വീട് › വിവിധ › ലോഗ് 1 മുതൽ ബേസ് 4 വരെ. ലോഗരിതത്തിന്റെയും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും നിർവചനം: സിദ്ധാന്തവും പ്രശ്‌നപരിഹാരവും

ലോഗ് 1 മുതൽ ബേസ് 4 വരെ. ലോഗരിതത്തിന്റെയും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും നിർവചനം: സിദ്ധാന്തവും പ്രശ്‌നപരിഹാരവും

പ്രിമിറ്റീവ് ലെവൽ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നാണ് ലോഗരിതം. പേര് വന്നത് ഗ്രീക്ക് ഭാഷ"നമ്പർ" അല്ലെങ്കിൽ "പവർ" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നത് അന്തിമ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അടിത്തറയിലെ സംഖ്യ എത്രത്തോളം ഉയർത്തണം എന്നാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ലോഗ് a b - a യെ അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
ലോഗ് ബി - ഡെസിമൽ ലോഗരിതം (ലോഗരിതം മുതൽ ബേസ് 10, a = 10);
ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം (ലോഗരിതം മുതൽ ബേസ് e, a = e).

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ബേസ് എയിലേക്കുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റാണ്, അതിന് b അടിസ്ഥാനം a ആയി ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ലഭിച്ച ഫലം ഇതുപോലെയാണ് ഉച്ചരിക്കുന്നത്: "b യുടെ ലോഗരിതം മുതൽ a അടിസ്ഥാനം വരെ." ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സംഖ്യകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശക്തി നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ്. ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനോ പരിഹരിക്കുന്നതിനോ ചില അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളുണ്ട്, അതുപോലെ തന്നെ നൊട്ടേഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. അവ ഉപയോഗിച്ച്, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി, ഇന്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ മറ്റ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, ലോഗരിതത്തിനുള്ള പരിഹാരം അതിന്റെ ലളിതമായ നൊട്ടേഷനാണ്. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ചുവടെ:

ഏതെങ്കിലും ഒരു എ ; a > 0; a ≠ 1 കൂടാതെ ഏത് x നും; y > 0.

ഒരു ലോഗ് a b = b - അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി
ലോഗ് a 1 = 0
ലോഗ a = 1
ലോഗ് എ (x y) = ലോഗ് എ x + ലോഗ് എ വൈ
ലോഗ് എ x/ y = ലോഗ് എ x - ലോഗ് എ വൈ
ലോഗ് എ 1/x = -ലോഗ് എ x
log a x p = p log a x
ലോഗ് a k x = 1/k ലോഗ് a x , k ≠ 0 ന്
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല
ലോഗ് എ x = 1/ലോഗ് x എ

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം - പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ആദ്യം, ആവശ്യമായ സമവാക്യം എഴുതുക.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം 10 ആണെങ്കിൽ, എൻട്രി ചുരുക്കി, ദശാംശ ലോഗരിതം ലഭിക്കും. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ e ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നു, അതിനെ ഒരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആയി ചുരുക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ ലോഗരിതംസിന്റെയും ഫലം b എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തുന്ന ശക്തിയാണ്.

നേരിട്ട്, ഈ ബിരുദം കണക്കാക്കുന്നതിലാണ് പരിഹാരം. ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് റൂൾ അനുസരിച്ച് ലളിതമാക്കണം, അതായത്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്. ലേഖനത്തിൽ അല്പം പിന്നോട്ട് പോയാൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന ഐഡന്റിറ്റികൾ കണ്ടെത്താനാകും.

രണ്ടിനോടൊപ്പം ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ, എന്നാൽ അതേ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് യഥാക്രമം b, c സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം അല്ലെങ്കിൽ വിഭജനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മറ്റൊരു അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും (മുകളിൽ കാണുക).

ഒരു ലോഗരിതം ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിഗണിക്കേണ്ട ചില പരിമിതികളുണ്ട്. അതായത്: ലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ മാത്രമാണ്, എന്നാൽ ഒന്നിന് തുല്യമല്ല. a പോലെ ബി എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യാപരമായി ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം പല ശക്തികളും യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാണ്. ഈ അവസ്ഥയിൽ, സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഒരു ലോഗരിതം ആയി വിടുക.

പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

logax + loga = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ

ലോഗ്6 4 + ലോഗ്6 9.

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x >

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ഈ നിയമം അറിയുന്നത്, നിങ്ങൾ അറിയുകയും ചെയ്യും കൃത്യമായ മൂല്യംഎക്സിബിറ്റർമാർ, ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതി.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

4. എവിടെ .

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3. ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

logax + loga = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻഅതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ കണക്കാക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് അവസാന ഭരണംആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നു. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെന്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

ഞാൻ കരുതുന്നു അവസാന ഉദാഹരണംവ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ. ലോഗരിതം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ.

അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇനി നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാം ദശാംശ ലോഗരിതം, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെന്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിന്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെന്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിന്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഇതും കാണുക:

a അടിസ്ഥാനമാക്കാനുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം പദപ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം തുല്യത തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പവർ x () കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, മുകളിലുള്ള സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൃത്രിമത്വങ്ങളിലൂടെ ബാക്കിയുള്ള വിദേശ ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ (3.4) തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെയും ഫോർമുല കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാണാറുണ്ട്. ബാക്കിയുള്ളവ കുറച്ച് സങ്കീർണ്ണമാണ്, എന്നാൽ പല ജോലികളിലും സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനും അവ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സാധാരണ കേസുകൾ

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ചിലത് ബേസ് പത്തോ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലോ രണ്ടോ ആണെങ്കിലും ഉള്ളവയാണ്.
അടിസ്ഥാന പത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം സാധാരണയായി ദശാംശ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് lg(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

റെക്കോർഡിംഗിൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ലെന്ന് റെക്കോർഡിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്നത് ഒരു ഘാതം (ln(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) ആണ്.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണന്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

അടിസ്ഥാന രണ്ടിലേക്കുള്ള മറ്റൊരു പ്രധാന ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നു

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്

ഇന്റഗ്രൽ അല്ലെങ്കിൽ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബന്ധമാണ്

ലോഗരിതം, ലോഗരിതം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ മതിയാകും. മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിന്, അതിൽ നിന്നുള്ള കുറച്ച് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞാൻ നൽകും സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസർവകലാശാലകളും.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട്

3.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

4. എവിടെ .

സങ്കീർണ്ണമെന്ന് തോന്നുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗം നിരവധി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. കണക്കുകൂട്ടലിനായി, അവസാന ടേം 5, 13 പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ അത് രേഖപ്പെടുത്തുകയും വിലപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: അതിന്റെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വഴി ലോഗരിതം എഴുതാൻ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കാം.

ഇത് ലോഗരിതങ്ങളുമായും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുമായും ഉള്ള നമ്മുടെ പരിചയത്തിന്റെ തുടക്കം മാത്രമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിശീലിക്കുക, നിങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ സമ്പുഷ്ടമാക്കുക - ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നേടുന്ന അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ ആവശ്യമായി വരും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ പഠിച്ച ശേഷം, നിങ്ങളുടെ അറിവ് തുല്യമായ മറ്റൊരു വിഷയത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കും - ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ...

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

logax + loga = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log6 4 + log6 9.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെന്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിന്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെന്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ഗ്രാഫ്, ഡെഫനിഷൻ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ സെറ്റ്, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഡെറിവേറ്റീവ്, ഇന്റഗ്രൽ, പവർ സീരീസ് വികാസം, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ln x എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രാതിനിധ്യം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംഫംഗ്ഷൻ y = ln x, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിന്റെ വിപരീതം, x = e y, കൂടാതെ e എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്: ln x = ലോഗ് ഇ x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപമുണ്ട്: (ln x)′ = 1/ x.

അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളത് നിർവചനങ്ങൾ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം സംഖ്യയാണ് ഇ:
ഇ ≅ 2.718281828459045...;
.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് y = ln x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗ്രാഫ് (പ്രവർത്തനങ്ങൾ y = ln x) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഗ്രാഫിൽ നിന്നാണ് ലഭിക്കുന്നത് പ്രതിബിംബം y = x എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്.

x വേരിയബിളിന്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിന്റെ നിർവ്വചന മേഖലയിൽ ഇത് ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

x-ൽ 0 സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ പരിധി മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി (-∞) ആണ്.

x → + ∞ എന്ന നിലയിൽ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ പരിധി പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി (+ ∞) ആണ്. വലിയ x-ന്, ലോഗരിതം വളരെ സാവധാനത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. ഒരു പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റ് a ഉള്ള ഏതൊരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനും x a ലോഗരിതത്തേക്കാൾ വേഗത്തിൽ വളരുന്നു.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, തീവ്രത, വർദ്ധനവ്, കുറയ്ക്കൽ

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് തീവ്രതയില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ln x മൂല്യങ്ങൾ

ln 1 = 0

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രധാന സ്വത്തും അതിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും

അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല

അടിസ്ഥാന സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ലോഗരിതവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവുകൾ "ലോഗരിതം" എന്ന വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിപരീത പ്രവർത്തനം

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ വിപരീതമാണ് ഘാതം.

എങ്കിൽ, പിന്നെ

എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഡെറിവേറ്റീവ് ln x

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
മോഡുലസ് x ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
Nth ഓർഡറിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>

ഇന്റഗ്രൽ

ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിച്ചാണ് ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നത്:
.
അതിനാൽ,

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ

സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ z ന്റെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക:
.
നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം zമൊഡ്യൂൾ വഴി ആർവാദവും φ :
.
ലോഗരിതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
.
അഥവാ
.
വാദം φ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. ഇട്ടാൽ
, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്,
വ്യത്യസ്‌ത n-യ്‌ക്ക് ഇത് ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കും.

അതിനാൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന നിലയിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനല്ല.

പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

വിപുലീകരണം നടക്കുമ്പോൾ:

റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

നമുക്ക് കൂടുതൽ ലളിതമായി വിശദീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\log_(2)(8)\) എന്നത് \(8\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(2\) ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്. ഇതിൽ നിന്ന് \(\log_(2)(8)=3\) എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:	\(\log_(5)(25)=2\)	കാരണം \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	കാരണം \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	കാരണം \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

ലോഗരിതത്തിന്റെ വാദവും അടിത്തറയും

ഏതൊരു ലോഗരിതത്തിനും ഇനിപ്പറയുന്ന "അനാട്ടമി" ഉണ്ട്:

ഒരു ലോഗരിതം ആർഗ്യുമെന്റ് സാധാരണയായി അതിന്റെ തലത്തിലാണ് എഴുതുന്നത്, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തോട് ചേർന്ന് സബ്സ്ക്രിപ്റ്റിലാണ് എഴുതുന്നത്. ഈ എൻട്രി ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "ഇരുപത്തഞ്ചിന്റെ ലോഗരിതം മുതൽ അടിസ്ഥാന അഞ്ച് വരെ."

ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ടതുണ്ട്: വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം?

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(4\) എന്ത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? വ്യക്തമായും രണ്ടാമത്തേത്. അതുകൊണ്ടാണ്:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(\sqrt(5)\) ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? ഏത് ശക്തിയാണ് ഏതൊരു നമ്പർ വൺ ആക്കുന്നത്? പൂജ്യം, തീർച്ചയായും!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) ലഭിക്കുന്നതിന് എന്ത് അധികാരത്തിലേക്ക് \(\sqrt(7)\) ഉയർത്തണം? ഒന്നാമതായി, ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(3\) എന്ത് അധികാരത്തിലേക്ക് ഉയർത്തണം? അതൊരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനർത്ഥം സ്ക്വയർ റൂട്ട്\(\frac(1)(2)\) ന്റെ ശക്തിയാണ്.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ഉദാഹരണം : ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

പരിഹാരം :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		നമുക്ക് ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത് x ആയി സൂചിപ്പിക്കാം. ഇനി നമുക്ക് ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കാം: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		എന്താണ് \(4\sqrt(2)\), \(8\) എന്നിവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത്? രണ്ട്, കാരണം രണ്ട് സംഖ്യകളെയും രണ്ടായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) കൂടാതെ \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമാണ്, ഞങ്ങൾ സൂചകങ്ങളുടെ തുല്യതയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും \(\frac(2)(5)\) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
		തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റൂട്ട് ലോഗരിതം മൂല്യമാണ്

ഉത്തരം : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

എന്തുകൊണ്ടാണ് ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചത്?

ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ, നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: \(3^(x)=9\). തുല്യത പ്രാവർത്തികമാക്കാൻ \(x\) പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക. തീർച്ചയായും, \(x=2\).

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: \(3^(x)=8\).x എന്താണ് തുല്യം? അതാണ് കാര്യം.

മിടുക്കന്മാർ പറയും: "എക്സ് രണ്ടിനേക്കാൾ അല്പം കുറവാണ്." ഈ നമ്പർ കൃത്യമായി എങ്ങനെ എഴുതാം? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന് നന്ദി, ഇവിടെ ഉത്തരം \(x=\log_(3)(8)\) എന്ന് എഴുതാം.

\(\log_(3)(8)\), ഇഷ്ടമാണെന്ന് ഊന്നിപ്പറയാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. അതെ, ഇത് അസാധാരണമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ചെറുതാണ്. കാരണം നമുക്ക് ഇത് ഒരു ദശാംശമായി എഴുതണമെങ്കിൽ, അത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: \(1.892789260714.....\)

ഉദാഹരണം : സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(4^(5x-4)=10\)

പരിഹാരം :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\), \(10\) എന്നിവ ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ലോഗരിതം ഇല്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		നമുക്ക് സമവാക്യം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യാം, അങ്ങനെ X ഇടതുവശത്താണ്
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		നമ്മുടെ മുമ്പിൽ. നമുക്ക് \(4\) വലത്തേക്ക് നീങ്ങാം. ലോഗരിതം ഭയപ്പെടേണ്ട, ഒരു സാധാരണ നമ്പർ പോലെ അതിനെ കൈകാര്യം ചെയ്യുക.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		സമവാക്യത്തെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		ഇതാണ് ഞങ്ങളുടെ റൂട്ട്. അതെ, ഇത് അസാധാരണമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ അവർ ഉത്തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നില്ല.

ഉത്തരം : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ദശാംശവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളും

ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതുപോലെ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്ന് ഒഴികെ ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും ആകാം \((a>0, a\neq1)\). സാധ്യമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളിലും, പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്ന രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്, അവയ്‌ക്കൊപ്പം ലോഗരിതങ്ങൾക്കായി ഒരു പ്രത്യേക ഹ്രസ്വ നൊട്ടേഷൻ കണ്ടുപിടിച്ചു:

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം: യൂലറുടെ സംഖ്യ \(e\) (ഏകദേശം \(2.7182818…\) ന് തുല്യമാണ്), കൂടാതെ ലോഗരിതം \(\ln(a)\) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം.

അതാണ്, \(\ln(a)\) എന്നത് \(\log_(e)(a)\)

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം: 10 ആധാരമായ ഒരു ലോഗരിതം \(\lg(a)\) എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

അതാണ്, \(\lg(a)\) എന്നത് \(\log_(10)(a)\), ഇവിടെ \(a\) എന്നത് കുറച്ച് സംഖ്യയാണ്.

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ഗുണങ്ങളുണ്ട്. അവയിലൊന്നിനെ "അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെ വന്നു എന്ന് നോക്കാം.

ഓർക്കാം ചെറിയ കുറിപ്പ്ലോഗരിതം നിർവചനങ്ങൾ:

\(a^(b)=c\), എങ്കിൽ \(\log_(a)(c)=b\)

അതായത്, \(b\) എന്നത് \(\log_(a)(c)\). അപ്പോൾ നമുക്ക് \(a^(b)=c\) ഫോർമുലയിൽ \(b\) എന്നതിന് പകരം \(\log_(a)(c)\) എന്ന് എഴുതാം. ഇത് \(a^(\log_(a)(c))=c\) - പ്രധാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി.

ലോഗരിതത്തിന്റെ മറ്റ് ഗുണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം. അവരുടെ സഹായത്തോടെ, നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനും കണക്കാക്കാനും കഴിയും, അവ നേരിട്ട് കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ഉദാഹരണം : \(36^(\log_(6)(5))\) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(25\)

ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി എങ്ങനെ എഴുതാം?

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏതൊരു ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. വിപരീതവും ശരിയാണ്: ഏത് സംഖ്യയും ഒരു ലോഗരിതം ആയി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\log_(2)(4)\) രണ്ടിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അപ്പോൾ രണ്ടിന് പകരം \(\log_(2)(4)\) എന്ന് എഴുതാം.

എന്നാൽ \(\log_(3)(9)\) എന്നത് \(2\) എന്നതിന് തുല്യമാണ്, അതായത് \(2=\log_(3)(9)\) . അതുപോലെ \(\log_(5)(25)\), കൂടാതെ \(\log_(9)(81)\), മുതലായവ. അതായത്, അത് മാറുന്നു

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ ലോഗ്_(7)(49)...\)

അതിനാൽ, നമുക്ക് വേണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് എവിടെയും ഏത് ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ലോഗരിതം ആയി രണ്ടെണ്ണം എഴുതാം (അത് ഒരു സമവാക്യത്തിലോ പദപ്രയോഗത്തിലോ അസമത്വത്തിലോ ആകട്ടെ) - ബേസ് സ്ക്വയർ ഒരു ആർഗ്യുമെന്റായി എഴുതാം.

ട്രിപ്പിളിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് സമാനമാണ് - ഇത് \(\log_(2)(8)\), അല്ലെങ്കിൽ \(\log_(3)(27)\), അല്ലെങ്കിൽ \(\log_(4)( എന്നായി എഴുതാം. 64) \)... ഇവിടെ നമ്മൾ ക്യൂബിലെ അടിസ്ഥാനം ഒരു ആർഗ്യുമെന്റായി എഴുതുന്നു:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ ലോഗ്_(7)(343)...\)

ഒപ്പം നാലെണ്ണത്തോടൊപ്പം:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

ഒപ്പം മൈനസ് ഒന്നിനൊപ്പം:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

മൂന്നിലൊന്നിനൊപ്പം:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

\(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) ഏത് സംഖ്യയും \(a\) ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(1\)

ബന്ധപ്പെട്ട്

നൽകിയിട്ടുള്ള മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും. a ഉം N ഉം നൽകിയാൽ, അവ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ വഴി കണ്ടെത്തും. x ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എടുത്ത് (അല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തി) N ഉം a ഉം നൽകിയാൽ. ഇപ്പോൾ a, N എന്നിവ നൽകിയാൽ x കണ്ടെത്തേണ്ട സന്ദർഭം പരിഗണിക്കുക.

N എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ: a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവും ഒന്നിന് തുല്യവുമല്ല: .

നിർവ്വചനം. N സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം a അടിസ്ഥാനം ആണ്, N എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം; ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്

അങ്ങനെ, തുല്യതയിൽ (26.1) ഘാതം a അടിസ്ഥാനം N യുടെ ലോഗരിതം ആയി കാണപ്പെടുന്നു. പോസ്റ്റുകൾ

ഒരേ അർത്ഥമുണ്ട്. സമത്വം (26.1) ചിലപ്പോൾ ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രധാന ഐഡന്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു; വാസ്തവത്തിൽ അത് ലോഗരിതം എന്ന ആശയത്തിന്റെ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. എഴുതിയത് ഈ നിർവചനംലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം എപ്പോഴും പോസിറ്റീവും ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്; ലോഗരിഥമിക് നമ്പർ N പോസിറ്റീവ് ആണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പൂജ്യത്തിനും ലോഗരിതം ഇല്ല. തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിനാൽ സമത്വം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഇവിടെ വ്യവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക; അല്ലെങ്കിൽ, x, y എന്നിവയുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും തുല്യത സത്യമായതിനാൽ, നിഗമനം ന്യായീകരിക്കപ്പെടില്ല.

ഉദാഹരണം 1. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം 2 പവർ ആയി ഉയർത്തണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കാം:

ഉദാഹരണം 2. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഉദാഹരണങ്ങൾ 1, 2 എന്നിവയിൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ബേസിന്റെ ശക്തിയായി ലോഗരിതം സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ലോഗരിതം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്തി. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, മുതലായവയ്ക്ക്, ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ലോഗരിതത്തിന് യുക്തിരഹിതമായ മൂല്യമുണ്ട്. ഈ പ്രസ്താവനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വിഷയം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഖണ്ഡിക 12-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ നൽകി പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. ലോഗരിതം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമായിരുന്നു, പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, അവിവേക സംഖ്യകളാകാം.

ലോഗരിതത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഉണ്ട്, എവിടെ നിന്നാണ്

നേരെമറിച്ച്, നിർവചനം അനുസരിച്ച് എന്ന് അനുവദിക്കുക

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ബേസിന്റെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിലൂടെ (ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിന്റെ പൂജ്യം പവർ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കാണുക (10.1)). ഇവിടെ നിന്ന്

ക്യു.ഇ.ഡി.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ, N = 1. തീർച്ചയായും, നമുക്കുണ്ട് .

ലോഗരിതംസിന്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, a, b എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ c-നേക്കാൾ വലുതോ c-യിൽ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ c യുടെ ഒരേ വശത്ത് കിടക്കുമെന്ന് നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് c-നേക്കാൾ വലുതും മറ്റൊന്ന് c-നേക്കാൾ കുറവും ആണെങ്കിൽ, അവ c യുടെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നു എന്ന് നമ്മൾ പറയും.

പ്രോപ്പർട്ടി 3. സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിന്റെ ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് ആണ്; സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിന്റെ എതിർവശങ്ങളിലാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ആധാരം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a യുടെ ശക്തി ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോപ്പർട്ടി 3 ന്റെ തെളിവ്. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലും ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഒന്നിൽ കുറവും ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ശക്തി ഒന്നിൽ കുറവാണ്.

പരിഗണിക്കേണ്ട നാല് കേസുകൾ ഉണ്ട്:

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും; ബാക്കിയുള്ളവ വായനക്കാരൻ സ്വന്തമായി പരിഗണിക്കും.

അപ്പോൾ തുല്യതയിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല, അതിനാൽ, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 3. ചുവടെയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും ഏതൊക്കെ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നും കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) സംഖ്യ 15 ഉം അടിസ്ഥാന 12 ഉം ഒന്നിന്റെ ഒരേ വശത്തായതിനാൽ;

ബി) 1000 ഉം 2 ഉം യൂണിറ്റിന്റെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് നമ്പറിനേക്കാൾ വലുതാണെന്നത് പ്രധാനമല്ല;

c) 3.1 ഉം 0.8 ഉം ഐക്യത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നതിനാൽ;

ജി) ; എന്തുകൊണ്ട്?

d) ; എന്തുകൊണ്ട്?

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4-6 നെ പലപ്പോഴും ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ചില സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം അറിയുന്നതിലൂടെ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം, ഘടകാംശം, ഓരോന്നിന്റെയും ഡിഗ്രി എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ അവ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടി 4 (ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം നിയമം). ഒരു നിശ്ചിത ബേസിലേക്കുള്ള നിരവധി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം ഒരേ ബേസിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ.

അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന തുല്യത (26.1) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും

ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും എക്‌സ്‌പോണന്റുകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ തുല്യത ലഭിക്കും:

അവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം അർത്ഥവത്താണ്, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പൊതുവേ, നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ലോഗരിതം ഈ ഘടകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 5 (ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം). പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം, ഡിവിഡന്റിന്റെയും ഡിവിസറിന്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് എടുക്കുന്നു. തെളിവ്. ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തുന്നു

ക്യു.ഇ.ഡി.

പ്രോപ്പർട്ടി 6 (പവർ ലോഗരിതം റൂൾ). ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെയും ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം ആ സംഖ്യയുടെ ഘാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഐഡന്റിറ്റി (26.1) വീണ്ടും എഴുതാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

അനന്തരഫലം. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിന്റെ ലോഗരിതം, മൂലത്തിന്റെ ഘാതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ റാഡിക്കലിന്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 6 എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും ഉപയോഗിക്കാമെന്നും സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ അനന്തരഫലത്തിന്റെ സാധുത തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണം 4. a അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ ലോഗരിതം എടുക്കുക:

a) (എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും b, c, d, e എന്നിവ പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു);

b) (അത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു).

പരിഹാരം, a) ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറുകളിലേക്ക് പോകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

സമത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (26.5)-(26.7), നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എഴുതാം:

സംഖ്യകളേക്കാൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതങ്ങളിൽ നടക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ കുറയ്ക്കുന്നു, മുതലായവ.

അതുകൊണ്ടാണ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് (ഖണ്ഡിക 29 കാണുക).

ലോഗരിതത്തിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനത്തെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ ഒരു പ്രത്യേക പ്രവർത്തനമല്ല: ഇത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു അടിത്തറ ഉയർത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു ( ലോഗരിതം തുല്യമാണ്നമ്പറുകൾ). "പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദം "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദത്തിന്റെ പര്യായമായി കണക്കാക്കാം.

പൊട്ടൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കണം: ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പ്രത്യേകിച്ചും, മുന്നിൽ ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന്റെ, പിന്നെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത് അത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഡിഗ്രികളിലേക്ക് മാറ്റണം.

ഉദാഹരണം 5. N എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതത്തിന്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന 2/3, 1/3 എന്നീ ഘടകങ്ങളെ ഈ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഈ സമത്വ ശൃംഖലയിലെ അവസാന അംശം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ മോചിപ്പിച്ചു (ക്ലോസ് 25).

പ്രോപ്പർട്ടി 7. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് വലിയ ലോഗരിതം ഉണ്ട് (ചെറിയതിന് ചെറുതും ഉണ്ട്), അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറിയ ലോഗരിതം ഉണ്ട് (ചെറിയതും ഒരാൾക്ക് വലുത് ഉണ്ട്).

അസമത്വങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമമായും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇവയുടെ ഇരുവശങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്:

അസമത്വങ്ങളെ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിഥിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു (ഖണ്ഡിക 80-ഉം കാണുക).

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ 5 ഉം 3 ഉം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എങ്കിൽ , പിന്നെ, ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന കേസ് പരിഗണിക്കുക

(എയും N/M ഉം ഐക്യത്തിന്റെ ഒരേ വശത്താണ്). ഇവിടെ നിന്ന്