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I logaritmi sono una spiegazione semplice. Formule di registro

Cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, l'argomento dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non credi? Bene. Ora, per circa 10 - 20 minuti tu:

1. Capire cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per questo ti basterà conoscere la tavola pitagorica e come un numero viene elevato a potenza ...

Sento che dubiti ... Beh, tieni il tempo! Andare!

Innanzitutto, risolvi mentalmente la seguente equazione:

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Istruzione

Annotare l'espressione logaritmica data. Se l'espressione utilizza il logaritmo di 10, la sua notazione viene accorciata e appare così: lg b è il logaritmo decimale. Se il logaritmo ha come base il numero e, allora si scrive l'espressione: ln b è il logaritmo naturale. Resta inteso che il risultato di any è la potenza a cui deve essere elevato il numero base per ottenere il numero b.

Quando trovi la somma di due funzioni, devi solo differenziarle una per una e sommare i risultati: (u+v)" = u"+v";

Quando si trova la derivata del prodotto di due funzioni, è necessario moltiplicare la derivata della prima funzione per la seconda e sommare la derivata della seconda funzione, moltiplicata per la prima funzione: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Per trovare la derivata del quoziente di due funzioni è necessario, dal prodotto della derivata del dividendo moltiplicato per la funzione divisore, sottrarre il prodotto della derivata del divisore moltiplicato per la funzione divisore, e dividere tutto questo dalla funzione divisore al quadrato. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se viene data una funzione complessa, è necessario moltiplicare la derivata della funzione interna e la derivata di quella esterna. Sia y=u(v(x)), quindi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando quanto ottenuto sopra, puoi differenziare quasi tutte le funzioni. Vediamo quindi alcuni esempi:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ci sono anche attività per il calcolo della derivata in un punto. Sia data la funzione y=e^(x^2+6x+5), devi trovare il valore della funzione nel punto x=1.
1) Trova la derivata della funzione: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcolare il valore della funzione nel punto dato y"(1)=8*e^0=8

Video collegati

Consigli utili

Impara la tavola delle derivate elementari. Ciò farà risparmiare molto tempo.

Fonti:

derivata costante

Quindi qual è la differenza tra un'equazione irrazionale e una razionale? Se la variabile sconosciuta è sotto il segno della radice quadrata, l'equazione è considerata irrazionale.

Istruzione

Il metodo principale per risolvere tali equazioni è il metodo per sollevare entrambi i lati equazioni in un quadrato. Tuttavia. questo è naturale, il primo passo è sbarazzarsi del segno. Tecnicamente, questo metodo non è difficile, ma a volte può causare problemi. Ad esempio, l'equazione v(2x-5)=v(4x-7). Elevando al quadrato entrambi i lati, ottieni 2x-5=4x-7. Una tale equazione non è difficile da risolvere; x=1. Ma il numero 1 non sarà dato equazioni. Perché? Sostituisci l'unità nell'equazione invece del valore X. E i lati destro e sinistro conterranno espressioni che non hanno senso, cioè. Tale valore non è valido per una radice quadrata. Pertanto, 1 è una radice estranea, e quindi questa equazione non ha radici.

Quindi, l'equazione irrazionale viene risolta usando il metodo del quadrato di entrambe le sue parti. E avendo risolto l'equazione, è necessario tagliare le radici estranee. Per fare ciò, sostituisci le radici trovate nell'equazione originale.

Considerane un altro.
2x+vx-3=0
Naturalmente, questa equazione può essere risolta utilizzando la stessa equazione della precedente. Composti di trasferimento equazioni, che non hanno una radice quadrata, a destra e quindi utilizzare il metodo del quadrato. risolvere l'equazione razionale risultante e le radici. Ma un altro, più elegante. Inserisci una nuova variabile; vx=y. Di conseguenza, otterrai un'equazione come 2y2+y-3=0. Cioè, il solito equazione quadrata. Trova le sue radici; y1=1 e y2=-3/2. Quindi, risolvi due equazioni vx=1; vx \u003d -3/2. La seconda equazione non ha radici, dalla prima troviamo che x=1. Non dimenticare la necessità di controllare le radici.

Risolvere le identità è abbastanza facile. Ciò richiede l'esecuzione di trasformazioni identiche fino al raggiungimento dell'obiettivo. Pertanto, con l'aiuto delle più semplici operazioni aritmetiche, il compito sarà risolto.

Avrai bisogno

- carta;
- penna.

Istruzione

Le trasformazioni più semplici sono le moltiplicazioni abbreviate algebriche (come il quadrato della somma (differenza), la differenza dei quadrati, la somma (differenza), il cubo della somma (differenza)). Inoltre, ci sono molte formule trigonometriche che sono essenzialmente le stesse identità.

Infatti il quadrato della somma di due termini è uguale al quadrato del primo più il doppio del prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo, cioè (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Semplifica entrambi

Principi generali di soluzione

Ripeti da un libro di testo sull'analisi matematica o matematica superiore, che è un integrale definito. Come sai, la soluzione integrale definito c'è una funzione la cui derivata darà un integrando. Questa funzione si chiama primitivo. Secondo questo principio, vengono costruiti gli integrali di base.
Determina in base alla forma dell'integranda quale degli integrali della tabella si adatta questo caso. Non è sempre possibile determinarlo immediatamente. Spesso la forma tabulare diventa evidente solo dopo diverse trasformazioni per semplificare l'integranda.

Metodo di sostituzione delle variabili

Se l'integranda è funzione trigonometrica, il cui argomento è un polinomio, prova a utilizzare il metodo di sostituzione delle variabili. Per fare ciò, sostituisci il polinomio nell'argomento dell'integrando con una nuova variabile. In base al rapporto tra la nuova e la vecchia variabile, determinare i nuovi limiti di integrazione. Differenziando questa espressione, trova un nuovo differenziale in . Pertanto, otterrai una nuova forma del vecchio integrale, vicina o addirittura corrispondente a qualsiasi tabulare.

Soluzione di integrali di seconda specie

Se l'integrale è un integrale del secondo tipo, la forma vettoriale dell'integrando, allora dovrai usare le regole per passare da questi integrali a quelli scalari. Una di queste regole è il rapporto Ostrogradsky-Gauss. Questa legge rende possibile passare dal flusso rotorico di una funzione vettoriale a un integrale triplo sulla divergenza di un dato campo vettoriale.

Sostituzione dei limiti di integrazione

Dopo aver trovato l'antiderivata, è necessario sostituire i limiti dell'integrazione. Innanzitutto, sostituisci il valore del limite superiore nell'espressione per l'antiderivata. Riceverai un numero. Successivamente, sottrai dal numero risultante un altro numero, il limite inferiore risultante all'antiderivata. Se uno dei limiti di integrazione è infinito, quando lo si sostituisce nella funzione primitiva, è necessario andare al limite e trovare a cosa tende l'espressione.
Se l'integrale è bidimensionale o tridimensionale, allora dovrai rappresentare i limiti geometrici dell'integrazione per capire come calcolare l'integrale. Infatti, nel caso, diciamo, di un integrale tridimensionale, i limiti dell'integrazione possono essere interi piani che limitano il volume da integrare.

Come sai, quando moltiplichi le espressioni con le potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b * a c = a b + c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e successivamente, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di indicatori interi. Furono loro a servire per l'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque dove è necessario semplificare la moltiplicazione ingombrante alla semplice addizione. Se passi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorarci. Linguaggio semplice e accessibile.

Definizione in matematica

Il logaritmo è un'espressione della seguente forma: log a b=c, cioè il logaritmo di qualsiasi numero non negativo (cioè qualsiasi positivo) "b" secondo la sua base "a" è considerato il potere di "c ", a cui è necessario elevare la base "a", in modo da ottenere alla fine il valore "b". Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare un grado tale che da 2 al grado richiesto ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli nella tua mente, otteniamo il numero 3! E giustamente, perché 2 elevato a 3 dà il numero 8 nella risposta.

Varietà di logaritmi

Per molti alunni e studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non fanno così paura, l'importante è capirne il significato generale e ricordarne le proprietà e alcune regole. Ce ne sono tre alcuni tipi espressioni logaritmiche:

Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2.7).
Decimale a, dove la base è 10.
Il logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.

Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, è necessario ricordare le loro proprietà e l'ordine delle azioni nelle loro decisioni.

Regole e alcune restrizioni

In matematica esistono diverse regole-limitazioni accettate come assioma, cioè non sono oggetto di discussione e sono vere. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero ed è anche impossibile estrarre la radice di un grado pari da numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:

la base "a" deve essere sempre maggiore di zero, e allo stesso tempo non essere uguale a 1, altrimenti l'espressione perderà il suo significato, perché "1" e "0" in qualsiasi misura sono sempre uguali ai loro valori;
se a > 0, allora a b > 0, risulta che "c" deve essere maggiore di zero.

Come risolvere i logaritmi?

Ad esempio, è stato assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x \u003d 100. È molto semplice, è necessario scegliere una tale potenza, elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 \u003d 100.

Ora rappresentiamo questa espressione come logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni convergono praticamente per trovare il grado in cui deve essere inserita la base del logaritmo per ottenere un dato numero.

Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare a lavorare con una tabella dei gradi. Sembra così:

Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati in modo intuitivo se hai una mentalità tecnica e una conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia, per grandi valori hai bisogno di una tabella dei gradi. Può essere utilizzato anche da coloro che non capiscono assolutamente nulla in argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c, a cui viene elevato il numero a. All'intersezione nelle celle vengono determinati i valori dei numeri, che sono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la primissima cella con il numero 10 e al quadrato otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!

Equazioni e disuguaglianze

Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'equazione logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo di 81 in base 3, che è quattro (log 3 81 = 4). Per potenze negative, le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è l'argomento dei "logaritmi". Considereremo esempi e soluzioni di equazioni un po 'più in basso, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come sono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.

Viene data un'espressione della seguente forma: log 2 (x-1) > 3 - lo è disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto "x" è sotto il segno del logaritmo. E anche nell'espressione vengono confrontate due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.

La differenza più importante tra equazioni logaritmiche e disuguaglianze è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo di 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve la disuguaglianza, sia l'intervallo di valori accettabili e i punti che rompono questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta dell'equazione, ma una serie continua o un insieme di numeri.

Teoremi di base sui logaritmi

Quando si risolvono compiti primitivi sulla ricerca dei valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disuguaglianze logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare in pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. Faremo conoscenza con esempi di equazioni in seguito, analizziamo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.

L'identità di base ha questo aspetto: a logaB =B. Si applica solo se a è maggiore di 0, diverso da uno, e B è maggiore di zero.
Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso, il prerequisito è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione per questa formula di logaritmi, con esempi e una soluzione. Sia logaritmico a s 1 = f 1 e logaritmico a s 2 = f 2 , allora a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà dei gradi ), e ancora per definizione: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che doveva essere dimostrato.
Il logaritmo del quoziente è così: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: log a q b n = n/q log a b.

Questa formula si chiama "proprietà del grado del logaritmo". Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati regolari. Diamo un'occhiata alla prova.

Lascia log a b \u003d t, risulta a t \u003d b. Se elevi entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;

ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n , quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è stato dimostrato.

Esempi di problemi e disuguaglianze

I tipi più comuni di problemi logaritmici sono esempi di equazioni e disuguaglianze. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono inclusi anche nella parte obbligatoria degli esami di matematica. Per entrare in un'università o superare i test di ammissione in matematica, devi sapere come risolvere correttamente tali compiti.

Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, tuttavia, è possibile applicare determinate regole a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Prima di tutto, dovresti scoprire se l'espressione può essere semplificata o ridotta a vista generale. Semplifica lungo espressioni logaritmiche Puoi, se usi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli presto.

Quando si risolvono equazioni logaritmiche, è necessario determinare quale tipo di logaritmo abbiamo davanti a noi: un esempio di espressione può contenere un logaritmo naturale o decimale.

Ecco alcuni esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che è necessario determinare il grado in cui la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per le soluzioni logaritmi naturali si devono applicare le identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata a esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.

Come usare le formule logaritmiche: con esempi e soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei principali teoremi sui logaritmi.

La proprietà del logaritmo del prodotto può essere utilizzata in attività in cui è necessario espandere Grande importanza numeri b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà del grado del logaritmo, siamo riusciti a risolvere a prima vista un'espressione complessa e irrisolvibile. È solo necessario fattorizzare la base e quindi estrarre i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.

Compiti dall'esame

I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Unified State Exam (esame di stato per tutti i diplomati). Di solito questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la più semplice parte di prova esame), ma anche nella parte C (i compiti più difficili e voluminosi). L'esame presuppone un'accurata e perfetta conoscenza dell'argomento "Logaritmi naturali".

Esempi e soluzioni ai problemi sono presi dal funzionario USA le opzioni. Vediamo come vengono risolti tali compiti.

Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2 , per definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4 , quindi 2x = 17; x = 8,5.

È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia ingombrante e confusa.
Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, togliendo l'esponente dell'esponente dell'espressione, che è sotto il segno del logaritmo e come sua base, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Spieghiamolo più facilmente. Ad esempio, \(\log_(2)(8)\) è uguale alla potenza a cui deve essere elevato \(2\) per ottenere \(8\). Da questo è chiaro che \(\log_(2)(8)=3\).

Esempi:	\(\log_(5)(25)=2\)	Perché \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	Perché \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	Perché \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argomento e base del logaritmo

Ogni logaritmo ha la seguente "anatomia":

L'argomento del logaritmo è solitamente scritto al suo livello e la base è scritta in pedice più vicino al segno del logaritmo. E questa voce si legge così: "il logaritmo di venticinque alla base di cinque".

Come calcolare il logaritmo?

Per calcolare il logaritmo, devi rispondere alla domanda: di che grado deve essere elevata la base per ottenere l'argomento?

Per esempio, calcola il logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A quale potenza deve essere elevato \(4\) per ottenere \(16\)? Ovviamente il secondo. Ecco perché:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(5)\) per ottenere \(1\)? E quale grado rende qualsiasi numero un'unità? Zero, ovviamente!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(7)\) per ottenere \(\sqrt(7)\)? Nel primo - qualsiasi numero di primo grado è uguale a se stesso.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A quale potenza deve essere elevato \(3\) per ottenere \(\sqrt(3)\)? Da sappiamo che è una potenza frazionaria, e quindi la radice quadrata è la potenza di \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esempio : Calcola il logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluzione :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Dobbiamo trovare il valore del logaritmo, indichiamolo come x. Ora usiamo la definizione del logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Cosa collega \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Due, perché entrambi i numeri possono essere rappresentati da due: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A sinistra, usiamo le proprietà dei gradi: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cpunto n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Le basi sono uguali, si procede all'uguaglianza degli indicatori
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \(\frac(2)(5)\)
		La radice risultante è il valore del logaritmo

Risposta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Perché è stato inventato il logaritmo?

Per capirlo, risolviamo l'equazione: \(3^(x)=9\). Basta abbinare \(x\) per far funzionare l'uguaglianza. Certo, \(x=2\).

Ora risolvi l'equazione: \(3^(x)=8\). Quanto è uguale a x? Questo è il punto.

I più geniali diranno: "X è poco meno di due". Come deve essere scritto esattamente questo numero? Per rispondere a questa domanda, hanno inventato il logaritmo. Grazie a lui, la risposta qui può essere scritta come \(x=\log_(3)(8)\).

Voglio sottolineare che \(\log_(3)(8)\), così come qualsiasi logaritmo è solo un numero. Sì, sembra insolito, ma è breve. Perché se volessimo scriverlo come decimale, sarebbe così: \(1.892789260714.....\)

Esempio : Risolvi l'equazione \(4^(5x-4)=10\)

Soluzione :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) e \(10\) non possono essere ridotti alla stessa base. Quindi qui non puoi fare a meno del logaritmo. Usiamo la definizione del logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Capovolgi l'equazione in modo che x sia a sinistra
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prima di noi. Sposta \(4\) a destra. E non aver paura del logaritmo, trattalo come un numero normale.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Dividi l'equazione per 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ecco la nostra radice. Sì, sembra insolito, ma la risposta non è scelta.

Risposta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi decimali e naturali

Come affermato nella definizione del logaritmo, la sua base può essere qualsiasi numero positivo, ad eccezione dell'unità \((a>0, a\neq1)\). E tra tutte le possibili basi, ce ne sono due che ricorrono così spesso che con esse è stata inventata una breve notazione speciale per i logaritmi:

Logaritmo naturale: un logaritmo la cui base è il numero di Eulero \(e\) (uguale a circa \(2.7182818…\)), e il logaritmo è scritto come \(\ln(a)\).

Questo è, \(\ln(a)\) equivale a \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimale: un logaritmo in base 10 si scrive \(\lg(a)\).

Questo è, \(\lg(a)\) equivale a \(\log_(10)(a)\), dove \(a\) è un numero.

Identità logaritmica di base

I logaritmi hanno molte proprietà. Uno di questi si chiama "Main identità logaritmica' e assomiglia a questo:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Questa proprietà segue direttamente dalla definizione. Vediamo come è nata questa formula.

Ricordiamo breve nota definizioni di logaritmo:

se \(a^(b)=c\), allora \(\log_(a)(c)=b\)

Cioè, \(b\) è uguale a \(\log_(a)(c)\). Quindi possiamo scrivere \(\log_(a)(c)\) invece di \(b\) nella formula \(a^(b)=c\) . Si è scoperto \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identità logaritmica principale.

Puoi trovare il resto delle proprietà dei logaritmi. Con il loro aiuto, puoi semplificare e calcolare i valori delle espressioni con logaritmi, che sono difficili da calcolare direttamente.

Esempio : trova il valore dell'espressione \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluzione :

Risposta : \(25\)

Come scrivere un numero come logaritmo?

Come accennato in precedenza, qualsiasi logaritmo è solo un numero. È vero anche il contrario: qualsiasi numero può essere scritto come logaritmo. Ad esempio, sappiamo che \(\log_(2)(4)\) è uguale a due. Quindi puoi scrivere \(\log_(2)(4)\) invece di due.

Ma anche \(\log_(3)(9)\) è uguale a \(2\), quindi puoi anche scrivere \(2=\log_(3)(9)\) . Allo stesso modo con \(\log_(5)(25)\), e con \(\log_(9)(81)\), ecc. Cioè, si scopre

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Quindi, se necessario, possiamo scrivere i due come un logaritmo con qualsiasi base ovunque (anche in un'equazione, anche in un'espressione, anche in una disuguaglianza) - scriviamo semplicemente la base quadrata come argomento.

È lo stesso con una tripla: può essere scritta come \(\log_(2)(8)\), o come \(\log_(3)(27)\), o come \(\log_(4)( 64) \) ... Qui scriviamo la base nel cubo come argomento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E con quattro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E con meno uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

E con un terzo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualsiasi numero \(a\) può essere rappresentato come un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esempio : trova il valore di un'espressione \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluzione :

Risposta : \(1\)

Con lo sviluppo della società, la complessità della produzione, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dal consueto metodo contabile di addizione e sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, si arrivò al concetto di moltiplicazione e divisione. La riduzione dell'operazione ripetuta molte volte è diventata il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di elevazione a potenza furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro, puoi contare il tempo di occorrenza dei logaritmi.

Cenni storici

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcolo associato alla moltiplicazione e alla divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche facevano un ottimo servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con operazioni più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare tabelle non solo per gradi sotto forma di numeri primi, ma anche per numeri razionali arbitrari.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per la prima volta il nuovo termine "logaritmo di un numero". Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuovi tavoli, che furono usati con successo dagli scienziati per tre secoli. Ci è voluto molto tempo prima nuova operazione in algebra ha acquisito la sua forma finita. Il logaritmo è stato definito e le sue proprietà sono state studiate.

Solo nel XX secolo, con l'avvento del calcolatore e del computer, l'uomo ha abbandonato le antiche tavole che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.

Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x, che è la potenza di a, per ottenere il numero b. Questo è scritto come una formula: x = log a(b).

Ad esempio, log 3(9) sarà uguale a 2. Questo è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.

Pertanto, la definizione formulata pone solo una restrizione, i numeri a e b devono essere reali.

Varietà di logaritmi

La definizione classica è chiamata logaritmo reale ed è in realtà una soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è al limite e non interessa. Nota: 1 a qualsiasi potenza è 1.

Valore reale del logaritmo definito solo se la base e l'argomento è maggiore di 0 e la base non deve essere uguale a 1.

Posto speciale nel campo della matematica riprodurre logaritmi, che saranno nominati in base al valore della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Come variante di questa affermazione, sarà: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

È facile vedere dalle due regole precedenti che: log a(b p) = p * log a(b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo della somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca del logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici hanno usato la ben nota formula della teoria logaritmica dell'espansione in un polinomio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina l'accuratezza del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sul passaggio da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.

Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici difficili da implementare, hanno utilizzato tabelle logaritmiche precompilate, che hanno notevolmente accelerato l'intero lavoro.

In alcuni casi sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno dato meno precisione, ma hanno notevolmente accelerato la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, permette di trovare con il solito righello i valori della funzione in qualsiasi altro punto. Ingegneri a lungo per questi scopi veniva utilizzata la cosiddetta carta millimetrata.

Nel 17 ° secolo apparvero le prime condizioni di calcolo analogico ausiliario, che a XIX secolo acquisito un aspetto finito. Il dispositivo di maggior successo è stato chiamato regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha notevolmente accelerato il processo di tutti i calcoli ingegneristici, e questo è difficile da sopravvalutare. Attualmente, poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.

L'avvento di calcolatrici e computer ha reso inutile l'utilizzo di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Le seguenti formule vengono utilizzate per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi:

Transizione da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Come conseguenza della versione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

Il valore del logaritmo sarà positivo solo se sia la base che l'argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
Se la funzione logaritmica viene applicata ai lati destro e sinistro della disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Esempi di attività

Considera diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di posizionare il logaritmo in gradi:

Compito 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la notazione è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.

Uso pratico

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra tutt'altro vita reale che il logaritmo assunse improvvisamente grande importanza nella descrizione degli oggetti mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non sia utilizzata. Ciò vale pienamente non solo per i campi della conoscenza naturale, ma anche per quelli umanistici.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi matematici ricerca e allo stesso tempo serviva da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi della descrizione delle leggi fisiche usando il logaritmo.

È possibile risolvere il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:

V = I * ln(M1/M2), dove

V è la velocità finale del velivolo.
I è l'impulso specifico del motore.
M 1 è la massa iniziale del razzo.
M 2 - massa finale.

Altro esempio importante- questo è l'uso nella formula di un altro grande scienziato, Max Planck, che serve per valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

S è una proprietà termodinamica.
k è la costante di Boltzmann.
Ω è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio sarebbe l'uso di formule in chimica contenenti il rapporto dei logaritmi. Ecco solo due esempi:

L'equazione di Nernst, la condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e la costante di equilibrio.
Anche il calcolo di costanti come l'indice di autoprolisi e l'acidità della soluzione non è completo senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

Ed è del tutto incomprensibile cosa c'entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso del valore dell'intensità dello stimolo rispetto al valore dell'intensità inferiore.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato anche in biologia. Si possono scrivere interi volumi sulle forme biologiche corrispondenti alle spirali logaritmiche.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, e governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono collegate progressione geometrica. Vale la pena fare riferimento al sito Web MatProfi e ci sono molti di questi esempi nelle seguenti aree di attività: