namai › Atsiliepimai › Gretasienio tūris pagal vektorių koordinates. Kryžminė vektorių sandauga

Gretasienio tūris pagal vektorių koordinates. Kryžminė vektorių sandauga

Vektorių ir , pateiktų pagal jų koordinates , mišrus sandauga apskaičiuojama pagal formulę: .

mišrus produktas taikyti: 1) apskaičiuoti tetraedro ir gretasienio, pastatyto ant vektorių tūrius, ir , kaip ir kraštinėse, pagal formulę: ; 2) kaip vektorių , ir : ir lygiagretumo sąlyga.

5 tema. Tiesios linijos ir plokštumos.

Normalios linijos vektorius , vadinamas bet koks nulinis vektorius, statmenas duotai tiesei. Krypties vektorius tiesus , vadinamas bet koks nulinis vektorius, lygiagretus duotai tiesei.

Tiesiai ant paviršiaus

1) - bendroji lygtis tiesi linija, kur yra normalusis tiesės vektorius;

2) - tiesės, einančios per tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis;

3) kanoninė lygtis );

5) - tiesių lygtys Su nuolydžio koeficientas , kur yra taškas, per kurį eina linija; () - kampas, kurį linija sudaro su ašimi; - atkarpos ilgis (su ženklu ), nupjautas tiesia linija ant ašies (ženklas " ", jei atkarpa nupjauta teigiamoje ašies dalyje ir " ", jei neigiamoje dalyje).

6) - tiesios linijos lygtis pjūviuose, kur ir yra atkarpų ilgiai (su ženklu ), nupjauti tiesia linija koordinačių ašyse ir (ženklas " ", jei atkarpa nupjauta teigiamoje ašies dalyje ir " ", jei neigiama ).

Atstumas nuo taško iki linijos , pateiktą pagal bendrąją lygtį plokštumoje, randama pagal formulę:

Kampas , ( )tarp tiesių linijų ir , pateiktos bendromis lygtimis arba lygtimis su nuolydžiu, randama pagal vieną iš šių formulių:

Aš už .

Aš už

Tiesių susikirtimo taško koordinatės ir randami kaip sistemos sprendimas tiesines lygtis: arba .

Normalusis plokštumos vektorius , vadinamas bet koks nulinis vektorius, statmenas duotai plokštumai.

Lėktuvas koordinačių sistemoje gali būti pateikta vieno iš šių tipų lygtimi:

1) - bendroji lygtis plokštuma, kur yra plokštumos normalusis vektorius;

2) - plokštumos, einančios per tašką, statmeną duotam vektoriui, lygtis;

3) - plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis ir ;

4) - plokštumos lygtis pjūviuose, kur , ir yra atkarpų ilgiai (su ženklu ), nupjautų plokštumos koordinačių ašyse , ir (ženklas " ", jei atkarpa nupjauta teigiamoje ašies dalyje ir " ", jei neigiama ).

Atstumas nuo taško iki plokštumos , pateikta pagal bendrąją lygtį , randama pagal formulę:

Kampas ,( )tarp lėktuvų ir , pateiktą bendromis lygtimis, randama pagal formulę:

Tiesiai kosmose koordinačių sistemoje gali būti pateikta vieno iš šių tipų lygtimi:

1) - bendroji lygtis tiesė, kaip dviejų plokštumų susikirtimo linijos, kur ir yra normalieji plokštumų ir vektoriai;

2) - tiesės, einančios per tašką, lygiagretų tam tikram vektoriui, lygtis ( kanoninė lygtis );

3) - tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis ;

4) - tiesės, einančios per tašką, lygiagretų tam tikram vektoriui, lygtis, ( parametrinė lygtis );

Kampas , ( ) tarp tiesių linijų Ir kosmose , pateiktas kanoninėmis lygtimis, randamas pagal formulę:

Tiesės susikirtimo taško koordinatės , pateikta parametrine lygtimi ir lėktuvas , pateiktos bendrosios lygties, randami kaip tiesinių lygčių sistemos sprendimas: .

Kampas , ( ) tarp linijos , pateiktą kanonine lygtimi ir lėktuvas , pateikta pagal bendrąją lygtį, randama pagal formulę: .

6 tema. Antros eilės kreivės.

Antrosios eilės algebrinė kreivė koordinačių sistemoje vadinama kreive, bendroji lygtis kuris atrodo taip:

kur skaičiai – tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Yra tokia antros eilės kreivių klasifikacija: 1) jei , tai bendroji lygtis apibrėžia kreivę elipsinis tipas (apskritimas (už ), elipsė (už ), tuščia aibė, taškas); 2) jei , tada - kreivė hiperbolinis tipas (hiperbolė, susikertančių tiesių pora); 3) jei , tada - kreivė parabolinis tipas(parabolė, tuščia aibė, linija, lygiagrečių linijų pora). Apskritimas, elipsė, hiperbolė ir parabolė vadinami neišsigimusios antros eilės kreivės.

Bendroji lygtis , kur , apibrėžianti neišsigimusią kreivę (apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė), visada (atrankos metodu pilni kvadratai) gali būti sumažintas iki vieno iš šių tipų:

1a) – apskritimo lygtis, kurios centras yra taškas ir spindulys (5 pav.).

1b)- elipsės, kurios centras yra taške, lygtis ir simetrijos ašys, lygiagrečios koordinačių ašims. Skaičiai ir - skambinami elipsės pusiau ašys pagrindinis elipsės stačiakampis; elipsės viršūnes .

Norėdami sukurti elipsę koordinačių sistemoje: 1) pažymėkite elipsės centrą; 2) pereiti per centrą punktyras elipsės simetrijos ašys; 3) statome pagrindinį elipsės stačiakampį su punktyrine linija, kurios centras ir kraštinės lygiagrečios simetrijos ašims; 4) vaizduoti Ištisinė linija elipsė, įrašant ją į pagrindinį stačiakampį taip, kad elipsė liestų jos šonus tik elipsės viršūnėse (6 pav.).

Panašiai konstruojamas apskritimas, kurio pagrindinis stačiakampis turi kraštines (5 pav.).

5 pav.6 pav

2) - hiperbolių lygtys (vadinamos konjugatas) centruotas taške ir simetrijos ašys, lygiagrečios koordinačių ašims. Skaičiai ir - yra vadinami hiperbolių pusašiai ; stačiakampis, kurio kraštinės lygiagrečios simetrijos ašims ir kurių centras yra taške - pagrindinis hiperbolių stačiakampis; pagrindinio stačiakampio susikirtimo taškai su simetrijos ašimis - hiperbolių viršūnės; tiesios linijos, einančios per priešingas pagrindinio stačiakampio viršūnes - hiperbolių asimptotų .

Norėdami sukurti hiperbolę koordinačių sistemoje: 1) pažymėkite hiperbolės centrą; 2) per centrą punktyrine linija nubrėžiame hiperbolės simetrijos ašį; 3) statome pagrindinį hiperbolės stačiakampį su punktyrine linija su centru ir kraštinėmis bei lygiagrečiai simetrijos ašims; 4) per pagrindinio stačiakampio su punktyrine linija priešingas viršūnes brėžiame tieses, kurios yra hiperbolės asimptotės, prie kurių hiperbolės šakos artėja neribotai, begaliniu atstumu nuo koordinačių pradžios, jų nekertant; 5) hiperbolės (7 pav.) arba hiperbolės (8 pav.) šakas pavaizduojame ištisine linija.

7 pav.8 pav

3a)- parabolės su viršūne taške ir simetrijos ašimi, lygiagrečia koordinačių ašiai, lygtis (9 pav.).

3b)- parabolės su viršūne taške ir simetrijos ašimi, lygiagrečia koordinačių ašiai, lygtis (10 pav.).

Norėdami sukurti parabolę koordinačių sistemoje: 1) pažymėkite parabolės viršūnę; 2) per viršūnę punktyrine linija nubrėžiame parabolės simetrijos ašį; 3) parabolę vaizduojame ištisine linija, nukreipiančia jos šaką, atsižvelgdami į parabolės parametro ženklą: at - koordinačių ašies, lygiagrečios parabolės simetrijos ašiai, teigiama kryptimi (9a ir 10a pav.); prie - į neigiama pusė koordinačių ašis (9b ir 10b pav.) .

Ryžiai. 9a pav. 9b

Ryžiai. 10a pav. 10b

7 tema. Rinkiniai. Skaitmeniniai rinkiniai. Funkcija.

Pagal daug suprasti tam tikrą bet kokios prigimties objektų rinkinį, išsiskiriantį vienas nuo kito ir įsivaizduojamą kaip vieną visumą. Objektai, sudarantys rinkinį, vadina jį elementai . Aibė gali būti begalinė (susideda iš begalinio elementų skaičiaus), baigtinė (susideda iš baigtinio elementų skaičiaus), tuščia (joje nėra nei vieno elemento). Aibės žymimos , o jų elementai - . Tuščias rinkinys žymimas .

Nustatyti skambutį poaibis nustatyti, jei visi aibės elementai priklauso aibei, ir parašykite . Nustato ir iškvietė lygus , jei jie susideda iš tų pačių elementų ir parašykite . Du rinkiniai ir bus lygūs tada ir tik tada, kai ir .

Nustatyti skambutį Universalus (šios matematinės teorijos rėmuose) , jei jo elementai yra visi šioje teorijoje nagrinėjami objektai.

Galima nustatyti daugybę: 1) visų jos elementų išvardijimas, pvz.: (tik baigtinėms aibėms); 2) nustatant taisyklę, nustatančią, ar universaliosios aibės elementas priklauso duotajai aibei: .

asociacija

kirtimas aibės ir vadinama aibe

skirtumas aibės ir vadinama aibe

Papildymas aibės (iki universalios aibės) vadinamos aibėmis.

Du rinkiniai ir vadinami lygiavertis ir parašykite ~, jei galima nustatyti šių aibių elementų atitikimą vienas su vienu. Rinkinys vadinamas skaičiuojamas , jei ji lygi natūraliųjų skaičių aibei : ~ . Tuščias rinkinys pagal apibrėžimą yra skaičiuojamas.

Aibės kardinalumo samprata atsiranda, kai aibės lyginamos pagal juose esančių elementų skaičių. Aibės kardinalumas žymimas . Baigtinės aibės kardinalumas yra jos elementų skaičius.

Lygiaverčiai rinkiniai turi tą patį kardinalumą. Rinkinys vadinamas nesuskaičiuojamas jei jo kardinalumas didesnis už aibės kardinalumą .

Galioja (tikras) numerį vadinama begaline dešimtaine trupmena, paimta su ženklu „+“ arba „“. Tikrieji skaičiai identifikuojami taškais skaičių eilutėje. modulis vadinama realiojo skaičiaus (absoliučia verte). neneigiamas skaičius:

Rinkinys vadinamas skaitinis jei jo elementai yra realieji skaičiai.Skaitiniai tarpais skaičių rinkiniai vadinami: , , , , , , , , .

Visų skaičių eilutės taškų, atitinkančių sąlygą , kur yra savavališkai mažas skaičius, aibė vadinama -kaimynystėje (arba tiesiog kaimynystėje) taško ir žymimas . Visų taškų rinkinys pagal sąlygą , kur - savavališkai didelis skaičius, vadinamas - kaimynystėje (arba tiesiog kaimynystė) begalybės ir žymimas .

Vadinamas dydis, kuris išlaiko tą pačią skaitinę reikšmę pastovus. Vadinamas dydis, kuris įgauna skirtingas skaitines reikšmes kintamasis. Funkcija iškviečiama taisyklė, pagal kurią kiekvienam numeriui priskiriamas vienas tiksliai apibrėžtas skaičius, ir jie rašo. Rinkinys vadinamas apibrėžimo sritis funkcijos, - daug ( arba regionas ) vertybes funkcijos, - argumentas , - funkcijos reikšmė . Labiausiai paplitęs būdas nurodyti funkciją yra analitinis metodas, kai funkcija pateikiama formule. natūralus domenas funkcija yra argumento, kuriam ši formulė prasminga, reikšmių rinkinys. Funkcijų grafikas , stačiakampėje koordinačių sistemoje , yra visų plokštumos taškų su koordinatėmis rinkinys .

Funkcija vadinama net aibėje , simetriškas taško atžvilgiu , jei tenkinama ši sąlyga visiems: ir nelyginis jei sąlyga įvykdyta. Priešingu atveju funkcija bendras vaizdas arba nei lyginis, nei nelyginis .

Funkcija vadinama periodinis leidinys rinkinyje, jei yra numeris ( funkcijos laikotarpis ) taip, kad ši sąlyga būtų įvykdyta visiems: . Mažiausias skaičius vadinamas pagrindiniu periodu.

Funkcija vadinama monotoniškai didėja (silpsta ) filmavimo aikštelėje, jei didesnę vertę argumentas atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.

Funkcija vadinama ribotas aibėje , jei yra toks skaičius , kad visiems tenkinama ši sąlyga : . Priešingu atveju funkcija yra neribotas .

Atvirkščiai funkcionuoti , , tokia funkcija vadinama , kuri apibrėžiama aibėje ir kiekvienam

Atitinka tokius, kad . Norėdami rasti funkciją, atvirkštinę funkcijai , reikia išspręsti lygtį palyginti . Jei funkcija , yra griežtai monotoniškas, tada jis visada turi atvirkštinę reikšmę, o jei funkcija didėja (mažėja), tada atvirkštinė funkcija taip pat didėja (mažėja).

Funkcija, vaizduojama kaip , kur yra kai kurios funkcijos, kurių apibrėžimo srityje yra visas funkcijos reikšmių rinkinys, vadinama sudėtinga funkcija nepriklausomas argumentas. Kintamasis vadinamas tarpiniu argumentu. Sudėtinga funkcija taip pat vadinama funkcijų sudėtimi ir , ir parašyta: .

Pagrindinis elementarus funkcijos yra: galia funkcija , demonstracija funkcija ( , ), logaritminis funkcija ( , ), trigonometrinis funkcijos , , , , atvirkštinis trigonometrinis funkcijos , , , . Elementarus vadinama funkcija, gauta iš pagrindinių elementariųjų funkcijų baigtiniu jų aritmetinių operacijų ir kompozicijų skaičiumi.

Jei funkcijos grafikas pateikiamas, tada funkcijos grafiko konstrukcija sumažinama iki grafiko transformacijų (poslinkio, suspaudimo arba ištempimo, atvaizdavimo) serijos:

1) 2) transformacija atvaizduoja grafiką simetriškai ašies atžvilgiu; 3) transformacija perkelia grafiką išilgai ašies vienetais ( - į dešinę, - į kairę); 4) transformacija perkelia diagramą išilgai ašies vienetais ( - aukštyn, - žemyn); 5) transformacijos grafikas išilgai ašies išsitempia laikais, jei arba suspaudžia kartus, jei ; 6) transformuojant grafiką išilgai ašies, suspaudžiamas koeficientas if arba ištempiamas koeficientu, jei .

Transformacijų seka braižant funkcijos grafiką gali būti simboliškai pavaizduota taip:

Pastaba. Atlikdami transformaciją atminkite, kad poslinkio išilgai ašies dydį lemia konstanta, kuri pridedama tiesiai prie argumento, o ne prie argumento.

Funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra ties , kurios šakos nukreiptos aukštyn, jei arba žemyn, jei . Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra taške centruota hiperbolė, kurios asimptotės eina per centrą lygiagrečiai koordinačių ašims. , tenkinantis sąlygą. paskambino.

Apsvarstykite vektorių sandaugą, Ir , sudarytas taip:
. Čia pirmieji du vektoriai dauginami vektoriniu būdu, o jų rezultatas skaliariškai padauginamas iš trečiojo vektoriaus. Tokia sandauga vadinama vektoriniu-skaliariniu arba mišriu trijų vektorių sandauga. Mišrus produktas yra tam tikras skaičius.

Išsiaiškinkime geometrinę išraiškos reikšmę
.

Teorema . Trijų vektorių mišri sandauga yra lygi gretasienio, pastatyto ant šių vektorių, tūriui, paimtam su pliuso ženklu, jei šie vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, ir su minuso ženklu, jei jie sudaro kairįjį trigubą.

Įrodymas.. Sukonstruojame gretasienį, kurio kraštinės yra vektoriai , , ir vektorius
.

Mes turime:
,
, Kur - lygiagretainio plotas, pastatytas ant vektorių Ir ,
dešiniajam vektorių trigubui ir
į kairę, kur
yra gretasienio aukštis. Mes gauname:
, t.y.
, Kur - vektorių suformuoto gretasienio tūris , Ir .

Mišrių produktų savybės

1. Sumaišytas produktas nesikeičia kada cikliškas jo veiksnių permutacija, t.y. .

Iš tiesų šiuo atveju nesikeičia nei gretasienio tūris, nei jo kraštų orientacija.

2. Sumaišius sandaugą, vektoriaus ir skaliarinės daugybos požymius pakeičiant atvirkščiai, t.y.
.

tikrai,
Ir
. Mes paimame tą patį ženklą dešinėje šių lygybių pusėje, nes vektorių trigubai , , Ir , , - viena orientacija.

Vadinasi,
. Tai leidžia parašyti mišrią vektorių sandaugą
kaip
be vektoriaus ženklų, skaliarinė daugyba.

3. Mišrus sandauga keičia ženklą, kai bet kurie du faktorių vektoriai pakeičia vietomis, t.y.
,
,
.

Iš tikrųjų tokia permutacija yra lygiavertė vektoriaus sandaugos faktorių permutacijai, kuri pakeičia sandaugos ženklą.

4. Nenulinių vektorių mišrus produktas , Ir yra nulis tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

2.12. Mišraus produkto apskaičiavimas koordinačių forma ortonormaliu pagrindu

Tegul vektoriai
,
,
. Raskime jų mišrų sandaugą naudodami vektorinių ir skaliarinių sandaugų koordinates:

. (10)

Gautą formulę galima parašyti trumpiau:

kadangi dešinioji lygybės (10) pusė yra trečios eilės determinanto išplėtimas pagal trečiosios eilės elementus.

Taigi vektorių mišrus sandauga yra lygus trečios eilės determinantui, sudarytam iš padaugintų vektorių koordinačių.

2.13 Kai kurie mišraus produkto naudojimo būdai

Vektorių santykinės orientacijos erdvėje nustatymas

Vektorių santykinės orientacijos nustatymas , Ir remiantis šiais samprotavimais. Jeigu
, Tai , , - dešinėje trys Jeigu
, Tai , , – liko trys.

Lyginimo sąlyga vektoriams

Vektoriai , Ir yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų mišrus produktas yra lygus nuliui (
,
,
):

vektoriai , , koplanarinis.

Lygiagretainės ir trikampės piramidės tūrių nustatymas

Nesunku parodyti, kad gretasienio tūris pastatytas ant vektorių , Ir skaičiuojamas kaip
ir garsumą trikampė piramidė, pastatytas ant tų pačių vektorių, yra lygus
.

1 pavyzdysĮrodykite, kad vektoriai
,
,
koplanarinis.

Sprendimas. Raskime mišrų šių vektorių sandaugą naudodami formulę:

Tai reiškia, kad vektoriai
koplanarinis.

2 pavyzdys Atsižvelgiant į tetraedro viršūnes: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Raskite jo aukščio, nukritusio nuo viršūnės, ilgį .

Sprendimas. Pirmiausia suraskime tetraedro tūrį
. Pagal formulę gauname:

Kadangi determinantas yra neigiamas skaičius, tada Ši byla Prieš formulę reikia paimti minuso ženklą. Vadinasi,
.

Norima vertė h nustatyti pagal formulę
, Kur S - bazinis plotas. Nustatykime plotą S:

Kur

Nes

Pakeitimas į formulę
vertybes
Ir
, mes gauname h= 3.

3 pavyzdys Ar susiformuoja vektoriai
pagrindas erdvėje? Išskaidyti vektorių
vektorių pagrindu .

Sprendimas. Jeigu vektoriai erdvėje sudaro pagrindą, tai jie guli ne vienoje plokštumoje, t.y. yra ne lygiagrečiai. Raskite mišrią vektorių sandaugą
:
,

Todėl vektoriai nėra vienodi ir sudaro pagrindą erdvėje. Jei vektoriai sudaro pagrindą erdvėje, tai bet koks vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis bazinių vektorių derinys, būtent
, Kur
vektoriaus koordinates vektoriniu pagrindu
. Raskime šias koordinates sudarydami ir išspręsdami lygčių sistemą

Išspręsdami ją Gauso metodu, turime

Iš čia
. Tada .

Taigi,
.

4 pavyzdys Piramidės viršūnės yra taškuose:
,
,
,
. Apskaičiuoti:

a) veido sritis
;

b) piramidės tūris
;

c) vektorinė projekcija
vektoriaus kryptimi
;

d) kampas
;

e) patikrinkite, ar vektoriai
,
,
koplanarinis.

Sprendimas

a) Iš kryžminio produkto apibrėžimo žinoma, kad:

Vektorių paieška
Ir
, naudojant formulę

,
.

Vektorių, apibrėžtų jų projekcijomis, vektoriaus sandauga randama pagal formulę

, Kur
.

Mūsų atveju

Gauto vektoriaus ilgį randame naudodami formulę

,
.

ir tada
(kv. vnt.).

b) Trijų vektorių mišri sandauga absoliučia verte yra lygi gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūriui , , kaip ant šonkaulių.

Mišrus produktas apskaičiuojamas pagal formulę:

Raskime vektorius
,
,
, sutampa su piramidės kraštais, susilieja į viršų :

Mišrus šių vektorių sandauga

Kadangi piramidės tūris lygus ant vektorių pastatyto gretasienio tūrio daliai
,
,
, Tai
(kubinių vienetų).

c) Naudojant formulę
, kuris apibrėžia vektorių skaliarinę sandaugą , , galima parašyti taip:

Kur
arba
;

arba
.

Norėdami rasti vektoriaus projekciją
vektoriaus kryptimi
Raskite vektorių koordinates
,
, tada pritaikykite formulę

mes gauname

d) Norėdami rasti kampą
apibrėžti vektorius
,
, turintys bendrą pradą taške :

Tada pagal skaliarinės sandaugos formulę

e) Kad trys vektoriai

,
,

yra lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad jų mišrus produktas būtų lygus nuliui.

Mūsų atveju turime
.

Todėl vektoriai yra vienodi.

Vektorių , ir , pateiktų koordinatėmis , mišrus sandauga apskaičiuojama pagal formulę: .

Mišrus produktas naudojamas: 1) apskaičiuoti tetraedro ir gretasienio, pastatyto ant vektorių tūrius, ir , kaip ir kraštinėse, pagal formulę: ; 2) kaip vektorių , ir : ir lygiagretumo sąlyga.

5 tema. Linijos lėktuve.

Normalios linijos vektorius , vadinamas bet koks nulinis vektorius, statmenas duotai tiesei. Krypties vektorius tiesus , vadinamas bet koks nulinis vektorius, lygiagretus duotai tiesei.

Tiesiai ant paviršiaus koordinačių sistemoje gali būti pateikta vieno iš šių tipų lygtimi:

1) - bendroji lygtis tiesi linija, kur yra normalusis tiesės vektorius;

2) - tiesės, einančios per tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis;

3) - tiesės, einančios per tašką, lygiagretų tam tikram vektoriui, lygtis ( kanoninė lygtis );

4) - tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis ;

5) - tiesių lygtys su nuolydžiu , kur yra taškas, per kurį eina linija; () - kampas, kurį linija sudaro su ašimi; - atkarpos ilgis (su ženklu ), nupjautas tiesia linija ant ašies (ženklas " ", jei atkarpa nupjauta teigiamoje ašies dalyje ir " ", jei neigiamoje dalyje).

Atstumas nuo taško iki linijos , pateiktą pagal bendrąją lygtį plokštumoje, randama pagal formulę:

Kampas , ( )tarp tiesių linijų ir , pateiktos bendromis lygtimis arba lygtimis su nuolydžiu, randama pagal vieną iš šių formulių:

Aš už .

Aš už

Tiesių susikirtimo taško koordinatės ir randami kaip tiesinių lygčių sistemos sprendimas: arba .

10 tema. Rinkiniai. Skaitmeniniai rinkiniai. Funkcijos.

Nustatyti skambutį poaibis nustatyti, jei visi aibės elementai priklauso aibei, ir parašykite .

Nustato ir iškvietė lygus , jei jie susideda iš tų pačių elementų ir parašykite . Du rinkiniai ir bus lygūs tada ir tik tada, kai ir .

Nustatyti skambutį Universalus (šios matematinės teorijos rėmuose) , jei jo elementai yra visi šioje teorijoje nagrinėjami objektai.

asociacija

kirtimas aibės ir vadinama aibe

skirtumas aibės ir vadinama aibe

Papildymas aibės (iki universalios aibės) vadinamos aibėmis.

Galioja (tikras) numerį vadinama begaline dešimtaine trupmena, paimta su ženklu „+“ arba „“. Tikrieji skaičiai identifikuojami taškais skaičių eilutėje.

modulis Realaus skaičiaus (absoliuti vertė) yra neneigiamas skaičius:

Rinkinys vadinamas skaitinis jei jo elementai yra tikrieji skaičiai. Skaitinis tarpais vadinami rinkiniais

skaičiai: , , , , , , , , .

Visų skaičių eilutės taškų, atitinkančių sąlygą , kur yra savavališkai mažas skaičius, aibė vadinama -kaimynystėje (arba tiesiog kaimynystėje) taško ir žymimas . Visų taškų aibė pagal sąlygą , kur yra savavališkai didelis skaičius, vadinama - kaimynystėje (arba tiesiog kaimynystė) begalybės ir žymimas .

Funkcija vadinama net aibėje , simetriškas taško atžvilgiu , jei tenkinama ši sąlyga visiems: ir nelyginis jei sąlyga yra įvykdyta. Kitu atveju bendroji funkcija arba nei lyginis, nei nelyginis .

Funkcija vadinama monotoniškai didėja (silpsta ) aibėje, jei didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.

Funkcija vadinama ribotas aibėje , jei yra toks skaičius , kad visiems tenkinama ši sąlyga : . Priešingu atveju funkcija yra neribotas .

Atvirkščiai funkcionuoti , , yra funkcija, kuri yra apibrėžta rinkinyje ir kiekvienam priskiriama tokia, kad . Norėdami rasti funkciją, atvirkštinę funkcijai , reikia išspręsti lygtį palyginti . Jei funkcija , yra griežtai monotoniška, tada ji visada turi atvirkštinę reikšmę, o jei funkcija didėja (mažėja), tada atvirkštinė funkcija taip pat didėja (mažėja).

Funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra ties , kurios šakos nukreiptos aukštyn, jei arba žemyn, jei .

Kai kuriais atvejais, konstruojant funkcijos grafiką, patartina jos apibrėžimo sritį padalyti į kelis nesikertančius intervalus ir kiekviename iš jų nuosekliai kurti grafiką.

Iškviečiama bet kokia eilė realiųjų skaičių taškinė aritmetika (koordinatė) erdvė ir žymimas arba , o skaičiai vadinami jo koordinates .

Leisti ir būti kai kurių taškų ir . Jei kiekvienam taškui pagal tam tikrą taisyklę priskiriamas vienas tiksliai apibrėžtas tikrasis skaičius , tada jie sako, kad aibėje yra pateikta skaitinė kintamųjų funkcija ir rašyti arba trumpai ir , kol vadinama apibrėžimo sritis , - vertybių rinkinys , - argumentai (nepriklausomų kintamųjų) funkcijos.

Dažnai žymima dviejų kintamųjų funkcija, trijų kintamųjų funkcija -. Funkcijos apibrėžimo sritis yra tam tikra taškų rinkinys plokštumoje, funkcijos yra tam tikras erdvės taškų rinkinys.

7 tema. Skaitinės sekos ir serijos. Sekos riba. Funkcijos ir tęstinumo riba.

Jei pagal tam tikrą taisyklę kiekvienas natūralusis skaičius yra susietas su vienu tiksliai apibrėžtu realiuoju skaičiumi, jie taip sako skaitinė seka . Trumpai pažymėkite. Skambina numeriu bendras sekos narys . Seka taip pat vadinama natūralaus argumento funkcija. Sekoje visada yra begalinis elementų skaičius, kai kurie iš jų gali būti lygūs.

Skambina numeriu sekos riba , ir parašykite, jei bet kuriam skaičiui yra toks skaičius, kad nelygybė tenkinama visiems .

Seka, kuri turi baigtinę ribą, vadinama susiliejantys , kitaip - skiriasi .

: 1) silpsta , Jei ; 2) didėja , Jei ; 3) nemažėjantis , Jei ; 4) nedidėjantis , Jei. Visos aukščiau pateiktos sekos vadinamos monotoniškas .

Seka vadinama ribotas , jei yra toks skaičius, kad visiems tenkinama ši sąlyga: . Priešingu atveju seka yra neribotas .

Kiekviena monotoniška seka turi ribą ( Weierstrasso teorema).

Seka vadinama be galo mažas , Jei. Seka vadinama be galo didelis (konverguojantis į begalybę) jei .

numerį vadinama sekos riba, kur

Konstanta vadinama nelyginiu skaičiumi. Vadinamas skaičiaus bazinis logaritmas natūralusis logaritmas skaičiai ir žymimas .

Vadinama formos išraiška, kur yra skaičių seka skaitinė serija ir yra pažymėti. Pirmųjų serijos terminų suma vadinama oji dalinė suma eilė.

Eilė vadinama susiliejantys jei yra baigtinė riba ir skiriasi jei riba neegzistuoja. Skambina numeriu konvergentinės eilutės suma , rašant.

Jei serija susilieja, tada (būtinas eilučių konvergencijos kriterijus ) . Atvirkščiai netiesa.

Jei , tada serija skiriasi ( pakankamas serijų skirtumo kriterijus ).

Apibendrinta harmonikų serija vadinama serija, kuri konverguoja ir skiriasi ties .

Geometrinė serija skambinti serija, kuri susilieja , o jos suma yra lygi ir skiriasi ne . rasti skaičių ar simbolį. (kairė pusiau kaimynystė, dešinė pusiau kaimynystė) ir

Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių kryžminė sandauga Ir mišrus vektorių sandauga (Tiesioginė nuoroda tiems, kam to reikia). Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių taškinė sandauga, reikia vis daugiau. Tokia yra vektorinė priklausomybė. Gali susidaryti įspūdis, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai yra blogai. Šioje aukštosios matematikos dalyje malkų paprastai yra mažai, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta – vargu ar sunkesnė nei ta pati skaliarinis produktas, net bus mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis matys ar jau matė, yra NEKLAISTI SKAIČIAVIMUI. Kartokite kaip burtažodį ir būsite laimingi =)

Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai, stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių rinkinį, kurį dažnai galima rasti praktinis darbas

Kas jus pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ir net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar visai nereikia žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdvės vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišrus vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Jau lengviau!

Atliekant šią operaciją, kaip ir skaliariniame sandaugoje, du vektoriai. Tebūnie tai neišnykstančios raidės.

Pats veiksmas žymimas tokiu būdu: . Yra ir kitų variantų, bet aš įpratęs vektorių kryžminę sandaugą žymėti tokiu būdu, laužtiniuose skliaustuose su kryžiumi.

Ir iš karto klausimas: jei įeina vektorių taškinė sandauga dalyvauja du vektoriai, o čia taip pat padauginami du vektoriai, tada koks skirtumas? Aiškus skirtumas, visų pirma, REZULTATAS:

Vektorių skaliarinės sandaugos rezultatas yra SKAIČIUS:

Kryžminės vektorių sandaugos rezultatas yra VEKTORIUS: , tai yra, vektorius padauginame ir vėl gauname vektorių. Uždaras klubas. Tiesą sakant, iš čia ir kilo operacijos pavadinimas. Įvairiose mokomoji literatūražymėjimas taip pat gali skirtis, naudosiu raidę .

Kryžminio produkto apibrėžimas

Pirmiausia bus apibrėžimas su nuotrauka, tada komentarai.

Apibrėžimas: kryžminis produktas nekolinearinis vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas VECTOR, ilgio kuris yra skaitinis lygus lygiagretainio plotui, sukurta remiantis šiais vektoriais; vektorius statmenas vektoriams, ir yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas:

Mes analizuojame apibrėžimą pagal kaulus, yra daug įdomių dalykų!

Taigi galime pabrėžti šiuos svarbius dalykus:

1) Šaltinio vektoriai , pažymėti raudonomis rodyklėmis, pagal apibrėžimą ne kolinearinis. Kolinearinių vektorių atvejį tikslinga apsvarstyti šiek tiek vėliau.

2) Paimti vektoriai griežtai tam tikra tvarka : – "a" padauginamas iš "būti", o ne „būti“ į „a“. Vektoriaus daugybos rezultatas yra VECTOR , kuris pažymėtas mėlyna spalva. Jei vektoriai padauginami atvirkštine tvarka, tada gauname vienodo ilgio ir priešingos krypties vektorių (raudonos spalvos). Tai yra lygybė .

3) Dabar susipažinkime su vektorinės sandaugos geometrine reikšme. Tai labai svarbus punktas! Mėlynojo vektoriaus ILGIS (taigi ir tamsiai raudonos spalvos vektoriaus ) yra skaitine prasme lygus lygiagretainio, sukurto ant vektorių, PLOTUI. Paveiksle šis lygiagretainis nuspalvintas juodai.

Pastaba : brėžinys yra schematiškas, ir, žinoma, vardinis skersinio sandaugos ilgis nėra lygus lygiagretainio plotui.

Primename vieną iš geometrinių formulių: lygiagretainio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui. Todėl, remiantis tuo, kas išdėstyta, galioja vektoriaus sandaugos ILGIO apskaičiavimo formulė:

Pabrėžiu, kad formulėje kalbame apie vektoriaus ILGĮ, o ne apie patį vektorių. Kokia praktinė prasmė? O prasmė yra tokia, kad analitinės geometrijos problemose lygiagretainio plotas dažnai randamas naudojant vektorinio sandaugos sąvoką:

Gauname antrąją svarbią formulę. Lygiagretainio įstrižainė (raudona punktyrinė linija) padalija jį į du vienodus trikampius. Todėl trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą (raudonas atspalvis) galima rasti pagal formulę:

4) Ne mažiau kaip svarbus faktas yra tai, kad vektorius yra statmenas vektoriams , tai yra, . Žinoma, priešingos krypties vektorius (raudonoji rodyklė) taip pat yra statmena pirminiams vektoriams .

5) Vektorius nukreiptas taip pagrindu Tai turi teisingai orientacija. Pamokoje apie pereiti prie naujo pagrindo Aš kalbėjau išsamiai apie plokštumos orientacija, o dabar išsiaiškinsime, kokia yra erdvės orientacija. Paaiškinsiu ant pirštų dešinė ranka. Psichiškai derinkite smiliumi su vektoriumi ir vidurinis pirštas su vektoriumi. Bevardis pirštas ir mažasis pirštas paspauskite į delną. Kaip rezultatas nykštys- vektorinė sandauga atrodys aukštyn. Tai yra į dešinę orientuotas pagrindas (jis yra paveikslėlyje). Dabar pakeiskite vektorius ( indeksas ir viduriniai pirštai ) kai kuriose vietose dėl to nykštis apsisuks, o vektorinė sandauga jau žiūrės žemyn. Tai taip pat yra į dešinę orientuotas pagrindas. Galbūt jums kyla klausimas: koks pagrindas turi kairiąją orientaciją? „Priskirti“ tuos pačius pirštus kairiarankis vektorius ir gaukite kairiosios bazės bei kairiosios erdvės orientaciją (šiuo atveju nykštis bus apatinio vektoriaus kryptimi). Vaizdžiai tariant, šios bazės „suka“ arba orientuoja erdvę įvairiomis kryptimis. Ir ši sąvoka neturėtų būti laikoma kažkuo nutolusia ar abstrakčia - pavyzdžiui, įprasčiausias veidrodis keičia erdvės orientaciją, o jei „ištrauksite atspindėtą objektą iš veidrodžio“, apskritai nebus įmanoma derinkite jį su „originalu“. Beje, atvesk tris pirštus prie veidrodžio ir analizuok atspindį ;-)

... kaip gerai, kad dabar apie tai žinai orientuoti į dešinę ir į kairę pagrindus, nes kai kurių dėstytojų pasisakymai apie orientacijos pasikeitimą yra baisūs =)

Kolinearinių vektorių vektorinė sandauga

Apibrėžimas buvo detaliai parengtas, belieka išsiaiškinti, kas atsitinka, kai vektoriai yra kolineariniai. Jei vektoriai yra kolinearūs, tada jie gali būti išdėstyti vienoje tiesėje, o mūsų lygiagretainis taip pat „susilenkia“ į vieną tiesią liniją. Tokių sričių, kaip sako matematikai, išsigimęs lygiagretainis lygus nuliui. Tas pats išplaukia iš formulės – nulio arba 180 laipsnių sinusas lygus nuliui, vadinasi, plotas lygus nuliui

Taigi, jei , tada Ir . Atkreipkite dėmesį, kad pati kryžminė sandauga yra lygi nulio vektoriui, tačiau praktikoje tai dažnai nepaisoma ir rašoma, kad jis taip pat lygus nuliui.

ypatinga byla yra vektoriaus ir savęs kryžminė sandauga:

Naudodami kryžminį sandaugą galite patikrinti trimačių vektorių kolineariškumą, be kita ko, mes taip pat išanalizuosime šią problemą.

Norint išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelė iš jo rasti sinusų reikšmes.

Na, užkurkime ugnį:

1 pavyzdys

a) Raskite vektorių sandaugos ilgį, jei

b) Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Sprendimas: Ne, tai nėra rašybos klaida, aš sąmoningai sudariau tokius pačius pradinius duomenis sąlygos elementuose. Nes sprendimų dizainas bus kitoks!

a) Pagal sąlygą reikia rasti ilgio vektorius (vektoriaus sandauga). Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Kadangi buvo klausiama apie ilgį, tai atsakyme nurodome matmenį – vienetus.

b) Pagal sąlygą reikia rasti kvadratas vektoriais pastatytas lygiagretainis . Šio lygiagretainio plotas yra skaitiniu būdu lygus skersinės sandaugos ilgiui:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad atsakyme apie vektorinį produktą visai nekalbama, mūsų buvo paklausta figūros sritis, atitinkamai matmuo yra kvadratiniai vienetai.

Visada žiūrime, KO reikia, kad būtų nustatyta sąlyga, ir pagal tai formuluojame aišku atsakyti. Gali atrodyti, kad tai yra pažodiškumas, bet tarp mokytojų yra pakankamai literatų, ir užduotis su didelėmis galimybėmis bus grąžinta peržiūrėti. Nors tai nėra itin įtemptas niekšas – jei atsakymas neteisingas, susidaro įspūdis, kad žmogus nesupranta paprastų dalykų ir/arba nesuprato užduoties esmės. Šį momentą visada reikia kontroliuoti, sprendžiant bet kokias aukštosios matematikos ir kitų dalykų problemas.

Kur dingo didžioji raidė „en“? Iš principo būtų galima papildomai prikibti prie sprendimo, bet, norėdamas sutrumpinti įrašą, to nepadariau. Tikiuosi, kad visi tai supranta ir reiškia tą patį dalyką.

Populiarus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Raskite trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Formulė, kaip rasti trikampio plotą per vektorinį sandaugą, pateikta apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Praktiškai užduotis tikrai labai dažna, trikampius apskritai galima kankinti.

Norėdami išspręsti kitas problemas, mums reikia:

Vektorių kryžminės sandaugos savybės

Mes jau apsvarstėme kai kurias vektorinio produkto savybes, tačiau įtrauksiu jas į šį sąrašą.

Savavališkiems vektoriams ir savavališkam skaičiui galioja šios savybės:

1) Kituose informacijos šaltiniuose šis elementas paprastai nėra išskiriamas savybėse, tačiau jis yra labai svarbus praktiniu požiūriu. Taigi tegul būna.

2) - turtas taip pat aptartas aukščiau, kartais jis vadinamas antikomutatyvumas. Kitaip tariant, vektorių tvarka yra svarbi.

3) - derinys arba asociatyvus vektorinės sandaugos dėsniai. Konstantos lengvai pašalinamos iš vektorinės sandaugos ribų. Tikrai, ką jie ten veikia?

4) - paskirstymas arba paskirstymas vektorinės sandaugos dėsniai. Taip pat nėra problemų atidarant skliaustus.

Kaip demonstraciją apsvarstykite trumpą pavyzdį:

3 pavyzdys

Rasti, jei

Sprendimas: Pagal sąlygą vėl reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Nupieškime savo miniatiūrą:

(1) Pagal asociatyvinius dėsnius išimame konstantas už vektorinės sandaugos ribų.

(2) Mes išimame konstantą iš modulio, o modulis „suvalgo“ minuso ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.

(3) Toliau aišku.

Atsakymas:

Atėjo laikas mesti malkas į ugnį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite vektoriais pastatyto trikampio plotą, jei

Sprendimas: Raskite trikampio plotą naudodami formulę . Bėda ta, kad vektoriai „ce“ ir „te“ patys pateikiami kaip vektorių sumos. Algoritmas čia yra standartinis ir šiek tiek primena pamokos 3 ir 4 pavyzdžius. Taškinė vektorių sandauga. Kad būtų aiškumo, suskirstykime jį į tris etapus:

1) Pirmajame etape vektorinį sandaugą išreiškiame per vektorinį sandaugą, iš tikrųjų, išreikškite vektorių vektoriumi. Apie ilgį dar nė žodžio!

(1) Mes pakeičiame vektorių išraiškas.

(2) Naudodamiesi paskirstymo dėsniais, atidarykite skliaustus pagal daugianario daugybos taisyklę.

(3) Naudodamiesi asociatyviniais dėsniais, išimame visas konstantas už vektorinių sandaugų. Turint mažai patirties, 2 ir 3 veiksmus galima atlikti vienu metu.

(4) Pirmasis ir paskutinis nariai yra lygūs nuliui (nulis vektorius) dėl malonios savybės . Antrajame termine mes naudojame vektorinio produkto antikomutatyvumo savybę:

(5) Pateikiame panašias sąlygas.

Dėl to vektorius buvo išreikštas vektoriumi, o tai buvo tai, ko reikėjo pasiekti:

2) Antrame žingsnyje randame mums reikalingos vektorinės sandaugos ilgį. Šis veiksmas panašus į 3 pavyzdį:

3) Raskite reikiamo trikampio plotą:

2-3 tirpalo žingsniai gali būti išdėstyti vienoje eilutėje.

Atsakymas:

Nagrinėjama problema yra gana dažna kontrolinis darbas, čia yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Rasti, jei

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, koks buvote dėmesingas tyrinėdamas ankstesnius pavyzdžius ;-)

Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse

, pateikta ortonormaliu pagrindu , išreiškiamas formule:

Formulė tikrai paprasta: determinanto viršutinėje eilutėje įrašome koordinačių vektorius, antroje ir trečioje eilutėje „supakuojame“ vektorių koordinates ir dedame griežta tvarka- pirmiausia vektoriaus "ve" koordinatės, tada vektoriaus "double-ve" koordinatės. Jei vektorius reikia padauginti kita tvarka, tada eilutės taip pat turėtų būti pakeistos:

10 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie erdvės vektoriai yra kolinearūs:
A)
b)

Sprendimas: Testas pagrįstas vienu iš šios pamokos teiginių: jei vektoriai yra kolinearūs, tada jų kryžminė sandauga yra nulis (nulis vektorius): .

a) Raskite vektorinę sandaugą:

Taigi vektoriai nėra kolineariniai.

b) Raskite vektorinę sandaugą:

Atsakymas a) ne kolinearinis, b)

Čia, ko gero, yra visa pagrindinė informacija apie vektorių sandaugą.

Ši sekcija nebus labai didelė, nes yra keletas problemų, kai naudojamas vektorių mišrus sandauga. Tiesą sakant, viskas priklausys nuo apibrėžimo, geometrinės reikšmės ir kelių darbo formulių.

Mišrus vektorių sandauga yra produktas iš trijų vektoriai:

Taip jie išsirikiavo kaip traukinys ir laukia, negali laukti, kol bus paskaičiuoti.

Pirmiausia vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:

Apibrėžimas: Mišrus produktas ne lygiagrečiai vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas gretasienio tūris, pastatytas ant šių vektorių, turintis "+" ženklą, jei pagrindas yra teisingas, ir "-" ženklą, jei pagrindas yra kairysis.

Padarykime piešinį. Mums nematomos linijos brėžiamos punktyrine linija:

Pasinerkime į apibrėžimą:

2) Paimti vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių permutacija sandaugoje, kaip galima spėti, neapsieina be pasekmių.

3) Prieš komentuodamas geometrinę reikšmę, atkreipsiu dėmesį į akivaizdų faktą: vektorių mišrus sandauga yra SKAIČIUS: . Mokomojoje literatūroje dizainas gali būti kiek kitoks, aš mišrų gaminį žymėjau per, o skaičiavimų rezultatą – raide „pe“.

A-prioras mišrusis produktas – gretasienio tūris, pastatytas ant vektorių (figūra nupiešta raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai yra, skaičius yra lygus nurodyto gretasienio tūriui.

Pastaba : Brėžinys yra schematiškas.

4) Vėl nesivarginkime pagrindo ir erdvės orientacijos samprata. Paskutinės dalies prasmė ta, kad prie tomo galima pridėti minuso ženklą. Paprastais žodžiais, mišrus produktas gali būti neigiamas: .

Iš vektorių pastatyto gretasienio tūrio apskaičiavimo formulė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo.

Populiarus kategorijoje: