അടിസ്ഥാനം അനുസരിച്ച് ലോഗിൻ ചെയ്യുക. ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ

അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് ശക്തികളുണ്ട്. ചുവടെയുള്ള വരിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ നമ്പർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 16 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. 64 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ആറാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മേശയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ - വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം:

ആർഗ്യുമെന്റ് x ന്റെ അടിസ്ഥാന a യിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം, x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ്.

കുറിപ്പ്: ലോഗ് a x \u003d b, ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനം, x ആർഗ്യുമെന്റ്, b എന്നത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 = 8 ⇒ ലോഗ് 2 8 = 3 (8 ന്റെ അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം മൂന്ന് ആയതിനാൽ 2 3 = 8). 2 64 = 6 ലോഗ് ചെയ്യാം, കാരണം 2 6 = 64.

ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമുക്ക് പട്ടികയിലേക്ക് ഒരു പുതിയ വരി ചേർക്കാം:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ലോഗ് 2 2 = 1	ലോഗ് 2 4 = 2	ലോഗ് 2 8 = 3	ലോഗ് 2 16 = 4	ലോഗ് 2 32 = 5	ലോഗ് 2 64 = 6

നിർഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും അത്ര എളുപ്പത്തിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 5 കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. നമ്പർ 5 പട്ടികയിൽ ഇല്ല, എന്നാൽ ലോജിക് ലോഗരിതം സെഗ്മെന്റിൽ എവിടെയെങ്കിലും കിടക്കുമെന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. കാരണം 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ദശാംശ പോയിന്റിന് ശേഷമുള്ള അക്കങ്ങൾ അനിശ്ചിതമായി എഴുതാം, അവ ഒരിക്കലും ആവർത്തിക്കില്ല. ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ വിടുന്നതാണ് നല്ലത്: ലോഗ് 2 5 , ലോഗ് 3 8 , ലോഗ് 5 100 .

ലോഗരിതം രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും) ഒരു പദപ്രയോഗമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ആദ്യം, അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണെന്നും വാദം എവിടെയാണെന്നും പലരും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ചിത്രം നോക്കുക:

ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല നമ്മുടെ മുമ്പിൽ. ഓർക്കുക: ലോഗരിതം ശക്തിയാണ്, വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ അടിത്തറയാണ് - ചിത്രത്തിൽ അത് ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനം എല്ലായ്പ്പോഴും അടിയിലാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആദ്യ പാഠത്തിൽ തന്നെ ഞാൻ ഈ അത്ഭുതകരമായ നിയമം എന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പറയുന്നു - ഒരു ആശയക്കുഴപ്പവുമില്ല.

ഞങ്ങൾ നിർവചനം കണ്ടെത്തി - ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അതായത്. "ലോഗ്" ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുക. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന വസ്തുതകൾ പിന്തുടരുന്നത് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1. വാദവും അടിത്തറയും എപ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റ് മുഖേനയുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം കുറയുന്നു.
2. അടിസ്ഥാനം ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം, കാരണം ഒരു യൂണിറ്റ് ഏതൊരു ശക്തിക്കും ഇപ്പോഴും ഒരു യൂണിറ്റാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, "രണ്ടെണ്ണം ലഭിക്കാൻ ഒരാൾ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം" എന്ന ചോദ്യം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ബിരുദം ഇല്ല!

അത്തരം നിയന്ത്രണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സാധുവായ ശ്രേണി(ODZ). ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ലോഗ് a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

നമ്പർ ബി (ലോഗരിതം മൂല്യം) ചുമത്തിയിട്ടില്ല എന്നതിന് നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഇല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: ലോഗ് 2 0.5 \u003d -1, കാരണം 0.5 = 2 -1 .

എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഗണിക്കുന്നത്, അവിടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളുടെ കംപൈലർമാർ ഇതിനകം തന്നെ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ലോഗരിതമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പ്രാബല്യത്തിൽ വരുമ്പോൾ, DHS ആവശ്യകതകൾ നിർബന്ധമാകും. തീർച്ചയായും, അടിസ്ഥാനത്തിലും വാദത്തിലും വളരെ ശക്തമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം, അത് മുകളിൽ പറഞ്ഞ നിയന്ത്രണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക പൊതു പദ്ധതിലോഗരിതം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ. ഇത് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. ബേസ് a, ആർഗ്യുമെന്റ് x എന്നിവ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക. വഴിയിൽ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
2. വേരിയബിളിന്റെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക b: x = a b ;
3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ b ആയിരിക്കും ഉത്തരം.

അത്രയേയുള്ളൂ! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ കാണപ്പെടും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലായിരിക്കണമെന്ന ആവശ്യം വളരെ പ്രസക്തമാണ്: ഇത് പിശകിന്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ: നിങ്ങൾ അവയെ ഉടനടി സാധാരണക്കാരിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, പിശകുകൾ പല മടങ്ങ് കുറവായിരിക്കും.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും അഞ്ചിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1

1. അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ഒരു പ്രതികരണം ലഭിച്ചു: 0.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും ഏഴിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 7 = 7 1 ; 14 എന്നത് ഏഴിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ല, കാരണം 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുന്നില്ലെന്ന് മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു;
3. ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.

ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ് അവസാന ഉദാഹരണം. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തിയല്ലെന്ന് എങ്ങനെ ഉറപ്പാക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ് - അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക. വികാസത്തിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.

ടാസ്ക്. സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികൾ ഇവയാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി, കാരണം ഒരു ഗുണിതം മാത്രമേയുള്ളൂ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 എന്നത് ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3, 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി;
35 = 7 5 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;
14 \u003d 7 2 - വീണ്ടും കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;

അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

ദശാംശ ലോഗരിതം

ചില ലോഗരിതങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും പദവിയും ഉണ്ട്.

x ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ 10 എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: lg x.

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 10 = 1; ലോഗ് 100 = 2; lg 1000 = 3 - മുതലായവ.

ഇനി മുതൽ, "Find lg 0.01" പോലുള്ള ഒരു വാചകം പാഠപുസ്തകത്തിൽ വരുമ്പോൾ, ഇത് അക്ഷരത്തെറ്റല്ലെന്ന് അറിയുക. ഇതാണ് ദശാംശ ലോഗരിതം. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു പദവി ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അത് മാറ്റിയെഴുതാം:
ലോഗ് x = ലോഗ് 10 x

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് സത്യമായതെല്ലാം ദശാംശങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

അതിന്റേതായ നൊട്ടേഷൻ ഉള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഒരർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. അത് ഏകദേശംസ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തെക്കുറിച്ച്.

x ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന ഇ ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ e എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: ln x.

പലരും ചോദിക്കും: മറ്റെന്താണ് നമ്പർ ഇ? ഇതൊരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ് കൃത്യമായ മൂല്യംകണ്ടെത്താനും രേഖപ്പെടുത്താനും അസാധ്യമാണ്. ആദ്യ സംഖ്യകൾ ഇതാ:
ഇ = 2.718281828459...

ഈ സംഖ്യ എന്താണെന്നും എന്തുകൊണ്ട് അത് ആവശ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം e ആണെന്ന് ഓർക്കുക:
ln x = ലോഗ് ഇ x

അങ്ങനെ ln e = 1; ലോഗ് ഇ 2 = 2; ln e 16 = 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെയും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണ്. തീർച്ചയായും, ഐക്യം ഒഴികെ: ln 1 = 0.

വേണ്ടി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംസാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ശരിയായ എല്ലാ നിയമങ്ങളും സാധുവാണ്.

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യയും പോലെ, സാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും പരിവർത്തനം ചെയ്യാനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം തികച്ചും സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ.

ഈ നിയമങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം - അവയില്ലാതെ ഗുരുതരമായ ലോഗരിതമിക് പ്രശ്‌നങ്ങളൊന്നും പരിഹരിക്കാനാവില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - എല്ലാം ഒരു ദിവസം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗ് എ xഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x+ലോഗ് എ വൈ= ലോഗ് എ (x · വൈ);
2. ലോഗ് എ x-ലോഗ് എ വൈ= ലോഗ് എ (x : വൈ).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ആണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന പോയിന്റ് ഇതാണ് - ഒരേ മൈതാനങ്ങൾ. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം സാധാരണ സംഖ്യകൾ മാറുന്നു. ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിരവധി ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, നിയന്ത്രണം - എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ (ചിലപ്പോൾ - ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) പരീക്ഷയിൽ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് നീക്കം ചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലോ വാദത്തിലോ ഒരു ബിരുദം ഉണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് അവസാന ഭരണംആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ എന്തായാലും അത് ഓർക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ODZ ലോഗരിതം നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നു: എ > 0, എ ≠ 1, x> 0. ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ ഫോർമുലകളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് വാദത്തിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു ലോഗരിതം ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 72. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ. അവർ അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും ഡിഗ്രി രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - അവർക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും ഒരേ സംഖ്യയുണ്ട്: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അത് ചെയ്തു. ഫലം ഉത്തരമാണ്: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

