ലോഗരിതം ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല. ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം പൊതു പദ്ധതിലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു. ഇത് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. അടിസ്ഥാനം a, ആർഗ്യുമെന്റ് x എന്നിവ ഒരു ശക്തിയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക, സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്. വഴിയിൽ, ദശാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
2. വേരിയബിളിന്റെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക b: x = a b ;
3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ b ആയിരിക്കും ഉത്തരം.

അത്രയേയുള്ളൂ! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ ദൃശ്യമാകും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന ആവശ്യം വളരെ പ്രധാനമാണ്: ഇത് പിശകിന്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിലും ഇത് സമാനമാണ്: നിങ്ങൾ അവയെ ഉടനടി സാധാരണക്കാരാക്കി മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, കുറച്ച് പിശകുകൾ ഉണ്ടാകും.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25

1. അടിസ്ഥാനവും വാദവും അഞ്ചിന്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കുക: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64

1. അടിസ്ഥാനവും വാദവും രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1

1. അടിസ്ഥാനവും വാദവും രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 0.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഏഴിന്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കാം: 7 = 7 1 ; 7 1 മുതൽ 14-നെ ഏഴിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല< 14 < 7 2 ;
2. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നില്ല;
3. ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.

ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ് അവസാന ഉദാഹരണം. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തിയല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഉറപ്പിക്കാം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് - അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കുക. വികാസത്തിന് കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.

ടാസ്ക്. സംഖ്യകൾ കൃത്യമായ ശക്തികളാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി, കാരണം ഒരു ഗുണിതം മാത്രമേയുള്ളൂ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3, 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി;
35 = 7 · 5 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല;
14 = 7 · 2 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;

നമ്മൾ തന്നെയാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കാം പ്രധാന സംഖ്യകൾഎല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ കൃത്യമായ ഡിഗ്രികളാണ്.

ദശാംശ ലോഗരിതം

ചില ലോഗരിതങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും ചിഹ്നവും ഉണ്ട്.

ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ x എന്നത് അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ 10 എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: lg x.

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - മുതലായവ.

ഇനി മുതൽ, "Find lg 0.01" പോലുള്ള ഒരു വാചകം ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ, ഇത് അക്ഷരത്തെറ്റല്ലെന്ന് അറിയുക. ഇതൊരു ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ നൊട്ടേഷൻ പരിചയമില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും മാറ്റിയെഴുതാം:
ലോഗ് x = ലോഗ് 10 x

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് സത്യമായതെല്ലാം ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

അതിന്റേതായ പദവിയുള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ചില വഴികളിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. അത് ഏകദേശംസ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തെക്കുറിച്ച്.

ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ x എന്നത് e അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ e എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: ln x.

പലരും ചോദിക്കും: ഇ നമ്പർ എന്താണ്? ഇതൊരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്, അതിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യംകണ്ടെത്താനും രേഖപ്പെടുത്താനും അസാധ്യമാണ്. ഞാൻ ആദ്യ കണക്കുകൾ മാത്രം നൽകും:
ഇ = 2.718281828459…

ഈ നമ്പർ എന്താണെന്നും അത് എന്തിനാണ് ആവശ്യമുള്ളതെന്നും ഞങ്ങൾ വിശദമായി പറയില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം e ആണെന്ന് ഓർക്കുക:
ln x = ലോഗ് ഇ x

അങ്ങനെ ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെയും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണ്. തീർച്ചയായും, ഒന്നിന് ഒഴികെ: ln 1 = 0.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾക്ക്, സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ശരിയായ എല്ലാ നിയമങ്ങളും സാധുവാണ്.

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതം. ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ (ലോഗരിതത്തിന്റെ ശക്തി).

ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം?

ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ട ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റാണ് ലോഗരിതം.

അങ്ങനെ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ c ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ അതേ അടിത്തറയുള്ള ഒരു പവർ നിങ്ങൾ നൽകേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഈ സംഖ്യ c ആയി എക്‌സ്‌പോണന്റ് ആയി എഴുതുക:

തീർച്ചയായും ഏത് സംഖ്യയെയും ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, പൂർണ്ണസംഖ്യ, ഫ്രാക്ഷണൽ, യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതം:

ഒരു പരീക്ഷയുടെയോ പരീക്ഷയുടെയോ സമ്മർദ്ദകരമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ a, c എന്നിവ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാതിരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം:

താഴെയുള്ളത് താഴേക്ക് പോകുന്നു, മുകളിലുള്ളത് ഉയരുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ബേസ് 3 ലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ആയി നിങ്ങൾ നമ്പർ 2 പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളുണ്ട് - 2 ഉം 3 ഉം. ഈ സംഖ്യകൾ അടിസ്ഥാനവും ഘാതവുമാണ്, അത് ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതും. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതാണ് എഴുതേണ്ടത്, ഡിഗ്രിയുടെ അടിത്തറയിലേക്ക്, ഏതാണ് - മുകളിലേക്ക്, ഘാതാങ്കത്തിലേക്ക് എഴുതേണ്ടത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു.

ഒരു ലോഗരിതം നൊട്ടേഷനിലെ ബേസ് 3 താഴെയാണ്, അതായത് ബേസ് 3 ലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ 3 ആധാരത്തിലേക്ക് എഴുതും.

2 എന്നത് മൂന്നിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. ഡിഗ്രി രണ്ടിന്റെ നൊട്ടേഷനിൽ ഞങ്ങൾ മൂന്നിന് മുകളിൽ എഴുതുന്നു, അതായത്, ഒരു ഘാതം:

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതം

ലോഗരിതംപോസിറ്റീവ് നമ്പർ ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എ, എവിടെ a > 0, a ≠ 1, സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട എക്സ്പോണന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ, ലഭിക്കാൻ ബി.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനംഇങ്ങനെ ചുരുക്കി എഴുതാം:

ഈ സമത്വം സാധുവാണ് b > 0, a > 0, a ≠ 1.ഇത് സാധാരണയായി വിളിക്കപ്പെടുന്നു ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം വഴി.

ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം:

ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം:

ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ബിരുദത്തിന്റെ ലോഗരിതം:

റൂട്ടിന്റെ ലോഗരിതം:

പവർ ബേസ് ഉള്ള ലോഗരിതം:

ദശാംശവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളും.

ദശാംശ ലോഗരിതംനമ്പറുകൾ ഈ നമ്പറിന്റെ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം 10-ലേക്ക് വിളിച്ച്   lg എന്ന് എഴുതുക ബി
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംസംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഇ, എവിടെ ഇ- ഏകദേശം 2.7 ന് തുല്യമായ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ. അതേ സമയം അവർ ln എഴുതുന്നു ബി.

ബീജഗണിതത്തെയും ജ്യാമിതിയെയും കുറിച്ചുള്ള മറ്റ് കുറിപ്പുകൾ

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ ബേസുകളുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക, ഒരു y ലോഗ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x + ലോഗ് എ വൈ = ലോഗ് എ (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ ഫോർമുലകൾ കണക്കുകൂട്ടാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻഅതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ കണക്കാക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അത് ശ്രദ്ധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് അവസാന ഭരണംആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നു. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെന്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

കൊടുക്കട്ടെ ലോഗരിതം ലോഗ്കോടാലി. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെന്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതം നിർവചിച്ചതിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് a a = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിന്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് a 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെന്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിന്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

നമുക്ക് കൂടുതൽ ലളിതമായി വിശദീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\log_(2)(8)\) എന്നത് \(8\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(2\) ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്. ഇതിൽ നിന്ന് \(\log_(2)(8)=3\) എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ലോഗരിതത്തിന്റെ വാദവും അടിത്തറയും

ഏതൊരു ലോഗരിതത്തിനും ഇനിപ്പറയുന്ന "അനാട്ടമി" ഉണ്ട്:

ഒരു ലോഗരിതം ആർഗ്യുമെന്റ് സാധാരണയായി അതിന്റെ തലത്തിലാണ് എഴുതുന്നത്, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തോട് ചേർന്ന് സബ്സ്ക്രിപ്റ്റിലാണ് എഴുതുന്നത്. ഈ എൻട്രി ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "ഇരുപത്തഞ്ചിന്റെ ലോഗരിതം മുതൽ അടിസ്ഥാന അഞ്ച് വരെ."

ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ടതുണ്ട്: വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം?

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(4\) എന്ത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? വ്യക്തമായും രണ്ടാമത്തേത്. അതുകൊണ്ടാണ്:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(\sqrt(5)\) ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? ഏത് ശക്തിയാണ് ഏതൊരു നമ്പർ വൺ ആക്കുന്നത്? പൂജ്യം, തീർച്ചയായും!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) ലഭിക്കുന്നതിന് എന്ത് അധികാരത്തിലേക്ക് \(\sqrt(7)\) ഉയർത്തണം? ഒന്നാമതായി, ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(3\) എന്ത് അധികാരത്തിലേക്ക് ഉയർത്തണം? അതൊരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനർത്ഥം സ്ക്വയർ റൂട്ട്\(\frac(1)(2)\) ന്റെ ശക്തിയാണ്.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ഉദാഹരണം : ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

എന്തുകൊണ്ടാണ് ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചത്?

ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ, നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: \(3^(x)=9\). തുല്യത പ്രാവർത്തികമാക്കാൻ \(x\) പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക. തീർച്ചയായും, \(x=2\).

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: \(3^(x)=8\).x എന്താണ് തുല്യം? അതാണ് കാര്യം.

മിടുക്കന്മാർ പറയും: "എക്സ് രണ്ടിനേക്കാൾ അല്പം കുറവാണ്." ഈ നമ്പർ കൃത്യമായി എങ്ങനെ എഴുതാം? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന് നന്ദി, ഇവിടെ ഉത്തരം \(x=\log_(3)(8)\) എന്ന് എഴുതാം.

\(\log_(3)(8)\), ഇഷ്ടമാണെന്ന് ഊന്നിപ്പറയാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. അതെ, ഇത് അസാധാരണമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ചെറുതാണ്. കാരണം നമുക്ക് ഇത് ഒരു ദശാംശമായി എഴുതണമെങ്കിൽ, അത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: \(1.892789260714.....\)

ഉദാഹരണം : സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(4^(5x-4)=10\)

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ദശാംശവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളും

ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതുപോലെ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഏതെങ്കിലും ആകാം പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, യൂണിറ്റ് ഒഴികെ \((a>0, a\neq1)\). സാധ്യമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളിലും, പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്ന രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്, അവയ്‌ക്കൊപ്പം ലോഗരിതങ്ങൾക്കായി ഒരു പ്രത്യേക ഹ്രസ്വ നൊട്ടേഷൻ കണ്ടുപിടിച്ചു:

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം: യൂലറുടെ സംഖ്യ \(e\) (ഏകദേശം \(2.7182818…\) ന് തുല്യമാണ്), കൂടാതെ ലോഗരിതം \(\ln(a)\) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം.

അതാണ്, \(\ln(a)\) എന്നത് \(\log_(e)(a)\)

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം: 10 ആധാരമായ ഒരു ലോഗരിതം \(\lg(a)\) എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

അതാണ്, \(\lg(a)\) എന്നത് \(\log_(10)(a)\), ഇവിടെ \(a\) എന്നത് കുറച്ച് സംഖ്യയാണ്.

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ഗുണങ്ങളുണ്ട്. അവയിലൊന്നിനെ "അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെ വന്നു എന്ന് നോക്കാം.

ഓർക്കാം ചെറിയ കുറിപ്പ്ലോഗരിതം നിർവചനങ്ങൾ:

\(a^(b)=c\), എങ്കിൽ \(\log_(a)(c)=b\)

അതായത്, \(b\) എന്നത് \(\log_(a)(c)\). അപ്പോൾ നമുക്ക് \(a^(b)=c\) ഫോർമുലയിൽ \(b\) എന്നതിന് പകരം \(\log_(a)(c)\) എന്ന് എഴുതാം. ഇത് \(a^(\log_(a)(c))=c\) - പ്രധാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി.

ലോഗരിതത്തിന്റെ മറ്റ് ഗുണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം. അവരുടെ സഹായത്തോടെ, നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനും കണക്കാക്കാനും കഴിയും, അവ നേരിട്ട് കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ഉദാഹരണം : \(36^(\log_(6)(5))\) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(25\)

ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി എങ്ങനെ എഴുതാം?

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏതൊരു ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. വിപരീതവും ശരിയാണ്: ഏത് സംഖ്യയും ഒരു ലോഗരിതം ആയി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\log_(2)(4)\) രണ്ടിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അപ്പോൾ രണ്ടിന് പകരം \(\log_(2)(4)\) എന്ന് എഴുതാം.

എന്നാൽ \(\log_(3)(9)\) എന്നത് \(2\) എന്നതിന് തുല്യമാണ്, അതായത് \(2=\log_(3)(9)\) . അതുപോലെ \(\log_(5)(25)\), കൂടാതെ \(\log_(9)(81)\), മുതലായവ. അതായത്, അത് മാറുന്നു

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ ലോഗ്_(7)(49)...\)

അതിനാൽ, നമുക്ക് വേണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് എവിടെയും ഏത് ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ലോഗരിതം ആയി രണ്ടെണ്ണം എഴുതാം (അത് ഒരു സമവാക്യത്തിലോ പദപ്രയോഗത്തിലോ അസമത്വത്തിലോ ആകട്ടെ) - ബേസ് സ്ക്വയർ ഒരു ആർഗ്യുമെന്റായി എഴുതാം.

ട്രിപ്പിളിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് സമാനമാണ് - ഇത് \(\log_(2)(8)\), അല്ലെങ്കിൽ \(\log_(3)(27)\), അല്ലെങ്കിൽ \(\log_(4)( എന്നായി എഴുതാം. 64) \)... ഇവിടെ നമ്മൾ ക്യൂബിലെ അടിസ്ഥാനം ഒരു ആർഗ്യുമെന്റായി എഴുതുന്നു:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ ലോഗ്_(7)(343)...\)

ഒപ്പം നാലെണ്ണത്തോടൊപ്പം:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

ഒപ്പം മൈനസ് ഒന്നിനൊപ്പം:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

മൂന്നിലൊന്നിനൊപ്പം:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

\(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) ഏത് സംഖ്യയും \(a\) ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(1\)