Tiesinės nelygybės. Tiesinių nelygybių sistemos

taip pat žr. Linijinio programavimo uždavinio sprendimas grafiniu būdu, Kanoninė linijinio programavimo uždavinių forma

Tokios problemos apribojimų sistema susideda iš dviejų kintamųjų nelygybių:
o tikslo funkcija turi formą F = C 1 x + C 2 y kurį reikia maksimaliai padidinti.

Atsakykime į klausimą: kokios skaičių poros ( x; y) ar nelygybių sistemos sprendiniai, t.y., tenkina kiekvieną iš nelygybių vienu metu? Kitaip tariant, ką reiškia grafiškai išspręsti sistemą?
Pirmiausia turite suprasti, koks yra vienos tiesinės nelygybės su dviem nežinomaisiais sprendimas.
Išspręsti tiesinę nelygybę su dviem nežinomaisiais reiškia nustatyti visas nežinomų reikšmių poras, kurioms galioja ši nelygybė.
Pavyzdžiui, nelygybė 3 x – 5y≥ 42 patenkinamos poros ( x , y): (100, 2); (3, –10) ir tt Užduotis – surasti visas tokias poras.
Panagrinėkime dvi nelygybes: kirvis + pateikė≤ c, kirvis + pateikė≥ c. Tiesiai kirvis + pateikė = c padalija plokštumą į dvi pusplokštumas taip, kad vienos iš jų taškų koordinatės tenkintų nelygybę kirvis + pateikė >c, ir kita nelygybė kirvis + +pateikė <c.
Iš tiesų, paimkime tašką su koordinatėmis x = x 0 ; tada taškas, esantis ant linijos ir turintis abscisę x 0, turi ordinatę

Leisk dėl tikrumo a< 0, b>0, c>0. Visi taškai su abscisėmis x 0 guli aukščiau P(pavyzdžiui, taškas M), turi y M>y 0 , o visi taškai žemiau taško P, su abscisėmis x 0, turi y N<y 0 . Nes x 0 yra savavališkas taškas, tada vienoje linijos pusėje visada bus taškų kirvis+ pateikė > c, formuojantis pusplokštumą, o kitoje pusėje – taškai, už kuriuos kirvis + pateikė< c.

1 paveikslas

Nelygybės ženklas pusplokštumoje priklauso nuo skaičių a, b , c.
Tai reiškia, kad grafiškai galima išspręsti dviejų kintamųjų tiesinių nelygybių sistemas. Norėdami išspręsti sistemą, jums reikia:

1. Kiekvienai nelygybei parašykite lygtį, atitinkančią šią nelygybę.
2. Sukurkite tieses, kurios yra lygtimis nurodytų funkcijų grafikai.
3. Kiekvienai linijai nustatykite pusplokštumą, kurią suteikia nelygybė. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką, kuris nėra tiesėje, ir pakeiskite jo koordinates į nelygybę. jei nelygybė teisinga, tai pusplokštuma, kurioje yra pasirinktas taškas, yra pradinės nelygybės sprendimas. Jei nelygybė klaidinga, tai pusplokštuma kitoje tiesės pusėje yra šios nelygybės sprendinių rinkinys.
4. Norint išspręsti nelygybių sistemą, reikia rasti visų pusplokštumų, kurios yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, susikirtimo plotą.

Ši sritis gali pasirodyti tuščia, tada nelygybių sistema neturi sprendimų ir yra nenuosekli. Priešingu atveju sakoma, kad sistema yra nuosekli.
Gali būti baigtinis skaičius arba begalinis sprendinių skaičius. Plotas gali būti uždaras daugiakampis arba neapribotas.

Pažvelkime į tris svarbius pavyzdžius.

1 pavyzdys. Išspręskite sistemą grafiškai:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• apsvarstykite nelygybes atitinkančias lygtis x+y–1=0 ir –2x–2y+5=0;
• Sukurkime tiesias linijas, pateiktas šiomis lygtimis.

2 pav

Apibrėžkime nelygybių apibrėžtas pusplokštumas. Paimkime savavališką tašką, tegul (0; 0). Pasvarstykime x+ y- 1 0, pakeiskite tašką (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Tai reiškia, kad pusiau plokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, t.y. po linija esanti pusplokštuma yra pirmosios nelygybės sprendimas. Šį tašką (0; 0) pakeitę antruoju, gauname: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.y. pusplokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), –2 x – 2y+ 5≥ 0, o mūsų paklausė kur –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, todėl kitoje pusplokštumoje - virš tiesės.
Raskime šių dviejų pusiau plokštumų sankirtą. Tiesės lygiagrečios, todėl plokštumos niekur nesikerta, vadinasi, šių nelygybių sistema neturi sprendinių ir yra nenuosekli.

2 pavyzdys. Grafiškai raskite nelygybių sistemos sprendimus:

3 pav
1. Išrašykime nelygybes atitinkančias lygtis ir sukonstruokime tieses.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Pasirinkę tašką (0; 0), nustatome nelygybių požymius pusplokštumose:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.y. x + 2y– 2 ≤ 0 pusiau plokštumoje žemiau tiesės;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.y. y –x– 1 ≤ 0 pusiau plokštumoje žemiau tiesės;
0 + 2 =2 ≥ 0, t.y. y+ 2 ≥ 0 pusplokštumoje virš tiesės.
3. Šių trijų pusiau plokštumų sankirta bus sritis, kuri yra trikampis. Nesunku rasti srities viršūnes kaip atitinkamų tiesių susikirtimo taškus


Taigi, A(–3; –2), IN(0; 1), SU(6; –2).

Panagrinėkime kitą pavyzdį, kuriame sistemos sprendimo sritis nėra ribojama.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminio proceso metu ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Yra tik „X“ ir tik x ašis, bet dabar pridedami „Y“ ir veiklos laukas išplečiamas iki visos koordinačių plokštumos. Toliau tekste frazė „tiesinė nelygybė“ suprantama dvimačia prasme, kuri paaiškės per kelias sekundes.

Be analitinės geometrijos, medžiaga aktuali daugeliui matematinės analizės ir ekonominio bei matematinio modeliavimo problemų, todėl rekomenduoju šią paskaitą studijuoti labai rimtai.

Tiesinės nelygybės

Yra dviejų tipų tiesinės nelygybės:

1) Griežtas nelygybės: .

2) Lax nelygybės: .

Kokia geometrinė šių nelygybių reikšmė? Jei tiesinė lygtis apibrėžia tiesę, tai apibrėžia tiesinė nelygybė pusiau plokštuma.

Norėdami suprasti toliau pateiktą informaciją, turite žinoti linijų tipus plokštumoje ir mokėti konstruoti tiesias linijas. Jei šioje dalyje turite kokių nors sunkumų, perskaitykite žinyną Funkcijų grafikai ir savybės– pastraipa apie tiesinę funkciją.

Pradėkime nuo paprasčiausių tiesinių nelygybių. Kiekvieno vargšo studento svajonė yra koordinačių plokštuma, kurioje nieko nėra:

Kaip žinote, x ašis pateikiama lygtimi - „y“ visada (bet kuriai „x“ reikšmei) yra lygus nuliui.

Panagrinėkime nelygybę. Kaip tai suprasti neoficialiai? „Y“ visada (bet kuriai „x“ reikšmei) yra teigiamas. Akivaizdu, kad ši nelygybė apibrėžia viršutinę pusiau plokštumą - juk ten yra visi taškai su teigiamais „žaidimais“.

Tuo atveju, jei nelygybė nėra griežta, į viršutinę pusplokštumą papildomai pridedama pati ašis.

Panašiai: nelygybę tenkina visi apatinės pusės plokštumos taškai; negriežta nelygybė atitinka apatinę pusplokštumą + ašį.

Ta pati prozinė istorija yra su y ašimi:

– nelygybė nurodo dešiniąją pusplokštumą;
– nelygybė nurodo dešiniąją pusplokštumą, įskaitant ordinačių ašį;
– nelygybė nurodo kairiąją pusplokštumą;
– nelygybė nurodo kairiąją pusplokštumą, įskaitant ordinačių ašį.

Antrame žingsnyje nagrinėjame nelygybes, kuriose trūksta vieno iš kintamųjų.

Trūksta „Y“:

Arba „x“ nėra:

Šios nelygybės gali būti sprendžiamos dviem būdais: apsvarstykite abu būdus. Pakeliui prisiminkime ir įtvirtinkime mokyklos veiksmus su nelygybėmis, kurios jau buvo aptartos klasėje Funkcijos domenas.

1 pavyzdys

Išspręskite tiesines nelygybes:

Ką reiškia išspręsti tiesinę nelygybę?

Išspręsti tiesinę nelygybę reiškia rasti pusę plokštumos, kurios taškai tenkina šią nelygybę (plius pati linija, jei nelygybė nėra griežta). Sprendimas, paprastai, grafinis.

Patogiau iš karto atlikti piešinį ir tada viską komentuoti:

a) Išspręskite nelygybę

Pirmasis metodas

Metodas labai primena istoriją su koordinačių ašimis, kurią aptarėme aukščiau. Idėja yra transformuoti nelygybę – palikti vieną kintamąjį kairėje be jokių konstantų, šiuo atveju kintamąjį “x”.

Taisyklė: Nelygybėje terminai perkeliami iš dalies į dalį keičiant ženklą, o pats nelygybės ženklas nesikeičia(pavyzdžiui, jei buvo ženklas „mažiau nei“, jis liks „mažiau nei“).

Perkeliame „penkiuką“ į dešinę pusę, pakeisdami ženklą:

Taisyklė TEIGIAMAS nesikeičia.

Dabar nubrėžkite tiesią liniją (mėlyna punktyrinė linija). Tiesi linija brėžiama kaip punktyrinė linija, nes nelygybė griežtas, o šiai linijai priklausantys taškai tikrai nebus įtraukti į sprendimą.

Kokia nelygybės prasmė? „X“ visada (bet kuriai „Y“ vertei) yra mažesnė nei . Akivaizdu, kad šį teiginį tenkina visi kairiosios pusės plokštumos taškai. Šią pusiau plokštumą iš principo galima nuspalvinti, bet apsiribosiu mažomis mėlynomis rodyklėmis, kad piešinys nepavirstų meniška palete.

Antras metodas

Tai universalus metodas. SKAITYKITE LABAI ATSARGIAI!

Pirmiausia nubrėžiame tiesią liniją. Aiškumo dėlei, beje, lygtį patartina pateikti formoje .

Dabar pasirinkite bet kurį tašką plokštumoje, nepriklausantis tiesioginiam. Daugeliu atvejų, žinoma, miela vieta. Pakeiskime šio taško koordinates į nelygybę:

Gauta klaidinga nelygybė(paprasčiau tariant, taip negali būti), tai reiškia, kad taškas netenkina nelygybės.

Pagrindinė mūsų užduoties taisyklė:
netenkina tada nelygybė VISI duotosios pusplokštumos taškai nepatenkintiši nelygybė.
– Jei bet kuris pusiau plokštumos taškas (nepriklausantis tiesei) tenkina tada nelygybė VISI duotosios pusplokštumos taškai Patenkintiši nelygybė.

Galite patikrinti: bet kuris taškas, esantis linijos dešinėje, nepatenkins nelygybės.

Kokia yra eksperimento su tašku išvada? Dėti nėra kur, nelygybę tenkina visi kitos - kairiosios pusplokštumos taškai (galima ir patikrinti).

b) Išspręskite nelygybę

Pirmasis metodas

Transformuokime nelygybę:

Taisyklė: Abi nelygybės puses gali būti dauginamos (padalintos) iš NEIGIAMAS skaičius, su nelygybės ženklu KEIČIAMAS priešingai (pavyzdžiui, jei buvo ženklas „didesnis už arba lygus“, jis taps „mažesnis už arba lygus“).

Abi nelygybės puses padauginame iš:

Nubrėžkime tiesią liniją (raudoną) ir nubrėžkime ištisinę liniją, nes turime nelygybę negriežtas, o tiesė akivaizdžiai priklauso sprendimui.

Išanalizavę gautą nelygybę, prieiname prie išvados, kad jos sprendimas yra apatinė pusplokštuma (+ pati tiesė).

Atitinkamą pusplokštumą nuspalviname arba pažymime rodyklėmis.

Antras metodas

Nubrėžkime tiesią liniją. Pavyzdžiui, pasirinkime savavališką plokštumos tašką (nepriklausantį tiesei) ir pakeiskime jo koordinates į mūsų nelygybę:

Gauta tikroji nelygybė, o tai reiškia, kad taškas tenkina nelygybę, o apskritai VISI apatinės pusės plokštumos taškai tenkina šią nelygybę.

Čia su eksperimentiniu tašku „pataikome“ į norimą pusplokštumą.

Problemos sprendimas pažymėtas raudona linija ir raudonomis rodyklėmis.

Asmeniškai man labiau patinka pirmasis sprendimas, nes antrasis yra formalesnis.

2 pavyzdys

Išspręskite tiesines nelygybes:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pabandykite išspręsti problemą dviem būdais (beje, tai yra geras būdas patikrinti sprendimą). Atsakyme pamokos pabaigoje bus tik galutinis piešinys.

Manau, kad po visų pavyzdžiuose atliktų veiksmų teks su jais susituokti, nebus sunku išspręsti paprasčiausią nelygybę kaip ir t.t.

Pereikime prie trečiojo bendro atvejo, kai nelygybėje yra abu kintamieji:

Arba laisvasis terminas „ce“ gali būti lygus nuliui.

3 pavyzdys

Raskite pusiau plokštumas, atitinkančias šias nelygybes:

Sprendimas: Čia naudojamas universalus sprendimo būdas su taškiniu pakeitimu.

a) Sukonstruokime tiesės lygtį, kuri turi būti nubrėžta kaip punktyrinė linija, nes nelygybė yra griežta ir pati tiesė nebus įtraukta į sprendinį.

Pavyzdžiui, pasirenkame eksperimentinį plokštumos tašką, kuris nepriklauso nurodytai tiesei, ir pakeičiame jo koordinates į mūsų nelygybę:

Gauta klaidinga nelygybė, o tai reiškia, kad duotosios pusės plokštumos taškas ir VISI taškai netenkina nelygybės. Nelygybės sprendimas bus dar viena pusiau plokštuma, pasigrožėkime mėlynu žaibu:

b) Išspręskime nelygybę. Pirmiausia nubrėžkime tiesią liniją. Tai padaryti nėra sunku; turime kanoninį tiesioginį proporcingumą. Liniją brėžiame nuolat, nes nelygybė nėra griežta.

Pasirinkime savavališką plokštumos tašką, kuris nepriklauso tiesei. Norėčiau vėl naudoti originalą, bet, deja, dabar jis netinka. Todėl teks dirbti su kitu draugu. Pelningiau paimti tašką su mažomis koordinačių reikšmėmis, pavyzdžiui, . Pakeiskime jo koordinates į mūsų nelygybę:

Gauta tikroji nelygybė, o tai reiškia, kad duotosios pusės plokštumos taškas ir visi taškai tenkina nelygybę . Norima pusplokštuma pažymėta raudonomis rodyklėmis. Be to, sprendimas apima pačią tiesią liniją.

4 pavyzdys

Raskite nelygybes atitinkančias pusplokštumas:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas, apytikslis galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Pažvelkime į atvirkštinę problemą:

5 pavyzdys

a) Duota tiesi linija. Apibrėžkite pusiau plokštuma, kurioje yra taškas, o pati tiesė turi būti įtraukta į sprendimą.

b) Duota tiesi linija. Apibrėžkite pusiau plokštuma, kurioje yra taškas. Pati tiesi linija į sprendimą neįtraukta.

Sprendimas: Piešinio čia nereikia ir sprendimas bus analitinis. Nieko sunkaus:

a) Sudarykime pagalbinį daugianarį ir apskaičiuokime jo reikšmę taške:
. Taigi norima nelygybė turės ženklą „mažiau nei“. Pagal sąlygą tiesi linija įtraukta į sprendimą, todėl nelygybė nebus griežta:

b) Sudarykime daugianarį ir apskaičiuokime jo reikšmę taške:
. Taigi norima nelygybė turės ženklą „didesnis nei“. Pagal sąlygą tiesė į sprendinį neįtraukta, todėl nelygybė bus griežta: .

Atsakymas:

Kūrybinis savarankiško mokymosi pavyzdys:

6 pavyzdys

Duoti taškai ir tiesi linija. Tarp išvardytų taškų raskite tuos, kurie kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje nurodytos linijos pusėje.

Maža užuomina: pirmiausia reikia sukurti nelygybę, kuri apibrėžia pusę plokštumos, kurioje yra koordinačių pradžia. Analitinis sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Tiesinių nelygybių sistemos

Tiesinių nelygybių sistema, kaip jūs suprantate, yra sistema, sudaryta iš kelių nelygybių. Lol, gerai, aš išdaviau apibrėžimą =) Ežiukas yra ežiukas, peilis yra peilis. Bet tai tiesa – pasirodė paprasta ir prieinama! Ne, jei rimtai, nenoriu pateikti jokių bendrų pavyzdžių, todėl pereikime prie aktualių klausimų:

Ką reiškia išspręsti tiesinių nelygybių sistemą?

Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą- tai reiškia raskite taškų rinkinį plokštumoje, kurios tenkina kiekvienam sistemos nelygybė.

Paprasčiausiais pavyzdžiais apsvarstykite nelygybių sistemas, kurios nustato stačiakampės koordinačių sistemos koordinačių ketvirčius („vargšų mokinių paveikslas“ yra pačioje pamokos pradžioje):

Nelygybių sistema apibrėžia pirmąjį koordinačių ketvirtį (viršuje dešinėje). Pavyzdžiui, bet kurio pirmojo ketvirčio taško koordinatės ir tt Patenkinti kiekvienamšios sistemos nelygybė.

Taip pat:
– nelygybių sistema nurodo antrąjį koordinačių ketvirtį (viršuje kairėje);
– nelygybių sistema apibrėžia trečiąjį koordinačių ketvirtį (apačioje kairėje);
– nelygybių sistema apibrėžia ketvirtąjį koordinačių ketvirtį (apačioje dešinėje).

Tiesinių nelygybių sistema gali neturėti sprendinių, tai yra būti ne sąnarių. Vėlgi paprasčiausias pavyzdys: . Visiškai akivaizdu, kad „x“ vienu metu negali būti daugiau nei trys ir mažiau nei du.

Nelygybių sistemos sprendimas gali būti tiesė, pavyzdžiui: . Gulbė, vėžys, be lydekos, tempia vežimą į dvi skirtingas puses. Taip, viskas vis dar yra – šios sistemos sprendimas yra tiesi linija.

Tačiau labiausiai paplitęs atvejis, kai sistemos sprendimas yra tam tikras plokštumos regionas. Sprendimo sritis Gal būt neribota(pavyzdžiui, koordinačių ketvirčiai) arba ribotas. Riboto sprendimo regionas vadinamas daugiakampio sprendimo sistema.

7 pavyzdys

Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą

Praktikoje daugeliu atvejų tenka susidurti su silpnomis nelygybėmis, todėl visą likusią pamokos dalį apvalius šokius ves būtent jie.

Sprendimas: Tai, kad yra per daug nelygybės, neturėtų būti baisu. Kiek nelygybių gali būti sistemoje? Taip, kiek jums patinka. Svarbiausia yra laikytis racionalaus sprendimo srities konstravimo algoritmo:

1) Pirmiausia sprendžiame paprasčiausias nelygybes. Nelygybės apibrėžia pirmąjį koordinačių ketvirtį, įskaitant koordinačių ašių ribą. Tai jau daug lengviau, nes paieškos sritis gerokai susiaurėjo. Brėžinyje iš karto pažymime atitinkamas pusplokštumas rodyklėmis (raudonomis ir mėlynomis rodyklėmis)

2) Antroji paprasčiausia nelygybė yra ta, kad čia nėra „Y“. Pirma, sukonstruojame pačią tiesę, o antra, pakeitus nelygybę į formą , iš karto tampa aišku, kad visi „X“ yra mažesni už 6. Žaliomis rodyklėmis pažymime atitinkamą pusplokštumą. Na, o paieškos sritis tapo dar mažesnė – toks iš viršaus neapribotas stačiakampis.

3) Paskutiniame žingsnyje išsprendžiame nelygybes „su pilna amunicija“: . Išsamiai aptarėme sprendimo algoritmą ankstesnėje pastraipoje. Trumpai tariant: pirmiausia nutiesiame tiesią liniją, tada, naudodami eksperimentinį tašką, randame mums reikalingą pusę plokštumos.

Atsistokite, vaikai, stovėkite ratu:


Sistemos sprendimo sritis yra daugiakampis, brėžinyje jis kontūruojamas tamsiai raudona linija ir užtamsintas. Truputį persistengiau =) Užrašų knygelėje užtenka arba nuspalvinti tirpalo plotą, arba paprastu pieštuku nubrėžti drąsiau.

Bet kuris duoto daugiakampio taškas tenkina KIEKVIENĄ sistemos nelygybę (galite tai patikrinti savo malonumui).

Atsakymas: sistemos sprendimas yra daugiakampis.

Pateikiant paraišką dėl švarios kopijos, būtų naudinga išsamiai aprašyti, kuriuos taškus naudojote tiesioms linijoms kurti (žr. pamoką Funkcijų grafikai ir savybės), ir kaip buvo nustatytos pusplokštumos (žr. pirmąją šios pamokos pastraipą). Tačiau praktiškai daugeliu atvejų jums bus įskaitytas tik teisingas piešinys. Patys skaičiavimai gali būti atliekami pagal juodraštį arba net žodžiu.

Be sistemos sprendimo daugiakampio, praktikoje, nors ir rečiau, yra atvira sritis. Pabandykite patys suprasti šį pavyzdį. Nors dėl tikslumo čia nėra kankinimų - statybos algoritmas yra tas pats, tiesiog plotas nebus ribojamas.

8 pavyzdys

Išspręskite sistemą

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Greičiausiai turėsite skirtingas gauto regiono viršūnių raides. Tai nėra svarbu, svarbiausia teisingai rasti viršūnes ir teisingai sukonstruoti plotą.

Neretai pasitaiko, kad uždaviniams spręsti reikia ne tik sukonstruoti sistemos sprendimo sritį, bet ir surasti srities viršūnių koordinates. Dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose šių taškų koordinatės buvo akivaizdžios, tačiau praktiškai viskas toli gražu nėra ledas:

9 pavyzdys

Išspręskite sistemą ir raskite gautos srities viršūnių koordinates

Sprendimas: brėžinyje pavaizduokime šios sistemos sprendimo sritį. Nelygybė apibrėžia kairę pusę plokštumos su ordinačių ašimi, ir čia nebėra jokių dovanų. Apskaičiavę galutinę kopiją / juodraštį arba gilius mąstymo procesus, gauname tokią sprendimų sritį:

Nelygybės ir nelygybių sistemos yra viena iš vidurinės mokyklos algebros temų. Kalbant apie sudėtingumo lygį, jis nėra pats sudėtingiausias, nes turi paprastas taisykles (apie jas šiek tiek vėliau). Paprastai moksleiviai gana lengvai išmoksta spręsti nelygybių sistemas. Taip yra ir dėl to, kad mokytojai tiesiog „apmoko“ savo mokinius šia tema. Ir jie negali to nepadaryti, nes ateityje jis tiriamas naudojant kitus matematinius dydžius, taip pat tikrinamas atliekant vieningą valstybinį egzaminą ir vieningą valstybinį egzaminą. Mokykliniuose vadovėliuose nelygybių ir nelygybių sistemų tema gvildenama itin išsamiai, tad jei ketinate ją studijuoti, geriausia jų griebtis. Šiame straipsnyje apibendrinama tik didesnė medžiaga ir gali būti praleistų dalykų.

Nelygybių sistemos samprata

Jei atsigręžtume į mokslinę kalbą, galėtume apibrėžti „nelygybių sistemos“ sąvoką. Tai matematinis modelis, vaizduojantis keletą nelygybių. Šis modelis, žinoma, reikalauja sprendimo, ir tai bus bendras atsakymas į visas užduotyje pasiūlytas sistemos nelygybes (dažniausiai jame taip parašyta, pvz.: „Išspręskite nelygybių sistemą 4 x + 1 > 2 ir 30 – x > 6...“). Tačiau prieš pereidami prie sprendimų tipų ir metodų, turite suprasti ką nors kita.

Nelygybių sistemos ir lygčių sistemos

Mokantis naują temą dažnai kyla nesusipratimų. Viena vertus, viskas aišku ir norisi kuo greičiau pradėti spręsti užduotis, bet kita vertus, kai kurios akimirkos lieka „šešėlyje“ ir nėra iki galo suprantamos. Taip pat kai kurie jau įgytų žinių elementai gali persipinti su naujais. Dėl šio „persidengimo“ dažnai pasitaiko klaidų.

Todėl prieš pradėdami analizuoti savo temą, turėtume prisiminti lygčių ir nelygybių bei jų sistemų skirtumus. Norėdami tai padaryti, turime dar kartą paaiškinti, ką reiškia šios matematinės sąvokos. Lygtis visada yra lygybė ir visada kažkam lygi (matematikoje šis žodis žymimas ženklu "="). Nelygybė yra modelis, kuriame viena reikšmė yra didesnė arba mažesnė už kitą, arba yra teiginys, kad jos nėra vienodos. Taigi pirmuoju atveju dera kalbėti apie lygybę, o antruoju, kad ir kaip akivaizdžiai tai skambėtų iš paties pavadinimo, apie pradinių duomenų nelygybę. Lygčių ir nelygybių sistemos viena nuo kitos praktiškai nesiskiria ir jų sprendimo būdai yra vienodi. Skirtumas tik tas, kad pirmuoju atveju naudojamos lygybės, o antruoju – nelygybės.

Nelygybių rūšys

Yra dviejų tipų nelygybės: skaitinės ir su nežinomu kintamuoju. Pirmasis tipas žymi pateiktus dydžius (skaičius), kurie yra nelygūs vienas kitam, pavyzdžiui, 8 > 10. Antrasis – nelygybės, kuriose yra nežinomas kintamasis (žymimas lotyniškos abėcėlės raide, dažniausiai X). Šį kintamąjį reikia rasti. Priklausomai nuo to, kiek jų yra, matematinis modelis išskiria nelygybes su vienu (jie sudaro nelygybių sistemą su vienu kintamuoju) arba kelis kintamuosius (jie sudaro nelygybių sistemą su keliais kintamaisiais).

Paskutiniai du tipai, atsižvelgiant į jų konstrukcijos laipsnį ir sprendimo sudėtingumo lygį, skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Paprastosios dar vadinamos tiesinėmis nelygybėmis. Jie savo ruožtu skirstomi į griežtus ir negriežtus. Griežtieji konkrečiai „sako“, kad vienas kiekis būtinai turi būti arba mažesnis, arba didesnis, todėl tai yra gryna nelygybė. Galima pateikti kelis pavyzdžius: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 ir tt Negriežtieji apima ir lygybę. Tai reiškia, kad viena reikšmė gali būti didesnė arba lygi kitai reikšmei („≥“ ženklas) arba mažesnė arba lygi kitai reikšmei („≤“ ženklas). Net tiesinėse nelygybėse kintamasis nėra šaknyje, kvadrate ir nėra dalijamas iš nieko, todėl jie vadinami „paprastaisiais“. Sudėtingi apima nežinomus kintamuosius, kuriems surasti reikia daugiau matematikos. Jie dažnai yra kvadrate, kube arba po šaknimi, gali būti moduliniai, logaritminiai, trupmeniniai ir tt Bet kadangi mūsų užduotis yra suprasti nelygybių sistemų sprendimą, kalbėsime apie tiesinių nelygybių sistemą. . Tačiau prieš tai reikėtų pasakyti keletą žodžių apie jų savybes.

Nelygybių savybės

Nelygybių savybės yra šios:

1. Nelygybės ženklas apverčiamas, jei operacija naudojama kraštinių tvarkai pakeisti (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, tai t 2 ≥ t 1).
2. Abi nelygybės pusės leidžia prie savęs pridėti tą patį skaičių (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, tai t 1 + skaičius ≤ t 2 + skaičius).
3. Dvi ar daugiau nelygybių su ženklu ta pačia kryptimi leidžia pridėti jų kairę ir dešinę puses (pavyzdžiui, jei t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, tada t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Abi nelygybės dalis galima padauginti arba padalyti iš to paties teigiamo skaičiaus (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir skaičius ≤ 0, tai skaičius · t 1 ≥ skaičius · t 2).
5. Dvi ar daugiau nelygybių, turinčių teigiamus narius ir ženklą ta pačia kryptimi, leidžia save padauginti viena iš kitos (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0, tada t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Abi nelygybės dalys leidžia save padauginti arba padalyti iš to paties neigiamo skaičiaus, tačiau šiuo atveju nelygybės ženklas pasikeičia (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir skaičius ≤ 0, tai skaičius · t 1 ≥ skaičius · t 2).
7. Visos nelygybės turi tranzityvumo savybę (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir t 2 ≤ t 3, tai t 1 ≤ t 3).

Dabar, išstudijavę pagrindinius teorijos principus, susijusius su nelygybėmis, galime pereiti tiesiai prie jų sistemų sprendimo taisyklių svarstymo.

Nelygybių sistemų sprendimas. Bendra informacija. Sprendimai

Kaip minėta aukščiau, sprendimas yra kintamojo reikšmės, tinkamos visoms pateiktos sistemos nelygybėms. Nelygybių sistemų sprendimas yra matematinių operacijų įgyvendinimas, kuris galiausiai veda prie visos sistemos sprendimo arba įrodo, kad ji neturi sprendimų. Šiuo atveju sakoma, kad kintamasis priklauso tuščiai skaitinei aibe (parašyta taip: raidė, reiškianti kintamąjį∈ (ženklas „priklauso“) ø (ženklas „tuščia aibė“), pavyzdžiui, x ∈ ø (skaitykite: „Kintamasis „x“ priklauso tuščiai aibei). Yra keletas nelygybių sistemų sprendimo būdų: grafinis, algebrinis, pakeitimo metodas. Verta paminėti, kad jie nurodo tuos matematinius modelius, kurie turi keletą nežinomų kintamųjų. Tuo atveju, kai yra tik vienas, tinka intervalo metodas.

Grafinis metodas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą su keliais nežinomais dydžiais (nuo dviejų ir daugiau). Šio metodo dėka tiesinių nelygybių sistema gali būti išspręsta gana lengvai ir greitai, todėl tai yra labiausiai paplitęs metodas. Tai paaiškinama tuo, kad braižant grafiką sumažėja matematinių operacijų rašymo kiekis. Ypač malonu tampa šiek tiek pertrauka nuo rašiklio, pasiimti pieštuką su liniuote ir su jų pagalba pradėti tolesnius veiksmus, kai atlikta daug darbų ir norisi šiek tiek įvairovės. Tačiau kai kuriems žmonėms šis metodas nepatinka, nes jie turi atitrūkti nuo užduoties ir savo protinę veiklą pakeisti piešimu. Tačiau tai labai efektyvus metodas.

Norint išspręsti nelygybių sistemą grafiniu metodu, būtina visus kiekvienos nelygybės narius perkelti į kairę pusę. Ženklai bus atvirkščiai, dešinėje turi būti rašomas nulis, tada kiekvieną nelygybę reikia rašyti atskirai. Dėl to funkcijos bus gautos iš nelygybių. Po to galite išimti pieštuką ir liniuotę: dabar reikia nubrėžti kiekvienos gautos funkcijos grafiką. Visas skaičių rinkinys, kuris bus jų sankirtos intervale, bus nelygybių sistemos sprendimas.

Algebrinis būdas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą su dviem nežinomais kintamaisiais. Be to, nelygybės turi turėti tą patį nelygybės ženklą (ty jose turi būti arba tik ženklas „didesnis nei“ arba tik ženklas „mažiau nei“ ir pan.) Nepaisant apribojimų, šis metodas taip pat yra sudėtingesnis. Jis taikomas dviem etapais.

Pirmasis apima veiksmus, kuriais siekiama atsikratyti vieno iš nežinomų kintamųjų. Pirmiausia turite jį pasirinkti, tada patikrinti, ar prieš šį kintamąjį nėra skaičių. Jei jų nėra (tuomet kintamasis atrodys kaip viena raidė), tada nieko nekeičiame, jei yra (kintamojo tipas bus pvz. 5y arba 12y), tada reikia padaryti įsitikinkite, kad kiekvienoje nelygybėje skaičius prieš pasirinktą kintamąjį yra toks pat. Norėdami tai padaryti, turite padauginti kiekvieną nelygybių narį iš bendro koeficiento, pavyzdžiui, jei pirmoje nelygybėje parašyta 3y, o antroje - 5y, tada visus pirmosios nelygybės narius reikia padauginti iš 5 , o antrasis - 3. Rezultatas yra atitinkamai 15y ir 15y.

Antrasis sprendimo etapas. Kiekvienos nelygybės kairę pusę reikia perkelti į jų dešiniąsias puses, keičiant kiekvieno nario ženklą į priešingą, o dešinėje parašyti nulį. Tada ateina linksmoji dalis: atsikratyti pasirinkto kintamojo (kitaip vadinamo „sumažinimu“) pridedant nelygybę. Dėl to susidaro nelygybė su vienu kintamuoju, kurią reikia išspręsti. Po to turėtumėte daryti tą patį, tik su kitu nežinomu kintamuoju. Gauti rezultatai bus sistemos sprendimas.

Pakeitimo metodas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą, jei įmanoma įvesti naują kintamąjį. Paprastai šis metodas naudojamas, kai nežinomas kintamasis viename nelygybės naryje pakeliamas į ketvirtą laipsnį, o kitame – pakeliamas kvadratu. Taigi šiuo metodu siekiama sumažinti sistemos nelygybių laipsnį. Taip išspręsta imties nelygybė x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Įvedamas naujas kintamasis, pavyzdžiui, t. Jie rašo: „Tegul t = x 2“, tada modelis perrašomas nauja forma. Mūsų atveju gauname t 2 - t - 1 ≤0. Šią nelygybę reikia išspręsti naudojant intervalų metodą (apie tai šiek tiek vėliau), tada grįžti į kintamąjį X, tada padaryti tą patį su kita nelygybe. Gauti atsakymai bus sistemos sprendimas.

Intervalinis metodas

Tai pats paprasčiausias nelygybių sistemų sprendimo būdas, tuo pačiu universalus ir plačiai paplitęs. Jis naudojamas vidurinėse mokyklose ir net aukštosiose mokyklose. Jo esmė slypi tame, kad studentas nelygybės intervalų ieško skaičių tiesėje, kuri nubraižyta sąsiuvinyje (tai ne grafikas, o tiesiog eilinė eilutė su skaičiais). Ten, kur susikerta nelygybių intervalai, randamas sistemos sprendimas. Norėdami naudoti intervalo metodą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Visos kiekvienos nelygybės sąlygos perkeliamos į kairę pusę, o ženklas keičiasi į priešingą (dešinėje rašomas nulis).
2. Atskirai išrašomos nelygybės ir nustatomas kiekvienos iš jų sprendimas.
3. Rastos nelygybių sankirtos skaičių tiesėje. Visi skaičiai, esantys šiose sankryžose, bus sprendimas.

Kokį metodą turėčiau naudoti?

Akivaizdu, kad tas, kuris atrodo lengviausias ir patogiausias, tačiau pasitaiko atvejų, kai užduotys reikalauja tam tikro metodo. Dažniausiai jie sako, kad reikia išspręsti grafiką arba intervalų metodą. Algebrinis metodas ir pakaitalai naudojami itin retai arba visai nenaudojami, nes jie yra gana sudėtingi ir painūs, be to, jie labiau naudojami lygčių sistemoms, o ne nelygybėms spręsti, todėl reikėtų pasitelkti grafikus ir intervalus. Jie suteikia aiškumo, kuris prisideda prie efektyvaus ir greito matematinių operacijų atlikimo.

Jei kas nors nepavyks

Natūralu, kad studijuojant tam tikrą algebros temą gali kilti problemų dėl jos supratimo. Ir tai yra normalu, nes mūsų smegenys yra sukurtos taip, kad jos nesugeba suprasti sudėtingos medžiagos vienu ypu. Dažnai reikia iš naujo perskaityti pastraipą, kreiptis pagalbos į mokytoją arba pasitreniruoti sprendžiant standartines užduotis. Mūsų atveju jie atrodo, pavyzdžiui, taip: „Išspręskite nelygybių sistemą 3 x + 1 ≥ 0 ir 2 x - 1 > 3“. Taigi asmeninis noras, pašalinių žmonių pagalba ir praktika padeda suprasti bet kokią sudėtingą temą.

Sprendimas?

Labai tinka ir sprendimų knyga, bet ne namų darbams kopijuoti, o savipagalbai. Juose galima rasti nelygybių su sprendiniu sistemas, pažvelgti į jas (kaip šablonus), pabandyti tiksliai suprasti, kaip sprendimo autorius susidorojo su užduotimi, o tada pabandyti tą patį padaryti savarankiškai.

išvadas

Algebra yra vienas iš sunkiausių dalykų mokykloje. Na, ką tu gali padaryti? Matematika visada buvo tokia: vieniems lengva, o kitiems – sunku. Tačiau bet kuriuo atveju reikia atsiminti, kad bendrojo ugdymo programa yra sudaryta taip, kad su ja susidorotų bet kuris mokinys. Be to, reikia turėti omenyje didžiulį padėjėjų skaičių. Kai kurie iš jų buvo paminėti aukščiau.

Gavę pradinę informaciją apie nelygybes su kintamaisiais, pereiname prie jų sprendimo klausimo. Išanalizuosime tiesinių nelygybių su vienu kintamuoju sprendimą ir visus jų sprendimo būdus su algoritmais ir pavyzdžiais. Bus svarstomos tik tiesinės lygtys su vienu kintamuoju.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra tiesinė nelygybė?

Pirmiausia turite apibrėžti tiesinę lygtį ir išsiaiškinti jos standartinę formą bei kuo ji skirsis nuo kitų. Iš mokyklinio kurso matome, kad esminio skirtumo tarp nelygybių nėra, todėl būtina naudoti kelis apibrėžimus.

1 apibrėžimas

Tiesinė nelygybė su vienu kintamuoju x yra a · x + b > 0 formos nelygybė, kai vietoj > naudojamas bet koks nelygybės ženklas< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2 apibrėžimas

Nelygybės a x< c или a · x >c, kai x yra kintamasis, o a ir c yra kai kurie skaičiai, vadinamas tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju.

Kadangi nieko nesakoma apie tai, ar koeficientas gali būti lygus 0, tai griežta nelygybė formos 0 x > c ir 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Jų skirtumai yra šie:

• žymėjimo forma a · x + b > 0 pirmoje, o a · x > c – antroje;
• koeficiento a leistinumas yra lygus nuliui, a ≠ 0 - pirmajame, o a = 0 - antrajame.

Manoma, kad nelygybės a · x + b > 0 ir a · x > c yra lygiavertės, nes gaunamos perkeliant terminą iš vienos dalies į kitą. Išsprendus nelygybę 0 x + 5 > 0, ją reikės išspręsti, o atvejis a = 0 neveiks.

3 apibrėžimas

Manoma, kad tiesinės nelygybės viename kintamajame x yra formos nelygybės a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Ir a x + b ≥ 0, kur a ir b yra realieji skaičiai. Vietoj x gali būti įprastas skaičius.

Remdamiesi taisykle, turime, kad 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 vadinami redukuojamaisiais į tiesinius.

Kaip išspręsti tiesinę nelygybę

Pagrindinis būdas išspręsti tokias nelygybes yra naudoti ekvivalentines transformacijas, kad būtų galima rasti elementariąsias nelygybes x< p (≤ , >, ≥) , p kuris yra tam tikras skaičius, kai a ≠ 0, ir yra a formos< p (≤ , >, ≥), jei a = 0.

Norėdami išspręsti vieno kintamojo nelygybes, galite naudoti intervalų metodą arba pavaizduoti jį grafiškai. Bet kuris iš jų gali būti naudojamas atskirai.

Naudojant lygiavertes transformacijas

Išspręsti a x + b formos tiesinę nelygybę< 0 (≤ , >, ≥), būtina taikyti ekvivalentines nelygybės transformacijas. Koeficientas gali būti lygus nuliui arba ne. Panagrinėkime abu atvejus. Norėdami tai sužinoti, turite laikytis schemos, kurią sudaro 3 punktai: proceso esmė, algoritmas ir pats sprendimas.

4 apibrėžimas

Tiesinės nelygybės sprendimo algoritmas a x + b< 0 (≤ , >, ≥), jei ≠ 0

• skaičius b bus perkeltas į dešinę nelygybės pusę su priešingu ženklu, o tai leis mums gauti ekvivalentą a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Abi nelygybės pusės bus padalintos iš skaičiaus, kuris nėra lygus 0. Be to, kai a yra teigiamas, ženklas išlieka, kai a yra neigiamas, jis pasikeičia į priešingą.

Panagrinėkime šio algoritmo taikymą pavyzdžiams spręsti.

1 pavyzdys

Išspręskite formos 3 x + 12 ≤ 0 nelygybę.

Sprendimas

Ši tiesinė nelygybė yra a = 3 ir b = 12. Tai reiškia, kad x koeficientas a nėra lygus nuliui. Taikykime aukščiau pateiktus algoritmus ir išspręskime.

Būtina perkelti 12 terminą į kitą nelygybės dalį ir pakeisti ženklą priešais jį. Tada gauname 3 x ≤ − 12 formos nelygybę. Būtina padalyti abi dalis iš 3. Ženklas nepasikeis, nes 3 yra teigiamas skaičius. Gauname, kad (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, kas duoda rezultatą x ≤ − 4.

Formos x ≤ − 4 nelygybė yra lygiavertė. Tai reiškia, kad 3 x + 12 ≤ 0 sprendimas yra bet koks realusis skaičius, mažesnis arba lygus 4. Atsakymas rašomas kaip nelygybė x ≤ − 4, arba formos (− ∞, − 4] skaitinis intervalas).

Visas aukščiau aprašytas algoritmas parašytas taip:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .

Atsakymas: x ≤ − 4 arba (− ∞ , − 4 ] .

2 pavyzdys

Nurodykite visus galimus nelygybės − 2, 7 · z > 0 sprendinius.

Sprendimas

Iš sąlygos matome, kad z koeficientas a yra lygus - 2,7, o b aiškiai nėra arba lygus nuliui. Negalite naudoti pirmojo algoritmo žingsnio, bet nedelsdami pereikite prie antrojo.

Abi lygties puses padalijame iš skaičiaus - 2, 7. Kadangi skaičius yra neigiamas, reikia apversti nelygybės ženklą. Tai yra, mes gauname, kad (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Parašykime visą algoritmą trumpa forma:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Atsakymas: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3 pavyzdys

Išspręskite nelygybę - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Sprendimas

Pagal sąlygą matome, kad reikia išspręsti nelygybę su koeficientu a kintamajam x, kuris lygus - 5, su koeficientu b, kuris atitinka trupmeną - 15 22. Nelygybę reikia išspręsti vadovaujantis algoritmu, tai yra: perkelti - 15 22 į kitą dalį su priešingu ženklu, padalyti abi dalis iš - 5, pakeisti nelygybės ženklą:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Paskutinio perėjimo į dešinę pusę metu naudojama skaičiaus padalijimo skirtingais ženklais taisyklė 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po kurios paprastąją trupmeną padaliname iš natūraliojo skaičiaus - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Atsakymas: x ≥ - 3 22 ir [ - 3 22 + ∞) .

Panagrinėkime atvejį, kai a = 0. Formos a x + b tiesinė išraiška< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Viskas grindžiama nelygybės sprendimo nustatymu. Bet kuriai x reikšmei gauname b formos skaitinę nelygybę< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Visus sprendimus nagrinėsime tiesinių nelygybių 0 x + b sprendimo algoritmo forma< 0 (≤ , > , ≥) :

5 apibrėžimas

Skaitinė formos nelygybė b< 0 (≤ , >, ≥) yra teisinga, tada pradinė nelygybė turi bet kurios reikšmės sprendinį, o ji yra klaidinga, kai pradinė nelygybė neturi sprendinių.

4 pavyzdys

Išspręskite nelygybę 0 x + 7 > 0.

Sprendimas

Ši tiesinė nelygybė 0 x + 7 > 0 gali turėti bet kokią reikšmę x. Tada gauname formos 7 > 0 nelygybę. Paskutinė nelygybė laikoma tiesa, o tai reiškia, kad bet koks skaičius gali būti jos sprendimas.

Atsakymas: intervalas (− ∞ , + ∞) .

5 pavyzdys

Raskite nelygybės 0 x − 12, 7 ≥ 0 sprendimą.

Sprendimas

Pakeitus bet kurio skaičiaus kintamąjį x, gauname, kad nelygybė yra − 12, 7 ≥ 0. Tai neteisinga. Tai reiškia, kad 0 x − 12, 7 ≥ 0 neturi sprendinių.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Panagrinėkime tiesinių nelygybių sprendimą, kai abu koeficientai lygūs nuliui.

6 pavyzdys

Nustatykite neišsprendžiamą nelygybę iš 0 x + 0 > 0 ir 0 x + 0 ≥ 0.

Sprendimas

Vietoj x pakeisdami bet kurį skaičių, gauname dvi nelygybes, kurių forma yra 0 > 0 ir 0 ≥ 0. Pirmasis yra neteisingas. Tai reiškia, kad 0 x + 0 > 0 neturi sprendinių, o 0 x + 0 ≥ 0 turi begalinį sprendinių skaičių, tai yra bet kokį skaičių.

Atsakymas: nelygybė 0 x + 0 > 0 neturi sprendinių, bet 0 x + 0 ≥ 0 turi sprendinių.

Šis metodas aptariamas mokykliniame matematikos kurse. Intervalų metodas gali išspręsti įvairių tipų nelygybes, įskaitant tiesines.

Intervalų metodas naudojamas tiesinėms nelygybėms, kai koeficiento x reikšmė nėra lygi 0. Priešingu atveju turėsite apskaičiuoti naudodami kitą metodą.

6 apibrėžimas

Intervalų metodas yra toks:

• įvedant funkciją y = a · x + b ;
• nulių paieška, norint padalinti apibrėžimo sritį į intervalus;
• ženklų apibrėžimas jų sąvokoms intervalais.

Sudarykime tiesinių lygčių a x + b sprendimo algoritmą< 0 (≤ , >, ≥), jei ≠ 0, naudojant intervalo metodą:

• funkcijos y = a · x + b nulių radimas a · x + b = 0 formos lygčiai išspręsti. Jei a ≠ 0, tada sprendimas bus viena šaknis, kuri bus žymima x 0;
• koordinačių tiesės su taško, kurio koordinatė x 0, atvaizdu konstravimas, esant griežtajai nelygybei taškas žymimas punktyrąja, su negriežta nelygybe – nuspalvinta;
• funkcijos y = a · x + b ženklų nustatymas intervaluose; tam reikia rasti funkcijos reikšmes intervalo taškuose;
• nelygybės sprendimas su ženklais > arba ≥ koordinačių tiesėje, pridedant šešėlį prie teigiamo intervalo,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Pažvelkime į kelis tiesinių nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.

6 pavyzdys

Išspręskite nelygybę − 3 x + 12 > 0.

Sprendimas

Iš algoritmo išplaukia, kad pirmiausia reikia rasti lygties šaknį − 3 x + 12 = 0. Gauname, kad − 3 · x = − 12 , x = 4 . Būtina nubrėžti koordinačių liniją, kurioje pažymime tašką 4. Jis bus pradurtas, nes nelygybė griežta. Apsvarstykite žemiau esantį piešinį.

Būtina nustatyti ženklus intervalais. Norint jį nustatyti intervale (− ∞, 4), reikia apskaičiuoti funkciją y = − 3 x + 12, kai x = 3. Iš čia gauname, kad − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervalo ženklas yra teigiamas.

Mes nustatome ženklą iš intervalo (4, + ∞), tada pakeičiame reikšmę x = 5. Turime, kad − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nelygybę išsprendžiame > ženklu, o šešėliavimas atliekamas per teigiamą intervalą. Apsvarstykite žemiau esantį piešinį.

Iš brėžinio aišku, kad norimas sprendimas turi formą (− ∞ , 4) arba x< 4 .

Atsakymas: (− ∞ , 4) arba x< 4 .

Norint suprasti, kaip pavaizduoti grafiškai, kaip pavyzdį reikia atsižvelgti į 4 tiesines nelygybes: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ir 0, 5 x − 1 ≥ 0. Jų sprendimai bus x reikšmės< 2 , x ≤ 2 , x >2 ir x ≥ 2. Norėdami tai padaryti, nubraižykime tiesinę funkciją y = 0, 5 x − 1, parodytą žemiau.

Tai aišku

7 apibrėžimas

• sprendžiant nelygybę 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• sprendinys 0, 5 x − 1 ≤ 0 laikomas intervalu, kuriame funkcija y = 0, 5 x − 1 yra mažesnė už O x arba sutampa;
• sprendinys 0, 5 · x − 1 > 0 laikomas intervalu, funkcija yra virš O x;
• sprendinys 0, 5 · x − 1 ≥ 0 laikomas intervalu, kuriame grafikas virš O x arba sutampa.

Grafinio nelygybių sprendimo esmė yra surasti intervalus, kuriuos reikia pavaizduoti grafike. Šiuo atveju mes nustatome, kad kairėje pusėje yra y = a · x + b, o dešinėje - y = 0 ir sutampa su O x.

8 apibrėžimas

Nubraižytas funkcijos y = a x + b grafikas:

• sprendžiant nelygybę a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• sprendžiant nelygybę a · x + b ≤ 0, nustatomas intervalas, kur grafikas pavaizduotas žemiau O x ašies arba sutampa;
• sprendžiant nelygybę a · x + b > 0, nustatomas intervalas, kur grafikas pavaizduotas virš O x;
• Sprendžiant nelygybę a · x + b ≥ 0, nustatomas intervalas, kur grafikas yra virš O x arba sutampa.

7 pavyzdys

Grafiku išspręskite nelygybę - 5 · x - 3 > 0.

Sprendimas

Būtina sudaryti tiesinės funkcijos grafiką - 5 · x - 3 > 0. Ši linija mažėja, nes x koeficientas yra neigiamas. Norėdami nustatyti jo susikirtimo su O x - 5 · x - 3 > 0 taško koordinates, gauname reikšmę - 3 5. Pavaizduokime jį grafiškai.

Išsprendus nelygybę su > ženklu, tuomet reikia atkreipti dėmesį į intervalą virš O x. Pažymėkime reikiamą plokštumos dalį raudonai ir gaukime ją

Reikalingas tarpas yra O x raudonos spalvos dalis. Tai reiškia, kad atvirasis skaičių spindulys - ∞ , - 3 5 bus nelygybės sprendimas. Jeigu pagal sąlygą turėtume negriežtą nelygybę, tai taško reikšmė – 3 5 taip pat būtų nelygybės sprendimas. Ir tai sutaptų su O x.

Atsakymas: - ∞ , - 3 5 arba x< - 3 5 .

Grafinis sprendimas naudojamas, kai kairioji pusė atitinka funkciją y = 0 x + b, tai yra, y = b. Tada tiesė bus lygiagreti O x arba sutaps ties b = 0. Šie atvejai rodo, kad nelygybė gali neturėti sprendinių arba sprendimas gali būti bet koks skaičius.

8 pavyzdys

Iš nelygybių 0 x + 7 nustatykite< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Sprendimas

y = 0 x + 7 pavaizdavimas yra y = 7, tada bus pateikta koordinačių plokštuma su tiese, lygiagrečia O x ir esančia virš O x. Taigi 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funkcijos y = 0 x + 0 grafikas laikomas y = 0, tai yra, tiesė sutampa su O x. Tai reiškia, kad nelygybė 0 x + 0 ≥ 0 turi daug sprendinių.

Atsakymas: Antroji nelygybė turi bet kurios x reikšmės sprendimą.

Nelygybės, kurios redukuojasi į tiesinę

Nelygybių sprendinį galima redukuoti iki tiesinės lygties, kurios vadinamos nelygybėmis, kurios redukuojasi į tiesines, sprendinį.

Šios nelygybės buvo nagrinėjamos mokyklos kurse, nes tai buvo ypatingas nelygybių sprendimo atvejis, dėl kurio buvo atveriami skliaustai ir sumažinami panašūs terminai. Pavyzdžiui, apsvarstykite, kad 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Aukščiau pateiktos nelygybės visada sumažinamos iki tiesinės lygties. Po to atverčiami skliaustai ir pateikiami panašūs terminai, perkeliami iš skirtingų dalių, keičiant ženklą į priešingą.

Mažindami nelygybę 5 − 2 x > 0 iki tiesinės, pavaizduojame ją taip, kad ji būtų formos − 2 x + 5 > 0, o sekundės sumažinimui gauname, kad 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Būtina atidaryti skliaustus, atnešti panašius terminus, perkelti visus terminus į kairę ir atnešti panašius terminus. Tai atrodo taip:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Dėl to sprendimas atsiranda tiesine nelygybe.

Šios nelygybės laikomos tiesinėmis, nes turi tą patį sprendimo principą, po kurio galima jas redukuoti iki elementariųjų nelygybių.

Norint išspręsti tokio tipo nelygybę, būtina ją sumažinti iki tiesinės. Tai turėtų būti padaryta taip:

9 apibrėžimas

• atviri skliaustai;
• rinkti kintamuosius kairėje ir skaičius dešinėje;
• pateikti panašius terminus;
• padalykite abi puses iš koeficiento x.

9 pavyzdys

Išspręskite nelygybę 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Sprendimas

Atplėšiame skliaustus, tada gauname 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 formos nelygybę. Sumažinus panašius terminus, gauname 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Perkėlę terminus iš kairės į dešinę, gauname, kad 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Taigi yra nelygybė, kurios forma yra 32 ≤ 0 iš tos, kuri gaunama apskaičiavus 0 x + 32 ≤ 0. Matyti, kad nelygybė yra klaidinga, o tai reiškia, kad sąlyga pateikta nelygybė neturi sprendimų.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Verta paminėti, kad yra daug kitų nelygybių tipų, kuriuos galima redukuoti į tiesines arba aukščiau pavaizduoto tipo nelygybes. Pavyzdžiui, 5 2 x − 1 ≥ 1 yra eksponentinė lygtis, kuri redukuojasi iki tiesinės formos 2 x − 1 ≥ 0 sprendinio. Į šiuos atvejus bus atsižvelgta sprendžiant tokio tipo nelygybes.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter