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평면 도형의 면적을 찾으십시오. 정적분

이제 적분 미적분학의 적용에 대해 살펴보겠습니다. 이 단원에서는 일반적이고 가장 일반적인 작업을 분석합니다. 명확한 적분을 사용하여 평평한 그림의 면적 계산. 마지막으로 고등 수학에서 의미를 찾는 모든 사람들이 그것을 찾을 수 있기를 바랍니다. 당신은 결코 모른다. 실생활에서는 기본 기능이 있는 여름 별장을 근사화하고 특정 적분을 사용하여 해당 영역을 찾아야 합니다.

자료를 성공적으로 마스터하려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 적어도 중급 수준에서 부정 적분을 이해합니다. 따라서 인형은 먼저 수업을 읽어야합니다. 아니다.

2) Newton-Leibniz 공식을 적용하고 정적분을 계산할 수 있다. 따뜻한 위조 우호 관계페이지에서 명확한 적분을 찾을 수 있습니다. 확실한 적분. 솔루션 예시. "정적분을 사용하여 영역 계산" 작업에는 항상 도면 구성이 포함됩니다., 따라서 당신의 지식과 그림 기술도 시급한 문제가 될 것입니다. 최소한 직선, 포물선, 쌍곡선을 그릴 수 있어야 합니다.

곡선 사다리꼴부터 시작해 봅시다. 곡선 사다리꼴은 어떤 함수의 그래프로 둘러싸인 평평한 도형입니다. 와이 = 에프(엑스), 축 황소그리고 선 엑스 = ㅏ; 엑스 = 비.

곡선 사다리꼴의 면적은 수치 적으로 특정 적분과 같습니다

모든 명확한 적분(존재하는)은 매우 좋은 기하학적 의미를 갖습니다. 수업에서 확실한 적분. 솔루션 예시우리는 명확한 적분은 숫자라고 말했습니다. 그리고 이제 다른 것을 말할 때입니다. 유용한 사실. 기하학의 관점에서 정적분은 AREA입니다.. 그건, 명확한 적분 (존재하는 경우)은 기하학적으로 일부 그림의 영역에 해당합니다.. 명확한 적분 고려

인테그랜드

평면에 곡선을 정의하고 (원하는 경우 그릴 수 있음) 명확한 적분 자체는 해당 곡선 사다리꼴의 면적과 수치 적으로 같습니다.

예 1

, , , .

이것은 일반적인 작업 설명입니다. 결정의 가장 중요한 포인트는 도면의 구성입니다.. 또한 도면을 작성해야 합니다. 오른쪽.

청사진을 구축할 때 다음 순서를 권장합니다. 처음에는모든 라인(있는 경우)을 구성하고 그 다음에- 포물선, 쌍곡선, 기타 함수 그래프. pointwise 구성 기술은 다음에서 찾을 수 있습니다. 참고 자료 기본 함수의 그래프 및 속성. 거기에서 포물선을 빠르게 만드는 방법과 같은 수업과 관련하여 매우 유용한 자료를 찾을 수도 있습니다.

이 문제에서 솔루션은 다음과 같을 수 있습니다.

그림을 그려봅시다(방정식이 와이= 0은 축을 지정합니다. 황소):

우리는 곡선 사다리꼴을 부화하지 않을 것입니다. 여기에서 어떤 영역이 분명합니다. 문제의. 솔루션은 다음과 같이 계속됩니다.

간격 [-2; 1] 함수 그래프 와이 = 엑스 2 + 2 위치 오버 축황소, 그 이유는 다음과 같습니다.

답변: .

정적분을 계산하고 Newton-Leibniz 공식을 적용하는 데 어려움이 있는 사람

강의 참고 확실한 적분. 솔루션 예시. 작업이 완료된 후 그림을 보고 답이 진짜인지 알아내는 것이 항상 유용합니다. 안에 이 경우"눈으로"그림의 셀 수를 세십시오. 약 9 개가 입력 될 것입니다. 사실 인 것 같습니다. 예를 들어 20 평방 단위의 대답이 있다면 분명히 어딘가에서 실수가 발생했습니다. 20 개의 셀은 분명히 문제의 그림에 맞지 않습니다 (최대 12 개). 대답이 부정적으로 판명되면 작업도 잘못 해결되었습니다.

예 2

선으로 둘러싸인 도형의 면적 계산 XY = 4, 엑스 = 2, 엑스= 4 및 축 황소.

이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변.

곡선 사다리꼴이있는 경우해야 할 일 차축 아래황소?

예 3

선으로 둘러싸인 도형의 면적 계산 와이 = 전, 엑스= 1 및 좌표축.

해결책: 그림을 그려봅시다.

곡선 사다리꼴인 경우 차축 아래 완전히 황소 , 그 영역은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

이 경우:

주목! 두 가지 유형의 작업을 혼동해서는 안 됩니다.

1) 기하학적 의미 없이 정적분만 풀라고 하면 음수가 될 수 있습니다.

2) 정적분을 사용하여 도형의 면적을 구하라는 요청을 받으면 면적은 항상 양수입니다! 그렇기 때문에 방금 고려한 공식에 빼기가 나타납니다.

실제로 대부분의 경우 그림은 상반면과 하반면 모두에 위치하므로 가장 간단한 학교 문제에서 더 의미있는 예로 이동합니다.

예 4

선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적 찾기 와이 = 2엑스 – 엑스 2 , 와이 = -엑스.

해결책: 먼저 도면을 만들어야 합니다. 면적 문제에서 도면을 구성할 때 우리는 선의 교차점에 가장 관심이 있습니다. 포물선의 교차점 찾기 와이 = 2엑스 – 엑스 2와 스트레이트 와이 = -엑스. 이는 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 분석적입니다. 우리는 방정식을 풉니다.

따라서 적분의 하한 ㅏ= 0, 적분의 상한 비= 3. 통합의 한계가 마치 "스스로" 발견되는 반면, 한 점씩 라인을 구성하는 것이 종종 더 수익성 있고 빠릅니다. 그럼에도 불구하고, 예를 들어 그래프가 충분히 크거나 스레드 구성이 적분의 한계를 나타내지 않는 경우(분수적이거나 비합리적일 수 있음) 극한을 찾는 분석적 방법을 사용해야 하는 경우가 있습니다. 우리는 작업으로 돌아갑니다. 먼저 직선을 구성한 다음 포물선을 구성하는 것이 더 합리적입니다. 그림을 그려봅시다:

우리는 pointwise 구성에서 적분의 한계가 "자동으로" 발견되는 경우가 가장 많다는 것을 반복합니다.

그리고 이제 작업 공식:

간격에 있는 경우 [ ㅏ; 비] 일부 연속 함수 에프(엑스) 크거나 같음일부 연속 함수 g(엑스), 해당 그림의 영역은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

여기서 더 이상 그림이 어디에 있는지 생각할 필요가 없습니다. 축 위 또는 축 아래이지만 어떤 차트가 위에 있는지가 중요합니다(다른 그래프에 비해), 그리고 어느 것이 아래에 있습니까.

고려중인 예에서 세그먼트에서 포물선이 직선 위에 있으므로 2 엑스 – 엑스 2를 빼야 합니다 - 엑스.

솔루션의 완성은 다음과 같습니다.

원하는 수치는 포물선으로 제한됩니다. 와이 = 2엑스 – 엑스 2 상단 및 직선 와이 = -엑스밑에서부터.

세그먼트 2 엑스 – 엑스 2 ≥ -엑스. 해당 공식에 따르면:

답변: .

실제로 하반면의 곡선 사다리꼴 영역에 대한 학교 공식(예제 3번 참조)은 다음과 같습니다. 특별한 경우방식

축 이후 황소방정식에 의해 주어진다 와이= 0, 함수의 그래프 g(엑스) 축 아래에 위치 황소, 저것

이제 독립 솔루션에 대한 몇 가지 예

실시예 5

실시예 6

선으로 둘러싸인 도형의 면적 찾기

어떤 적분을 이용하여 넓이를 구하는 문제를 푸는 과정에서 가끔 웃기는 일이 생긴다. 도면이 올바르게 작성되었고 계산이 정확했지만 부주의로 인해 ... 잘못된 그림의 영역을 찾았습니다.

실시예 7

먼저 그려봅시다:

영역을 찾아야 하는 그림은 파란색으로 음영 처리되어 있습니다.(상태를 주의 깊게 살펴보십시오 - 숫자가 어떻게 제한되어 있는지!). 그러나 실제로는 부주의로 인해 음영 처리 된 그림의 영역을 찾아야한다고 결정하는 경우가 많습니다. 녹색으로!

이 예는 그림의 영역이 두 개의 명확한 적분을 사용하여 계산된다는 점에서도 유용합니다. 정말:

1) 세그먼트 [-1; 1] 차축 위 황소그래프는 직선 와이 = 엑스+1;

2) 축 위의 세그먼트에서 황소쌍곡선의 그래프는 위치 와이 = (2/엑스).

영역을 추가할 수 있고 추가해야 한다는 것은 매우 명백합니다. 따라서 다음과 같습니다.

답변:

실시예 8

선으로 둘러싸인 도형의 면적 계산

방정식을 "학교" 형식으로 나타내자

선 그리기를 수행하십시오.

도면에서 상한선이 "양호"하다는 것을 알 수 있습니다. 비 = 1.

그러나 하한선은 무엇입니까? 이것이 정수가 아니라는 것은 분명하지만 무엇입니까?

아마도, ㅏ=(-1/3)? 그러나 그림이 완벽한 정확도로 만들어졌다는 보장은 어디에 있습니까? ㅏ=(-1/4). 그래프가 전혀 맞지 않으면 어떻게 될까요?

이러한 경우 추가 시간을 투자하고 통합 한계를 분석적으로 개선해야 합니다.

그래프의 교차점 찾기

이를 위해 다음 방정식을 풉니다.

따라서, ㅏ=(-1/3).

추가 솔루션은 간단합니다. 가장 중요한 것은 대체와 기호를 혼동하지 않는 것입니다. 여기서 계산이 가장 쉬운 것은 아닙니다. 세그먼트에서

, ,

해당 공식에 따라:

답변:

수업을 마치면서 두 가지 더 어려운 작업을 고려할 것입니다.

실시예 9

선으로 둘러싸인 도형의 면적 계산

솔루션: 이 그림을 도면에 그립니다.

포인트별로 그림을 그리려면 다음을 알아야 합니다. 모습정현파. 일반적으로 사인의 일부 값뿐만 아니라 모든 기본 함수의 그래프를 아는 것이 유용합니다. 값 표에서 찾을 수 있습니다. 삼각 함수 . 경우에 따라(예: 이 경우) 그래프와 적분 한계가 원칙적으로 올바르게 표시되어야 하는 개략도를 구성할 수 있습니다.

통합 한계에는 문제가 없으며 조건에서 직접 따릅니다.

- "x"는 0에서 "pi"로 변경됩니다. 추가 결정을 내립니다.

세그먼트에서 함수의 그래프 와이= 죄 3 엑스축 위에 위치 황소, 그 이유는 다음과 같습니다.

(1) 사인과 코사인이 어떻게 기수의 거듭제곱으로 통합되는지 수업에서 볼 수 있습니다. 삼각 함수의 적분. 하나의 사인을 꼬집습니다.

(2) 기본 삼각법 항등식을 다음 형식으로 사용합니다.

(3) 변수를 변경하자 티= 코사인 엑스, 다음: 축 위에 위치하므로:

메모:입방체의 탄젠트 적분을 취하는 방법에 유의하십시오. 여기서 기본 삼각법 항등식의 결과가 사용됩니다.

사실, 도형의 면적을 찾기 위해서는 무한정 적분과 정적분에 대한 지식이 그렇게 많이 필요하지 않습니다. "정적분을 사용하여 영역 계산" 작업에는 항상 도면 구성이 포함됩니다., 따라서 귀하의 지식과 그림 기술이 훨씬 더 관련성이 높은 문제가 될 것입니다. 이와 관련하여 기본 기본 함수 그래프의 메모리를 새로 고치고 최소한 직선과 쌍곡선을 만들 수 있는 것이 유용합니다.

곡선 사다리꼴은 축, 직선 및 이 간격에서 부호를 변경하지 않는 세그먼트의 연속 함수 그래프로 둘러싸인 평평한 도형입니다. 이 수치를 위치시키자 덜횡좌표:

그 다음에 곡선 사다리꼴의 면적은 수치 적으로 특정 적분과 같습니다. 모든 명확한 적분(존재하는)은 매우 좋은 기하학적 의미를 갖습니다.

기하학 측면에서 정적분은 AREA입니다..

그건,명확한 적분 (존재하는 경우)은 기하학적으로 일부 그림의 영역에 해당합니다. 예를 들어 정적분을 고려하십시오. 피적분은 축 위에 위치한 평면의 곡선을 정의하며(원하는 사람은 그림을 완성할 수 있음) 정적분 자체는 해당 곡선 사다리꼴의 면적과 수치적으로 같습니다.

예 1

이것은 일반적인 작업 설명입니다. 먼저 그리고 중요한 포인트솔루션 - 도면 작성. 또한 도면을 작성해야 합니다. 오른쪽.

청사진을 구축할 때 다음 순서를 권장합니다. 처음에는모든 라인(있는 경우)을 구성하고 그 다음에- 포물선, 쌍곡선, 기타 함수 그래프. 함수 그래프는 구축에 더 유리합니다. 점으로.

이 문제에서 솔루션은 다음과 같을 수 있습니다.
그림을 그려봅시다(방정식은 축을 정의합니다).

세그먼트에는 함수의 그래프가 있습니다. 오버 축, 그 이유는 다음과 같습니다.

답변:

작업이 완료된 후 그림을 보고 답이 진짜인지 알아내는 것이 항상 유용합니다. 이 경우 "눈으로"그림의 셀 수를 계산합니다. 약 9 개가 입력 될 것입니다. 사실 인 것 같습니다. 예를 들어 20 평방 단위의 대답이 있다면 분명히 어딘가에서 실수가 발생했습니다. 20 개의 셀은 분명히 문제의 그림에 맞지 않습니다 (최대 12 개). 대답이 부정적으로 판명되면 작업도 잘못 해결되었습니다.

예 3

선과 좌표축으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

해결책: 그림을 그려봅시다.

곡선 사다리꼴이 있는 경우 차축 아래(아니면 적어도 높지 않은주어진 축), 그 면적은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

이 경우:

주목! 두 가지 유형의 작업을 혼동하지 마십시오.:

1) 기하학적 의미 없이 정적분만 풀라고 하면 음수가 될 수 있습니다.

2) 정적분을 사용하여 도형의 면적을 구하라는 요청을 받으면 면적은 항상 양수입니다! 그렇기 때문에 방금 고려한 공식에 빼기가 나타납니다.

실제로 대부분의 경우 그림은 상반면과 하반면 모두에 위치하므로 가장 간단한 학교 문제에서 더 의미있는 예로 이동합니다.

예 4

선으로 둘러싸인 평평한 그림의 면적을 찾으십시오 , .

해결책: 먼저 그림을 완성해야 합니다. 일반적으로 면적 문제에서 도면을 구성할 때 우리는 선의 교차점에 가장 관심이 있습니다. 포물선과 직선의 교점을 찾아봅시다. 이는 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 분석적입니다. 우리는 방정식을 풉니다.

따라서 적분의 하한 , 적분의 상한 .

가능하면 이 방법을 사용하지 않는 것이 좋습니다..

통합의 한계는 마치 "스스로" 발견되는 반면 라인을 한 점씩 구축하는 것이 훨씬 더 수익성이 높고 빠릅니다. 그럼에도 불구하고, 예를 들어 그래프가 충분히 크거나 스레드 구성이 적분의 한계를 나타내지 않는 경우(분수적이거나 비합리적일 수 있음) 극한을 찾는 분석적 방법을 사용해야 하는 경우가 있습니다. 그리고 우리는 또한 그러한 예를 고려할 것입니다.

우리는 작업으로 돌아갑니다. 먼저 직선을 구성한 다음 포물선을 구성하는 것이 더 합리적입니다. 그림을 그려봅시다:

그리고 이제 작업 공식: 구간에 어떤 연속 함수가 있는 경우 크거나 같음어떤 연속 함수 , 그림의 영역, 차트 제한이러한 함수와 직선 중 , , 는 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

여기서 더 이상 그림이 어디에 있는지 생각할 필요가 없습니다. 축 위 또는 축 아래, 대략적으로 말하면 어떤 차트가 위에 있는지가 중요합니다(다른 그래프에 비해), 그리고 어느 것이 아래에 있습니까.

고려 중인 예에서 세그먼트에서 포물선이 직선 위에 있으므로 에서 빼야 한다는 것이 분명합니다.

솔루션의 완성은 다음과 같습니다.

원하는 수치는 위의 포물선과 아래의 직선으로 제한됩니다.
해당 공식에 따라 세그먼트에서:

답변:

예 4

선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산하십시오 , , , .

해결책: 먼저 그림을 그려봅시다.

영역을 찾아야 하는 그림은 파란색으로 음영 처리되어 있습니다.(상태를 주의 깊게 살펴보십시오 - 숫자가 어떻게 제한되어 있는지!). 그러나 실제로는 부주의로 인해 녹색으로 음영 처리 된 그림 영역을 찾아야하는 "결함"이 자주 발생합니다!

이 예는 그림의 영역이 두 개의 명확한 적분을 사용하여 계산된다는 점에서도 유용합니다.

정말:

1) 축 위의 세그먼트에는 직선 그래프가 있습니다.

2) 축 위의 세그먼트에는 쌍곡선 그래프가 있습니다.

영역을 추가할 수 있고 추가해야 한다는 것은 매우 명백합니다. 따라서 다음과 같습니다.

사이트에 수학 공식을 삽입하는 방법은 무엇입니까?

웹 페이지에 하나 또는 두 개의 수학 공식을 추가해야 하는 경우 가장 쉬운 방법은 기사에 설명된 대로 Wolfram Alpha가 자동으로 생성하는 그림 형태로 사이트에 수학 공식을 쉽게 삽입하는 것입니다. 단순함 외에도 이 보편적인 방법은 검색 엔진에서 사이트의 가시성을 향상시키는 데 도움이 됩니다. 오랫동안 작동해 왔지만(영원히 작동할 것이라고 생각합니다) 도덕적으로 시대에 뒤떨어진 것입니다.

사이트에서 수학 공식을 지속적으로 사용하는 경우 MathML, LaTeX 또는 ASCIIMathML 마크업을 사용하여 웹 브라우저에 수학 표기법을 표시하는 특수 JavaScript 라이브러리인 MathJax를 사용하는 것이 좋습니다.

MathJax를 사용하는 방법에는 두 가지가 있습니다. (1) 간단한 코드를 사용하여 MathJax 스크립트를 사이트에 빠르게 연결할 수 있습니다. 이 스크립트는 적시에 원격 서버에서 자동으로 로드됩니다(서버 목록). (2) 원격 서버에서 귀하의 서버로 MathJax 스크립트를 업로드하고 사이트의 모든 페이지에 연결하십시오. 두 번째 방법은 더 복잡하고 시간이 많이 걸리며 사이트의 페이지 로딩 속도를 높일 수 있으며 어떤 이유로 부모 MathJax 서버를 일시적으로 사용할 수 없게 되더라도 사이트에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 이러한 장점에도 불구하고 첫 번째 방법이 더 간단하고 빠르며 기술이 필요하지 않기 때문에 선택했습니다. 내 예를 따르면 5분 안에 귀하의 웹사이트에서 MathJax의 모든 기능을 사용할 수 있습니다.

기본 MathJax 웹 사이트 또는 설명서 페이지에서 가져온 두 가지 코드 옵션을 사용하여 원격 서버에서 MathJax 라이브러리 스크립트를 연결할 수 있습니다.

이러한 코드 옵션 중 하나를 복사하여 웹페이지의 코드, 가급적이면 태그 사이에 붙여넣어야 합니다. 그리고또는 태그 바로 뒤에 . 첫 번째 옵션에 따르면 MathJax는 더 빠르게 로드되고 페이지 속도는 덜 느려집니다. 그러나 두 번째 옵션은 최신 버전의 MathJax를 자동으로 추적하고 로드합니다. 첫 번째 코드를 삽입하면 주기적으로 업데이트해야 합니다. 두 번째 코드를 붙여넣으면 페이지가 더 느리게 로드되지만 MathJax 업데이트를 지속적으로 모니터링할 필요는 없습니다.

MathJax를 연결하는 가장 쉬운 방법은 Blogger 또는 WordPress입니다. 사이트 제어판에서 타사 JavaScript 코드를 삽입하도록 설계된 위젯을 추가하고 위의 로드 코드의 첫 번째 또는 두 번째 버전을 복사한 다음 위젯을 더 가까이 배치합니다. 템플릿의 시작 부분(그런데 MathJax 스크립트가 비동기적으로 로드되기 때문에 이것은 전혀 필요하지 않습니다). 그게 다야. 이제 MathML, LaTeX 및 ASCIIMathML 마크업 구문을 배우면 수학 공식을 웹 페이지에 삽입할 준비가 된 것입니다.

모든 프랙탈은 특정 규칙에 따라 만들어지며 무제한으로 일관되게 적용됩니다. 이러한 각 시간을 반복이라고 합니다.

멩거 스펀지를 구성하는 반복 알고리즘은 매우 간단합니다. 면이 1인 원래 정육면체는 면에 평행한 평면으로 27개의 동일한 정육면체로 나뉩니다. 하나의 중앙 큐브와 면을 따라 인접한 6개의 큐브가 제거됩니다. 나머지 20개의 더 작은 큐브로 구성된 세트가 나옵니다. 이 각 큐브에 대해 동일한 작업을 수행하면 400개의 작은 큐브로 구성된 세트가 생성됩니다. 이 과정을 무한정 계속하면 멩거 스폰지를 얻습니다.

우리는 이중 적분을 계산하는 실제 과정을 고려하기 시작하고 그 기하학적 의미에 익숙해집니다.

이중 적분은 평면 도형의 면적(적분 영역)과 수치적으로 동일합니다. 이것 가장 단순한 형태두 변수의 기능이 하나일 때 이중 적분: .

의 문제를 먼저 생각해보자 일반적인 견해. 이제 얼마나 간단한지 놀랄 것입니다! 선으로 둘러싸인 평평한 그림의 면적을 계산해 봅시다. 명확성을 위해 간격에서 . 이 수치의 면적은 다음과 같습니다.

그림의 영역을 묘사해 보겠습니다.

해당 영역을 우회하는 첫 번째 방법을 선택해 보겠습니다.

따라서:

그리고 즉시 중요한 기술적 요령: 반복 적분은 별도로 고려할 수 있습니다.. 먼저 내부 적분, 그 다음 외부 적분. 이 방법은 주전자 주제의 초보자에게 적극 권장됩니다.

1) 변수 "y"에 대해 통합이 수행되는 동안 내부 적분을 계산합니다.

여기서 부정 적분은 가장 단순하며 다음과 같은 유일한 차이점과 함께 진부한 Newton-Leibniz 공식이 사용됩니다. 적분의 한계는 숫자가 아니라 함수. 먼저 상한을 "y"(역도함수)로 대체한 다음 하한을 대체했습니다.

2) 첫 번째 단락에서 얻은 결과를 외부 적분으로 대체해야 합니다.

전체 솔루션에 대한 보다 간결한 표기법은 다음과 같습니다.

결과 공식 - 이것은 "일반"정적분을 사용하여 평평한 그림의 면적을 계산하는 작업 공식입니다! 레슨 보기 정적분을 사용한 면적 계산, 그녀는 매번 있습니다!

그건, 이중 적분을 사용하여 면적을 계산하는 문제 조금 다른정적분을 사용하여 영역을 찾는 문제에서!사실, 그들은 하나이며 동일합니다!

따라서 어려움이 발생해서는 안됩니다! 실제로이 문제가 반복적으로 발생했기 때문에 많은 예를 고려하지 않겠습니다.

실시예 9

해결책:그림의 영역을 묘사해 보겠습니다.

다음 영역 순회 순서를 선택해 보겠습니다.

여기와 아래에서는 첫 번째 단락이 매우 상세했기 때문에 영역을 횡단하는 방법에 대해서는 다루지 않겠습니다.

따라서:

이미 언급했듯이 초보자가 반복 적분을 별도로 계산하는 것이 더 낫습니다. 동일한 방법을 고수하겠습니다.

1) 먼저 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 내부 적분을 처리합니다.

2) 첫 번째 단계에서 얻은 결과를 외부 적분으로 대입합니다.

포인트 2는 실제로 정적분을 사용하여 평평한 도형의 면적을 찾는 것입니다.

답변:

여기에 어리 석고 순진한 작업이 있습니다.

독립 솔루션에 대한 흥미로운 예:

실시예 10

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

샘플 샘플수업이 끝날 때 솔루션을 마무리합니다.

예제 9-10에서는 영역을 우회하는 첫 번째 방법을 사용하는 것이 훨씬 더 유리합니다. 그런데 호기심 많은 독자는 우회 순서를 변경하고 두 번째 방법으로 영역을 계산할 수 있습니다. 실수하지 않으면 자연스럽게 동일한 영역 값을 얻습니다.

그러나 경우에 따라 해당 영역을 우회하는 두 번째 방법이 더 효과적이며 젊은 괴짜 과정을 마치면서 이 주제에 대한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 11

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

해결책:우리는 바람이 옆으로 눕는 두 개의 포물선을 기대하고 있습니다. 웃을 필요가 없습니다. 여러 적분에서 비슷한 일이 자주 발생합니다.

그림을 그리는 가장 쉬운 방법은 무엇입니까?

포물선을 두 개의 함수로 표현해 보겠습니다.
- 상부 가지 및 - 하부 가지.

유사하게 포물선을 위와 아래로 상상해보십시오. 가지.

다음으로, 포인트별 플로팅 드라이브로 인해 다음과 같은 기괴한 그림이 생성됩니다.

그림의 면적은 다음 공식에 따라 이중 적분을 사용하여 계산됩니다.

해당 지역을 우회하는 첫 번째 방법을 선택하면 어떻게 되나요? 먼저 이 영역을 두 부분으로 나누어야 합니다. 둘째로, 우리는 이 슬픈 그림을 관찰할 것입니다: . 물론 적분은 매우 복잡한 수준은 아니지만 ... 오래된 수학적 속담이 있습니다. 뿌리와 친숙한 사람은 상계가 필요하지 않습니다.

따라서 조건에 주어진 오해에서 우리는 역함수를 표현합니다.

역함수 V 이 예나뭇잎, 도토리, 가지, 뿌리 없이 전체 포물선을 즉시 설정한다는 이점이 있습니다.

두 번째 방법에 따르면 영역 순회는 다음과 같습니다.

따라서:

그들이 말했듯이 그 차이를 느껴보십시오.

1) 내부 적분을 처리합니다.

결과를 외부 적분으로 대체합니다.

변수 "y"에 대한 적분은 부끄러운 일이 아닙니다. 문자 "zyu"가 있다면 그 위에 적분하는 것이 좋을 것입니다. 누가 공과의 두 번째 단락을 읽었지만 회전체의 부피를 계산하는 방법, 그는 더 이상 "y"에 대한 통합에 대해 조금도 당황하지 않습니다.

또한 첫 번째 단계에 주의하십시오. 피적분 함수는 짝수이고 적분 세그먼트는 0에 대해 대칭입니다. 따라서 세그먼트를 반으로 줄일 수 있으며 결과는 두 배가 될 수 있습니다. 이 기술강의에 자세히 설명되어 있습니다 효과적인 방법명확한 적분의 계산.

추가할 내용.... 모두!

답변:

통합 기술을 테스트하기 위해 다음을 계산해 볼 수 있습니다. . 대답은 정확히 동일해야 합니다.

실시예 12

이중 적분을 사용하여 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 계산합니다.

이것은 DIY 예제입니다. 영역을 우회하는 첫 번째 방법을 사용하려고하면 그림이 더 이상 둘로 나뉘지 않고 세 부분으로 나뉩니다! 따라서 세 쌍의 반복 적분을 얻습니다. 때때로 발생합니다.

마스터 클래스가 끝나고 이제 그랜드마스터 레벨로 넘어갈 시간~ 이중 적분을 계산하는 방법? 솔루션 예시. 두 번째 기사에서는 너무 조증이 나지 않도록 노력하겠습니다 =)

나는 당신이 성공을 기원합니다!

솔루션 및 답변:

예 2:해결책: 영역 그리기 그림에:

다음 영역 순회 순서를 선택해 보겠습니다.

따라서:
역함수로 넘어 갑시다.

따라서:
답변:

예 4:해결책: 직접 함수로 이동해 보겠습니다.

그림을 실행해 봅시다:

영역 순회 순서를 변경해 보겠습니다.

답변:

ㅏ)

해결책.

결정의 첫 번째이자 가장 중요한 순간은 도면 구성입니다..

그림을 그려봅시다:

방정식 y=0 x축을 설정합니다.

- x=-2 그리고 x=1 - 직선, 축에 평행 OU;

- y \u003d x 2 +2- 가지가 위쪽을 향하고 점(0;2)에 정점이 있는 포물선.

논평.포물선을 구성하려면 좌표축과의 교차점을 찾는 것으로 충분합니다. 퍼팅 x=0 축과의 교차점 찾기 OU 그리고 적절한 결정 이차 방정식, 축과의 교차점 찾기 오 .

포물선의 정점은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

점과 선을 그릴 수 있습니다.

구간 [-2;1]에서 함수의 그래프 y=x2 +2 위치한 오버 축 황소 , 그 이유는 다음과 같습니다.

답변: 에스 \u003d 9제곱 단위

곡선 사다리꼴이있는 경우해야 할 일 차축 아래 오?

비)선으로 둘러싸인 도형의 면적 계산 y=-e x , x=1 및 좌표축.

해결책.

그림을 그려봅시다.

곡선 사다리꼴인 경우 차축 아래 완전히 오 , 그러면 그 면적은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

답변: S=(e-1) 평방 단위" 1.72 평방 단위

주목! 두 가지 유형의 작업을 혼동하지 마십시오.:

1) 기하학적 의미 없이 정적분만 풀라고 하면 음수가 될 수 있습니다.

2) 정적분을 사용하여 도형의 면적을 구하라는 요청을 받으면 면적은 항상 양수입니다! 그렇기 때문에 방금 고려한 공식에 빼기가 나타납니다.

실제로, 대부분의 경우 그림은 위쪽 및 아래쪽 절반 평면 모두에 있습니다.

와 함께)선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적 찾기 y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

해결책.

먼저 도면을 만들어야 합니다. 일반적으로 면적 문제에서 도면을 구성할 때 우리는 선의 교차점에 가장 관심이 있습니다. 포물선의 교차점 찾기 직접 이는 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 분석적입니다.

우리는 방정식을 풉니다.

따라서 적분의 하한 a=0 , 적분의 상한 b=3 .

주어진 선을 만듭니다. 1. 포물선 - 점(1;1)의 꼭지점; 축 교차 오 -포인트(0;0) 및 (0;2). 2. 직선 - 두 번째와 네 번째 좌표 각도의 이등분선. 그리고 지금 주의! 간격에 있는 경우 [ a;b] 일부 연속 함수 에프엑스어떤 연속 함수보다 크거나 같음 지(엑스), 해당 그림의 영역은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다. .

그림이 축 위 또는 아래에 있는 위치는 중요하지 않지만 어떤 차트가 더 높고(다른 차트에 비해) 어떤 차트가 아래에 있는지가 중요합니다. 고려 중인 예에서 세그먼트에서 포물선이 직선 위에 있으므로 에서 빼야 한다는 것이 분명합니다.

마치 "스스로"처럼 적분의 한계가 발견되는 동안, 점 하나하나 선을 구성하는 것이 가능합니다. 그럼에도 불구하고, 예를 들어 그래프가 충분히 크거나 스레드 구성이 적분의 한계를 나타내지 않는 경우(분수적이거나 비합리적일 수 있음) 극한을 찾는 분석적 방법을 사용해야 하는 경우가 있습니다.

원하는 수치는 위의 포물선과 아래의 직선으로 제한됩니다.

세그먼트에서 , 해당 공식에 따라:

답변: 에스 \u003d 4.5제곱미터 단위