dalam perkembangan kita. Menurut rumus (4) kami menemukan jumlah yang diperlukan:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
