Vektoriaus ir savęs kryžminė sandauga. Koordinatėmis nurodytų vektorių sandauga

Anglų: Vikipedija daro svetainę saugesnę. Naudojate seną žiniatinklio naršyklę, kuri ateityje negalės prisijungti prie Vikipedijos. Atnaujinkite įrenginį arba susisiekite su IT administratoriumi.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 浏览器 ， 在 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 的 设备 或 联络 您 的 管理员。 提供 更 长 ， 更 具 的 的 仅 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英英英英英英

ispanų kalba: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Naudota šiuo metu naudojant internetinį vaizdą, kuriame nėra Vikipedijos ir ateities sąsajos. Aktualūs įrenginiai arba susisiekite su administratoriaus informacija. Más abajo hay una aktualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Pranciškus:„Wikipedia va bientôt“ padidina svetainės saugumą. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Papildomos informacijos ir technikos ir anglų kalbos prieinamos informacijos.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を 高め て ます。 ご 利用 の ブラウザ は バージョン が 古く 、 、 ウィキペディア に 接続 でき なく なる 性 が あり。 を 更新 か 、 、 管理 管理 者 相談 ください。 技術 の 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 情報 以下 に に 英語 提供 し し て い い ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます

Vokiečių kalba: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät arba sprich deinen IT-administrator an. Ausführlichere (un technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in english Sprache.

italų kalba: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Naudokitės žiniatinklio naršykle, che non sarà, jungdamiesi Vikipedijoje ateityje. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico in English.

angl.: Saugesnė bus Vikipedija. A naršyklę, amit naudoji, nemok gali jungtis ir ateityje. Naudokitės šiuolaikiškomis programomis arba nurodėte problematišką sistemos tvarkyklę. Daugiau skaityti a reszletebb paaiškinot (angl.).

Švedija: Vikipedija kreipsis sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Atnaujinkite IT administratorių. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Pašaliname nesaugių TLS protokolo versijų, ypač TLSv1.0 ir TLSv1.1, kuriomis naudojasi jūsų naršyklės programinė įranga prisijungdama prie mūsų svetainių, palaikymą. Dažniausiai tai sukelia pasenusios naršyklės arba senesni Android išmanieji telefonai. Arba tai gali būti trukdžiai iš įmonės ar asmeninės „Web Security“ programinės įrangos, kuri iš tikrųjų sumažina ryšio saugumą.

Norėdami pasiekti mūsų svetaines, turite atnaujinti savo žiniatinklio naršyklę arba kitaip išspręsti šią problemą. Šis pranešimas išliks iki 2020 m. sausio 1 d. Po šios datos jūsų naršyklė negalės užmegzti ryšio su mūsų serveriais.

Apibrėžimas. Vektoriaus a (daugiklio) sandauga iš vektoriaus (daugiklio), kuris nėra kolinerinis, yra trečiasis vektorius c (daugiklis), kuris sudarytas taip:

1) jo modulis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio plotui fig. 155), pastatytas ant vektorių, t.y. jis yra lygus krypčiai, statmenai minėto lygiagretainio plokštumai;

3) šiuo atveju pasirenkama vektoriaus c kryptis (iš dviejų galimų), kad vektoriai c sudarytų dešiniarankę sistemą (§ 110).

Pavadinimas: arba

Apibrėžimo papildymas. Jeigu vektoriai yra kolinearūs, tai figūrą laikant (sąlygiškai) lygiagretainiu, natūralu priskirti nulinį plotą. Štai kodėl vektorinis produktas kolineariniai vektoriai laikomi lygiais nuliniam vektoriui.

Kadangi nuliniam vektoriui gali būti priskirta bet kokia kryptis, šis susitarimas neprieštarauja apibrėžimo 2 ir 3 punktams.

1 pastaba. Sąvokoje „vektorinis sandauga“ pirmasis žodis nurodo, kad veiksmo rezultatas yra vektorius (priešingai nei skaliarinė sandauga; plg. § 104, 1 pastaba).

1 pavyzdys. Raskite vektorinę sandaugą, kurioje yra pagrindiniai dešiniosios koordinačių sistemos vektoriai (156 pav.).

1. Kadangi pagrindinių vektorių ilgiai lygūs mastelio vienetui, lygiagretainio (kvadrato) plotas skaitine prasme lygus vienetui. Vadinasi, vektorinės sandaugos modulis yra lygus vienetui.

2. Kadangi statmena plokštumai yra ašis, norima vektorinė sandauga yra vektorius, kolinearinis vektoriui k; ir kadangi jie abu turi 1 modulį, reikalinga kryžminė sandauga yra arba k, arba -k.

3. Iš šių dviejų galimų vektorių reikia pasirinkti pirmąjį, kadangi vektoriai k sudaro dešiniąją sistemą (o vektoriai – kairiąją).

2 pavyzdys. Raskite kryžminį sandaugą

Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdyje, darome išvadą, kad vektorius yra arba k, arba -k. Bet dabar turime pasirinkti -k, nes vektoriai sudaro dešinę sistemą (o vektoriai sudaro kairę). Taigi,

3 pavyzdys Vektoriai yra atitinkamai 80 ir 50 cm ilgio ir sudaro 30° kampą. Laikydami metrą kaip ilgio vienetą, raskite vektorinės sandaugos a ilgį

Sprendimas. Ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas lygus Norimos vektorinės sandaugos ilgis lygus

4 pavyzdys Raskite tų pačių vektorių kryžminės sandaugos ilgį, ilgio vienetu laikant centimetrą.

Sprendimas. Kadangi ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas lygus vektoriaus sandaugos ilgiui yra 2000 cm, t.y.

Palyginus 3 ir 4 pavyzdžius, matyti, kad vektoriaus ilgis priklauso ne tik nuo faktorių ilgių, bet ir nuo ilgio vieneto pasirinkimo.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė. Iš daugelio fizinių dydžių, kuriuos reprezentuoja vektorinė sandauga, nagrinėsime tik jėgos momentą.

Jėgos taikymo taškas yra A. Jėgos momentas taško O atžvilgiu vadinamas vektorine sandauga. Kadangi šios vektorinės sandaugos modulis skaitiniu požiūriu lygus lygiagretainio plotui (157 pav.), momento modulis lygus pagrindo sandaugai iš aukščio, t.y. jėgos, padaugintos iš atstumo nuo taško O iki tiesės, išilgai kurios veikia jėga.

Mechanikoje įrodyta, kad standaus kūno pusiausvyrai būtina, kad ne tik vektorių, vaizduojančių kūną veikiančias jėgas, suma, bet ir jėgų momentų suma būtų lygi nuliui. Tuo atveju, kai visos jėgos lygiagrečios tai pačiai plokštumai, momentus vaizduojančių vektorių sudėjimas gali būti pakeistas jų modulių pridėjimu ir atėmimu. Tačiau savavališkoms jėgų kryptims toks pakeitimas neįmanomas. Atsižvelgiant į tai, kryžminė sandauga tiksliai apibrėžiama kaip vektorius, o ne kaip skaičius.

The internetinis skaičiuotuvas apskaičiuoja vektorių kryžminę sandaugą. Pateikiamas išsamus sprendimas. Norėdami apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą, langeliuose įveskite vektorių koordinates ir spustelėkite „Apskaičiuoti“.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcija. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir kt.), dešimtainiai skaičiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvesta forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Kryžminė vektorių sandauga

Prieš pradėdami apibrėžti vektorių sandaugą, apsvarstykite sąvokas sutvarkytas vektorių trigubas, kairysis vektorių trigubas, dešinysis vektorių trigubas.

Apibrėžimas 1. Vadinami trys vektoriai užsakė trigubą(arba trigubai), jei nurodyta, kuris iš šių vektorių yra pirmasis, kuris antras, o kuris trečias.

Įrašymas cba- reiškia - pirmasis yra vektorius c, antrasis yra vektorius b o trečiasis yra vektorius a.

Apibrėžimas 2. Nevienaplanių vektorių trigubas abc vadinami dešine (kaire), jei, sumažinus iki bendros pradžios, šie vektoriai yra išdėstyti taip, kaip jie yra atitinkamai dideli, nesulenktas indeksas ir viduriniai pirštai dešinė (kairė) ranka.

2 apibrėžimą galima suformuluoti ir kitaip.

Apibrėžimas 2. Nevienaplanių vektorių trigubas abc vadinamas dešiniuoju (kairiuoju), jei, sumažinus iki bendros kilmės, vektorius c esančios kitoje vektorių apibrėžtos plokštumos pusėje a Ir b, iš kur trumpiausias posūkis aĮ b atliekamas prieš laikrodžio rodyklę (pagal laikrodžio rodyklę).

Vektorių trijulė abc parodyta pav. 1 yra teisingas ir trigubas abc parodyta pav. 2 liko.

Jei du vektorių trigubai yra dešinėje arba kairėje, tada sakoma, kad jie turi tą pačią orientaciją. Priešingu atveju sakoma, kad jie yra priešingos orientacijos.

Apibrėžimas 3. Dekartinė arba gimininga koordinačių sistema vadinama dešiniąja (kairiąja), jei trys baziniai vektoriai sudaro dešinįjį (kairįjį) trigubą.

Tikslumui toliau nagrinėsime tik dešiniarankes koordinačių sistemas.

4 apibrėžimas. vektorinis menas vektorius a vienam vektoriui b vadinamas vektoriumi Su, žymimas simboliu c=[ab] (arba c=[a, b] arba c=a×b) ir atitinkantys šiuos tris reikalavimus:

• vektoriaus ilgis Su yra lygus vektorių ilgių sandaugai a Ir bį kampo sinusą φ tarp jų:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektorius Su statmena kiekvienam vektoriui a Ir b;
• vektorius c nukreiptas taip, kad trys abc teisingai.

Kryžminė vektorių sandauga turi šias savybes:

• [ab]=−[ba] (antipermutacija faktoriai);
• [(λa)b]=λ [ab] (suderinamumas skaitinio koeficiento atžvilgiu);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (paskirstymas vektorių sumos atžvilgiu);
• [aa]=0 bet kuriam vektoriui a.

Vektorių kryžminės sandaugos geometrinės savybės

1 teorema. Kad du vektoriai būtų kolinearūs, būtina ir pakanka, kad jų vektorinė sandauga būtų lygi nuliui.

Įrodymas. Būtinybė. Tegul vektoriai a Ir b kolinearinis. Tada kampas tarp jų yra 0 arba 180° ir sinφ=nuodėmė180=nuodėmė 0=0. Todėl, atsižvelgiant į išraišką (1), vektoriaus ilgį c lygus nuliui. Tada c nulinis vektorius.

Tinkamumas. Tegul vektorių kryžminė sandauga a Ir b pereiti prie nulio: [ ab]=0. Įrodykime, kad vektoriai a Ir b kolinearinis. Jei bent vienas iš vektorių a Ir b nulis, tada šie vektoriai yra kolineariniai (nes nulinis vektorius turi neapibrėžtą kryptį ir gali būti laikomas kolineariniu bet kuriam vektoriui).

Jei abu vektoriai a Ir b ne nulis, tada | a|>0, |b|>0. Tada iš [ ab]=0 ir iš (1) išplaukia, kad sinφ=0. Taigi vektoriai a Ir b kolinearinis.

Teorema įrodyta.

2 teorema. Vektorinės sandaugos ilgis (modulis) [ ab] lygus plotui S lygiagretainis, pastatytas ant vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a Ir b.

Įrodymas. Kaip žinote, lygiagretainio plotas yra lygus gretimų šio lygiagretainio kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai. Taigi:

Tada šių vektorių kryžminė sandauga turi tokią formą:

Išplėsdami determinantą virš pirmosios eilutės elementų, gauname vektoriaus skaidymą a × b pagrindu i, j, k, kuri atitinka (3) formulę.

3 teoremos įrodymas. Sudarykite visas galimas bazinių vektorių poras i, j, k ir apskaičiuokite jų vektorinę sandaugą. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad baziniai vektoriai yra vienas kitą stačiakampiai, sudaro dešinįjį trigubą ir turi vienetinį ilgį (kitaip tariant, galime daryti prielaidą, kad i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Tada mes turime:

Iš paskutinės lygybės ir santykių (4) gauname:

Sudarykite 3×3 matricą, kurios pirmoji eilutė yra baziniai vektoriai aš, j, k, o likusios eilutės užpildomos vektorių elementais a Ir b.

Prieš pateikiant vektorinės sandaugos sąvoką, pereikime prie vektorių a → , b → , c → sutvarkytojo trigubo orientacijos trimatėje erdvėje klausimo.

Pirmiausia atidėkime vektorius a → , b → , c → iš vieno taško. Trigubo a → , b → , c → orientacija yra dešinė arba kairė, priklausomai nuo vektoriaus c → krypties. Iš krypties, kuria trumpiausias posūkis iš vektoriaus a → į b → nuo vektoriaus c → galo, bus nustatyta trigubo a → , b → , c → forma.

Jei trumpiausias sukimas yra prieš laikrodžio rodyklę, tai vektorių trigubas a → , b → , c → vadinamas teisingai jei pagal laikrodžio rodyklę - paliko.

Tada paimkite du nekolinearinius vektorius a → ir b → . Tada vektorius A B → = a → ir A C → = b → atidėkime nuo taško A. Sukonstruokime vektorių A D → = c → , kuris vienu metu yra statmenas ir A B → ir A C → . Taigi, konstruodami vektorių A D → = c →, galime padaryti du dalykus, suteikdami jam vieną kryptį arba priešingą (žr. iliustraciją).

Sutvarkytas vektorių trijulė a → , b → , c →, kaip išsiaiškinome, gali būti dešinioji arba kairė, priklausomai nuo vektoriaus krypties.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime pateikti vektorinės sandaugos apibrėžimą. Šis apibrėžimas yra pateikta dviem vektoriams, apibrėžtiems trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje.

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių a → ir b → vektorinė sandauga tokį vektorių, pateiktą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinsime taip, kad:

• jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, tai bus lygus nuliui;
• jis bus statmenas ir vektoriui a →​, ir vektoriui b → t.y. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jo ilgis nustatomas pagal formulę: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• vektorių tripletas a → , b → , c → turi tokią pačią orientaciją kaip ir duotoji koordinačių sistema.

Vektorių a → ir b → kryžminė sandauga turi tokį žymėjimą: a → × b → .

Kryžminės produkto koordinatės

Kadangi bet kuris vektorius koordinačių sistemoje turi tam tikras koordinates, galima įvesti antrą vektorinės sandaugos apibrėžimą, kuris leis iš pateiktų vektorių koordinačių rasti jo koordinates.

2 apibrėžimas

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių a → = (a x ; a y ; a z) ir b → = (b x ; b y ; b z) vektorinė sandauga vektorių vadinti c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kur i → , j → , k → yra koordinačių vektoriai.

Vektorinė sandauga gali būti pavaizduota kaip trečios eilės kvadratinės matricos determinantas, kur pirmoji eilutė yra orta vektoriai i → , j → , k → , antroje eilutėje yra vektoriaus a → koordinatės, o trečioje yra vektoriaus b → koordinatės duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, šis matricos determinantas atrodo taip: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Išplėtę šį determinantą per pirmosios eilutės elementus, gauname lygybę: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a k → b = = × b y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryžminio produkto savybės

Yra žinoma, kad vektorinė sandauga koordinatėse vaizduojama kaip matricos c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinantas, tada ant pagrindo matricos determinantų savybės Sekantis vektoriaus produkto savybės:

1. antikomutatyvumas a → × b → = - b → × a → ;
2. pasiskirstymas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → arba a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociatyvumas λ a → × b → = λ a → × b → arba a → × (λ b →) = λ a → × b → , kur λ yra savavališkas realusis skaičius.

Šios savybės neturi sudėtingų įrodymų.

Pavyzdžiui, galime įrodyti vektorinės sandaugos antikomutatyvumo savybę.

Antikomutatyvumo įrodymas

Pagal apibrėžimą a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ir b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ir jei dvi matricos eilutės yra sukeistos, tai matricos determinanto reikšmė turėtų pasikeisti į priešingą, todėl a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kuris ir įrodo vektorinės sandaugos antikomutatyvumą.

Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai

Daugeliu atvejų yra trijų tipų užduotys.

Pirmojo tipo uždaviniuose dažniausiai nurodomi dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų, tačiau reikia rasti kryžminės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudokite šią formulę c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

1 pavyzdys

Raskite vektorių a → ir b → kryžminės sandaugos ilgį, jei žinomas a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Sprendimas

Naudodami vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgio apibrėžimą, išsprendžiame šį uždavinį: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Atsakymas: 15 2 2 .

Antrojo tipo užduotys turi ryšį su vektorių koordinatėmis, jose yra vektorinė sandauga, jo ilgis ir kt. ieškojo pagal žinomas koordinates duoti vektoriai a → = (a x ; a y ; a z) Ir b → = (b x ; b y ; b z) .

Šio tipo užduotims galite išspręsti daugybę užduočių variantų. Pavyzdžiui, ne vektorių a → ir b → koordinatės, o jų išplėtimai formos koordinačių vektoriuose b → = b x i → + b y j → + b z k → ir c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , arba vektoriai a → ir b → gali būti pateikti pagal jų koordinates. pradžios ir pabaigos taškai.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatyti du vektoriai a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Raskite jų vektorinį produktą.

Sprendimas

Pagal antrąjį apibrėžimą randame dviejų vektorių vektorinę sandaugą duotose koordinatėse: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jei kryžminį sandaugą užrašysime matricos determinantu, tada sprendimas šis pavyzdys atrodo taip: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Atsakymas: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3 pavyzdys

Raskite vektorių i → - j → ir i → + j → + k →, kur i → , j → , k → - stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos skersinės sandaugos ilgį.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime duotosios vektorinės sandaugos i → - j → × i → + j → + k → koordinates duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Yra žinoma, kad vektoriai i → - j → ir i → + j → + k → turi atitinkamai koordinates (1 ; - 1 ; 0) ir (1 ; 1 ; 1). Raskite vektorinės sandaugos ilgį naudodami matricos determinantą, tada turime i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Todėl vektorinė sandauga i → - j → × i → + j → + k → turi koordinates (- 1 ; - 1 ; 2) duotoje koordinačių sistemoje.

Vektorinės sandaugos ilgį randame pagal formulę (žr. skyrių apie vektoriaus ilgio radimą): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Atsakymas: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4 pavyzdys

Trijų taškų A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) koordinatės pateiktos stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Raskite kokį nors vektorių, statmeną A B → ir A C → vienu metu.

Sprendimas

Vektoriai A B → ir A C → turi šias koordinates (- 1 ; 2 ; 2) ir (0 ; 4 ; 1). Radus vektorių A B → ir A C → vektorinę sandaugą, akivaizdu, kad tai pagal apibrėžimą statmenas vektorius ir A B →, ir A C → , tai yra mūsų problemos sprendimas. Raskite A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Atsakymas: - 6 i → + j → - 4 k → . yra vienas iš statmenų vektorių.

Trečiojo tipo problemos yra orientuotos į vektorių vektorinės sandaugos savybių panaudojimą. Taikę tai, gausime pateiktos problemos sprendimą.

5 pavyzdys

Vektoriai a → ir b → yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite kryžminės sandaugos ilgį 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Sprendimas

Pagal vektorinės sandaugos pasiskirstymo savybę galime parašyti 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pagal asociatyvumo savybę išimame skaitinius koeficientus, esančius už vektorinių sandaugų ženklo paskutinėje išraiškoje: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorinės sandaugos a → × a → ir b → × b → lygios 0, nes a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ir b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , tada 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iš vektorinės sandaugos antikomutatyvumo išplaukia - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname lygybę 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pagal sąlygą vektoriai a → ir b → yra statmeni, tai yra kampas tarp jų lygus π 2 . Dabar lieka tik rastas reikšmes pakeisti atitinkamomis formulėmis: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Atsakymas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Vektorių kryžminės sandaugos ilgis pagal apibrėžimą yra a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kadangi jau žinoma (iš mokyklos kurso), kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ilgių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp šių kraštinių sinuso. Todėl vektoriaus sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio plotui - padvigubinto trikampio, ty vektorių a → ir b → pavidalo kraštinių sandauga, atidėta iš vieno taško sinusu. kampo tarp jų sin ∠ a → , b → .

Tai geometrinė vektorinės sandaugos reikšmė.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė

Mechanikoje, vienoje iš fizikos šakų, vektorinio produkto dėka galite nustatyti jėgos momentą erdvės taško atžvilgiu.

3 apibrėžimas

Pagal jėgos momentą F → , taikomą taškui B , taško A atžvilgiu suprasime tokią vektorinę sandaugą A B → × F → .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Taškinio gaminio savybės

Taškinė vektorių sandauga, apibrėžimas, savybės

Tiesinės operacijos vektoriais.

Vektoriai, pagrindinės sąvokos, apibrėžimai, tiesinės operacijos su jais

Vektorius plokštumoje yra sutvarkyta jo taškų pora, o pirmasis taškas vadinamas vektoriaus pradžia, o antrasis - pabaiga.

Du vektoriai vadinami lygiais, jei jie yra lygūs ir bendros krypties.

Vektoriai, esantys toje pačioje linijoje, vadinami bendrakrypčiais, jei jie yra bendrakrypčiai su tuo pačiu vektoriumi, kuris nėra šioje linijoje.

Vektoriai, esantys toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse, vadinami kolineariniais, o kolineariniai, bet ne bendrakrypčiai – priešingos krypties.

Vektoriai, esantys ant statmenų tiesių, vadinami stačiakampiais.

Apibrėžimas 5.4. suma a+b vektoriai a Ir b vadinamas vektoriumi, ateinančiu iš vektoriaus pradžios A iki vektoriaus pabaigos b , jei vektoriaus pradžia b sutampa su vektoriaus pabaiga A .

Apibrėžimas 5.5. skirtumas a - b vektoriai A Ir b toks vektorius vadinamas Su , kuris kartu su vektoriumi b suteikia vektorių A .

Apibrėžimas 5.6. dirbtik a vektorius A už skaičių k vadinamas vektoriumi b , kolinearinis vektorius A , kurio modulis lygus | k||a |, ir kryptis, kuri yra tokia pati kaip kryptis A adresu k>0 ir priešingai A adresu k<0.

Vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybės:

1 nuosavybė. k(a+b ) = k a+ k b.

2 nuosavybė. (k+m)a = k a+ m a.

3 nuosavybė. k(m a) = (km)a .

Pasekmė. Jei nuliniai vektoriai A Ir b yra kolinearūs, tada yra skaičius k, Ką b= k a.

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga a Ir b vadinamas skaičiumi (skaliaru), lygiu šių vektorių ilgių ir tarp jų esančio kampo φ kosinuso sandaugai. Skaliarinį sandaugą galima išreikšti įvairiais būdais, pavyzdžiui, kaip ab, a · b, (a , b), (a · b). Taigi taškinis produktas yra:

a · b = |a| · | b| cos φ

Jei bent vienas iš vektorių yra lygus nuliui, tai skaliarinė sandauga lygi nuliui.

Permutacijos savybė: a · b = b · a(skaliarinė sandauga nekinta dėl faktorių permutacijos);

platinimo turtas: a · ( b · c) = (a · b) · c(rezultatas nepriklauso nuo daugybos eilės);

Derinio savybė (skaliarinio koeficiento atžvilgiu): (λ a) · b = λ ( a · b).

Ortogonalumo (statmens) savybė: jei vektorius a Ir b ne nulis, tada jų taškinė sandauga yra lygi nuliui tik tada, kai šie vektoriai yra stačiakampiai (statmenai vienas kitam) a ┴ b;

Kvadratinis turtas: a · a = a 2 = |a| 2 (vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi lygi jo modulio kvadratui);

Jei vektorių koordinatės a=(x 1 , y 1 , z 1 ) ir b=(x 2 , y 2 , z 2 ), tada skaliarinė sandauga yra a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektorius laikantys vektoriai. Apibrėžimas: dviejų vektorių vektorinė sandauga suprantama kaip vektorius, kuriam:

Modulis yra lygus lygiagretainio, pastatyto ant šių vektorių, plotui, t.y. , kur kampas tarp vektorių ir

Šis vektorius yra statmenas padaugintam vektoriams, t.y.

Jei vektoriai yra nekolineariniai, tada jie sudaro dešinįjį vektorių trigubą.

Kryžminio produkto savybės:

1. Pakeitus faktorių eiliškumą, vektorinė sandauga pakeičia savo ženklą į priešingą, išsaugodama modulį, t.y.

2 .Vektoriaus kvadratas lygus nuliui vektoriui, t.y.

3 .Skaliarinis koeficientas gali būti paimtas iš vektorinės sandaugos ženklo, t.y.

4 .Bet kurių trijų vektorių lygybė

5 .Būtina ir pakankama sąlyga dviejų vektorių kolinearumui ir: