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4차원 큐브. Cybercube - 4차원으로의 첫 걸음

인간 두뇌의 진화는 3차원 공간에서 일어났다. 따라서 우리는 3차원 이상의 차원을 가진 공간을 상상하기 어렵다. 사실 인간의 뇌는 3차원 이상의 기하학적 물체를 상상할 수 없습니다. 동시에 우리는 3차원뿐만 아니라 2차원과 1차원의 기하학적 물체를 쉽게 상상할 수 있습니다.

1차원 공간과 2차원 공간의 차이와 유추, 2차원 공간과 3차원 공간의 차이와 유추는 우리를 더 높은 차원의 공간으로부터 가로막는 미스터리의 장막을 살짝 열어준다. 이 비유가 어떻게 사용되는지 이해하려면 매우 간단한 4차원 객체인 하이퍼큐브, 즉 4차원 큐브를 고려하십시오. 명확성을 위해 특정 문제, 즉 4차원 정육면체의 정사각형 면의 수를 세고 싶다고 가정해 봅시다. 아래의 모든 고려 사항은 증거 없이 순전히 유추에 의해 매우 느슨합니다.

일반 정육면체에서 하이퍼큐브를 만드는 방법을 이해하려면 먼저 일반 정육면체에서 일반 정육면체를 만드는 방법을 살펴봐야 합니다. 이 자료의 독창성을 위해 여기서는 일반 정사각형 SubCube를 호출합니다(서큐버스와 혼동하지 않음).

서브큐브에서 큐브를 구성하려면 서브큐브의 평면에 수직인 방향으로 서브큐브를 3차원 방향으로 확장해야 합니다. 동시에, 큐브의 2차원 측면인 초기 서브큐브의 각 측면에서 서브큐브가 성장하게 되며, 이는 큐브의 3차원 부피를 4면에서 각 방향에 수직인 2개로 제한합니다. 서브큐브의 평면. 그리고 새로운 세 번째 축을 따라 큐브의 3차원 부피를 제한하는 두 개의 하위 큐브도 있습니다. 이것은 우리의 서브큐브가 원래 있던 2차원 면과 큐브 구성의 끝에서 서브큐브가 온 큐브의 2차원 면입니다.

방금 읽은 내용은 지나치게 자세하게 설명되어 있습니다. 그리고 우연이 아닙니다. 이제 우리는 이러한 트릭을 수행하고 이전 텍스트의 일부 단어를 다음과 같이 공식적으로 대체합니다.
큐브 -> 하이퍼큐브
서브큐브 -> 큐브
평면 -> 볼륨
세 번째 -> 네 번째
2D -> 3D
넷 -> 여섯
3차원 -> 4차원
둘 -> 셋
비행기 -> 우주

결과적으로 우리는 다음과 같은 의미 있는 텍스트를 얻었으며 더 이상 너무 상세하지 않은 것 같습니다.

입방체에서 하이퍼큐브를 만들려면 입방체의 부피에 수직인 방향으로 네 번째 차원 방향으로 입방체를 늘려야 합니다. 동시에 큐브는 하이퍼큐브의 측면 3차원 면인 원래 큐브의 각 측면에서 성장하여 6개의 측면에서 하이퍼큐브의 4차원 볼륨을 제한합니다. 큐브의 공간. 그리고 새로운 네 번째 축을 따라 하이퍼큐브의 4차원 부피를 제한하는 두 개의 큐브도 있습니다. 이것은 우리의 큐브가 원래 있던 3차원 면과 하이퍼큐브 구성의 끝에서 큐브가 온 하이퍼큐브의 3차원 면입니다.

하이퍼큐브 구성에 대한 올바른 설명을 받았다고 확신하는 이유는 무엇입니까? 예, 정확히 동일한 형식의 단어 대체를 통해 사각형 구성에 대한 설명에서 큐브 구성에 대한 설명을 얻습니다. (직접 확인해보세요.)

이제 또 다른 3차원 입방체가 입방체의 각 면에서 자라야 한다면 초기 입방체의 각 가장자리에서 면이 자라야 한다는 것이 분명합니다. 전체적으로 큐브에는 12개의 모서리가 있습니다. 즉, 3차원 공간의 세 축을 따라 4차원 볼륨을 제한하는 6개의 큐브에 대해 추가로 12개의 새 면(하위 큐브)이 있음을 의미합니다. 그리고 네 번째 축을 따라 위와 아래에서 이 4차원 볼륨을 제한하는 두 개의 큐브가 더 있습니다. 각 큐브에는 6개의 면이 있습니다.

전체적으로 우리는 하이퍼큐브가 12+6+6=24개의 정사각형 면을 가지고 있음을 알 수 있습니다.

다음 그림은 하이퍼큐브의 논리적 구조를 보여줍니다. 3차원 공간에 하이퍼큐브를 투영한 것과 같습니다. 이 경우 늑골의 3차원 프레임이 얻어진다. 물론 그림에서 이 프레임이 평면에 투영된 것을 볼 수 있습니다.

이 프레임에서 내부 큐브는 구성이 시작된 초기 큐브이며 바닥에서 네 번째 축을 따라 하이퍼큐브의 4차원 볼륨을 제한합니다. 이 초기 큐브를 네 번째 차원 축을 따라 위로 늘리면 외부 큐브로 들어갑니다. 따라서 이 그림의 외부 및 내부 큐브는 4차원 축을 따라 하이퍼큐브를 제한합니다.

그리고 이 두 정육면체 사이에 6개의 새로운 정육면체를 더 볼 수 있으며, 공통 면으로 처음 두 정육면체와 접촉합니다. 이 여섯 개의 큐브는 3차원 공간의 세 축을 따라 하이퍼큐브를 제한합니다. 보시다시피, 이 3차원 프레임에서 내부 및 외부에 있는 처음 두 개의 큐브와 접촉할 뿐만 아니라 여전히 서로 접촉하고 있습니다.

그림에서 직접 계산하고 하이퍼큐브가 실제로 24개의 면을 가지고 있는지 확인할 수 있습니다. 그러나 여기서 질문이 생깁니다. 이 3D 하이퍼큐브 프레임은 간격 없이 8개의 3D 큐브로 채워져 있습니다. 하이퍼큐브의 이 3D 프로젝션에서 실제 하이퍼큐브를 만들려면 이 프레임을 뒤집어서 8개의 큐브가 모두 4D 볼륨을 제한하도록 해야 합니다.

이렇게 합니다. 우리는 4차원 공간의 거주자를 방문하여 우리를 도와달라고 요청합니다. 이 프레임워크의 내부 큐브를 잡고 3D 공간에 수직인 4차원으로 이동합니다. 3차원 공간에서 우리는 내부 프레임 전체가 사라지고 외부 큐브의 프레임만 남아 있는 것처럼 인식합니다.

다음으로, 4D 어시스턴트가 산부인과 병원에서 고통 없는 출산을 도와주겠다고 제안하지만 임산부는 아기가 단순히 복부에서 사라지고 평행한 3D 공간에서 끝나는 것을 보고 겁을 먹습니다. 따라서 사중은 정중하게 거절합니다.

그리고 우리는 하이퍼큐브 프레임이 뒤집어졌을 때 일부 큐브가 풀렸는지 궁금합니다. 결국, 하이퍼큐브를 둘러싼 일부 3차원 큐브가 프레임의 이웃과 접촉하면 4차원 큐브가 프레임을 뒤집으면 동일한 면에 닿을 것인가?

더 낮은 차원의 공간에 대한 비유로 다시 돌아갑시다. 다음 그림에 표시된 평면에 대한 3D 큐브의 투영과 하이퍼큐브 와이어프레임의 이미지를 비교하십시오.

2차원 공간의 거주자들은 평면 위에 정육면체 프로젝션의 틀을 만들고 이 틀을 뒤집도록 3차원 거주자인 우리를 초대했다. 내부 사각형의 네 꼭지점을 가져와 평면에 수직으로 이동합니다. 동시에 평면 거주자는 내부 프레임 전체가 완전히 사라지고 외부 사각형의 프레임 만 있습니다. 이러한 작업을 통해 가장자리와 접촉한 모든 사각형은 이전과 같이 동일한 가장자리로 계속 접촉합니다.

따라서 하이퍼큐브 프레임을 뒤집어도 하이퍼큐브의 논리 체계가 깨지지 않고 하이퍼큐브의 정사각형 면 수가 증가하지 않고 24개로 유지되기를 바랍니다. 물론 이것은 전혀 증거가 없지만 순전히 유추에 의한 추측입니다.

여기에서 모든 것을 읽은 후에는 5차원 큐브의 논리적 프레임워크를 쉽게 그릴 수 있고 얼마나 많은 정점, 가장자리, 면, 큐브 및 하이퍼큐브가 있는지 계산할 수 있습니다. 전혀 어렵지 않습니다.

어벤져스 영화의 팬이라면 '테서랙트'라는 단어를 들었을 때 가장 먼저 떠오르는 것은 무한한 힘을 담고 있는 투명한 큐브 모양의 인피니티 스톤 용기다.

Marvel Universe 팬에게 Tesseract는 지구뿐만 아니라 다른 행성의 사람들도 열광하는 빛나는 파란색 큐브입니다. 그렇기 때문에 모든 어벤저스가 단결하여 Tesseract의 극도로 파괴적인 힘으로부터 Grounders를 보호했습니다.

그러나 말할 필요가 있는 것은 이것입니다. 정팔포체는 실제 기하학적 개념, 보다 구체적으로 4차원에 존재하는 모양입니다. 어벤져스의 파란색 큐브가 아니라 진짜 컨셉입니다.

정팔포체는 4차원 물체입니다. 그러나 자세히 설명하기 전에 처음부터 시작하겠습니다.

"측정"이란 무엇입니까?

모두 2D와 3D라는 용어를 들어본 적이 있을 것입니다. 각각 2차원 또는 3차원 공간 개체를 나타냅니다. 그러나 이러한 차원은 무엇입니까?

차원은 단순히 갈 수 있는 방향입니다. 예를 들어 종이에 선을 그리는 경우 왼쪽/오른쪽(x축) 또는 위/아래(y축)로 이동할 수 있습니다. 따라서 우리는 두 방향으로만 걸을 수 있기 때문에 종이가 2차원이라고 말합니다.

3D의 깊이감이 있습니다.

지금에 현실 세계, 위에서 언급한 두 방향(왼쪽/오른쪽 및 위/아래) 외에도 "in/out"으로 이동할 수 있습니다. 결과적으로 3차원 공간에 깊이감이 더해진다. 그러므로 우리는 실생활 3차원.

점은 0차원(어떤 방향으로도 움직이지 않기 때문에), 선은 1차원(길이), 정사각형은 2차원(길이 및 너비), 큐브는 3차원(길이, 너비 및 높이)을 나타낼 수 있습니다. ).

3D 큐브를 가져와 각 면(현재 정사각형)을 큐브로 바꿉니다. 그래서! 당신이 얻는 모양은 tesseract입니다.

테서랙트란?

간단히 말해서 정팔포체는 4차원 공간의 정육면체입니다. 또한 이것은 큐브의 4D에 해당한다고 말할 수 있습니다. 이것은 각 면이 큐브인 4D 모양입니다.

2개의 직교 평면 주위에서 이중 회전을 수행하는 정팔포체의 3D 프로젝션입니다.
이미지: 제이슨 히세

차원을 개념화하는 간단한 방법은 다음과 같습니다. 정사각형은 2차원입니다. 따라서 각 모서리에는 서로 90도 각도로 연장되는 2개의 선이 있습니다. 큐브는 3D이므로 각 모서리에는 3개의 선이 있습니다. 마찬가지로 정팔포체는 4D 모양이므로 각 모서리에는 4개의 선이 뻗어 있습니다.

정팔포체를 상상하기 어려운 이유는 무엇입니까?

인간으로서 우리는 물체를 3차원으로 시각화하도록 진화했기 때문에 4D, 5D, 6D 등과 같은 추가 차원으로 들어가는 것은 우리에게 의미가 없습니다. 대단한 감각전혀 상상할 수 없기 때문입니다. 우리의 뇌는 공간의 4차원을 이해할 수 없습니다. 우리는 그것에 대해 생각할 수 없습니다.

그러나 다차원 공간의 개념을 시각화할 수 없다고 해서 다차원 공간이 존재할 수 없는 것은 아닙니다.

2009년 9월 19일
Tesseract (다른 그리스어 τέσσερες ἀκτῖνες - 4개의 광선) - 4차원 하이퍼큐브 - 4차원 공간에서 큐브의 아날로그.

이미지는 프로젝션(원근법)입니다. 4차원 입방체 3차원 공간으로.

Oxford Dictionary에 따르면 "tesseract"라는 단어는 1888년 Charles Howard Hinton(1853-1907)이 그의 저서 " 새로운 시대생각". 나중에 어떤 사람들은 같은 그림을 "tetracube"라고 불렀습니다.

기하학

유클리드 4차원 공간에서 일반적인 정팔포체는 점의 볼록 외피(±1, ±1, ±1, ±1)로 정의됩니다. 즉, 다음 집합으로 나타낼 수 있습니다.

tesseract는 8개의 초평면으로 제한되며, tesseract 자체와의 교차점은 3차원 면(일반적인 정육면체)을 정의합니다. 평행하지 않은 3D 면의 각 쌍은 교차하여 2D 면(사각형) 등을 형성합니다. 마지막으로 정팔포체에는 8개의 3D 면, 24개의 2D, 32개의 모서리 및 16개의 정점이 있습니다.

대중적인 설명

3차원 공간을 떠나지 않고 하이퍼큐브가 어떻게 보일지 상상해 봅시다.

1 차원 "공간"에서-선에서-길이 L의 세그먼트 AB를 선택합니다. AB에서 L 거리에있는 2 차원 평면에서 세그먼트 DC를 평행하게 그리고 끝을 연결합니다. 사각형 ABCD를 가져옵니다. 이 작업을 평면으로 반복하면 3차원 큐브 ABCDHEFG를 얻습니다. 그리고 4차원(처음 3차원에 수직)에 있는 큐브를 거리 L만큼 이동하면 하이퍼큐브 ABCDEFGHIJKLMNOP가 생성됩니다.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

1차원 선분 AB는 2차원 정사각형 ABCD의 한 변 역할을 하고, 정사각형은 큐브 ABCDHEFG의 한 변이며, 차례로 4차원 하이퍼큐브의 한 변이 됩니다. 직선 세그먼트에는 2개의 경계점이 있고 정사각형에는 4개의 정점이 있으며 입방체에는 8개의 경계점이 있습니다. 따라서 4차원 하이퍼큐브에는 16개의 정점이 있습니다. 원래 큐브의 8개 정점과 4차원에서 이동된 8개의 정점입니다. 여기에는 32개의 모서리가 있습니다. 각각 12개는 원래 큐브의 초기 및 최종 위치를 제공하고 8개의 추가 모서리는 4차원으로 이동한 정점 중 8개를 "그립니다". 하이퍼큐브의 면에 대해서도 같은 추론을 할 수 있습니다. 2차원 공간에서는 1개(정사각형 자체)이고 입방체에는 6개가 있습니다(이동된 정사각형의 2개 면과 측면을 설명하는 4개가 더 있음). 4차원 하이퍼큐브에는 24개의 정사각형 면이 있습니다. 두 위치에 있는 원래 큐브의 12개 정사각형과 12개의 모서리에서 12개 정사각형이 있습니다.

비슷한 방식으로 우리는 더 많은 차원의 하이퍼큐브에 대한 추론을 계속할 수 있지만 4차원 하이퍼큐브가 3차원 공간의 거주자인 우리에게 어떻게 보일지 보는 것이 훨씬 더 흥미로울 것입니다. 이를 위해 이미 친숙한 유추 방법을 사용합시다.

Tesseract 전개

와이어 큐브 ABCDHEFG를 가져다가 얼굴 측면에서 한쪽 눈으로 봅시다. 우리는 평면에서 두 개의 사각형(가까운 면과 먼 면)을 보고 그릴 수 있으며 네 개의 선(측면 가장자리)으로 연결됩니다. 마찬가지로 3차원 공간의 4차원 하이퍼큐브는 서로 삽입되고 8개의 모서리로 연결된 두 개의 입방체 "상자"처럼 보입니다. 이 경우 "상자"자체 (3 차원면)가 "우리"공간에 투영되고 상자를 연결하는 선이 4 차원으로 늘어납니다. 투영이 아닌 공간 이미지에서 큐브를 상상해 볼 수도 있습니다.

3차원 정육면체가 한 면의 길이만큼 이동한 정사각형으로 형성되는 것처럼 4차원으로 이동된 정육면체는 하이퍼큐브를 형성합니다. 그것은 8개의 큐브로 제한되며, 미래에는 꽤 보일 것입니다. 복잡한 그림. "우리" 공간에 남아있는 부분이 그려져 있습니다. 실선, 초공간으로 들어간 것은 점으로 표시됩니다. 4차원 하이퍼큐브 자체는 무한한 수의 큐브로 구성됩니다. 마치 3차원 큐브가 무한한 수의 평평한 사각형으로 "절단"될 수 있는 것과 같습니다.

3차원 정육면체의 6면을 자르면 다음과 같이 분해할 수 있습니다. 평면도- 스윕. 원래 면의 각 면에 사각형이 하나 더 있고 반대쪽 면이 하나 더 있습니다. 4차원 하이퍼큐브의 3차원 개발은 원래 큐브, 그것에서 "성장"하는 6개의 큐브, 그리고 하나 더인 최종 "하이퍼페이스"로 구성됩니다.

tesseract의 속성은 속성의 확장입니다. 기하학적 모양차원을 4차원 공간으로 낮춥니다.

예측

2차원 공간으로

이 구조는 상상하기 어렵지만 정팔포체를 2D 또는 3D 공간에 투영하는 것은 가능합니다. 또한 평면에 투영하면 하이퍼큐브의 정점 위치를 쉽게 파악할 수 있습니다. 이러한 방식으로 정팔포체 내의 공간 관계를 더 이상 반영하지 않지만 다음 예와 같이 정점 링크 구조를 나타내는 이미지를 얻을 수 있습니다.

3차원 공간으로

3차원 공간에 대한 정팔포체의 투영은 두 개의 중첩된 3차원 큐브이며 해당 정점은 세그먼트로 연결됩니다. 내부 큐브와 외부 큐브는 다른 크기 3D 공간에서는 그러나 4D 공간에서는 동일한 큐브입니다. tesseract의 모든 큐브의 평등을 이해하기 위해 tesseract의 회전 모델이 만들어졌습니다.

정팔포체의 가장자리를 따라 있는 6개의 잘린 피라미드는 동일한 6개의 큐브 이미지입니다.
스테레오 쌍

정팔포체의 입체쌍은 3차원 공간에 두 개의 투영으로 묘사됩니다. 정팔포체의 이 묘사는 깊이를 4차원으로 표현하도록 설계되었습니다. 각 눈이 이러한 이미지 중 하나만 볼 수 있도록 스테레오 쌍이 표시되고 정팔면체의 깊이를 재현하는 입체 사진이 나타납니다.

Tesseract 전개

정팔포체의 표면은 8개의 정육면체로 펼칠 수 있습니다(정육면체의 표면을 6개의 정사각형으로 펼칠 수 있는 방법과 유사함). 정팔포체에는 261가지의 다양한 전개가 있습니다. 정팔포체의 전개도는 연결된 모서리를 그래프에 표시하여 계산할 수 있습니다.

예술의 테서렉트

Edwine A. Abbott의 New Plain에서 하이퍼큐브는 내레이터입니다.
The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius"의 한 에피소드에서 Jimmy는 Heinlein의 1963 Glory Road에 있는 접이식 상자와 동일한 4차원 하이퍼큐브를 발명합니다.
Robert E. Heinlein은 적어도 세 편의 공상 과학 소설에서 하이퍼큐브를 언급했습니다. The House of Four Dimensions(The House That Teel Built)(1940)에서 그는 정팔포체의 전개로 지어진 집을 묘사했습니다.
Heinlein의 소설 Glory Road에는 외부보다 내부가 더 큰 초대형 접시가 묘사됩니다.
Henry Kuttner의 단편 소설 "Mimsy Were the Borogoves"는 정팔포체 구조와 유사한 먼 미래의 어린이를 위한 교육용 장난감을 설명합니다.
Alex Garland(1999)의 소설에서 "tesseract"라는 용어는 하이퍼큐브 자체가 아니라 4차원 하이퍼큐브의 3차원 전개에 사용됩니다. 이것은 인식 시스템이 인식 가능한 시스템보다 더 넓어야 함을 보여주기 위해 고안된 은유입니다.
Cube 2: Hypercube의 플롯은 "하이퍼큐브" 또는 연결된 큐브 네트워크에 갇힌 8명의 낯선 사람을 중심으로 합니다.
TV 시리즈 Andromeda는 음모 장치로 tesseract 생성기를 사용합니다. 그것들은 주로 공간과 시간을 제어하기 위한 것입니다.
Salvador Dali(1954)의 그림 "Crucifixion"(Corpus Hypercubus)
Nextwave 만화책은 5개의 테서랙트 구역을 포함하는 차량을 묘사합니다.
앨범 Voivod Nothingface에서 노래 중 하나는 "In my hypercube"입니다.
Anthony Pierce의 소설 Route Cube에서 IDA의 궤도 위성 중 하나는 3차원으로 압축된 정팔포체라고 합니다.
시리즈 "학교"에서 블랙홀"" 세 번째 시즌에는 에피소드 "Tesseract"가 있습니다. Lucas는 비밀 버튼을 누르고 학교는 수학적 정팔포체처럼 형태를 갖추기 시작합니다.
"테서랙트"라는 용어와 그로부터 파생된 "테세"라는 용어는 Madeleine L'Engle의 이야기 "Wrinkle of Time"에서 발견됩니다.

기하학에서 하이퍼큐브- 이것 N-정사각형의 차원 유추( N= 2) 및 큐브( N= 3). 이것은 그림의 반대쪽 가장자리에 위치한 평행선 그룹으로 구성되고 서로 직각으로 연결된 닫힌 볼록 그림입니다.

이 수치는 정팔포체(테서렉트). 큐브가 정사각형에 있는 것처럼 정팔포체는 큐브에 있습니다. 더 공식적으로 정팔포체는 경계가 8개의 입방체 셀로 구성된 규칙적인 볼록한 4차원 폴리토프(polytope)로 설명될 수 있습니다.

Oxford English Dictionary에 따르면 "tesseract"라는 단어는 Charles Howard Hinton이 1888년에 만들었고 그의 저서 A New Era of Thought에서 사용되었습니다. 이 단어는 그리스어 "τεσσερες ακτινες"("네 개의 광선")에서 형성되었으며 네 개의 좌표축 형태입니다. 또한 일부 출처에서는 동일한 수치가 호출되었습니다. 테트라큐브(테트라큐브).

N-차원 하이퍼큐브라고도 함 n-큐브.

점은 차원 0의 하이퍼큐브입니다. 길이 단위만큼 점을 이동하면 단위 길이의 세그먼트, 즉 차원 1의 하이퍼큐브를 얻습니다. 또한 길이 단위만큼 세그먼트를 수직 방향으로 이동하면 세그먼트 방향으로 큐브를 얻습니다-차원 2의 하이퍼큐브. 정사각형의 평면에 수직인 방향으로 길이 단위만큼 정사각형을 이동하면 큐브가 얻어집니다-차원 3의 하이퍼큐브. 이 프로세스 여러 차원으로 일반화할 수 있습니다. 예를 들어 정육면체를 4차원에서 길이 단위만큼 이동하면 정팔포체가 됩니다.

하이퍼큐브 계열은 모든 차원으로 표현할 수 있는 몇 안 되는 정다면체 중 하나입니다.

하이퍼큐브 요소

차원 하이퍼큐브 N 2 N"측면"(1차원 선에는 2개의 점이 있고, 2차원 정사각형 - 4개의 면이 있으며, 3차원 입방체 - 6개의 면이 있고, 4차원 정팔포체 - 8개의 셀이 있습니다). 하이퍼큐브의 정점(점)의 수는 2개입니다. N(예: 큐브의 경우 - 2 3 정점).

수량 중-경계의 차원 하이퍼큐브 N-큐브 같음

예를 들어, 하이퍼큐브의 경계에는 8개의 큐브, 24개의 정사각형, 32개의 모서리 및 16개의 정점이 있습니다.

하이퍼큐브의 요소

n-큐브	이름	꼭지점 (0면)	가장자리 (1면)	가장자리 (2면)	셀 (3면)	(4면)	(5면)	(6면)	(7면)	(8면)
0-큐브	점	1
1-큐브	라인 세그먼트	2	1
2큐브	정사각형	4	4	1
3큐브	입방체	8	12	6	1
4큐브	정팔포체	16	32	24	8	1
5큐브	펜터랙트	32	80	80	40	10	1
6큐브	헥서랙트	64	192	240	160	60	12	1
7-큐브	헥터랙트	128	448	672	560	280	84	14	1
8큐브	옥터랙트	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9큐브	에너랙트	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

평면 투영

하이퍼큐브의 형성은 다음과 같은 방식으로 나타낼 수 있습니다.

두 점 A와 B를 연결하여 선분 AB를 형성할 수 있습니다.
두 개의 병렬 세그먼트 AB와 CD를 연결하여 사각형 ABCD를 형성할 수 있습니다.
평행한 두 정사각형 ABCD와 EFGH를 결합하여 정육면체 ABCDEFGH를 형성할 수 있습니다.
두 개의 병렬 큐브 ABCDEFGH 및 IJKLMNOP를 연결하여 하이퍼큐브 ABCDEFGHIJKLMNOP를 형성할 수 있습니다.

후자의 구조는 상상하기 쉽지 않지만 2차원 또는 3차원으로의 투영을 묘사하는 것은 가능합니다. 또한 2D 평면에 대한 투영은 투영된 꼭지점의 위치를 재정렬하여 더 유용할 수 있습니다. 이 경우 아래 예에서와 같이 정팔포체 내 요소의 공간적 관계를 더 이상 반영하지 않지만 정점 연결의 구조를 나타내는 이미지를 얻을 수 있습니다.

첫 번째 그림은 두 개의 정육면체를 연결하여 원칙적으로 정팔포체가 형성되는 방식을 보여줍니다. 이 구성표는 두 개의 사각형에서 큐브를 만드는 구성표와 유사합니다. 두 번째 다이어그램은 정팔포체의 모든 가장자리의 길이가 같다는 것을 보여줍니다. 이 구성표는 또한 서로 연결된 큐브를 찾도록 강제됩니다. 세 번째 다이어그램에서 정팔포체의 꼭지점은 아래쪽 점을 기준으로 면을 따라 거리에 따라 위치합니다. 이 체계는 병렬 컴퓨팅을 구성할 때 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지에 대한 기본 체계로 사용되기 때문에 흥미롭습니다. 두 노드 사이의 거리는 4개의 가장자리 길이를 초과하지 않으며 부하를 분산시키는 다양한 방법이 있습니다.

예술의 하이퍼큐브

하이퍼큐브는 1940년 로버트 하인라인(Robert Heinlein)이 "청록색으로 지은 집"("그리고 그는 비뚤어진 집을 지었다") 이야기에서 테서랙트 모양으로 지어진 집을 묘사한 이후 SF에 등장했습니다. 이야기에서 이 더 나아가 이 집은 접혀서 4차원 테서렉트가 된다. 이후 하이퍼큐브는 많은 책과 소설에 등장한다.

큐브 2: 하이퍼큐브는 하이퍼큐브 네트워크에 갇힌 약 8명의 사람들입니다.

Salvador Dali의 1954년 작품인 Crucifixion(Corpus Hypercubus)은 테서랙트 스캔으로 십자가에 못박힌 예수를 묘사합니다. 이 그림은 뉴욕의 미술관(메트로폴리탄 미술관)에서 볼 수 있습니다.

결론

하이퍼큐브는 가장 단순한 4차원 객체 중 하나이며, 예를 들어 4차원의 모든 복잡성과 비정상성을 볼 수 있습니다. 그리고 3차원에서 불가능해 보이는 것이 4차원에서는 가능합니다. 예를 들어 불가능한 도형입니다. 예를 들어 4차원에서 불가능한 삼각형의 막대는 직각으로 연결됩니다. 그리고 이 도형은 3차원 공간에서 불가능한 삼각형을 구현하는 것과는 달리 모든 관점에서 보면 이와 같을 것이며 왜곡되지 않을 것입니다(그림 1 참조).