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Esempi di progressione geometrica. La somma di una progressione geometrica decrescente infinita e del paradosso di Zenone

Lezione e presentazione sul tema: "Sequenze numeriche. Progressione geometrica"

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Ragazzi, oggi faremo conoscenza con un altro tipo di progressione.
L'argomento della lezione di oggi è la progressione geometrica.

Progressione geometrica

Definizione. Una sequenza numerica in cui ogni termine, a partire dal secondo, è uguale al prodotto del precedente per un numero fisso, si chiama progressione geometrica.
Definiamo la nostra sequenza in modo ricorsivo: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
dove b e q sono determinati numeri dati. Il numero q è chiamato denominatore della progressione.

Esempio. 1,2,4,8,16… Progressione geometrica, in cui il primo membro è uguale a uno, e $q=2$.

Esempio. 8,8,8,8… Una progressione geometrica il cui primo termine è otto,
e $q=1$.

Esempio. 3,-3,3,-3,3... Una progressione geometrica il cui primo termine è tre,
e $q=-1$.

La progressione geometrica ha le proprietà della monotonicità.
Se $b_(1)>0$, $q>1$,
quindi la sequenza è crescente.
Se $b_(1)>0$, $0 La sequenza è solitamente indicata come: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Proprio come in una progressione aritmetica, se in progressione geometrica il numero di elementi è finito, allora la progressione si chiama progressione geometrica finita.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Si noti che se la successione è una progressione geometrica, allora anche la successione dei quadrati è una progressione geometrica. La seconda sequenza ha il primo termine $b_(1)^2$ e il denominatore $q^2$.

Formula dell'ennesimo membro di una progressione geometrica

La progressione geometrica può anche essere specificata in forma analitica. Vediamo come fare:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Possiamo facilmente vedere lo schema: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
La nostra formula si chiama "formula dell'n-esimo membro di una progressione geometrica".

Torniamo ai nostri esempi.

Esempio. 1,2,4,8,16… Una progressione geometrica il cui primo termine è uguale a uno,
e $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Esempio. 16,8,4,2,1,1/2… Una progressione geometrica il cui primo termine è sedici e $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Esempio. 8,8,8,8… Una progressione geometrica in cui il primo termine è otto e $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Esempio. 3,-3,3,-3,3… Una progressione geometrica il cui primo termine è tre e $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Esempio. Data una progressione geometrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Si sa che $b_(1)=6, q=3$. Trova $b_(5)$.
b) Si sa che $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Trova n.
c) Si sa che $q=-2, b_(6)=96$. Trova $b_(1)$.
d) Si sa che $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Trova q.

Soluzione.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Esempio. La differenza tra il settimo e il quinto membro della progressione geometrica è 192, la somma del quinto e del sesto membro della progressione è 192. Trova il decimo membro di questa progressione.

Soluzione.
Sappiamo che: $b_(7)-b_(5)=192$ e $b_(5)+b_(6)=192$.
Sappiamo anche: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Poi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Abbiamo un sistema di equazioni:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Uguagliando, le nostre equazioni ottengono:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Abbiamo due soluzioni q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Sostituire successivamente nella seconda equazione:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nessuna soluzione.
Abbiamo ottenuto questo: $b_(1)=4, q=2$.
Troviamo il decimo termine: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

La somma di una progressione geometrica finita

Supponiamo di avere una progressione geometrica finita. Calcoliamo, oltre che per una progressione aritmetica, la somma dei suoi membri.

Sia data una progressione geometrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Introduciamo la notazione per la somma dei suoi termini: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Nel caso in cui $q=1$. Tutti i membri della progressione geometrica sono uguali al primo membro, allora è ovvio che $S_(n)=n*b_(1)$.
Consideriamo ora il caso $q≠1$.
Moltiplicare l'importo di cui sopra per q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Abbiamo ottenuto la formula per la somma di una progressione geometrica finita.

Esempio.
Trova la somma dei primi sette termini di una progressione geometrica il cui primo termine è 4 e il denominatore è 3.

Soluzione.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Esempio.
Trova il quinto membro della progressione geometrica, che è noto: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluzione.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietà caratteristica di una progressione geometrica

Ragazzi, data una progressione geometrica. Consideriamo i suoi tre membri consecutivi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Lo sappiamo:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Poi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Se la progressione è finita, allora questa uguaglianza vale per tutti i termini tranne il primo e l'ultimo.
Se non si sa in anticipo che tipo di sequenza ha la sequenza, ma si sa che: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Quindi possiamo tranquillamente dire che questa è una progressione geometrica.

Una sequenza numerica è una progressione geometrica solo quando il quadrato di ciascuno dei suoi termini è uguale al prodotto dei suoi due termini vicini della progressione. Non dimenticare che per una progressione finita questa condizione non è soddisfatta per il primo e l'ultimo termine.

Diamo un'occhiata a questa identità: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ è chiamata media geometrica di a e b.

Il modulo di qualsiasi membro di una progressione geometrica è uguale alla media geometrica dei due membri ad esso adiacenti.

Esempio.
Trova x tale che $x+2; 2x+2; 3x+3$ erano tre membri consecutivi di una progressione geometrica.

Soluzione.
Usiamo la proprietà caratteristica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ e $x_(2)=-1$.
Sostituisci in sequenza nell'espressione originale, le nostre soluzioni:
Con $x=2$, abbiamo la sequenza: 4;6;9 è una progressione geometrica con $q=1.5$.
Con $x=-1$, otteniamo la sequenza: 1;0;0.
Risposta: $x=2.$

Compiti per soluzione indipendente

1. Trova l'ottavo primo membro della progressione geometrica 16; -8; 4; -2 ....
2. Trova il decimo membro della progressione geometrica 11,22,44….
3. È noto che $b_(1)=5, q=3$. Trova $b_(7)$.
4. È noto che $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Trova n.
5. Trova la somma dei primi 11 membri della progressione geometrica 3;12;48….
6. Trova x tale che $3x+4; 2x+4; x+5$ sono tre membri consecutivi di una progressione geometrica.

Lo scopo della lezione: introdurre gli studenti a un nuovo tipo di sequenza: una progressione geometrica infinitamente decrescente.
Compiti:
formulazione dell'idea iniziale del limite sequenza numerica;
conoscenza di un altro modo di convertire frazioni periodiche infinite in frazioni ordinarie usando la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente;
lo sviluppo delle qualità intellettuali della personalità degli scolari, come il pensiero logico, la capacità di azioni valutative, la generalizzazione;
educazione all'attività, mutuo soccorso, collettivismo, interesse per la materia.

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Anteprima:

Lezione correlata “Progressione geometrica infinitamente decrescente” (algebra, grado 10)

Lo scopo della lezione: introducendo gli studenti a un nuovo tipo di sequenza: una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Compiti:

formulazione dell'idea iniziale del limite della successione numerica; conoscenza di un altro modo di convertire frazioni periodiche infinite in frazioni ordinarie usando la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente;

lo sviluppo delle qualità intellettuali della personalità degli scolari, come il pensiero logico, la capacità di azioni valutative, la generalizzazione;

educazione all'attività, mutuo soccorso, collettivismo, interesse per la materia.

Attrezzatura: lezione di computer, proiettore, schermo.

Tipo di lezione: Lezione: padroneggiare un nuovo argomento.

Durante le lezioni

I.Org. momento. Messaggio sull'argomento e lo scopo della lezione.

II. Aggiornamento delle conoscenze degli studenti.

In prima media hai studiato progressioni aritmetiche e geometriche.

Domande

1. Definizione di progressione aritmetica.

(Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ciascun membro,

Partendo dal secondo, è uguale al termine precedente, sommato con lo stesso numero).

2. Formula n -esimo membro di una progressione aritmetica

3. La formula per la somma del primo N membri di una progressione aritmetica.

( O )

4. Definizione di progressione geometrica.

(Una progressione geometrica è una sequenza di numeri diversi da zero,

Ogni termine dei quali, a partire dal secondo, è uguale al termine precedente, moltiplicato per

lo stesso numero).

5. Formula n esimo termine di una progressione geometrica

6. La formula per la somma del primo N membri di una progressione geometrica.

7. Quali formule conosci ancora?

(, Dove ; ;

; , )

Compiti

1. La progressione aritmetica è data dalla formula un n = 7 - 4n. Trova un 10. (-33)

2. Progressione aritmetica un 3 = 7 e un 5 = 1 . Trova un 4. (4)

3. Progressione aritmetica un 3 = 7 e un 5 = 1 . Trova un 17 . (-35)

4. Progressione aritmetica un 3 = 7 e un 5 = 1 . Trova S 17 . (-187)

5. Per una progressione geometricatrova il quinto termine.

6. Per una progressione geometrica trovare l'ennesimo termine.

7. Esponenziale b 3 = 8 e b 5 = 2 . Trova b 4 . (4)

8. Esponenziale b 3 = 8 e b 5 = 2 . Trova b 1 e q .

9. Esponenziale b 3 = 8 e b 5 = 2 . Trova S 5 . (62)

III. Esplorare un nuovo argomento(presentazione dimostrativa).

Considera un quadrato con un lato uguale a 1. Disegniamo un altro quadrato, il cui lato è metà del primo quadrato, poi un altro, il cui lato è metà del secondo, poi il successivo, e così via. Ogni volta il lato del nuovo quadrato è la metà del precedente.

Di conseguenza, abbiamo ottenuto una sequenza di lati di quadratiformando una progressione geometrica con un denominatore.

E, cosa molto importante, più costruiamo tali quadrati, più piccolo sarà il lato del quadrato. Per esempio ,

Quelli. all'aumentare del numero n, i termini della progressione si avvicinano allo zero.

Con l'aiuto di questa figura, si può considerare un'altra sequenza.

Ad esempio, la sequenza delle aree dei quadrati:

E, ancora, se n aumenta indefinitamente, quindi l'area si avvicina allo zero arbitrariamente vicino.

Consideriamo un altro esempio. Un triangolo equilatero di lato 1 cm. Costruiamo il triangolo successivo con i vertici nei punti medi dei lati del primo triangolo, secondo il teorema della linea mediana del triangolo: il lato del secondo è uguale alla metà del lato del primo, il lato del terzo è metà del lato di il 2°, ecc. Ancora una volta otteniamo una sequenza di lunghezze dei lati dei triangoli.

A .

Se consideriamo una progressione geometrica con denominatore negativo.

Poi, ancora, con numeri in aumento N i termini della progressione si avvicinano allo zero.

Prestiamo attenzione ai denominatori di queste sequenze. Ovunque i denominatori erano inferiori a 1 modulo.

Possiamo concludere: una progressione geometrica sarà infinitamente decrescente se il modulo del suo denominatore è minore di 1.

Lavoro frontale.

Definizione:

Una progressione geometrica si dice infinitamente decrescente se il modulo del suo denominatore è minore di uno..

Con l'aiuto della definizione, è possibile risolvere la questione se una progressione geometrica sia infinitamente decrescente o meno.

Compito

La successione è una progressione geometrica infinitamente decrescente se è data dalla formula:

Soluzione:

Troviamo q.

; ; ; .

questa progressione geometrica è infinitamente decrescente.

B) questa sequenza non è una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Considera un quadrato con un lato uguale a 1. Dividilo a metà, una delle metà ancora a metà e così via. le aree di tutti i rettangoli risultanti formano una progressione geometrica infinitamente decrescente:

La somma delle aree di tutti i rettangoli così ottenuti sarà uguale all'area del 1° quadrato e pari a 1.

Ma sul lato sinistro di questa uguaglianza c'è la somma di un numero infinito di termini.

Considera la somma dei primi n termini.

Secondo la formula per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica, è uguale a.

Se n aumenta indefinitamente, quindi

O . Pertanto, i.e. .

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescentec'è un limite di sequenza S 1 , S 2 , S 3 , ..., S n , ... .

Ad esempio, per una progressione,

abbiamo

Perché

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescentepuò essere trovato utilizzando la formula.

III. Riflessione e consolidamento(completamento dei compiti).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Riassumendo.

Quale sequenza hai incontrato oggi?

Definire una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Come dimostrare che una progressione geometrica è infinitamente decrescente?

Fornisci la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

V. Compiti a casa.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Anteprima:

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Didascalie delle diapositive:

Tutti dovrebbero essere in grado di pensare in modo coerente, giudicare in modo conclusivo e confutare conclusioni sbagliate: un fisico e un poeta, un conducente di trattori e un chimico. E.Kolman In matematica, non si dovrebbero ricordare formule, ma processi di pensiero. VP Ermakov È più facile trovare il quadrato di un cerchio che superare in astuzia un matematico. Augustus de Morgan Quale scienza potrebbe essere più nobile, più ammirevole, più utile all'umanità della matematica? Franklin

Progressione geometrica infinitamente decrescente Grado 10

IO. Progressioni aritmetiche e geometriche. Domande 1. Definizione di progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni termine, a partire dal secondo, è uguale al termine precedente sommato allo stesso numero. 2. Formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica. 3. La formula per la somma dei primi n membri di una progressione aritmetica. 4. Definizione di progressione geometrica. Una progressione geometrica è una sequenza di numeri diversi da zero, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al membro precedente moltiplicato per lo stesso numero 5. La formula dell'ennesimo membro di una progressione geometrica. 6. La formula per la somma dei primi n membri di una progressione geometrica.

II. Progressione aritmetica. Compiti La progressione aritmetica è data dalla formula a n = 7 – 4 n Trova a 10 . (-33) 2. In progressione aritmetica a 3 = 7 ea 5 = 1 . Trova un 4. (4) 3. In progressione aritmetica a 3 = 7 ea 5 = 1 . Trova un 17 . (-35) 4. In progressione aritmetica a 3 = 7 e a 5 = 1 . Trova S 17 . (-187)

II. Progressione geometrica. Compiti 5. Per una progressione geometrica, trova il quinto termine 6. Per una progressione geometrica, trova l'n-esimo termine. 7. In progressione geometrica b 3 = 8 e b 5 = 2. Trova b 4 . (4) 8. In progressione geometrica b 3 = 8 e b 5 = 2 . Trova b 1 e q . 9. In progressione geometrica b 3 = 8 e b 5 = 2. Trova S 5 . (62)

definizione: una progressione geometrica si dice infinitamente decrescente se il modulo del suo denominatore è minore di uno.

Problema №1 La successione è una progressione geometrica infinitamente decrescente, se è data dalla formula: Soluzione: a) questa progressione geometrica è infinitamente decrescente. b) questa sequenza non è una progressione geometrica infinitamente decrescente.

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente è il limite della successione S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Ad esempio, per una progressione, abbiamo Poiché la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente può essere trovata dalla formula

Completamento dei compiti Trova la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente con il primo termine 3, il secondo 0.3. 2. N. 13; N. 14; libro di testo, pagina 138 3. N. 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. N. 19; N. 20.

Quale sequenza hai incontrato oggi? Definire una progressione geometrica infinitamente decrescente. Come dimostrare che una progressione geometrica è infinitamente decrescente? Fornisci la formula per la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente. Domande

Il famoso matematico polacco Hugo Steinghaus afferma scherzosamente che esiste una legge formulata come segue: un matematico lo farà meglio. Vale a dire, se affidi a due persone, una delle quali è un matematico, l'esecuzione di qualsiasi lavoro a loro sconosciuto, il risultato sarà sempre il seguente: il matematico lo farà meglio. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Istruzione

10, 30, 90, 270...

È necessario trovare il denominatore di una progressione geometrica.
Soluzione:

1 opzione. Prendiamo un membro arbitrario della progressione (ad esempio, 90) e dividiamolo per il precedente (30): 90/30=3.

Se è nota la somma di più membri di una progressione geometrica o la somma di tutti i membri di una progressione geometrica decrescente, per trovare il denominatore della progressione, utilizzare le formule appropriate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dove Sn è la somma dei primi n termini della progressione geometrica e
S = b1/(1-q), dove S è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente (la somma di tutti i membri della progressione con denominatore minore di uno).
Esempio.

Il primo termine di una progressione geometrica decrescente è uguale a uno e la somma di tutti i suoi termini è uguale a due.

È necessario determinare il denominatore di questa progressione.
Soluzione:

Sostituisci i dati dell'attività nella formula. Ottenere:
2=1/(1-q), da cui – q=1/2.

Una progressione è una sequenza di numeri. In una progressione geometrica, ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il precedente per un certo numero q, detto denominatore della progressione.

Istruzione

Se sono noti due membri vicini della geometrica b(n+1) e b(n), per ottenere il denominatore è necessario dividere il numero con un numero grande per quello che lo precede: q=b(n +1)/b(n). Ciò deriva dalla definizione della progressione e del suo denominatore. Una condizione importante è che il primo termine e il denominatore della progressione non siano uguali a zero, altrimenti è considerata indefinita.

Si stabiliscono quindi tra i membri della progressione le seguenti relazioni: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Con la formula b(n)=b1 q^(n-1) si può calcolare qualsiasi membro di una progressione geometrica, in cui il denominatore q e il membro b1 sono noti. Inoltre, ciascuna delle progressioni modulo è uguale alla media dei suoi membri vicini: |b(n)|=√, quindi la progressione ha il suo .

Un analogo di una progressione geometrica è il più semplice funzione esponenziale y=a^x, dove x è nell'esponente, a è un numero. In questo caso il denominatore della progressione coincide con il primo termine ed è uguale al numero a. Il valore della funzione y può essere inteso come ennesimo termine progressioni, se l'argomento x è preso come numero naturale n (contatore).

Esiste per la somma dei primi n membri di una progressione geometrica: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Questa formula è valida per q≠1. Se q=1, la somma dei primi n termini è calcolata con la formula S(n)=n b1. A proposito, la progressione sarà chiamata crescente per q maggiore di uno e b1 positiva. Quando il denominatore della progressione, modulo non eccede uno, la progressione si chiamerà decrescente.

caso speciale progressione geometrica - una progressione geometrica infinitamente decrescente (b.u.g.p.). Il fatto è che i membri di una progressione geometrica decrescente diminuiranno continuamente, ma non raggiungeranno mai lo zero. Nonostante ciò, è possibile trovare la somma di tutti i termini di tale progressione. È determinato dalla formula S=b1/(1-q). Totale n membri sono infiniti.

Per visualizzare come puoi aggiungere un numero infinito di numeri e non ottenere l'infinito, prepara una torta. Tagliane metà. Quindi tagliare metà della metà e così via. I pezzi che otterrai non sono altro che membri di una progressione geometrica infinitamente decrescente con denominatore 1/2. Se metti insieme tutti questi pezzi, ottieni la torta originale.

I problemi di geometria sono varietà speciale esercizi che richiedono il pensiero spaziale. Se non riesci a risolvere il geometrico compito cercare di seguire le regole di seguito.

Istruzione

Leggi molto attentamente la condizione del problema, se non ricordi o non capisci qualcosa, rileggilo di nuovo.

Cerca di determinare che tipo di problemi geometrici si tratta, ad esempio: computazionale, quando devi scoprire un valore, compiti per richiedere una catena logica di ragionamento, compiti per costruire usando un compasso e un righello. Più compiti tipo misto. Una volta che hai capito il tipo di problema, prova a pensare in modo logico.

Applica il teorema necessario per questo problema, se ci sono dubbi o non ci sono opzioni, prova a ricordare la teoria che hai studiato sull'argomento pertinente.

Fai anche una bozza del problema. Prova ad applicare modi conosciuti controllando la correttezza della tua soluzione.

Completa la soluzione del problema ordinatamente su un quaderno, senza macchie e barrature e, cosa più importante, forse ci vorrà tempo e fatica per risolvere i primi problemi geometrici. Tuttavia, una volta capito questo processo, inizierai a fare clic su attività come pazzi e divertirti a farlo!

Una progressione geometrica è una sequenza di numeri b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tale che b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. In altre parole, ogni membro della progressione si ottiene dal precedente moltiplicandolo per un denominatore diverso da zero della progressione q.

Istruzione

I problemi su una progressione sono spesso risolti compilando e seguendo un sistema rispetto al primo termine della progressione b1 e al denominatore della progressione q. Per scrivere equazioni è utile ricordare alcune formule.

Come esprimere l'n-esimo membro della progressione attraverso il primo membro della progressione e il denominatore della progressione: b(n)=b1*q^(n-1).

Si consideri separatamente il caso |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Una progressione geometrica è una sequenza numerica, il cui primo termine è diverso da zero, e ogni termine successivo è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero diverso da zero.

Il concetto di progressione geometrica

La progressione geometrica è indicata con b1,b2,b3, …, bn, … .

Il rapporto tra ogni termine dell'errore geometrico e il suo termine precedente è uguale allo stesso numero, cioè b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/mld = …. Questo segue direttamente dalla definizione di una progressione aritmetica. Questo numero è chiamato denominatore di una progressione geometrica. Di solito il denominatore di una progressione geometrica è indicato dalla lettera q.

La somma di una progressione geometrica infinita per |q|<1

Un modo per impostare una progressione geometrica è impostare il suo primo termine b1 e il denominatore dell'errore geometrico q. Ad esempio, b1=4, q=-2. Queste due condizioni danno una progressione geometrica di 4, -8, 16, -32, … .

Se q>0 (q non è uguale a 1), allora la progressione è una sequenza monotona. Ad esempio, la sequenza, 2, 4,8,16,32, ... è una sequenza monotonicamente crescente (b1=2, q=2).

Se il denominatore q=1 nell'errore geometrico, allora tutti i membri della progressione geometrica saranno uguali tra loro. In tali casi, si dice che la progressione sia una sequenza costante.

Affinché la successione numerica (bn) sia una progressione geometrica, è necessario che ciascuna delle sue membrature, a partire dalla seconda, sia la media geometrica delle membrature vicine. Cioè, è necessario soddisfare la seguente equazione
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), per ogni n>0, dove n appartiene all'insieme dei numeri naturali N.

Ora mettiamo (Xn) - una progressione geometrica. Il denominatore della progressione geometrica q, con |q|∞).
Se ora indichiamo con S la somma di una progressione geometrica infinita, allora vale la seguente formula:
S=x1/(1-q).

Considera un semplice esempio:

Trova la somma di una progressione geometrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Per trovare S, usiamo la formula per la somma di una progressione infinitamente aritmetica. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Se ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che dato sequenza numerica :

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .

Quindi, una sequenza numerica è una funzione di un argomento naturale.

Numero UN 1 chiamato il primo membro della sequenza , numero UN 2 — il secondo membro della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato ennesimo membro sequenze , e il numero naturale N — il suo numero .

Da due membri vicini UN E UN +1 sequenze di membri UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).

Per specificare una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.

Spesso la sequenza è data con Formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro della sequenza in base al suo numero.

Per esempio,

la sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula

UN= 2N- 1,

e la sequenza di alternanza 1 E -1 - formula

B N = (-1)N +1 . ◄

La sequenza può essere determinata formula ricorrente, ovvero una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, attraverso i membri precedenti (uno o più).

Per esempio,

Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5

UN 1 = 1,

UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette membri della sequenza numerica sono impostati come segue:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,

UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Le sequenze possono essere finale E infinito .

La sequenza è chiamata ultimo se ha un numero finito di membri. La sequenza è chiamata infinito se ha infiniti membri.

Per esempio,

sequenza di numeri naturali a due cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finale.

Sequenza di numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

infinito. ◄

La sequenza è chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.

La sequenza è chiamata calante , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.

Per esempio,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . è una sequenza ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . è una successione discendente. ◄

Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono con l'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .

Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.

Progressione aritmetica

Progressione aritmetica viene chiamata una sequenza, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, a cui viene aggiunto lo stesso numero.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .

è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N condizione è soddisfatta:

UN +1 = UN + D,

Dove D - un certo numero.

Pertanto, la differenza tra il membro successivo e quello precedente di una data progressione aritmetica è sempre costante:

un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.

Numero D chiamato la differenza di una progressione aritmetica.

Per impostare una progressione aritmetica è sufficiente specificarne il primo termine e la differenza.

Per esempio,

Se UN 1 = 3, D = 4 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,

UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e differenza D suo N

UN = un 1 + (N- 1)D.

Per esempio,

trovare il trentesimo termine di una progressione aritmetica

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, D = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (N- 2)D,

UN= un 1 + (N- 1)D,

UN +1 = UN 1 + nd,

poi ovviamente

UN=	a n-1 + a n+1
	2

ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi.

i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.

Per esempio,

UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.

Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:

UN = 2N- 7,

un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Quindi,

un n+1 + un n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = UN,
2		2

◄

Notare che N -esimo membro di una progressione aritmetica può essere trovato non solo attraverso UN 1 , ma anche qualsiasi precedente un k

UN = un k + (N- K)D.

Per esempio,

Per UN 5 può essere scritto

un 5 = un 1 + 4D,

un 5 = un 2 + 3D,

un 5 = un 3 + 2D,

un 5 = un 4 + D. ◄

UN = un n-k + kd,

UN = un n+k - kd,

poi ovviamente

UN=	UN nk +a n+k
	2

ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla metà della somma dei membri di questa progressione aritmetica equidistanti da esso.

Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica, l'uguaglianza è vera:

una m + una n = una k + una l,

m + n = k + l.

Per esempio,

in progressione aritmetica

1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,

Primo N membri di una progressione aritmetica è uguale al prodotto della metà della somma dei termini estremi per il numero di termini:

Da ciò, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini

un k, un k +1 , . . . , UN,

quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:

Per esempio,

in progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se dato progressione aritmetica, quindi le quantità UN 1 , UN, D, N ES N legati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:

Se D > 0 , allora sta aumentando;
Se D < 0 , allora sta diminuendo;
Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.

Progressione geometrica

progressione geometrica si chiama una sequenza, ogni termine della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N condizione è soddisfatta:

b n +1 = b n · Q,

Dove Q ≠ 0 - un certo numero.

Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di questa progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numero Q chiamato denominatore di una progressione geometrica.

Per impostare una progressione geometrica è sufficiente specificarne il primo termine e il denominatore.

Per esempio,

Se B 1 = 1, Q = -3 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 e denominatore Q suo N -esimo termine può essere trovato dalla formula:

b n = B 1 · q n -1 .

Per esempio,

trovare il settimo termine di una progressione geometrica 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = B 1 · q n,

poi ovviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ogni membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedenti e successivi.

Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:

i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.

Per esempio,

dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -3 2 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Quindi,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

che prova l'affermazione richiesta. ◄

Notare che N Il termine di una progressione geometrica può essere trovato non solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi termine precedente b K , per cui basta usare la formula

b n = b K · q n - K.

Per esempio,

Per B 5 può essere scritto

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b K · q n - K,

b n = b n - K · q k,

poi ovviamente

b n 2 = b n - K· b n + K

il quadrato di qualsiasi membro di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei membri di questa progressione equidistanti da esso.

Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica, l'uguaglianza è vera:

b m· b n= b K· b l,

M+ N= K+ l.

Per esempio,

esponenzialmente

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Primo N termini di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato dalla formula:

E quando Q = 1 - secondo la formula

S n= n.b. 1

Si noti che se è necessario sommare i termini

b K, b K +1 , . . . , b n,

allora si usa la formula:

S n- Sk -1 = b K + b K +1 + . . . + b n = b K ·	1 - q n - K +1	.
	1 - Q

Per esempio,

esponenzialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n legati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avvengono i seguenti proprietà di monotonicità :

la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E Q> 1;

B 1 < 0 E 0 < Q< 1;

Una progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E 0 < Q< 1;

B 1 < 0 E Q> 1.

Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata di segno: i suoi termini di numero dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini di numero pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.

Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati con la formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Per esempio,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressione geometrica infinitamente decrescente

Progressione geometrica infinitamente decrescente è chiamata una progressione geometrica infinita il cui modulo denominatore è minore di 1 , questo è

|Q| < 1 .

Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Questo si adatta al caso

1 < Q< 0 .

Con un tale denominatore, la sequenza è alternata di segno. Per esempio,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui la somma del primo N termini della progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula