Disuguaglianze lineari. Sistemi di disequazioni lineari

vedere anche Risoluzione grafica di un problema di programmazione lineare, Forma canonica dei problemi di programmazione lineare

Il sistema di vincoli per un tale problema consiste di disuguaglianze in due variabili:
e la funzione obiettivo ha la forma F = C 1 X + C 2 sì che deve essere massimizzato.

Rispondiamo alla domanda: quali coppie di numeri ( X; sì) sono soluzioni al sistema di diseguaglianze, cioè soddisfano ciascuna delle disuguaglianze simultaneamente? In altre parole, cosa significa risolvere graficamente un sistema?
Per prima cosa devi capire qual è la soluzione di una disuguaglianza lineare con due incognite.
Risolvere una disuguaglianza lineare con due incognite significa determinare tutte le coppie di valori incogniti per cui vale la disuguaglianza.
Ad esempio, la disuguaglianza 3 X – 5sì≥ 42 soddisfano le coppie ( X , sì) : (100, 2); (3, –10), ecc. Il compito è trovare tutte queste coppie.
Consideriamo due disuguaglianze: ascia + di≤ C, ascia + di≥ C. Dritto ascia + di = C divide il piano in due semipiani in modo che le coordinate dei punti di uno di essi soddisfino la disuguaglianza ascia + di >C e l'altra disuguaglianza ascia + +di <C.
Infatti, prendiamo un punto con coordinata X = X 0; poi un punto giacente su una retta e avente un'ascissa X 0, ha un'ordinata

Diamo per certezza UN<0, B>0, C>0. Tutti i punti con ascissa X 0 sdraiato sopra P(ad esempio, punto M), Avere e M>sì 0 e tutti i punti sotto il punto P, con ascissa X 0, avere e N<sì 0 . Perché il X 0 è un punto arbitrario, quindi ci saranno sempre punti su un lato della linea per cui ascia+ di > C, formando un semipiano, e dall'altro lato - punti per i quali ascia + di< C.

Immagine 1

Il segno di disuguaglianza nel semipiano dipende dai numeri UN, B , C.
Ciò implica il seguente metodo per risolvere graficamente sistemi di disuguaglianze lineari in due variabili. Per risolvere il sistema è necessario:

1. Per ogni disuguaglianza, scrivi l'equazione corrispondente a questa disuguaglianza.
2. Costruisci linee rette che sono grafici di funzioni specificate da equazioni.
3. Per ogni linea determinare il semipiano, che è dato dalla disuguaglianza. Per fare ciò, prendi un punto arbitrario che non giace su una linea e sostituisci le sue coordinate nella disuguaglianza. se la disuguaglianza è vera, allora il semipiano contenente il punto scelto è la soluzione della disuguaglianza originaria. Se la disuguaglianza è falsa, allora il semipiano dall'altra parte della retta è l'insieme delle soluzioni di questa disuguaglianza.
4. Per risolvere un sistema di diseguaglianze è necessario trovare l'area di intersezione di tutti i semipiani che costituiscono la soluzione di ciascuna disuguaglianza del sistema.

Quest'area potrebbe rivelarsi vuota, quindi il sistema di disuguaglianze non ha soluzioni ed è incoerente. Altrimenti il ​​sistema si dice coerente.
Le soluzioni possono essere un numero finito oppure un numero infinito. L'area può essere un poligono chiuso o illimitato.

Consideriamo tre esempi rilevanti.

Esempio 1. Risolvi graficamente il sistema:
X + sì – 1 ≤ 0;
–2X - 2sì + 5 ≤ 0.

• consideriamo le equazioni x+y–1=0 e –2x–2y+5=0 corrispondenti alle disuguaglianze;
• Costruiamo le rette date da queste equazioni.

figura 2

Definiamo i semipiani definiti dalle disuguaglianze. Prendiamo un punto arbitrario, sia (0; 0). Consideriamo X+ sì– 1 0, sostituisci il punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ciò significa che nel semipiano dove giace il punto (0; 0), X + sì – 1 ≤ 0, cioè il semipiano sottostante la linea è una soluzione alla prima disuguaglianza. Sostituendo questo punto (0; 0) nel secondo, otteniamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, cioè nel semipiano in cui si trova il punto (0; 0), –2 X – 2sì+ 5≥ 0, e ci è stato chiesto dove –2 X – 2sì+ 5 ≤ 0, quindi, nell'altro semipiano, in quello sopra la retta.
Troviamo l'intersezione di questi due semipiani. Le linee sono parallele, quindi i piani non si intersecano da nessuna parte, il che significa che il sistema di queste disuguaglianze non ha soluzioni ed è incoerente.

Esempio 2. Trova soluzioni graficamente al sistema di disuguaglianze:

Figura 3
1. Scriviamo le equazioni corrispondenti alle disuguaglianze e costruiamo linee rette.
X + 2sì– 2 = 0

X	2	0
sì	0	1

sì – X – 1 = 0

X	0	2
sì	1	3

sì + 2 = 0;
sì = –2.
2. Avendo scelto il punto (0; 0), determiniamo i segni delle disuguaglianze nei semipiani:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, cioè X + 2sì– 2 ≤ 0 nel semipiano sottostante la retta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, cioè sì –X– 1 ≤ 0 nel semipiano sottostante la retta;
0 + 2 =2 ≥ 0, cioè sì+ 2 ≥ 0 nel semipiano sopra la retta.
3. L'intersezione di questi tre semipiani sarà un'area che è un triangolo. Non è difficile trovare i vertici della regione come punti di intersezione delle linee corrispondenti


Così, UN(–3; –2), IN(0; 1), CON(6; –2).

Consideriamo un altro esempio in cui il dominio della soluzione risultante del sistema non è limitato.

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Ci sono solo le “X” e solo l’asse delle ascisse, ma ora si aggiungono le “Y” e il campo di attività si espande all’intero piano delle coordinate. Più avanti nel testo, la frase “disuguaglianza lineare” è intesa in senso bidimensionale, che diventerà chiaro in pochi secondi.

Oltre alla geometria analitica, il materiale è rilevante per una serie di problemi di analisi matematica e modellistica economica e matematica, quindi consiglio di studiare questa lezione con tutta serietà.

Disuguaglianze lineari

Esistono due tipi di disuguaglianze lineari:

1) Rigoroso disuguaglianze: .

2) Negligente disuguaglianze: .

Qual è il significato geometrico di queste disuguaglianze? Se un'equazione lineare definisce una linea, allora definisce una disuguaglianza lineare semipiano.

Per comprendere le seguenti informazioni è necessario conoscere i tipi di linee su un piano ed essere in grado di costruire linee rette. Se riscontri difficoltà in questa parte, leggi la guida Grafici e proprietà delle funzioni– paragrafo sulla funzione lineare.

Cominciamo con le disuguaglianze lineari più semplici. Il sogno di ogni studente povero è un piano coordinato su cui non c'è nulla:

Come sai, l'asse x è dato dall'equazione: la "y" è sempre (per qualsiasi valore di "x") uguale a zero

Consideriamo la disuguaglianza. Come capirlo in modo informale? "Y" è sempre (per qualsiasi valore di "x") positivo. Ovviamente, questa disuguaglianza definisce il semipiano superiore: dopo tutto, tutti i punti con "giochi" positivi si trovano lì.

Nel caso in cui la disuguaglianza non sia stretta, al semipiano superiore inoltre viene aggiunto l'asse stesso.

Allo stesso modo: la disuguaglianza è soddisfatta da tutti i punti del semipiano inferiore; una disuguaglianza non stretta corrisponde al semipiano inferiore + asse.

La stessa storia prosaica è con l’asse y:

– la disuguaglianza specifica il semipiano destro;
– la disuguaglianza specifica il semipiano destro, compreso l'asse delle ordinate;
– la disuguaglianza specifica il semipiano sinistro;
– la disuguaglianza specifica il semipiano sinistro, compreso l'asse delle ordinate.

Nella seconda fase consideriamo le disuguaglianze in cui manca una delle variabili.

"Y" mancante:

Oppure non c'è "x":

Queste disuguaglianze possono essere affrontate in due modi: ti preghiamo di considerare entrambi gli approcci. Lungo il percorso, ricordiamo e consolidiamo le azioni scolastiche contro le disuguaglianze, già discusse in classe Dominio delle funzioni.

Esempio 1

Risolvere le disuguaglianze lineari:

Cosa significa risolvere una disuguaglianza lineare?

Risolvere una disuguaglianza lineare significa trovare un semipiano, i cui punti soddisfano questa disuguaglianza (più la retta stessa, se la disuguaglianza non è stretta). Soluzione, Generalmente, grafico.

È più conveniente eseguire subito il disegno e poi commentare il tutto:

a) Risolvere la disuguaglianza

Metodo uno

Il metodo ricorda molto la storia con gli assi coordinati, di cui abbiamo discusso sopra. L'idea è di trasformare la disuguaglianza - lasciare una variabile sul lato sinistro senza costanti, in questo caso la variabile "x".

Regola: In una disuguaglianza i termini vengono trasferiti da parte a parte con cambio di segno, mentre il segno della disuguaglianza STESSO non cambia(ad esempio, se fosse presente il segno “minore di”, allora rimarrà “minore di”).

Spostiamo il “cinque” a destra con un cambio di segno:

Regola POSITIVO non cambia.

Ora traccia una linea retta (linea tratteggiata blu). La linea retta viene disegnata come una linea tratteggiata a causa della disuguaglianza rigoroso, ed i punti appartenenti a questa linea non verranno sicuramente inclusi nella soluzione.

Qual è il significato della disuguaglianza? "X" è sempre (per qualsiasi valore di "Y") inferiore a . Ovviamente questa affermazione è soddisfatta da tutti i punti del semipiano sinistro. Questo semipiano, in linea di principio, può essere ombreggiato, ma mi limiterò a piccole frecce blu per non trasformare il disegno in una tavolozza artistica.

Metodo due

Questo è un metodo universale. LEGGI MOLTO ATTENTAMENTE!

Per prima cosa disegniamo una linea retta. Per chiarezza, tra l'altro, è consigliabile presentare l'equazione nella forma .

Ora seleziona un punto qualsiasi sul piano, non appartenente alla diretta. Nella maggior parte dei casi, ovviamente, il punto debole è. Sostituiamo le coordinate di questo punto nella disuguaglianza:

Ricevuto falsa disuguaglianza(in parole povere questo non può essere), ciò significa che il punto non soddisfa la disuguaglianza.

La regola fondamentale del nostro compito:
non soddisfa disuguaglianza, quindi TUTTO punti di un dato semipiano non soddisfare questa disuguaglianza.
– Se qualsiasi punto del semipiano (non appartenente ad una linea) soddisfa disuguaglianza, quindi TUTTO punti di un dato semipiano soddisfare questa disuguaglianza.

Puoi verificare: qualsiasi punto a destra della linea non soddisferà la disuguaglianza.

Qual è la conclusione dell'esperimento con il punto? Non c'è nessun posto dove andare, la disuguaglianza è soddisfatta da tutti i punti dell'altro semipiano sinistro (puoi anche controllare).

b) Risolvere la disuguaglianza

Metodo uno

Trasformiamo la disuguaglianza:

Regola: Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere moltiplicati (divisi) per NEGATIVO numero, con il segno di disuguaglianza MUTEVOLE al contrario (ad esempio, se ci fosse il segno “maggiore o uguale”, diventerà “minore o uguale”).

Moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza per:

Disegniamo una linea retta (rossa) e disegniamo una linea continua, poiché abbiamo disuguaglianza non rigoroso, e la retta appartiene ovviamente alla soluzione.

Analizzata la disuguaglianza risultante, giungiamo alla conclusione che la sua soluzione è il semipiano inferiore (+ la retta stessa).

Ombreggiamo o contrassegniamo il semipiano appropriato con le frecce.

Metodo due

Disegniamo una linea retta. Scegliamo ad esempio un punto arbitrario sul piano (non appartenente a una linea) e sostituiamo le sue coordinate nella nostra disuguaglianza:

Ricevuto vera disuguaglianza, il che significa che il punto soddisfa la disuguaglianza e, in generale, TUTTI i punti del semipiano inferiore soddisfano questa disuguaglianza.

Qui, con il punto sperimentale, “colpiamo” il semipiano desiderato.

La soluzione al problema è indicata da una linea rossa e da frecce rosse.

Personalmente preferisco la prima soluzione, poiché la seconda è più formale.

Esempio 2

Risolvere le disuguaglianze lineari:

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Prova a risolvere il problema in due modi (a proposito, questo è un buon modo per verificare la soluzione). La risposta a fine lezione conterrà solo il disegno finale.

Penso che dopo tutte le azioni fatte negli esempi, dovrai sposarle; non sarà difficile risolvere la disuguaglianza più semplice come, ecc.

Passiamo a considerare il terzo caso, generale, in cui entrambe le variabili sono presenti nella disuguaglianza:

In alternativa, il termine libero "ce" può essere zero.

Esempio 3

Trova i semipiani corrispondenti alle seguenti disuguaglianze:

Soluzione: Qui viene utilizzato il metodo di soluzione universale con sostituzione di punti.

a) Costruiamo un'equazione per la retta, e la retta dovrebbe essere disegnata come una linea tratteggiata, poiché la disuguaglianza è rigorosa e la retta stessa non sarà inclusa nella soluzione.

Selezioniamo un punto sperimentale del piano che non appartiene a una determinata linea, ad esempio, e sostituiamo le sue coordinate nella nostra disuguaglianza:

Ricevuto falsa disuguaglianza, il che significa che il punto e TUTTI i punti di un dato semipiano non soddisfano la disuguaglianza. La soluzione alla disuguaglianza sarà un altro semipiano, ammiriamo il lampo azzurro:

b) Risolviamo la disuguaglianza. Innanzitutto, costruiamo una linea retta. Questo non è difficile da fare; abbiamo la proporzionalità diretta canonica. Tracciamo la linea continuamente, poiché la disuguaglianza non è rigorosa.

Scegliamo un punto arbitrario del piano che non appartiene alla retta. Vorrei utilizzare di nuovo l'origine, ma purtroppo non è adatta ora. Pertanto, dovrai lavorare con un altro amico. È più vantaggioso prendere un punto con valori di coordinate piccoli, ad esempio . Sostituiamo le sue coordinate nella nostra disuguaglianza:

Ricevuto vera disuguaglianza, il che significa che il punto e tutti i punti di un dato semipiano soddisfano la disuguaglianza . Il semipiano desiderato è contrassegnato da frecce rosse. Inoltre la soluzione comprende la retta stessa.

Esempio 4

Trova i semipiani corrispondenti alle disuguaglianze:

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa, un esempio approssimativo del progetto finale e la risposta alla fine della lezione.

Consideriamo il problema inverso:

Esempio 5

a) Data una retta. Definire il semipiano in cui si trova il punto, mentre nella soluzione va compresa la retta stessa.

b) Data una retta. Definire semipiano in cui si trova il punto. La retta stessa non è inclusa nella soluzione.

Soluzione: Non è necessario fare un disegno qui e la soluzione sarà analitica. Niente di difficile:

a) Componiamo un polinomio ausiliario e calcoliamo il suo valore nel punto:
. Pertanto, la disuguaglianza desiderata avrà un segno “minore di”. Per condizione, la retta è inclusa nella soluzione, quindi la disuguaglianza non sarà rigorosa:

b) Componiamo un polinomio e calcoliamo il suo valore nel punto:
. Pertanto, la disuguaglianza desiderata avrà un segno “maggiore di”. Per condizione, la retta non è inclusa nella soluzione, quindi la disuguaglianza sarà rigorosa: .

Risposta:

Esempio creativo per lo studio autonomo:

Esempio 6

Dati i punti e una retta. Tra i punti elencati, trova quelli che, insieme all'origine delle coordinate, si trovano dalla stessa parte della linea data.

Un piccolo suggerimento: per prima cosa bisogna creare una disuguaglianza che determini il semipiano in cui si trova l'origine delle coordinate. Soluzione analitica e risposta alla fine della lezione.

Sistemi di disequazioni lineari

Un sistema di disuguaglianze lineari è, come capisci, un sistema composto da diverse disuguaglianze. Lol, beh, ho dato la definizione =) Un riccio è un riccio, un coltello è un coltello. Ma è vero: si è rivelato semplice e accessibile! No, sul serio, non voglio fare esempi generali, quindi passiamo direttamente alle questioni più urgenti:

Cosa significa risolvere un sistema di disequazioni lineari?

Risolvere un sistema di disequazioni lineari- questo significa trovare l'insieme dei punti sul piano, che soddisfano a ogni disuguaglianza del sistema.

Come esempi più semplici, consideriamo i sistemi di disuguaglianze che determinano i quarti di coordinate di un sistema di coordinate rettangolari ("l'immagine degli studenti poveri" è all'inizio della lezione):

Il sistema di disuguaglianze definisce il primo quarto di coordinate (in alto a destra). Coordinate di qualsiasi punto nel primo quarto, ad esempio, eccetera. soddisfare a ogni disuguaglianza di questo sistema.

Allo stesso modo:
– il sistema di disequazioni specifica il secondo quarto di coordinate (in alto a sinistra);
– il sistema di disequazioni definisce il terzo quarto di coordinate (in basso a sinistra);
– il sistema di disuguaglianze definisce il quarto quarto di coordinate (in basso a destra).

Un sistema di diseguaglianze lineari potrebbe non avere soluzioni, cioè essere non congiunto. Ancora una volta l'esempio più semplice: . È abbastanza ovvio che “x” non può essere contemporaneamente più di tre e inferiore a due.

La soluzione del sistema di disuguaglianze può essere una linea retta, ad esempio: . Un cigno, un gambero, senza luccio, che tira il carro in due direzioni diverse. Sì, le cose sono ancora lì: la soluzione a questo sistema è la linea retta.

Ma il caso più comune è quando c'è una soluzione al sistema regione piana. Zona della soluzione Forse non limitato(ad esempio, coordinare i quarti) o limitato. Viene chiamata la regione della soluzione limitata sistema di soluzione poligonale.

Esempio 7

Risolvere un sistema di disequazioni lineari

In pratica, nella maggior parte dei casi abbiamo a che fare con disuguaglianze deboli, quindi saranno loro a condurre le danze per il resto della lezione.

Soluzione: Il fatto che ci siano troppe disuguaglianze non dovrebbe spaventare. Quante disuguaglianze possono esserci nel sistema? Sì, quanto vuoi. La cosa principale è aderire a un algoritmo razionale per costruire un'area di soluzione:

1) Innanzitutto trattiamo le disuguaglianze più semplici. Le disuguaglianze definiscono il primo quarto di coordinate, compreso il confine degli assi delle coordinate. È già molto più semplice, poiché l’area di ricerca si è ridotta notevolmente. Nel disegno segniamo immediatamente con le frecce (frecce rosse e blu) i semipiani corrispondenti

2) La seconda disuguaglianza più semplice è che qui non esiste la “Y”. In primo luogo, costruiamo la retta stessa e, in secondo luogo, dopo aver trasformato la disuguaglianza nella forma , diventa immediatamente chiaro che tutte le “X” sono inferiori a 6. Contrassegniamo il semipiano corrispondente con le frecce verdi. Bene, l'area di ricerca è diventata ancora più piccola: un rettangolo del genere non è limitato dall'alto.

3) Nell'ultimo passaggio risolviamo le disuguaglianze “con tutte le munizioni”: . Abbiamo discusso in dettaglio l'algoritmo di soluzione nel paragrafo precedente. In breve: prima costruiamo una linea retta, poi, utilizzando un punto sperimentale, troviamo il semipiano che ci serve.

Alzatevi, bambini, disponetevi in ​​cerchio:


L'area della soluzione del sistema è un poligono; nel disegno è delineato con una linea cremisi e ombreggiato. Ho esagerato un po' =) Nel quaderno è sufficiente ombreggiare l'area della soluzione o delinearla in modo più marcato con una matita semplice.

Qualsiasi punto di un dato poligono soddisfa OGNI disuguaglianza del sistema (puoi verificarlo per divertimento).

Risposta: La soluzione del sistema è un poligono.

Quando richiedi una copia pulita, sarebbe bene descrivere dettagliatamente quali punti hai utilizzato per costruire le linee rette (vedi lezione Grafici e proprietà delle funzioni) e come sono stati determinati i semipiani (vedere il primo paragrafo di questa lezione). Tuttavia, in pratica, nella maggior parte dei casi, ti verrà accreditato solo il disegno corretto. I calcoli stessi possono essere effettuati su bozza o anche oralmente.

Oltre al poligono risolutivo del sistema, in pratica, anche se meno frequentemente, esiste una regione aperta. Prova a capire tu stesso il seguente esempio. Sebbene, per ragioni di precisione, qui non ci siano torture: l'algoritmo di costruzione è lo stesso, solo che l'area non sarà limitata.

Esempio 8

Risolvi il sistema

La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione. Molto probabilmente avrai lettere diverse per i vertici della regione risultante. Questo non è importante, l'importante è trovare correttamente i vertici e costruire correttamente l'area.

Non è raro che i problemi richiedano non solo la costruzione del dominio della soluzione di un sistema, ma anche la ricerca delle coordinate dei vertici del dominio. Nei due esempi precedenti le coordinate di questi punti erano evidenti, ma in pratica tutto è tutt’altro che ghiacciato:

Esempio 9

Risolvi il sistema e trova le coordinate dei vertici della regione risultante

Soluzione: Rappresentiamo nel disegno l'area di soluzione di questo sistema. La disuguaglianza definisce il semipiano sinistro con l'asse delle ordinate, e qui non ci sono più omaggi. Dopo i calcoli sulla copia/bozza finale o processi di riflessione approfondita, otteniamo la seguente area di soluzioni:

Disuguaglianze e sistemi di diseguaglianze sono uno degli argomenti trattati in algebra al liceo. In termini di livello di difficoltà, non è il più difficile, poiché ha regole semplici (ne parleremo più avanti). Di norma, gli scolari imparano abbastanza facilmente a risolvere i sistemi di disuguaglianze. Ciò è dovuto anche al fatto che gli insegnanti semplicemente “formano” i propri studenti su questo argomento. E non possono fare a meno di farlo, perché in futuro verrà studiato utilizzando altre quantità matematiche e verrà testato anche durante l'Esame di Stato Unificato e l'Esame di Stato Unificato. Nei libri di testo scolastici, l'argomento delle disuguaglianze e dei sistemi di disuguaglianze è trattato in modo molto dettagliato, quindi se hai intenzione di studiarlo, è meglio ricorrere a loro. Questo articolo riassume solo materiale più ampio e potrebbero esserci alcune omissioni.

Il concetto di sistema di disuguaglianze

Se ci rivolgiamo al linguaggio scientifico, possiamo definire il concetto di “sistema di disuguaglianze”. Questo è un modello matematico che rappresenta diverse disuguaglianze. Questo modello, ovviamente, richiede una soluzione, e questa sarà la risposta generale per tutte le disuguaglianze del sistema proposto nel compito (di solito è scritto in esso, ad esempio: “Risolvi il sistema di disuguaglianze 4 x + 1 > 2 e 30 - x > 6..."). Prima però di passare alle tipologie e alle modalità delle soluzioni, occorre capire un’altra cosa.

Sistemi di disequazioni e sistemi di equazioni

Quando si impara un nuovo argomento, spesso sorgono malintesi. Da un lato tutto è chiaro e si vuole iniziare a risolvere i compiti il ​​prima possibile, ma dall'altro alcuni momenti rimangono “nell'ombra” e non sono del tutto compresi. Inoltre, alcuni elementi della conoscenza già acquisita potrebbero intrecciarsi con nuovi. A causa di questa “sovrapposizione” si verificano spesso degli errori.

Pertanto, prima di iniziare ad analizzare il nostro argomento, dovremmo ricordare le differenze tra equazioni e disuguaglianze e i loro sistemi. Per fare ciò dobbiamo spiegare ancora una volta cosa rappresentano questi concetti matematici. Un'equazione è sempre un'uguaglianza ed è sempre uguale a qualcosa (in matematica questa parola è indicata con il segno "="). La disuguaglianza è un modello in cui un valore è maggiore o minore di un altro o contiene un'affermazione che non sono la stessa cosa. Pertanto, nel primo caso, è opportuno parlare di uguaglianza e nel secondo, per quanto ovvio possa sembrare dal nome stesso, di disuguaglianza dei dati iniziali. I sistemi di equazioni e disequazioni praticamente non differiscono l'uno dall'altro e i metodi per risolverli sono gli stessi. L'unica differenza è che nel primo caso vengono utilizzate le uguaglianze, mentre nel secondo le disuguaglianze.

Tipi di disuguaglianze

Esistono due tipi di disuguaglianze: numeriche e con variabile incognita. Il primo tipo rappresenta le quantità fornite (numeri) che sono disuguali tra loro, ad esempio 8 > 10. Le seconde sono disuguaglianze che contengono una variabile sconosciuta (indicata da una lettera dell'alfabeto latino, molto spesso X). Questa variabile deve essere trovata. A seconda di quante sono, il modello matematico distingue tra disuguaglianze con una (costituiscono un sistema di diseguaglianze con una variabile) o più variabili (costituiscono un sistema di diseguaglianze con più variabili).

Le ultime due tipologie, a seconda del grado della loro costruzione e del livello di complessità della soluzione, si dividono in semplici e complesse. Quelle semplici sono anche chiamate disuguaglianze lineari. A loro volta si dividono in severi e non severi. Quelli rigorosi “dicono” specificatamente che una quantità deve necessariamente essere inferiore o superiore, quindi questa è pura disuguaglianza. Si possono fare diversi esempi: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, ecc. Quelli non rigidi includono anche l'uguaglianza. Cioè, un valore può essere maggiore o uguale a un altro valore (il segno “≥”) o inferiore o uguale a un altro valore (il segno “≤”). Anche nelle disuguaglianze lineari, la variabile non è alla radice, al quadrato o divisibile per qualcosa, motivo per cui sono chiamate “semplici”. Quelli complessi coinvolgono variabili sconosciute che richiedono più calcoli per essere trovate. Spesso si trovano in un quadrato, in un cubo o sotto una radice, possono essere modulari, logaritmici, frazionari, ecc. Ma poiché il nostro compito è la necessità di comprendere la soluzione dei sistemi di disuguaglianze, parleremo di un sistema di disuguaglianze lineari . Tuttavia, prima di ciò, è necessario dire alcune parole sulle loro proprietà.

Proprietà delle disuguaglianze

Le proprietà delle disuguaglianze includono quanto segue:

1. Il segno di disuguaglianza viene invertito se viene utilizzata un'operazione per modificare l'ordine dei lati (ad esempio, se t 1 ≤ t 2, allora t 2 ≥ t 1).
2. Entrambi i lati della disuguaglianza consentono di aggiungere lo stesso numero a se stesso (ad esempio, se t 1 ≤ t 2, allora t 1 + numero ≤ t 2 + numero).
3. Due o più disuguaglianze con un segno nella stessa direzione consentono la somma dei loro lati sinistro e destro (ad esempio, se t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, allora t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Entrambe le parti della disuguaglianza possono essere moltiplicate o divise per lo stesso numero positivo (ad esempio, se t 1 ≤ t 2 e un numero ≤ 0, allora il numero · t 1 ≥ numero · t 2).
5. Due o più disuguaglianze che hanno termini positivi e segno nella stessa direzione si lasciano moltiplicare tra loro (ad esempio, se t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 allora t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Entrambe le parti della disuguaglianza si lasciano moltiplicare o dividere per lo stesso numero negativo, ma in questo caso cambia il segno della disuguaglianza (ad esempio, se t 1 ≤ t 2 e un numero ≤ 0, allora il numero · t 1 ≥ numero · t 2).
7. Tutte le disuguaglianze hanno la proprietà di transitività (ad esempio, se t 1 ≤ t 2 e t 2 ≤ t 3, allora t 1 ≤ t 3).

Ora, dopo aver studiato i principi di base della teoria relativa alle disuguaglianze, possiamo procedere direttamente alla considerazione delle regole per risolvere i loro sistemi.

Risoluzione di sistemi di diseguaglianze. Informazioni generali. Soluzioni

Come accennato in precedenza, la soluzione sono i valori della variabile adatti a tutte le disuguaglianze del sistema dato. La risoluzione di sistemi di diseguaglianze è l'implementazione di operazioni matematiche che alla fine portano a una soluzione dell'intero sistema o dimostrano che non ha soluzioni. In questo caso si dice che la variabile appartiene ad un insieme numerico vuoto (scritto così: lettera che indica una variabile∈ (segno “appartiene”) ø (segno “insieme vuoto”), ad esempio x ∈ ø (leggi: “La variabile “x” appartiene all'insieme vuoto”). Esistono diversi modi per risolvere sistemi di disequazioni: metodo grafico, algebrico, di sostituzione. Vale la pena notare che si riferiscono a quei modelli matematici che hanno diverse variabili sconosciute. Nel caso in cui ce n'è solo uno, il metodo dell'intervallo è adatto.

Metodo grafico

Consente di risolvere un sistema di disequazioni con diverse quantità incognite (da due in su). Grazie a questo metodo, un sistema di disequazioni lineari può essere risolto abbastanza facilmente e rapidamente, quindi è il metodo più comune. Ciò è spiegato dal fatto che tracciare un grafico riduce la quantità di operazioni matematiche da scrivere. Diventa particolarmente piacevole prendersi una piccola pausa dalla penna, prendere una matita con un righello e iniziare ulteriori azioni con il loro aiuto quando è stato svolto molto lavoro e si desidera un po' di varietà. Tuttavia, ad alcune persone questo metodo non piace perché devono abbandonare il compito e dedicare la loro attività mentale al disegno. Tuttavia, questo è un metodo molto efficace.

Per risolvere un sistema di diseguaglianze utilizzando un metodo grafico, è necessario trasferire tutti i termini di ciascuna disuguaglianza sul lato sinistro. I segni verranno invertiti, lo zero dovrebbe essere scritto a destra, quindi ogni disuguaglianza dovrà essere scritta separatamente. Di conseguenza, le funzioni saranno ottenute dalle disuguaglianze. Dopodiché puoi prendere una matita e un righello: ora devi disegnare un grafico di ciascuna funzione ottenuta. L'intero insieme di numeri che si troveranno nell'intervallo della loro intersezione sarà una soluzione al sistema di disuguaglianze.

Modo algebrico

Permette di risolvere un sistema di disequazioni con due variabili incognite. Inoltre, le disuguaglianze devono avere lo stesso segno di disuguaglianza (ovvero devono contenere solo il segno “maggiore di” o solo il segno “minore di”, ecc.). Nonostante i suoi limiti, questo metodo è anche più complesso. Si applica in due fasi.

Il primo prevede azioni per eliminare una delle variabili sconosciute. Per prima cosa devi selezionarlo, quindi verificare la presenza di numeri davanti a questa variabile. Se non ci sono (allora la variabile apparirà come una singola lettera), allora non cambiamo nulla, se ci sono (il tipo della variabile sarà, ad esempio, 5y o 12y), allora è necessario fare assicurati che in ogni disuguaglianza il numero davanti alla variabile selezionata sia lo stesso. Per fare ciò, devi moltiplicare ciascun termine delle disuguaglianze per un fattore comune, ad esempio, se 3y è scritto nella prima disuguaglianza e 5y nella seconda, allora dovrai moltiplicare tutti i termini della prima disuguaglianza per 5 , e il secondo per 3. Il risultato è rispettivamente 15y e 15y.

Seconda fase della soluzione. È necessario trasferire il lato sinistro di ciascuna disuguaglianza sul lato destro, cambiando il segno di ciascun termine con quello opposto e scrivendo zero a destra. Poi arriva la parte divertente: eliminare la variabile selezionata (altrimenti nota come “riduzione”) aggiungendo le disuguaglianze. Ciò si traduce in una disuguaglianza con una variabile che deve essere risolta. Dopodiché dovresti fare la stessa cosa, solo con un'altra variabile sconosciuta. I risultati ottenuti costituiranno la soluzione del sistema.

Metodo di sostituzione

Permette di risolvere un sistema di disequazioni se è possibile introdurre una nuova variabile. In genere, questo metodo viene utilizzato quando la variabile sconosciuta in un termine della disuguaglianza viene elevata alla quarta potenza e nell'altro termine viene elevata al quadrato. Pertanto, questo metodo mira a ridurre il grado di disuguaglianze nel sistema. La disuguaglianza campionaria x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 si risolve in questo modo. Viene introdotta una nuova variabile, ad esempio t. Scrivono: “Sia t = x 2”, quindi il modello viene riscritto in una nuova forma. Nel nostro caso otteniamo t 2 - t - 1 ≤0. Questa disuguaglianza deve essere risolta utilizzando il metodo dell'intervallo (ne parleremo più avanti), quindi tornando alla variabile X, quindi facendo lo stesso con l'altra disuguaglianza. Le risposte ricevute saranno la soluzione del sistema.

Metodo dell'intervallo

Questo è il modo più semplice per risolvere i sistemi di disuguaglianze e allo stesso tempo è universale e diffuso. Viene utilizzato nelle scuole secondarie e anche nelle scuole superiori. La sua essenza sta nel fatto che lo studente cerca intervalli di disuguaglianza su una linea numerica, che viene disegnata su un quaderno (questo non è un grafico, ma solo una normale linea con numeri). Là dove gli intervalli delle disuguaglianze si intersecano si trova la soluzione del sistema. Per utilizzare il metodo dell'intervallo, è necessario seguire questi passaggi:

1. Tutti i termini di ciascuna disuguaglianza vengono trasferiti a sinistra con il segno che cambia al contrario (lo zero è scritto a destra).
2. Le disuguaglianze vengono scritte separatamente e viene determinata la soluzione per ciascuna di esse.
3. Si trovano le intersezioni delle disuguaglianze sulla linea numerica. Tutti i numeri situati in questi incroci saranno una soluzione.

Quale metodo dovrei usare?

Ovviamente quello che sembra più semplice e conveniente, ma ci sono casi in cui le attività richiedono un determinato metodo. Molto spesso dicono che devi risolvere usando un grafico o il metodo degli intervalli. Il metodo algebrico e la sostituzione sono usati molto raramente o per niente, poiché sono piuttosto complessi e confusi, e inoltre, sono più usati per risolvere sistemi di equazioni piuttosto che di disequazioni, quindi dovresti ricorrere al disegno di grafici e intervalli. Portano chiarezza, che non può che contribuire all'esecuzione efficiente e rapida delle operazioni matematiche.

Se qualcosa non funziona

Durante lo studio di un particolare argomento di algebra, naturalmente, possono sorgere problemi con la sua comprensione. E questo è normale, perché il nostro cervello è progettato in modo tale da non essere in grado di comprendere argomenti complessi in una volta sola. Spesso è necessario rileggere un paragrafo, chiedere aiuto a un insegnante o esercitarsi a risolvere compiti standard. Nel nostro caso, appaiono, ad esempio, così: “Risolvi il sistema di disequazioni 3 x + 1 ≥ 0 e 2 x - 1 > 3”. Pertanto, il desiderio personale, l'aiuto di estranei e la pratica aiutano a comprendere qualsiasi argomento complesso.

Risolutore?

Anche un libro con le soluzioni è molto adatto, ma non per copiare i compiti, ma per l'auto-aiuto. In essi puoi trovare sistemi di disuguaglianze con soluzioni, guardarli (come modelli), cercare di capire esattamente come l'autore della soluzione ha affrontato il compito e poi provare a fare lo stesso da solo.

conclusioni

L'algebra è una delle materie più difficili a scuola. Dunque, cosa puoi fare? La matematica è sempre stata così: per alcuni è facile, per altri è difficile. Ma in ogni caso, va ricordato che il programma di istruzione generale è strutturato in modo tale che qualsiasi studente possa affrontarlo. Inoltre, bisogna tenere presente l'enorme numero di assistenti. Alcuni di essi sono stati menzionati sopra.

Dopo aver ottenuto le prime informazioni sulle disuguaglianze con variabili, passiamo alla questione della loro risoluzione. Analizzeremo la soluzione delle disuguaglianze lineari con una variabile e tutti i metodi per risolverle con algoritmi ed esempi. Verranno prese in considerazione solo equazioni lineari con una variabile.

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Cos'è la disuguaglianza lineare?

Innanzitutto, devi definire un'equazione lineare e scoprire la sua forma standard e in che modo differirà dalle altre. Dal corso scolastico sappiamo che non esiste alcuna differenza fondamentale tra le disuguaglianze, quindi è necessario utilizzare diverse definizioni.

Definizione 1

Disuguaglianza lineare con una variabile x è una disuguaglianza della forma a · x + b > 0, quando viene utilizzato qualsiasi segno di disuguaglianza invece di >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definizione 2

Disuguaglianze a x< c или a · x >c, dove x è una variabile e a e c sono alcuni numeri, viene chiamato disuguaglianze lineari con una variabile.

Poiché non è detto se il coefficiente possa essere uguale a 0, allora esiste una disuguaglianza rigorosa della forma 0 x > c e 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Le loro differenze sono:

• forma di notazione a · x + b > 0 nella prima, e a · x > c – nella seconda;
• ammissibilità del coefficiente a pari a zero, a ≠ 0 - nel primo e a = 0 - nel secondo.

Si ritiene che le disuguaglianze a · x + b > 0 e a · x > c siano equivalenti, perché si ottengono trasferendo un termine da una parte all'altra. Risolvere la disuguaglianza 0 x + 5 > 0 porterà al fatto che dovrà essere risolta e il caso a = 0 non funzionerà.

Definizione 3

Si ritiene che le disuguaglianze lineari in una variabile x siano disuguaglianze della forma unx+b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 E a x + b ≥ 0, dove a e b sono numeri reali. Al posto di x può esserci un numero regolare.

In base alla regola abbiamo che 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 si dicono riducibili a lineari.

Come risolvere la disuguaglianza lineare

Il modo principale per risolvere tali disuguaglianze è utilizzare trasformazioni equivalenti per trovare le disuguaglianze elementari x< p (≤ , >, ≥) , p che è un certo numero, per a ≠ 0, e della forma a< p (≤ , >, ≥) per a = 0.

Per risolvere le disuguaglianze in una variabile, puoi utilizzare il metodo dell'intervallo o rappresentarlo graficamente. Ognuno di essi può essere utilizzato separatamente.

Utilizzando trasformazioni equivalenti

Per risolvere una disuguaglianza lineare della forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥), è necessario applicare trasformazioni di disuguaglianza equivalenti. Il coefficiente può essere zero o meno. Consideriamo entrambi i casi. Per scoprirlo è necessario aderire a uno schema composto da 3 punti: l'essenza del processo, l'algoritmo e la soluzione stessa.

Definizione 4

Algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze lineari unx+b< 0 (≤ , >, ≥) per a ≠ 0

• il numero b verrà spostato a destra della disuguaglianza con il segno opposto, il che ci permetterà di arrivare all'equivalente a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Entrambi i membri della disuguaglianza verranno divisi per un numero diverso da 0. Inoltre, quando a è positivo, il segno rimane; quando a è negativo, cambia al contrario.

Consideriamo l'applicazione di questo algoritmo per risolvere esempi.

Esempio 1

Risolvi la disuguaglianza della forma 3 x + 12 ≤ 0.

Soluzione

Questa disuguaglianza lineare ha a = 3 e b = 12. Ciò significa che il coefficiente a di x non è uguale a zero. Applichiamo gli algoritmi di cui sopra e risolviamolo.

È necessario spostare il termine 12 in un'altra parte della disuguaglianza e cambiare il segno davanti ad esso. Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 3 x ≤ − 12. È necessario dividere entrambe le parti per 3. Il segno non cambierà poiché 3 è un numero positivo. Otteniamo che (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, che dà il risultato x ≤ − 4.

Una disuguaglianza della forma x ≤ − 4 è equivalente. Cioè, la soluzione per 3 x + 12 ≤ 0 è qualsiasi numero reale minore o uguale a 4. La risposta si scrive come una disuguaglianza x ≤ − 4, o un intervallo numerico della forma (− ∞, − 4].

L'intero algoritmo sopra descritto è scritto in questo modo:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Risposta: x ≤ - 4 o (- ∞ , - 4 ] .

Esempio 2

Indicare tutte le soluzioni disponibili della disuguaglianza − 2, 7 · z > 0.

Soluzione

Dalla condizione vediamo che il coefficiente a per z è uguale a - 2,7 e b è esplicitamente assente o uguale a zero. Non puoi utilizzare il primo passaggio dell'algoritmo, ma passare immediatamente al secondo.

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il numero - 2, 7. Poiché il numero è negativo, è necessario invertire il segno della disuguaglianza. Cioè, otteniamo che (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Scriviamo l'intero algoritmo in forma breve:

− 2,7 z > 0; z< 0 .

Risposta: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Esempio 3

Risolvi la disuguaglianza - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Soluzione

Secondo la condizione, vediamo che è necessario risolvere la disuguaglianza con il coefficiente a per la variabile x, che è uguale a - 5, con il coefficiente b, che corrisponde alla frazione - 15 22. È necessario risolvere la disuguaglianza seguendo l'algoritmo, ovvero: spostare - 15 22 in un'altra parte con il segno opposto, dividere entrambe le parti per - 5, cambiare il segno della disuguaglianza:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Durante l'ultima transizione per il lato destro, viene utilizzata la regola per dividere il numero con segni diversi 15 22: - 5 = - 15 22: 5, dopodiché dividiamo la frazione ordinaria per il numero naturale - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Risposta: x ≥ - 3 22 e [ - 3 22 + ∞) .

Consideriamo il caso in cui a = 0. Espressione lineare della forma a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Tutto si basa sulla determinazione della soluzione alla disuguaglianza. Per qualsiasi valore di x otteniamo una disuguaglianza numerica della forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Considereremo tutti i giudizi sotto forma di un algoritmo per risolvere le disuguaglianze lineari 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definizione 5

Disuguaglianza numerica della forma b< 0 (≤ , >, ≥) è vera, allora la disuguaglianza originaria ha una soluzione per qualsiasi valore, ed è falsa quando la disuguaglianza originaria non ha soluzioni.

Esempio 4

Risolvi la disuguaglianza 0 x + 7 > 0.

Soluzione

Questa disuguaglianza lineare 0 x + 7 > 0 può assumere qualsiasi valore x. Quindi otteniamo una disuguaglianza della forma 7 > 0. L'ultima disuguaglianza è considerata vera, il che significa che qualsiasi numero può essere la sua soluzione.

Risposta: intervallo (− ∞ , + ∞) .

Esempio 5

Trova una soluzione alla disuguaglianza 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Soluzione

Sostituendo la variabile x di un numero qualsiasi, otteniamo che la disuguaglianza assume la forma − 12, 7 ≥ 0. Non è corretto. Cioè, 0 x − 12, 7 ≥ 0 non ha soluzioni.

Risposta: non ci sono soluzioni.

Consideriamo la risoluzione di disuguaglianze lineari in cui entrambi i coefficienti sono uguali a zero.

Esempio 6

Determina la disuguaglianza irrisolvibile da 0 x + 0 > 0 e 0 x + 0 ≥ 0.

Soluzione

Sostituendo un numero qualsiasi al posto di x, otteniamo due disuguaglianze della forma 0 > 0 e 0 ≥ 0. Il primo non è corretto. Ciò significa che 0 x + 0 > 0 non ha soluzioni e 0 x + 0 ≥ 0 ha un numero infinito di soluzioni, cioè qualsiasi numero.

Risposta: la disuguaglianza 0 x + 0 > 0 non ha soluzioni, ma 0 x + 0 ≥ 0 ha soluzioni.

Questo metodo è discusso nel corso di matematica scolastica. Il metodo degli intervalli è in grado di risolvere vari tipi di disuguaglianze, comprese quelle lineari.

Il metodo dell'intervallo viene utilizzato per le disuguaglianze lineari quando il valore del coefficiente x non è uguale a 0. Altrimenti dovrai calcolare utilizzando un metodo diverso.

Definizione 6

Il metodo dell'intervallo è:

• introducendo la funzione y = a · x + b ;
• ricerca di zeri per dividere il dominio di definizione in intervalli;
• definizione dei segni per i loro concetti sugli intervalli.

Costruiamo un algoritmo per risolvere le equazioni lineari a x + b< 0 (≤ , >, ≥) per a ≠ 0 utilizzando il metodo dell'intervallo:

• trovare gli zeri della funzione y = a · x + b per risolvere un'equazione della forma a · x + b = 0 . Se a ≠ 0, la soluzione sarà una radice singola, che prenderà la designazione x 0;
• costruzione di una linea coordinata con l'immagine di un punto con coordinata x 0, con disuguaglianza rigorosa il punto è indicato con un punto punteggiato, con disuguaglianza non rigorosa – con uno ombreggiato;
• determinazione dei segni della funzione y = a · x + b sugli intervalli; per questo è necessario trovare i valori della funzione nei punti dell'intervallo;
• risolvere una disuguaglianza con segni > o ≥ sulla linea delle coordinate, aggiungendo ombreggiatura sull'intervallo positivo,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione delle disuguaglianze lineari utilizzando il metodo dell'intervallo.

Esempio 6

Risolvi la disuguaglianza − 3 x + 12 > 0.

Soluzione

Dall'algoritmo segue che prima devi trovare la radice dell'equazione − 3 x + 12 = 0. Otteniamo che − 3 · x = − 12 , x = 4 . È necessario tracciare una linea di coordinate dove segniamo il punto 4. Verrà perforato perché la disuguaglianza è rigorosa. Considera il disegno qui sotto.

È necessario determinare i segni agli intervalli. Per determinarlo sull'intervallo (− ∞, 4), è necessario calcolare la funzione y = − 3 x + 12 in x = 3. Da qui otteniamo che − 3 3 + 12 = 3 > 0. Il segno dell'intervallo è positivo.

Determiniamo il segno dall'intervallo (4, + ∞), quindi sostituiamo il valore x = 5. Abbiamo che − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Risolviamo la disuguaglianza con il segno > e l'ombreggiatura viene eseguita sull'intervallo positivo. Considera il disegno qui sotto.

Dal disegno è chiaro che la soluzione desiderata ha la forma (− ∞ , 4) oppure x< 4 .

Risposta: (− ∞ , 4) o x< 4 .

Per capire come rappresentare graficamente, è necessario considerare come esempio 4 disuguaglianze lineari: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 e 0, 5 x − 1 ≥ 0. Le loro soluzioni saranno i valori di x< 2 , x ≤ 2 , x >2 e x ≥ 2. Per fare ciò, tracciamo la funzione lineare y = 0, 5 x − 1 mostrata sotto.

E' chiaro

Definizione 7

• risolvere la disuguaglianza 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• la soluzione 0, 5 x − 1 ≤ 0 è considerata l'intervallo in cui la funzione y = 0, 5 x − 1 è inferiore a O x o coincide;
• la soluzione 0, 5 · x − 1 > 0 è considerata un intervallo, la funzione si trova sopra O x;
• la soluzione 0, 5 · x − 1 ≥ 0 è considerata l'intervallo in cui il grafico sopra O x o coincide.

Lo scopo di risolvere graficamente le disuguaglianze è trovare gli intervalli che devono essere rappresentati sul grafico. In questo caso, troviamo che il lato sinistro ha y = a · x + b, e il lato destro ha y = 0, e coincide con O x.

Definizione 8

Viene tracciato il grafico della funzione y = a x + b:

• risolvendo la disuguaglianza a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• quando si risolve la disuguaglianza a · x + b ≤ 0, si determina l'intervallo in cui il grafico è rappresentato sotto l'asse O x o coincide;
• quando si risolve la disuguaglianza a · x + b > 0, si determina l'intervallo in cui è rappresentato il grafico sopra O x;
• Quando si risolve la disuguaglianza a · x + b ≥ 0, si determina l'intervallo in cui il grafico è sopra O x o coincide.

Esempio 7

Risolvi la disuguaglianza - 5 · x - 3 > 0 utilizzando un grafico.

Soluzione

È necessario costruire un grafico della funzione lineare - 5 · x - 3 > 0. Questa linea è decrescente perché il coefficiente di x è negativo. Per determinare le coordinate del punto della sua intersezione con O x - 5 · x - 3 > 0, otteniamo il valore - 3 5. Rappresentiamolo graficamente.

Risolvendo la disuguaglianza con il segno >, è necessario prestare attenzione all'intervallo sopra O x. Evidenziamo in rosso la parte richiesta dell'aereo e otteniamola

Lo spazio richiesto è la parte O x rosso. Ciò significa che il raggio dei numeri aperti - ∞ , - 3 5 sarà una soluzione alla disuguaglianza. Se, secondo la condizione, avessimo una disuguaglianza non rigorosa, anche il valore del punto - 3 5 sarebbe una soluzione alla disuguaglianza. E coinciderebbe con O x.

Risposta: - ∞ , - 3 5 o x< - 3 5 .

La soluzione grafica si usa quando il membro sinistro corrisponde alla funzione y = 0 x + b, cioè y = b. Allora la retta sarà parallela a O x o coincidente in b = 0. Questi casi mostrano che la disuguaglianza potrebbe non avere soluzioni, oppure la soluzione potrebbe essere un numero qualsiasi.

Esempio 8

Determina dalle disuguaglianze 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Soluzione

La rappresentazione di y = 0 x + 7 è y = 7, quindi verrà dato un piano di coordinate con una linea parallela a O x e situata sopra O x. Quindi 0×+7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Il grafico della funzione y = 0 x + 0 è considerato y = 0, cioè la retta coincide con O x. Ciò significa che la disuguaglianza 0 x + 0 ≥ 0 ha molte soluzioni.

Risposta: La seconda disuguaglianza ha una soluzione per qualsiasi valore di x.

Disuguaglianze che si riducono a lineari

La soluzione delle disuguaglianze può essere ridotta alla soluzione di un'equazione lineare, chiamate disuguaglianze che si riducono a lineari.

Queste disuguaglianze sono state considerate nel percorso scolastico, poiché erano un caso speciale di risoluzione delle disuguaglianze, che ha portato all'apertura di parentesi e alla riduzione di termini simili. Ad esempio, considera che 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Le disuguaglianze sopra indicate sono sempre ridotte alla forma di un'equazione lineare. Successivamente si aprono le parentesi e si danno termini simili, trasferiti da parti diverse, cambiando il segno in quello opposto.

Riducendo la disuguaglianza 5 − 2 x > 0 a lineare, la rappresentiamo in modo che abbia la forma − 2 x + 5 > 0, e riducendo la seconda otteniamo che 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . È necessario aprire le parentesi, riportare termini simili, spostare tutti i termini sul lato sinistro e riportare termini simili. Sembra questo:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ciò porta la soluzione a una disuguaglianza lineare.

Queste disuguaglianze sono considerate lineari, poiché hanno lo stesso principio di soluzione, dopodiché è possibile ridurle a disuguaglianze elementari.

Per risolvere questo tipo di disuguaglianza è necessario ridurla a una disuguaglianza lineare. Dovrebbe essere fatto in questo modo:

Definizione 9

• parentesi aperte;
• raccogliere le variabili a sinistra e i numeri a destra;
• fornire termini simili;
• dividi entrambi i membri per il coefficiente di x.

Esempio 9

Risolvi la disuguaglianza 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Soluzione

Apriamo le parentesi e otteniamo una disuguaglianza della forma 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Dopo aver ridotto termini simili, abbiamo che 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Dopo aver spostato i termini da sinistra a destra, troviamo che 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Esiste quindi una disuguaglianza della forma 32 ≤ 0 da quella ottenuta calcolando 0 x + 32 ≤ 0. Si vede che la disuguaglianza è falsa, il che significa che la disuguaglianza data dalla condizione non ha soluzioni.

Risposta: nessuna soluzione.

Vale la pena notare che esistono molti altri tipi di disuguaglianze che possono essere ridotte a disuguaglianze lineari o del tipo mostrato sopra. Ad esempio, 5 2 x − 1 ≥ 1 è un'equazione esponenziale che si riduce a una soluzione della forma lineare 2 x − 1 ≥ 0. Questi casi saranno presi in considerazione quando si risolveranno disuguaglianze di questo tipo.

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