4차원 큐브 회전. 모든 사람과 모든 것을 위해

인간 두뇌의 진화는 3차원 공간에서 일어났다. 따라서 우리는 3차원 이상의 차원을 가진 공간을 상상하기 어렵다. 사실 인간의 뇌는 3차원 이상의 기하학적 물체를 상상할 수 없습니다. 동시에 우리는 3차원뿐만 아니라 2차원과 1차원의 기하학적 물체를 쉽게 상상할 수 있습니다.

1차원 공간과 2차원 공간의 차이와 유추, 2차원 공간과 3차원 공간의 차이와 유추는 우리를 더 높은 차원의 공간으로부터 가로막는 미스터리의 장막을 살짝 열어준다. 이 비유가 어떻게 사용되는지 이해하려면 매우 간단한 4차원 객체인 하이퍼큐브, 즉 4차원 큐브를 고려하십시오. 명확성을 위해 특정 문제, 즉 4차원 정육면체의 정사각형 면의 수를 세고 싶다고 가정해 봅시다. 아래의 모든 고려 사항은 증거 없이 순전히 유추에 의해 매우 느슨합니다.

일반 정육면체에서 하이퍼큐브를 만드는 방법을 이해하려면 먼저 일반 정육면체에서 일반 정육면체를 만드는 방법을 살펴봐야 합니다. 이 자료의 독창성을 위해 여기서는 일반 정사각형 SubCube를 호출합니다(서큐버스와 혼동하지 않음).

서브큐브에서 큐브를 구성하려면 서브큐브의 평면에 수직인 방향으로 서브큐브를 3차원 방향으로 확장해야 합니다. 동시에, 큐브의 2차원 측면인 초기 서브큐브의 각 측면에서 서브큐브가 성장하게 되며, 이는 큐브의 3차원 부피를 4면에서 각 방향에 수직인 2개로 제한합니다. 서브큐브의 평면. 그리고 새로운 세 번째 축을 따라 큐브의 3차원 부피를 제한하는 두 개의 하위 큐브도 있습니다. 이것은 우리의 서브큐브가 원래 있던 2차원 면과 큐브 구성의 끝에서 서브큐브가 온 큐브의 2차원 면입니다.

방금 읽은 내용은 지나치게 자세하게 설명되어 있습니다. 그리고 우연이 아닙니다. 이제 우리는 이러한 트릭을 수행하고 이전 텍스트의 일부 단어를 다음과 같이 공식적으로 대체합니다.
큐브 -> 하이퍼큐브
서브큐브 -> 큐브
평면 -> 부피
세 번째 -> 네 번째
2D -> 3D
넷 -> 여섯
3차원 -> 4차원
둘 -> 셋
비행기 -> 우주

결과적으로 우리는 다음과 같은 의미 있는 텍스트를 얻었으며 더 이상 너무 상세하지 않은 것 같습니다.

입방체에서 하이퍼큐브를 만들려면 입방체의 부피에 수직인 방향으로 네 번째 차원 방향으로 입방체를 늘려야 합니다. 동시에 큐브는 하이퍼큐브의 측면 3차원 면인 원래 큐브의 각 측면에서 성장하여 6개의 측면에서 하이퍼큐브의 4차원 볼륨을 제한합니다. 큐브의 공간. 그리고 새로운 네 번째 축을 따라 하이퍼큐브의 4차원 부피를 제한하는 두 개의 큐브도 있습니다. 이것은 우리의 큐브가 원래 있던 3차원 면과 하이퍼큐브 구성의 끝에서 큐브가 온 하이퍼큐브의 3차원 면입니다.

하이퍼큐브 구성에 대한 올바른 설명을 받았다고 확신하는 이유는 무엇입니까? 예, 정확히 동일한 형식의 단어 대체를 통해 사각형 구성에 대한 설명에서 큐브 구성에 대한 설명을 얻습니다. (직접 확인해보세요.)

이제 또 다른 3차원 입방체가 입방체의 각 면에서 자라야 한다면 초기 입방체의 각 가장자리에서 면이 자라야 한다는 것이 분명합니다. 전체적으로 큐브에는 12개의 모서리가 있습니다. 즉, 3차원 공간의 세 축을 따라 4차원 볼륨을 제한하는 6개의 큐브에 대해 추가로 12개의 새 면(하위 큐브)이 있음을 의미합니다. 그리고 네 번째 축을 따라 위와 아래에서 이 4차원 볼륨을 제한하는 두 개의 큐브가 더 있습니다. 각 큐브에는 6개의 면이 있습니다.

전체적으로 우리는 하이퍼큐브가 12+6+6=24개의 정사각형 면을 가지고 있음을 알 수 있습니다.

다음 그림은 하이퍼큐브의 논리적 구조를 보여줍니다. 3차원 공간에 하이퍼큐브를 투영한 것과 같습니다. 이 경우 늑골의 3차원 프레임이 얻어진다. 물론 그림에서 이 프레임이 평면에 투영된 것을 볼 수 있습니다.

이 프레임에서 내부 큐브는 구성이 시작된 초기 큐브이며 바닥에서 네 번째 축을 따라 하이퍼큐브의 4차원 볼륨을 제한합니다. 이 초기 큐브를 네 번째 차원 축을 따라 위로 늘리면 외부 큐브로 들어갑니다. 따라서 이 그림의 외부 및 내부 큐브는 4차원 축을 따라 하이퍼큐브를 제한합니다.

그리고 이 두 정육면체 사이에 6개의 새로운 정육면체를 더 볼 수 있으며, 공통 면으로 처음 두 정육면체와 접촉합니다. 이 여섯 개의 큐브는 3차원 공간의 세 축을 따라 하이퍼큐브를 제한합니다. 보시다시피, 이 3차원 프레임에서 내부 및 외부에 있는 처음 두 개의 큐브와 접촉할 뿐만 아니라 여전히 서로 접촉하고 있습니다.

그림에서 직접 계산하고 하이퍼큐브가 실제로 24개의 면을 가지고 있는지 확인할 수 있습니다. 그러나 여기서 질문이 생깁니다. 이 3D 하이퍼큐브 프레임은 간격 없이 8개의 3D 큐브로 채워져 있습니다. 하이퍼큐브의 이 3D 프로젝션에서 실제 하이퍼큐브를 만들려면 이 프레임을 뒤집어서 8개의 큐브가 모두 4D 볼륨을 제한하도록 해야 합니다.

이렇게 합니다. 우리는 4차원 공간의 거주자를 방문하여 우리를 도와달라고 요청합니다. 이 프레임워크의 내부 큐브를 잡고 3D 공간에 수직인 4차원으로 이동합니다. 3차원 공간에서 우리는 내부 프레임 전체가 사라지고 외부 큐브의 프레임만 남아 있는 것처럼 인식합니다.

다음으로, 4D 어시스턴트가 산부인과 병원에서 고통 없는 출산을 도와주겠다고 제안하지만 임산부는 아기가 단순히 복부에서 사라지고 평행한 3D 공간에서 끝나는 것을 보고 겁을 먹습니다. 따라서 사중은 정중하게 거절합니다.

그리고 우리는 하이퍼큐브 프레임이 뒤집어졌을 때 일부 큐브가 풀렸는지 궁금합니다. 결국, 하이퍼큐브를 둘러싼 일부 3차원 큐브가 프레임의 이웃과 접촉하면 4차원 큐브가 프레임을 뒤집으면 동일한 면에 닿을 것인가?

더 낮은 차원의 공간에 대한 비유로 다시 돌아갑시다. 다음 그림에 표시된 평면에 대한 3D 큐브의 투영과 하이퍼큐브 와이어프레임의 이미지를 비교하십시오.

2차원 공간의 거주자들은 평면 위에 정육면체 프로젝션의 틀을 만들고 이 틀을 뒤집도록 3차원 거주자인 우리를 초대했다. 내부 사각형의 네 꼭지점을 가져와 평면에 수직으로 이동합니다. 동시에 평면 거주자는 내부 프레임 전체가 완전히 사라지고 외부 사각형의 프레임 만 있습니다. 이러한 작업을 통해 가장자리와 접촉한 모든 사각형은 이전과 같이 동일한 가장자리로 계속 접촉합니다.

따라서 하이퍼큐브 프레임을 뒤집어도 하이퍼큐브의 논리 체계가 깨지지 않고 하이퍼큐브의 정사각형 면 수가 증가하지 않고 24개로 유지되기를 바랍니다. 물론 이것은 전혀 증거가 없지만 순전히 유추에 의한 추측입니다.

여기에서 모든 것을 읽은 후에는 5차원 큐브의 논리적 프레임워크를 쉽게 그릴 수 있고 얼마나 많은 정점, 가장자리, 면, 큐브 및 하이퍼큐브가 있는지 계산할 수 있습니다. 전혀 어렵지 않습니다.

4차원 또는 4차원의 우주는 3차원만큼 만족스럽지 않습니다. 구물리학의 3좌표도, 신물리학의 4좌표로도 설명하기에 충분하지 않기 때문에, 우주를 구축하는 데 필요한 모든 데이터를 가지고 있지 않다고 할 수 있습니다. 총우주의 다양한 현상.

다양한 차원의 "큐브"를 순서대로 고려하십시오.

직선 위의 1차원 정육면체는 세그먼트입니다. 2차원 - 정사각형. 사각형의 테두리는 4개의 점으로 구성됩니다. 봉우리그리고 네 개의 세그먼트 - 갈비 살.따라서 사각형에는 경계에 포인트와 세그먼트라는 두 가지 유형의 요소가 있습니다. 3차원 입방체의 경계에는 세 가지 유형의 요소가 포함됩니다. 꼭지점 - 8개, 모서리 (세그먼트) - 12개의 얼굴과 얼굴이 있습니다. (정사각형)-그 중 6 개가 있습니다.1 차원 세그먼트 AB는 2 차원 사각형 ABCD의면 역할을하고 사각형은 큐브 ABCDHEFG의 측면이며 차례로 4의 측면이됩니다 -차원 하이퍼큐브.

따라서 4차원 하이퍼큐브에는 16개의 정점이 있습니다. 원래 큐브의 8개 정점과 4차원에서 이동된 8개의 정점입니다. 여기에는 32개의 모서리가 있습니다. 각각 12개는 원래 큐브의 초기 및 최종 위치를 제공하고 8개의 추가 모서리는 4차원으로 이동한 정점 중 8개를 "그립니다". 하이퍼큐브의 면에 대해서도 같은 추론을 할 수 있습니다. 2차원 공간에서는 1개(정사각형 자체)이고 입방체에는 6개가 있습니다(이동된 정사각형의 2개 면과 측면을 설명하는 4개가 더 있음). 4차원 하이퍼큐브에는 24개의 정사각형 면이 있습니다. 두 위치에 있는 원래 큐브의 12개 정사각형과 12개의 모서리에서 12개 정사각형이 있습니다.

큐브 차원	테두리 치수
2제곱
4 테서랙트

좌표4차원 공간.

직선 위의 점은 숫자로, 평면 위의 점은 한 쌍의 숫자로, 3차원 공간의 한 점은 세 개의 숫자로 정의됩니다. 따라서 이 가상공간의 한 점을 4개의 수로 정의하여 4차원 공간의 기하학을 구성하는 것은 지극히 자연스러운 일이다.

4차원 정육면체의 2차원 면은 좌표 중 두 개가 0에서 1까지 다양한 값을 가질 수 있고 나머지 두 개는 상수(0 또는 1과 같음)인 점 집합입니다.

3D 얼굴 4차원 큐브는 3개의 좌표가 0에서 1까지 가능한 모든 값을 취하고 하나는 상수(0 또는 1과 같음)인 점 집합입니다.

다양한 차원의 큐브 개발.

우리는 세그먼트를 가져와 사방에 세그먼트를 배치하고 이 경우 올바른 세그먼트에 하나를 추가합니다.

정사각형 스캔이 있습니다.

우리는 정사각형을 가져다가 모든면에 정사각형을 놓고이 경우 아래쪽 정사각형에 하나 더 붙입니다.

이것은 3D 큐브입니다.

4차원 큐브

우리는 큐브를 가져다가 사방에 큐브를 놓고 주어진 하단 큐브에 하나 더 붙입니다.

4D 큐브 펼치기

상상해 봅시다 4차원 입방체와이어로 만들어지고 개미가 꼭지점(1;1;1;1)에 앉으면 개미는 갈비뼈를 따라 한 꼭지점에서 다른 꼭지점으로 기어가야 합니다.

질문: 정점(0;0;0;0)에 도달하기 위해 얼마나 많은 모서리를 크롤링해야 합니까?

4개의 모서리를 따라, 즉 꼭짓점(0; 0; 0; 0)은 4차의 꼭짓점이며, 1개의 모서리를 통과하면 좌표 0 중 하나를 갖는 꼭지점에 도달할 수 있습니다. 1 차, 2 개의 모서리를 통과하면 2 개의 0이있는 정점에 도달 할 수 있습니다. 이들은 2 차의 정점입니다. 6 개의 정점이 있으며 3 개의 모서리를 통과하면 3 개의 좌표가 0 인 정점으로 떨어집니다. 이들은 정점입니다. 세 번째 주문.

다차원 공간에는 다른 큐브가 있습니다. tesseract 외에도 차원이 많은 정육면체를 만들 수 있습니다. 5차원 정육면체의 모형은 펜터랙트(Penteract)로, 32개의 꼭짓점, 80개의 모서리, 80개의 면, 40개의 정육면체 및 10개의 정팔포체를 가지고 있습니다.

예술가, 감독, 조각가, 과학자들은 다양한 방식으로 다차원 큐브를 표현합니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

많은 SF 작가들이 그들의 작품에서 정팔포체를 묘사합니다. 예를 들어, Robert Anson Heinlein(1907–1988)은 그의 논픽션 이야기 중 적어도 세 편에서 하이퍼큐브를 언급했습니다. The House of Four Dimensions에서 그는 정팔포체를 펼쳐서 만든 집을 묘사했습니다.

Cube 2의 플롯은 하이퍼큐브에 갇힌 8명의 낯선 사람을 중심으로 합니다.

« 살바도르 달리의 1954년(1951). 달리의 초현실주의는 우리 현실과 다른 세계, 특히 4차원 세계 사이의 접점을 찾고 있었다. 그러므로 한편으로는 놀랍고 다른 한편으로는 기독교 십자가를 형성하는 입방체의 기하학적 도형이 4차원 정육면체나 정팔면체를 3차원 스캔한 이미지라는 것은 놀라운 일이 아니다. .

10월 21일, 펜실베니아 주립대학교 수학과에서 Octacub라는 특이한 조형물이 공개되었습니다. 3차원 공간에 있는 4차원 기하학적 물체의 이미지입니다. 조각품의 저자인 Adrian Okneanu 교수에 따르면 아름다운 모습 4차원 도형의 3차원 투영이 이전에 만들어졌음에도 불구하고 가상적으로나 물리적으로 세상에 그런 것은 없었습니다.

일반적으로 수학자들은 4차원, 5차원, 그 이상의 다차원 물체를 쉽게 다룰 수 있지만 3차원 공간에서 그것들을 묘사하는 것은 불가능합니다. Octacub는 이러한 모든 수치와 마찬가지로 진정한 4차원이 아닙니다. 평평한 종이 위에 지구본의 3차원 표면을 투영한 지도와 비교할 수 있습니다.

4차원 도형의 3차원 투영은 Oknean이 컴퓨터를 사용하는 방사형 스테레오그래피 방법을 사용하여 얻었습니다. 동시에 원래의 4차원 도형의 대칭성을 유지했습니다. 이 조각품은 24개의 정점과 96개의 면을 가지고 있습니다. 4차원 공간에서 인물의 얼굴은 직선이지만 투영에서는 곡선입니다. 3차원 투영의 면과 원본 도형 사이의 각도는 동일합니다.

Octacube는 Pennsylvania State University 엔지니어링 작업장에서 스테인리스 스틸로 제작되었습니다. 이 조각품은 수학 학부의 McAllister 이름을 딴 개조된 건물에 설치되었습니다.

다차원 공간은 Rene Descartes, Hermann Minkowski와 같은 많은 과학자들의 관심 대상이었습니다. 요즘에는 이 주제에 대한 지식이 증가하고 있습니다. 우리 시대의 수학자, 연구자 및 발명가가 목표를 달성하고 과학을 발전시키는 데 도움이 됩니다. 다차원 공간으로의 발걸음은 인류의 새롭고 더 발전된 시대로의 발걸음입니다.

τέσσαρες ἀκτίνες - 4개의 빔) - 4차원 하이퍼큐브- 4차원 공간의 아날로그.

이미지는 4차원 정육면체를 3차원 공간에 투영()한 것입니다.

차원이 3개 이상인 경우에 대한 입방체의 일반화를 이라고 합니다. 하이퍼큐브 또는 (en:다포체 측정). 공식적으로 하이퍼큐브는 4개의 동일한 세그먼트로 정의됩니다.

이 문서는 주로 4차원에 대해 설명합니다. 하이퍼큐브, 라고 불리는 정팔포체.

대중적인 설명

우리의 3차원을 떠나지 않고 하이퍼큐브가 어떻게 생겼는지 상상해 봅시다.

1 차원 "공간"에서-선에서-길이 L의 AB를 선택합니다. AB에서 L 거리에있는 2 차원 "공간"에서 세그먼트 DC를 평행하게 그리고 끝을 연결합니다. 사각형 ABCD를 가져옵니다. 이 작업을 평면으로 반복하면 3차원 큐브 ABCDHEFG를 얻습니다. 그리고 4차원(처음 3차원에 수직!)에 있는 큐브를 거리 L만큼 이동하면 하이퍼큐브가 생성됩니다.

1차원 선분 AB는 2차원 정사각형 ABCD의 면 역할을 하고, 정사각형은 입방체 ABCDHEFG의 측면이며, 차례로 4차원 하이퍼큐브의 측면이 됩니다. 직선 세그먼트에는 2개의 경계점이 있고 정사각형에는 4개의 정점이 있으며 입방체에는 8개의 경계점이 있습니다. 따라서 4차원 하이퍼큐브에는 16개의 정점이 있습니다. 원래 큐브의 8개 정점과 4차원에서 이동된 8개의 정점입니다. 여기에는 32개의 모서리가 있습니다. 각각 12개는 원래 큐브의 초기 및 최종 위치를 제공하고 8개의 추가 모서리는 4차원으로 이동한 정점 중 8개를 "그립니다". 하이퍼큐브의 면에 대해서도 같은 추론을 할 수 있습니다. 2차원 공간에서는 1개(정사각형 자체)이고 입방체에는 6개가 있습니다(이동된 정사각형의 2개 면과 측면을 설명하는 4개가 더 있음). 4차원 하이퍼큐브에는 24개의 정사각형 면이 있습니다. 두 위치에 있는 원래 큐브의 12개 정사각형과 12개의 모서리에서 12개 정사각형이 있습니다.

비슷한 방식으로 우리는 더 많은 차원의 하이퍼큐브에 대한 추론을 계속할 수 있지만 3차원 공간의 거주자인 우리에게 어떻게 보일지 보는 것이 훨씬 더 흥미로울 것입니다. 4차원 하이퍼큐브. 이를 위해 이미 친숙한 유추 방법을 사용합시다.

와이어 큐브 ABCDHEFG를 가져다가 얼굴 측면에서 한쪽 눈으로 봅시다. 우리는 평면에서 두 개의 사각형(가까운 면과 먼 면)을 보고 그릴 수 있으며 네 개의 선(측면 가장자리)으로 연결됩니다. 마찬가지로 3차원 공간의 4차원 하이퍼큐브는 서로 삽입되고 8개의 모서리로 연결된 두 개의 입방체 "상자"처럼 보입니다. 이 경우 "상자"자체 (3 차원면)가 "우리"공간에 ​​투영되고 상자를 연결하는 선이 4 차원으로 늘어납니다. 투영이 아닌 공간 이미지에서 큐브를 상상해 볼 수도 있습니다.

3차원 정육면체가 한 면의 길이만큼 이동한 정사각형으로 형성되는 것처럼 4차원으로 이동된 정육면체는 하이퍼큐브를 형성합니다. 8개의 큐브로 제한되며 앞으로는 다소 복잡한 그림처럼 보일 것입니다. "우리" 공간에 남아있는 부분이 그려져 있습니다. 실선, 초공간으로 들어간 것은 점으로 표시됩니다. 4차원 하이퍼큐브 자체는 무한한 수의 큐브로 구성됩니다. 마치 3차원 큐브가 무한한 수의 평평한 사각형으로 "절단"될 수 있는 것과 같습니다.

3차원 정육면체의 8면을 자르면 다음과 같이 분해할 수 있습니다. 평면도- 스윕. 원래 면의 각 면에 사각형이 하나 더 있고 반대쪽 면이 하나 더 있습니다. 4차원 하이퍼큐브의 3차원 개발은 원래 큐브, 여기에서 "성장"하는 6개의 큐브, 그리고 하나 더인 최종 "하이퍼페이스"로 구성됩니다.

tesseract의 속성은 속성의 확장입니다. 기하학적 모양아래 표에 제시된 4차원 공간으로 더 작은 차원.

4차원 공간이 무엇인지 설명하는 것으로 시작하겠습니다.

이것은 1차원 공간, 즉 단순히 OX 축입니다. 그 위의 모든 지점은 하나의 좌표로 특징지어집니다.

이제 OX 축에 수직인 OY 축을 그립니다. 그래서 우리는 2차원 공간, 즉 XOY 평면을 얻었습니다. 그 위의 모든 점은 가로 좌표와 세로 좌표의 두 좌표로 특징지어집니다.

축 OX와 OY에 수직인 OZ축을 그려봅시다. 모든 점이 가로 좌표, 세로 좌표 및 응용 프로그램을 갖는 3차원 공간을 얻게 됩니다.

네 번째 축인 OQ가 동시에 축 OX, OY 및 OZ에 수직이어야 한다는 것은 논리적입니다. 그러나 우리는 그러한 축을 정확하게 구성할 수 없기 때문에 그것을 상상하려고 노력하는 것만 남아 있습니다. 4차원 공간의 모든 점에는 x, y, z 및 q의 네 가지 좌표가 있습니다.

이제 4차원 큐브가 어떻게 나타나는지 봅시다.

그림은 1차원 공간의 도형인 선을 보여줍니다.

이 선을 OY 축을 따라 평행 이동한 다음 두 결과 선의 해당 끝을 연결하면 정사각형이 됩니다.

마찬가지로 OZ 축을 따라 사각형을 평행 이동하고 해당 꼭짓점을 연결하면 입방체를 얻습니다.

그리고 OQ 축을 따라 큐브를 평행 이동하고 이 두 큐브의 정점을 연결하면 4차원 큐브를 얻을 수 있습니다. 그건 그렇고, 그것은 호출 정팔포체.

평면에 큐브를 그리려면 큐브가 필요합니다. 프로젝트. 시각적으로 다음과 같이 보입니다.

표면 위의 공기 중에 매달려 있다고 상상해보십시오. 와이어프레임 모델입방체, 즉 "철사로 만든"것과 그 위에 전구가 있습니다. 전구를 켜고 큐브의 그림자를 연필로 그린 다음 전구를 끄면 큐브의 투영이 표면에 표시됩니다.

좀 더 복잡한 것으로 넘어 갑시다. 전구가 있는 그림을 다시 보십시오. 보시다시피 모든 광선이 한 지점으로 수렴됩니다. 그것은이라고 소실점구축하는 데 사용됩니다. 원근 투영(때때로 평행, 모든 광선이 서로 평행할 때. 그 결과 부피감이 없지만 더 가벼워지고 소실점이 투사된 물체에서 충분히 멀어지면 이들 사이의 차이는 두 개의 투영은 거의 눈에 띄지 않습니다). 소실점을 사용하여 주어진 점을 주어진 평면에 투영하려면 소실점과 주어진 점을 통과하는 선을 그린 다음 결과 선과 평면의 교차점을 찾아야 합니다. 그리고 더 많이 투사하기 위해 복잡한 그림예를 들어 입방체의 각 정점을 투영한 다음 해당 점을 연결해야 합니다. 유의해야 할 점은 공간 대 부분 공간 프로젝션 알고리즘 3D->2D가 아닌 4D->3D로 일반화할 수 있습니다.

내가 말했듯이 우리는 OQ 축이 정확히 어떻게 생겼는지 상상할 수 없으며 정팔포체도 상상할 수 없습니다. 그러나 볼륨에 투영한 다음 컴퓨터 화면에 그리면 제한된 아이디어를 얻을 수 있습니다!

이제 tesseract의 투영에 대해 이야기합시다.

