ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം, വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം, ഉദാഹരണങ്ങൾ
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. യഥാർത്ഥ, ഒന്നിലധികം, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുടെ കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഫാക്ടറൈസേഷൻ. ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം. വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനും ഫാക്ടറൈസേഷൻ ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.
അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(1)
.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ(1) സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
;
.
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ സംയോജിപ്പിക്കാം:
.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അറിയപ്പെടുമ്പോൾ, രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദത്തെ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (ഘടകം):
.
കൂടാതെ, അത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു.
പരിഗണിക്കുക ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം:
.
വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
;
.
അപ്പോൾ സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഫാക്ടറൈസേഷന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
.
വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് മൾട്ടിപ്പിൾ (തുല്യ) യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
.
ഫാക്ടറൈസേഷൻ:
.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത വേരുകളുണ്ട്:
;
.
ഇവിടെ സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്, ;
വേരുകളുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ ഇവയാണ്:
;
.
പിന്നെ
.
ഗ്രാഫിക് വ്യാഖ്യാനം
പണിയുകയാണെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്
,
ഇത് ഒരു പരവലയമാണ്, അപ്പോൾ ഗ്രാഫിന്റെ അച്ചുതണ്ടിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കും
.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തെ (അക്ഷം) രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് ഒരു ബിന്ദുവിൽ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് x-അക്ഷം കടക്കുന്നില്ല.
അത്തരം ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഉപയോഗപ്രദമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം
ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (f.1), (f.3):
,
എവിടെ
;
.
അതിനാൽ, രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയലിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ഫോമിൽ ലഭിച്ചു:
.
ഇതിൽ നിന്ന് സമവാക്യം മനസ്സിലാക്കാം
ചെയ്തത്
ഒപ്പം .
അതായത്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്
.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ
ഉദാഹരണം 1
(1.1)
.
പരിഹാരം
.
ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (1.1), ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം കണ്ടെത്തൽ:
.
വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
;
;
.
ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന്റെ വിഘടനം ഘടകങ്ങളായി ലഭിക്കുന്നു:
.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് y = 2 x 2 + 7 x + 3രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ x-അക്ഷം കടക്കുന്നു.
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ x-അക്ഷം (അക്ഷം) കടക്കുന്നു:
ഒപ്പം .
ഈ പോയിന്റുകളാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ (1.1) വേരുകൾ.
ഉത്തരം
;
;
.
ഉദാഹരണം 2
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
(2.1)
.
പരിഹാരം
ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതുന്നു പൊതുവായ കാഴ്ച:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യവുമായി (2.1) താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം കണ്ടെത്തൽ:
.
വിവേചനം പൂജ്യമായതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് ഒന്നിലധികം (തുല്യ) വേരുകളുണ്ട്:
;
.
അപ്പോൾ ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഘടകവൽക്കരണത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് y = x 2 - 4 x + 4ഒരു ബിന്ദുവിൽ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ x-അക്ഷത്തിൽ (അക്ഷം) സ്പർശിക്കുന്നു:
.
ഈ പോയിന്റാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് (2.1). ഈ റൂട്ട് രണ്ടുതവണ ഘടകം ആയതിനാൽ:
,
അപ്പോൾ അത്തരമൊരു റൂട്ടിനെ മൾട്ടിപ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ടെന്ന് അവർ കരുതുന്നു:
.
ഉത്തരം
;
.
ഉദാഹരണം 3
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
(3.1)
.
പരിഹാരം
ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:
(1)
.
നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യം (3.1) വീണ്ടും എഴുതാം:
.
(1) മായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം കണ്ടെത്തൽ:
.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, . അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല.
നിങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:
;
;
.
പിന്നെ
.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷം കടക്കുന്നില്ല. യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് abscissa (അക്ഷം) കടക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല.
ഉത്തരം
യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല. സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ:
;
;
.
വീഡിയോ പാഠം 2: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
പ്രഭാഷണം: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ
സമവാക്യം
സമവാക്യം- ഇത് ഒരുതരം സമത്വമാണ്, അതിന്റെ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ ഉണ്ട്.
സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക- ശരിയായ സമത്വത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം അത്തരമൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
ഒരു സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടാകാം, ഒന്നിലധികം, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല.
ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അത് ഫോമിലേക്ക് കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കണം:
ലീനിയർ: a*x = b;
സമചതുരം Samachathuram: a*x 2 + b*x + c = 0.
അതായത്, പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പുള്ള ഏത് സമവാക്യവും ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം.
ഏത് സമവാക്യവും രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: അനലിറ്റിക്കൽ, ഗ്രാഫിക്കൽ.
ഗ്രാഫിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ഗ്രാഫ് x-ആക്സിസിനെ വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളായി കണക്കാക്കുന്നു.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ
ഒരു സമവാക്യം ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, അത് രൂപമെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ അതിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കാം:
a*x 2 + b*x + c = 0.
അതിൽ എ, ബി, സിപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്. എ "എക്സ്"- സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പരിഹാരവുമില്ലെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരുകൾ സമാനമായിരിക്കാം.
"എ"- ചതുരത്തിൽ റൂട്ടിന് മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന ഗുണകം.
"ബി"- ഒന്നാം ഡിഗ്രിയിൽ അജ്ഞാതരുടെ മുന്നിൽ നിൽക്കുന്നു.
"കൂടെ"- സമവാക്യത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദം.
ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ:
2x 2 -5x+3=0
അതിൽ, "2" എന്നത് സമവാക്യത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന പദത്തിലെ ഗുണകമാണ്, "-5" രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമാണ്, "3" എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദമാണ്.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ, വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചും വിവേചനം ഉപയോഗിച്ചും പരിഹാരം പഠിക്കുന്നു.
വിവേചനപരമായ പരിഹാരം:
ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ രീതിഫോർമുല അനുസരിച്ച് വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:
കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കിടയിൽ വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, തുകയുടെ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിലേക്ക് ബഹുപദം ചുരുക്കാം. എന്നിട്ട് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പോലെ പരിഹരിക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:
വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കണം:
വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം
സമവാക്യം കുറയുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, ഉയർന്ന പദത്തിലെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം.
അതിനാൽ സമവാക്യം ഇതാണെന്ന് പറയാം:
സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു:
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന് നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, അതിന്റെ രൂപം ഗുണകങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
1. രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ (b=0, c=0), അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:
ഈ സമവാക്യം ഉണ്ടാകും തീരുമാനം മാത്രം. സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ സമത്വം സത്യമാകൂ.
"സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക" എന്ന വിഷയത്തിന്റെ തുടർച്ചയായി, ഈ ലേഖനത്തിലെ മെറ്റീരിയൽ നിങ്ങളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തും.
നമുക്ക് എല്ലാം വിശദമായി പരിഗണിക്കാം: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സത്തയും നൊട്ടേഷനും, അനുബന്ധ നിബന്ധനകൾ സജ്ജമാക്കുക, അപൂർണ്ണവും സമ്പൂർണ്ണവുമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം വിശകലനം ചെയ്യുക, വേരുകളുടെയും വിവേചനത്തിന്റെയും സൂത്രവാക്യം പരിചയപ്പെടുക, വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുക, തീർച്ചയായും. പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ഒരു ദൃശ്യ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നൽകും.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അതിന്റെ തരങ്ങൾ
നിർവ്വചനം 1ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎന്നാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം a x 2 + b x + c = 0, എവിടെ x- വേരിയബിൾ, a , b കൂടാതെ സിചില സംഖ്യകളാണ്, അതേസമയം എപൂജ്യമല്ല.
മിക്കപ്പോഴും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം വാസ്തവത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ്.
നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, മുതലായവ. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ്.
നിർവ്വചനം 2
എ, ബി, എന്നീ സംഖ്യകൾ സിക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ് a x 2 + b x + c = 0, ഗുണകം സമയത്ത് എ x 2-ൽ ആദ്യത്തേത്, അല്ലെങ്കിൽ സീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ കോഫിഫിഷ്യന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, b - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, അല്ലെങ്കിൽ ഗുണകം x, എ സിഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗത്തെ വിളിച്ചു.
ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗുണകം 6 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം − 2 , കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ് − 11 . എപ്പോൾ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന വസ്തുത നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം ബികൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ c നെഗറ്റീവ് ആണ്, അപ്പോൾ ഹ്രസ്വ രൂപംഫോമിന്റെ രേഖകൾ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, പക്ഷേ അല്ല 6 x 2 + (− 2) x + (- 11) = 0.
നമുക്ക് ഈ വശവും വ്യക്തമാക്കാം: ഗുണകങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ എകൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ബിതുല്യമായ 1 അഥവാ − 1 , തുടർന്ന് അവർ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ റെക്കോർഡിംഗിൽ വ്യക്തമായ ഒരു പങ്കുവഹിച്ചേക്കില്ല, ഇത് സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിന്റെ പ്രത്യേകതകളാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ y 2 - y + 7 = 0മുതിർന്ന ഗുണകം 1 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം − 1 .
കുറച്ചതും അല്ലാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ
ആദ്യ ഗുണകത്തിന്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ കുറച്ചതും അല്ലാത്തതുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 3
കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംമുൻനിര ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്. മുൻനിര ഗുണകത്തിന്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കുറയുന്നില്ല.
ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ x 2 - 4 x + 3 = 0 , x 2 - x - 4 5 = 0 കുറയുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും മുൻനിര ഗുണകം 1 ആണ്.
9 x 2 - x - 2 = 0- കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ആദ്യ ഗുണകം വ്യത്യസ്തമാണ് 1 .
ഏത് നോൺ-റിഡ്യൂസ്ഡ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആദ്യത്തെ ഗുണകം (തുല്യമായ പരിവർത്തനം) കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു കുറഞ്ഞ സമവാക്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന നോൺ-കുറക്കാത്ത സമവാക്യത്തിന്റെ അതേ വേരുകളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.
പരിഗണന കേസ് പഠനംകുറയാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറഞ്ഞ ഒന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം ദൃശ്യപരമായി പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.
ഉദാഹരണം 1
6 x 2 + 18 x - 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു . യഥാർത്ഥ സമവാക്യം കുറച്ച രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം
മുകളിലുള്ള സ്കീം അനുസരിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ഞങ്ങൾ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, ഇതും സമാനമാണ്: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0കൂടാതെ കൂടുതൽ: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 .ഇവിടെ നിന്ന്: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . അങ്ങനെ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും.
ഉത്തരം: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ
നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ അത് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട് a ≠ 0. സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ് a x 2 + b x + c = 0കൃത്യമായി ചതുരമായിരുന്നു, മുതൽ a = 0അത് അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു b x + c = 0.
എവിടെ ഗുണകങ്ങൾ കേസിൽ ബിഒപ്പം സിപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഇത് വ്യക്തിഗതമായും സംയുക്തമായും സാധ്യമാണ്), ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 4
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് a x 2 + b x + c \u003d 0,എവിടെയെങ്കിലും ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന് ബിഒപ്പം സി(അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും) പൂജ്യമാണ്.
സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎല്ലാ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾക്ക് അത്തരം പേരുകൾ കൃത്യമായി നൽകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് ചർച്ച ചെയ്യാം.
b = 0 ന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു a x 2 + 0 x + c = 0, അത് സമാനമാണ് a x 2 + c = 0. ചെയ്തത് c = 0ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു a x 2 + b x + 0 = 0, ഏത് തുല്യമാണ് a x 2 + b x = 0. ചെയ്തത് b = 0ഒപ്പം c = 0സമവാക്യം രൂപമെടുക്കും a x 2 = 0. നമുക്ക് ലഭിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അവയുടെ ഇടത് വശങ്ങളിൽ x എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദമോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും ഒരേസമയം അടങ്ങിയിട്ടില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ വസ്തുതയാണ് ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പേര് നൽകിയത് - അപൂർണ്ണമാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 + 3 x + 4 = 0, - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 എന്നിവ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 x = 0 അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ സഹായിക്കുന്നു:
- a x 2 = 0, ഗുണകങ്ങൾ അത്തരമൊരു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു b = 0കൂടാതെ c = 0 ;
- b \u003d 0 ന് a x 2 + c \u003d 0;
- a x 2 + b x = 0 for c = 0 .
ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം തുടർച്ചയായി പരിഗണിക്കുക.
a x 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം
മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഗുണകങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ബിഒപ്പം സി, പൂജ്യത്തിന് തുല്യം. സമവാക്യം a x 2 = 0ഒരു തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും x2 = 0, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് എന്നതാണ് വ്യക്തമായ വസ്തുത x2 = 0കാരണം പൂജ്യമാണ് 0 2 = 0 . ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഇത് ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു: ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും പി ,പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അസമത്വം സത്യമാണ് p2 > 0, അതിൽ നിന്ന് അത് എപ്പോൾ എന്ന് പിന്തുടരുന്നു p ≠ 0സമത്വം p2 = 0ഒരിക്കലും എത്തിച്ചേരുകയില്ല.
നിർവ്വചനം 5
അങ്ങനെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു x 2 = 0, ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട് x=0.
ഉദാഹരണം 2
ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം − 3 x 2 = 0. ഇത് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് x2 = 0, അതിന്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് x=0, അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട് - പൂജ്യം.
പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംഗ്രഹിച്ചിരിക്കുന്നു:
− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.
a x 2 + c \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം
വരിയിൽ അടുത്തത് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമാണ്, ഇവിടെ b \u003d 0, c ≠ 0, അതായത് ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ a x 2 + c = 0. സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പദത്തെ മാറ്റിക്കൊണ്ട്, ചിഹ്നം എതിർവശത്തേക്ക് മാറ്റി, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
- സഹിക്കുക സിസമവാക്യം നൽകുന്ന വലതുവശത്തേക്ക് a x 2 = - c;
- സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുക എ, നമുക്ക് x = - c a ഫലമായി ലഭിക്കും.
ഞങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ യഥാക്രമം തുല്യമാണ്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യവും യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമാണ്, ഈ വസ്തുത സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. മൂല്യങ്ങൾ എന്തിൽ നിന്നാണ് എഒപ്പം സിപദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു - c a: ഇതിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടാകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ a = 1ഒപ്പം c = 2, പിന്നെ - c a = - 2 1 = - 2) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം (ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ a = -2ഒപ്പം c=6, പിന്നെ - c a = - 6 - 2 = 3); അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല കാരണം c≠ 0. എപ്പോൾ സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി നമുക്ക് താമസിക്കാം - സി എ< 0 и - c a > 0 .
കേസിൽ എപ്പോൾ - സി എ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа പിതുല്യത p 2 = - c a സത്യമായിരിക്കില്ല.
എപ്പോൾ എല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ് - c a > 0: സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഓർമ്മിക്കുക, x 2 \u003d - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് സംഖ്യയായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാകും - c a, മുതൽ - c a 2 \u003d - c a. x 2 = - c a: തീർച്ചയായും, - - c a 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലവും -- c a - എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.
സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. വിപരീത രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് തെളിയിക്കാം. ആദ്യം, മുകളിൽ കാണുന്ന വേരുകളുടെ നൊട്ടേഷൻ ഇങ്ങനെ സെറ്റ് ചെയ്യാം x 1ഒപ്പം − x 1. x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിനും ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം x2, വേരുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് x 1ഒപ്പം − x 1. എന്നതിനുപകരം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ അത് നമുക്കറിയാം xഅതിന്റെ വേരുകൾ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ ന്യായമായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു.
വേണ്ടി x 1ഒപ്പം − x 1എഴുതുക: x 1 2 = - c a , കൂടാതെ x2- x 2 2 \u003d - c a. സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു യഥാർത്ഥ സമത്വം മറ്റൊരു പദത്തിൽ നിന്ന് ടേം പ്രകാരം ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു, അത് നമുക്ക് നൽകും: x 1 2 - x 2 2 = 0. അവസാനത്തെ തുല്യത ഇതായി മാറ്റിയെഴുതാൻ നമ്പർ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുക (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം പൂജ്യമാണെന്ന് അറിയാം, കുറഞ്ഞത് ഒരു സംഖ്യയെങ്കിലും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, അത് പിന്തുടരുന്നു x1 - x2 = 0കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x1 + x2 = 0, അത് സമാനമാണ് x2 = x1കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 2 = - x 1. വ്യക്തമായ ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ഉടലെടുത്തു, കാരണം സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് ആദ്യം സമ്മതിച്ചു x2നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് x 1ഒപ്പം − x 1. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് x = - c a, x = - - c a എന്നിവയല്ലാതെ മറ്റൊരു വേരുകളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.
മുകളിലുള്ള എല്ലാ വാദങ്ങളും ഞങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 6
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + c = 0 x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത്:
- - സി എയിൽ വേരുകളുണ്ടാകില്ല< 0 ;
- x = - c a, x = - - c a എപ്പോൾ - c a > 0 എന്നീ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം a x 2 + c = 0.
ഉദാഹരണം 3
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകി 9 x 2 + 7 = 0 .അതിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം
ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം കൈമാറുന്നു, തുടർന്ന് സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും 9 x 2 \u003d - 7.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നു 9
, ഞങ്ങൾ x 2 = - 7 9 ലേക്ക് വരുന്നു. വലതുവശത്ത് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതിനർത്ഥം: നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 9 x 2 + 7 = 0വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല.
ഉത്തരം:സമവാക്യം 9 x 2 + 7 = 0വേരുകളില്ല.
ഉദാഹരണം 4
സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് − x2 + 36 = 0.
പരിഹാരം
നമുക്ക് 36 വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം: − x 2 = - 36.
നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കാം − 1
, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x2 = 36. വലതു വശത്ത് - പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അതിനാൽ അത് നിഗമനം ചെയ്യാം
x = 36 അല്ലെങ്കിൽ
x = - 36 .
ഞങ്ങൾ റൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്റ്റുചെയ്ത് അന്തിമ ഫലം എഴുതുന്നു: അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം − x2 + 36 = 0രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട് x=6അഥവാ x = -6.
ഉത്തരം: x=6അഥവാ x = -6.
a x 2 +b x=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം
നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെ തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം c = 0. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് a x 2 + b x = 0, ഞങ്ങൾ ഫാക്ടറൈസേഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പോളിനോമിയലിനെ നമുക്ക് ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യാം, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുത്ത് x. ഈ ഘട്ടം യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അതിന്റെ തുല്യതയിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് സാധ്യമാക്കും. x (a x + b) = 0. ഈ സമവാക്യം, സമവാക്യങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിന് തുല്യമാണ് x=0ഒപ്പം a x + b = 0. സമവാക്യം a x + b = 0രേഖീയവും അതിന്റെ റൂട്ടും: x = - b a.
നിർവ്വചനം 7
അങ്ങനെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + b x = 0രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും x=0ഒപ്പം x = - b a.
ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കാം.
ഉദാഹരണം 5
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം
നമുക്ക് പുറത്തെടുക്കാം xബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം നേടുക. ഈ സമവാക്യം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് x=0കൂടാതെ 2 3 x - 2 2 7 = 0 . ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .
ചുരുക്കത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 3 3 7
ഉത്തരം: x = 0, x = 3 3 7 .
വിവേചനപരമായ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, ഒരു റൂട്ട് ഫോർമുലയുണ്ട്:
നിർവ്വചനം 8
x = - b ± D 2 a, എവിടെ D = b 2 - 4 a cഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്.
x \u003d - b ± D 2 a എന്ന് എഴുതുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a എന്നാണ്.
സൂചിപ്പിച്ച സൂത്രവാക്യം എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്നും അത് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്നും മനസിലാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനുള്ള ചുമതലയാണ് നമ്മൾ നേരിടുന്നതെന്ന് കരുതുക a x 2 + b x + c = 0. നമുക്ക് തുല്യമായ നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:
- സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എ, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
- ഒറ്റയ്ക്ക് പൂർണ്ണ ചതുരംതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത്:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0; - ഇപ്പോൾ അവസാനത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു, അതിനുശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- അവസാനമായി, അവസാന സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് എഴുതിയ പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.
അങ്ങനെ, നമ്മൾ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് എത്തി, ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. a x 2 + b x + c = 0.
മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിൽ (അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം) അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു. ഇതിനകം നേടിയ അനുഭവം x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു:
- b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, സമവാക്യത്തിന് x + b 2 · a 2 = 0 എന്ന രൂപമുണ്ട്, തുടർന്ന് x + b 2 · a = 0.
ഇവിടെ നിന്ന്, ഒരേയൊരു റൂട്ട് x = - b 2 · a വ്യക്തമാണ്;
- b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 എന്നതിന്, ശരിയായത് ഇതാണ്: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 അല്ലെങ്കിൽ x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ഇതാണ് x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 അല്ലെങ്കിൽ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, i.e. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.
x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം) എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം b 2 - 4 a c എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം. 4 · a 2 വലതുവശത്ത് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളം നൽകുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ അടയാളമാണ്, (ഡിനോമിനേറ്റർ 4 എ 2എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും), അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളം b 2 - 4 a c. ഈ പ്രയോഗം b 2 - 4 a cഒരു പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നു - ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനവും D എന്ന അക്ഷരവും അതിന്റെ പദവിയായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനത്തിന്റെ സാരാംശം എഴുതാം - അതിന്റെ മൂല്യവും അടയാളവും അനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമോ എന്ന് അവർ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, എത്ര വേരുകൾ - ഒന്നോ രണ്ടോ.
നമുക്ക് x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് മാറ്റിയെഴുതാം: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
നമുക്ക് നിഗമനങ്ങൾ വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം:
നിർവ്വചനം 9
- ചെയ്തത് ഡി< 0 സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല;
- ചെയ്തത് D=0സമവാക്യത്തിന് x = - b 2 · a എന്ന ഒറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്;
- ചെയ്തത് ഡി > 0സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. റാഡിക്കലുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ വേരുകൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: x \u003d - b 2 a + D 2 a or - b 2 a - D 2 a. ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളുകൾ തുറന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.
അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ യുക്തിയുടെ ഫലം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉത്ഭവമായിരുന്നു:
x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , വിവേചനം ഡിഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു D = b 2 - 4 a c.
വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധ്യമാക്കുന്നു. വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരേയൊരു പരിഹാരമായി ഒരേ റൂട്ട് നൽകും. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, എക്സ്ട്രാക്റ്റുചെയ്യേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കും. സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന്, അത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് നമ്മെ കൊണ്ടുപോകും. ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനത്തോടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല, എന്നാൽ നമുക്ക് ലഭിച്ച അതേ റൂട്ട് ഫോർമുലകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ജോടി സങ്കീർണ്ണ സംയോജന വേരുകൾ സാധ്യമാണ്.
റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉടനടി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ അടിസ്ഥാനപരമായി ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ ചെയ്യുന്നു.
മിക്ക കേസുകളിലും, തിരയൽ സാധാരണയായി സങ്കീർണ്ണമായവയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾക്കായാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് ഒപ്റ്റിമൽ ആണ്, ആദ്യം വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുകയും അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുക (അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യും), തുടർന്ന് കണക്കുകൂട്ടാൻ തുടരുക. വേരുകളുടെ മൂല്യം.
മുകളിലെ ന്യായവാദം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 10
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ a x 2 + b x + c = 0, അത്യാവശ്യമാണ്:
- ഫോർമുല പ്രകാരം D = b 2 - 4 a cവിവേചനക്കാരന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക;
- ഡിയിൽ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0 എന്നതിന് x = - b 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ ഏക റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക;
- D > 0 എന്നതിന്, x = - b ± D 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.
വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് x = - b ± D 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം, അത് x = - b 2 · a എന്ന ഫോർമുലയുടെ അതേ ഫലം നൽകും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ
അതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഹാരം നൽകാം വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾവിവേചനം.
ഉദാഹരണം 6
സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് x 2 + 2 x - 6 = 0.
പരിഹാരം
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: a \u003d 1, b \u003d 2 ഒപ്പം c = - 6. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അതായത്. നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങാം, അതിനായി ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ a , b മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഒപ്പം സിവിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക്: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .
അതിനാൽ, നമുക്ക് D > 0 ലഭിച്ചു, അതായത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല x \u003d - b ± D 2 · a ഉപയോഗിക്കുന്നു കൂടാതെ, ഉചിതമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഘടകം എടുത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നു:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 അല്ലെങ്കിൽ x = - 1 - 7
ഉത്തരം: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .
ഉദാഹരണം 7
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.
പരിഹാരം
നമുക്ക് വിവേചനം നിർവചിക്കാം: D = 28 2 - 4 (− 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. വിവേചനത്തിന്റെ ഈ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് x = - b 2 · a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.
x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5
ഉത്തരം: x = 3, 5.
ഉദാഹരണം 8
സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
പരിഹാരം
ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഇതായിരിക്കും: a = 5 , b = 6, c = 2 . വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = − 4 . കണക്കാക്കിയ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.
സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതലയെങ്കിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു:
x \u003d - 6 ± - 4 2 5,
x \u003d - 6 + 2 i 10 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 i അല്ലെങ്കിൽ x = - 3 5 - 1 5 i .
ഉത്തരം:യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല; സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ഇവയാണ്: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .
IN സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസ്ഥിരസ്ഥിതിയായി, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾക്കായി നോക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, അതിനാൽ, പരിഹാര സമയത്ത് വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് നിർണ്ണയിച്ചാൽ, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന ഉത്തരം ഉടൻ രേഖപ്പെടുത്തും.
രണ്ടാമത്തെ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള റൂട്ട് ഫോർമുല
റൂട്ട് ഫോർമുല x = - b ± D 2 a (D = b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a c) മറ്റൊരു ഫോർമുല, കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളത്, x-ൽ ഇരട്ട ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച്. ഫോമിന്റെ 2 a n, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 അല്ലെങ്കിൽ 14 ln 5 = 2 7 ln 5). ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.
a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതലയാണ് നമ്മൾ നേരിടുന്നതെന്ന് കരുതുക. ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു: ഞങ്ങൾ വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) , തുടർന്ന് റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:
x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · സി എ.
n 2 - a c എന്ന പദപ്രയോഗം D 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കട്ടെ (ചിലപ്പോൾ ഇത് D " എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും). തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 n ഉള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും:
x \u003d - n ± D 1 a, ഇവിടെ D 1 \u003d n 2 - a c.
D = 4 · D 1 അല്ലെങ്കിൽ D 1 = D 4 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡി 1 എന്നത് വിവേചനത്തിന്റെ നാലിലൊന്നാണ്. വ്യക്തമായും, D 1 ന്റെ അടയാളം D യുടെ ചിഹ്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് D 1 ന്റെ ചിഹ്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിന്റെയോ അഭാവത്തിന്റെയോ സൂചകമായി വർത്തിക്കും എന്നാണ്.
നിർവ്വചനം 11
അതിനാൽ, 2 n ന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്:
- D 1 = n 2 - a c കണ്ടെത്തുക;
- ഡി 1-ൽ< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0 എന്നതിന്, x = - n a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ ഏക റൂട്ട് നിർണ്ണയിക്കുക;
- D 1 > 0 എന്നതിന്, x = - n ± D 1 a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.
ഉദാഹരണം 9
5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം
തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 · (- 3) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അപ്പോൾ നമ്മൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x - 32 = 0, ഇവിടെ a = 5, n = - 3, c = − 32 എന്നിങ്ങനെ വീണ്ടും എഴുതുന്നു.
വിവേചനത്തിന്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. വേരുകളുടെ അനുബന്ധ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവയെ നിർവചിക്കുന്നു:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 അല്ലെങ്കിൽ x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ സാധിക്കും, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പരിഹാരം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായിരിക്കും.
ഉത്തരം: x = 3 1 5 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2 .
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിന്റെ ലളിതവൽക്കരണം
ചിലപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഇത് വേരുകൾ കണക്കുകൂട്ടുന്ന പ്രക്രിയ ലളിതമാക്കും.
ഉദാഹരണത്തിന്, 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 എന്നതിനേക്കാൾ 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
മിക്കപ്പോഴും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിന്റെ ലളിതവൽക്കരണം അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താണ് നടത്തുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ഞങ്ങൾ 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ലളിതമായ പ്രാതിനിധ്യം കാണിച്ചു, അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ പരസ്പരം അല്ലാത്തപ്പോൾ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം സാധ്യമാണ് പ്രധാന സംഖ്യകൾ. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഏറ്റവും വലുത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതാണ് പതിവ് പൊതു വിഭജനംഅതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യങ്ങൾ.
ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് അതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ജിസിഡി നിർവചിക്കാം: gcd (12 , 42 , 48) = gcd (gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് 2 · x 2 - 7 · x + 8 = 0 എന്ന തുല്യ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാം.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, ഫ്രാക്ഷണൽ ഗുണകങ്ങൾ സാധാരണയായി ഒഴിവാക്കപ്പെടും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഓരോ ഭാഗവും 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 LCM (6, 3, 1) \u003d 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് കൂടുതൽ എഴുതപ്പെടും. ലളിതമായ രൂപം x 2 + 4 x - 18 = 0 .
അവസാനമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ആദ്യ ഗുണകത്തിലെ മൈനസ് ഒഴിവാക്കുക, സമവാക്യത്തിന്റെ ഓരോ പദത്തിന്റെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു, ഇത് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും − 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിച്ചാൽ) കൈവരിക്കാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ലളിതമായ പതിപ്പ് 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 ലേക്ക് പോകാം.
വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല x = - b ± D 2 · a സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അതിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഈ സൂത്രവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വേരുകൾക്കും ഗുണകങ്ങൾക്കുമിടയിൽ മറ്റ് ഡിപൻഡൻസികൾ സജ്ജമാക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവസരമുണ്ട്.
വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ് ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധവും ബാധകവും:
x 1 + x 2 \u003d - b a, x 2 \u003d c a.
പ്രത്യേകിച്ചും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, അതിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 3 ആണെന്നും വേരുകളുടെ ഗുണം 22 3 ആണെന്നും ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് നിരവധി ബന്ധങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക
പലരും കാരണം ഈ വിഷയം ആദ്യം ബുദ്ധിമുട്ടായി തോന്നിയേക്കാം ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തന്നെ ദൈർഘ്യമേറിയ എൻട്രികൾ ഉണ്ടെന്ന് മാത്രമല്ല, വിവേചനത്തിലൂടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ആകെ മൂന്ന് പുതിയ ഫോർമുലകളുണ്ട്. ഓർക്കാൻ അത്ര എളുപ്പമല്ല. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പതിവ് പരിഹാരത്തിന് ശേഷമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അപ്പോൾ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും സ്വയം ഓർമ്മിക്കപ്പെടും.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച
ഇവിടെ അവരുടെ വ്യക്തമായ നൊട്ടേഷൻ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു, ഏറ്റവും വലിയ ബിരുദം ആദ്യം എഴുതുമ്പോൾ, തുടർന്ന് - അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ. നിബന്ധനകൾ വേറിട്ടുനിൽക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. അപ്പോൾ വേരിയബിളിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്.
നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. അവ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഞങ്ങൾ ഈ നൊട്ടേഷനുകൾ അംഗീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.
മാത്രമല്ല, ഗുണകം a ≠ 0. ഈ ഫോർമുലയെ നമ്പർ വൺ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കട്ടെ.
സമവാക്യം നൽകുമ്പോൾ, ഉത്തരത്തിൽ എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് വ്യക്തമല്ല. കാരണം മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്:
- പരിഹാരത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും;
- ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യ ആയിരിക്കും;
- സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ല.
തീരുമാനം അവസാനിപ്പിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഒരു പ്രത്യേക കേസിൽ ഏത് ഓപ്ഷനാണ് വീഴുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രേഖകളുടെ തരങ്ങൾ
ടാസ്ക്കുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത എൻട്രികൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അവ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം പോലെ കാണില്ല. ചിലപ്പോൾ അതിന് ചില നിബന്ധനകൾ കുറവായിരിക്കും. മുകളിൽ എഴുതിയത് സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യമാണ്. അതിൽ രണ്ടാമത്തെയോ മൂന്നാമത്തെയോ ടേം നീക്കം ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്തെങ്കിലും ലഭിക്കും. ഈ റെക്കോർഡുകളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, അപൂർണ്ണമാണ്.
മാത്രമല്ല, "b", "c" എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമാകാൻ കഴിയുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രം. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും "a" എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകരുത്. കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫോർമുല ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ അപൂർണ്ണമായ രൂപത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:
അതിനാൽ, രണ്ട് തരങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, പൂർണ്ണമായവയ്ക്ക് പുറമേ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. ആദ്യത്തെ സൂത്രവാക്യം നമ്പർ രണ്ട് ആയിരിക്കട്ടെ, രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ മൂന്ന്.
വിവേചനവും അതിന്റെ മൂല്യത്തിൽ വേരുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വവും
സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഈ സംഖ്യ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം എന്തായാലും അത് എല്ലായ്പ്പോഴും കണക്കാക്കാം. വിവേചനം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ താഴെ എഴുതിയിരിക്കുന്ന തുല്യത ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ നാല് എന്ന അക്കമുണ്ട്.
ഈ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ലഭിക്കും വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ. ഉത്തരം അതെ എന്നാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളായിരിക്കും. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇല്ലാതാകും. ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം ഒന്നായിരിക്കും.
ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടും?
വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഗണന ഇതിനകം ആരംഭിച്ചു. കാരണം ആദ്യം നിങ്ങൾ വിവേചനക്കാരനെ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുണ്ടെന്നും അവയുടെ എണ്ണം അറിയാമെന്നും വ്യക്തമാക്കിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
അതിൽ "±" ചിഹ്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം വിവേചനമാണ്. അതിനാൽ, ഫോർമുല മറ്റൊരു രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം.
ഫോർമുല അഞ്ച്. വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകളും ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമെന്ന് ഒരേ റെക്കോർഡിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഇതുവരെ തയ്യാറാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, വിവേചനപരവും വേരിയബിൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്. പിന്നീട് ഈ നിമിഷം ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കില്ല. എന്നാൽ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ട്.
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടും?
ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. അധിക ഫോർമുലകളുടെ ആവശ്യമില്ല പോലും. വിവേചനം കാണിക്കുന്നവർക്കും അജ്ഞാതർക്കും വേണ്ടി ഇതിനകം എഴുതിയവ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമില്ല.
ആദ്യം, അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം നമ്പർ രണ്ട് പരിഗണിക്കുക. ഈ സമത്വത്തിൽ, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ മൂല്യം എടുത്ത് രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം, അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ തന്നെ തുടരും. ഉത്തരത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടാകും. ആദ്യത്തേത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കാരണം വേരിയബിളിൽ തന്നെ ഒരു ഘടകം ഉണ്ട്. ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചാണ് രണ്ടാമത്തേത് ലഭിക്കുന്നത്.
സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് വലത്തേക്ക് സംഖ്യ മാറ്റുന്നതിലൂടെ മൂന്നാം നമ്പറിലെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ അജ്ഞാതന്റെ മുന്നിലുള്ള ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്റ്റുചെയ്യാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളോടെ രണ്ടുതവണ എഴുതാൻ മറക്കരുത്.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളായി മാറുന്ന എല്ലാത്തരം തുല്യതകളും എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്. അശ്രദ്ധമൂലമുള്ള തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ വിദ്യാർത്ഥിയെ സഹായിക്കും. "ക്വാഡ്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ (ഗ്രേഡ് 8)" എന്ന വിപുലമായ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ ഈ പോരായ്മകൾ മോശം ഗ്രേഡുകളുടെ കാരണമാണ്. തുടർന്ന്, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിരന്തരം നടത്തേണ്ടതില്ല. കാരണം സ്ഥിരമായ ഒരു ശീലമുണ്ടാകും.
- ആദ്യം നിങ്ങൾ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. അതായത്, ആദ്യം വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ഡിഗ്രി ഉള്ള പദം, തുടർന്ന് - ഡിഗ്രി കൂടാതെ അവസാനത്തേത് - വെറും ഒരു സംഖ്യ.
- "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് മുമ്പ് ഒരു മൈനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു തുടക്കക്കാരന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ജോലി സങ്കീർണ്ണമാക്കും. അത് ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, എല്ലാ സമത്വവും "-1" കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. എല്ലാ നിബന്ധനകളും ചിഹ്നത്തെ വിപരീതമായി മാറ്റും എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
- അതേ രീതിയിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. സമവാക്യത്തെ ഉചിതമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതുവഴി ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ റദ്ദാക്കപ്പെടും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ
ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
ആദ്യ സമവാക്യം: x 2 - 7x \u003d 0. ഇത് അപൂർണ്ണമാണ്, അതിനാൽ ഫോർമുല നമ്പർ രണ്ട് വിവരിച്ചതുപോലെ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
ബ്രാക്കറ്റിംഗിന് ശേഷം, ഇത് മാറുന്നു: x (x - 7) \u003d 0.
ആദ്യത്തെ റൂട്ട് മൂല്യം എടുക്കുന്നു: x 1 = 0. രണ്ടാമത്തേത് ഇതിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തും രേഖീയ സമവാക്യം: x - 7 = 0. x 2 = 7 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം: 5x2 + 30 = 0. വീണ്ടും അപൂർണ്ണം. മൂന്നാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മാത്രമേ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.
സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് 30 ട്രാൻസ്ഫർ ചെയ്ത ശേഷം: 5x 2 = 30. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മാറുന്നു: x 2 = 6. ഉത്തരങ്ങൾ അക്കങ്ങളായിരിക്കും: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. ഇവിടെയും താഴെയും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം അവയെ വീണ്ടും എഴുതുന്നതിലൂടെ ആരംഭിക്കും സാധാരണ കാഴ്ച: - x 2 - 2x + 15 = 0. ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിക്കാനുള്ള സമയമായി ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപദേശംകൂടാതെ എല്ലാം മൈനസ് ഒന്ന് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഇത് x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ആയി മാറുന്നു. നാലാമത്തെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. ഇത് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അഞ്ചാമത്തെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് അവ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതനുസരിച്ച്, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. തുടർന്ന് x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
നാലാമത്തെ സമവാക്യം x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ഇതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. അതിന്റെ വിവേചനം ഈ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്: -23. ഈ നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, ഈ ടാസ്ക്കിനുള്ള ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി ആയിരിക്കും: "വേരുകളൊന്നുമില്ല."
12x + x 2 + 36 = 0 എന്ന അഞ്ചാമത്തെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതണം: x 2 + 12x + 36 = 0. വിവേചനത്തിന് ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഇതിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നാണ്, അതായത്: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
ആറാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിന് മുമ്പ് നിങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യത്തേതിന് പകരം അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ടാകും: x 2 + 2x + 1. തുല്യതയ്ക്ക് ശേഷം, ഈ എൻട്രി ദൃശ്യമാകും: x 2 + 3x + 2. സമാന പദങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x 2 - x \u003d 0. ഇത് അപൂർണ്ണമായി . ഇതിന് സമാനമായത് ഇതിനകം അൽപ്പം ഉയർന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇതിന്റെ വേരുകൾ 0, 1 എന്നീ സംഖ്യകളായിരിക്കും.
ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുക മാത്രമല്ല, പരിഹാര പ്രക്രിയ രണ്ട് തരത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
- വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്
- വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് (സാധ്യമെങ്കിൽ).
മാത്രമല്ല, ഉത്തരം കൃത്യമായി കാണിക്കുന്നു, ഏകദേശമല്ല.
ഉദാഹരണത്തിന്, \(81x^2-16x-1=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന്, ഉത്തരം ഈ രൂപത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും:
ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് നിയന്ത്രണ ജോലികൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പ് അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും ഉള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾ. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ എത്രയും വേഗം അത് പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതമോ ബീജഗണിതമോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.
അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും സ്വന്തം പരിശീലനംകൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ അവരുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനം, പരിഹരിക്കേണ്ട ചുമതലകളുടെ മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർധിപ്പിക്കുന്നു.
ഒരു സ്ക്വയർ പോളിനോമിയൽ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അവയുമായി പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
ഒരു ചതുര ബഹുപദം നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ
ഏത് ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്തിനും ഒരു വേരിയബിളായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണത്തിന്: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) തുടങ്ങിയവ.
സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായോ ഭിന്നസംഖ്യകളായോ നൽകാം.
മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു ദശാംശത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ മാത്രമല്ല, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലും നൽകാം.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം ഒരു ഡോട്ട് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലുള്ള ദശാംശങ്ങൾ നൽകാം: 2.5x - 3.5x^2
സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.
ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.
ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ആമ്പർസാൻഡ് ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ഫലം: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവതരിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗം ആദ്യം ലളിതമാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
തീരുമാനിക്കുക
ഈ ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ല.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.
പരിഹാരം ദൃശ്യമാകുന്നതിന് JavaScript പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കണം.
നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript എങ്ങനെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഇതാ.
കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കന്റ്...
നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.
ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:
കുറച്ച് സിദ്ധാന്തം.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും അതിന്റെ വേരുകളും. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ
ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
രൂപമുണ്ട്
\(ax^2+bx+c=0, \)
ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിൾ ആണ്, a, b, c എന്നിവ സംഖ്യകളാണ്.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ a = -1, b = 6, c = 1.4, രണ്ടാമത്തേതിൽ a = 8, b = -7, c = 0, മൂന്നാമത്തേതിൽ a = 1, b = 0, c = 4/9. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.
നിർവ്വചനം.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax 2 +bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ \(a \neq 0 \).
എ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്. a എന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യ ഗുണകം എന്നും b സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം എന്നും c സംഖ്യയെ തടസ്സപ്പെടുത്തൽ എന്നും വിളിക്കുന്നു.
ax 2 +bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളിലും, \(a \neq 0 \), x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ശക്തി ഒരു ചതുരമാണ്. അതിനാൽ പേര്: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ ഇടതുവശം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമായതിനാൽ.
x 2 ലെ ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളാണ്
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ax 2 +bx+c=0 കുറഞ്ഞത് ഒരു ഗുണകങ്ങൾ b അല്ലെങ്കിൽ c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിനാൽ, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 സമവാക്യങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്. അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ b=0, രണ്ടാമത്തേതിൽ c=0, മൂന്നാമത്തേതിൽ b=0, c=0.
അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് തരത്തിലാണ്:
1) ax 2 +c=0, ഇവിടെ \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, ഇവിടെ \(b \neq 0 \);
3) കോടാലി2=0.
ഈ ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം പരിഗണിക്കുക.
\(c \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +c=0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ഒരു കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
\(c \neq 0 \), തുടർന്ന് \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
\(-\frac(c)(a)>0 \) ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.
\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +bx=0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് അതിന്റെ ഇടതുവശം ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്ത് സമവാക്യം നേടുക
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (അറേ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
അതിനാൽ, \(b \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +bx=0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.
ax 2 \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഒറ്റ റൂട്ട് 0 ഉണ്ട്.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല
അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും സ്വതന്ത്ര പദവും പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം.
ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം ലഭിക്കും. അപ്പോൾ ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax 2 +bx+c=0 പരിഹരിക്കുക
അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് തുല്യമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
ബൈനോമിയലിന്റെ വർഗ്ഗം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ഇടത്(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം ax 2 +bx+c=0 (ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ "വിവേചനം" - ഡിസ്റ്റിംഗ്വിഷർ). ഇത് ഡി എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്.
\(D = b^2-4ac\)
ഇപ്പോൾ, വിവേചനത്തിന്റെ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുന്നു:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ഇവിടെ \(D= b^2-4ac \)
ഇത് വ്യക്തമാണ്:
1) D>0 ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.
2) D=0 ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് \(x=-\frac(b)(2a)\) ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.
3) D ആണെങ്കിൽ, വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ (D > 0 ന്), ഒരു റൂട്ട് (D = 0 ന്) അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല (D ന് ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ. , ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നതാണ് ഉചിതം:
1) വിവേചനം കണക്കാക്കി പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക;
2) വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക, വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് എഴുതുക.
വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം
നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 2 -7x+10=0 ന് 2 ഉം 5 ഉം വേരുകളുണ്ട്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, ഉൽപ്പന്നം 10 ആണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. വിപരീത ചിഹ്നം, വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. വേരുകളുള്ള ഏത് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനും ഈ ഗുണമുണ്ട്.
തന്നിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, വിപരീത ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്.
ആ. x 2 +px+q=0 എന്ന ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ x 1, x 2 എന്നീ വേരുകൾക്ക് ഗുണമുണ്ടെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു:
\(\ഇടത്\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)