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벡터 i j k의 벡터 곱. 좌표로 주어진 벡터의 벡터 곱

벡터 곱의 개념을 제시하기 전에 3차원 공간에서 정렬된 벡터 a → , b → , c →의 방향 문제로 돌아가 보겠습니다.

우선, 벡터 a → , b → , c → 한 지점에서 따로 설정합시다. 트리플 a → , b → , c → 의 방향은 벡터 c → 의 방향에 따라 오른쪽 또는 왼쪽입니다. 벡터 a → b → 벡터 c의 끝에서 최단 회전을 하는 방향에서 → , 트리플 a → , b → , c → 의 형태가 결정됩니다.

가장 짧은 회전이 시계 반대 방향이면 세 벡터 a → , b → , c → 라고 합니다. 오른쪽시계 방향으로 - 왼쪽.

다음으로 두 개의 비동일선 벡터 a → 및 b →를 취합니다. 그런 다음 점 A에서 벡터 A B → = a → 및 A C → = b →를 연기합니다. A B → 및 A C → 모두에 동시에 수직인 벡터 A D → = c → 를 구성해 봅시다. 따라서 벡터 A D → = c →를 구성할 때 두 가지 작업을 수행할 수 있습니다. 즉, 한 방향 또는 반대 방향을 지정할 수 있습니다(그림 참조).

벡터 a → , b → , c →의 정렬된 트리오는 벡터의 방향에 따라 오른쪽 또는 왼쪽이 될 수 있습니다.

위에서 우리는 벡터 곱의 정의를 소개할 수 있습니다. 이 정의는 3차원 공간의 직각 좌표계에 정의된 두 벡터에 대해 제공됩니다.

정의 1

두 벡터 a → 및 b →의 벡터 곱 우리는 3차원 공간의 직사각형 좌표계에서 주어진 그러한 벡터를 다음과 같이 호출할 것입니다:

벡터 a → 및 b →가 동일 선상에 있으면 0이 됩니다.
벡터 a → 및 벡터 b → 모두에 수직입니다. ∠a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
길이는 공식에 의해 결정됩니다. c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
벡터 a → , b → , c →의 삼중항은 주어진 좌표계와 방향이 같습니다.

벡터 제품벡터 a → 및 b →는 다음 표기법을 가집니다: a → × b → .

교차 제품 좌표

모든 벡터는 좌표계에서 특정 좌표를 가지므로 주어진 벡터 좌표에서 좌표를 찾을 수 있는 벡터 곱의 두 번째 정의를 도입할 수 있습니다.

정의 2

3차원 공간의 직교좌표계에서 두 벡터의 벡터 곱 a → = (a x ; a y ; a z) 및 b → = (b x ; b y ; b z) 벡터를 c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , 여기서 i → , j → , k →는 좌표 벡터입니다.

벡터 곱은 3차 정사각 행렬의 결정자로 나타낼 수 있습니다. 여기서 첫 번째 행은 orta 벡터 i → , j → , k → 이고 두 번째 행은 벡터 a → 의 좌표를 포함하며 세 번째 행은 주어진 직교 좌표계에서 벡터 b의 좌표입니다. 이 행렬 결정자는 다음과 같습니다. c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

첫 번째 행의 요소에 대해 이 행렬식을 확장하면 다음과 같은 평등을 얻습니다. ay bz - az b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - ay b x) k →

교차 제품 속성

좌표의 벡터 곱은 행렬 c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z 의 행렬식으로 표시되는 것으로 알려져 있습니다. 행렬 결정 속성다음과 같은 벡터 제품 속성:

반교환성 a → × b → = - b → × a → ;
분포도 a(1) → +a(2) → × b = a(1) → × b → + a(2) → × b → 또는 a → × b(1) → + b(2) → = a → ×b(1) → +a → ×b(2) → ;
결합성 λ a → × b → = λ a → × b → 또는 a → × (λ b →) = λ a → × b → , 여기서 λ는 임의의 실수입니다.

이러한 속성에는 복잡한 증명이 없습니다.

예를 들어 벡터 곱의 반가환성 속성을 증명할 수 있습니다.

반가환성 증명

정의에 따르면, a → × b → = i → j → k → a x a y az b x by y b z 및 b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y az 입니다. 그리고 행렬의 두 행이 서로 바뀌면 행렬식의 값은 반대로 바뀌어야 하므로 a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , 이는 벡터 곱의 반가환성을 증명합니다.

벡터 제품 - 예제 및 솔루션

대부분의 경우 세 가지 유형의 작업이 있습니다.

첫 번째 유형의 문제에서는 일반적으로 두 벡터의 길이와 그 사이의 각도가 제공되지만 외적의 길이를 찾아야 합니다. 이 경우 다음 공식을 사용합니다. c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

예 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 를 알면 벡터 a → 와 b →의 외적 길이를 구합니다.

해결책

벡터 a → 및 b →의 벡터 곱 길이 정의를 사용하여 다음 문제를 해결합니다. a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

답변: 15 2 2 .

두 번째 유형의 작업은 벡터 좌표와 연결되어 있으며 벡터 곱, 길이 등을 포함합니다. 주어진 벡터의 알려진 좌표를 통해 검색됩니다. a → = (x; ay; az) 그리고 b → = (b x ; b y ; b z) .

