삼각형 abc의 주요 요소. 삼각형의 이등분선이란 무엇입니까? 종횡비와 관련된 속성
중등 학교의 수많은 과목 중에는 "기하학"과 같은 것이 있습니다. 전통적으로 이 체계적인 과학의 창시자는 그리스인이라고 믿어집니다. 오늘날 그리스 기하학은 평면, 선 및 삼각형과 같은 가장 단순한 형태에 대한 연구를 시작한 그녀이기 때문에 기본이라고 불립니다. 우리는 후자 또는 오히려 이 그림의 이등분선에 초점을 맞출 것입니다. 이미 잊은 사람들을 위해 삼각형의 이등분선은 삼각형 각도 중 하나의 이등분선의 세그먼트로, 삼각형을 반으로 나누고 꼭지점을 반대쪽에 위치한 점에 연결합니다.
삼각형의 이등분선에는 특정 문제를 풀 때 알아야 하는 여러 속성이 있습니다.
- 각도의 이등분선은 각도에 인접한 측면에서 등거리에 있는 점의 자취입니다.
- 삼각형의 이등분선은 각도의 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 세그먼트로 나눕니다. 예를 들어, 이등분선이 각도 K에서 나오는 삼각형 MKB가 주어지면 이 각도의 꼭지점을 MB의 반대편에 있는 점 A와 연결합니다. 이 속성과 삼각형을 분석하면 MA/AB=MK/KB가 됩니다.
- 삼각형의 세 각의 이등분선이 만나는 점은 같은 삼각형에 내접하는 원의 중심입니다.
- 외각의 이등분선이 삼각형의 반대변과 평행하지 않다면 외각과 내각의 이등분선의 밑변은 같은 선상에 있습니다.
- 1의 두 이등분선이면 이것은
세 개의 이등분선이 주어지면 나침반을 사용하더라도 삼각형을 사용하여 삼각형을 만드는 것은 불가능합니다.
매우 자주 문제를 해결할 때 삼각형의 이등분선을 알 수 없지만 길이를 결정해야 합니다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 이등분선으로 나눈 각도와 이 각도에 인접한 변을 알아야 합니다. 이 경우 원하는 길이는 모서리에 인접한 변의 합과 반으로 나눈 각도의 코사인과 모서리에 인접한 변의 이중 곱의 비율로 정의됩니다. 예를 들어 동일한 삼각형 MKB가 주어집니다. 이등분선은 각도 K를 남기고 점 A에서 MB의 반대쪽과 교차합니다. 이등분선이 떠나는 각도는 y로 표시됩니다. 이제 공식의 형태로 단어로 말한 모든 것을 적어 봅시다: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
삼각형의 이등분선이 나오는 각도의 값을 알 수 없지만 모든 변을 알고 있는 경우 이등분선의 길이를 계산하기 위해 추가 변수를 사용합니다. 문자 P로: P=1/2*(MK+KB+MB). 그 후, 우리는 이등분선의 길이가 결정된 이전 공식을 약간 변경합니다. 즉, 분수의 분자에서 모서리에 인접한 측면 길이의 곱을 반 둘레로 곱한 값의 두 배를 넣습니다. 세 번째 변의 길이를 반주에서 뺀 몫입니다. 분모는 변경하지 않고 그대로 둡니다. 수식의 형태로 보면 다음과 같습니다. KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
이등변 삼각형의 이등분선은 공통 속성과 함께 몇 가지 고유한 속성을 가지고 있습니다. 삼각형이 무엇인지 기억합시다. 이러한 삼각형에서는 두 변이 같고 밑면에 인접한 각도가 같습니다. 따라서 이등변 삼각형의 변으로 내려가는 이등분선은 서로 같습니다. 또한 밑면으로 내려간 이등분선은 동시에 높이이자 중앙값입니다.
삼각형의 내각을 삼각형의 이등분선이라고 합니다.
삼각형의 각도 이등분선은 삼각형의 반대쪽과 이등분선의 교차점과 정점 사이의 세그먼트로 이해됩니다.
정리 8.
삼각형의 세 이등분선은 한 점에서 교차합니다.
실제로 먼저 AK 1과 VC 2와 같이 두 이등분선의 교차점 Р을 고려하십시오. 이 점은 각 A의 이등분선에 있기 때문에 변 AB와 AC로부터 똑같이 떨어져 있고, 각 B의 이등분선에 속하기 때문에 변 AB와 BC로부터도 똑같이 떨어져 있습니다. 변 AC와 BC는 세 번째 이등분선 SK 3에 속합니다. 즉, 점 P에서 세 이등분선이 모두 교차합니다.
삼각형의 내각과 외각의 이등분선 속성
정리 9.
삼각형의 내각의 이등분선은 반대쪽 변을 인접한 변에 비례하는 부분으로 나눕니다. 
증거. 삼각형 ABC와 그 각 B의 이등분선을 고려하십시오. 변 AB의 연장선으로 점 M에서 교차할 때까지 이등분선 BK에 평행하게 꼭지점 C를 통과하는 직선 CM을 그립니다. VC는 각도 ABC의 이등분선이므로 ∠ ABK=∠ KBC입니다. 또한, ∠ ABK=∠ VMS는 평행선에서의 대응각이고, ∠ KBC=∠ VCM은 평행선에서의 교차각이다. 따라서 ∠ VCM=∠ VMS이므로 VMS 삼각형은 이등변이므로 BC=VM입니다. 한 각의 변과 교차하는 평행선에 대한 정리에 따르면 AK:K C=AB:VM=AB:BC를 얻었고 이를 증명해야 했습니다.
정리 10
삼각형 ABC의 외부 각도 B의 이등분선은 유사한 속성을 갖습니다. 정점 A와 C에서 변 AC의 확장과 이등분선의 교차점 L까지의 세그먼트 AL과 CL은 변에 비례합니다. 삼각형: AL: 씨엘=AB :BC .
이 속성은 이전 속성과 동일한 방식으로 증명됩니다. 이등분선 BL에 평행한 보조 직선 CM이 그림에 그려집니다. 각 BMC와 BCM이 같다는 것은 삼각형 BMC의 변 BM과 BC가 같다는 것을 의미합니다. 여기서 우리는 AL:CL=AB:BC라는 결론에 도달합니다.
정리 d4.
(이등분선의 첫 번째 공식): 삼각형 ABC에서 선분 AL이 각도 A의 이등분선이면 AL? = AB AC - LB LC.
증거: M을 선 AL과 삼각형 ABC에 외접하는 원의 교점이라고 하자(그림 41). BAM 각도는 규칙에 따라 MAC 각도와 같습니다. 각 BMA와 BCA는 같은 현을 기준으로 한 내접각과 같습니다. 따라서 삼각형 BAM과 LAC는 두 각도에서 유사합니다. 따라서 AL: AC = AB: AM입니다. 따라서 AL AM = AB AC<=>알 (AL + LM) = AB AC<=>알? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. 증명해야 할 것입니다. 참고: 원에서 교차하는 현의 세그먼트와 내접각에 대한 정리는 주제 원과 원을 참조하십시오.
정리 d5.
(이등분선에 대한 두 번째 공식): 변 AB=a, AC=b 및 각도 A가 2인 삼각형 ABC에서? 및 이등분선 l, 평등이 발생합니다:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.
증거: ABC를 주어진 삼각형, AL을 이등분선(그림 42), a=AB, b=AC, l=AL이라고 하자. 그러면 S ABC = S ALB + S ALC 입니다. 따라서 absin2? = 알신? +블신?<=>2absin?cos? = (a + b)이신?<=>l = 2(ab / (a+b)) cos?. 정리가 입증되었습니다.
삼각형의 각도 이등분선은 무엇입니까? 이 질문에 대해 어떤 사람들은 악명 높은 쥐가 모퉁이를 돌아다니며 모퉁이를 반으로 나눈다고 합니다. 이 질문은 다음과 같이 들렸을 것입니다. 모서리 상단에서 시작하여 후자를 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 기하학에서 이 도형은 삼각형의 반대편과 교차할 때까지 이등분선의 한 부분으로 인식됩니다. 이것은 아니다 잘못된 의견. 그리고 각도 이등분선에 대해 그 정의 외에 또 무엇이 알려져 있습니까?
점의 위치와 마찬가지로 자체 특성이 있습니다. 그 중 첫 번째는 기호가 아니라 다음과 같이 간단히 표현할 수있는 정리입니다. 삼각형."
그것이 갖는 두 번째 속성: 모든 각도의 이등분선의 교점을 내심이라고 합니다.
세 번째 기호: 삼각형의 내각 1개와 외각 2개의 이등분선이 삼각형에 새겨진 세 원 중 하나의 중심에서 교차합니다.
삼각형의 각도 이등분선의 네 번째 속성은 각각이 같으면 마지막 것이 이등변이라는 것입니다.
다섯 번째 기호는 또한 이등변 삼각형과 관련이 있으며 이등분선으로 그림에서 인식하기 위한 주요 지침입니다. 즉, 이등변 삼각형에서는 중앙값과 높이의 역할을 동시에 수행합니다.
각도 이등분선은 나침반과 직선자를 사용하여 구성할 수 있습니다.
여섯 번째 규칙은 정육면체의 2배, 원의 제곱, 각의 삼등분을 구성하는 것이 불가능한 것처럼 사용 가능한 이등분선만으로 삼각형을 구성하는 것은 불가능하다고 말합니다. 엄밀히 말하면 이것은 삼각형 각도의 이등분선의 모든 속성입니다.
이전 단락을 주의 깊게 읽었다면 아마도 한 문구에 관심이 있었을 것입니다. "각도의 삼등분은 무엇입니까?" -반드시 물어볼 것입니다. 삼등분은 이등분선과 조금 비슷하지만 후자를 그리면 각도가 두 등분으로 나뉘고 삼등분을 만들 때 세 부분으로 나뉩니다. 자연스럽게 각의 이등분선은 학교에서 가르치지 않기 때문에 기억하기가 더 쉽습니다. 그러나 완전성을 위해 그것에 대해 말씀 드리겠습니다.
내가 말했듯이 삼등분선은 나침반과 자로만 만들 수는 없지만 Fujita 규칙과 몇 가지 곡선을 사용하여 만들 수 있습니다.
각도의 삼등분 문제는 nevsis의 도움으로 아주 간단하게 해결됩니다.
기하학에는 각도의 삼등분에 대한 정리가 있습니다. 몰리(Morley) 정리라고 합니다. 그녀는 각 각의 중간에 있는 삼등분선의 교차점이 정점이 될 것이라고 말합니다.
큰 삼각형 안에 있는 작은 검은색 삼각형은 항상 정삼각형입니다. 이 정리는 1904년 영국 과학자 프랭크 몰리에 의해 발견되었습니다.
각도의 분할에 대해 얼마나 배울 수 있는지는 다음과 같습니다. 각도의 삼등분선과 이등분선은 항상 자세한 설명이 필요합니다. 그러나 여기에는 Pascal의 달팽이, Nicomedes의 conchoid 등 아직 공개되지 않은 많은 정의가 있습니다. 의심할 여지 없이, 그들에 대해 더 많은 것을 쓸 수 있습니다.
BISSECTOR의 속성
이등분선 속성: 삼각형에서 이등분선은 반대쪽 변을 인접한 변에 비례하는 선분으로 나눕니다.
외각의 이등분선 삼각형의 외각의 이등분선은 한 점에서 변의 연장선과 교차하며, 이 변의 끝점까지의 거리는 각각 삼각형의 인접한 변에 비례합니다. 씨바디
이등분선 길이 공식:
이등분선이 삼각형의 반대편을 나누는 세그먼트의 길이를 찾는 공식
이등분선이 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 길이 비율을 찾는 공식
문제 1. 삼각형의 이등분선 중 하나는 꼭지점에서부터 세어 3:2의 비율로 이등분선의 교점으로 나뉩니다. 이 이등분선을 그리는 삼각형의 한 변의 길이가 12cm일 때 삼각형의 둘레를 구하십시오.
솔루션 우리는 이등분선이 삼각형의 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 길이 비율을 찾기 위해 공식을 사용합니다: 30. 대답: P = 30cm.
작업 2 . 이등분선 BD와 CE ∆ ABC는 점 O에서 교차합니다. AB=14, BC=6, AC=10. OD를 찾으십시오.
해결책. 이등분선의 길이를 구하는 공식을 사용합시다: BD = BD = = 이등분선이 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 비율에 대한 공식에 따르면: l = . 2 + 1 = 모든 것의 세 부분.
파트 1입니다. OD = 정답: OD =
문제 ∆ ABC에서 이등분선 AL과 BK가 그려집니다. 세그먼트 KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5의 길이를 찾으십시오. ∆ ABC에서 이등분선 AD가 그려지고 점 D를 통과하는 직선은 AC와 평행하고 점 E에서 AB와 교차합니다. AB = 5, AC = 7인 경우 면적 ∆ ABC 및 ∆ BDE의 비율을 구합니다. 다리 길이가 24 cm 및 18 cm인 직각 삼각형의 예각의 이등분선을 찾습니다. 직각삼각형의 이등분선 예각반대쪽 다리를 4cm와 5cm 길이로 나누고 삼각형의 면적을 결정하십시오.
5. 이등변삼각형에서 밑변과 변의 길이는 각각 5cm와 20cm이고 삼각형 밑변에서 내각의 이등분선을 구합니다. 6. 다리가 a와 b가 같은 삼각형의 직각의 이등분선을 찾으십시오. 7. 한 변의 길이가 a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm인 삼각형 ABC의 각도 A의 이등분선 길이를 계산합니다. 내각의 이등분선이 교차점에서 나누는 비율을 찾으십시오.
답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: AP = 6 AP = 10 참조 KL = CP =
삼각형의 이등분선은 학습에 큰 어려움을 주지 않는 일반적인 기하학적 개념입니다. 그 속성에 대해 알면 많은 문제를 별 어려움 없이 해결할 수 있습니다. 이등분선이란 무엇입니까? 우리는 이 수학적 선의 모든 비밀을 독자들에게 알리려고 노력할 것입니다.
접촉
개념의 본질
개념의 이름은 라틴어 단어 사용에서 유래했으며 그 의미는 "bi"-two, "section"-cut입니다. 그들은 구체적으로 개념의 기하학적 의미를 가리킨다 - 광선 사이의 공간을 깨는 것 두 개의 동일한 부분으로.
삼각형의 이등분선은 도형의 꼭지점에서 시작하는 선분으로, 다른 쪽 끝은 그 맞은편에 위치하면서 공간을 동일한 두 부분으로 나눈다.
학생들이 수학적 개념을 빠르게 연관 암기하기 위해 많은 교사는 구절이나 연관성에 표시되는 다양한 용어를 사용합니다. 물론 이 정의는 나이가 많은 어린이에게 권장됩니다.
이 선은 어떻게 표시됩니까? 여기서 우리는 세그먼트 또는 광선을 지정하는 규칙에 의존합니다. 만약에 우리 대화하는 중이 야삼각형 각도의 이등분선 지정에 대해 일반적으로 세그먼트로 작성되며 끝은 꼭지점과 꼭지점의 반대쪽과의 교점. 또한 지정의 시작 부분은 위에서부터 정확하게 작성됩니다.
주목!삼각형의 이등분선은 몇 개입니까? 대답은 분명합니다. 정점이 있는 만큼 - 3개입니다.
속성
정의 외에도, 학교 교과서이 기하학적 개념의 속성은 그리 많지 않습니다. 학생들이 소개하는 삼각형의 이등분선의 첫 번째 속성은 내접 중심이고 두 번째 속성은 직접 관련된 세그먼트의 비례입니다. 결론은 이렇습니다.
- 구분선이 무엇이든 그 위에는 다음과 같은 점이 있습니다. 측면에서 같은 거리에, 광선 사이의 공간을 구성합니다.
- 삼각형 도형에 원을 내접하기 위해서는 이 선분이 교차하는 지점을 결정해야 합니다. 이것이 원의 중심점입니다.
- 삼각형 변의 부분 기하학적 도형, 그것의 구분선이 나뉘는 것은, 각을 이루는 변에 비례하여.
우리는 나머지 기능을 시스템으로 가져오고 이 기하학적 개념의 장점을 더 잘 이해하는 데 도움이 되는 추가 사실을 제시하려고 노력할 것입니다.
길이
학생들에게 어려운 과제 중 하나는 삼각형 각도의 이등분선 길이를 찾는 것입니다. 길이가 있는 첫 번째 옵션에는 다음 데이터가 포함됩니다.
- 주어진 세그먼트가 나오는 상단에서 광선 사이의 공간 크기;
- 이 각도를 형성하는 변의 길이.
문제를 해결하려면 공식이 사용됩니다, 그 의미는 각도를 구성하는 측면 값의 두 배가 된 곱의 절반의 코사인에 의해 측면의 합계에 대한 비율을 찾는 것입니다.
구체적인 예를 살펴보겠습니다. 세그먼트가 각도 A에서 그려지고 점 K에서 측면 BC와 교차하는 그림 ABC가 있다고 가정합니다. A의 값을 Y로 표시합니다. 이를 기반으로 AK \u003d (2 * AB * AC * cos (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).
삼각형의 이등분선 길이를 결정하는 문제의 두 번째 버전에는 다음 데이터가 포함됩니다.
- 그림의 모든면의 값이 알려져 있습니다.
이러한 유형의 문제를 풀 때 처음에는 반주를 결정. 이렇게하려면 모든면의 값을 더하고 반으로 나눕니다 : p \u003d (AB + BC + AC) / 2. 다음으로 이전 문제에서 이 세그먼트의 길이를 결정하는 데 사용된 계산 공식을 적용합니다. 새 매개변수에 따라 수식의 본질을 약간만 변경하면 됩니다. 따라서 꼭지점에 인접한 변의 길이의 곱에서 반둘레와 반둘레와 길이의 차이의 곱에서 2도의 2배근의 비율을 구해야 합니다. 각을 구성하는 변의 합에 대한 반대 변. 즉, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC)입니다.
주목!자료를 더 쉽게 마스터하기 위해 인터넷에서 사용 가능한 자료를 참조할 수 있습니다. 만화 이야기,이 라인의 "모험"에 대해 이야기합니다.