왼쪽은 큐브가 평면에 투영된 것이고 오른쪽은 테서렉트가 볼륨에 투영된 것입니다. 그들은 매우 유사합니다. 입방체의 투영은 선으로 연결된 해당 꼭지점이있는 크고 작은 두 개의 사각형처럼 보입니다. 그리고 정팔포체의 투영은 크고 작은 두 개의 정육면체처럼 보이며 하나는 다른 하나 안에 있고 해당 정점이 연결되어 있습니다. 그러나 우리는 모두 정육면체를 보았고, 작은 정사각형과 큰 정사각형, 그리고 작은 정사각형의 위, 아래, 오른쪽, 왼쪽에 있는 4개의 사다리꼴은 사실 정사각형이라고 자신 있게 말할 수 있습니다. 같다. 테서랙트도 마찬가지입니다. 그리고 큰 입방체, 작은 입방체, 작은 입방체의 측면에 있는 6개의 잘린 피라미드 - 이들은 모두 입방체이며 동일합니다.

내 프로그램은 정팔포체의 투영을 볼륨에 그릴 수 있을 뿐만 아니라 회전시킬 수도 있습니다. 이것이 어떻게 수행되는지 봅시다.

먼저 무엇인지 알려드릴께요 평면에 평행한 회전.

입방체가 OZ 축을 중심으로 회전한다고 상상해 보십시오. 그런 다음 각 정점은 OZ 축 주위의 원을 나타냅니다.

원은 평평한 도형입니다. 그리고 각 원의 평면은 서로 평행하며 이 경우에는 XOY 평면과 평행합니다. 즉, OZ축을 중심으로 회전하는 것 뿐만 아니라 XOY평면에 평행한 회전에 대해서도 이야기할 수 있는데, 보시다시피 XOY축에 평행하게 회전하는 점의 경우 가로 좌표와 세로 좌표만 바뀌고 Applicate는 변하지 않고 유지됩니다. 사실 우리는 3차원 공간을 다룰 때만 직선 주위의 회전에 대해 이야기할 수 있습니다. 2D에서는 모든 것이 점을 중심으로 회전하고, 4D에서는 모든 것이 평면을 중심으로 회전하며, 5D 공간에서는 볼륨을 중심으로 한 회전에 대해 이야기합니다. 그리고 점을 중심으로 한 회전을 상상할 수 있다면 평면과 부피를 중심으로 한 회전은 생각할 수 없는 것입니다. 그리고 평면에 평행한 회전에 대해 이야기하면 n차원 공간에서 점은 평면에 평행하게 회전할 수 있습니다.

많은 분들이 회전 행렬에 대해 들어보셨을 것입니다. 점을 곱하면 각도 phi만큼 평면에 평행하게 회전한 점이 생깁니다. 2차원 공간의 경우 다음과 같습니다.

곱하는 방법: 각도 phi로 회전한 점의 x = 원래 점의 각도 phi*x의 코사인에서 원래 점의 각도 phi*y의 사인을 뺀 값;
각도 phi에 의해 회전된 점의 y=원점의 각도 phi*x의 사인 + 원래 점의 각도 phi*y의 코사인.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, 여기서 Xa 및 Ya는 회전할 점의 가로 좌표 및 세로 좌표이고, Xa` 및 Ya`는 이미 회전된 점의 가로 좌표 및 세로 좌표입니다.

3차원 공간에서 이 행렬은 다음과 같이 일반화됩니다.

XOY 평면에 평행한 회전. 보시다시피 Z 좌표는 변경되지 않고 X와 Y만 변경됩니다.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (본질적으로 Za`=Za)

XOZ 평면에 평행한 회전. 새로운 것은 없다,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (사실 Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

그리고 세 번째 행렬입니다.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (본질적으로 Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

4차원의 경우 다음과 같이 표시됩니다.


나는 당신이 무엇을 곱해야 하는지 이미 이해했다고 생각하므로 다시 칠하지 않겠습니다. 그러나 3차원 공간에서 평면에 평행하게 회전하기 위한 행렬과 동일합니다! 저것과 이것 모두 세로좌표와 적용범위만 변경하고 나머지 좌표는 건드리지 않기 때문에 3차원의 경우에는 그냥 네 번째 좌표를 무시하고 사용할 수 있습니다.

그러나 투영 공식을 사용하면 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 포럼을 아무리 많이 읽어도 어느 프로젝션 방법도 나에게 적합하지 않았습니다. 투영이 3차원으로 보이지 않기 때문에 병렬은 나에게 적합하지 않았습니다. 일부 투영 공식에서 점을 찾으려면 방정식 시스템을 풀어야합니다 (그리고 컴퓨터가 해결하도록 가르치는 방법을 모르겠습니다) 다른 사람들을 이해하지 못했습니다 ... 일반적으로 결정했습니다. 나만의 방법을 찾기 위해. 이를 위해 투영 2D->1D를 고려하십시오.

pov는 "관점"(시점)을 의미하고, ptp는 "투영할 점"(투사할 점)을 의미하며, ptp`는 OX축에서 원하는 점입니다.

각도 povptpB 및 ptpptp`A는 대응하는 것과 동일합니다(파선은 축 OX에 평행하고 선 povptp는 시컨트입니다).
ptp`의 x는 ptp의 x에서 세그먼트 ptp`A의 길이를 뺀 것과 같습니다. 이 세그먼트는 삼각형 ptpptp`A에서 찾을 수 있습니다: ptp`A = ptpA/각도 ptpptp`A의 접선. 삼각형 povptpB에서 이 접선을 찾을 수 있습니다: 각도 ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp)의 접선.
답변: Xptp`=Xptp-Yptp/각도 ptpptp`A의 탄젠트.

공식이 다소 변경되는 특수한 경우가 많기 때문에 여기서는 이 알고리즘을 자세히 설명하지 않았습니다. 누가 신경 쓰나요-프로그램의 소스 코드를 보면 모든 것이 주석에 기록됩니다.

3차원 공간의 한 점을 평면에 투영하기 위해 XOZ와 YOZ라는 두 평면을 고려하고 각각에 대해 이 문제를 해결합니다. 4차원 공간의 경우 이미 XOQ, YOQ 및 ZOQ의 세 평면을 고려할 필요가 있습니다.

그리고 마지막으로 프로그램에 대해. 그것은 다음과 같이 작동합니다: 정팔포체의 16개 꼭짓점 초기화 -> 사용자가 입력한 명령에 따라 회전 -> 볼륨에 투영 -> 사용자가 입력한 명령에 따라 투영 회전 -> 평면에 투영 -> 그립니다.

내가 직접 작성한 투영 및 회전. 방금 설명한 공식에 따라 작동합니다. OpenGL 라이브러리는 선을 그리고 색상을 혼합합니다. 정팔포체 정점의 좌표는 다음과 같이 계산됩니다.

원점과 길이 2 - (1) 및 (-1)을 중심으로 하는 선 정점 좌표;
- "-" - 정사각형 - "-" - 길이가 2인 가장자리:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) 및 (-1; -1);
- " - " - 큐브 - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
보시다시피 정사각형은 OY 축 위에 한 줄, OY 축 아래에 한 줄입니다. 정육면체는 XOY 평면 앞에 한 칸, 그 뒤에 한 칸입니다. 정팔포체는 XOYZ 볼륨의 다른 쪽에 있는 하나의 큐브이고 이쪽에 있는 하나입니다. 그러나 이러한 단위와 마이너스 단위의 교대는 열에 작성되어 있으면 훨씬 쉽게 인식할 수 있습니다.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

첫 번째 열에서 1과 마이너스 1이 번갈아 나타납니다. 두 번째 열에는 먼저 두 개의 플러스가 있고 두 개의 마이너스가 있습니다. 세 번째 - 4 더하기 1, 그리고 4 빼기 1. 이들은 입방체의 꼭대기였습니다. tesseract에는 두 배나 많기 때문에 선언주기를 작성해야했습니다. 그렇지 않으면 혼동하기가 매우 쉽습니다.

내 프로그램은 애너글리프를 그리는 방법도 알고 있습니다. 3D 안경의 행복한 소유자는 입체 사진을 볼 수 있습니다. 그림을 그리는 데 까다로운 것은 없으며 오른쪽과 왼쪽 눈에 대해 평면에 두 개의 투영을 그립니다. 그러나이 프로그램은 훨씬 더 시각적이고 흥미로워지며 가장 중요한 것은 4 차원 세계에 대한 더 나은 아이디어를 제공한다는 것입니다.

덜 중요한 기능 - 회전을 더 잘 볼 수 있도록 얼굴 중 하나를 빨간색으로 강조 표시하고 사소한 편의 - "눈"점의 좌표 조정, 회전 속도 증가 및 감소.

프로그램, 소스 코드 및 사용 지침과 함께 보관하십시오.

기하학에서 하이퍼큐브- 이것 N-정사각형의 차원 유추( N= 2) 및 큐브( N= 3). 이것은 그림의 반대쪽 가장자리에 위치한 평행선 그룹으로 구성되고 서로 직각으로 연결된 닫힌 볼록 그림입니다.

이 수치는 정팔포체(테서렉트). 큐브가 정사각형에 있는 것처럼 정팔포체는 큐브에 있습니다. 보다 공식적으로 정팔포체는 경계가 8개의 입방 셀로 구성된 규칙적인 볼록한 4차원 폴리토프(polytope)로 설명될 수 있습니다.

Oxford English Dictionary에 따르면 "tesseract"라는 단어는 Charles Howard Hinton이 1888년에 만들었고 그의 저서 A New Era of Thought에서 사용되었습니다. 이 단어는 그리스어 "τεσσερες ακτινες"("네 개의 광선")에서 형성되었으며 네 개의 좌표축 형태입니다. 또한 일부 출처에서는 동일한 수치가 호출되었습니다. 테트라큐브(테트라큐브).

N-차원 하이퍼큐브라고도 함 n-큐브.

점은 차원 0의 하이퍼큐브입니다. 길이 단위만큼 점을 이동하면 단위 길이의 세그먼트, 즉 차원 1의 하이퍼큐브를 얻습니다. 또한 길이 단위만큼 세그먼트를 수직 방향으로 이동하면 세그먼트 방향으로 큐브를 얻습니다-차원 2의 하이퍼큐브. 정사각형의 평면에 수직인 방향으로 길이 단위만큼 정사각형을 이동하면 큐브가 얻어집니다-차원 3의 하이퍼큐브. 이 프로세스 여러 차원으로 일반화할 수 있습니다. 예를 들어 정육면체를 4차원에서 길이 단위만큼 이동하면 정팔포체가 됩니다.

하이퍼큐브 계열은 모든 차원으로 표현할 수 있는 몇 안 되는 정다면체 중 하나입니다.

하이퍼큐브 요소

차원 하이퍼큐브 N 2 N"측면"(1차원 선에는 2개의 점이 있고, 2차원 정사각형은 4개의 면이 있고, 3차원 입방체는 6개의 면이 있고, 4차원 정팔포체는 8개의 셀이 있습니다.) 하이퍼큐브의 정점(점)의 수는 2개입니다. N(예: 큐브의 경우 - 2 3 꼭지점).

수량 중-경계의 차원 하이퍼큐브 N-큐브 같음

예를 들어, 하이퍼큐브의 경계에는 8개의 큐브, 24개의 정사각형, 32개의 모서리 및 16개의 정점이 있습니다.

하이퍼큐브의 요소

n-큐브	이름	꼭지점 (0면)	가장자리 (1면)	가장자리 (2면)	셀 (3면)	(4면)	(5면)	(6면)	(7면)	(8면)
0-큐브	점	1
1-큐브	라인 세그먼트	2	1
2큐브	정사각형	4	4	1
3큐브	입방체	8	12	6	1
4큐브	정팔포체	16	32	24	8	1
5큐브	펜터랙트	32	80	80	40	10	1
6큐브	헥서랙트	64	192	240	160	60	12	1
7-큐브	헥터랙트	128	448	672	560	280	84	14	1
8큐브	옥터랙트	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9큐브	에너랙트	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

평면 투영

하이퍼큐브의 형성은 다음과 같은 방식으로 나타낼 수 있습니다.

• 두 점 A와 B를 연결하여 선분 AB를 형성할 수 있습니다.
• 두 개의 병렬 세그먼트 AB와 CD를 연결하여 사각형 ABCD를 형성할 수 있습니다.
• 평행한 두 정사각형 ABCD와 EFGH를 결합하여 정육면체 ABCDEFGH를 형성할 수 있습니다.
• 두 개의 병렬 큐브 ABCDEFGH 및 IJKLMNOP를 연결하여 하이퍼큐브 ABCDEFGHIJKLMNOP를 형성할 수 있습니다.

후자의 구조는 상상하기 쉽지 않지만 2차원 또는 3차원으로의 투영을 묘사하는 것은 가능합니다. 또한 2D 평면에 대한 투영은 투영된 꼭지점의 위치를 ​​재정렬하여 더 유용할 수 있습니다. 이 경우 아래 예에서와 같이 정팔포체 내 요소의 공간적 관계를 더 이상 반영하지 않지만 정점 연결의 구조를 나타내는 이미지를 얻을 수 있습니다.

첫 번째 그림은 두 개의 정육면체를 연결하여 원칙적으로 정팔포체가 형성되는 방식을 보여줍니다. 이 구성표는 두 개의 사각형에서 큐브를 만드는 구성표와 유사합니다. 두 번째 다이어그램은 정팔포체의 모든 가장자리의 길이가 같다는 것을 보여줍니다. 이 구성표는 또한 서로 연결된 큐브를 찾도록 강제됩니다. 세 번째 다이어그램에서 정팔포체의 꼭지점은 아래쪽 점을 기준으로 면을 따라 거리에 따라 위치합니다. 이 체계는 병렬 컴퓨팅을 구성할 때 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지에 대한 기본 체계로 사용되기 때문에 흥미롭습니다. 두 노드 사이의 거리는 4개의 모서리 길이를 초과하지 않으며 로드 균형을 맞추는 다양한 방법이 있습니다.

예술의 하이퍼큐브

하이퍼큐브는 1940년 로버트 하인라인(Robert Heinlein)이 "청록색으로 지은 집"("그리고 그는 비뚤어진 집을 지었다") 이야기에서 테서랙트 모양으로 지어진 집을 묘사한 이후 SF에 등장했습니다. 이야기에서 이 더 나아가 이 집은 접혀서 4차원 테서렉트가 된다. 이후 하이퍼큐브는 많은 책과 소설에 등장한다.

큐브 2: 하이퍼큐브는 하이퍼큐브 네트워크에 갇힌 약 8명의 사람들입니다.

Salvador Dali의 1954년 작품인 Crucifixion(Corpus Hypercubus)은 테서랙트 스캔으로 십자가에 못박힌 예수를 묘사합니다. 이 그림은 뉴욕의 미술관(메트로폴리탄 미술관)에서 볼 수 있습니다.

결론

하이퍼큐브는 가장 단순한 4차원 객체 중 하나이며, 예를 들어 4차원의 모든 복잡성과 비정상성을 볼 수 있습니다. 그리고 3차원에서 불가능해 보이는 것이 4차원에서는 가능합니다. 예를 들어 불가능한 도형입니다. 예를 들어 4차원에서 불가능한 삼각형의 막대는 직각으로 연결됩니다. 그리고 이 도형은 3차원 공간에서 불가능한 삼각형의 구현과 달리 모든 관점에서 볼 때 이와 같이 왜곡되지 않을 것입니다(그림 1 참조).