Formula per moltiplicare i logaritmi. Definizione di logaritmo, identità logaritmica di base
Oggi parleremo di formule logaritmiche e dare dimostrazione esempi di soluzioni.
Di per sé, implicano modelli di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule logaritmiche alla soluzione, ricordiamo per te, prima tutte le proprietà:
Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostriamo esempi di risoluzione di logaritmi.
Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.
Logaritmo un numero positivo b in base a (denotato log a b) è l'esponente a cui deve essere elevato a per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.
Secondo la definizione log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.
Logaritmi, esempi:
log 2 8 = 3, perché 2 3 = 8
log 7 49 = 2 perché 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5
Logaritmo decimaleè un logaritmo ordinario, la cui base è 10. Indicato come lg.
log 10 100 = 2 perché 10 2 = 100
logaritmo naturale- anche il solito logaritmo logaritmo, ma con la base e (e \u003d 2,71828 ... - un numero irrazionale). Indicato come ln.
È desiderabile ricordare le formule o le proprietà dei logaritmi, poiché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disuguaglianze. Esaminiamo di nuovo ogni formula con esempi.
- Identità logaritmica di base
un ceppo a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
log a (bc) = log a b + log a clogaritmo 3 8.1 + logaritmo 3 10 = logaritmo 3 (8.1*10) = logaritmo 3 81 = 4
- Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Proprietà del grado di un numero logaritmo e base del logaritmo
L'esponente di un numero logaritmo log a b m = mlog a b
Esponente della base del logaritmo log a n b =1/n*log a b
logaritmo a n b m = m/n*logaritmo a b,
se m = n, otteniamo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Passaggio a una nuova fondazione
log a b = log c b / log c a,se c = b, otteniamo log b b = 1
quindi log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Come puoi vedere, le formule logaritmiche non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver considerato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Non perdere!
Se hai domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.
Nota: ho deciso di ottenere un'istruzione di un'altra classe di studio all'estero come opzione.
Iniziamo con proprietà del logaritmo dell'unità. La sua formulazione è la seguente: il logaritmo dell'unità è uguale a zero, cioè, registrare un 1=0 per ogni a>0 , a≠1 . La dimostrazione è semplice: poiché a 0 =1 per ogni a che soddisfa le precedenti condizioni a>0 e a≠1 , allora la provata uguaglianza log a 1=0 segue immediatamente dalla definizione del logaritmo.
Diamo esempi di applicazione della proprietà considerata: log 3 1=0 , lg1=0 e .
Passiamo alla proprietà successiva: il logaritmo di un numero uguale alla base è uguale a uno, questo è, log a a=1 per a>0 , a≠1 . Infatti, poiché a 1 =a per ogni a , allora per definizione del logaritmo log a a=1 .
Esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi sono log 5 5=1 , log 5.6 5.6 e lne=1 .
Ad esempio, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 e 
.
Logaritmo del prodotto di due numeri positivi x e y è uguale al prodotto dei logaritmi di questi numeri: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dimostriamo la proprietà del logaritmo del prodotto. A causa delle proprietà del grado a log a x+log a y =a log a x a log a y, e poiché per l'identità logaritmica principale a log a x =x e a log a y =y , allora a log a x a log a y =x y . Quindi, a log a x+log a y =x y , da cui l'uguaglianza richiesta segue dalla definizione del logaritmo.
Mostriamo esempi di utilizzo della proprietà del logaritmo del prodotto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e 
.
La proprietà del prodotto logaritmico può essere generalizzata al prodotto di un numero finito n di numeri positivi x 1 , x 2 , …, x n come logaritmo a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Questa uguaglianza è facilmente dimostrabile.
Ad esempio, il logaritmo naturale di un prodotto può essere sostituito dalla somma di tre logaritmi naturali numeri 4 , e , e .
Logaritmo del quoziente di due numeri positivi x e y è uguale alla differenza tra i logaritmi di questi numeri. La proprietà del logaritmo quoziente corrisponde a una formula della forma , dove a>0 , a≠1 , x e y sono alcuni numeri positivi. La validità di questa formula è dimostrata come la formula per il logaritmo del prodotto: poiché 
, quindi dalla definizione del logaritmo .
Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà del logaritmo: 
.
Passiamo a proprietà del logaritmo di grado. Il logaritmo di un grado è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del modulo della base di questo grado. Scriviamo questa proprietà del logaritmo del grado sotto forma di formula: logaritmo a b p =p logaritmo a |b|, dove a>0 , a≠1 , b e p sono numeri tali che il grado di b p ha senso e b p >0 .
Dimostriamo prima questa proprietà per b positivo. L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come a log a b , quindi b p =(a log a b) p , e l'espressione risultante, per la proprietà della potenza, è uguale a a p log a b . Quindi arriviamo all'uguaglianza b p =a p log a b , da cui, per definizione del logaritmo, concludiamo che log a b p =p log a b .
Resta da dimostrare questa proprietà per b negativo. Qui notiamo che l'espressione log a b p per b negativo ha senso solo per esponenti pari p (poiché il valore del grado b p deve essere maggiore di zero, altrimenti il logaritmo non ha senso), e in questo caso b p =|b| P . Poi bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, da cui log a b p =p log a |b| .
Per esempio, 
e ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Deriva dalla proprietà precedente proprietà del logaritmo dalla radice: il logaritmo della radice dell'ennesimo grado è uguale al prodotto della frazione 1/ne il logaritmo dell'espressione della radice, ovvero, 
, dove a>0 , a≠1 , n è un numero naturale maggiore di uno, b>0 .
La dimostrazione si basa sull'uguaglianza (vedi ), che vale per ogni b positivo, e sulla proprietà del logaritmo del grado: 
.
Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà: 
.
Ora dimostriamo formula di conversione nella nuova base del logaritmo Tipo 
. Per fare questo basta dimostrare la validità dell'uguaglianza log c b=log a b log c a . L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come log a b , quindi log c b=log c a log a b . Resta da utilizzare la proprietà del logaritmo del grado: log c a log a b = log a b log c a. Pertanto, viene dimostrata l'uguaglianza log c b=log a b log c a, il che significa che viene dimostrata anche la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo.
Mostriamo un paio di esempi di applicazione di questa proprietà dei logaritmi: e 
.
La formula per passare a una nuova base ti consente di passare a lavorare con logaritmi che hanno una base "conveniente". Ad esempio, può essere utilizzato per passare ai logaritmi naturali o decimali in modo da poter calcolare il valore del logaritmo dalla tabella dei logaritmi. La formula per il passaggio ad una nuova base del logaritmo permette anche in alcuni casi di trovare il valore di un dato logaritmo, quando si conoscono i valori di alcuni logaritmi con altre basi.
Usato frequentemente caso speciale formule per il passaggio a una nuova base del logaritmo per c=b della forma 
. Questo dimostra che log a b e log b a – . Per esempio, 
.
Anche spesso usata è la formula 
, utile per trovare valori logaritmici. Per confermare le nostre parole, mostreremo come viene calcolato il valore del logaritmo del modulo utilizzandolo. Abbiamo 
. Per dimostrare la formula 
basta usare la formula di transizione alla nuova base del logaritmo a: 
.
Resta da dimostrare le proprietà di confronto dei logaritmi.
Proviamo che per ogni numero positivo b 1 e b 2 , b 1 log a b 2 , e per a>1, la disuguaglianza log a b 1 Infine, resta da dimostrare l'ultima delle proprietà elencate dei logaritmi. Ci limitiamo a dimostrare la sua prima parte, cioè dimostriamo che se a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 è vero log a 1 b>log a 2 b . Le restanti affermazioni di questa proprietà dei logaritmi sono dimostrate da un principio simile. Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che per a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b è vero. Dalle proprietà dei logaritmi, queste disuguaglianze possono essere riscritte come 
E 
rispettivamente, e da essi segue che log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, rispettivamente. Allora, per le proprietà delle potenze con le stesse basi, devono essere soddisfatte le uguaglianze b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2, cioè a 1 ≥a 2 . Quindi, siamo arrivati a una contraddizione alla condizione a 1
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per i gradi 10-11 delle istituzioni educative generali.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche).
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Logaritmo di b (b > 0) in base a (a > 0, a ≠ 1)è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere b.
Il logaritmo in base 10 di b può essere scritto come ceppo(b), e il logaritmo in base e (logaritmo naturale) - ln(b).
Spesso usato per risolvere problemi con i logaritmi:
Proprietà dei logaritmi
Ci sono quattro principali proprietà dei logaritmi.
Siano a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.
Proprietà 1. Logaritmo del prodotto
Logaritmo del prodottoè uguale alla somma dei logaritmi:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Proprietà 2. Logaritmo del quoziente
Logaritmo del quozienteè uguale alla differenza dei logaritmi:
log a (x / y) = log a x – log a y
Proprietà 3. Logaritmo del grado
Logaritmo dei gradiè uguale al prodotto del grado e del logaritmo:
Se la base del logaritmo è nell'esponente, si applica un'altra formula:
Proprietà 4. Logaritmo della radice
Questa proprietà può essere ricavata dalla proprietà del logaritmo del grado, poiché la radice dell'ennesimo grado è uguale alla potenza di 1/n:
La formula per passare da un logaritmo in una base a un logaritmo in un'altra base
Questa formula viene spesso utilizzata anche quando si risolvono vari compiti per i logaritmi:
Caso speciale:
Confronto di logaritmi (disuguaglianze)
Supponiamo di avere 2 funzioni f(x) e g(x) sotto logaritmi con le stesse basi e che vi sia un segno di disuguaglianza tra di loro:
Per confrontarli, devi prima guardare la base dei logaritmi a:
- Se a > 0, allora f(x) > g(x) > 0
- Se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Come risolvere problemi con i logaritmi: esempi
Compiti con i logaritmi incluso nell'USO in matematica per il grado 11 nell'attività 5 e nell'attività 7, puoi trovare attività con soluzioni sul nostro sito Web nelle sezioni pertinenti. Inoltre, i compiti con i logaritmi si trovano nella banca dei compiti in matematica. Puoi trovare tutti gli esempi cercando nel sito.
Che cos'è un logaritmo
I logaritmi sono sempre stati considerati un argomento difficile nel corso di matematica della scuola. Esistono molte definizioni diverse del logaritmo, ma per qualche motivo la maggior parte dei libri di testo usa la più complessa e sfortunata di esse.
Definiremo il logaritmo in modo semplice e chiaro. Creiamo una tabella per questo:
Quindi, abbiamo le potenze di due.
Logaritmi: proprietà, formule, come risolvere
Se prendi il numero dall'ultima riga, puoi facilmente trovare la potenza a cui devi alzare un due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.
E ora - infatti, la definizione del logaritmo:
la base a dell'argomento x è la potenza alla quale il numero a deve essere elevato per ottenere il numero x.
Notazione: log a x \u003d b, dove a è la base, x è l'argomento, b è effettivamente ciò a cui è uguale il logaritmo.
Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Potrebbe anche registrare 2 64 = 6, perché 2 6 = 64.
Viene chiamata l'operazione per trovare il logaritmo di un numero in una data base. Quindi aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| logaritmo 2 2 = 1 | logaritmo 2 4 = 2 | logaritmo 2 8 = 3 | logaritmo 2 16 = 4 | logaritmo 2 32 = 5 | logaritmo 2 64 = 6 |
Sfortunatamente, non tutti i logaritmi sono considerati così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5. Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte sul segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tali numeri sono chiamati irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti indefinitamente e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
È importante capire che il logaritmo è un'espressione con due variabili (base e argomento). All'inizio, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l'argomento. Per evitare fastidiosi fraintendimenti, basta dare un'occhiata alla foto:
Davanti a noi non c'è altro che la definizione del logaritmo. Ricordare: il logaritmo è la potenza, a cui è necessario elevare la base per ottenere l'argomento. È la base che viene elevata a potenza - nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in fondo! Dico questa meravigliosa regola ai miei studenti alla primissima lezione - e non c'è confusione.
Come contare i logaritmi
Abbiamo capito la definizione: resta da imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che due fatti importanti seguono dalla definizione:
- L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione del grado mediante un esponente razionale, a cui si riduce la definizione del logaritmo.
- La base deve essere diversa dall'unità, poiché un'unità per qualsiasi potenza è ancora un'unità. Per questo motivo, la domanda "a quale potenza deve essere elevato uno per ottenere due" è priva di significato. Non esiste un tale grado!
Tali restrizioni sono chiamate intervallo valido(ODZ). Si scopre che l'ODZ del logaritmo è così: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Si noti che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo) non è imposto. Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0.5 = −1, perché 0.5 = 2−1 .
Tuttavia, ora stiamo considerando solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere l'ODZ del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dai compilatori dei problemi. Ma quando entrano in gioco equazioni e disuguaglianze logaritmiche, i requisiti del DHS diventeranno obbligatori. In effetti, nella base e nell'argomentazione possono esserci costruzioni molto forti, che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.
Ora considera schema generale calcoli logaritmici. Si compone di tre passaggi:
- Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base più piccola possibile maggiore di uno. Lungo la strada, è meglio sbarazzarsi delle frazioni decimali;
- Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
- Il numero risultante b sarà la risposta.
È tutto! Se il logaritmo risulta essere irrazionale, questo si vedrà già al primo passaggio. Il requisito che la base sia maggiore di uno è molto rilevante: questo riduce la probabilità di errore e semplifica notevolmente i calcoli. Allo stesso modo con le frazioni decimali: se le converti immediatamente in quelle ordinarie, ci saranno molte volte meno errori.
Vediamo come funziona questo schema con esempi specifici:
Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25
- Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Risposta ricevuta: 2.
Facciamo e risolviamo l'equazione:
logaritmo 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Compito. Calcola il logaritmo:
Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64
- Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Ricevuta una risposta: 3.
Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1
- Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Ha ricevuto una risposta: 0.
Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14
- Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non è rappresentato come una potenza di sette, perché 7 1< 14 < 7 2 ;
- Dal paragrafo precedente risulta che il logaritmo non viene considerato;
- La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.
Una piccola nota a ultimo esempio. Come assicurarsi che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? Molto semplice: basta scomporlo in fattori primi. Se ci sono almeno due fattori distinti nell'espansione, il numero non è una potenza esatta.
Compito. Scopri se le esatte potenze del numero sono: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - il grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 non è una potenza esatta perché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado esatto;
35 = 7 5 - ancora una volta non un grado esatto;
14 \u003d 7 2 - ancora una volta non un grado esatto;
Notiamo anche che noi numeri primi sono sempre poteri esatti di se stessi.
Logaritmo decimale
Alcuni logaritmi sono così comuni da avere un nome e una designazione speciali.
dell'argomento x è il logaritmo in base 10, cioè la potenza alla quale si deve elevare 10 per ottenere x. Designazione: lgx.
Ad esempio, log 10 = 1; logaritmo 100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.
D'ora in poi, quando nel libro di testo appare una frase come "Find lg 0.01", sappi che non si tratta di un errore di battitura. Questo è il logaritmo decimale. Tuttavia, se non sei abituato a tale designazione, puoi sempre riscriverlo:
logaritmo x = logaritmo 10 x
Tutto ciò che è vero per i logaritmi ordinari è vero anche per i decimali.
logaritmo naturale
C'è un altro logaritmo che ha la sua notazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Riguarda sul logaritmo naturale.
dell'argomento x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale il numero e deve essere elevato per ottenere il numero x. Designazione: lnx.
Molti chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale valore esatto impossibile da trovare e registrare. Ecco solo i primi numeri:
e = 2,718281828459…
Non approfondiremo cos'è questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x
Quindi ln e = 1; ceppo e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, l'unità: ln 1 = 0.
Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.
Guarda anche:
Logaritmo. Proprietà del logaritmo (potenza del logaritmo).
Come rappresentare un numero come logaritmo?
Usiamo la definizione di logaritmo.
Il logaritmo è un indicatore della potenza a cui deve essere elevata la base per ottenere il numero sotto il segno del logaritmo.
Quindi, per rappresentare un certo numero c come logaritmo in base a, bisogna mettere sotto il segno del logaritmo un grado con la stessa base della base del logaritmo, e scrivere questo numero c nell'esponente:
Sotto forma di logaritmo, puoi rappresentare assolutamente qualsiasi numero: positivo, negativo, intero, frazionario, razionale, irrazionale:
Per non confondere a e c in condizioni stressanti di un test o di un esame, puoi utilizzare la seguente regola da ricordare:
ciò che è in basso scende, ciò che è in alto sale.
Ad esempio, vuoi rappresentare il numero 2 come un logaritmo in base 3.
Abbiamo due numeri: 2 e 3. Questi numeri sono la base e l'esponente, che scriveremo sotto il segno del logaritmo. Resta da determinare quale di questi numeri dovrebbe essere scritto, nella base del grado, e quale - nell'esponente.
La base 3 nel record del logaritmo è in basso, il che significa che quando rappresentiamo il due come un logaritmo in base di 3, scriveremo anche 3 in base.
2 è maggiore di 3. E nella notazione del grado scriviamo il due sopra il tre, cioè nell'esponente:
Logaritmi. Primo livello.
Logaritmi
logaritmo numero positivo B per ragione UN, Dove a > 0, a ≠ 1, è l'esponente al quale deve essere elevato il numero. UN, Ottenere B.
Definizione di logaritmo può essere brevemente scritto così:
Questa uguaglianza vale per b > 0, a > 0, a ≠ 1. Di solito viene chiamato identità logaritmica.
Viene chiamata l'azione di trovare il logaritmo di un numero logaritmo.
Proprietà dei logaritmi:
Il logaritmo del prodotto:
Logaritmo del quoziente dalla divisione:
Sostituendo la base del logaritmo:
Logaritmo dei gradi:
logaritmo della radice:
Logaritmo con base di potenza:
Logaritmi decimali e naturali.
Logaritmo decimale i numeri chiamano il logaritmo in base 10 di quel numero e scrivono lg B
logaritmo naturale i numeri chiamano il logaritmo di questo numero in base e, Dove eè un numero irrazionale, approssimativamente uguale a 2,7. Allo stesso tempo, scrivono ln B.
Altre note di algebra e geometria
Proprietà fondamentali dei logaritmi
Proprietà fondamentali dei logaritmi
I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà fondamentali.
Queste regole devono essere conosciute: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.
Addizione e sottrazione di logaritmi
Considera due logaritmi con la stessa base: log a x e log a y. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Si prega di notare: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!
Queste formule ti aiuteranno a calcolare espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:
logaritmo 6 4 + logaritmo 6 9.
Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.
Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.
Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Sulla base di questo fatto, molti carte di prova. Sì, controllo: durante l'esame vengono offerte espressioni simili in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche).
Rimozione dell'esponente dal logaritmo
Ora complichiamo un po 'il compito. Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:
È facile vederlo ultima regola segue i primi due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.
Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, ad es. puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.
Come risolvere i logaritmi
Questo è ciò che è più spesso richiesto.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .
Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12
Compito. Trova il valore dell'espressione:
Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:
Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".
Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarrà nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.
Passaggio a una nuova fondazione
Parlando delle regole per l'addizione e la sottrazione dei logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?
Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:
Lascia che sia dato logaritmo logaritmico ascia. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:
In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:
Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.
Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.
Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.
Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Ora invertiamo il secondo logaritmo:
Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.
La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:
Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:
Identità logaritmica di base
Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base.
In questo caso, le formule ci aiuteranno:
Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.
La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:
In effetti, cosa accadrà se il numero b viene elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si bloccano" su di esso.
Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.
Compito. Trova il valore dell'espressione:
Nota che log 25 64 = log 5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:
Se qualcuno non è a conoscenza, questo era un vero compito dell'Esame di Stato Unificato 🙂
Unità logaritmica e zero logaritmico
In conclusione, darò due identità difficili da chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".
- log a a = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a da questa base stessa è uguale a uno.
- log a 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.
Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Spieghiamolo più facilmente. Ad esempio, \(\log_(2)(8)\) è uguale alla potenza a cui deve essere elevato \(2\) per ottenere \(8\). Da questo è chiaro che \(\log_(2)(8)=3\).
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Esempi: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
Perché \(5^(2)=25\) |
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\(\log_(3)(81)=4\) |
Perché \(3^(4)=81\) |
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\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
Perché \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argomento e base del logaritmo
Ogni logaritmo ha la seguente "anatomia":
L'argomento del logaritmo è solitamente scritto al suo livello e la base è scritta in pedice più vicino al segno del logaritmo. E questa voce si legge così: "il logaritmo di venticinque alla base di cinque".
Come calcolare il logaritmo?
Per calcolare il logaritmo, devi rispondere alla domanda: di che grado deve essere elevata la base per ottenere l'argomento?
Per esempio, calcola il logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) A quale potenza deve essere elevato \(4\) per ottenere \(16\)? Ovviamente il secondo. Ecco perché:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(5)\) per ottenere \(1\)? E quale grado rende qualsiasi numero un'unità? Zero, ovviamente!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(7)\) per ottenere \(\sqrt(7)\)? Nel primo - qualsiasi numero di primo grado è uguale a se stesso.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) A quale potenza deve essere elevato \(3\) per ottenere \(\sqrt(3)\)? Da sappiamo che è una potenza frazionaria, il che significa Radice quadrataè il grado \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Esempio : Calcola il logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Soluzione :
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\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Dobbiamo trovare il valore del logaritmo, indichiamolo come x. Ora usiamo la definizione del logaritmo: |
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\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Cosa collega \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Due, perché entrambi i numeri possono essere rappresentati da due: |
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\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
A sinistra, usiamo le proprietà dei gradi: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cpunto n)\) |
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\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Le basi sono uguali, si procede all'uguaglianza degli indicatori |
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\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
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Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \(\frac(2)(5)\) |
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La radice risultante è il valore del logaritmo |
Risposta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Perché è stato inventato il logaritmo?
Per capirlo, risolviamo l'equazione: \(3^(x)=9\). Basta abbinare \(x\) per far funzionare l'uguaglianza. Certo, \(x=2\).
Ora risolvi l'equazione: \(3^(x)=8\). Quanto è uguale a x? Questo è il punto.
I più geniali diranno: "X è poco meno di due". Come deve essere scritto esattamente questo numero? Per rispondere a questa domanda, hanno inventato il logaritmo. Grazie a lui, la risposta qui può essere scritta come \(x=\log_(3)(8)\).
Voglio sottolineare che \(\log_(3)(8)\), così come qualsiasi logaritmo è solo un numero. Sì, sembra insolito, ma è breve. Perché se volessimo scriverlo come decimale, sarebbe così: \(1.892789260714.....\)
Esempio : Risolvi l'equazione \(4^(5x-4)=10\)
Soluzione :
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\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) e \(10\) non possono essere ridotti alla stessa base. Quindi qui non puoi fare a meno del logaritmo. Usiamo la definizione del logaritmo: |
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\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Capovolgi l'equazione in modo che x sia a sinistra |
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\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Prima di noi. Sposta \(4\) a destra. E non aver paura del logaritmo, trattalo come un numero normale. |
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\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Dividi l'equazione per 5 |
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\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
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Ecco la nostra radice. Sì, sembra insolito, ma la risposta non è scelta. |
Risposta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logaritmi decimali e naturali
Come affermato nella definizione del logaritmo, la sua base può essere qualsiasi numero positivo, ad eccezione dell'unità \((a>0, a\neq1)\). E tra tutte le possibili basi, ce ne sono due che ricorrono così spesso che con esse è stata inventata una breve notazione speciale per i logaritmi:
Logaritmo naturale: un logaritmo la cui base è il numero di Eulero \(e\) (uguale a circa \(2.7182818…\)), e il logaritmo è scritto come \(\ln(a)\).
Questo è, \(\ln(a)\) equivale a \(\log_(e)(a)\)
Logaritmo decimale: un logaritmo in base 10 si scrive \(\lg(a)\).
Questo è, \(\lg(a)\) equivale a \(\log_(10)(a)\), dove \(a\) è un numero.
Identità logaritmica di base
I logaritmi hanno molte proprietà. Uno di questi si chiama "Identità logaritmica di base" e si presenta così:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Questa proprietà segue direttamente dalla definizione. Vediamo come è apparsa esattamente questa formula.
Ricordiamo breve nota definizioni di logaritmo:
se \(a^(b)=c\), allora \(\log_(a)(c)=b\)
Cioè, \(b\) è uguale a \(\log_(a)(c)\). Quindi possiamo scrivere \(\log_(a)(c)\) invece di \(b\) nella formula \(a^(b)=c\) . Si è scoperto \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identità logaritmica principale.
Puoi trovare il resto delle proprietà dei logaritmi. Con il loro aiuto, puoi semplificare e calcolare i valori delle espressioni con logaritmi, che sono difficili da calcolare direttamente.
Esempio : trova il valore dell'espressione \(36^(\log_(6)(5))\)
Soluzione :
Risposta : \(25\)
Come scrivere un numero come logaritmo?
Come accennato in precedenza, qualsiasi logaritmo è solo un numero. È vero anche il contrario: qualsiasi numero può essere scritto come logaritmo. Ad esempio, sappiamo che \(\log_(2)(4)\) è uguale a due. Quindi puoi scrivere \(\log_(2)(4)\) invece di due.
Ma anche \(\log_(3)(9)\) è uguale a \(2\), quindi puoi anche scrivere \(2=\log_(3)(9)\) . Allo stesso modo con \(\log_(5)(25)\), e con \(\log_(9)(81)\), ecc. Cioè, si scopre
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Quindi, se necessario, possiamo scrivere i due come un logaritmo con qualsiasi base ovunque (anche in un'equazione, anche in un'espressione, anche in una disuguaglianza) - scriviamo semplicemente la base quadrata come argomento.
È lo stesso con una tripla: può essere scritta come \(\log_(2)(8)\), o come \(\log_(3)(27)\), o come \(\log_(4)( 64) \) ... Qui scriviamo la base nel cubo come argomento:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
E con quattro:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
E con meno uno:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
E con un terzo:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Qualsiasi numero \(a\) può essere rappresentato come un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Esempio : trova il valore di un'espressione \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Soluzione :
Risposta : \(1\)
