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Il volume del parallelepipedo dalle coordinate dei vettori. Prodotto vettoriale di vettori

Per i vettori , e , dati dalle loro coordinate , , il prodotto misto si calcola con la formula: .

prodotto misto fare domanda a: 1) calcolare i volumi di un tetraedro e di un parallelepipedo costruiti sui vettori , e , come sugli spigoli, secondo la formula: ; 2) come condizione per la complanarità dei vettori , e : e sono complanari.

Argomento 5. Rette e piani.

Vettore di linea normale , viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero perpendicolare alla retta data. Vettore di direzione dritto , viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero parallelo alla retta data.

Dritto in superficie

1) - equazione generale retta, dove è il vettore normale della retta;

2) - l'equazione di una retta passante per un punto perpendicolare ad un dato vettore;

3) equazione canonica );

5) - equazioni di linea Con fattore di pendenza , dove è il punto attraverso il quale passa la retta; () - l'angolo che la linea forma con l'asse; - la lunghezza del segmento (con il segno ) tagliato da una retta sull'asse (segno “ ” se il segmento è tagliato nella parte positiva dell'asse e “ ” se nella parte negativa).

6) - equazione della retta nei tagli, dove e sono le lunghezze dei segmenti (col segno ) tagliati da una retta sugli assi coordinati e (il segno “ ” se il segmento è tagliato sulla parte positiva dell'asse e “ ” se su quella negativa ).

Distanza dal punto alla linea , data dall'equazione generale sul piano, si trova con la formula:

Angolo , ( )tra linee rette e , data da equazioni generali o equazioni con una pendenza, si trova con una delle seguenti formule:

Io per .

Io per

Coordinate del punto di intersezione delle linee e si trovano come soluzione al sistema equazioni lineari: O .

Il vettore normale del piano , viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero perpendicolare al piano dato.

Aereo nel sistema di coordinate può essere data da un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1) - equazione generale piano, dove è il vettore normale del piano;

2) - l'equazione del piano passante per il punto perpendicolare al vettore dato;

3) - equazione del piano passante per tre punti , e ;

4) - equazione del piano nei tagli, dove , e sono le lunghezze dei segmenti (col segno ) tagliati dal piano sugli assi coordinati , e (segno “ ” se il segmento è tagliato sulla parte positiva dell'asse e “ ” se su quella negativa ).

Distanza dal punto al piano , data dall'equazione generale , si trova con la formula:

Angolo ,( )tra i piani e , data da equazioni generali, si trova con la formula:

Dritto nello spazio nel sistema di coordinate può essere data da un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1) - equazione generale una retta, come le linee di intersezione di due piani, dove e sono i vettori normali dei piani e;

2) - equazione di una retta passante per un punto parallelo a un dato vettore ( equazione canonica );

3) - equazione di una retta passante per due punti dati , ;

4) - equazione di una retta passante per un punto parallelo a un dato vettore, ( equazione parametrica );

Angolo , ( ) tra linee rette E nello spazio , data dalle equazioni canoniche, si trova con la formula:

Le coordinate del punto di intersezione della linea , data dall'equazione parametrica e aereo , date dall'equazione generale, si trovano come soluzione del sistema di equazioni lineari: .

Angolo , ( ) tra la linea , data dall'equazione canonica e aereo , data dall'equazione generale si trova dalla formula: .

Argomento 6. Curve del secondo ordine.

Curva algebrica del secondo ordine nel sistema di coordinate si chiama curva, equazione generale che assomiglia a:

dove i numeri - non sono uguali a zero allo stesso tempo. Esiste la seguente classificazione delle curve di secondo ordine: 1) se , allora l'equazione generale definisce la curva tipo ellittico (cerchio (per ), ellisse (per ), insieme vuoto, punto); 2) se , allora - curva tipo iperbolico (iperbole, una coppia di linee che si intersecano); 3) se , allora - curva tipo parabolico(parabola, insieme vuoto, retta, coppia di rette parallele). Si chiamano cerchio, ellisse, iperbole e parabola curve non degeneri del secondo ordine.

L'equazione generale , dove , definendo una curva non degenere (cerchio, ellisse, iperbole, parabola), sempre (mediante metodo di selezione quadrati pieni) può essere ridotto ad uno dei seguenti tipi:

1 bis) - equazione del cerchio centrata in un punto e nel raggio (Fig. 5).

1b)- l'equazione di un'ellisse centrata in un punto e assi di simmetria paralleli agli assi coordinati. I numeri e - sono chiamati semiassi di un'ellisse il rettangolo principale dell'ellisse; vertici dell'ellisse .

Per costruire un'ellisse nel sistema di coordinate: 1) segnare il centro dell'ellisse; 2) passare per il centro linea tratteggiata assi di simmetria dell'ellisse; 3) costruiamo il rettangolo principale di un'ellisse con una linea tratteggiata con centro e lati paralleli agli assi di simmetria; 4) ritrarre linea continua ellisse, inscrivendolo nel rettangolo principale in modo che l'ellisse tocchi i suoi lati solo ai vertici dell'ellisse (Fig. 6).

Allo stesso modo, viene costruito un cerchio, il cui rettangolo principale ha i lati (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - equazioni di iperboli (dette coniugare) centrato in un punto e assi di simmetria paralleli agli assi delle coordinate. I numeri e - sono chiamati semiassi delle iperboli ; un rettangolo con i lati paralleli agli assi di simmetria e centrato in un punto - il rettangolo principale delle iperboli; punti di intersezione del rettangolo principale con gli assi di simmetria - vertici di iperboli; linee rettepassanti per vertici opposti del rettangolo principale - asintoti delle iperboli .

Per costruire un'iperbole nel sistema di coordinate: 1) segnare il centro dell'iperbole; 2) disegniamo attraverso il centro con una linea tratteggiata l'asse di simmetria dell'iperbole; 3) costruiamo il rettangolo principale di un'iperbole con una linea tratteggiata con centro e lati e parallela agli assi di simmetria; 4) tracciamo linee rette attraverso i vertici opposti del rettangolo principale con una linea tratteggiata, che sono asintoti dell'iperbole, a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente, a una distanza infinita dall'origine delle coordinate, senza attraversarli; 5) rappresentiamo i rami di un'iperbole (Fig. 7) o iperbole (Fig. 8) con una linea continua.

Fig.7 Fig.8

3a)- l'equazione di una parabola con un vertice in un punto e un asse di simmetria parallelo all'asse delle coordinate (Fig. 9).

3b)- l'equazione di una parabola con un vertice in un punto e un asse di simmetria parallelo all'asse delle coordinate (Fig. 10).

Per costruire una parabola nel sistema di coordinate: 1) segna la parte superiore della parabola; 2) tracciamo attraverso il vertice con una linea tratteggiata l'asse di simmetria della parabola; 3) rappresentiamo una parabola con una linea continua, dirigendo il suo ramo, tenendo conto del segno del parametro parabola: a - nella direzione positiva dell'asse delle coordinate parallelo all'asse di simmetria della parabola (Fig. 9a e 10a); a - dentro lato negativo asse delle coordinate (Fig. 9b e 10b) .

Riso. 9a fig. 9b

Riso. 10a fig. 10b

Argomento 7. Imposta. Insiemi numerici. Funzione.

Sotto molti comprendere un certo insieme di oggetti di qualsiasi natura, distinguibili l'uno dall'altro e concepibili come un tutto unico. Gli oggetti che compongono un insieme lo chiamano elementi . Un insieme può essere infinito (costituito da un numero infinito di elementi), finito (costituito da un numero finito di elementi), vuoto (non contiene un singolo elemento). Gli insiemi sono indicati da e i loro elementi da . L'insieme vuoto è indicato con .

Imposta chiamata sottoinsieme set se tutti gli elementi dell'insieme appartengono all'insieme e scrivere . Imposta e chiama pari , se sono costituiti dagli stessi elementi e scrivono . Due insiemi e saranno uguali se e solo se e .

Imposta chiamata universale (nell'ambito di questa teoria matematica) , se i suoi elementi sono tutti oggetti considerati in questa teoria.

Molti possono essere impostati: 1) enumerazione di tutti i suoi elementi, ad esempio: (solo per insiemi finiti); 2) stabilendo una regola per determinare se un elemento di un insieme universale appartiene a un dato insieme: .

Associazione

attraversamento insiemi e si chiama insieme

differenza insiemi e si chiama insieme

Supplemento insiemi (fino a un insieme universale) è chiamato insieme.

I due set e sono chiamati equivalente e scrivi ~ se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di questi insiemi. L'insieme è chiamato numerabile , se è equivalente all'insieme dei numeri naturali : ~ . L'insieme vuoto è, per definizione, numerabile.

Il concetto di cardinalità di un insieme nasce quando gli insiemi vengono confrontati per il numero di elementi che contengono. La cardinalità dell'insieme è indicata da . La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi.

Gli insiemi equivalenti hanno la stessa cardinalità. L'insieme è chiamato non numerabile se la sua cardinalità è maggiore della cardinalità dell'insieme.

Valido (vero) numero si chiama frazione decimale infinita, presa con il segno "+" o "". I numeri reali sono identificati con punti sulla linea dei numeri. modulo (valore assoluto) di un numero reale numero non negativo:

L'insieme è chiamato numerico se i suoi elementi sono numeri reali Numerico ad intervalli gli insiemi di numeri sono chiamati: , , , , , , , , .

Viene chiamato l'insieme di tutti i punti sulla retta numerica che soddisfano la condizione , dove è un numero arbitrariamente piccolo -quartiere (o solo un quartiere) di un punto ed è indicato con . L'insieme di tutti i punti per la condizione , dove - arbitrariamente grande numero, è chiamato - quartiere (o solo un quartiere) di infinito ed è denotato da .

Viene chiamata una quantità che mantiene lo stesso valore numerico costante. Viene chiamata una quantità che assume diversi valori numerici variabile. Funzione viene chiamata la regola, secondo la quale a ogni numero viene assegnato un numero ben definito, e loro scrivono. L'insieme è chiamato dominio di definizione funzioni, - molti ( o regione ) valori funzioni, - discussione , - valore della funzione . Il modo più comune per specificare una funzione è il metodo analitico, in cui la funzione è data da una formula. dominio naturale funzione è l'insieme di valori dell'argomento per cui questa formula ha senso. Grafico delle funzioni , in un sistema di coordinate rettangolare , è l'insieme di tutti i punti del piano con coordinate , .

La funzione è chiamata Anche sull'insieme , simmetrico rispetto al punto , se per tutti è soddisfatta la seguente condizione: e strano se la condizione è soddisfatta. Altrimenti, la funzione vista generale O né pari né dispari .

La funzione è chiamata periodico sull'insieme se esiste un numero ( periodo di funzione ) tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti: . Numero più piccolo detto periodo principale.

La funzione è chiamata monotonicamente crescente (calante ) sul set se maggior valore argomento corrisponde al valore maggiore (minore) della funzione .

La funzione è chiamata limitato sull'insieme , se esiste un numero tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti : . Altrimenti, la funzione è illimitato .

Inversione funzionare , , tale funzione è chiamata , che è definita sull'insieme e su ciascuno

Corrispondenze tali che . Per trovare la funzione inversa alla funzione , devi risolvere l'equazione relativamente. Se la funzione , è strettamente monotona su , allora ha sempre un'inversa, e se la funzione aumenta (diminuisce), allora funzione inversa aumenta anche (diminuisce).

Una funzione rappresentata come , dove , sono alcune funzioni tali che il dominio della definizione della funzione contiene l' intero insieme di valori della funzione , viene chiamata funzione complessa argomentazione indipendente. La variabile è chiamata argomento intermedio. Una funzione complessa è anche detta composizione di funzioni e , e si scrive: .

Elementare di base le funzioni sono: energia funzione , dimostrazione funzione ( , ), logaritmico funzione ( , ), trigonometrico funzioni , , , , trigonometrica inversa funzioni , , , . Elementare è chiamata una funzione ottenuta da funzioni elementari di base da un numero finito delle loro operazioni e composizioni aritmetiche.

Se viene fornito il grafico della funzione, la costruzione del grafico della funzione si riduce a una serie di trasformazioni (spostamento, compressione o stiramento, visualizzazione) del grafico:

1) 2) la trasformazione visualizza il grafico simmetricamente rispetto all'asse ; 3) la trasformazione sposta il grafico lungo l'asse di unità ( - a destra, - a sinistra); 4) la trasformazione sposta il grafico lungo l'asse di unità ( - su, - giù); 5) grafico di trasformazione lungo l'asse si allunga in tempi, se o si comprime in tempi, se ; 6) trasformando il grafico lungo l'asse si comprime di un fattore if o si allunga di un fattore if .

La sequenza di trasformazioni durante la tracciatura di un grafico di funzione può essere rappresentata simbolicamente come:

Nota. Quando si esegue una trasformazione, tenere presente che la quantità di spostamento lungo l'asse è determinata dalla costante che viene aggiunta direttamente all'argomento e non all'argomento.

Il grafico della funzione è una parabola con vertice in , i cui rami sono diretti verso l'alto se o verso il basso se . Il grafico di una funzione lineare-frazionaria è un'iperbole centrata nel punto , i cui asintoti passano per il centro, paralleli agli assi delle coordinate. , soddisfacendo la condizione. chiamato.

Considera il prodotto di vettori , E , così composto:
. Qui i primi due vettori vengono moltiplicati vettorialmente e il loro risultato viene moltiplicato scalarmente per il terzo vettore. Tale prodotto è chiamato prodotto scalare vettoriale, o misto, di tre vettori. Il prodotto misto è un certo numero.

Scopriamo il significato geometrico dell'espressione
.

Teorema . Il prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori, preso con segno più se questi vettori formano una terna destra, e con segno meno se formano una terna sinistra.

Prova.. Costruiamo un parallelepipedo i cui spigoli sono i vettori , , e vettore
.

Abbiamo:
,
, Dove - area del parallelogramma costruita su vettori E ,
per la terna destra di vettori e
per la sinistra, dove
è l'altezza del parallelepipedo. Noi abbiamo:
, cioè.
, Dove - il volume del parallelepipedo formato dai vettori , E .

Proprietà del prodotto misto

1. Il prodotto miscelato non cambia quando ciclico permutazione dei suoi fattori, cioè .

In questo caso, infatti, non cambia né il volume del parallelepipedo né l'orientamento dei suoi spigoli.

2. Il prodotto misto non cambia quando i segni della moltiplicazione vettoriale e scalare sono invertiti, cioè
.

Veramente,
E
. Prendiamo lo stesso segno a destra di queste uguaglianze, essendo le terne dei vettori , , E , , - un orientamento.

Quindi,
. Questo ci permette di scrivere il prodotto misto di vettori
COME
senza segni di vettore, moltiplicazione scalare.

3. Il prodotto misto cambia segno quando qualsiasi vettore di due fattori cambia posto, cioè
,
,
.

In effetti, una tale permutazione equivale a una permutazione dei fattori nel prodotto vettoriale, che cambia il segno del prodotto.

4. Prodotto misto di vettori diversi da zero , E è zero se e solo se sono complanari.

2.12. Calcolo del prodotto misto in forma di coordinate in base ortonormale

Lasciamo i vettori
,
,
. Troviamo il loro prodotto misto usando espressioni in coordinate per prodotti vettoriali e scalari:

. (10)

La formula risultante può essere scritta più breve:

poiché il lato destro dell'uguaglianza (10) è l'espansione del determinante di terzo ordine in termini di elementi della terza riga.

Quindi, il prodotto misto dei vettori è uguale al determinante del terzo ordine, composto dalle coordinate dei vettori moltiplicati.

2.13 Alcune applicazioni del prodotto miscelato

Determinazione dell'orientamento relativo dei vettori nello spazio

Determinazione dell'orientamento relativo dei vettori , E sulla base delle seguenti considerazioni. Se
, Quello , , - destra tre Se
, Quello , , - lasciato tre.

Condizione di complanarità per i vettori

Vettori , E sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo (
,
,
):

vettori , , Complanare.

Determinazione dei volumi di un parallelepipedo e di una piramide triangolare

È facile dimostrare che il volume di un parallelepipedo è costruito su vettori , E è calcolato come
, e il volume piramide triangolare, costruito sugli stessi vettori, è uguale a
.

Esempio 1 Dimostrare che i vettori
,
,
Complanare.

Soluzione. Troviamo il prodotto misto di questi vettori usando la formula:

Ciò significa che i vettori
Complanare.

Esempio 2 Dati i vertici di un tetraedro: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Trova la lunghezza della sua altezza caduta dal vertice .

Soluzione. Troviamo prima il volume del tetraedro
. Secondo la formula otteniamo:

Poiché il determinante è un numero negativo, allora questo caso Prima della formula devi prendere un segno meno. Quindi,
.

Il valore desiderato H determinare dalla formula
, Dove S - area di base. Determiniamo l'area S:

Dove

Perché il

Sostituendo nella formula
valori
E
, noi abbiamo H= 3.

Esempio 3 Si formano i vettori
base nello spazio? Decomponi il vettore
sulla base di vettori.

Soluzione. Se i vettori formano una base nello spazio, allora non giacciono sullo stesso piano, cioè sono non complanari. Trova il prodotto misto di vettori
:
,

Pertanto, i vettori non sono complanari e formano una base nello spazio. Se i vettori formano una base nello spazio, allora qualsiasi vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori di base, vale a dire
,Dove
coordinate vettoriali in base vettoriale
. Troviamo queste coordinate compilando e risolvendo il sistema di equazioni

Risolvendolo con il metodo di Gauss, abbiamo

Da qui
. Poi .

Così,
.

Esempio 4 I vertici della piramide sono nei punti:
,
,
,
. Calcolare:

a) zona del viso
;

b) il volume della piramide
;

c) proiezione vettoriale
alla direzione del vettore
;

d) angolo
;

e) verificare che i vettori
,
,
Complanare.

Soluzione

a) Dalla definizione di prodotto incrociato, è noto che:

Trovare i vettori
E
, utilizzando la formula

,
.

Per i vettori definiti dalle loro proiezioni, il prodotto vettoriale si trova dalla formula

, Dove
.

Per il nostro caso

Troviamo la lunghezza del vettore risultante usando la formula

,
.

poi
(unità quadrate).

b) Il prodotto misto di tre vettori è uguale in valore assoluto al volume del parallelepipedo costruito sui vettori , , come sulle costole.

Il prodotto misto è calcolato dalla formula:

Troviamo i vettori
,
,
, coincidente con i bordi della piramide, convergente verso l'alto :

Il prodotto misto di questi vettori

Poiché il volume della piramide è uguale alla parte del volume del parallelepipedo costruito sui vettori
,
,
, Quello
(unità cubiche).

c) Utilizzando la formula
, che definisce il prodotto scalare dei vettori , , si può scrivere così:

Dove
O
;

O
.

Trovare la proiezione del vettore
alla direzione del vettore
trova le coordinate dei vettori
,
, quindi applicando la formula

noi abbiamo

d) Trovare l'angolo
definire i vettori
,
, avendo un'origine comune nel punto :

Quindi, secondo la formula del prodotto scalare

e) Nell'ordine dei tre vettori

,
,

sono complanari, è necessario e sufficiente che il loro prodotto misto sia uguale a zero.

Nel nostro caso abbiamo
.

I vettori sono quindi complanari.

Per i vettori , e , dati dalle coordinate , , il prodotto misto si calcola con la formula: .

Il prodotto misto viene utilizzato: 1) calcolare i volumi di un tetraedro e di un parallelepipedo costruiti sui vettori , e , come sugli spigoli, secondo la formula: ; 2) come condizione per la complanarità dei vettori , e : e sono complanari.

Argomento 5. Linee sull'aereo.

Dritto in superficie nel sistema di coordinate può essere data da un'equazione di uno dei seguenti tipi:

1) - equazione generale retta, dove è il vettore normale della retta;

2) - l'equazione di una retta passante per un punto perpendicolare ad un dato vettore;

3) - equazione di una retta passante per un punto parallelo a un dato vettore ( equazione canonica );

4) - equazione di una retta passante per due punti dati , ;

5) - equazioni di linea con pendenza , dove è il punto attraverso il quale passa la retta; () - l'angolo che la linea forma con l'asse; - la lunghezza del segmento (con il segno ) tagliato da una retta sull'asse (segno “ ” se il segmento è tagliato nella parte positiva dell'asse e “ ” se nella parte negativa).

Distanza dal punto alla linea , data dall'equazione generale sul piano, si trova con la formula:

Angolo , ( )tra linee rette e , data da equazioni generali o equazioni con una pendenza, si trova con una delle seguenti formule:

Io per .

Io per

Coordinate del punto di intersezione delle linee e si trovano come soluzione di un sistema di equazioni lineari: o .

Argomento 10. Imposta. Insiemi numerici. Funzioni.

Imposta chiamata sottoinsieme set se tutti gli elementi dell'insieme appartengono all'insieme e scrivere .

Imposta e chiama pari , se sono costituiti dagli stessi elementi e scrivono . Due insiemi e saranno uguali se e solo se e .

Imposta chiamata universale (nell'ambito di questa teoria matematica) , se i suoi elementi sono tutti oggetti considerati in questa teoria.

Associazione

attraversamento insiemi e si chiama insieme

differenza insiemi e si chiama insieme

Supplemento insiemi (fino a un insieme universale) è chiamato insieme.

Valido (vero) numero si chiama frazione decimale infinita, presa con il segno "+" o "". I numeri reali sono identificati con punti sulla linea dei numeri.

modulo (valore assoluto) di un numero reale è un numero non negativo:

L'insieme è chiamato numerico se i suoi elementi sono numeri reali. Numerico ad intervalli sono chiamati insiemi

numeri: , , , , , , , , , .

Viene chiamato l'insieme di tutti i punti sulla retta numerica che soddisfano la condizione , dove è un numero arbitrariamente piccolo -quartiere (o solo un quartiere) di un punto ed è indicato con . L'insieme di tutti i punti per la condizione , dove è un numero arbitrariamente grande, è chiamato - quartiere (o solo un quartiere) di infinito ed è denotato da .

La funzione è chiamata Anche sull'insieme , simmetrico rispetto al punto , se per tutti è soddisfatta la seguente condizione: e strano se la condizione è soddisfatta. Altrimenti, una funzione generica o né pari né dispari .

La funzione è chiamata periodico sull'insieme se esiste un numero ( periodo di funzione ) tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti: . Il numero più piccolo è detto periodo principale.

La funzione è chiamata monotonicamente crescente (calante ) sull'insieme se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore (minore) della funzione .

La funzione è chiamata limitato sull'insieme , se esiste un numero tale che la seguente condizione sia soddisfatta per tutti : . Altrimenti, la funzione è illimitato .

Inversione funzionare , , è una funzione definita su un insieme e assegna a ciascuno tale che . Per trovare la funzione inversa alla funzione , devi risolvere l'equazione relativamente. Se la funzione , è strettamente monotona su , allora ha sempre un'inversa, e se la funzione aumenta (diminuisce), anche la funzione inversa aumenta (diminuisce).

Il grafico della funzione è una parabola con vertice in , i cui rami sono diretti verso l'alto se o verso il basso se .

In alcuni casi, quando si costruisce un grafico di una funzione, è consigliabile dividere il suo dominio di definizione in più intervalli non intersecanti e costruire in sequenza un grafico su ciascuno di essi.

Viene chiamato qualsiasi insieme ordinato di numeri reali aritmetica punto-dimensionale (coordinata) spazio e denotato o , mentre i numeri sono chiamati suoi coordinate .

Sia e alcuni insiemi di punti e . Se ad ogni punto è assegnato, secondo qualche regola, un numero reale ben definito , allora dicono che una funzione numerica di variabili è data sull'insieme e scrivono o brevemente e , mentre chiamato dominio di definizione , - insieme di valori , - argomenti (variabili indipendenti) funzioni.

Una funzione di due variabili è spesso indicata, una funzione di tre variabili -. Il dominio di definizione di una funzione è un certo insieme di punti nel piano, le funzioni sono un certo insieme di punti nello spazio.

Argomento 7. Successioni e serie numeriche. Limite di sequenza. Limite di una funzione e continuità.

Se, secondo una certa regola, ogni numero naturale è associato a un numero reale ben definito, allora lo dicono sequenza numerica . Denotare brevemente. Il numero è chiamato membro comune della sequenza . Una sequenza è anche chiamata funzione di un argomento naturale. Una sequenza contiene sempre un numero infinito di elementi, alcuni dei quali possono essere uguali.

Il numero è chiamato limite di sequenza , e scrivi se per ogni numero esiste un numero tale che la disuguaglianza sia soddisfatta per tutti .

Viene chiamata una successione che ha un limite finito convergente , Altrimenti - divergente .

: 1) calante , Se ; 2) crescente , Se ; 3) non decrescente , Se ; 4) non crescente , Se . Tutte le sequenze di cui sopra sono chiamate monotono .

La sequenza è chiamata limitato , se esiste un numero tale che la seguente condizione è soddisfatta per tutti: . Altrimenti, la sequenza è illimitato .

Ogni sequenza limitata monotona ha un limite ( teorema di Weierstrass).

La sequenza è chiamata infinitesimale , Se . La sequenza è chiamata infinitamente grande (convergente all'infinito) se .

numero è chiamato il limite della successione, dove

La costante è chiamata numero non pari. Viene chiamato il logaritmo in base di un numero logaritmo naturale numeri ed è indicato con .

Viene chiamata un'espressione della forma , dove è una sequenza di numeri serie numerica e sono contrassegnati. Si chiama la somma dei primi termini della serie esima somma parziale riga.

La riga è chiamata convergente se c'è un limite finito e divergente se il limite non esiste. Il numero è chiamato la somma di una serie convergente , durante la scrittura.

Se la serie converge, allora (un criterio necessario per la convergenza della serie ) . Non è vero il viceversa.

Se , allora la serie diverge ( un criterio sufficiente per la divergenza della serie ).

Serie armonica generalizzata si chiama serie che converge in e diverge in .

Serie geometrica chiamiamo una serie che converge in , mentre la sua somma è uguale a e diverge in . trovare un numero o un simbolo. (semiquartiere sinistro, semiquartiere destro) e

In questa lezione esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto vettoriale di vettori E prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare di vettori, ne serve sempre di più. Questa è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo è sbagliato. In questa sezione di matematica superiore, generalmente c'è poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale in geometria analitica, come molti vedranno o hanno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso in lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali, e i vettori piatti con due coordinate verranno omessi. Perché? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto dei vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Lascia che siano lettere imperiture.

L'azione stessa denotato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a designare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare di vettori sono coinvolti due vettori, e qui si moltiplicano anche due vettori qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare di vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto vettoriale dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In vari letteratura educativa anche la notazione può variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi i commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collineare vettori , prese in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonali ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Quindi, possiamo evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente , indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare un po' più avanti il caso dei vettori collineari.

2) Vettori presi rigorosamente certo ordine : – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" ad "a". Il risultato della moltiplicazione vettorialeè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori . Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto vettoriale non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto di lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula stiamo parlando della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruita su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Non meno di fatto importanteè che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè, . Naturalmente, il vettore diretto in modo opposto (freccia cremisi) è anche ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è orientato in modo che base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su transizione verso una nuova base di cui ho parlato in dettaglio orientamento del piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Spiegherò sulle tue dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con il vettore. Anulare e mignolo premere nel palmo della mano. Di conseguenza pollice- il prodotto vettoriale cercherà. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e dita medie ) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi "torcono" o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "tiri fuori l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile combinalo con l '"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello quello che ora conosci orientato a destra e a sinistra basi, perché le dichiarazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una linea retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una linea retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare il parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora E . Si noti che il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo è spesso trascurato e scritto che è anche uguale a zero.

caso specialeè il prodotto incrociato di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi verificare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trovare la lunghezza del prodotto vettoriale di vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, non si tratta di un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali nelle voci della condizione. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stato chiesto della lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è necessario trovare piazza parallelogramma costruito su vettori . L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale:

Risposta:

Tieni presente che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto zona della figura, rispettivamente, la dimensione è in unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro risposta. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone possibilità verrà restituito per la revisione. Sebbene questo non sia un pignolo particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca cose semplici e / o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo momento dovrebbe essere sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in matematica superiore, e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente attaccato alla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica, il compito è davvero molto comune, i triangoli possono generalmente essere torturati.

Per risolvere altri problemi, abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, valgono le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento di solito non è distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori conta.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti possono essere facilmente portate fuori dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A dimostrazione, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, eliminiamo le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . Il problema è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Dividiamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Al primo passo esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Ancora nessuna parola sulla lunghezza!

(1) Sostituiamo le espressioni dei vettori .

(2) Utilizzando le leggi distributive, aprire le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà piacevole . Nel secondo termine, usiamo la proprietà anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore si è rivelato espresso attraverso un vettore, che era ciò che era necessario ottenere:

2) Al secondo passaggio, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'Esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo desiderato:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti in una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune in lavoro di controllo, ecco un esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Trova se

Soluzione breve e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento nello studiare gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è molto semplice: scriviamo i vettori delle coordinate nella riga superiore del determinante, "impacchettamo" le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga, e mettiamo in rigoroso ordine- prima le coordinate del vettore "ve", quindi le coordinate del vettore "doppio-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, anche le linee dovrebbero essere scambiate:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
UN)
B)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, allora il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Qui, forse, ci sono tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Tutto, infatti, poggerà sulla definizione, sul significato geometrico e su un paio di formule funzionanti.

Il prodotto misto di vettori è prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non possono aspettare finché non vengono calcolati.

Prima di nuovo la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori , prese in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di segno "+" se la base è destra, e di segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono tracciate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, noterò il fatto ovvio: il prodotto misto di vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto attraverso e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

A-priorato il prodotto misto è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non preoccupiamoci più del concetto di orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che al volume può essere aggiunto un segno meno. In parole semplici, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

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