Tai, kas vadinama stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusu. Taisyklingas trikampis

Instrukcija

Jei reikia rasti kosinusą kampu savavališkame trikampyje būtina naudoti kosinuso teoremą:
jei kampas smailus: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
jei kampas: cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), kur a, b yra kraštinių, besiribojančių su kampu, ilgiai, c yra priešingos kampo pusės ilgis.

Naudingas patarimas

Matematinis kosinuso žymėjimas yra cos.
Kosinuso reikšmė negali būti didesnė nei 1 ir mažesnė nei -1.

Šaltiniai:

• kaip apskaičiuoti kampo kosinusą
• Trigonometrinės funkcijos vieneto apskritime

Kosinusas yra pagrindinė trigonometrinė kampo funkcija. Galimybė nustatyti kosinusą naudinga vektorių algebroje, kai nustatomos vektorių projekcijos įvairiose ašyse.

Instrukcija

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Yra trikampis, kurio kraštinės a, b, c atitinkamai lygios 3, 4, 5 mm.

Rasti kosinusas kampas, uždarytas tarp didelių kraštų.

Pažymime kampą, priešingą kraštinei a per?, tada pagal aukščiau gautą formulę turime:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Atsakymas: 0,8.

Jei trikampis yra stačiakampis, tada rasti kosinusas ir pakanka žinoti bet kurių dviejų kampo kraštinių ilgius ( kosinusas stačiakampis yra 0).

Tebūnie stačiakampis trikampis, kurio kraštinės yra a, b, c, kur c yra hipotenuzė.

Apsvarstykite visas galimybes:

Raskite cos?, jei žinomi (trikampio) kraštinių a ir b ilgiai

Papildomai panaudokime Pitagoro teoremą:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Kad gauta formulė būtų teisinga, į ją pakeičiame iš 1 pavyzdžio, t.y.

Atlikę elementarius skaičiavimus, gauname:

Panašiai yra kosinusas stačiakampyje trikampis kitais atvejais:

Žinomas a ir c (hipotenuzė ir priešinga koja), rasti cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Pakeitę pavyzdžio reikšmes a=3 ir c=5, gauname:

b ir c yra žinomi (hipotenuzė ir gretima koja).

Rasti sos?

Atlikę panašias transformacijas (parodyta 2 ir 3 pavyzdžiuose), gauname, kad šiuo atveju kosinusas V trikampis apskaičiuojamas pagal labai paprastą formulę:

Išvestinės formulės paprastumas paaiškinamas elementariai: iš tikrųjų greta kampo? kojelė yra hipotenuzės projekcija, jos ilgis lygus hipotenuzės ilgiui, padaugintam iš cos?.

Pakeitę pirmojo pavyzdžio reikšmes b=4 ir c=5, gauname:

Taigi visos mūsų formulės yra teisingos.

5 patarimas: kaip rasti smailųjį kampą stačiakampiame trikampyje

Tiesiogiai anglies trikampis tikriausiai yra vienas garsiausių istoriniu požiūriu, geometrines figūras. Pitagoriškos "kelnės" gali konkuruoti tik su "Eureka!" Archimedas.

Jums reikės

• - trikampio brėžinys;
• - liniuotė;
• - transporteris.

Instrukcija

Trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. stačiakampyje trikampis vienas kampas (dešinysis) visada bus 90 laipsnių, o likusieji smailūs, t.y. mažiau nei 90 laipsnių. Norėdami nustatyti, kuris kampas yra stačiakampyje trikampis yra tiesus, liniuote išmatuokite trikampio kraštines ir nustatykite didžiausią. Tai yra hipotenuzė (AB) ir yra priešais stačią kampą (C). Likusios dvi kraštinės sudaro stačią kampą ir kojeles (AC, BC).

Nustačius, kuris kampas yra smailus, kampui apskaičiuoti galite naudoti transporterį arba apskaičiuoti jį naudodami matematines formules.

Norėdami nustatyti kampo vertę, naudodami transporterį, sulygiuokite jo viršų (žymime raide A) su specialiu ženklu ant liniuotės, esančios kampo centre, kintamosios srovės kojelė turi sutapti su jos viršutiniu kraštu. Pažymėkite puslankiu transporterio dalyje tašką, per kurį įdubusi AB. Vertė šiame taške atitinka kampo vertę laipsniais. Jei ant transporterio nurodyti 2 kiekiai, tai už aštrus kampas reikia rinktis mažesnį, kvailam - didesnį.

Raskite gautą reikšmę atskaitos Bradis ir nustatykite, kuris kampas atitinka gautą skaitinę reikšmę. Mūsų močiutės naudojo šį metodą.

Pas mus užtenka paimti su trigonometrinių formulių skaičiavimo funkcija. Pavyzdžiui, įtaisytasis Windows skaičiuotuvas. Paleiskite programą „Skaičiuoklė“, meniu elemente „View“ pasirinkite elementą „Inžinerija“. Apskaičiuokite norimo kampo sinusą, pavyzdžiui, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Perjunkite skaičiuotuvą į atvirkštinės funkcijos režimą, skaičiuotuvo ekrane spustelėdami mygtuką INV, tada spustelėkite arcsininės funkcijos mygtuką (ekrane pažymėta sin į minus vieną galią). Skaičiavimo lange atsiras toks užrašas: asind (0,5) = 30. Tai yra, norimas kampas yra 30 laipsnių.

Šaltiniai:

• Bradis stalai (sinusai, kosinusai)

Matematikos kosinuso teorema dažniausiai naudojama tada, kai reikia rasti trečiąją pusę pagal kampą ir dvi puses. Tačiau kartais problemos sąlyga nustatoma atvirkščiai: reikia rasti kampą nurodytoms trims kraštinėms.

Instrukcija

Įsivaizduokite, kad jums duotas trikampis, kurio dviejų kraštinių ilgiai yra žinomi ir vieno kampo vertė. Visi šio trikampio kampai nėra lygūs vienas kitam, o jo kraštinės taip pat skiriasi dydžiu. Kampas γ yra priešais trikampio kraštinę, pažymėtą kaip AB, tai yra šis skaičius. Per šį kampą, taip pat per likusias kraštines AC ir BC, galite rasti tą nežinomą trikampio kraštinę, naudodamiesi kosinuso teorema ir jos pagrindu išvesdami toliau pateiktą formulę:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, kur a=BC, b=AB, c=AC
Kosinuso teorema kitaip vadinama apibendrinta Pitagoro teorema.

Dabar įsivaizduokite, kad pateiktos visos trys figūros kraštinės, bet jos kampas γ nežinomas. Žinodami, kad forma a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, paverskite šią išraišką taip, kad norima reikšmė būtų kampas γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Tada pakeiskite aukščiau pateiktą lygtį į šiek tiek kitokią formą: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Tada ši išraiška turėtų būti paversta taip: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Belieka pakeisti skaičius formulėje ir atlikti skaičiavimus.

Norint rasti kosinusą, žymimą γ, jis turi būti išreikštas atvirkštiniu trigonometriniu metodu, vadinamu atvirkštiniu kosinusu. Skaičiaus m arkosinusas yra kampo γ reikšmė, kurios kampo γ kosinusas yra lygus m. Funkcija y=arccos m mažėja. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad kampo γ kosinusas yra viena pusė. Tada kampas γ gali būti apibrėžtas kaip lanko kosinusas taip:
γ = lankai, m = lankai 1/2 = 60°, kur m = 1/2.
Taip pat galite rasti likusius trikampio kampus su dviem nežinomomis kraštinėmis.

Sinusas ir kosinusas yra dvi trigonometrinės funkcijos, vadinamos „tiesiomis linijomis“. Būtent juos tenka skaičiuoti dažniau nei kitus, ir šiandien kiekvienas iš mūsų turime nemažą pasirinkimą šios problemos sprendimo būdų. Žemiau yra keletas iš labiausiai paplitusių paprastus būdus.

Instrukcija

Jei nėra kitų skaičiavimo priemonių, naudokite transporterį, pieštuką ir popierių. Vienas iš kosinuso apibrėžimų pateikiamas stačiakampio trikampio smailiais kampais - jis lygus kojos, esančios priešingos šiam kampui, ilgio ir ilgio santykiui. Nubraižykite trikampį, kuriame vienas iš kampų yra tiesus (90°), o kitas yra kampas, kurį norite apskaičiuoti. Šonų ilgis neturi reikšmės – nubrėžkite juos taip, kad jums būtų patogiau matuotis. Išmatuokite norimos kojos ir hipotenuzės ilgį ir bet kokiu patogiu būdu padalinkite pirmąją iš antrosios.

Pasinaudokite vertės galimybe trigonometrinės funkcijos naudodamiesi Nigma paieškos variklyje įtaisytu skaičiuotuvu, jei turite interneto prieigą. Pavyzdžiui, jei norite apskaičiuoti 20° kampo kosinusą, tada įkeldami pagrindinis puslapis paslauga http://nigma.ru įveskite paieškos užklausą "kosinusas 20" ir spustelėkite mygtuką "Rasti!". Galite praleisti „laipsnius“ ir pakeisti žodį „kosinusas“ į cos - bet kuriuo atveju paieškos variklis parodys rezultatą iki 15 skaitmenų po kablelio tikslumu (0,939692620785908).

Atidarykite standartinę programą - įdiegtą kartu su operacine sistema Windows sistema jei nėra interneto prieigos. Tai galima padaryti, pavyzdžiui, vienu metu paspaudus win ir r klavišus, tada įvedus komandą calc ir spustelėjus mygtuką Gerai. Norėdami apskaičiuoti trigonometrines funkcijas, čia yra sąsaja, vadinama "inžinerine" arba "moksline" (priklausomai nuo OS versijos) - skaičiuoklės meniu skiltyje "View" pasirinkite norimą elementą. Po to įveskite kampo reikšmę ir programos sąsajoje spustelėkite mygtuką cos.

Susiję vaizdo įrašai

8 patarimas: kaip nustatyti stačiojo trikampio kampus

Stačiakampiui būdingi tam tikri kampų ir kraštinių santykiai. Žinodami kai kurių iš jų vertes, galite apskaičiuoti kitus. Tam naudojamos formulės, savo ruožtu pagrįstos geometrijos aksiomomis ir teoremomis.

Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

|BD| - apskritimo, kurio centras yra taške A, lanko ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.

Tangentas ( tgα) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .

Kotangentas ( ctgα) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .

Tangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje liestinė žymima taip:
.
;
;
.

Tangentinės funkcijos grafikas, y = tg x

Kotangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat buvo priimtas toks užrašas:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangento ir kotangento savybės

Periodiškumas

Funkcijos y= tg x ir y= ctg x yra periodiniai su periodu π.

Paritetas

Funkcijos liestinė ir kotangentas yra nelyginės.

Apibrėžimo ir vertybių sritys, kylančios, mažėjančios

Funkcijos tangentas ir kotangentas yra ištisinės savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- sveikasis skaičius).

	y= tg x	y= ctg x
Taikymo sritis ir tęstinumas
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Kylantis		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y= 0
Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0	y= 0	-

Formulės

Išraiškos sinuso ir kosinuso terminais

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje parodytos kai kurių argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Išraiškos pagal hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > formulių išvedimas ; kotangentui >>>

Integralai

Išplėtimas į serijas

Norėdami gauti liestinės plėtimąsi x laipsniais, turite paimti keletą funkcijų plėtimosi narių laipsnių eilutėje nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni į kitus , . Dėl to gaunamos tokios formulės.

Prie .

adresu .
Kur B n- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
Kur.
Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės funkcijos tangentas ir kotangentas yra atitinkamai arctangentas ir arkotangentas.

Arktangentas, arktg

, Kur n- visas.

Lanko liestinė, arcctg

, Kur n- visas.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas tyrėjams ir inžinieriams, 2012 m.

Sinusas yra viena iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų, kurios taikymas neapsiriboja vien geometrija. Trigonometrinių funkcijų skaičiavimo lentelės, kaip ir inžineriniai skaičiuotuvai, ne visada yra po ranka, o sinuso skaičiavimas kartais reikalingas sprendžiant įvairias problemas. Apskritai sinuso apskaičiavimas padės įtvirtinti piešimo įgūdžius ir žinias apie trigonometrines tapatybes.

Liniuotės ir pieštuko žaidimai

Paprasta užduotis: kaip rasti ant popieriaus nupiešto kampo sinusą? Norėdami išspręsti, jums reikia įprastos liniuotės, trikampio (arba kompaso) ir pieštuko. Paprasčiausias būdas apskaičiuoti kampo sinusą yra padalijus tolimąją trikampio koją su stačiu kampu iš ilgosios kraštinės - hipotenuzos. Taigi, pirmiausia turite užpildyti smailųjį kampą į stačiakampio trikampio figūrą, nubrėždami liniją, statmeną vienam iš spindulių savavališku atstumu nuo kampo viršūnės. Reikės stebėti tiksliai 90 ° kampą, kuriam mums reikia kanceliarinio trikampio.

Kompaso naudojimas yra šiek tiek tikslesnis, bet užtruks ilgiau. Viename iš spindulių reikia pažymėti 2 taškus tam tikru atstumu, nustatyti kompaso spindulį, maždaug lygų atstumui tarp taškų, ir nubrėžti puslankius su centrais šiuose taškuose, kol šios linijos susikerta. Sujungę savo apskritimų susikirtimo taškus vienas su kitu, gausime griežtą statmeną savo kampo spinduliui, belieka tik pratęsti tiesę, kol ji susikirs su kitu spinduliu.

Gautame trikampyje liniuote reikia išmatuoti pusę, esančią priešais kampą, ir ilgąją kraštinę viename iš spindulių. Pirmojo ir antrojo matavimo santykis bus norima smailiojo kampo sinuso vertė.

Raskite sinusą didesniam nei 90° kampui

Dėl buko kampo užduotis nėra daug sunkesnė. Būtina liniuote nubrėžti spindulį iš viršūnės priešinga kryptimi, kad būtų suformuota tiesė su vienu iš mus dominančio kampo spindulių. Su gautu smailiu kampu turėtumėte elgtis taip, kaip aprašyta aukščiau, gretimų kampų sinusai, kartu sudarantys 180 ° kampą, yra lygūs.

Sinuso apskaičiavimas pagal kitas trigonometrines funkcijas

Taip pat sinuso skaičiavimas galimas, jei žinomos kitų kampo trigonometrinių funkcijų reikšmės arba bent trikampio kraštinių ilgis. Trigonometrinės tapatybės mums tai padės. Pažvelkime į bendrus pavyzdžius.

Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kosinusu? Pirmoji trigonometrinė tapatybė, kilusi iš Pitagoro teoremos, sako, kad to paties kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui.

Kaip rasti sinusą su žinoma kampo liestinė? Liestinė gaunama padalijus tolimąją koją iš artimosios arba sinusą padalijus iš kosinuso. Taigi sinusas bus kosinuso ir liestinės sandauga, o sinuso kvadratas bus šios sandaugos kvadratas. Kvadratinį kosinusą pakeičiame skirtumu tarp vieneto ir kvadratinio sinuso pagal pirmąją trigonometrinę tapatybę ir paprastais manipuliavimais pateikiame lygtį kvadratiniam sinusui apskaičiuoti per liestinę, o norėdami apskaičiuoti sinusą, turėsite iš gauto rezultato ištraukite šaknį.

Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kotangentu? Kotangento reikšmę galima apskaičiuoti padalijus artimojo ilgį nuo kojos kampo iš tolimojo ilgio, taip pat padalijus kosinusą iš sinuso, tai yra, kotangentas yra atvirkštinė liestinės su skaičiaus 1 atžvilgiu. Norėdami apskaičiuoti sinusą, galite apskaičiuoti liestinę naudodami formulę tg α \u003d 1 / ctg α ir naudoti antrojo varianto formulę. Taip pat galite gauti tiesioginę formulę pagal analogiją su liestine, kuri atrodys taip.

Kaip rasti trijų trikampio kraštinių sinusą

Yra formulė, pagal kurią galima rasti bet kurio trikampio, o ne tik stačiakampio, nežinomos kraštinės ilgį, atsižvelgiant į dvi žinomas kraštines, naudojant priešingo kampo kosinuso trigonometrinę funkciją. Ji atrodo taip.

Na, o sinusą galima toliau skaičiuoti iš kosinuso pagal aukščiau pateiktas formules.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos yra pagrindinės trigonometrijos – matematikos šakos – kategorijos ir yra neatsiejamai susijusios su kampo apibrėžimu. Norint turėti šį matematikos mokslą, reikia įsiminti ir suprasti formules bei teoremas, taip pat išlavintas erdvinis mąstymas. Štai kodėl trigonometriniai skaičiavimai dažnai sukelia sunkumų moksleiviams ir studentams. Norėdami juos įveikti, turėtumėte geriau susipažinti su trigonometrinėmis funkcijomis ir formulėmis.

Trigonometrijos sąvokos

Norėdami suprasti pagrindines trigonometrijos sąvokas, pirmiausia turite nuspręsti, kas yra stačiakampis trikampis ir apskritimo kampas ir kodėl su jais susieti visi pagrindiniai trigonometriniai skaičiavimai. Trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 laipsnių, yra stačiakampis. Istoriškai šią figūrą dažnai naudojo architektūros, navigacijos, meno, astronomijos žmonės. Atitinkamai, tyrinėdami ir analizuodami šio paveikslo savybes, žmonės priėjo prie atitinkamų jo parametrų santykio skaičiavimo.

Pagrindinės kategorijos, susijusios su stačiakampiais trikampiais, yra hipotenuzė ir kojos. Hipotenuzė yra trikampio kraštinė, kuri yra priešinga stačiajam kampui. Atitinkamai, kojos yra kitos dvi pusės. Bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180 laipsnių.

Sferinė trigonometrija yra trigonometrijos dalis, kuri nėra mokoma mokykloje, tačiau mokslininkai ją naudoja taikomuosiuose moksluose, tokiuose kaip astronomija ir geodezija. Sferinės trigonometrijos trikampio ypatybė yra ta, kad jo kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių.

Trikampio kampai

Stačiakampiame trikampyje kampo sinusas yra kojos, esančios priešingos norimam kampui, santykis su trikampio hipotenuze. Atitinkamai, kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Abi šios vertės visada turi mažesnę reikšmę nei viena, nes hipotenuzė visada yra ilgesnė už koją.

Kampo liestinė yra vertė, lygi priešingos kojos ir gretimos norimo kampo kojos santykiui arba sinuso ir kosinuso santykiui. Savo ruožtu kotangentas yra norimo kampo gretimos kojos ir priešingos kakteto santykis. Kampo kotangentą taip pat galima gauti padalijus vienetą iš liestinės vertės.

vieneto ratas

Vienetinis apskritimas geometrijoje yra apskritimas, kurio spindulys lygus vienetui. Toks apskritimas konstruojamas Dekarto koordinačių sistemoje, kai apskritimo centras sutampa su pradžios tašku, o pradinė spindulio vektoriaus padėtis nustatoma pagal teigiamą X ašies kryptį (abscisių ašį). Kiekvienas apskritimo taškas turi dvi koordinates: XX ir YY, tai yra abscisės ir ordinatės koordinates. Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką XX plokštumoje ir numetę nuo jo statmeną į abscisių ašį, gauname stačiakampį trikampį, suformuotą spinduliu į pasirinktą tašką (žymime jį raide C), statmeną nubrėžtą X ašis (susikirtimo taškas žymimas raide G) ir abscisių ašies segmentas tarp pradžios (taškas žymimas raide A) ir susikirtimo taško G. Gautas trikampis ACG yra stačiakampis trikampis, įrašytas apskritimas, kur AG yra hipotenuzė, o AC ir GC yra kojos. Kampą tarp apskritimo spindulio AC ir abscisių ašies segmento su žymėjimu AG apibrėžiame kaip α (alfa). Taigi, cos α = AG/AC. Atsižvelgiant į tai, kad AC yra vienetinio apskritimo spindulys ir jis lygus vienetui, paaiškėja, kad cos α=AG. Panašiai sin α=CG.

Be to, žinodami šiuos duomenis, galite nustatyti apskritimo taško C koordinatę, nes cos α \u003d AG ir sin α \u003d CG, o tai reiškia, kad taškas C turi nurodytos koordinatės(cos α;sin α). Žinodami, kad liestinė yra lygi sinuso ir kosinuso santykiui, galime nustatyti, kad tg α \u003d y / x ir ctg α \u003d x / y. Atsižvelgiant į kampus neigiamoje koordinačių sistemoje, galima apskaičiuoti, kad kai kurių kampų sinuso ir kosinuso reikšmės gali būti neigiamos.

Skaičiavimai ir pagrindinės formulės

Trigonometrinių funkcijų reikšmės

Atsižvelgdami į trigonometrinių funkcijų per vienetinį apskritimą esmę, galime išvesti šių funkcijų reikšmes kai kuriems kampams. Vertės pateiktos žemiau esančioje lentelėje.

Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės

Lygtys, kuriose po trigonometrinės funkcijos ženklu yra nežinoma reikšmė, vadinamos trigonometrinėmis. Tapatybės su reikšme sin x = α, k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Tapatybės su reikšme cos x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Tapatybės su reikšme tg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Tapatybės, kurių reikšmė ctg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Liejamos formulės

Ši pastovių formulių kategorija žymi metodus, kuriais galite pereiti nuo formos trigonometrinių funkcijų prie argumento funkcijų, ty konvertuoti bet kokios reikšmės kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą į atitinkamus kampo rodiklius. intervalas nuo 0 iki 90 laipsnių, kad būtų patogiau skaičiuoti.

Kampo sinuso funkcijų mažinimo formulės atrodo taip:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Kampo kosinusui:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Aukščiau pateiktas formules galima naudoti laikantis dviejų taisyklių. Pirma, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip vertė (π/2 ± a) arba (3π/2 ± a), funkcijos reikšmė pasikeičia:

• iš nuodėmės į cos;
• iš cos į nuodėmę;
• nuo tg iki ctg;
• nuo ctg iki tg.

Funkcijos reikšmė lieka nepakitusi, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ± a) arba (2π ± a).

Antra, sumažintos funkcijos ženklas nesikeičia: jei iš pradžių buvo teigiamas, toks ir lieka. Tas pats pasakytina apie neigiamas funkcijas.

Papildymo formulės

Šios formulės išreiškia dviejų sukimosi kampų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes pagal jų trigonometrines funkcijas. Kampai paprastai žymimi α ir β.

Formulės atrodo taip:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β.

Dvigubo ir trigubo kampo formulės

Dvigubo ir trigubo kampo trigonometrinės formulės yra formulės, kurios atitinkamai susieja kampų 2α ir 3α funkcijas su kampo α trigonometrinėmis funkcijomis. Išvesta iš papildymo formulių:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα – 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α – 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Perėjimas nuo sumos prie produkto

Atsižvelgiant į tai, kad 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), supaprastinus šią formulę, gauname tapatybę sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Panašiai sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Perėjimas nuo produkto prie sumos

Šios formulės išplaukia iš sumos perėjimo į sandaugą tapatybių:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Sumažinimo formulės

Šiose tapatybėse sinuso ir kosinuso kvadratinės ir kubinės galios gali būti išreikštos daugybinio kampo pirmojo laipsnio sinusu ir kosinusu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universalus pakaitalas

Universaliosios trigonometrinės pakeitimo formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusės kampo liestine.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), o x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 – tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), o x \u003d π + 2πn.

Ypatingi atvejai

Toliau pateikiami konkretūs paprasčiausių trigonometrinių lygčių atvejai (k yra bet koks sveikasis skaičius).

Privatus sine:

sin x reikšmė	x reikšmė
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk arba 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk arba -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk arba 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk arba -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk arba 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk arba -2π/3 + 2πk

Kosinuso koeficientai:

cos x vertė	x reikšmė
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privatus liestine:

tg x reikšmė	x reikšmė
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangentiniai koeficientai:

ctg x vertė	x reikšmė
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremos

Sinuso teorema

Yra dvi teoremos versijos – paprasta ir išplėstinė. Paprastoji sinuso teorema: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šiuo atveju a, b, c yra trikampio kraštinės, o α, β, γ yra atitinkamai priešingi kampai.

Išplėstinė sinuso teorema savavališkam trikampiui: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šioje tapatybėje R žymi apskritimo, į kurį įrašytas nurodytas trikampis, spindulį.

Kosinuso teorema

Tapatybė rodoma taip: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulėje a, b, c yra trikampio kraštinės, o α yra kampas, priešingas kraštinei a.

Tangento teorema

Formulė išreiškia ryšį tarp dviejų kampų liestinių ir priešingų kraštinių ilgio. Kraštinės pažymėtos a, b, c, o atitinkami priešingi kampai yra α, β, γ. Liestinės teoremos formulė: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangentės teorema

Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį susieja su jo kraštinių ilgiu. Jei a, b, c yra trikampio kraštinės, o atitinkamai A, B, C yra jų priešingi kampai, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra trikampio pusės perimetras, tai tokios tapatybės laikyti:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Programos

Trigonometrija yra ne tik teorinis mokslas siejamas su matematinėmis formulėmis. Jo savybes, teoremas ir taisykles praktiškai naudoja įvairios pramonės šakos žmogaus veikla– astronomija, oro ir jūrų navigacija, muzikos teorija, geodezija, chemija, akustika, optika, elektronika, architektūra, ekonomika, mechanikos inžinerija, matavimo darbai, Kompiuterinė grafika, kartografija, okeanografija ir daugelis kitų.

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrijos sąvokos, kuriomis galite matematiškai išreikšti santykį tarp kampų ir trikampio kraštinių ilgių ir per tapatybes, teoremas ir taisykles rasti norimus dydžius.

Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \ (AC \) ); kojos yra dvi likusios pusės \ (AB \) ir \ (BC \) (tos, kurios yra greta stačiojo kampo), be to, jei atsižvelgsime į kojas kampo \ (BC \) atžvilgiu, tada koja \ (AB \) yra gretima kojelė, o koja \ (BC \) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kampo liestinė- tai yra priešingos (tolimosios) kojos ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją iš ko padalinti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas kaip trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (vienu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą, iš trikampio \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir pataisykite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .

Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnio ir radiano sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \ (1 \) . Toks ratas vadinamas vienišas. Tai labai naudinga tiriant trigonometriją. Todėl mes apie tai pasikalbėsime šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, šis apskritimas yra pastatytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys yra lygus vienetui, o apskritimo centras yra pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra fiksuota teigiama \(x \) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB \) ).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai ašies \(x \) ir koordinatę išilgai ašies \(y \) . Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, prisiminkite apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG \) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG \) yra statmena \(x \) ašiai.

Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Teisingai \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC \) yra vienetinio apskritimo spindulys, taigi \(AC=1 \) . Pakeiskite šią reikšmę mūsų kosinuso formule. Štai kas nutinka:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

O kas yra \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Pakeiskite spindulio reikšmę \ (AC \) šioje formulėje ir gaukite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Taigi, ar galite man pasakyti, kokios yra taško \(C \) koordinatės, priklausančios apskritimui? Na, niekaip? Bet ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x \) ! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, \(y \) koordinatė! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Kas tada yra \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

O jei kampas didesnis? Štai, pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šis pavyzdys? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl kreipiamės į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \ (y \) ; kampo kosinuso reikšmė - koordinatė \ (x \) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiems spindulio vektoriaus sukimams.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x \) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, gausite ir tam tikro dydžio kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos ties \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ) atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visus šiuos kampus galima užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m \) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)

\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kam lygios reikšmės:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Bet kokių sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas) \)

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Reikia atsiminti arba turėti galimybę išvesti!! \) !}

Ir čia yra kampų ir trigonometrinių funkcijų reikšmės \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:

Nereikia bijoti, dabar parodysime vieną iš gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdžių:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampų matavimų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana lengva atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masyvas) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), žinant tai, galima atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis "\(1 \) " atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , o vardiklis "\(\sqrt(\text(3)) \) " atitiks \ (\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės reikšmės perkeliamos pagal paveikslėlyje parodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate schemą su rodyklėmis, tada užteks atsiminti tik \(4 \) reikšmes iš lentelės.

Apskritimo taško koordinatės

Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išveskime bendrą formulę taško koordinatėms rasti. Pavyzdžiui, turime tokį ratą:

Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5 \) . Reikia rasti taško \(P \) koordinates, gautas sukant tašką \(O \) \(\delta \) laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško \ (P \) koordinatė \ (x \) atitinka atkarpos \ ilgį (TP=UQ=UK+KQ \) . Atkarpos \ (UK \) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \ (x \), tai yra, jis yra lygus \ (3 \) . Atkarpos \(KQ \) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Tada turime taško \(P \) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Pagal tą pačią logiką randame taško \(P\) y koordinatės reikšmę. Taigi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Taigi į bendras vaizdas taško koordinatės nustatomos pagal formules:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), Kur

\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,

\(r\) – apskritimo spindulys,

\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norint atlikti skaičiavimus, ActiveX valdikliai turi būti įjungti!