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Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata? Studio del grafico di una funzione.

In questo articolo parlerò di come applicare la capacità di trovare allo studio di una funzione: trovare il suo o più grande il valore più piccolo. E poi risolveremo alcuni problemi dell'attività B15 di banca aperta incarichi per .

Come al solito, iniziamo prima con la teoria.

All'inizio di ogni studio di una funzione, la troviamo

Per trovare il valore più grande o più piccolo della funzione, è necessario indagare su quali intervalli la funzione aumenta e su quali diminuisce.

Per fare ciò, devi trovare la derivata della funzione e studiare i suoi intervalli di segno costante, cioè gli intervalli su cui la derivata conserva il suo segno.

Gli intervalli su cui la derivata di una funzione è positiva sono intervalli di funzione crescente.

Gli intervalli su cui la derivata di una funzione è negativa sono intervalli di funzione decrescente.

1 . Risolviamo l'attività B15 (n. 245184)

Per risolverlo, seguiremo il seguente algoritmo:

a) Trovare il dominio della funzione

b) Trovare la derivata della funzione .

c) Ponilo uguale a zero.

d) Troviamo gli intervalli di segno costante della funzione.

e) Trovare il punto in cui la funzione assume il valore massimo.

f) Trovare il valore della funzione a questo punto.

Racconto la soluzione dettagliata di questo compito nella VIDEO LEZIONE:

Probabilmente il tuo browser non è supportato. Per utilizzare il simulatore "Unified State Examination Hour", prova a scaricare
Firefox

2 . Risolviamo l'attività B15 (n. 282862)

Trova il valore più grande di una funzione sul segmento

È ovvio che la funzione assume il massimo valore sul segmento nel punto di massimo, in x=2. Trova il valore della funzione a questo punto:

Risposta: 5

3 . Risolviamo l'attività B15 (n. 245180):

Trova il valore più grande di una funzione

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Poiché l'ambito della funzione originale title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Il numeratore è zero in . Controlliamo se l'ODZ appartiene alla funzione. Per fare ciò, controlla se la condizione title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Titolo="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

quindi il punto appartiene all'ODZ della funzione

Esaminiamo il segno della derivata a destra ea sinistra del punto:

Vediamo che la funzione assume il massimo valore nel punto . Ora troviamo il valore della funzione in:

Nota 1. Si noti che in questo problema non abbiamo trovato il dominio della funzione: abbiamo solo fissato i vincoli e verificato se il punto in cui la derivata è uguale a zero appartiene al dominio della funzione. In questo problema, questo si è rivelato sufficiente. Tuttavia, non è sempre così. Dipende dal compito.

Osservazione 2. Quando si studia il comportamento di una funzione complessa, si può usare la seguente regola:

se la funzione esterna di una funzione composta è crescente, allora la funzione assume il suo valore massimo nello stesso punto in cui la funzione interna assume il suo valore massimo. Ciò deriva dalla definizione di una funzione crescente: una funzione aumenta sull'intervallo I if maggior valore un argomento di questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.
se la funzione esterna di una funzione complessa è decrescente, allora la funzione assume il valore più grande nello stesso punto in cui la funzione interna assume il valore più piccolo . Ciò deriva dalla definizione di una funzione decrescente: la funzione diminuisce sull'intervallo I se il valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde al valore minore della funzione

Nel nostro esempio, la funzione esterna - aumenta nell'intero dominio di definizione. Sotto il segno del logaritmo c'è un'espressione: un trinomio quadrato, che, con un coefficiente senior negativo, assume il valore più grande nel punto . Successivamente, sostituiamo questo valore di x nell'equazione della funzione e trova il suo valore massimo.

Sia definita e continua la funzione $z=f(x,y)$ in un dominio limitato e chiuso $D$. Lascia entrare quest'area per data funzione ha derivate parziali finite del primo ordine (con la possibile eccezione di un numero finito di punti). Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una data regione chiusa, sono necessari tre passaggi di un semplice algoritmo.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=f(x,y)$ nel dominio chiuso $D$.