이러한 유형의 작업의 경우 작업에 대한 많은 옵션을 해결할 수 있습니다. 예를 들어 벡터 a → 및 b → 의 좌표가 아니라 다음 형식의 좌표 벡터에서의 확장입니다. b → = b x i → + b y j → + b z k → 및 c → = a → × b → = (a y bz - az b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - ay b x) k → , 또는 벡터 a → 및 b →는 그들의 좌표로 주어질 수 있습니다. 시작점과 끝점.

다음 예를 고려하십시오.

예 2

직교좌표계 a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) 에 두 개의 벡터가 설정됩니다. 그들의 벡터 제품을 찾으십시오.

해결책

두 번째 정의에 따르면 주어진 좌표에서 두 벡터의 벡터 곱을 찾습니다. (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k → .

외적을 행렬 행렬식으로 표현하면 솔루션은 다음과 같습니다. 이 예 a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

답변: a → × b → = -2i → -2j → -2k → .

예 3

벡터 i → - j → 및 i → + j → + k → 의 외적 길이를 찾으십시오. 여기서 i → , j → , k → - 직사각형 데카르트 좌표계의 orts입니다.

해결책

먼저 주어진 직각좌표계에서 주어진 벡터곱 i → - j → × i → + j → + k →의 좌표를 찾아보자.

벡터 i → - j → 및 i → + j → + k →는 각각 (1;-1;0) 및 (1;1;1) 좌표를 갖는 것으로 알려져 있습니다. 행렬 행렬식을 사용하여 벡터 곱의 길이를 찾으면 i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

따라서 벡터 곱 i → - j → × i → + j → + k →는 주어진 좌표계에서 (-1; -1;2) 좌표를 갖는다.

공식으로 벡터 곱의 길이를 찾습니다(벡터 길이 찾기 섹션 참조): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

답변: i → -j → × i → +j → +k → = 6 . .

예 4

세 점 A(1 , 0 , 1) , B(0 , 2 , 3) , C(1 , 4 , 2)의 좌표는 직각 데카르트 좌표계로 주어진다. 동시에 A B → 및 A C →에 수직인 벡터를 찾습니다.

해결책

벡터 A B → 및 A C →는 각각 다음 좌표 (-1 ; 2 ; 2) 및 (0 ; 4 ; 1)을 갖습니다. 벡터 A B → 와 A C → 의 벡터 곱을 찾으면 A B → 와 A C → 모두에 대한 정의에 의해 수직 벡터라는 것이 분명합니다. 즉, 우리 문제에 대한 해결책입니다. 찾기 A B → × A C → = i → j → k → -122041 = -6i → +j → -4k → .

답변: - 6i → +j → -4k → . 수직 벡터 중 하나입니다.

세 번째 유형의 문제는 벡터의 벡터 곱 속성을 사용하는 데 중점을 둡니다. 이를 적용한 후 주어진 문제에 대한 해결책을 얻을 것입니다.

실시예 5

벡터 a → 및 b →는 수직이며 길이는 각각 3 및 4입니다. 외적의 길이 구하기 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3a → × - 2b → + - b → × a → + - b → × - 2b → .

해결책

벡터 곱의 분포 특성에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3a → × - 2b → + - b → × a → + - b → × - 2b →

결합성의 성질에 의해 마지막 표현에서 벡터 곱의 부호를 넘어선 수치 계수를 꺼냅니다. 3a → × a → + 3a → × - 2b → + - b → × a → + - b → × - 2b → = = 3a → ×a → +3 (-2)a → ×b → +(-1)b → ×a → +(-1)(-2)b → ×b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

벡터 곱 a → × a → 및 b → × b →는 a → × a → = a → a → sin 0 = 0 및 b → × b → = b → b → sin 0 = 0이므로 0과 같습니다. 그러면 3a → ×a → -6a → ×b → -b → ×a → +2b → ×b → = -6a → ×b → -b → ×a → . .

벡터 곱의 반가환성으로부터 - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

벡터 곱의 속성을 사용하여 등식 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

조건에 따라 벡터 a → 및 b →는 수직입니다. 즉, 이들 사이의 각도는 π 2 와 같습니다. 이제 찾은 값을 해당 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다. 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

답변: 3a → -b → ×a → -2b → = 60 .

정의에 의한 벡터의 외적의 길이는 a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → 입니다. 삼각형의 면적은 두 변의 길이에이 변 사이의 사인을 곱한 곱의 절반과 같다는 것이 (학교 과정에서) 이미 알려져 있기 때문입니다. 따라서 벡터 곱의 길이는 평행 사변형의 영역과 같습니다. 이중 삼각형, 즉 벡터 형태의 변의 곱 a → 및 b → , 사인에 의해 한 점에서 벗어납니다. 그들 사이의 각도 sin ∠ a → , b → .

이것이 벡터 곱의 기하학적 의미입니다.

벡터 곱의 물리적 의미

물리학의 한 분야인 역학에서는 벡터 곱 덕분에 공간의 한 지점에 상대적인 힘의 순간을 결정할 수 있습니다.

정의 3

힘 F → 가 점 B 에 가해지는 순간 점 A 에 대해 우리는 다음 벡터 곱 A B → × F → 를 이해할 것입니다.

텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

그만큼 온라인 계산기벡터의 외적을 계산합니다. 자세한 솔루션이 제공됩니다. 벡터의 외적을 계산하려면 셀에 벡터의 좌표를 입력하고 "계산"을 클릭하십시오.

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데이터 입력 지침.숫자는 정수(예: 487, 5, -7623 등), 소수(예: 67., 102.54 등) 또는 분수로 입력합니다. 분수는 a/b 형식으로 입력해야 합니다. 여기서 a와 b(b>0)는 정수 또는 십진수입니다. 예 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 등

벡터의 외적

벡터의 벡터 곱 정의를 진행하기 전에 다음 개념을 고려하십시오. 벡터의 순서 삼중, 벡터의 왼쪽 삼중, 벡터의 오른쪽 삼중.

정의 1. 세 개의 벡터가 호출됩니다. 트리플 주문(또는 삼중) 이들 벡터 중 어느 것이 첫 번째이고, 두 번째이고, 세 번째인지 표시되는 경우.

녹음 CBA- 의미 - 첫 번째는 벡터입니다. 씨, 두 번째는 벡터입니다 비세 번째는 벡터입니다. ㅏ.

정의 2. 비 동일 평면 벡터의 트리플 알파벳공통 시작으로 축소될 때 이러한 벡터가 각각 크고 구부러지지 않은 인덱스로 정렬되면 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다. 가운데 손가락오른손(왼손).

정의 2는 다른 방식으로 공식화할 수 있습니다.

정의 2. 비 동일 평면 벡터의 트리플 알파벳공통 원점으로 축소될 때 벡터가 씨벡터에 의해 정의된 평면의 다른쪽에 위치 ㅏ그리고 비, 여기서 가장 짧은 회전 ㅏ에게 비시계 반대 방향(시계 방향)으로 수행됩니다.

벡터 트리오 알파벳그림에 나와 있습니다. 1이 맞고 트리플 알파벳그림에 나와 있습니다. 2가 남았습니다.

벡터의 두 트리플이 오른쪽 또는 왼쪽이면 방향이 같다고 합니다. 그렇지 않으면 방향이 반대라고 합니다.

정의 3. 세 개의 기본 벡터가 오른쪽(왼쪽) 트리플을 형성하는 경우 데카르트 또는 아핀 좌표계를 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다.

명확성을 위해 다음에서는 오른손 좌표계만 고려할 것입니다.

정의 4. 벡터 아트벡터 ㅏ벡터당 비벡터라고 함 와 함께, 기호로 표시 c=[ab] (또는 c=[a,b], 또는 c=a×b) 다음 세 가지 요구 사항을 충족합니다.

벡터 길이 와 함께벡터 길이의 곱과 같습니다. ㅏ그리고 비각도의 사인 φ 그들 사이에:

|씨|=|[ab]|=|ㅏ||비|sinφ;

(1)

벡터 와 함께각 벡터에 직교 ㅏ그리고 비;
벡터 씨 3개가 되도록 지시한다. 알파벳맞아.

벡터의 외적은 다음 속성을 갖습니다.

[ab]=−[바] (반순열성요인);
[(λa)비]=λ [ab] (호환성수치적 요인에 비례);
[(a+b)씨]=[ㅏ씨]+[비씨] (분포벡터의 합에 상대적);
[아아]=0 모든 벡터 ㅏ.

벡터 외적의 기하학적 특성

정리 1. 두 벡터가 동일 선상에 있으려면 벡터 곱이 0과 같아야 합니다.

증거. 필요성. 벡터를 보자 ㅏ그리고 비동일선상의 그런 다음 그들 사이의 각도는 0 또는 180°이고 sinφ=sin180=죄 0=0. 따라서 식 (1)을 고려하여 벡터의 길이 씨 0과 같습니다. 그 다음에 씨널 벡터.

적절. 벡터의 외적 ㅏ그리고 비 0으로 이동: [ ab]=0. 벡터임을 증명합시다. ㅏ그리고 비동일선상의 벡터 중 하나 이상이 ㅏ그리고 비 0이면 이러한 벡터는 동일선상에 있습니다(0 벡터는 방향이 불분명하고 모든 벡터에 대해 동일선상에 있는 것으로 간주될 수 있기 때문입니다).

두 벡터 모두 ㅏ그리고 비 0이 아닌 경우 | ㅏ|>0, |비|>0. 그런 다음 [에서 ab]=0이고 (1)에서 sinφ=0. 따라서 벡터 ㅏ그리고 비동일선상의

정리가 입증되었습니다.

정리 2. 벡터 곱의 길이(계수) [ ab] 면적과 같음 에스공통 원점으로 축소된 벡터에 구축된 평행사변형 ㅏ그리고 비.

증거. 아시다시피, 평행사변형의 면적은 이 평행사변형의 인접한 변과 그 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다. 따라서:

그런 다음 이러한 벡터의 외적은 다음 형식을 갖습니다.

첫 번째 행의 요소에 대해 행렬식을 확장하면 벡터의 분해를 얻습니다. a×b기초 아이, 제이, 케이, 이는 공식 (3)과 동일합니다.

정리 증명 3. 기저 벡터의 가능한 모든 쌍을 구성하십시오. 아이, 제이, 케이벡터 곱을 계산합니다. 기본 벡터는 서로 직교하고 오른쪽 삼중을 형성하며 단위 길이를 갖는다는 점을 고려해야 합니다(즉, 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 나={1, 0, 0}, 제이={0, 1, 0}, 케이=(0, 0, 1)). 그런 다음 우리는:

마지막 등식과 관계(4)에서 다음을 얻습니다.

첫 번째 행이 기저 벡터인 3×3 행렬을 구성합니다. 나는, j, k,나머지 행은 벡터 요소로 채워집니다. ㅏ그리고 비:

따라서 벡터의 외적 결과 ㅏ그리고 비벡터가 됩니다:

예 2. 벡터의 외적 찾기 [ ab], 여기서 벡터 ㅏ두 개의 점으로 표시됩니다. 벡터 a의 시작점: , 벡터의 끝점 ㅏ: , 벡터 비형태를 갖는다 .

솔루션 첫 번째 벡터를 원점으로 이동합니다. 이렇게 하려면 끝점의 해당 좌표에서 시작점의 좌표를 뺍니다.

이 행렬의 행렬식을 첫 번째 행에서 확장하여 계산합니다. 이러한 계산의 결과로 벡터의 벡터 곱을 얻습니다. ㅏ그리고 비.

벡터 제품는 3차원 유클리드 공간에서 벡터에 대한 이항 연산 "벡터 곱셈"의 결과인 두 요소에 의해 구성된 평면에 수직인 의사 벡터입니다. 벡터 곱은 가환성 및 결합성(반가환성)의 속성을 갖지 않으며 벡터의 스칼라 곱과 달리 벡터입니다. 많은 기술 및 물리적 응용 분야에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 각운동량과 로렌츠 힘은 외적으로 수학적으로 쓰여집니다. 외적은 벡터의 직각도를 "측정"하는 데 유용합니다. 두 벡터의 외적 계수는 두 벡터가 수직인 경우 해당 계수의 곱과 동일하고 벡터가 평행하거나 역평행이면 0으로 감소합니다.

다양한 방법으로 벡터 곱을 정의할 수 있으며, 이론적으로 모든 n 차원의 공간에서 n-1 벡터의 곱을 계산하면서 모든 벡터에 수직인 단일 벡터를 얻을 수 있습니다. 그러나 곱이 벡터 결과가 있는 사소한 이진 곱으로 제한되는 경우 전통적인 벡터 곱은 3차원 및 7차원 공간에서만 정의됩니다. 벡터 곱의 결과는 스칼라 곱과 마찬가지로 유클리드 공간의 메트릭에 따라 다릅니다.

3차원 직교 좌표계의 벡터 좌표로부터 스칼라 곱을 계산하는 공식과 달리 벡터 곱의 공식은 직교 좌표계의 방향, 즉 "키랄성"에 따라 달라집니다.

정의:
공간 R 3에서 벡터 a와 벡터 b의 벡터 곱을 벡터 c라고 하며 다음 요구 사항을 충족합니다.
벡터 c의 길이는 벡터 a와 b의 길이와 그 사이의 각도 φ의 사인의 곱과 같습니다.
|c|=|a||b|죄 φ;
벡터 c는 벡터 a와 b 각각에 직교합니다.
벡터 c는 벡터 abc의 삼중이 옳도록 방향이 지정됩니다.
공간 R7의 경우 벡터 a,b,c의 삼중 결합성이 필요합니다.
지정:
c===a×b

쌀. 1. 평행 사변형의 면적은 외적의 계수와 같습니다

외적의 기하학적 특성:
0이 아닌 두 벡터의 공선성에 대한 필요 충분 조건은 벡터 곱이 0과 같은 것입니다.

교차 제품 모듈 면적과 같음 에스공통 원점으로 축소된 벡터에 구축된 평행사변형 ㅏ그리고 비(그림 1 참조).

만약에 이자형- 벡터에 직교하는 단위 벡터 ㅏ그리고 비삼중이 되도록 선택했습니다. a,b,e- 맞아, 그리고 에스- 그 위에 지어진 평행 사변형의 면적 (공통 원점으로 축소), 벡터 곱에 대해 다음 공식이 적용됩니다.
=S e

그림 2. 벡터와 벡터의 스칼라 곱을 사용할 때 평행 육면체의 부피; 점선 a × b에 대한 벡터 c와 b × c에 대한 벡터 a의 투영을 표시하려면 첫 번째 단계는 내적을 찾는 것입니다.

만약에 씨- 임의의 벡터 π - 이 벡터를 포함하는 평면, 이자형- 평면에 놓인 단위 벡터 π 직교 c,g- 평면에 직교하는 단위 벡터 π 벡터의 삼중 심전도그렇다면 비행기에 누워있는 모든 사람에게 π 벡터 ㅏ올바른 공식은 다음과 같습니다.
=Pr e a |c|g
여기서 Pre a는 벡터 e를 a에 투영한 값입니다.
|c|-벡터 c의 계수

벡터 및 스칼라 곱을 사용할 때 공통 원점으로 축소된 벡터에 구축된 평행 육면체의 부피를 계산할 수 있습니다. 가, 나그리고 씨. 이러한 세 벡터의 곱을 혼합이라고 합니다.
V=|a(b×c)|
그림은 이 볼륨을 두 가지 방법으로 찾을 수 있음을 보여줍니다. "스칼라" 및 "벡터" 곱이 서로 바뀌어도 기하학적 결과가 보존됩니다.
V=a×b c=a b×c

외적의 값은 원래 벡터 사이 각도의 사인에 따라 달라지므로 외적은 벡터의 "수직성" 정도로 생각할 수 있습니다. "병행". 두 단위 벡터의 외적은 초기 벡터가 수직이면 1(단위 벡터)이고 벡터가 평행하거나 역평행이면 0(제로 벡터)입니다.

데카르트 좌표의 외적 표현
벡터가 두 개인 경우 ㅏ그리고 비직각 데카르트 좌표로 정의되거나 보다 정확하게는 정규 직교 기준으로 표현됩니다.
a=(a x ,ay ,az)
b=(bx,by,bz)
좌표계가 맞다면 벡터 곱의 형식은 다음과 같습니다.
=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)
이 공식을 기억하려면:
i =∑ε ijk a j b k
어디 ε ijk- Levi-Civita의 상징.

이 단원에서는 벡터를 사용하는 두 가지 작업을 더 살펴보겠습니다. 벡터의 외적그리고 벡터의 혼합 곱 (필요하신 분들을 위한 바로가기). 괜찮아요, 때로는 완전한 행복을 위해 벡터의 내적, 점점 더 필요합니다. 이것이 벡터 중독입니다. 해석 기하학의 정글에 들어가고 있다는 인상을 받을 수 있습니다. 이것은 잘못된 것입니다. 고등 수학의 이 섹션에는 일반적으로 피노키오를 위해 충분한 장작을 제외하고는 장작이 거의 없습니다. 사실, 재료는 매우 일반적이고 단순합니다. 동일한 것보다 거의 어렵지 않습니다. 스칼라 곱, 심지어 일반적인 작업이 더 적습니다. 많은 사람들이 보거나 이미 보았듯이 분석 기하학에서 가장 중요한 것은 계산을 잘못하지 않는 것입니다. 주문처럼 반복하면 행복해집니다 =)

멀리 떨어진 곳에서 벡터가 번쩍이는 경우 지평선의 번개처럼 중요하지 않습니다. 수업부터 시작하십시오. 인형용 벡터벡터에 대한 기본 지식을 복원하거나 다시 습득합니다. 좀 더 준비된 독자들이 선별적으로 정보를 접할 수 있도록, 자주 접하는 사례들을 가장 완벽하게 모아 모았습니다. 실무

무엇이 당신을 행복하게 만들까요? 내가 어렸을 때 나는 두 개의 공, 심지어 세 개의 공을 저글링할 수 있었습니다. 잘되었습니다. 이제 우리가 고려할 것이기 때문에 저글링할 필요가 전혀 없습니다. 공간 벡터만, 좌표가 두 개인 플랫 벡터는 제외됩니다. 왜? 이것이 이러한 동작이 탄생한 방식입니다. 벡터와 벡터의 혼합 곱이 정의되고 3차원 공간에서 작동합니다. 이미 더 쉽습니다!

이 연산에서도 스칼라 곱에서와 마찬가지로 두 벡터. 불멸의 편지가되게하십시오.

액션 그 자체 표시다음과 같은 방법으로: . 다른 옵션이 있지만 저는 십자 표시가 있는 대괄호 안에 이런 식으로 벡터의 외적을 지정하는 데 익숙합니다.

그리고 즉시 질문: 있는 경우 벡터의 내적 2개의 벡터가 관련되고 여기서 2개의 벡터도 곱해집니다. 차이점은 무엇입니까? 우선 결과에서 분명한 차이점은 다음과 같습니다.

벡터의 스칼라 곱 결과는 NUMBER입니다.

벡터의 외적 결과는 VECTOR입니다.: 즉, 벡터를 곱하고 다시 벡터를 얻습니다. 폐쇄된 클럽. 사실, 따라서 작업의 이름입니다. 다양한 교육 문학표기법도 다를 수 있으므로 문자 를 사용하겠습니다.

외적의 정의

먼저 그림이 있는 정의가 있고 주석이 있습니다.

정의: 외적 비공선형벡터 , 이 순서대로 찍은, VECTOR라고합니다. 길이숫자로 평행 사변형의 면적과 동일, 이러한 벡터에 구축; 벡터 벡터에 직교, 기초가 올바른 방향을 갖도록 지시됩니다.

우리는 뼈의 정의를 분석합니다. 흥미로운 것들이 많이 있습니다!

따라서 다음과 같은 중요한 사항을 강조할 수 있습니다.

1) 정의에 따라 빨간색 화살표로 표시된 소스 벡터 동일선상에 있지 않다. 공선 벡터의 경우는 조금 후에 고려하는 것이 적절할 것입니다.

2) 벡터 촬영 엄격하게 특정 순서 : – "a"에 "be"를 곱합니다., "be"에서 "a"가 아닙니다. 벡터 곱셈의 결과파란색으로 표시된 VECTOR 입니다. 벡터를 역순으로 곱하면 길이가 같고 방향이 반대인 벡터(진홍색)를 얻습니다. 즉, 평등 .

3) 이제 벡터 곱의 기하학적 의미에 대해 알아 봅시다. 이것은 매우 중요한 포인트입니다! 파란색 벡터의 LENGTH(따라서 진홍색 벡터 )는 벡터 위에 구축된 평행사변형의 면적과 수치적으로 동일합니다. 그림에서 이 평행사변형은 검은색으로 음영 처리되어 있습니다.

메모 : 도면은 개략적이며, 외적의 공칭 길이는 평행사변형의 면적과 같지 않습니다.

우리는 기하학적 공식 중 하나를 기억합니다. 평행 사변형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도의 사인과 같습니다.. 따라서 위의 내용을 기반으로 벡터 곱의 LENGTH를 계산하는 공식이 유효합니다.

공식에서 우리는 벡터 자체가 아니라 벡터의 LENGTH에 대해 이야기하고 있음을 강조합니다. 실용적인 의미는 무엇입니까? 그리고 의미는 분석 기하학의 문제에서 평행 사변형의 영역이 종종 벡터 곱의 개념을 통해 발견된다는 것입니다.

우리는 두 번째 중요한 공식을 얻습니다. 평행사변형의 대각선(빨간색 점선)은 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 벡터(빨간색 음영)를 기반으로 하는 삼각형의 면적은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

4) 이상 중요한 사실벡터가 벡터와 직교한다는 것입니다. 즉, . 물론 반대 방향의 벡터(진홍색 화살표)도 원래 벡터와 직교합니다.

5) 벡터는 기초그것은 가지고있다 오른쪽정위. 에 대한 강의에서 새로운 기반으로의 전환에 대해 자세히 말씀드렸습니다 평면 방향, 이제 우리는 공간의 방향이 무엇인지 알아낼 것입니다. 나는 당신의 손가락에 설명 할 것입니다 오른손. 정신적으로 결합 검지 벡터와 가운데 손가락벡터로. 약지와 새끼 손가락손바닥으로 누르십시오. 결과적으로 무지- 벡터 제품이 조회됩니다. 이것은 오른쪽 지향 기반입니다(그림에 있음). 이제 벡터( 검지와 중지) 결과적으로 어떤 곳에서는 엄지 손가락이 돌아서 벡터 곱이 이미 내려다 보입니다. 이것은 또한 오른쪽 지향 기반입니다. 아마도 당신은 질문이 있을 것입니다: 어떤 근거가 좌파 성향을 가지고 있습니까? 같은 손가락을 "지정" 왼손벡터 , 왼쪽 기준 및 왼쪽 공간 방향을 얻습니다. (이 경우 엄지손가락은 아래쪽 벡터 방향으로 위치하게 됩니다.). 비유적으로 말하자면, 이러한 베이스는 공간을 "비틀거나" 다른 방향으로 향하게 합니다. 예를 들어 가장 일반적인 거울은 공간의 방향을 변경하고 "거울에서 반사 된 물체를 당기면"일반적으로 불가능합니다. "원본"과 결합하십시오. 그건 그렇고, 세 손가락을 거울에 대고 반사를 분석하십시오 ;-)

... 이제 당신이 알게 된 것이 얼마나 좋은지 오른쪽 및 왼쪽 방향오리엔테이션 변경에 대한 일부 강사의 진술이 끔찍하기 때문에 기본 =)

공선 벡터의 벡터 곱

정의는 자세히 설명되었으며 벡터가 동일 선상에 있을 때 어떤 일이 발생하는지 알아내야 합니다. 벡터가 동일 선상에 있으면 하나의 직선에 배치할 수 있으며 평행사변형도 하나의 직선으로 "접힙니다". 수학자들이 말하는 것과 같은 영역은 타락하다평행사변형은 0입니다. 공식에서도 마찬가지입니다. 0도 또는 180도의 사인은 0과 같으며 이는 면적이 0임을 의미합니다.

따라서 만약 , 다음 그리고 . 외적 자체는 0 벡터와 같지만 실제로는 종종 무시되고 0과 같다고 쓰여집니다.

특별한 경우벡터와 자기 자신의 외적입니다.

외적을 사용하여 3차원 벡터의 공선성을 확인할 수 있으며, 이 문제도 분석해 보겠습니다.

실제 사례를 해결하려면 필요할 수 있습니다. 삼각 테이블그것에서 사인 값을 찾으십시오.

글쎄, 불을 피우자 :

예 1

a) 다음과 같은 경우 벡터의 벡터 곱 길이를 찾습니다.

b) 다음과 같은 경우 벡터에 구축된 평행사변형의 영역을 찾습니다.

해결책: 아니요, 오타가 아니라 일부러 조건 항목의 초기 데이터를 동일하게 만들었습니다. 솔루션의 디자인이 다르기 때문입니다!

a) 조건에 따라 찾을 필요가 있습니다. 길이벡터(벡터 곱). 해당 공식에 따르면:

답변:

길이에 대해 질문을 받았기 때문에 답변에서 치수-단위를 나타냅니다.

b) 조건에 따라 찾을 필요가 있습니다. 정사각형벡터에 구축된 평행사변형 . 이 평행 사변형의 면적은 외적의 길이와 수치적으로 같습니다.

답변:

벡터 제품에 대한 답변에는 전혀 이야기가 없다는 점에 유의하십시오. 그림 영역, 치수는 각각 제곱 단위입니다.

우리는 항상 조건에 의해 발견되어야 하는 것이 무엇인지 살펴보고 이를 기반으로 공식화합니다. 분명한답변. 문자주의처럼 보일 수 있지만 교사 중 문자주의자가 충분하고 기회가 좋은 과제는 수정을 위해 반환됩니다. 이것은 특별히 긴장된 nitpick은 아니지만 대답이 정확하지 않으면 그 사람이 단순한 것을 이해하지 못하거나 작업의 본질을 이해하지 못했다는 인상을받습니다. 이 순간은 항상 제어되어 고등 수학 및 기타 과목의 문제를 해결해야 합니다.

큰 글자 "en"은 어디로 갔습니까? 원칙적으로 솔루션에 추가로 붙일 수 있지만 기록을 단축하기 위해 그렇게하지 않았습니다. 나는 모두가 그것을 이해하고 같은 것을 지정하기를 바랍니다.

DIY 솔루션의 인기 있는 예:

예 2

다음과 같은 경우 벡터에 구축된 삼각형의 면적을 찾습니다.

벡터 곱을 통해 삼각형의 면적을 찾는 공식은 정의에 대한 주석에 나와 있습니다. 수업이 끝날 때 솔루션 및 답변.

실제로 작업은 매우 일반적이며 삼각형은 일반적으로 고문을 받을 수 있습니다.

다른 문제를 해결하려면 다음이 필요합니다.

벡터의 외적 속성

우리는 이미 벡터 곱의 일부 속성을 고려했지만 이 목록에 포함시킬 것입니다.

임의 벡터 및 임의 숫자의 경우 다음 속성이 참입니다.

1) 다른 정보 출처에서 이 항목은 일반적으로 속성에서 구분되지 않지만 실용적인 측면에서 매우 중요합니다. 그러니 그대로 두십시오.

2) - 속성은 위에서도 논의되며 때로는 호출됩니다. 반가환성. 즉, 벡터의 순서가 중요합니다.

3) - 조합 또는 연관벡터 제품법. 상수는 벡터 곱의 한계에서 쉽게 벗어납니다. 정말, 그들은 거기서 무엇을 하고 있는 걸까요?

4) - 배포 또는 분포벡터 제품법. 브래킷을 여는 데에도 문제가 없습니다.

시연으로 간단한 예를 고려하십시오.

예 3

경우 찾기

해결책:조건에 따라 벡터 곱의 길이를 다시 찾아야 합니다. 미니어처를 칠해 봅시다.

(1) 결합 법칙에 따라 벡터 곱의 한계를 넘는 상수를 꺼냅니다.

(2) 모듈이 빼기 기호를 "먹는" 동안 모듈에서 상수를 가져옵니다. 길이는 음수가 될 수 없습니다.

(3) 다음은 명확하다.

답변:

불에 나무를 던질 때입니다.

예 4

다음과 같은 경우 벡터에 구축된 삼각형의 면적을 계산합니다.

해결책: 공식을 이용하여 삼각형의 넓이 구하기 . 걸림돌은 벡터 "ce"와 "te" 자체가 벡터의 합으로 표현된다는 것입니다. 여기서 알고리즘은 표준이며 수업의 3번과 4번 예제를 연상시킵니다. 벡터의 내적. 명확성을 위해 세 단계로 나누어 보겠습니다.

1) 첫 번째 단계에서 벡터곱을 통해 벡터곱을 표현하는데, 사실 벡터를 벡터로 표현. 아직 길이에 대한 말은 없습니다!

(1) 벡터의 표현을 대체합니다.

(2) 분배 법칙을 사용하여 다항식의 곱셈 규칙에 따라 괄호를 엽니다.

(3) 결합 법칙을 사용하여 벡터 곱 이외의 모든 상수를 꺼냅니다. 약간의 경험으로 작업 2와 3을 동시에 수행할 수 있습니다.

(4) 쾌적한 속성으로 인해 첫 번째 항과 마지막 항은 0(제로 벡터)과 같습니다. 두 번째 항에서는 벡터 곱의 반가환성 속성을 사용합니다.

(5) 비슷한 용어를 제시합니다.

결과적으로 벡터는 벡터를 통해 표현되는 것으로 판명되었으며, 이는 달성하기 위해 필요한 것입니다.

2) 두 번째 단계에서 필요한 벡터 곱의 길이를 찾습니다. 이 조치는 예 3과 유사합니다.

3) 원하는 삼각형의 영역을 찾습니다.

솔루션의 2-3단계는 한 줄로 정렬할 수 있습니다.

답변:

고려 된 문제는 다음에서 매우 일반적입니다. 제어 작업, 다음은 DIY 솔루션의 예입니다.

실시예 5

경우 찾기

수업이 끝날 때 짧은 솔루션 및 답변. 이전 예제를 공부할 때 얼마나 주의를 기울였는지 봅시다 ;-)

좌표에서 벡터의 외적

, 직교 정규 기준으로 주어진 , 공식으로 표현된다:

공식은 정말 간단합니다. 행렬식의 맨 윗줄에 좌표 벡터를 쓰고 두 번째 및 세 번째 줄에 벡터의 좌표를 "팩"한 다음 엄격한 순서로- 먼저 벡터 "ve"의 좌표, 그 다음 벡터 "double-ve"의 좌표. 벡터를 다른 순서로 곱해야 하는 경우 라인도 바꿔야 합니다.

실시예 10

다음 공간 벡터가 동일 선상에 있는지 확인합니다.
ㅏ)
비)

해결책: 이 테스트는 이 단원의 설명 중 하나를 기반으로 합니다. 벡터가 동일 선상에 있으면 외적은 0(벡터 0)입니다. .

a) 벡터 곱 찾기:

따라서 벡터는 동일 선상에 있지 않습니다.

b) 벡터 곱 찾기:

답변: a) 동일선상에 있지 않음, b)

여기에 아마도 벡터의 벡터 곱에 대한 모든 기본 정보가 있습니다.

벡터의 혼합 곱이 사용되는 경우 문제가 거의 없기 때문에 이 섹션은 그리 크지 않을 것입니다. 실제로 모든 것은 정의, 기하학적 의미 및 몇 가지 작업 공식에 달려 있습니다.

벡터의 혼합 곱은 다음과 같습니다. 세 제품벡터:

이것은 그들이 기차처럼 줄을 서서 기다리는 방법입니다. 그들은 계산될 때까지 기다릴 수 없습니다.

먼저 다시 정의와 그림:

정의: 혼합제품 동일 평면이 아닌벡터 , 이 순서대로 찍은, 호출 평행 육면체의 부피, 이러한 벡터에 구축되며 기저가 맞으면 "+" 기호가 있고 기저가 왼쪽이면 "-" 기호가 있습니다.

그림을 그려봅시다. 우리에게 보이지 않는 선은 점선으로 그려집니다.

정의를 살펴보겠습니다.

2) 벡터 촬영 특정 순서로, 즉, 짐작할 수 있듯이 제품의 벡터 순열은 결과없이 진행되지 않습니다.

3) 기하학적 의미에 대해 언급하기 전에 명백한 사실에 주목하겠습니다. 벡터의 혼합 곱은 NUMBER입니다.: . 교육 문헌에서는 디자인이 다소 다를 수 있으며 혼합 제품을 지정하는 데 사용했으며 문자 "pe"로 계산 결과를 지정했습니다.

A-선발 혼합 제품은 평행 육면체의 부피입니다, 벡터를 기반으로 합니다(그림은 빨간색 벡터와 검은색 선으로 그려짐). 즉, 숫자는 주어진 평행 육면체의 부피와 같습니다.

메모 : 도면은 개략적입니다.

4) 기초와 공간의 방향성 개념으로 다시 귀찮게 하지 말자. 마지막 부분의 의미는 볼륨에 빼기 기호를 추가할 수 있다는 것입니다. 간단히 말해서, 혼합 제품은 음수가 될 수 있습니다: .

벡터에 구축된 평행 육면체의 부피를 계산하는 공식은 정의에서 직접 따릅니다.

벡터 사이의 각도

두 벡터의 외적 개념을 도입하기 위해서는 먼저 두 벡터 사이의 각도와 같은 개념을 다루어야 합니다.

두 개의 벡터 $\overline(α)$와 $\overline(β)$가 주어집니다. 공간에서 어떤 점 $O$를 취하고 벡터 $\overline(α)=\overline(OA)$ 및 $\overline(β)=\overline(OB)$를 따로 설정한 다음 각도 $AOB $ 이 벡터 사이의 각도라고합니다 (그림 1).

표기: $∠(\overline(α),\overline(β))$

벡터의 외적 개념과 구하는 공식

정의 1

두 벡터의 벡터 곱은 주어진 두 벡터에 수직인 벡터이며 길이는 이러한 벡터의 길이와 이러한 벡터 사이의 각도 사인의 곱과 같으며 두 초기 벡터가 있는 이 벡터는 동일합니다. 데카르트 좌표계로 오리엔테이션.

표기법: $\overline(α)х\overline(β)$.

수학적으로는 다음과 같습니다.

$|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
$\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
$(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ 및 $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$는 동일한 지향 (그림 2)

분명히 벡터의 외적은 두 가지 경우에서 0 벡터와 같습니다.

하나 또는 두 벡터의 길이가 0인 경우.
이 벡터 사이의 각도가 $180^\circ$ 또는 $0^\circ$인 경우(이 경우 사인은 0과 같기 때문).

벡터의 외적을 찾는 방법을 명확하게 보려면 다음 솔루션 예제를 고려하십시오.

예 1

좌표 $\overline(α)=(0,4,0)$ 및 $\overline(β)를 사용하여 벡터의 외적 결과가 될 벡터 $\overline(δ)$의 길이를 찾습니다. =(3,0,0)$.

해결책.

데카르트 좌표 공간에서 이러한 벡터를 묘사해 보겠습니다(그림 3).

그림 3. 데카르트 좌표 공간의 벡터. Author24 - 온라인 학생 논문 교환

이러한 벡터는 각각 $Ox$ 및 $Oy$ 축에 있음을 알 수 있습니다. 따라서 그들 사이의 각도는 $90^\circ$와 같습니다. 이 벡터의 길이를 찾아봅시다:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

그런 다음 정의 1에 따라 $|\overline(δ)|$ 모듈을 얻습니다.

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

답: $12$.

벡터 좌표에 의한 외적 계산

정의 1은 두 벡터의 외적을 찾는 방법을 즉시 의미합니다. 벡터는 값 외에 방향도 있기 때문에 스칼라 값만으로는 찾을 수 없습니다. 그러나 그 외에도 좌표를 사용하여 우리에게 주어진 벡터를 찾는 또 다른 방법이 있습니다.

각각 $(α_1,α_2,α_3)$ 및 $(β_1,β_2,β_3)$ 좌표를 갖는 $\overline(α)$ 및 $\overline(β)$ 벡터가 주어집니다. 그런 다음 교차 곱의 벡터(즉, 좌표)는 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

그렇지 않으면 결정자를 확장하면 다음 좌표를 얻습니다.

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

예 2

좌표 $(0,3,3)$ 및 $(-1,2,6)$에서 공선 벡터 $\overline(α)$ 및 $\overline(β)$의 외적 벡터를 찾습니다.

해결책.

위의 공식을 사용해보자. 얻다

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

답: $(12,-3,3)$.

벡터의 외적 속성

임의의 혼합된 세 벡터 $\overline(α)$, $\overline(β)$ 및 $\overline(γ)$ 및 $r∈R$에 대해 다음 속성이 유지됩니다.

예 3

꼭짓점이 좌표 $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ 및 $(3,8,0)인 평행사변형의 영역을 찾습니다. $.

해결책.

먼저 좌표 공간에 이 평행사변형을 그립니다(그림 5).

그림 5. 좌표 공간의 평행사변형. Author24 - 온라인 학생 논문 교환

이 평행사변형의 두 변은 좌표가 $\overline(α)=(3,0,0)$ 및 $\overline(β)=(0,8,0)$인 공선형 벡터를 사용하여 구성됩니다. 네 번째 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.

$S=|\오버라인(α)x\오버라인(β)|$

$\overline(α)х\overline(β)$ 벡터 찾기:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

따라서

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$