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Registro per base. Espressioni logaritmiche

Quindi, abbiamo le potenze di due. Se prendi il numero dall'ultima riga, puoi facilmente trovare la potenza a cui devi alzare un due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora - infatti, la definizione del logaritmo:

Il logaritmo in base a dell'argomento x è la potenza alla quale il numero a deve essere elevato per ottenere il numero x .

Notazione: log a x \u003d b, dove a è la base, x è l'argomento, b è effettivamente ciò a cui è uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Potrebbe anche registrare 2 64 = 6 perché 2 6 = 64 .

L'operazione per trovare il logaritmo di un numero in una data base si chiama logaritmo. Quindi aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
logaritmo 2 2 = 1	logaritmo 2 4 = 2	logaritmo 2 8 = 3	logaritmo 2 16 = 4	logaritmo 2 32 = 5	logaritmo 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi sono considerati così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5 . Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte sul segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tali numeri sono chiamati irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti indefinitamente e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta essere irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

È importante capire che il logaritmo è un'espressione con due variabili (base e argomento). All'inizio, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l'argomento. Per evitare fastidiosi fraintendimenti, basta dare un'occhiata alla foto:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione del logaritmo. Ricordare: il logaritmo è la potenza, a cui è necessario elevare la base per ottenere l'argomento. È la base che viene elevata a potenza - nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in fondo! Dico questa meravigliosa regola ai miei studenti alla primissima lezione - e non c'è confusione.

Abbiamo capito la definizione: resta da imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che due fatti importanti seguono dalla definizione:

L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione del grado mediante un esponente razionale, a cui si riduce la definizione del logaritmo.
La base deve essere diversa dall'unità, poiché un'unità per qualsiasi potenza è ancora un'unità. Per questo motivo, la domanda "a quale potenza deve essere elevato uno per ottenere due" è priva di significato. Non esiste un tale grado!

Tali restrizioni sono chiamate intervallo valido(ODZ). Si scopre che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Si noti che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo) non è imposto. Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0,5 \u003d -1, perché 0.5 = 2−1 .

Tuttavia, ora stiamo considerando solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere l'ODZ del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dai compilatori dei problemi. Ma quando entrano in gioco equazioni e disuguaglianze logaritmiche, i requisiti del DHS diventeranno obbligatori. In effetti, nella base e nell'argomentazione possono esserci costruzioni molto forti, che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Ora considera schema generale calcoli logaritmici. Si compone di tre passaggi:

Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base più piccola possibile maggiore di uno. Lungo la strada, è meglio sbarazzarsi delle frazioni decimali;
Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
Il numero risultante b sarà la risposta.

È tutto! Se il logaritmo risulta essere irrazionale, questo si vedrà già al primo passaggio. Il requisito che la base sia maggiore di uno è molto rilevante: questo riduce la probabilità di errore e semplifica notevolmente i calcoli. Allo stesso modo con le frazioni decimali: se le converti immediatamente in quelle ordinarie, ci saranno molte volte meno errori.

Vediamo come funziona questo schema con esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Risposta ricevuta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Ricevuta una risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Facciamo e risolviamo l'equazione:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Ha ricevuto una risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non è rappresentato come una potenza di sette, perché 7 1< 14 < 7 2 ;
Dal paragrafo precedente risulta che il logaritmo non viene considerato;
La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota a ultimo esempio. Come assicurarsi che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? Molto semplice: basta scomporlo in fattori primi. Se ci sono almeno due fattori distinti nell'espansione, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se le esatte potenze del numero sono: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - il grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 non è una potenza esatta perché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado esatto;
35 = 7 5 - ancora una volta non un grado esatto;
14 \u003d 7 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Si noti inoltre che gli stessi numeri primi sono sempre esatte potenze di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni da avere un nome e una designazione speciali.

Il logaritmo decimale dell'argomento x è il logaritmo in base 10, cioè la potenza alla quale devi elevare il numero 10 per ottenere il numero x. Designazione: lg x .

Ad esempio, log 10 = 1; logaritmo 100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando nel libro di testo appare una frase come "Find lg 0.01", sappi che non si tratta di un errore di battitura. Questo è il logaritmo decimale. Tuttavia, se non sei abituato a tale designazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x

Tutto ciò che è vero per i logaritmi ordinari è vero anche per i decimali.

logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha la sua notazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Riguarda sul logaritmo naturale.

Il logaritmo naturale di x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale il numero e deve essere elevato per ottenere il numero x. Designazione: ln x .

Molti chiederanno: cos'altro è il numero e? Questo è un numero irrazionale valore esatto impossibile da trovare e registrare. Ecco solo i primi numeri:
e = 2,718281828459...

Non approfondiremo cos'è questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1 ; logaritmo e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, l'unità: ln 1 = 0.

Per logaritmi naturali valgono tutte le regole che valgono per i logaritmi ordinari.

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà fondamentali.

Devi conoscere queste regole: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con la stessa base: log UN X e registro UN si. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

tronco d'albero UN X+log UN si= registro UN (X · si);
tronco d'albero UN X-log UN si= registro UN (X : si).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Si prega di notare: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non sono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

logaritmo 6 4 + logaritmo 6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Sulla base di questo fatto, molti carte di prova. Sì, controllo: durante l'esame vengono offerte espressioni simili in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche).

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po 'il compito. Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vederlo ultima regola segue i primi due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: UN > 0, UN ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, ad es. puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:
[Didascalia]

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

[Didascalia]

Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarrà nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per l'addizione e la sottrazione dei logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:

Lascia che sia dato logaritmo logaritmico UN X. Quindi per qualsiasi numero C tale che C> 0 e C≠ 1, vale l'uguaglianza:
[Didascalia]
In particolare, se mettiamo C = X, noi abbiamo:
[Didascalia]

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Ora invertiamo il secondo logaritmo:

[Didascalia]

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:

[Didascalia]

Adesso sbarazziamoci di logaritmo decimale, trasferendosi in una nuova base:

[Didascalia]

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero N diventa l'esponente dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama identità logaritmica di base.

In effetti, cosa accadrà se il numero B elevare al potere in modo che B a questo punto fornisce un numero UN? Esatto: questo è lo stesso numero UN. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si bloccano" su di esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:
[Didascalia]

Nota che log 25 64 = log 5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

[Didascalia]

Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dell'esame :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità difficili da chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

tronco d'albero UN UN= 1 è l'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo in qualsiasi base UN da questa base stessa è uguale a uno.
tronco d'albero UN 1 = 0 è lo zero logaritmico. Base UN può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché UN 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Con lo sviluppo della società, la complessità della produzione, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dal consueto metodo contabile di addizione e sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, si arrivò al concetto di moltiplicazione e divisione. La riduzione dell'operazione ripetuta molte volte è diventata il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di elevazione a potenza furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro, puoi contare il tempo di occorrenza dei logaritmi.

Cenni storici

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcolo relativo alla moltiplicazione e alla divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche facevano un ottimo servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con operazioni più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per i gradi nel modulo numeri primi, ma anche per razionali arbitrari.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per la prima volta il nuovo termine "logaritmo di un numero". Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuovi tavoli, che furono usati con successo dagli scienziati per tre secoli. Ci è voluto molto tempo prima nuova operazione in algebra ha acquisito la sua forma finita. Il logaritmo è stato definito e le sue proprietà sono state studiate.

Solo nel XX secolo, con l'avvento del calcolatore e del computer, l'uomo ha abbandonato le antiche tavole che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.

Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x, che è la potenza di a, per ottenere il numero b. Questo è scritto come una formula: x = log a(b).

Ad esempio, log 3(9) sarà uguale a 2. Questo è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.

Pertanto, la definizione formulata pone solo una restrizione, i numeri a e b devono essere reali.

Varietà di logaritmi

La definizione classica è chiamata logaritmo reale ed è in realtà una soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è al limite e non interessa. Nota: 1 a qualsiasi potenza è 1.

Valore reale del logaritmo definito solo se la base e l'argomento è maggiore di 0 e la base non deve essere uguale a 1.

Posto speciale nel campo della matematica riprodurre logaritmi, che saranno nominati in base al valore della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Come variante di questa affermazione, sarà: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

È facile vedere dalle due regole precedenti che: log a(b p) = p * log a(b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo della somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca del logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici hanno usato la ben nota formula della teoria logaritmica dell'espansione in un polinomio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina l'accuratezza del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sul passaggio da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.

Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici difficili da implementare, hanno utilizzato tabelle logaritmiche precompilate, che hanno notevolmente accelerato l'intero lavoro.

In alcuni casi sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno dato meno precisione, ma hanno notevolmente accelerato la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, permette di trovare con il solito righello i valori della funzione in qualsiasi altro punto. Ingegneri a lungo per questi scopi veniva utilizzata la cosiddetta carta millimetrata.

Nel 17 ° secolo apparvero le prime condizioni di calcolo analogico ausiliario, che a XIX secolo acquisito un aspetto finito. Il dispositivo di maggior successo è stato chiamato regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha notevolmente accelerato il processo di tutti i calcoli ingegneristici, e questo è difficile da sopravvalutare. Attualmente, poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.

L'avvento di calcolatrici e computer ha reso inutile l'utilizzo di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Le seguenti formule vengono utilizzate per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi:

Transizione da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Come conseguenza della versione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

Il valore del logaritmo sarà positivo solo se sia la base che l'argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
Se la funzione logaritmica viene applicata ai lati destro e sinistro della disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Esempi di attività

Considera diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di posizionare il logaritmo in gradi:

Compito 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la notazione è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.

Uso pratico

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra tutt'altro vita reale che il logaritmo ha improvvisamente acquisito Grande importanza per descrivere oggetti mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non sia utilizzata. Ciò vale pienamente non solo per i campi della conoscenza naturale, ma anche per quelli umanistici.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi matematici ricerca e allo stesso tempo serviva da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi della descrizione delle leggi fisiche usando il logaritmo.

È possibile risolvere il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:

V = I * ln(M1/M2), dove

V è la velocità finale del velivolo.
I è l'impulso specifico del motore.
M 1 è la massa iniziale del razzo.
M 2 - massa finale.

Altro esempio importante- questo è l'uso nella formula di un altro grande scienziato, Max Planck, che serve per valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

S è una proprietà termodinamica.
k è la costante di Boltzmann.
Ω è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio sarebbe l'uso di formule in chimica contenenti il rapporto dei logaritmi. Ecco solo due esempi:

L'equazione di Nernst, la condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e la costante di equilibrio.
Anche il calcolo di costanti come l'indice di autoprolisi e l'acidità della soluzione non è completo senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

Ed è del tutto incomprensibile cosa c'entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso del valore dell'intensità dello stimolo rispetto al valore dell'intensità inferiore.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato anche in biologia. Si possono scrivere interi volumi sulle forme biologiche corrispondenti alle spirali logaritmiche.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, e governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono collegate progressione geometrica. Vale la pena fare riferimento al sito Web MatProfi e ci sono molti di questi esempi nelle seguenti aree di attività:

L'elenco potrebbe essere infinito. Dopo aver padroneggiato le leggi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.

Cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, l'argomento dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non credi? Bene. Ora, per circa 10 - 20 minuti tu:

1. Capire cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per questo ti basterà conoscere la tavola pitagorica e come un numero viene elevato a potenza ...

Sento che dubiti ... Beh, tieni il tempo! Andare!

Innanzitutto, risolvi mentalmente la seguente equazione:

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A proposito, ho un paio di siti più interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Come sai, quando moltiplichi le espressioni con le potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b * a c = a b + c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e successivamente, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di indicatori interi. Furono loro a servire per l'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque dove è necessario semplificare la moltiplicazione ingombrante alla semplice addizione. Se passi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorarci. Linguaggio semplice e accessibile.

Definizione in matematica

Il logaritmo è un'espressione della seguente forma: log a b=c, cioè il logaritmo di qualsiasi numero non negativo(cioè qualsiasi positivo) "b" alla sua base "a" è considerata la potenza di "c" a cui deve essere elevata la base "a" per ottenere infine il valore "b". Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare un grado tale che da 2 al grado richiesto ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli nella tua mente, otteniamo il numero 3! E giustamente, perché 2 elevato a 3 dà il numero 8 nella risposta.

Varietà di logaritmi

Per molti alunni e studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non fanno così paura, l'importante è capirne il significato generale e ricordarne le proprietà e alcune regole. Ce ne sono tre alcuni tipi espressioni logaritmiche:

Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2.7).
Decimale a, dove la base è 10.
Il logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.

Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, è necessario ricordare le loro proprietà e l'ordine delle azioni nelle loro decisioni.

Regole e alcune restrizioni

In matematica esistono diverse regole-limitazioni accettate come assioma, cioè non sono oggetto di discussione e sono vere. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero ed è anche impossibile estrarre la radice di un grado pari da numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:

la base "a" deve essere sempre maggiore di zero, e allo stesso tempo non essere uguale a 1, altrimenti l'espressione perderà il suo significato, perché "1" e "0" in qualsiasi misura sono sempre uguali ai loro valori;
se a > 0, allora a b > 0, risulta che "c" deve essere maggiore di zero.

Come risolvere i logaritmi?

Ad esempio, è stato assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x \u003d 100. È molto semplice, è necessario scegliere una tale potenza, elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 \u003d 100.

Ora rappresentiamo questa espressione come logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni convergono praticamente per trovare il grado in cui deve essere inserita la base del logaritmo per ottenere un dato numero.

Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare a lavorare con una tabella dei gradi. Sembra così:

Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati in modo intuitivo se hai una mentalità tecnica e una conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia, per grandi valori hai bisogno di una tabella dei gradi. Può essere utilizzato anche da coloro che non capiscono assolutamente nulla in argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c, a cui viene elevato il numero a. All'intersezione nelle celle vengono determinati i valori dei numeri, che sono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la primissima cella con il numero 10 e al quadrato otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!

Equazioni e disuguaglianze

Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'equazione logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo di 81 in base 3, che è quattro (log 3 81 = 4). Per potenze negative, le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è l'argomento dei "logaritmi". Considereremo esempi e soluzioni di equazioni un po 'più in basso, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come sono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.

Viene data un'espressione della seguente forma: log 2 (x-1) > 3 - lo è disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto "x" è sotto il segno del logaritmo. E anche nell'espressione vengono confrontate due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.

La differenza più importante tra equazioni logaritmiche e disuguaglianze è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo di 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve la disuguaglianza, sia l'intervallo di valori accettabili e i punti che rompono questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta dell'equazione, ma una serie continua o un insieme di numeri.

Teoremi di base sui logaritmi

Quando si risolvono compiti primitivi sulla ricerca dei valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disuguaglianze logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare in pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. Faremo conoscenza con esempi di equazioni in seguito, analizziamo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.

L'identità di base ha questo aspetto: a logaB =B. Si applica solo se a è maggiore di 0, diverso da uno, e B è maggiore di zero.
Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso, il prerequisito è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione per questa formula di logaritmi, con esempi e una soluzione. Sia logaritmico a s 1 = f 1 e logaritmico a s 2 = f 2 , allora a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà dei gradi ), e ancora per definizione: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che doveva essere dimostrato.
Il logaritmo del quoziente è così: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: log a q b n = n/q log a b.

Questa formula si chiama "proprietà del grado del logaritmo". Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati regolari. Diamo un'occhiata alla prova.

Lascia log a b \u003d t, risulta a t \u003d b. Se elevi entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;

ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n , quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è stato dimostrato.

Esempi di problemi e disuguaglianze

I tipi più comuni di problemi logaritmici sono esempi di equazioni e disuguaglianze. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono inclusi anche nella parte obbligatoria degli esami di matematica. Per entrare in un'università o superare i test di ammissione in matematica, devi sapere come risolvere correttamente tali compiti.

Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, tuttavia, è possibile applicare determinate regole a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Prima di tutto, dovresti scoprire se l'espressione può essere semplificata o ridotta a vista generale. Puoi semplificare le espressioni logaritmiche lunghe se usi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli presto.

Quando si risolvono equazioni logaritmiche, è necessario determinare quale tipo di logaritmo abbiamo davanti a noi: un esempio di espressione può contenere un logaritmo naturale o decimale.

Ecco alcuni esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che è necessario determinare il grado in cui la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per soluzioni di logaritmi naturali, è necessario applicare identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata a esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.

Come usare le formule logaritmiche: con esempi e soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei principali teoremi sui logaritmi.

La proprietà del logaritmo del prodotto può essere utilizzata in attività in cui è necessario scomporre un valore elevato del numero b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà del grado del logaritmo, siamo riusciti a risolvere a prima vista un'espressione complessa e irrisolvibile. È solo necessario fattorizzare la base e quindi estrarre i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.

Compiti dall'esame

I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Unified State Exam (esame di stato per tutti i diplomati). Di solito questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la più semplice parte di prova esame), ma anche nella parte C (i compiti più difficili e voluminosi). L'esame presuppone un'accurata e perfetta conoscenza dell'argomento "Logaritmi naturali".

Esempi e soluzioni ai problemi sono presi dal funzionario USA le opzioni. Vediamo come vengono risolti tali compiti.

Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione, semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2 , dalla definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4 , quindi 2x = 17; x = 8,5.

È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia ingombrante e confusa.
Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, togliendo l'esponente dell'esponente dell'espressione, che è sotto il segno del logaritmo e come sua base, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.

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