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Metodo grafico per la risoluzione di un sistema di equazioni. Risoluzione di equazioni, disequazioni, sistemi utilizzando grafici di funzioni

Presentazione e lezione sul tema: "Soluzione grafica di equazioni quadratiche"

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Potenze e radici Funzioni e grafici

Grafici di funzioni quadratiche

Nell'ultima lezione abbiamo imparato come rappresentare graficamente qualsiasi funzione quadratica. Con l'aiuto di tali funzioni possiamo risolvere le cosiddette equazioni quadratiche, che generalmente sono scritte come segue: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ sono numeri qualsiasi, tranne $a≠0$.
Ragazzi, confrontate l'equazione scritta sopra con questa: $y=ax^2+bx+c$.
Sono quasi identici. La differenza è che invece di $y$ abbiamo scritto $0$, cioè $y=0$. Come risolvere allora le equazioni quadratiche? La prima cosa che mi viene in mente è costruire un grafico della parabola $ax^2+bx+c$ e trovare i punti di intersezione di questo grafico con la retta $y=0$. Ci sono altre soluzioni. Consideriamoli utilizzando un esempio specifico.

Metodi per risolvere funzioni quadratiche

Esempio.
Risolvi l'equazione: $x^2+2x-8=0$.

Soluzione.
Metodo 1. Tracciamo la funzione $y=x^2+2x-8$ e troviamo i punti di intersezione con la retta $y=0$. Il coefficiente del grado più alto è positivo, il che significa che i rami della parabola puntano verso l'alto. Troviamo le coordinate del vertice:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(â)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Prendiamo il punto di coordinate $(-1;-9)$ come origine del nuovo sistema di coordinate e costruiamo in esso un grafico della parabola $y=x^2$.

Vediamo due punti di intersezione. Sono contrassegnati con punti neri sul grafico. Stiamo risolvendo l'equazione per x, quindi dobbiamo scegliere le ascisse di questi punti. Sono pari a $-4$ e $2$.
Pertanto, la soluzione dell'equazione quadratica $x^2+2x-8=0$ è costituita da due radici: $ x_1=-4$ e $x_2=2$.

Metodo 2. Trasforma l'equazione originale nella forma: $x^2=8-2x$.
Possiamo quindi risolvere questa equazione nel consueto modo grafico trovando l'ascissa dei punti di intersezione dei due grafici $y=x^2$ e $y=8-2x$.
Abbiamo ottenuto due punti di intersezione le cui ascisse coincidono con le soluzioni ottenute nel primo metodo, ovvero: $x_1=-4$ e $x_2=2$.

Metodo 3.
Trasformiamo l'equazione originale in questa forma: $x^2-8=-2x$.
Costruiamo due grafici $y=x^2-8$ e $y=-2x$ e troviamo i loro punti di intersezione.
Il grafico di $y=x^2-8$ è una parabola spostata verso il basso di 8 unità.
Abbiamo ottenuto due punti di intersezione e le ascisse di questi punti sono le stesse dei due metodi precedenti, ovvero: $x_1=-4$ e $x_2=2$.

Metodo 4.
Selezioniamo il quadrato perfetto nell'equazione originale: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Costruiamo due grafici delle funzioni $y=(x+1)^2$ e $y=9$. Il grafico della prima funzione è una parabola spostata di un'unità a sinistra. Il grafico della seconda funzione è una retta parallela all'asse delle ascisse e passante per l'ordinata pari a $9$.
Ancora una volta abbiamo ottenuto due punti di intersezione dei grafici, e le ascisse di questi punti coincidono con quelle ottenute nei metodi precedenti $x_1=-4$ e $x_2=2$.

Metodo 5.
Dividi l'equazione originale per x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Risolviamo graficamente questa equazione, costruiamo due grafici $y=x+2$ e $y=\frac(8)(x)$.
Anche in questo caso abbiamo due punti di intersezione, e le ascisse di questi punti coincidono con quelle ottenute sopra $x_1=-4$ e $x_2=2$.

Algoritmo per la soluzione grafica di funzioni quadratiche

Ragazzi, abbiamo esaminato cinque modi per risolvere graficamente le equazioni quadratiche. In ciascuno di questi metodi, le radici delle equazioni risultano essere le stesse, il che significa che la soluzione è stata ottenuta correttamente.

Metodi di base per risolvere graficamente le equazioni quadratiche $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - qualsiasi numero, tranne $a≠0$:
1. Costruisci un grafico della funzione $y=ax^2+bx+c$, trova i punti di intersezione con l'asse delle ascisse, che saranno la soluzione dell'equazione.
2. Costruisci due grafici $y=ax^2$ e $y=-bx-c$, trova l'ascissa dei punti di intersezione di questi grafici.
3. Costruisci due grafici $y=ax^2+c$ e $y=-bx$, trova l'ascissa dei punti di intersezione di questi grafici. Il grafico della prima funzione sarà una parabola, spostata verso il basso o verso l'alto, a seconda del segno del numero c. Il secondo grafico è una linea retta passante per l'origine.
4. Seleziona un quadrato completo, ovvero riporta l'equazione originale nella forma: $a(x+l)^2+m=0$.
Costruisci due grafici della funzione $y=a(x+l)^2$ e $y=-m$, trova i loro punti di intersezione. Il grafico della prima funzione sarà una parabola spostata a sinistra o a destra, a seconda del segno del numero $l$. Il grafico della seconda funzione sarà una retta parallela all'asse delle ascisse e che interseca l'asse delle ordinate in un punto pari a $-m$.
5. Dividi l'equazione originale per x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Convertire nella forma: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Costruisci nuovamente due grafici e trova i loro punti di intersezione. Il primo grafico è un'iperbole, il secondo grafico è una linea retta. Sfortunatamente, il metodo grafico per risolvere le equazioni quadratiche non è sempre una buona soluzione. I punti di intersezione dei vari grafici non sono sempre numeri interi o possono avere numeri molto grandi nell'ascissa (ordinata) che non possono essere tracciati su un normale foglio di carta.

Dimostriamo più chiaramente tutti questi metodi con un esempio.

Esempio.
Risolvi l'equazione: $x^2+3x-12=0$,

Soluzione.
Tracciamo la parabola e troviamo le coordinate dei vertici: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1.5$.
$y_(â)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
Quando si costruisce una parabola di questo tipo, sorgono immediatamente problemi, ad esempio, nel contrassegnare correttamente il vertice della parabola. Per contrassegnare con precisione l'ordinata del vertice, è necessario selezionare una cella pari a 0,25 unità di scala. Su questa scala, devi scendere di 35 unità, il che è scomodo. Comunque, costruiamo il nostro programma.
Il secondo problema che incontriamo è che il grafico della nostra funzione interseca l'asse x in un punto con coordinate che non possono essere determinate con precisione. Una soluzione approssimativa è possibile, ma la matematica è una scienza esatta.
Pertanto, il metodo grafico non è il più conveniente. Pertanto, la risoluzione delle equazioni quadratiche richiede un metodo più universale, che studieremo nelle lezioni seguenti.

Problemi da risolvere in autonomia

1. Risolvi graficamente l'equazione (in tutti e cinque i modi): $x^2+4x-12=0$.
2. Risolvi l'equazione utilizzando qualsiasi metodo grafico: $-x^2+6x+16=0$.

A volte le equazioni vengono risolte graficamente. Per fare ciò, è necessario trasformare l'equazione in modo tale (se non è già presentata in forma trasformata) che a sinistra e a destra del segno uguale ci siano espressioni per le quali è possibile disegnare facilmente grafici di funzioni. Ad esempio, data la seguente equazione:
x² – 2x – 1 = 0

Se non abbiamo ancora studiato la risoluzione algebrica delle equazioni quadratiche, possiamo provare a farlo tramite la fattorizzazione o graficamente. Per risolvere graficamente tale equazione, la presentiamo in questa forma:
x² = 2x + 1

Da questa rappresentazione dell'equazione ne consegue che è necessario trovare tali valori di x per i quali il lato sinistro sarà uguale a quello destro.

Come sai, il grafico della funzione y = x² è una parabola e y = 2x + 1 è una linea retta. La coordinata x dei punti del piano delle coordinate che giacciono sia sul primo grafico che sul secondo (cioè i punti di intersezione dei grafici) sono proprio quei valori x ai quali il lato sinistro dell'equazione sarà uguale A destra. In altre parole, le coordinate x dei punti di intersezione dei grafici sono le radici dell'equazione.

I grafici possono intersecarsi in più punti, in un punto o non intersecarsi affatto. Ne consegue che un'equazione può avere più radici, oppure una radice, oppure nessuna.

Consideriamo un esempio più semplice:
x² – 2x = 0 oppure x² = 2x

Disegniamo i grafici delle funzioni y = x² e y = 2x:

Come si vede dal disegno, la parabola e la retta si intersecano nei punti (0; 0) e (2; 4). Le coordinate x di questi punti sono rispettivamente uguali a 0 e 2. Ciò significa che l'equazione x² – 2x = 0 ha due radici: x 1 = 0, x 2 = 2.

Verifichiamolo risolvendo l'equazione togliendo il fattore comune tra parentesi:
x² – 2x = 0
x(x–2) = 0

Lo zero a destra può verificarsi quando x è 0 o 2.

Il motivo per cui non abbiamo risolto graficamente l’equazione x² – 2x – 1 = 0 è che nella maggior parte delle equazioni le radici sono numeri reali (frazionari) ed è difficile determinare con precisione il valore di x su un grafico. Pertanto, per la maggior parte delle equazioni, la soluzione grafica non è la migliore. Tuttavia, la conoscenza di questo metodo fornisce una comprensione più profonda della relazione tra equazioni e funzioni.

>>Matematica: Soluzione grafica di equazioni

Soluzione grafica di equazioni

Riassumiamo le nostre conoscenze in merito grafici funzioni. Abbiamo imparato come costruire grafici delle seguenti funzioni:

y =b (retta parallela all'asse x);

y = kx (retta passante per l'origine);

y - kx + m (linea retta);

y = x2 (parabola).

La conoscenza di questi grafici ci consentirà, se necessario, di sostituire quelli analitici modello geometrico (grafico), ad esempio, invece del modello y = x 2 (che rappresenta un'uguaglianza con due variabili xey), considera una parabola nel piano delle coordinate. In particolare, a volte è utile per risolvere equazioni. Parliamo di come ciò viene fatto utilizzando diversi esempi.

A. V. Pogorelov, Geometria per le classi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative

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Sia presente un'equazione quadratica completa: A*x2+B*x+C=0, dove A, B e C sono numeri qualsiasi e A non è uguale a zero. Questo è un caso generale di equazione quadratica. Esiste anche una forma ridotta in cui A=1. Per risolvere graficamente qualsiasi equazione, è necessario spostare il termine con il grado più alto in un'altra parte e equiparare entrambe le parti a una variabile.

Successivamente, A*x2 rimarrà sul lato sinistro dell'equazione e B*x-C sul lato destro (possiamo supporre che B sia un numero negativo, questo non cambia l'essenza). L'equazione risultante è A*x2=B*x-C=y. Per chiarezza, in questo caso entrambe le parti sono equiparate alla variabile y.

Tracciamento di grafici ed elaborazione dei risultati

Ora possiamo scrivere due equazioni: y=A*x2 e y=B*x-C. Successivamente, è necessario tracciare un grafico di ciascuna di queste funzioni. Il grafico y=A*x2 è una parabola con un vertice nell'origine, i cui rami sono diretti verso l'alto o verso il basso, a seconda del segno del numero A. Se è negativo, i rami sono diretti verso il basso, se positivo, i rami sono diretti verso l'alto.

Il grafico y=B*x-C è una linea retta regolare. Se C=0, la retta passa per l'origine. Nel caso generale, taglia dall'asse delle ordinate un segmento uguale a C. L'angolo di inclinazione di questa linea rispetto all'asse delle ascisse è determinato dal coefficiente B. È uguale alla tangente dell'inclinazione di questo angolo.

Dopo aver tracciato i grafici, si vedrà che si intersecano in due punti. Le coordinate di questi punti lungo l'asse x determinano le radici dell'equazione quadratica. Per determinarli con precisione, è necessario costruire grafici chiaramente e scegliere la scala giusta.

Un'altra soluzione grafica

Esiste un altro modo per risolvere graficamente un'equazione quadratica. Non è necessario spostare B*x+C dall'altra parte dell'equazione. Puoi immediatamente tracciare la funzione y=A*x2+B*x+C. Tale grafico è una parabola con un vertice in un punto arbitrario. Questo metodo è più complicato del precedente, ma puoi costruire un solo grafico per...

Per prima cosa devi determinare il vertice della parabola con le coordinate x0 e y0. La sua ascissa si calcola utilizzando la formula x0=-B/2*a. Per determinare l'ordinata, è necessario sostituire il valore dell'ascissa risultante nella funzione originale. Matematicamente, questa affermazione è scritta come segue: y0=y(x0).

Quindi devi trovare due punti simmetrici all'asse della parabola. In essi la funzione originaria deve svanire. Dopodiché puoi costruire una parabola. I punti della sua intersezione con l'asse X daranno due radici dell'equazione quadratica.