Trova i punti critici della funzione $z=f(x,y)$ che appartengono alla regione $D$. Calcola i valori delle funzioni nei punti critici.
Indagare il comportamento della funzione $z=f(x,y)$ sul confine della regione $D$ trovando i punti dei possibili valori massimo e minimo. Calcola i valori della funzione nei punti ottenuti.
Dai valori della funzione ottenuti nei due paragrafi precedenti, scegli il più grande e il più piccolo.

Cosa sono i punti critici? mostra nascondi

Sotto punti critici implicano punti in cui entrambe le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero (cioè $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o almeno una derivata parziale non esiste.

Spesso vengono chiamati i punti in cui le derivate parziali di primo ordine sono uguali a zero punti stazionari. Pertanto, i punti stazionari sono un sottoinsieme dei punti critici.

Esempio 1

Trova i valori massimo e minimo della funzione $z=x^2+2xy-y^2-4x$ nella regione chiusa delimitata dalle linee $x=3$, $y=0$ e $y=x +1$.

Seguiremo quanto sopra, ma prima ci occuperemo del disegno di una data area, che indicheremo con la lettera $D$. Ci vengono date le equazioni di tre rette, che delimitano quest'area. La retta $x=3$ passa per il punto $(3;0)$ parallelo all'asse delle ordinate (asse Oy). La retta $y=0$ è l'equazione dell'asse delle ascisse (asse Ox). Bene, per costruire una retta $y=x+1$ troviamo due punti attraverso i quali tracciare questa retta. Ovviamente puoi sostituire un paio di valori arbitrari invece di $x$. Ad esempio, sostituendo $x=10$, otteniamo: $y=x+1=10+1=11$. Abbiamo trovato il punto $(10;11)$ che giace sulla retta $y=x+1$. Tuttavia, è meglio trovare quei punti in cui la retta $y=x+1$ si interseca con le rette $x=3$ e $y=0$. Perché è meglio? Perché metteremo due piccioni con una fava: otterremo due punti per costruire la retta $y=x+1$ e allo stesso tempo scopriremo in quali punti questa retta interseca altre rette che delimitano il dato la zona. La retta $y=x+1$ interseca la retta $x=3$ nel punto $(3;4)$, e la retta $y=0$ - nel punto $(-1;0)$. Per non ingombrare il corso della soluzione con spiegazioni ausiliarie, porrò in una nota la questione dell'ottenimento di questi due punti.

Come sono stati ottenuti i punti $(3;4)$ e $(-1;0)$? mostra nascondi

Partiamo dal punto di intersezione delle rette $y=x+1$ e $x=3$. Le coordinate del punto desiderato appartengono sia alla prima che alla seconda riga, quindi per trovare coordinate sconosciute è necessario risolvere il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

La soluzione di un tale sistema è banale: sostituendo $x=3$ nella prima equazione avremo: $y=3+1=4$. Il punto $(3;4)$ è il punto di intersezione desiderato delle rette $y=x+1$ e $x=3$.

Ora troviamo il punto di intersezione delle rette $y=x+1$ e $y=0$. Ancora una volta, componiamo e risolviamo il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Sostituendo $y=0$ nella prima equazione, otteniamo: $0=x+1$, $x=-1$. Il punto $(-1;0)$ è il punto di intersezione desiderato delle rette $y=x+1$ e $y=0$ (asse delle ascisse).

Tutto è pronto per costruire un disegno che assomiglierà a questo:

La questione della nota sembra ovvia, perché tutto si vede dalla figura. Tuttavia, vale la pena ricordare che il disegno non può servire come prova. La figura è solo un'illustrazione per chiarezza.

La nostra area è stata impostata usando le equazioni delle linee che la delimitano. È ovvio che queste linee definiscono un triangolo, vero? O non del tutto ovvio? O forse ci viene assegnata un'area diversa, delimitata dalle stesse linee:

Naturalmente, la condizione dice che l'area è chiusa, quindi l'immagine mostrata è sbagliata. Ma per evitare tali ambiguità, è meglio definire le regioni per disuguaglianze. Siamo interessati alla parte del piano situata sotto la linea $y=x+1$? Ok, quindi $y ≤ x+1$. La nostra area dovrebbe trovarsi sopra la linea $y=0$? Ottimo, quindi $y ≥ 0$. A proposito, le ultime due disuguaglianze si combinano facilmente in una sola: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Queste disuguaglianze definiscono il dominio $D$, e lo definiscono in modo univoco, senza alcuna ambiguità. Ma come ci aiuta questo nella domanda all'inizio della nota? Aiuterà anche :) Dobbiamo verificare se il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$. Sostituiamo $x=1$ e $y=1$ nel sistema di disuguaglianze che definiscono questa regione. Se entrambe le disuguaglianze sono soddisfatte, allora il punto si trova all'interno della regione. Se almeno una delle disuguaglianze non è soddisfatta, allora il punto non appartiene alla regione. COSÌ:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Entrambe le disuguaglianze sono vere. Il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$.

Ora è il turno di indagare il comportamento della funzione sul bordo del dominio, cioè vai a. Iniziamo con la retta $y=0$.

La retta $y=0$ (asse delle ascisse) delimita la regione $D$ sotto la condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituisci $y=0$ nella funzione data $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. La funzione di sostituzione risultante di una variabile $x$ sarà indicata come $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ora per la funzione $f_1(x)$ dobbiamo trovare i valori più grandi e più piccoli nell'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Trova la derivata di questa funzione e equiparala a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Il valore $x=2$ appartiene al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, quindi aggiungiamo anche $M_2(2;0)$ alla lista dei punti. Inoltre, calcoliamo i valori della funzione $z$ agli estremi del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè nei punti $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A proposito, se il punto $M_2$ non appartenesse al segmento considerato, ovviamente non sarebbe necessario calcolare il valore della funzione $z$ in esso.

Quindi, calcoliamo i valori della funzione $z$ nei punti $M_2$, $M_3$, $M_4$. Ovviamente puoi sostituire le coordinate di questi punti nell'espressione originale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ad esempio, per il punto $M_2$ otteniamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tuttavia, i calcoli possono essere semplificati un po'. Per fare questo ricordiamo che sul segmento $M_3M_4$ abbiamo $z(x,y)=f_1(x)$. Te lo spiego in dettaglio:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(allineato)

Naturalmente, di solito non sono necessarie voci così dettagliate e in futuro inizieremo a scrivere tutti i calcoli in modo più breve:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Ora passiamo alla retta $x=3$. Questa linea delimita il dominio $D$ sotto la condizione $0 ≤ y ≤ 4$. Sostituisci $x=3$ nella funzione data $z$. Come risultato di tale sostituzione, otteniamo la funzione $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Per la funzione $f_2(y)$, devi trovare i valori più grande e più piccolo sul segmento $0 ≤ y ≤ 4$. Trova la derivata di questa funzione e equiparala a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Il valore $y=3$ appartiene al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, quindi aggiungiamo $M_5(3;3)$ ai punti trovati in precedenza. Inoltre, è necessario calcolare il valore della funzione $z$ nei punti agli estremi del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, cioè nei punti $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. Al punto $M_4(3;0)$ abbiamo già calcolato il valore di $z$. Calcoliamo il valore della funzione $z$ nei punti $M_5$ e $M_6$. Vi ricordo che sul segmento $M_4M_6$ abbiamo $z(x,y)=f_2(y)$, quindi:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(allineato)

E, infine, considera l'ultimo confine di $D$, cioè retta $y=x+1$. Questa linea delimita la regione $D$ sotto la condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituendo $y=x+1$ nella funzione $z$, avremo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ancora una volta abbiamo una funzione di una variabile $x$. E ancora, devi trovare i valori più grandi e più piccoli di questa funzione sul segmento $-1 ≤ x ≤ 3$. Trova la derivata della funzione $f_(3)(x)$ e equiparala a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Il valore $x=1$ appartiene all'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, allora $y=x+1=2$. Aggiungiamo $M_7(1;2)$ all'elenco dei punti e scopriamo qual è il valore della funzione $z$ a questo punto. I punti alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè i punti $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ sono stati considerati in precedenza, abbiamo già trovato il valore della funzione in essi.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Il secondo passaggio della soluzione è completato. Abbiamo sette valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Passiamo a. Scegliendo i valori più grandi e più piccoli da quei numeri che sono stati ottenuti nel terzo paragrafo, avremo:

$$z_(minuto)=-4; \; z_(massimo)=6.$$

Il problema è risolto, resta solo da scrivere la risposta.

Risposta: $z_(minuto)=-4; \; z_(massimo)=6$.

Esempio #2

Trova i valori massimo e minimo della funzione $z=x^2+y^2-12x+16y$ nella regione $x^2+y^2 ≤ 25$.

Costruiamo prima un disegno. L'equazione $x^2+y^2=25$ (questa è la linea di confine dell'area data) definisce un cerchio con un centro nell'origine (cioè nel punto $(0;0)$) e un raggio di 5. La disuguaglianza $x^2 +y^2 ≤ 25$ soddisfa tutti i punti all'interno e sopra la citata circonferenza.

Agiremo su. Troviamo le derivate parziali e scopriamo i punti critici.

$$ \frac(\z parziale)(\x parziale)=2x-12; \frac(\z parziale)(\y parziale)=2y+16. $$

Non ci sono punti in cui le derivate parziali trovate non esistono. Scopriamo in quali punti entrambe le derivate parziali sono contemporaneamente uguali a zero, cioè trovare punti stazionari.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

Abbiamo un punto stazionario $(6;-8)$. Tuttavia, il punto trovato non appartiene alla regione $D$. Questo è facile da mostrare senza nemmeno ricorrere al disegno. Controlliamo se vale la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$, che definisce il nostro dominio $D$. Se $x=6$, $y=-8$, allora $x^2+y^2=36+64=100$, cioè la disequazione $x^2+y^2 ≤ 25$ non è soddisfatta. Conclusione: il punto $(6;-8)$ non appartiene alla regione $D$.

Pertanto, non ci sono punti critici all'interno di $D$. Andiamo avanti, a. Abbiamo bisogno di studiare il comportamento della funzione sul confine dell'area data, cioè sul cerchio $x^2+y^2=25$. Puoi, ovviamente, esprimere $y$ in termini di $x$, e quindi sostituire l'espressione risultante nella nostra funzione $z$. Dall'equazione del cerchio otteniamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sostituendo, ad esempio, $y=\sqrt(25-x^2)$ nella funzione data, avremo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

L'ulteriore soluzione sarà del tutto identica allo studio del comportamento della funzione sul bordo della regione nel precedente esempio n. 1. Tuttavia, mi sembra più ragionevole in questa situazione applicare il metodo di Lagrange. A noi interessa solo la prima parte di questo metodo. Dopo aver applicato la prima parte del metodo di Lagrange, otterremo punti in cui ed esamineremo la funzione $z$ per i valori minimo e massimo.

Componiamo la funzione di Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Troviamo le derivate parziali della funzione di Lagrange e componiamo il corrispondente sistema di equazioni:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (allineato) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(allineato) \ destra. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( allineato)\destra.$$

Per risolvere questo sistema indichiamo subito che $\lambda\neq -1$. Perché $\lambda\neq -1$? Proviamo a sostituire $\lambda=-1$ nella prima equazione:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contraddizione risultante $0=6$ indica che il valore $\lambda=-1$ non è valido. Uscita: $\lambda\neq -1$. Esprimiamo $x$ e $y$ in termini di $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(allineato)

Credo che qui diventi ovvio il motivo per cui abbiamo specificamente stipulato la condizione $\lambda\neq -1$. Questo è stato fatto per adattare l'espressione $1+\lambda$ ai denominatori senza interferenze. Cioè, per essere sicuri che il denominatore sia $1+\lambda\neq 0$.

Sostituiamo le espressioni ottenute per $x$ e $y$ nella terza equazione del sistema, cioè tra $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dall'uguaglianza risultante segue che $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Abbiamo quindi due valori del parametro $\lambda$, ovvero: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Di conseguenza, otteniamo due coppie di valori $x$ e $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(allineato)

Quindi, abbiamo ottenuto due punti di un possibile estremo condizionale, ad es. $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Trova i valori della funzione $z$ nei punti $M_1$ e $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(allineato)

Dovremmo scegliere i valori più grandi e più piccoli tra quelli che abbiamo ottenuto nel primo e nel secondo passaggio. Ma in questo caso la scelta è piccola :) Abbiamo:

$$z_(minuto)=-75; \; z_(massimo)=125. $$

Risposta: $z_(minuto)=-75; \; z_(massimo)=125$.

In questo articolo parlerò di algoritmo per trovare il valore più grande e più piccolo funzione, punti di minimo e massimo.

Dalla teoria, avremo sicuramente bisogno tavola derivata E regole di differenziazione. È tutto in questa bacheca:

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli.

Trovo più facile da spiegare esempio specifico. Prendere in considerazione:

Esempio: Trova il valore più grande della funzione y=x^5+20x^3–65x sul segmento [–4;0].

Passo 1. Prendiamo la derivata.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Passo 2 Trovare i punti estremi.

punto estremo chiamiamo tali punti in cui la funzione raggiunge il suo valore massimo o minimo.

Per trovare i punti estremi, è necessario equiparare la derivata della funzione a zero (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Ora risolviamo questa equazione biquadratica e le radici trovate sono i nostri punti estremi.

Risolvo tali equazioni sostituendo t = x^2, quindi 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Riducendo l'equazione di 5, otteniamo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Facciamo la sostituzione inversa x^2 = t:

X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (escludiamo, non possono esserci numeri negativi sotto la radice, a meno che ovviamente non si parli di numeri complessi)

Totale: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - questi sono i nostri punti estremi.

Passaggio 3 Determina il valore più grande e più piccolo.

Metodo di sostituzione.

Nella condizione, ci è stato assegnato il segmento [b][–4;0]. Il punto x=1 non è incluso in questo segmento. Quindi non lo consideriamo. Ma oltre al punto x=-1, dobbiamo considerare anche i bordi sinistro e destro del nostro segmento, cioè i punti -4 e 0. Per fare ciò, sostituiamo tutti e tre questi punti nella funzione originale. Si noti che quello originale è quello dato nella condizione (y=x^5+20x^3–65x), alcuni iniziano a sostituire nella derivata...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Ciò significa che il valore massimo della funzione è [b]44 e viene raggiunto nei punti [b]-1, che si dice punto massimo della funzione sul segmento [-4; 0].

Abbiamo deciso e ottenuto una risposta, siamo fantastici, puoi rilassarti. Ma fermati! Non pensi che contare y(-4) sia in qualche modo troppo complicato? In condizioni di tempo limitato, è meglio usare un altro metodo, lo chiamo così:

Attraverso intervalli di costanza.

Questi gap si trovano per la derivata della funzione, cioè per la nostra equazione biquadratica.

Lo faccio nel modo seguente. Traccio una linea direzionale. Ho impostato i punti: -4, -1, 0, 1. Nonostante il fatto che 1 non sia incluso nel segmento dato, dovrebbe comunque essere annotato per determinare correttamente gli intervalli di costanza. Prendiamo un numero molte volte maggiore di 1, diciamo 100, sostituiamolo mentalmente nella nostra equazione biquadratica 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Anche senza contare nulla, diventa ovvio che al punto 100 la funzione ha il segno più. Ciò significa che per gli intervalli da 1 a 100 ha un segno più. Passando per 1 (andiamo da destra a sinistra), la funzione cambierà segno in meno. Passando per il punto 0, la funzione manterrà il suo segno, poiché questo è solo il confine del segmento e non la radice dell'equazione. Quando si passa attraverso -1, la funzione cambierà nuovamente segno in più.

Dalla teoria, sappiamo che dov'è la derivata della funzione (e l'abbiamo disegnata per essa) cambia segno da più a meno (punto -1 nel nostro caso) funzione raggiunge il suo massimo locale (y(-1)=44 come calcolato in precedenza) su questo segmento (questo è logicamente molto chiaro, la funzione ha smesso di aumentare, poiché ha raggiunto il suo massimo e ha iniziato a diminuire).

Di conseguenza, dove la derivata della funzione cambia segno da meno a più, raggiunto minimo locale di una funzione. Sì, sì, abbiamo anche trovato il punto di minimo locale, che è 1, e y(1) è il valore minimo della funzione sull'intervallo, diciamo da -1 a +∞. Si noti che questo è solo un MINIMO LOCALE, ovvero un minimo su un determinato segmento. Poiché la funzione minima effettiva (globale) raggiungerà da qualche parte lì, in -∞.

Secondo me, il primo metodo è teoricamente più semplice e il secondo è più semplice in termini di operazioni aritmetiche, ma molto più difficile in termini teorici. Dopotutto, a volte ci sono casi in cui la funzione non cambia segno quando passa attraverso la radice dell'equazione, e in effetti puoi confonderti con questi massimi e minimi locali e globali, anche se dovrai comunque padroneggiarli bene se pianifichi entrare in un'università tecnica (e per cos'altro dare esame di profilo e risolvere questo problema). Ma la pratica e solo la pratica ti insegneranno come risolvere tali problemi una volta per tutte. E puoi allenarti sul nostro sito web. Qui .

Se hai domande o qualcosa non è chiaro, assicurati di chiedere. Sarò felice di risponderti e apportare modifiche, aggiunte all'articolo. Ricorda che stiamo realizzando questo sito insieme!

Vediamo come esplorare una funzione usando un grafico. Si scopre che guardando il grafico puoi scoprire tutto ciò che ci interessa, vale a dire:

portata della funzione
gamma di funzioni
funzione zeri
periodi di aumento e diminuzione
punti alti e bassi
il valore più grande e più piccolo della funzione sull'intervallo.

Chiariamo la terminologia:

Ascissaè la coordinata orizzontale del punto.
Ordinato- coordinata verticale.
ascissa- l'asse orizzontale, più spesso chiamato asse.
Asse Y- asse verticale o asse.

Discussioneè una variabile indipendente da cui dipendono i valori della funzione. Più spesso indicato.
In altre parole, noi stessi scegliamo , sostituiamo nella formula della funzione e otteniamo .

Dominio funzioni - l'insieme di quei (e solo quelli) valori dell'argomento per cui esiste la funzione.
Denotato: o .

Nella nostra figura, il dominio della funzione è un segmento. È su questo segmento che viene disegnato il grafico della funzione. Solo qui esiste questa funzione.

Gamma di funzioniè l'insieme di valori che assume la variabile. Nella nostra figura, questo è un segmento, dal valore più basso a quello più alto.

Funzione zeri- punti in cui il valore della funzione è uguale a zero, cioè . Nella nostra figura, questi sono i punti e .

I valori delle funzioni sono positivi Dove . Nella nostra figura, questi sono gli intervalli e .
I valori delle funzioni sono negativi Dove . Abbiamo questo intervallo (o intervallo) da a.

I concetti più importanti - funzioni crescenti e decrescenti su qualche set. Come set, puoi prendere un segmento, un intervallo, un'unione di intervalli o l'intera linea numerica.

Funzione aumenta

In altre parole, più , più , cioè il grafico va a destra e in alto.

Funzione decrescente sull'insieme se per qualsiasi e appartenente all'insieme la disuguaglianza implica la disuguaglianza .

Per una funzione decrescente, un valore maggiore corrisponde a un valore minore. Il grafico va a destra e in basso.

Nella nostra figura, la funzione aumenta sull'intervallo e diminuisce sugli intervalli e .

Definiamo cos'è punti di massimo e minimo della funzione.

Punto massimo- questo è un punto interno del dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è maggiore che in tutti i punti sufficientemente vicini ad esso.
In altre parole, il punto massimo è tale punto, il valore della funzione in cui Di più che in quelli vicini. Questa è una "collina" locale sulla carta.

Nella nostra figura - il punto massimo.

Punto basso- un punto interno al dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso sia minore che in tutti i punti ad esso sufficientemente vicini.
Cioè, il punto minimo è tale che il valore della funzione in esso contenuto è inferiore rispetto a quelli vicini. Sul grafico, questo è un "buco" locale.

Nella nostra figura - il punto minimo.

Il punto è il confine. Non è un punto interno del dominio di definizione e quindi non si adatta alla definizione di un punto massimo. Dopotutto, non ha vicini a sinistra. Allo stesso modo, non ci può essere un punto minimo sul nostro grafico.

I punti massimo e minimo sono chiamati collettivamente punti estremi della funzione. Nel nostro caso, questo è e .

Ma cosa succede se hai bisogno di trovare, ad esempio, funzione minima sul taglio? In questo caso la risposta è: Perché funzione minimaè il suo valore nel punto di minimo.

Allo stesso modo, il massimo della nostra funzione è . Si arriva al punto .

Possiamo dire che gli estremi della funzione sono uguali a e .

A volte nelle attività devi trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione su un dato segmento. Non coincidono necessariamente con gli estremi.

Nel nostro caso valore minimo della funzione sull'intervallo è uguale e coincide con il minimo della funzione. Ma il suo valore più grande su questo segmento è pari a . Si raggiunge all'estremità sinistra del segmento.

In ogni caso, i valori massimo e minimo di una funzione continua su un segmento si ottengono o nei punti estremi o alle estremità del segmento.

Un compito in miniatura e piuttosto semplice del tipo che funge da ancora di salvezza per uno studente fluttuante. In natura, il sonnolento regno di metà luglio, quindi è ora di sistemarsi con un laptop sulla spiaggia. Giocato la mattina presto raggio di sole teoria per concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la sua pretesa leggerezza, contiene frammenti di vetro nella sabbia. A questo proposito, consiglio di considerare coscienziosamente alcuni esempi di questa pagina. Per risolvere compiti pratici, devi essere in grado di farlo trovare derivati e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonia ed estremi di una funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. In una lezione su continuità di funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Viene formulato il comportamento esemplare di una funzione su un segmento allo stesso modo. Una funzione è continua su un segmento se:

1) è continua sull'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Il secondo paragrafo tratta del cd continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci alla sua definizione, ma mi atterrò alla linea iniziata in precedenza:

La funzione è continua in un punto sulla destra, se è definito in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . È continuo nel punto Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro è uguale al valore in quel punto:

Immagina che i punti verdi siano i chiodi su cui è attaccato l'elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato- una siepe sopra, una siepe sotto e il nostro prodotto pascola in un paddock. Così, una funzione continua su un segmento è limitata su di esso. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato Primo teorema di Weierstrass.... Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente fondate in matematica, ma c'è significato importante. Supponiamo che un certo abitante del medioevo terry abbia tirato il grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto scontata! In effetti, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta che la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede prove =)

Secondo secondo teorema di Weierstrass, continuo sul segmentola funzione raggiunge il suo bordo superiore esatto e il suo bordo inferiore esatto .

Il numero è anche chiamato il valore massimo della funzione sul segmento e denotato da , e il numero - il valore minimo della funzione sul segmento contrassegnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, i record sono comuni .

In parole povere, il valore più grande si trova dove si trova di più punto alto grafica e il più piccolo - dov'è il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, il valore massimo della funzione E valore minimo della funzione – NON LO STESSO, Che cosa funzione massima E funzione minima. Quindi, in questo esempio, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede al di fuori del segmento? Sì, anche l'alluvione, nell'ambito del problema in esame, questo non ci interessa affatto. L'attività consiste nel trovare solo due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi, non c'è bisogno di disegnare!

L'algoritmo giace in superficie e suggerisce se stesso dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Cattura un'altra chicca: non è necessario verificare una condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non ancora garantito qual è il valore minimo o massimo. La funzione demo raggiunge il suo massimo e per volontà del destino lo stesso numero è valore più alto funzioni sull'intervallo Ma, naturalmente, una tale coincidenza non sempre avviene.

Quindi, al primo passaggio, è più veloce e più facile calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se hanno estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori della funzione trovati nel 1° e 2° paragrafo, selezioniamo il più piccolo e il più grande numero, scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva del mare blu e colpiamo i talloni in acque poco profonde:

Esempio 1

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento

Soluzione:
1) Calcola i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcola i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Sono stati ottenuti risultati "audaci" con esponenziali e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo ci armeremo di calcolatrice o Excel e calcoleremo i valori approssimativi, non dimenticando che: