Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen. Cara mencari nilai terkecil dari suatu fungsi
Nilai fungsi terbesar (terkecil) adalah nilai ordinat terbesar (terkecil) yang diterima dalam interval yang dipertimbangkan.
Untuk menemukan terbesar atau nilai terkecil fungsi yang dibutuhkan:
- Periksa titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
- Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari langkah 3
- Pilih dari hasil yang diperoleh nilai terbesar atau terkecil.
Untuk menemukan poin maksimum atau minimum, Anda perlu:
- Temukan turunan dari fungsi $f"(x)$
- Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
- Faktorkan turunan dari suatu fungsi.
- Gambarlah garis koordinat, tempatkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda turunannya dalam interval yang diperoleh, menggunakan notasi klausul 3.
- Temukan titik maksimum atau minimum sesuai aturan: jika pada suatu titik turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, maka ini akan menjadi titik maksimum (jika dari minus menjadi plus, maka ini akan menjadi titik minimum). Dalam praktiknya, lebih mudah menggunakan gambar panah pada interval: pada interval di mana turunannya positif, panah ditarik ke atas dan sebaliknya.
Tabel turunan dari beberapa fungsi dasar:
| Fungsi | Turunan |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Aturan dasar diferensiasi
1. Turunan dari jumlah dan selisih sama dengan turunan dari setiap suku
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Temukan turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Turunan dari jumlah dan selisih sama dengan turunan dari setiap suku
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Turunan dari suatu produk.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Temukan turunannya $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Turunan dari hasil bagi
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Temukan turunannya $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalam
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Temukan titik minimum dari fungsi $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Temukan ODZ dari fungsi: $x+11>0; x>-11$
2. Temukan turunan dari fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Temukan titik stasioner dengan menyamakan turunannya dengan nol
$(2x+21)/(x+11)=0$
Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya tidak nol
$2x+21=0; x≠-11$
4. Gambar garis koordinat, tempatkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda turunannya dalam interval yang diperoleh. Untuk melakukan ini, kami mengganti bilangan apa pun dari daerah paling kanan ke dalam turunannya, misalnya, nol.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Pada titik minimum, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus, oleh karena itu, titik $-10.5$ adalah titik minimum.
Jawaban: $-10.5$
Menemukan nilai tertinggi fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada interval $[-5;1]$
1. Temukan turunan dari fungsi $y′=30x^4-270x^2$
2. Samakan turunannya dengan nol dan temukan titik stasioner
$30x^4-270x^2=0$
Mari kita keluarkan faktor persekutuan $30x^2$ dari tanda kurung
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Tetapkan setiap faktor sama dengan nol
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Pilih titik stasioner milik segmen yang diberikan $[-5;1]$
Titik stasioner $x=0$ dan $x=-3$ cocok untuk kita
4. Hitung nilai fungsi pada ujung ruas dan pada titik stasioner dari butir 3
Seringkali dalam fisika dan matematika diperlukan untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi. Bagaimana melakukan ini, sekarang kami akan memberi tahu.
Cara menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi: instruksi
- Untuk menghitung nilai terkecil dari fungsi kontinu pada interval tertentu, Anda harus mengikuti algoritme ini:
- Temukan turunan dari suatu fungsi.
- Temukan pada segmen tertentu titik-titik di mana turunannya sama dengan nol, serta semua titik kritis. Kemudian cari tahu nilai fungsi pada titik-titik tersebut, yaitu selesaikan persamaan dimana x sama dengan nol. Cari tahu nilai mana yang terkecil.
- Cari tahu berapa nilai fungsi pada titik akhir. Tentukan nilai terkecil dari fungsi di titik-titik ini.
- Bandingkan data yang diterima dengan nilai terkecil. Semakin kecil angka yang diterima akan menjadi nilai fungsi terkecil.
Perhatikan bahwa jika suatu fungsi pada suatu segmen tidak memiliki titik terkecil, ini berarti fungsi tersebut bertambah atau berkurang pada segmen tersebut. Oleh karena itu, nilai terkecil harus dihitung pada segmen fungsi yang terbatas.
Dalam semua kasus lain, nilai fungsi dihitung sesuai dengan algoritme yang diberikan. Di setiap langkah algoritme, Anda harus menyelesaikan yang sederhana persamaan linier dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk menghindari kesalahan.
Bagaimana menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen setengah terbuka? Pada setengah terbuka atau periode terbuka fungsi, nilai terkecil harus ditemukan sebagai berikut. Di titik akhir nilai fungsi, hitung limit fungsi satu sisi. Dengan kata lain, selesaikan persamaan di mana titik tendensi diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b adalah nama titik kritis.
Sekarang Anda tahu cara mencari nilai terkecil dari suatu fungsi. Yang utama adalah melakukan semua perhitungan dengan benar, akurat dan tanpa kesalahan.
Proses menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen menyerupai penerbangan menarik di sekitar suatu objek (grafik fungsi) pada helikopter dengan menembakkan meriam jarak jauh pada titik-titik tertentu dan memilih dari poin ini poin yang sangat khusus untuk tembakan kontrol. Poin dipilih dengan cara tertentu dan menurut aturan tertentu. Dengan aturan apa? Kami akan membicarakan ini lebih lanjut.
Jika fungsi y = F(X) kontinu pada segmen [ A, B] , lalu mencapai segmen ini paling sedikit Dan nilai tertinggi . Ini bisa terjadi di titik ekstrim atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan paling sedikit Dan nilai terbesar dari fungsi tersebut , kontinu pada interval [ A, B] , Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan poin kritis dan di ujung segmen, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.
Misalkan, diperlukan untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi tersebut F(X) pada segmen [ A, B] . Untuk melakukan ini, temukan semua titik kritisnya di [ A, B] .
titik kritis disebut titik di mana fungsi didefinisikan, dan dia turunan adalah nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik kritis. Dan, terakhir, kita harus membandingkan nilai fungsi di poin kritis dan di ujung segmen ( F(A) Dan F(B) ). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai terbesar dari fungsi pada segmen tersebut [A, B] .
Masalah menemukan nilai fungsi terkecil .
Kami mencari nilai fungsi terkecil dan terbesar bersama-sama
Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi 
pada segmen [-1, 2]
.
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini. Samakan turunannya dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, cukup menghitung nilainya di ujung segmen dan di titik , karena titik tersebut bukan milik segmen [-1, 2] . Nilai fungsi ini adalah sebagai berikut: , , . Ini mengikuti itu nilai fungsi terkecil(ditandai dengan warna merah pada grafik di bawah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik , dan terbesar(juga berwarna merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis .
Jika fungsinya kontinu dalam interval tertentu dan interval ini bukan segmen (tetapi, misalnya, interval; perbedaan antara interval dan segmen: titik batas interval tidak termasuk dalam interval, tetapi titik batas segmen termasuk dalam segmen), maka di antara nilai fungsi tidak boleh ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya, fungsi yang digambarkan pada gambar di bawah ini kontinu pada ]-∞, +∞[ dan tidak memiliki nilai terbesar.
Namun, untuk interval apa pun (tertutup, terbuka, atau tak terbatas), properti fungsi kontinu berikut berlaku.
Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 3] .
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:
.
Kami menyamakan turunannya dengan nol, yang memberi kami satu titik kritis: . Itu milik interval [-1, 3] . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:
Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai terbesar sama dengan 1 pada titik .
Kami terus mencari nilai fungsi terkecil dan terbesar secara bersama-sama
Ada guru yang pada topik mencari nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi, tidak memberikan contoh kepada siswa yang lebih rumit dari yang baru saja dipertimbangkan, yaitu yang fungsinya polinomial atau pecahan, pembilangnya dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh seperti itu, karena di kalangan guru ada pecinta membuat siswa berpikir secara utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, logaritma dan fungsi trigonometri akan digunakan.
Contoh 6. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari produk :
Kami menyamakan turunannya dengan nol, yang memberikan satu titik kritis: . Itu milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:
Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada suatu titik dan pada suatu titik dan nilai terbesar sama dengan e² , pada titik .
Contoh 7. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi 
pada segmen .
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
Samakan turunannya dengan nol:
Satu-satunya titik kritis milik segmen tersebut. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:
Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , di titik dan nilai terbesar, sama dengan , di titik .
Dalam masalah ekstrem terapan, menemukan nilai fungsi terkecil (terbesar), sebagai aturan, direduksi menjadi menemukan nilai minimum (maksimum). Tetapi kepentingan praktis yang lebih besar bukanlah minima atau maxima itu sendiri, tetapi nilai-nilai argumen yang mencapainya. Saat memecahkan masalah terapan, kesulitan tambahan muncul - kompilasi fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.
Contoh 8 Tangki berkapasitas 4 orang, berbentuk pipa sejajar dengan alas persegi dan terbuka di bagian atas, harus diberi kaleng. Berapakah dimensi tangki untuk menutupinya dengan bahan paling sedikit?
Larutan. Membiarkan X- sisi dasar H- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus , yaitu. merupakan fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kami menggunakan fakta bahwa , dari mana . Mengganti ekspresi yang ditemukan H ke dalam rumus untuk S:
Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Itu didefinisikan dan dapat dibedakan di mana saja di ]0, +∞[ , dan
.
Kami menyamakan turunannya dengan nol () dan menemukan titik kritisnya. Selain itu, pada , turunannya tidak ada, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan karenanya tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, - satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstrem menggunakan tanda cukup kedua. Ayo cari turunan kedua. Ketika turunan kedua lebih besar dari nol (). Ini berarti bahwa ketika fungsi mencapai minimum 
. Karena ini minimum - satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, itu adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi alas tangki harus sama dengan 2 m, dan tingginya.
Contoh 9 Dari paragraf A, terletak di jalur kereta api, ke titik DENGAN, jauh darinya l, barang harus diangkut. Biaya pengangkutan satuan berat per satuan jarak dengan kereta api sama dengan , dan melalui jalan raya sama dengan . Sampai titik mana M baris kereta api jalan raya harus dibangun agar transportasi barang dari A V DENGAN adalah yang paling ekonomis AB kereta api diasumsikan lurus)?
Studi tentang objek analisis matematika seperti fungsi sangat penting. arti dan di bidang ilmu lainnya. Misalnya, di analisa ekonomi terus-menerus perlu mengevaluasi perilaku fungsi keuntungan, yaitu menentukan maksimumnya arti dan menyusun strategi untuk mencapainya.
Petunjuk
Studi tentang perilaku apa pun harus selalu dimulai dengan pencarian domain definisi. Biasanya, sesuai dengan kondisi masalah tertentu, diperlukan penentuan yang terbesar arti fungsi baik di seluruh area ini, atau pada interval spesifiknya dengan batas terbuka atau tertutup.
Berdasarkan , yang terbesar adalah arti fungsi y(x0), di mana untuk setiap titik dari domain definisi ketidaksamaan y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) terpenuhi. Secara grafis, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika Anda menyusun nilai argumen di sepanjang sumbu absis, dan fungsi itu sendiri di sepanjang sumbu ordinat.
Untuk menentukan terbesar arti fungsi, ikuti algoritme tiga langkah. Perhatikan bahwa Anda harus dapat bekerja dengan satu sisi dan , serta menghitung turunannya. Jadi, misalkan beberapa fungsi y(x) diberikan dan diperlukan untuk mencari fungsi terbesarnya arti pada beberapa interval dengan nilai batas A dan B.
Cari tahu apakah interval ini berada dalam cakupan fungsi. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukannya, dengan mempertimbangkan semua batasan yang mungkin: adanya pecahan dalam ekspresi, akar pangkat dua dll. Domain definisi adalah kumpulan nilai argumen yang fungsinya masuk akal. Tentukan apakah interval yang diberikan adalah subset dari itu. Jika ya, maka lanjutkan ke langkah berikutnya.
Temukan turunannya fungsi dan selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan menyamakan turunannya dengan nol. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan nilai dari apa yang disebut titik stasioner. Evaluasi apakah setidaknya salah satu dari mereka termasuk dalam interval A, B.
Pertimbangkan poin-poin ini pada tahap ketiga, gantikan nilainya ke dalam fungsi. Lakukan langkah-langkah tambahan berikut tergantung pada jenis interval. Jika ada ruas yang berbentuk [A, B], maka titik batasnya dimasukkan ke dalam interval, hal ini ditandai dengan tanda kurung. Hitung Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika interval terbuka adalah (A, B), nilai batas tertusuk, yaitu tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan limit satu sisi untuk x→A dan x→B. Interval gabungan dari bentuk [A, B) atau (A, B), yang salah satu batasnya adalah miliknya, yang lain tidak.Temukan batas satu sisi karena x cenderung ke nilai tertusuk, dan gantikan yang lain menjadi interval tak hingga dua sisi (-∞, +∞) atau interval tak hingga satu sisi dalam bentuk: , (-∞, B) Untuk limit A dan B, lanjutkan sesuai dengan prinsip yang telah dijelaskan, dan untuk tak hingga , cari limit untuk x→-∞ dan x→+∞, berturut-turut.
Tugas pada tahap ini
Nilai fungsi terbesar dan terkecil
Nilai terbesar dari suatu fungsi disebut terbesar, nilai terkecil adalah yang terkecil dari semua nilainya.
Suatu fungsi mungkin hanya memiliki satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak memiliki nilai sama sekali. Menemukan nilai fungsi kontinu terbesar dan terkecil didasarkan pada sifat-sifat berikut dari fungsi-fungsi ini:
1) Jika dalam beberapa interval (hingga atau tak terbatas) fungsi y=f(x) kontinu dan hanya memiliki satu ekstrem, dan jika ini adalah maksimum (minimum), maka itu akan menjadi nilai terbesar (terkecil) dari fungsi tersebut dalam selang waktu ini.
2) Jika fungsi f(x) kontinu pada beberapa segmen , maka fungsi tersebut harus memiliki nilai terbesar dan terkecil pada segmen tersebut. Nilai-nilai ini dicapai baik di titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau di batas segmen ini.
Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil pada segmen tersebut, disarankan untuk menggunakan skema berikut:
1. Temukan turunannya.
2. Temukan titik kritis fungsi di mana =0 atau tidak ada.
3. Temukan nilai fungsi pada titik-titik kritis dan di ujung segmen dan pilih darinya f maks terbesar dan f min terkecil.
Saat memecahkan masalah terapan, khususnya masalah optimisasi, masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada interval X. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, seseorang harus, berdasarkan kondisi , pilih variabel independen dan ungkapkan nilai yang diteliti melalui variabel ini. Kemudian temukan nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini, selang waktu perubahan variabel bebas, yang dapat berhingga atau tak terhingga, juga ditentukan dari kondisi soal.
Contoh. Tangki yang berbentuk persegi panjang sejajar dengan dasar persegi, terbuka di bagian atas, harus dilapisi timah di dalamnya. Berapa dimensi tangki dengan kapasitas 108 liter. air sehingga biaya pembuatan kalengnya paling sedikit?
Larutan. Biaya pelapisan tangki dengan timah akan paling rendah jika, untuk kapasitas tertentu, permukaannya minimal. Dilambangkan dengan a dm - sisi alas, b dm - tinggi tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan
DAN 
Hubungan yang dihasilkan menetapkan hubungan antara luas permukaan tangki S (fungsi) dan sisi alas a (argumen). Kami menyelidiki fungsi S untuk ekstrem. Temukan turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:
Oleh karena itu a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi 
diantara.
Larutan: Fungsi yang ditentukan kontinu pada seluruh sumbu bilangan. Turunan fungsi
Turunan di dan di . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:
.
Nilai fungsi di ujung interval yang diberikan sama dengan . Oleh karena itu, nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah pada , nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah pada .
Pertanyaan untuk pemeriksaan diri
1. Merumuskan aturan L'Hopital untuk pengungkapan ketidakpastian bentuk . Buat daftar berbagai jenis ketidakpastian yang menggunakan aturan L'Hospital.
2. Merumuskan tanda-tanda fungsi naik dan turun.
3. Tentukan maksimum dan minimum suatu fungsi.
4. Merumuskan kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem.
5. Nilai argumen apa (poin apa) yang disebut kritis? Bagaimana menemukan titik-titik ini?
6. Apa tanda-tanda yang cukup dari keberadaan suatu fungsi ekstrem? Garis skema untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem menggunakan turunan pertama.
7. Gambarkan skema untuk mempelajari fungsi ekstrem menggunakan turunan kedua.
8. Definisikan konveksitas, cekungan suatu kurva.
9. Apa titik belok dari grafik fungsi? Tentukan bagaimana menemukan titik-titik ini.
10. Merumuskan tanda-tanda cembung dan cekung yang diperlukan dan cukup dari kurva pada segmen tertentu.
11. Tentukan asimtot kurva. Bagaimana menemukan asimtot vertikal, horizontal, dan miring dari grafik fungsi?
12. Negara skema umum mempelajari fungsi dan konstruksi grafiknya.
13. Merumuskan aturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval tertentu.
