Prodotto vettoriale di vettori i j k. Prodotto vettoriale di vettori dati da coordinate

Prima di dare il concetto di prodotto vettoriale, passiamo alla questione dell'orientamento della terna ordinata dei vettori a → , b → , c → nello spazio tridimensionale.

Per cominciare, mettiamo da parte i vettori a → , b → , c → da un punto. L'orientamento della tripla a → , b → , c → è destra o sinistra, a seconda della direzione del vettore c → . Dalla direzione in cui viene effettuata la svolta più breve dal vettore a → a b → dall'estremità del vettore c → , sarà determinata la forma della tripla a → , b → , c →.

Se la rotazione più breve è in senso antiorario, viene chiamata la tripla dei vettori a → , b → , c → Giusto se in senso orario - Sinistra.

Quindi, prendi due vettori non collineari a → e b → . Rimandiamo quindi i vettori A B → = a → e A C → = b → dal punto A. Costruiamo un vettore A D → = c → , che sia simultaneamente perpendicolare sia ad A B → che ad A C → . Quindi, quando costruiamo il vettore A D → = c →, possiamo fare due cose, dandogli o una direzione o quella opposta (vedi illustrazione).

Il trio ordinato di vettori a → , b → , c → può essere, come abbiamo scoperto, destro o sinistro a seconda della direzione del vettore.

Da quanto sopra, possiamo introdurre la definizione di un prodotto vettoriale. Questa definizioneè dato per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale.

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori a → e b → chiameremo tale vettore dato in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale tale che:

• se i vettori a → e b → sono collineari, sarà zero;
• sarà perpendicolare sia al vettore a →​​ che al vettore b → cioè ∠ un → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• la sua lunghezza è determinata dalla formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• la tripletta di vettori a → , b → , c → ha lo stesso orientamento del dato sistema di coordinate.

prodotto vettoriale vettori a → e b → ha la seguente notazione: a → × b → .

Coordinate incrociate del prodotto

Poiché ogni vettore ha determinate coordinate nel sistema di coordinate, è possibile introdurre una seconda definizione del prodotto vettoriale, che ti consentirà di trovare le sue coordinate dalle coordinate date dei vettori.

Definizione 2

In un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) chiama il vettore c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dove i → , j → , k → sono vettori di coordinate.

Il prodotto vettoriale può essere rappresentato come determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, dove la prima riga sono i vettori orta i → , j → , k → , la seconda riga contiene le coordinate del vettore a → , e la terza è le coordinate del vettore b → in un dato sistema di coordinate rettangolari, questo determinante di matrice ha il seguente aspetto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Espandendo questo determinante sugli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietà incrociate del prodotto

È noto che il prodotto vettoriale in coordinate è rappresentato come determinante della matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , quindi sulla base proprietà determinanti della matrice il seguente proprietà del prodotto vettoriale:

1. anticommutatività a → × b → = - b → × a → ;
2. distributività a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatività λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b → , dove λ è un numero reale arbitrario.

Queste proprietà non hanno dimostrazioni complicate.

Ad esempio, possiamo dimostrare la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale.

Dimostrazione di anticommutatività

Per definizione, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se due righe della matrice vengono scambiate, allora il valore del determinante della matrice dovrebbe cambiare nell'opposto, quindi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , che e dimostra l'anticommutatività del prodotto vettoriale.

Prodotto vettoriale - Esempi e soluzioni

Nella maggior parte dei casi, esistono tre tipi di attività.

Nei problemi del primo tipo, di solito vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo tra loro, ma è necessario trovare la lunghezza del prodotto incrociato. In questo caso, usa la seguente formula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Esempio 1

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori a → e b → se a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 è noto.

Soluzione

Usando la definizione della lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, risolviamo questo problema: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Risposta: 15 2 2 .

I compiti del secondo tipo hanno una connessione con le coordinate dei vettori, contengono un prodotto vettoriale, la sua lunghezza, ecc. vengono cercati attraverso le coordinate note dei vettori dati a → = (a x ; a y ; a z) E b → = (b x ; b y ; b z) .

Per questo tipo di attività, puoi risolvere molte opzioni per le attività. Ad esempio, non le coordinate dei vettori a → e b → , ma le loro espansioni in vettori di coordinate della forma b → = b x io → + b y j → + b z k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oppure i vettori a → e b → possono essere dati dalle coordinate dei loro punti di inizio e fine.

Considera i seguenti esempi.

Esempio 2

Due vettori sono impostati in un sistema di coordinate rettangolare a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Trova il loro prodotto vettoriale.

Soluzione

Secondo la seconda definizione, troviamo il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k → .

Se scriviamo il prodotto incrociato in termini di determinante della matrice, allora la soluzione questo esempio ha questo aspetto: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Risposta: a → × b → = - 2 io → - 2 j → - 2 k → .

Esempio 3

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori i → - j → e i → + j → + k → , dove i → , j → , k → - orts di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Soluzione

Per prima cosa, troviamo le coordinate del dato prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → nel dato sistema di coordinate rettangolari.

È noto che i vettori i → - j → e i → + j → + k → hanno coordinate (1 ; - 1 ; 0) e (1 ; 1 ; 1) rispettivamente. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale usando il determinante di matrice, quindi abbiamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Pertanto, il prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → ha coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) nel dato sistema di coordinate.

Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale con la formula (vedi la sezione su come trovare la lunghezza del vettore): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Risposta: io → - j → × io → + j → + k → = 6 . .

Esempio 4

Le coordinate di tre punti A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sono date in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Trova un vettore perpendicolare ad A B → e A C → allo stesso tempo.

Soluzione

I vettori A B → e A C → hanno le seguenti coordinate (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1) rispettivamente. Trovato il prodotto vettoriale dei vettori A B → e A C → , è ovvio che esso è un vettore perpendicolare per definizione sia ad A B → che ad A C → , cioè è la soluzione del nostro problema. Trovalo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Risposta: - 6 i → + j → - 4 k → . è uno dei vettori perpendicolari.

I problemi del terzo tipo sono incentrati sull'utilizzo delle proprietà del prodotto vettoriale di vettori. Dopo aver applicato quale, otterremo una soluzione al problema dato.

Esempio 5

I vettori a → e b → sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluzione

Dalla proprietà di distribuzione del prodotto vettoriale, possiamo scrivere 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Per la proprietà dell'associatività, eliminiamo i coefficienti numerici oltre il segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

I prodotti vettoriali a → × a → e b → × b → sono uguali a 0, poiché a → × a → = a → a → sin 0 = 0 e b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , quindi 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dall'anticommutatività del prodotto vettoriale segue - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo l'uguaglianza 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Per condizione, i vettori a → e b → sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a π 2 . Ora resta solo da sostituire i valori trovati nelle formule corrispondenti: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Risposta: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

La lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori per definizione è a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Poiché è già noto (dal corso scolastico) che l'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto delle lunghezze dei suoi due lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra questi lati. Pertanto, la lunghezza del prodotto vettoriale è uguale all'area di un parallelogramma - un triangolo raddoppiato, vale a dire il prodotto dei lati sotto forma di vettori a → e b → , licenziato da un punto, dal seno dell'angolo tra loro sin ∠ a → , b → .

Questo è il significato geometrico del prodotto vettoriale.

Il significato fisico del prodotto vettoriale

In meccanica, una delle branche della fisica, grazie al prodotto vettoriale si può determinare il momento di forza relativo ad un punto nello spazio.

Definizione 3

Sotto il momento di forza F → , applicato al punto B , relativo al punto A capiremo il seguente prodotto vettoriale A B → × F → .

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IL calcolatrice in linea calcola il prodotto incrociato dei vettori. Viene fornita una soluzione dettagliata. Per calcolare il prodotto vettoriale dei vettori, inserisci le coordinate dei vettori nelle celle e fai clic su "Calcola".

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Prodotto vettoriale di vettori

Prima di procedere alla definizione del prodotto vettoriale di vettori, considera i concetti terna ordinata di vettori, terna sinistra di vettori, terna destra di vettori.

Definizione 1. Vengono chiamati tre vettori ordinato triplo(o triplo) se viene indicato quale di questi vettori è il primo, quale il secondo e quale il terzo.

Registrazione cba- significa - il primo è un vettore C, il secondo è il vettore B e il terzo è il vettore UN.

Definizione 2. Una terna di vettori non complanari abc detta destra (sinistra) se, ridotti ad un inizio comune, questi vettori si dispongono come sono rispettivamente grande, indice non piegato e dita medie mano destra (sinistra).

La definizione 2 può essere formulata in un altro modo.

Definizione 2. Una terna di vettori non complanari abc si dice right (left) se, ridotto ad un'origine comune, il vettore C situata dall'altra parte del piano definito dai vettori UN E B, da dove la svolta più breve da UN A B eseguito in senso antiorario (in senso orario).

Trio vettoriale abc mostrato in fig. 1 è giusto e triplo abc mostrato in fig. 2 è rimasto.

Se due terne di vettori sono destre o sinistre, si dice che hanno lo stesso orientamento. Altrimenti si dice che sono di orientamento opposto.

Definizione 3. Un sistema di coordinate cartesiane o affini è detto destro (sinistro) se i tre vettori di base formano una terna destra (sinistra).

Per chiarezza, in quanto segue considereremo solo i sistemi di coordinate destrorsi.

Definizione 4. arte vettoriale vettore UN per vettore B detto vettore Con, indicato dal simbolo c=[ab] (O c=[un, b], O c=a×b) e soddisfano i seguenti tre requisiti:

• lunghezza del vettore Conè uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori UN E B al seno dell'angolo φ fra loro:

|C|=|[ab]|=|UN||B|sinφ;

(1)

• vettore Con ortogonale a ciascuno dei vettori UN E B;
• vettore C diretto in modo che i tre abcè giusto.

Il prodotto vettoriale dei vettori ha le seguenti proprietà:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilità fattori);
• [(λa)B]=λ [ab] (Compatibilità relativo al fattore numerico);
• [(a+b)C]=[UNC]+[BC] (distribuzione relativo alla somma dei vettori);
• [aa]=0 per qualsiasi vettore UN.

Proprietà geometriche del prodotto vettoriale di vettori

Teorema 1. Affinché due vettori siano collineari, è necessario e sufficiente che il loro prodotto vettoriale sia nullo.

Prova. Necessità. Lasciamo i vettori UN E B collineare. Quindi l'angolo tra loro è 0 o 180° e sinφ=peccato180=peccato 0=0. Pertanto, tenendo conto dell'espressione (1), la lunghezza del vettore C uguale a zero. Poi C vettore nullo.

Adeguatezza. Sia il prodotto vettoriale dei vettori UN E B nav a zero: [ ab]=0. Dimostriamo che i vettori UN E B collineare. Se almeno uno dei vettori UN E B zero, allora questi vettori sono collineari (poiché il vettore zero ha una direzione indefinita e può essere considerato collineare a qualsiasi vettore).

Se entrambi i vettori UN E B diverso da zero, quindi | UN|>0, |B|>0. Poi da [ ab]=0 e dalla (1) segue che sinφ=0. Da qui i vettori UN E B collineare.

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2. La lunghezza (modulo) del prodotto vettoriale [ ab] è uguale all'area S parallelogramma costruito su vettori ridotti ad un'origine comune UN E B.

Prova. Come sai, l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti di questo parallelogramma e il seno dell'angolo tra di loro. Quindi:

Allora il prodotto vettoriale di questi vettori ha la forma:

Espandendo il determinante sugli elementi della prima riga, otteniamo la scomposizione del vettore a×b base io, j, k, che è equivalente alla formula (3).

Dimostrazione del Teorema 3. Comporre tutte le possibili coppie di vettori di base io, j, k e calcola il loro prodotto vettoriale. Si tenga presente che i vettori di base sono tra loro ortogonali, formano una terna destra e hanno lunghezza unitaria (in altre parole, possiamo assumere che io={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, K=(0, 0, 1)). Poi abbiamo:

Dall'ultima uguaglianza e relazioni (4), otteniamo:

Comporre una matrice 3×3, la cui prima riga sono i vettori di base io, j, k, e le righe rimanenti sono riempite con elementi di vettori UN E B:

Quindi, il risultato del prodotto incrociato dei vettori UN E B sarà un vettore:

.

Esempio 2. Trova il prodotto vettoriale dei vettori [ ab], dove il vettore UN rappresentato da due punti. Punto di partenza del vettore a: , il punto finale del vettore UN: , vettore B ha la forma .

Soluzione Spostare il primo vettore all'origine. Per fare ciò, sottrai dalle corrispondenti coordinate del punto finale le coordinate del punto iniziale:

Calcoliamo il determinante di questa matrice espandendolo nella prima riga. Come risultato di questi calcoli, otteniamo il prodotto vettoriale dei vettori UN E B.

prodotto vettorialeè uno pseudovettore perpendicolare al piano costruito da due fattori, che è il risultato dell'operazione binaria "moltiplicazione vettoriale" sui vettori nello spazio euclideo tridimensionale. Il prodotto vettoriale non ha le proprietà di commutatività e associatività (è anticommutativo) e, a differenza del prodotto scalare di vettori, è un vettore. Ampiamente usato in molte applicazioni tecniche e fisiche. Ad esempio, il momento angolare e la forza di Lorentz sono scritti matematicamente come prodotto incrociato. Il prodotto vettoriale è utile per "misurare" la perpendicolarità dei vettori: il modulo del prodotto vettoriale di due vettori è uguale al prodotto dei loro moduli se sono perpendicolari e diminuisce a zero se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Si può definire un prodotto vettoriale in diversi modi, e teoricamente, in uno spazio di qualsiasi dimensione n, si può calcolare il prodotto di n-1 vettori, ottenendo un unico vettore perpendicolare a tutti loro. Ma se il prodotto è limitato a prodotti binari non banali con risultati vettoriali, allora il prodotto vettoriale tradizionale è definito solo in spazi tridimensionali e settedimensionali. Il risultato del prodotto vettoriale, come il prodotto scalare, dipende dalla metrica dello spazio euclideo.

A differenza della formula per il calcolo del prodotto scalare dalle coordinate dei vettori in un sistema di coordinate rettangolari tridimensionale, la formula per il prodotto vettoriale dipende dall'orientamento del sistema di coordinate rettangolari, o, in altre parole, dalla sua "chiralità".

Definizione:
Il prodotto vettoriale di un vettore a e di un vettore b nello spazio R 3 è chiamato vettore c che soddisfa i seguenti requisiti:
la lunghezza del vettore c è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori a e b e il seno dell'angolo φ tra di loro:
|c|=|a||b|peccato φ;
il vettore c è ortogonale a ciascuno dei vettori a e b;
il vettore c è orientato in modo che la terna dei vettori abc sia giusta;
nel caso dello spazio R7 è richiesta l'associatività della terna dei vettori a,b,c.
Designazione:
c===a×b

Riso. 1. L'area di un parallelogramma è uguale al modulo del prodotto vettoriale

Proprietà geometriche del prodotto vettoriale:
Condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di due vettori diversi da zero è l'uguaglianza del loro prodotto vettoriale con zero.

Modulo prodotto incrociato uguale area S parallelogramma costruito su vettori ridotti ad un'origine comune UN E B(vedi figura 1).

Se e- vettore unitario ortogonale ai vettori UN E B e scelto in modo che il triplo a, b, e- giusto, e S- l'area del parallelogramma costruito su di essi (ridotta a un'origine comune), quindi la seguente formula è vera per il prodotto vettoriale:
=S e

Fig.2. Il volume del parallelepipedo quando si utilizza il vettore e il prodotto scalare dei vettori; linee tratteggiate mostrare le proiezioni del vettore c su a × b e del vettore a su b × c, il primo passo è trovare i prodotti interni

Se C- qualsiasi vettore π - qualsiasi piano contenente questo vettore, e- vettore unitario giacente nel piano π e ortogonale a c, g- vettore unitario ortogonale al piano π e diretto in modo che la terna di vettori eccè giusto, quindi per qualsiasi sdraiato sull'aereo π vettore UN la formula corretta è:
=Pr e a |c|g
dove Pr e a è la proiezione del vettore e su a
|c|-modulo del vettore c

Quando si utilizzano prodotti vettoriali e scalari, è possibile calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori ridotti a un'origine comune a, b E C. Un tale prodotto di tre vettori si dice misto.
V=|a (b×c)|
La figura mostra che questo volume può essere trovato in due modi: il risultato geometrico si conserva anche quando i prodotti “scalare” e “vettoriale” vengono scambiati:
V=a×b c=a b×c

Il valore del prodotto vettoriale dipende dal seno dell'angolo tra i vettori originali, quindi il prodotto vettoriale può essere pensato come il grado di "perpendicolarità" dei vettori, proprio come il prodotto scalare può essere pensato come il grado di "parallelismo". Il prodotto vettoriale di due vettori unitari è uguale a 1 (un vettore unitario) se i vettori iniziali sono perpendicolari e uguale a 0 (vettore zero) se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Espressione del prodotto incrociato in coordinate cartesiane
Se due vettori UN E B sono definiti dalle loro coordinate cartesiane rettangolari, o più precisamente, sono rappresentati in base ortonormale
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
e il sistema di coordinate è giusto, allora il loro prodotto vettoriale ha la forma
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Per ricordare questa formula:
i =∑ε ijk a j b k
Dove ε ijk- il simbolo di Levi-Civita.

In questa lezione esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto vettoriale di vettori E prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare di vettori, ne serve sempre di più. Questa è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo è sbagliato. In questa sezione di matematica superiore, generalmente c'è poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale in geometria analitica, come molti vedranno o hanno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso in lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali, e i vettori piatti con due coordinate verranno omessi. Perché? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto dei vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Lascia che siano lettere imperiture.

L'azione stessa denotato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a designare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare di vettori sono coinvolti due vettori, e qui si moltiplicano anche due vettori qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare di vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto vettoriale dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In vari letteratura educativa anche la notazione può variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi i commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collineare vettori , prese in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonali ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Quindi, possiamo evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente , indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare un po' più avanti il ​​caso dei vettori collineari.

2) Vettori presi rigorosamente certo ordine : – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" ad "a". Il risultato della moltiplicazione vettorialeè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori . Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto vettoriale non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto di lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula stiamo parlando della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruita su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Non meno di fatto importanteè che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè, . Naturalmente, il vettore diretto in modo opposto (freccia cremisi) è anche ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è orientato in modo che base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su transizione verso una nuova base di cui ho parlato in dettaglio orientamento del piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Spiegherò sulle tue dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con il vettore. Anulare e mignolo premere nel palmo della mano. Di conseguenza pollice- il prodotto vettoriale cercherà. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi "torcono" o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "tiri fuori l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile combinalo con l '"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello quello che ora conosci orientato a destra e a sinistra basi, perché le dichiarazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una linea retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una linea retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare il parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora E . Si noti che il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo è spesso trascurato e scritto che è anche uguale a zero.

caso specialeè il prodotto vettoriale di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi verificare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trovare la lunghezza del prodotto vettoriale di vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, non si tratta di un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali nelle voci della condizione. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stato chiesto della lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è necessario trovare piazza parallelogramma costruito su vettori . L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale:

Risposta:

Tieni presente che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto zona della figura, rispettivamente, la dimensione è in unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro risposta. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone possibilità verrà restituito per la revisione. Sebbene questo non sia un pignolo particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca cose semplici e / o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo momento dovrebbe essere sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in matematica superiore, e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente attaccato alla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica, il compito è davvero molto comune, i triangoli possono generalmente essere torturati.

Per risolvere altri problemi, abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, valgono le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento di solito non è distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori conta.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti possono essere facilmente portate fuori dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A dimostrazione, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, eliminiamo le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . Il problema è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Dividiamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Al primo passo esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Ancora nessuna parola sulla lunghezza!

(1) Sostituiamo le espressioni dei vettori .

(2) Usando le leggi distributive, apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Utilizzando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà piacevole . Nel secondo termine, usiamo la proprietà anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore si è rivelato espresso attraverso un vettore, che era ciò che era necessario ottenere:

2) Al secondo passaggio, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'Esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo desiderato:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti in una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune in lavoro di controllo, ecco un esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Trova se

Soluzione breve e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento nello studiare gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è molto semplice: scriviamo i vettori delle coordinate nella riga superiore del determinante, "impacchettamo" le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga, e mettiamo in rigoroso ordine- prima le coordinate del vettore "ve", quindi le coordinate del vettore "doppio-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, anche le linee dovrebbero essere scambiate:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
UN)
B)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, allora il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Qui, forse, ci sono tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Tutto, infatti, poggerà sulla definizione, sul significato geometrico e su un paio di formule funzionanti.

Il prodotto misto di vettori è prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non possono aspettare finché non vengono calcolati.

Prima di nuovo la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori , prese in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di segno "+" se la base è destra, e di segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono tracciate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, noterò il fatto ovvio: il prodotto misto di vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto attraverso e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

A-priorato il prodotto misto è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non preoccupiamoci più del concetto di orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che al volume può essere aggiunto un segno meno. In parole semplici, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

Angolo tra vettori

Per poter introdurre il concetto di prodotto incrociato di due vettori, dobbiamo prima trattare un concetto come l'angolo tra questi vettori.

Diamoci due vettori $\overline(α)$ e $\overline(β)$. Prendiamo un punto $O$ nello spazio e mettiamo da parte i vettori $\overline(α)=\overline(OA)$ e $\overline(β)=\overline(OB)$ da esso, quindi l'angolo $AOB $ sarà chiamato angolo tra questi vettori (Fig. 1).

Notazione: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Il concetto di prodotto incrociato di vettori e la formula per trovarlo

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore perpendicolare a entrambi i vettori dati, e la sua lunghezza sarà uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori con il seno dell'angolo tra questi vettori, e questo vettore con due iniziali ha lo stesso orientamento come sistema di coordinate cartesiane.

Notazione: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicamente sembra così:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ e $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sono lo stesso orientato (Fig. 2)

Ovviamente, il prodotto esterno dei vettori sarà uguale al vettore zero in due casi:

1. Se la lunghezza di uno o entrambi i vettori è zero.
2. Se l'angolo tra questi vettori è uguale a $180^\circ$ o $0^\circ$ (perché in questo caso il seno è uguale a zero).

Per vedere chiaramente come si trova il prodotto incrociato dei vettori, considera i seguenti esempi di soluzione.

Esempio 1

Trova la lunghezza del vettore $\overline(δ)$, che sarà il risultato del prodotto incrociato di vettori, di coordinate $\overline(α)=(0,4,0)$ e $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Soluzione.

Rappresentiamo questi vettori nello spazio delle coordinate cartesiane (Fig. 3):

Figura 3. Vettori nello spazio delle coordinate cartesiane. Author24 - scambio online di documenti degli studenti

Vediamo che questi vettori giacciono rispettivamente sugli assi $Ox$ e $Oy$. Pertanto, l'angolo tra loro sarà uguale a $90^\circ$. Troviamo le lunghezze di questi vettori:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Allora, per la Definizione 1, otteniamo il modulo $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Risposta: $12$.

Calcolo del prodotto vettoriale per le coordinate dei vettori

La definizione 1 implica immediatamente un modo per trovare il prodotto vettoriale per due vettori. Poiché un vettore, oltre a un valore, ha anche una direzione, è impossibile trovarlo solo utilizzando un valore scalare. Ma oltre a questo, c'è un altro modo per trovare i vettori che ci vengono dati usando le coordinate.

Diamoci i vettori $\overline(α)$ e $\overline(β)$, che avranno rispettivamente le coordinate $(α_1,α_2,α_3)$ e $(β_1,β_2,β_3)$. Quindi il vettore del prodotto incrociato (ovvero le sue coordinate) può essere trovato con la seguente formula:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Altrimenti, espandendo il determinante, otteniamo le seguenti coordinate

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Esempio 2

Trova il vettore del prodotto vettoriale dei vettori collineari $\overline(α)$ e $\overline(β)$ con coordinate $(0,3,3)$ e $(-1,2,6)$.

Soluzione.

Usiamo la formula sopra. Ottenere

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Risposta: $(12,-3,3)$.

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Per tre vettori misti arbitrari $\overline(α)$, $\overline(β)$ e $\overline(γ)$, così come $r∈R$, valgono le seguenti proprietà:

Esempio 3

Trova l'area di un parallelogramma i cui vertici hanno coordinate $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ e $(3,8,0) $.

Soluzione.

Innanzitutto, disegna questo parallelogramma nello spazio delle coordinate (Fig. 5):

Figura 5. Parallelogramma nello spazio delle coordinate. Author24 - scambio online di documenti degli studenti

Vediamo che i due lati di questo parallelogramma sono costruiti utilizzando vettori collineari con coordinate $\overline(α)=(3,0,0)$ e $\overline(β)=(0,8,0)$. Usando la quarta proprietà otteniamo:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Trova il vettore $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Quindi

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$