കൊടുക്കട്ടെ ലോഗരിതം ലോഗ് എ x. പിന്നെ ഏത് നമ്പറിനും സിഅത്തരം സി> 0 ഒപ്പം സി≠ 1, സമത്വം ശരിയാണ്:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ഇട്ടാൽ സി = x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയുമെന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുകയല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ജോലികളുണ്ട്. ഇവയിൽ ചിലത് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകൾ കൃത്യമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യാം:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തി.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് അത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇനി നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാം ദശാംശ ലോഗരിതം, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ കേസിൽ, നമ്പർ എൻവാദത്തിന്റെ വക്താവായി മാറുന്നു. നമ്പർ എൻതികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. ഇതിനെ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തീർച്ചയായും, സംഖ്യയാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും ബിഅങ്ങനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക ബിഈ പരിധി വരെ ഒരു സംഖ്യ നൽകുന്നു എ? അത് ശരിയാണ്: ഇത് ഒരേ സംഖ്യയാണ് എ. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ "തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നു".

പുതിയ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ചതുരവും ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റും പുറത്തെടുത്തു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രം അടിക്കുറിപ്പ്]

ആർക്കെങ്കിലും അറിവില്ലെങ്കിൽ, ഇത് പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്‌ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, ഇവ ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് എ എ= 1 എന്നത് ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റാണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എഈ അടിത്തറയിൽ നിന്ന് തന്നെ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് എ 1 = 0 എന്നത് ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യമാണ്. അടിസ്ഥാനം എഎന്തും ആകാം, എന്നാൽ വാദം ഒന്നാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യമാണ്! കാരണം എ 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, അത് പ്രിന്റ് ചെയ്ത് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

സമൂഹത്തിന്റെ വികാസത്തോടെ, ഉൽപാദനത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത, ഗണിതശാസ്ത്രവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിന്റെയും കുറയ്ക്കലിന്റെയും സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗ് രീതിയിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, അവർ ഗുണനവും ഹരിക്കലും എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. മൾട്ടിപ്ലൈ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കുറയ്ക്കൽ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിന്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്രപരമായ രൂപരേഖ

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിന്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിന്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പുരാതന പട്ടികകൾ ഒരു വലിയ സേവനം ചെയ്തു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിന്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഫോമിലെ ഡിഗ്രികൾക്ക് മാത്രമല്ല ടേബിളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഇത് സാധ്യമാക്കി പ്രധാന സംഖ്യകൾ, മാത്രമല്ല ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്ക്.

1614-ൽ, സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ, ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, "ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം" എന്ന പുതിയ പദം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചു. സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, ടാൻജെന്റുകൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിനായി പുതിയ സങ്കീർണ്ണ പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചു. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അവ ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകൾ. അതിനുമുമ്പ് ഒരുപാട് സമയമെടുത്തു പുതിയ പ്രവർത്തനംബീജഗണിതത്തിൽ അതിന്റെ പൂർത്തിയായ രൂപം കൈവരിച്ചു. ലോഗരിതം നിർവചിക്കുകയും അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മനുഷ്യവർഗം ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് a എന്ന സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി x ആണ്, അതായത് a യുടെ ശക്തി, b സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = log a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ നൽകുന്നുള്ളൂ, a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ വകഭേദങ്ങൾ

ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. a = 1 എന്ന ഓപ്‌ഷൻ ബോർഡർലൈൻ ആണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. കുറിപ്പ്: 1 എന്നത് ഏത് പവറിലേക്കും 1 ആണ്.

ലോഗരിതത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും 0-നേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ മൂല്യം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദമെന്ന നിലയിൽ, ഇത് ഇതായിരിക്കും: ലോഗ് സി (ബി / പി) \u003d ലോഗ് സി (ബി) - ലോഗ് സി (പി), ക്വട്ടേഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: log a(b p) = p * log a(b).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് ചെയ്യരുത് - തുകയുടെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമല്ല.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസിദ്ധമായ സൂത്രവാക്യം ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്കുള്ള വികാസം ഉപയോഗിച്ചു:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), ഇവിടെ n എന്നത് 1 നേക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തവും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവും ഉപയോഗിച്ച് മറ്റ് അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, അവർ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് മുഴുവൻ ജോലിയും വളരെയധികം ത്വരിതപ്പെടുത്തി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രത്യേകം സമാഹരിച്ച ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിനായുള്ള തിരയൽ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിന്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ അനുവദിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയർമാർ നീണ്ട കാലംഈ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് വ്യവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, അത് XIX നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിന്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിന്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും ആവിർഭാവം മറ്റ് ഉപകരണങ്ങളൊന്നും ഉപയോഗിക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ പതിപ്പിന്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ അസമത്വത്തിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും പ്രയോഗിക്കുകയും ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ, അത് മാറുന്നു.

ടാസ്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുക. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഡിഗ്രിയിൽ ലോഗരിതം സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• ടാസ്ക് 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ, നൊട്ടേഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ആണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് നേടിയെടുത്തത് വലിയ പ്രാധാന്യംവസ്തുക്കളെ വിവരിക്കാൻ യഥാർത്ഥ ലോകം. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, അറിവിന്റെ മാനവിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

സംഖ്യാ ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾഗവേഷണവും അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിലാണ്. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഭൗതിക നിയമങ്ങളുടെ വിവരണത്തിന് ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം നൽകുന്നു.

ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് റോക്കറ്റിന്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

V = I * ln(M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിന്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ എഞ്ചിന്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണയാണ്.
• M1 ആണ് റോക്കറ്റിന്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊരു പ്രധാന ഉദാഹരണം- തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്ന മറ്റൊരു മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിന്റെ ഫോർമുലയിലെ ഉപയോഗമാണിത്.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് ഒരു തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി ആണ്.
• k എന്നത് ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

രസതന്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. ഇവിടെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിന്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിന്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോപ്രൊലിസിസ് സൂചികയും പരിഹാരത്തിന്റെ അസിഡിറ്റിയും പോലുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും നമ്മുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ പൂർത്തിയാകില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് പൂർണ്ണമായും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിന്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിന്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിന്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ തീം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിന്റെ അസ്തിത്വം അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റ് പരാമർശിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തന മേഖലകളിൽ അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിന്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയൽ.
ശക്തമായി "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്കായി
"വളരെയധികം ..." ഉള്ളവർക്കായി)

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് - ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, ഏകദേശം 10-20 മിനിറ്റ് നിങ്ങൾ:

1. മനസ്സിലാക്കുക എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. ഒരു ക്ലാസ് മുഴുവൻ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഗുണന പട്ടിക അറിയേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഒരു സംഖ്യ എങ്ങനെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു ...

നിങ്ങൾക്ക് സംശയം തോന്നുന്നു ... ശരി, സമയം സൂക്ഷിക്കുക! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, പദപ്രയോഗങ്ങളെ ശക്തികളാൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതങ്ങൾ എപ്പോഴും കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു (a b * a c = a b + c). ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമം ആർക്കിമിഡീസ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്, പിന്നീട് എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വിരാസെൻ പൂർണ്ണസംഖ്യ സൂചകങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക സൃഷ്ടിച്ചു. ലോഗരിതം കൂടുതൽ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സഹായിച്ചത് അവരാണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ മിക്കവാറും എല്ലായിടത്തും കണ്ടെത്താനാകും, അവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണനം ലളിതമായ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിലേക്ക് ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ലേഖനം വായിക്കാൻ നിങ്ങൾ 10 മിനിറ്റ് ചെലവഴിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം എന്താണെന്നും അവയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളോട് വിശദീകരിക്കും. ലളിതവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമായ ഭാഷ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ നിർവ്വചനം

ലോഗരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: ലോഗ് a b=c, അതായത്, ഏതെങ്കിലും ലോഗരിതം നോൺ-നെഗറ്റീവ് നമ്പർ(അതായത് ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ്) "b" അതിന്റെ അടിസ്ഥാനമായ "a" ലേക്ക് "c" ന്റെ ശക്തിയായി കണക്കാക്കുന്നു, അവസാനം "b" മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം "a" ഉയർത്തണം. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലോഗരിതം വിശകലനം ചെയ്യാം, ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലോഗ് ഉണ്ടെന്ന് പറയാം 2 8. ഉത്തരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്, 2 മുതൽ ആവശ്യമായ ഡിഗ്രി വരെ നിങ്ങൾക്ക് 8 ലഭിക്കുന്ന അത്തരമൊരു ബിരുദം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ ചില കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തി, ഞങ്ങൾക്ക് 3 നമ്പർ ലഭിക്കും! ശരിയാണ്, കാരണം 2 മുതൽ 3 ന്റെ ശക്തിക്ക് ഉത്തരത്തിൽ 8 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ വകഭേദങ്ങൾ

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും, ഈ വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗരിതം അത്ര ഭയാനകമല്ല, പ്രധാന കാര്യം അവയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം മനസിലാക്കുകയും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ചില നിയമങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. മൂന്ന് ഉണ്ട് ചില തരംലോഗരിതമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ:

1. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ln a, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം യൂലർ നമ്പറാണ് (e = 2.7).
2. ദശാംശം a, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം 10 ആണ്.
3. ബേസ് a>1-ലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യ bയുടെയും ലോഗരിതം.

ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം ലഘൂകരിക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ, തുടർന്നുള്ള കുറയ്ക്കൽ എന്നിവ ഉൾപ്പെടെ അവ ഓരോന്നും ഒരു സാധാരണ രീതിയിലാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ശരിയായ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, അവയുടെ ഗുണങ്ങളും അവരുടെ തീരുമാനങ്ങളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും ഓർക്കണം.

നിയമങ്ങളും ചില നിയന്ത്രണങ്ങളും

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു സിദ്ധാന്തമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട നിരവധി നിയമങ്ങൾ-പരിമിതികൾ ഉണ്ട്, അതായത്, അവ ചർച്ചയ്ക്ക് വിധേയമല്ല, സത്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതും അസാധ്യമാണ്. ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് അവരുടേതായ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അത് പിന്തുടർന്ന് ദൈർഘ്യമേറിയതും ശേഷിയുള്ളതുമായ ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോലും എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പഠിക്കാനാകും:

• അടിസ്ഥാനം "a" എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അതേ സമയം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, അല്ലാത്തപക്ഷം പദപ്രയോഗത്തിന് അതിന്റെ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടും, കാരണം "1" ഉം "0" ഉം എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്;
• a > 0, പിന്നെ a b > 0 ആണെങ്കിൽ, "c" പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, 10 x \u003d 100 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനാണ് ചുമതല നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു ശക്തി തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, നമുക്ക് 100 ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യ പത്ത് ഉയർത്തുന്നു. ഇത് തീർച്ചയായും 10 ആണ്. 2 \u003d 100.

ഇനി നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗത്തെ ഒരു ലോഗരിഥമിക് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് ലോഗ് 10 100 = 2 ലഭിക്കുന്നു. ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഒരു നിശ്ചിത നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം നൽകേണ്ട അളവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് പ്രായോഗികമായി ഒത്തുചേരുന്നു.

ഒരു അജ്ഞാത ബിരുദത്തിന്റെ മൂല്യം കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കണം. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനപ്പട്ടികയെക്കുറിച്ചുള്ള സാങ്കേതിക മാനസികാവസ്ഥയും അറിവും ഉണ്ടെങ്കിൽ ചില എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ അവബോധപൂർവ്വം ഊഹിക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, വേണ്ടി വലിയ മൂല്യങ്ങൾനിങ്ങൾക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു ടേബിൾ വേണം. സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിത വിഷയങ്ങളിൽ ഒന്നും മനസ്സിലാകാത്തവർക്ക് പോലും ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. ഇടത് നിരയിൽ സംഖ്യകൾ (അടിസ്ഥാനം a) അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, സംഖ്യകളുടെ മുകളിലെ വരി പവർ c യുടെ മൂല്യമാണ്, അതിലേക്ക് a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നു. സെല്ലുകളിലെ കവലയിൽ, സംഖ്യകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അവ ഉത്തരം (a c =b). ഉദാഹരണത്തിന്, 10 എന്ന നമ്പറുള്ള ആദ്യത്തെ സെല്ലും ചതുരവും എടുക്കാം, നമുക്ക് മൂല്യം 100 ലഭിക്കും, അത് നമ്മുടെ രണ്ട് സെല്ലുകളുടെ കവലയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. എല്ലാം വളരെ ലളിതവും എളുപ്പവുമാണ്, ഏറ്റവും യഥാർത്ഥ മാനവികവാദി പോലും മനസ്സിലാക്കും!

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ, ഘാതം ലോഗരിതം ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതിനാൽ, ഏത് ഗണിത സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളും ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യമായി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 4 =81 എന്നത് 81 മുതൽ അടിസ്ഥാന 3 വരെയുള്ള ലോഗരിതം ആയി എഴുതാം, അത് നാലാണ് (ലോഗ് 3 81 = 4). നെഗറ്റീവ് ശക്തികൾക്ക്, നിയമങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്: 2 -5 = 1/32 ഞങ്ങൾ ഒരു ലോഗരിതം ആയി എഴുതുന്നു, നമുക്ക് ലോഗ് 2 (1/32) = -5 ലഭിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ആകർഷകമായ വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് "ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയം. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ പഠിച്ച ഉടൻ തന്നെ അൽപ്പം താഴെയായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെയാണെന്നും അവയെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചറിയാമെന്നും നോക്കാം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു: ലോഗ് 2 (x-1) > 3 - ഇതാണ് ലോഗരിഥമിക് അസമത്വം, "x" എന്ന അജ്ഞാത മൂല്യം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായതിനാൽ. കൂടാതെ പദപ്രയോഗത്തിൽ രണ്ട് അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു: അടിസ്ഥാന രണ്ടിൽ ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം മൂന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വ്യത്യാസം, ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, 2 x = √9 ന്റെ ലോഗരിതം) ഉത്തരത്തിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് ശ്രേണിയും സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളും ഈ പ്രവർത്തനത്തെ തകർക്കുന്ന പോയിന്റുകളും. അനന്തരഫലമായി, ഉത്തരം സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിലെന്നപോലെ വ്യക്തിഗത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ലളിതമായ കൂട്ടമല്ല, മറിച്ച് തുടർച്ചയായ ശ്രേണി അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടമാണ്.

ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ച അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രാകൃത ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ അറിയാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾ വരുമ്പോൾ, ഒന്നാമതായി, ലോഗരിതത്തിന്റെ എല്ലാ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുകയും പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പിന്നീട് പരിചയപ്പെടും, ആദ്യം ഓരോ പ്രോപ്പർട്ടിയും കൂടുതൽ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യാം.

1. അടിസ്ഥാന ഐഡന്റിറ്റി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a logaB =B. a 0-നേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിന് തുല്യമല്ലാത്തതും B പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് ബാധകമാകൂ.
2. ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുൻവ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: d, s 1, s 2 > 0; a≠1. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഈ ഫോർമുലയ്ക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരവും സഹിതം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തെളിവ് നൽകാം. a s 1 = f 1 ലോഗ് ചെയ്യട്ടെ, a s 2 = f 2 ലോഗിൻ ചെയ്യാം, തുടർന്ന് a f1 = s 1, a f2 = s 2. നമുക്ക് s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ) ലഭിക്കും. ), കൂടാതെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്: ലോഗ് a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, അത് തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതായിരുന്നു.
3. ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിലുള്ള സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു: ലോഗ് a q b n = n / q log a b.

ഈ ഫോർമുലയെ "ലോഗരിതം ഡിഗ്രിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് സാധാരണ ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകളോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്, ഇത് അതിശയിക്കാനില്ല, കാരണം എല്ലാ ഗണിതവും സാധാരണ പോസ്റ്റുലേറ്റുകളിൽ നിലകൊള്ളുന്നു. തെളിവ് നോക്കാം.

ഒരു b \u003d t ലോഗ് ചെയ്യട്ടെ, അത് ഒരു t \u003d b ആയി മാറുന്നു. നിങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വൈദ്യുതിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ m: a tn = b n ;

എന്നാൽ a tn = (a q) nt/q = b n ആയതിനാൽ, a q b n = (n*t)/t ലോഗിൻ ചെയ്യുക, തുടർന്ന് a q b n = n/q ലോഗ് a b ലോഗ് ചെയ്യുക. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

പ്രശ്നങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങൾ. മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്ന പുസ്തകങ്ങളിലും അവ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷകളുടെ നിർബന്ധിത ഭാഗത്തിലും അവ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരു സർവ്വകലാശാലയിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ വിജയിക്കുന്നതിനോ, അത്തരം ജോലികൾ എങ്ങനെ ശരിയായി പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ അജ്ഞാത മൂല്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനും നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുമായി ഒരൊറ്റ പ്ലാനോ സ്കീമോ ഇല്ല, എന്നിരുന്നാലും, ഓരോ ഗണിത അസമത്വത്തിനും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനും ചില നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ആദ്യം, പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാനോ ചുരുക്കാനോ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം പൊതുവായ കാഴ്ച. നിങ്ങൾ അവയുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ശരിയായി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ദൈർഘ്യമേറിയ ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമാക്കാം. നമുക്ക് അവരെ ഉടൻ പരിചയപ്പെടാം.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് മുന്നിൽ ഏത് തരത്തിലുള്ള ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അല്ലെങ്കിൽ ദശാംശം അടങ്ങിയിരിക്കാം.

ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ln100, ln1026. അടിസ്ഥാന 10 യഥാക്രമം 100, 1026 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ അളവ് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് അവരുടെ പരിഹാരം തിളച്ചുമറിയുന്നു. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾക്കായി, ഒരാൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റികൾഅല്ലെങ്കിൽ അവരുടെ സ്വത്തുക്കൾ. വിവിധ തരത്തിലുള്ള ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം: ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളിൽ പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

1. ബി എന്ന സംഖ്യയുടെ വലിയ മൂല്യം ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ ആവശ്യമായ ടാസ്ക്കുകളിൽ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 4 + ലോഗ് 2 128 = ലോഗ് 2 (4*128) = ലോഗ് 2 512. ഉത്തരം 9 ആണ്.
2. ലോഗ് 4 8 = ലോഗ് 2 2 2 3 = 3/2 ലോഗ് 2 2 = 1.5 - നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതം ഡിഗ്രിയുടെ നാലാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ സങ്കീർണ്ണവും പരിഹരിക്കാനാകാത്തതുമായ ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു. അടിസ്ഥാനം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌ത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ചുമതലകൾ

പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ ലോഗരിതം പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് യൂണിഫൈഡ് സ്റ്റേറ്റ് പരീക്ഷയിൽ (എല്ലാ സ്കൂൾ ബിരുദധാരികൾക്കും സംസ്ഥാന പരീക്ഷ) ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങൾ ധാരാളം. സാധാരണയായി ഈ ടാസ്ക്കുകൾ ഭാഗം എയിൽ മാത്രമല്ല (ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ളത് പരീക്ഷണ ഭാഗംപരീക്ഷ), മാത്രമല്ല ഭാഗം സിയിലും (ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും വലുതുമായ ജോലികൾ). "നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൃത്യവും പരിപൂർണ്ണവുമായ അറിവ് പരീക്ഷ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രശ്‌ന പരിഹാരങ്ങളും ഉദ്യോഗസ്ഥനിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ് ഓപ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുക. അത്തരം ജോലികൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് നോക്കാം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗ് 2 (2x-1) = 4. പരിഹാരം:
നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ വീണ്ടും എഴുതാം, അതിനെ ഒരു ചെറിയ ലോഗ് 2 (2x-1) = 2 2 എന്ന് ലളിതമാക്കി, ലോഗരിതം നിർവചിച്ചാൽ നമുക്ക് 2x-1 = 2 4 ലഭിക്കും, അതിനാൽ 2x = 17; x = 8.5.

• എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അതിനാൽ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതുമല്ല.
• ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ എക്‌സ്‌പോണന്റ് പുറത്തെടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലും അതിന്റെ അടിസ്ഥാനമായും, ലോഗരിതത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം.