Экспоненциал тэгшитгэл нь тэг байна. экспоненциал тэгшитгэл
Хэрэв үл мэдэгдэх нь экспонентт агуулагдаж байвал тэгшитгэлийг экспоненциал гэж нэрлэдэг. Хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: a x \u003d a b, энд a> 0, 1, x нь үл мэдэгдэх юм.
Экспоненциал тэгшитгэлийг хувиргах градусын үндсэн шинж чанарууд: a>0, b>0.
Шийдвэр гаргахдаа экспоненциал тэгшитгэлмөн дараах шинж чанаруудыг эдэлнэ экспоненциал функц: y = a x , a > 0, a1:
Тоог зэрэглэлээр илэрхийлэхийн тулд суурийг ашиглана логарифмын ижилсэл: b = , a > 0, a1, b > 0.
"Экспоненциал тэгшитгэл" сэдвээр даалгавар, тест
- экспоненциал тэгшитгэл
Хичээл: 4 Даалгавар: 21 Тест: 1
- экспоненциал тэгшитгэл - Математикийн шалгалтыг давтан өгөх чухал сэдвүүд
Даалгавар: 14
- Экспоненциал ба логарифм тэгшитгэлийн системүүд - Экспоненциал ба логарифм функцууд 11-р анги
Хичээл: 1 Даалгавар: 15 Тест: 1
- §2.1. Экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл
Хичээл: 1 Даалгавар: 27
- §7 Экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал - Бүлэг 5. Экспоненциал ба логарифм функцууд 10-р анги
Хичээл: 1 Даалгавар: 17
Учир нь амжилттай шийдэлЭкспоненциал тэгшитгэл Та зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарууд, экспоненциал функцийн шинж чанарууд, үндсэн логарифмын ижил төстэй байдлыг мэддэг байх ёстой.
Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хоёр үндсэн аргыг ашигладаг.
- a f(x) = a g(x) тэгшитгэлээс f(x) = g(x) тэгшитгэл рүү шилжих;
- шинэ мөрүүдийг нэвтрүүлэх.
Жишээ.
1. Хамгийн энгийн болгон бууруулсан тэгшитгэл. Тэдгээрийг тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил суурьтай зэрэглэлд хүргэх замаар шийддэг.
3x \u003d 9x - 2.
Шийдэл:
3 x \u003d (3 2) x - 2;
3х = 3 2х - 4;
x = 2x -4;
x=4.
Хариулт: 4.
2. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулан шийддэг тэгшитгэлүүд.
Шийдэл:
3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.
Хариулт: 3.
3. Хувьсагчийн өөрчлөлтөөр шийддэг тэгшитгэл.
Шийдэл:
2 2x + 2 x - 12 = 0
Бид 2 x \u003d y гэж тэмдэглэнэ.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
Хариулт:бүртгэл 2 3.
4. Хоёр өөр (бие биедээ бууруулж болохгүй) суурьтай хүчийг агуулсан тэгшитгэл.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.
3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.
Хариулт: 2.
5. a x ба b x-ийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд.
9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .
Шийдэл:
3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y гэж тэмдэглэнэ.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½. 
Хариулт:бүртгэл 3/2 2; - бүртгэл 3/2 2.
Экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл. Жишээ.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулагдсан.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Юу болов экспоненциал тэгшитгэл? Энэ нь үл мэдэгдэх (x) болон тэдгээртэй илэрхийлэлд орсон тэгшитгэл юм үзүүлэлтүүдзарим градус. Зөвхөн тэнд! Энэ нь чухал юм.
Та энд байна Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:
3 x 2 x = 8 x + 3
Анхаар! Зэрэглэлийн үндсэн дээр (доор) - зөвхөн тоо. IN үзүүлэлтүүдградус (дээр) - x-тэй олон төрлийн илэрхийлэл. Хэрэв тэгшитгэлд индикатороос өөр газар гэнэт x гарч ирвэл, жишээлбэл:
энэ тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэлд шийдвэрлэх тодорхой дүрэм байдаггүй. Бид тэдгээрийг одоогоор авч үзэхгүй. Энд бид шийдвэрлэх болно экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэлхамгийн цэвэр хэлбэрээр.
Үнэн хэрэгтээ цэвэр экспоненциал тэгшитгэлүүд хүртэл үргэлж тодорхой шийдэгддэггүй. Гэхдээ шийдвэрлэх боломжтой, шийдвэрлэх ёстой тодорхой төрлийн экспоненциал тэгшитгэлүүд байдаг. Эдгээр нь бидний авч үзэх төрлүүд юм.
Хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл.
Маш энгийн зүйлээс эхэлье. Жишээлбэл:
Ямар ч онолгүй ч гэсэн энгийн сонголтоор х = 2 гэдэг нь тодорхой байна. Өөр юу ч биш, тийм ээ!? Өөр x утгын жагсаалт байхгүй. Одоо энэ төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийн шийдлийг харцгаая.
Бид юу хийсэн бэ? Бид үнэндээ ижил ёроолыг (гурвалсан) хаясан. Бүрэн хаягдсан. Тэгээд, юу дуртай вэ, тэмдэгт дар!
Үнэхээр, хэрэв экспоненциал тэгшитгэлд зүүн болон баруун талд байгаа бол адилханаль ч зэрэгтэй тоонууд, эдгээр тоонуудыг хасч, тэнцүү экспонент болно. Математик зөвшөөрдөг. Илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх л үлдлээ. Сайхан байна, тийм үү?)
Гэсэн хэдий ч инээдтэй байдлаар санацгаая: Зүүн ба баруун талд байгаа үндсэн тоонууд гайхалтай тусгаарлагдсан үед л та суурийг арилгаж болно!Ямар ч хөрш, коэффициентгүйгээр. Тэгшитгэлд дараахь зүйлийг хэлье.
2 x +2 x + 1 = 2 3 , эсвэл
Та давхаруудыг устгаж чадахгүй!
За, бид хамгийн чухал зүйлийг эзэмшсэн. Муу экспоненциал илэрхийллээс энгийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжих вэ.
"Тэр үеүүд энд байна!" - чи хэлж байна. "Хэн хяналт, шалгалтанд ийм команд өгөх вэ!?"
Зөвшөөрөхөөс аргагүйд хүрсэн. Хэн ч тэгэхгүй. Харин одоо та ойлгомжгүй жишээг шийдэхдээ хаашаа явахаа мэддэг болсон. Ижил үндсэн дугаар зүүн талд - баруун талд байх үед үүнийг хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Дараа нь бүх зүйл илүү хялбар болно. Үнэндээ энэ бол математикийн сонгодог бүтээл юм. Бид анхны жишээг аваад хүссэн болгон хувиргадаг бидоюун ухаан. Мэдээжийн хэрэг математикийн дүрмийн дагуу.
Тэдгээрийг хамгийн энгийн болгохын тулд нэмэлт хүчин чармайлт шаарддаг жишээнүүдийг авч үзье. Тэднийг дуудъя энгийн экспоненциал тэгшитгэл.
Энгийн экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл. Жишээ.
Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ гол дүрмүүд нь байдаг эрх мэдэл бүхий үйлдлүүд.Эдгээр үйлдлүүдийг мэдэхгүй бол юу ч ажиллахгүй.
Эрдмийн зэрэгтэй үйлдлүүд дээр хүн хувийн ажиглалт, ур чадвар нэмэх ёстой. Бидэнд ижил суурь тоо хэрэгтэй юу? Тиймээс бид тэдгээрийг жишээн дээр тодорхой эсвэл шифрлэгдсэн хэлбэрээр хайж байна.
Үүнийг практикт хэрхэн яаж хийхийг харцгаая?
Бидэнд жишээ хэлье:
2 2x - 8 x+1 = 0
Анхны харцаар үндэслэл.Тэд... Тэд өөр! Хоёр ба найм. Гэхдээ сэтгэлээр унахад эрт байна. Үүнийг санах цаг болжээ
Хоёр ба найм нь зэрэгтэй хамаатан юм.) Үүнийг бичих бүрэн боломжтой.
8 x+1 = (2 3) x+1
Хэрэв бид эрх мэдэл бүхий үйлдлүүдийн томъёог эргэн санавал:
(a n) m = a nm ,
Энэ нь ерөнхийдөө маш сайн ажилладаг:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Анхны жишээ иймэрхүү харагдаж байна:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Бид шилжүүлдэг 2 3 (x+1)баруун тийш (хэн ч математикийн энгийн үйлдлүүдийг цуцалсангүй!), бид дараахь зүйлийг авна.
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Энэ бол бараг бүх зүйл. Суурийг арилгах:
Бид энэ мангасыг шийдэж, авна
Энэ бол зөв хариулт юм.
Энэ жишээн дээр хоёрын хүчийг мэдэх нь бидэнд тусалсан. Бид тодорхойлсоннайм дахь нь шифрлэгдсэн deuce. Энэхүү техник (нийтлэг суурийг өөр өөр тоогоор кодлох) экспоненциал тэгшитгэлд маш алдартай заль мэх юм! Тиймээ, логарифмд ч гэсэн. Хүн бусад тоонуудын хүчийг тоогоор таньж чаддаг байх ёстой. Энэ нь экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш чухал юм.
Ямар ч тоог ямар ч эрх мэдэлд хүргэх нь асуудал биш юм. Цаасан дээр ч гэсэн үржүүлээрэй, тэгээд л болоо. Жишээлбэл, хүн бүр 3-аас тав дахь хүчийг нэмэгдүүлэх боломжтой. Хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийг мэддэг бол 243 гарч ирнэ.) Гэхдээ экспоненциал тэгшитгэлд ихэвчлэн хүчийг нэмэгдүүлэх шаардлагагүй, харин эсрэгээр ... ямар тоо, хэр хэмжээгээр 243 буюу 343 гэсэн тооны ард нуугдаж байдаг... Энд ямар ч тооны машин танд туслахгүй.
Та зарим тооны хүчийг нүдээр нь мэдэх хэрэгтэй, тийм ээ ... Бид дасгал хийх үү?
Ямар хүчин чадал, ямар тоо нь тоо болохыг тодорхойл.
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Хариултууд (мэдээж эмх замбараагүй байна!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Сайн ажиглавал хачирхалтай баримт гарч ирнэ. Асуултаас илүү олон хариулт байна! Яахав дээ... Жишээ нь 2 6 , 4 3 , 8 2 бүгд 64.
Та тоотой танилцах тухай мэдээллийг анхаарч үзсэн гэж бодъё.) Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд бид ашигладаг гэдгийг сануулъя. бүхэлматематикийн мэдлэгийн нөөц. Үүнд дундаас доош ангиас. Чи шууд ахлах сургуульд ороогүй биз дээ?
Жишээлбэл, экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах нь ихэвчлэн тусалдаг (7-р ангийн сайн уу!). Жишээ харцгаая:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Мөн дахин, анхны харц - үндэслэлээр! Зэрэглэлийн суурь нь өөр ... Гурав ба ес. Мөн бид тэднийг адилхан байгаасай гэж хүсч байна. За, энэ тохиолдолд хүсэл нь бүрэн боломжтой юм!) Учир нь:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Зэрэгтэй үйлдлийн ижил дүрмийн дагуу:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Гайхалтай, та бичиж болно:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Үүнтэй ижил шалтгаанаар бид жишээ өгсөн. Тэгэхээр, дараа нь юу вэ!? Гуравыг хаяж болохгүй ... мухардмал төгсгөл үү?
Огт үгүй. Хамгийн түгээмэл бөгөөд хүчирхэг шийдвэрийн дүрмийг санаж байна бүгдматематикийн даалгавар:
Хэрэв та юу хийхээ мэдэхгүй байгаа бол чадах бүхнээ хий!
Та хараарай, бүх зүйл үүссэн).
Энэ экспоненциал тэгшитгэлд юу байна Чадаххийх үү? Тийм ээ, зүүн тал нь хаалтанд шууд асуудаг! 3 2x гэсэн нийтлэг хүчин зүйл нь үүнийг тодорхой харуулж байна. Оролдоод үзье, тэгээд харна:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Жишээ нь улам сайжирсаар байна!
Суурийг арилгахын тулд бидэнд ямар ч коэффициентгүйгээр цэвэр зэрэг хэрэгтэй гэдгийг бид санаж байна. 70 гэдэг тоо биднийг зовоож байна. Тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг 70-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
Оппа! Бүх зүйл сайхан болсон!
Энэ бол эцсийн хариулт.
Гэсэн хэдий ч, ижил үндэслэлээр татвар авах тохиолдол гардаг боловч тэдгээрийг татан буулгахгүй. Энэ нь өөр төрлийн экспоненциал тэгшитгэлд тохиолддог. Энэ төрлийг авч үзье.
Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хувьсагчийн өөрчлөлт. Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийдье:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Нэгдүгээрт - ердийнх шиг. Суурь руугаа явцгаая. Deuce руу.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Бид тэгшитгэлийг авна:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Энд бид өлгөх болно. Өмнөх заль мэх яаж ч эргүүлээд бүтэхгүй. Бид арсеналаасаа өөр хүчирхэг, олон талт аргыг олж авах хэрэгтэй болно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг хувьсах орлуулалт.
Аргын мөн чанар нь гайхалтай энгийн юм. Нэг төвөгтэй дүрсний оронд (бидний тохиолдолд 2 x) бид өөр, илүү энгийн дүрс бичдэг (жишээлбэл, t). Ийм утгагүй мэт орлуулалт нь гайхалтай үр дүнд хүргэдэг!) Бүх зүйл зүгээр л ойлгомжтой, ойлгомжтой болно!
За тэгье
Дараа нь 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Бид тэгшитгэлдээ х-тэй бүх хүчийг t-ээр орлуулна.
За үүр цайж байна уу?) Квадрат тэгшитгэлээ мартаагүй байна уу? Бид ялгаварлагчаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.
Энд гол зүйл бол зогсохгүй байх явдал юм ... Энэ бол одоохондоо хариулт биш, бидэнд t биш x хэрэгтэй. Бид Xs руу буцаж ирдэг, өөрөөр хэлбэл. орлуулах. Эхлээд t 1:
Тэр бол,
Нэг үндэс олдлоо. Бид t 2-оос хоёр дахь нь хайж байна:
Аан... Зүүн 2 х, Баруун 1... Зайлшгүй юу? Тийм ээ, огт үгүй! Эв нэгдэл гэдгийг санахад хангалттай (зэрэгтэй үйлдлээс, тийм ээ ...). ямар чтоог тэг хүртэл. Ямар ч. Танд юу хэрэгтэй байна, бид үүнийг тавих болно. Бидэнд хоёр хэрэгтэй. гэсэн утгатай:
Одоо тэгээд л болоо. 2 үндэстэй:
Энэ бол хариулт юм.
At экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэцэст нь зарим нэг эвгүй илэрхийлэл заримдаа гарч ирдэг. Төрөл:
Долоон, энгийн зэрэг дамжуулан deuce ажиллахгүй байна. Тэд хамаатан садан биш ... Би энд яаж байх вэ? Хэн нэгэн андуурч магадгүй ... Гэхдээ энэ сайтаас "Логарифм гэж юу вэ?" Зөвхөн бага зэрэг инээмсэглэж, хатуу гараар туйлын зөв хариултыг бичээрэй.
Шалгалтын "В" даалгавруудад ийм хариулт байж болохгүй. Тодорхой дугаар шаардлагатай. Гэхдээ "С" даалгаварт амархан.
Энэ хичээл нь хамгийн түгээмэл экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх жишээнүүдийг өгдөг. Голыг нь онцолж үзье.
1. Юуны өмнө бид хардаг үндэслэлградус. Тэднийг хийх боломжгүй эсэхийг харцгаая адилхан.Үүнийг идэвхтэй ашиглах замаар хийхийг хичээцгээе эрх мэдэл бүхий үйлдлүүд.Х-гүй тоог ч хүч болгон хувиргаж болно гэдгийг битгий мартаарай!
2. Бид экспоненциал тэгшитгэлийг зүүн ба баруун талд байх үед хэлбэрт оруулахыг хичээдэг адилханямар ч хэмжээгээр тоо. Бидний хэрэглэдэг эрх мэдэл бүхий үйлдлүүдТэгээд хүчин зүйлчлэл.Тоогоор юуг тоолж болох вэ - бид тоолдог.
3. Хэрэв хоёр дахь зөвлөгөө тус болохгүй бол бид хувьсагчийн орлуулалтыг ашиглахыг оролддог. Үр дүн нь амархан шийдэгддэг тэгшитгэл байж болно. Ихэнхдээ - дөрвөлжин. Эсвэл бутархай, энэ нь мөн квадрат болж буурдаг.
4. Экспоненциал тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд зарим тооны зэрэглэлийг "хараар" мэдэх хэрэгтэй.
Ердийнх шиг, хичээлийн төгсгөлд та бага зэрэг шийдэхийг урьж байна.) Өөрөө. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү.
Экспоненциал тэгшитгэлийг шийд:
Илүү төвөгтэй:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0
Үндэсийн бүтээгдэхүүнийг олох:
2 3-х + 2 х = 9
Болсон уу?
Тэгэхээр дараа нь хамгийн хэцүү жишээ(гэхдээ оюун ухаандаа шийдсэн ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
Юу нь илүү сонирхолтой вэ? Тэгвэл танд нэг муу жишээ байна. Нэлээд татахад хэцүү байдал нэмэгддэг. Энэ жишээнд математикийн бүх даалгаврыг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл дүрэм, ухаалаг байдал нь хэмнэлттэй гэдгийг би сануулъя.)
2 5х-1 3 3х-1 5 2х-1 = 720 х
Тайвшруулахын тулд жишээ нь илүү энгийн):
9 2 x - 4 3 x = 0
Мөн амттангаар. Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Тийм тийм! Энэ бол холимог төрлийн тэгшитгэл юм! Үүнийг бид энэ хичээл дээр авч үзээгүй. Тэднийг юу гэж үзэх вэ, тэдгээрийг шийдэх хэрэгтэй!) Энэ хичээл нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. За, авъяас чадвар хэрэгтэй ... Тийм ээ, долдугаар анги танд туслах болно (энэ бол зөвлөмж юм!).
Хариултууд (эмх замбараагүй, цэг таслалаар тусгаарлагдсан):
1; 2; 3; 4; шийдэл байхгүй; 2; -2; -5; 4; 0.
Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Агуу их.
Асуудал байна уу? Асуудалгүй! Тусгай хэсэг 555-д эдгээр бүх экспоненциал тэгшитгэлийг нарийвчилсан тайлбартайгаар шийддэг. Юу, яагаад, яагаад. Мэдээжийн хэрэг, бүх төрлийн экспоненциал тэгшитгэлтэй ажиллах нэмэлт үнэ цэнэтэй мэдээлэл байдаг. Зөвхөн эдгээртэй ч биш.)
Сүүлчийн нэг хөгжилтэй асуултыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ хичээлээр бид экспоненциал тэгшитгэлтэй ажилласан. Би яагаад энд ОДЗ-ын талаар ганц ч үг хэлээгүй юм бэ?Тэгшитгэлд энэ нь маш чухал зүйл юм ...
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)
функц болон деривативтай танилцах боломжтой.
Лекц: "Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга."
1 . экспоненциал тэгшитгэл.
Экспонентт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийг экспоненциал тэгшитгэл гэнэ. Эдгээрээс хамгийн энгийн нь a > 0 ба a ≠ 1 байх ax = b тэгшитгэл юм.
1) b-ийн хувьд< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) b > 0-ийн хувьд функцийн монотон байдал ба язгуур теоремыг ашиглан тэгшитгэл нь нэг язгууртай байна. Үүнийг олохын тулд b-г b = aс, ax = bс ó x = c эсвэл x = логаб хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой.
Экспоненциал тэгшитгэлийг алгебрийн хувиргалтаар дамжуулан дараах аргуудыг ашиглан шийддэг стандарт тэгшитгэлд хүргэдэг.
1) нэг суурь болгон бууруулах арга;
2) үнэлгээний арга;
3) график арга;
4) шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга;
5) хүчин зүйлчлэлийн арга;
6) экспоненциал - чадлын тэгшитгэл;
7) параметртэй экспоненциал.
2 . Нэг суурь болгон бууруулах арга.
Энэ арга нь градусын дараах шинж чанарт суурилдаг: хэрэв хоёр градус тэнцүү, суурь нь тэнцүү бол тэдгээрийн илтгэгч нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулахыг хичээх хэрэгтэй.
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд:
1 . 3х=81;
Тэгшитгэлийн баруун талыг 81 = 34 хэлбэрээр төлөөлж, анхны 3 x = 34-тэй тэнцэх тэгшитгэлийг бичье; x = 4. Хариулт: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> гэж үзээд 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 гэсэн илтгэгчийн тэгшитгэл рүү очно уу; x = 0.5 Хариулт: 0.5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" өргөн "105" өндөр "47">
0.2, 0.04, √5, 25 тоонууд нь 5-ын зэрэглэл гэдгийг анхаарна уу. Үүний давуу талыг ашиглан анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргацгаая.
,
үүнээс 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, үүнээс бид x = -1 шийдийг олно. Хариулт: -1.
5. 3х = 5. Логарифмын тодорхойлолтоор x = log35. Хариулт: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2х+8.
Тэгшитгэлийг 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, өөрөөр хэлбэл..png" width="181" height="49 src="> Эндээс x - 4 =0, x = 4 гэж бичье. Хариу: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Чадлын шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийг e.x+1 = 2, x =1 хэлбэрээр бичнэ. Хариулт: 1.
Даалгаврын банк №1.
Тэгшитгэлийг шийд:
Туршилтын дугаар 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) үндэсгүй |
1) 7;1 2) үндэсгүй 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
А5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Туршилт №2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
А2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) үндэсгүй 3) 0 4) -2;1 |
А4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
А5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Үнэлгээний арга.
Үндэс теорем: хэрэв f (x) функц I интервалд өсөх (багарах) бол a тоо нь энэ интервал дээр f-ийн авсан ямар ч утга байвал f (x) = a тэгшитгэл I интервал дээр нэг язгууртай байна.
Тооцооллын аргаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ энэ теорем болон функцийн монотон шинж чанарыг ашиглана.
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийдэх: 1. 4х = 5 - x.
Шийдэл. Тэгшитгэлийг 4x + x = 5 гэж дахин бичье.
1. хэрэв x \u003d 1, 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 нь үнэн бол 1 нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
R дээр f(x) = 4x функц нэмэгдэж, R дээр g(x) = x нэмэгдэж байна => h(x)= f(x)+g(x) R дээр нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэрээр нэмэгдэж байна. тэгэхээр x = 1 нь 4x = 5 – x тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Хариулт: 1.
2.
Шийдэл. Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичнэ 
.
1. хэрэв x = -1 байвал 
, 3 = 3-үнэн тул x = -1 нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
2. өвөрмөц гэдгийг нотлох.
3. f(x) = - функц R дээр буурч, g(x) = - x - R дээр буурна => h(x) = f(x) + g(x) - R дээр нийлбэр багасна. буурах функцүүдийн . Тиймээс язгуур теоремоор x = -1 нь тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур юм. Хариулт: -1.
Даалгаврын банк No2. тэгшитгэлийг шийд
a) 4x + 1 = 6 - x;
б) 
в) 2х – 2 =1 – х;
4. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга.
Энэ аргыг 2.1-р хэсэгт тайлбарласан болно. Шинэ хувьсагчийг (орлуулах) нэвтрүүлэх нь ихэвчлэн тэгшитгэлийн нөхцөлийг хувиргасны (хялбаршуулсан) дараа хийгддэг. Жишээнүүдийг авч үзье.
Жишээ.
Ридэх тэгшитгэл: 1.
.
Тэгшитгэлийг өөрөөр дахин бичье: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">
Шийдэл. Тэгшитгэлийг өөрөөр дахин бичье: 
https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> гэж тэмдэглэнэ - тохиромжгүй.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> нь иррационал тэгшитгэл гэдгийг анхаарна уу. 
Тэгшитгэлийн шийдэл нь x = 2.5 ≤ 4 тул 2.5 нь тэгшитгэлийн үндэс болно. Хариулт: 2.5.
Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичээд хоёр талыг 56x+6 ≠ 0-д хуваая. Тэгшитгэлийг гаргана.
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, тэгэхээр..png" өргөн="118" өндөр="56">
Үндэс квадрат тэгшитгэл– t1 = 1 ба t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Шийдэл . Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичнэ
мөн энэ нь хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэдгийг анхаарна уу.
Тэгшитгэлийг 42x-д хуваавал бид олж авна 
Солих https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Хариулт: 0; 0.5.
Даалгаврын банк №3. тэгшитгэлийг шийд
б) 
G) 
Туршилт №3 хариултын сонголттой. Хамгийн бага түвшин.
A1 | 1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52х – 3 0,5х +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) үндэсгүй 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) үндэсгүй 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Туршилт №4 хариултын сонголттой. Ерөнхий түвшин.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2х – (0.5)2х – (0.5)х + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
А5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) үндэсгүй |
5. Хүчин зүйлд хуваах арга.
1. Тэгшитгэлийг шийд: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Шийдэл..png" width="169" height="69"> , хаанаас
2. 6х + 6х+1 = 2х + 2х+1 + 2х+2.
Шийдэл. Тэгшитгэлийн зүүн талд 6x, баруун талд 2x-ыг гаргая. Бид 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x тэгшитгэлийг авна.
Бүх x-ийн хувьд 2х >0 байгаа тул бид шийдлийг алдахаас айхгүйгээр энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 2x-т хувааж болно. Бид 3x = 1ó x = 0-ийг авна.
3. 
Шийдэл. Бид тэгшитгэлийг факторингоор шийддэг.
Бид биномийн квадратыг сонгоно 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" өргөн "500" өндөр "181">
x = -2 нь тэгшитгэлийн үндэс юм.
Тэгшитгэл x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Туршилт №6 Ерөнхий түвшин.
A1 (22х-1)(24х+22х+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
А2 | 1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
А4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
А5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Экспоненциал - чадлын тэгшитгэл.
Экспоненциал тэгшитгэлүүд нь экспоненциал-хүч чадлын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлүүдээр холбогддог, өөрөөр хэлбэл (f(x))g(x) = (f(x))h(x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүд.
Хэрэв f(x)>0 ба f(x) ≠ 1 гэдгийг мэдэж байвал экспоненциалын нэгэн адил тэгшитгэлийг g(x) = f(x) илтгэгчийг тэнцүүлэх замаар шийднэ.
Хэрэв нөхцөл нь f(x)=0 ба f(x)=1 байх боломжийг үгүйсгэхгүй бол экспоненциал чадлын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эдгээр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй.
1..png" өргөн "182" өндөр "116 src=">
2. 
Шийдэл. x2 +2x-8 - дурын х-д утга учиртай, учир нь олон гишүүнт учраас тэгшитгэл нь олонлогтой тэнцүү байна.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" өргөн "137" өндөр "35">
б) 
7. Параметртэй экспоненциал тэгшитгэл.
1. 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) тэгшитгэл p параметрийн ямар утгуудыг агуулна. цорын ганц шийдвэр?
Шийдэл. 2x = t, t > 0 өөрчлөлтийг танилцуулъя, тэгвэл (1) тэгшитгэл нь t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 хэлбэртэй болно. (2)
(2) тэгшитгэлийн дискриминант нь D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 байна.
Тэгшитгэл (2) нь нэг эерэг язгууртай бол (1) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ нь дараах тохиолдолд боломжтой.
1. Хэрэв D = 0, өөрөөр хэлбэл p = 1 бол тэгшитгэл (2) нь t2 – 2t + 1 = 0 хэлбэртэй байх тул t = 1, иймээс (1) тэгшитгэл нь x = 0 өвөрмөц шийдэлтэй байна.
2. Хэрэв p1 бол 9(p – 1)2 > 0 байвал (2) тэгшитгэл нь t1 = p, t2 = 4p – 3 гэсэн хоёр өөр язгууртай байна. Системийн олонлог нь бодлогын нөхцөлийг хангаж байна.
Системд t1 ба t2-г орлуулснаар бидэнд байна
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Шийдэл. Болъё 
тэгвэл (3) тэгшитгэл нь t2 – 6t – a = 0 хэлбэртэй болно. (4)
Тэгшитгэлийн дор хаяж нэг язгуур (4) t > 0 нөхцөлийг хангасан a параметрийн утгыг олъё.
f(t) = t2 – 6t – a функцийг танилцуулъя. Дараах тохиолдлууд боломжтой.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Тохиолдол 2. Тэгшитгэл (4) нь өвөрмөц эерэг шийдэлтэй байна
D = 0, хэрэв a = – 9 бол тэгшитгэл (4) нь (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 хэлбэртэй болно.
Тохиолдол 3. (4) тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй боловч тэдгээрийн нэг нь t > 0 тэгш бус байдлыг хангахгүй.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Ийнхүү a 0 үед тэгшитгэл (4) нь нэг эерэг язгууртай байна 
. Дараа нь (3) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна 
А< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
Хэрвээ< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
хэрэв a = – 9 бол x = – 1;
хэрэв a 0 бол
(1) ба (3) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг харьцуулцгаая. (1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ялгаварлагч нь бүтэн квадрат болох квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан болохыг анхаарна уу; Тиймээс (2) тэгшитгэлийн язгуурыг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёогоор шууд тооцож, дараа нь эдгээр язгууруудын талаар дүгнэлт хийсэн. (3) тэгшитгэлийг дискриминант нь биш квадрат тэгшитгэл (4) болгон бууруулсан. бүтэн дөрвөлжин, тиймээс (3) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ квадрат гурвалжин ба график загварын язгуурын байршлын талаархи теоремуудыг ашиглах нь зүйтэй. (4) тэгшитгэлийг Виета теоремыг ашиглан шийдэж болохыг анхаарна уу.
Илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүдийг шийдье.
Даалгавар 3. Тэгшитгэлийг шийд 
Шийдэл. ODZ: x1, x2.
Орлуулахыг танилцуулъя. 2x = t, t > 0 гэж үзье, тэгвэл хувиргалтын үр дүнд тэгшитгэл нь t2 + 2t – 13 – a = 0 хэлбэртэй болно. (*) Ядаж нэг язгуур байх a-ийн утгыг олцгооё. тэгшитгэл (*) нь t > 0 нөхцөлийг хангана.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Хариулт: хэрэв a > - 13, a 11, a 5 бол a - 13,
a = 11, a = 5, тэгвэл үндэс байхгүй болно.
Ном зүй.
1. Гузеев боловсролын технологийн үндэс.
2. Гузеевын технологи: хүлээн авалтаас философи хүртэл.
М."Захирал" №4, 1996 он
3. Гузеев ба зохион байгуулалтын хэлбэрүүдсурах.
4. Гузеев ба боловсролын нэгдмэл технологийн практик.
М."Ардын боловсрол", 2001 он
5. Гузеев хичээлийн хэлбэрүүдээс - семинар.
2-р сургуулийн математик, 1987, 9 - 11-р тал.
6. Selevko боловсролын технологи.
М."Ардын боловсрол", 1998 он
7. Епишева сургуулийн сурагчид математикийн хичээл сурдаг.
М."Гэгээрэл", 1990 он
8. Иванов хичээл бэлтгэх - семинар.
6-р сургуулийн математик, 1990, х. 37-40.
9. Математик заах Смирновын загвар.
1-р сургуулийн математик, 1997, х. 32-36.
10. Тарасенко практик ажлыг зохион байгуулах арга замууд.
1-р сургуулийн математик, 1993, х. 27-28.
11. Хувь хүний ажлын нэг төрлийн тухай.
2-р сургуулийн математик, 1994, 63-64-р тал.
12. Хазанкин Бүтээлч ур чадварсургуулийн сурагчид.
2-р сургуулийн математик, 1989, х. 10.
13. Сканави. Нийтлэгч, 1997
14. бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. Дидактик материалУчир нь
15. Математикийн Кривоноговын даалгавар.
M. "9-р сарын 1", 2002
16. Черкасов. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага болон
их дээд сургуульд элсэх. "A S T - хэвлэлийн сургууль", 2002 он
17. Их дээд сургуульд элсэх өргөдөл гаргагчдад зориулсан Жевняк.
Минск ба РФ "Тойм", 1996 он
18. Бичгээр D. Математикийн шалгалтанд бэлтгэх. М.Ролф, 1999 он
19. ба бусад.Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдэж сурах.
M. "Оюун ухаан - Төв", 2003 он
20. болон бусад.Боловсролын - сургалтын материал E G E-д бэлтгэх.
M. "Оюун ухаан - Төв", 2003, 2004 он
21 болон бусад НУМ-ын хувилбарууд. ОХУ-ын Батлан хамгаалах яамны Туршилтын төв, 2002, 2003 он
22. Голдбергийн тэгшитгэл. "Квант" №3, 1971 он
23. Волович М. Математикийг хэрхэн амжилттай заах вэ.
Математик, 1997 оны №3.
Хичээлдээ 24 Окунев, хүүхдүүд ээ! М.Гэгээрэл, 1988 он
25. Якиманская - сургуульд чиглэсэн боловсрол.
26. Лиимец хичээл дээр ажилладаг. М.Мэдлэг, 1975
Манай сайтын youtube суваг руу орж бүх шинэ видео хичээлүүдээс мэдээлэл аваарай.
Эхлээд градусын үндсэн томъёо, тэдгээрийн шинж чанарыг эргэн санацгаая.
Тооны бүтээгдэхүүн аөөрөө n удаа тохиолдвол бид энэ илэрхийллийг a … a=a n гэж бичиж болно
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Хүч эсвэл экспоненциал тэгшитгэл- эдгээр нь хувьсагч нь зэрэглэл (эсвэл илтгэгч) байх тэгшитгэлүүд бөгөөд суурь нь тоо юм.
Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:
IN энэ жишээ 6 тоо нь суурь, үргэлж доод талд, хувьсагч юм xзэрэг эсвэл хэмжүүр.
Экспоненциал тэгшитгэлийн илүү жишээг өгье.
2 x *5=10
16х-4х-6=0
Одоо экспоненциал тэгшитгэл хэрхэн шийдэгддэгийг харцгаая?
Энгийн тэгшитгэлийг авч үзье:
2 x = 2 3
Ийм жишээг оюун ухаанд хүртэл шийдэж болно. Эндээс харахад x=3 байна. Эцсийн эцэст, зүүн ба баруун талууд тэнцүү байхын тулд та x-ийн оронд 3-ын тоог тавих хэрэгтэй.
Одоо энэ шийдвэрийг хэрхэн гаргах ёстойг харцгаая.
2 x = 2 3
x = 3
Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид хассан ижил үндэслэл(өөрөөр хэлбэл, хоёрдогч) болон үлдсэн зүйлийг бичсэн, эдгээр нь градус юм. Бид хайж байсан хариултаа авсан.
Одоо шийдлээ нэгтгэн дүгнэж үзье.
Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм:
1. Шалгах хэрэгтэй адилхантэгшитгэлийн суурь баруун болон зүүн талд байгаа эсэх. Хэрэв үндэслэл нь ижил биш бол бид энэ жишээг шийдэх хувилбаруудыг хайж байна.
2. Суурь нь ижил болсны дараа, тэнцүүлэхзэрэг гаргаж, үүссэн шинэ тэгшитгэлийг шийднэ.
Одоо зарим жишээг шийдье:
Энгийнээр эхэлцгээе.
Зүүн ба баруун талын суурь нь 2-ын тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь бид суурийг хаяж, тэдгээрийн градусыг тэнцүүлж чадна гэсэн үг юм.
x+2=4 Хамгийн энгийн тэгшитгэл гарч ирэв.
x=4 - 2
x=2
Хариулт: x=2
Дараах жишээн дээр та суурь нь өөр, эдгээр нь 3 ба 9 гэдгийг харж болно.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Эхлэхийн тулд бид есийг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна.
Одоо та ижил суурийг хийх хэрэгтэй. 9=32 гэдгийг бид мэднэ. (a n) m = a nm чадлын томьёог ашиглая.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Бид 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 авна.
3 3x \u003d 3 2x + 16 одоо зүүн ба баруун талын суурь нь ижил бөгөөд гуравтай тэнцүү байгаа нь тодорхой болсон бөгөөд энэ нь бид тэдгээрийг хаяж, градусыг тэнцүүлж чадна гэсэн үг юм.
3x=2x+16 нь хамгийн энгийн тэгшитгэлийг авсан
3х-2х=16
x=16
Хариулт: x=16.
Дараах жишээг харцгаая.
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Юуны өмнө бид суурийг хардаг, суурь нь хоёр, дөрөв нь ялгаатай. Мөн бид адилхан байх хэрэгтэй. Бид (a n) m = a nm томъёоны дагуу дөрөв дахин хувирна.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Мөн бид a n a m = a n + m гэсэн нэг томъёог ашигладаг:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Тэгшитгэлд нэмэх:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Үүнтэй ижил шалтгаанаар бид жишээ өгсөн. Харин бусад 10, 24 тоонууд бидэнд саад болж байна.Тэдгээрийг яах вэ? Хэрэв та анхааралтай ажиглавал зүүн талд бид 2 2x давтаж байгааг харж болно, энд хариулт байна - бид 2 2x-ыг хаалтнаас гаргаж болно.
2 2x (2 4 - 10) = 24
Хаалтанд байгаа илэрхийллийг тооцоолъё:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Бид бүхэл тэгшитгэлийг 6-д хуваана.
4=2 2 гэж төсөөлөөд үз дээ:
2 2x \u003d 2 2 суурь нь адилхан, тэдгээрийг хаяж, градусыг тэнцүүл.
2x \u003d 2 нь хамгийн энгийн тэгшитгэл болж хувирав. Бид үүнийг 2-т хуваавал бид авна
x = 1
Хариулт: x = 1.
Тэгшитгэлийг шийдье:
9 x - 12*3 x +27= 0
Өөрчлүүлье:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Бид тэгшитгэлийг авна:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Бидний суурь ижил, гуравтай тэнцүү.Энэ жишээнд эхний гурвалсан нь хоёр дахь (х)-ээс хоёр дахин (2x) зэрэгтэй байх нь тодорхой байна. Энэ тохиолдолд та шийдэж болно орлуулах арга. Хамгийн бага зэрэгтэй тоог дараах байдлаар орлуулна.
Дараа нь 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Бид t-тэй тэгшитгэлийн бүх градусыг x-ээр солино.
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Бид квадрат тэгшитгэлийг авдаг. Бид ялгаварлагчаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Хувьсагч руу буцах x.
Бид t 1-ийг авна:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Тэр бол,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Нэг үндэс олдлоо. Бид t 2-оос хоёр дахь нь хайж байна:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Хариулт: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Сайт дээр та сонирхсон асуултаа асуухаар ШИЙДВЭРЛЭХЭЭР ТУСЛАХ боломжтой, бид танд хариулах нь гарцаагүй.
Бүлэгт нэгдээрэй
Математикийн ихэнх асуудлын шийдэл нь тоон, алгебрийн эсвэл функциональ илэрхийлэлийн хувиралтай холбоотой байдаг. Энэ нь ялангуяа шийдэлд хамаатай. Математикийн USE хувилбаруудад энэ төрлийн даалгавар нь ялангуяа C3 даалгаврыг агуулдаг. С3 даалгавруудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах нь зөвхөн зорилгод төдийгүй чухал юм амжилттай хүргэлтУлсын нэгдсэн шалгалт, гэхдээ энэ чадвар нь дээд боловсролын математикийн хичээлд суралцахад хэрэгтэй байдаг.
C3 даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ та шийдэх хэрэгтэй янз бүрийн төрөлтэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Тэдгээрийн дотроос оновчтой, иррациональ, экспоненциал, логарифм, тригонометр, агуулсан модулиуд (үнэмлэхүй утгууд), түүнчлэн хосолсон байдаг. Энэ нийтлэлд экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг авч үзэх болно. Бусад төрлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх талаар "" гарчгийн доор C3 асуудлыг шийдвэрлэх аргуудад зориулсан нийтлэлээс уншина уу. Сонголтуудыг ашиглахматематик.
Тодорхой дүн шинжилгээ хийхээс өмнө экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, Математикийн багшийн хувьд би танд зарим зүйлийг сайтар нягтлахыг санал болгож байна онолын материалбидэнд хэрэгтэй болно.
Экспоненциал функц
Экспоненциал функц гэж юу вэ?
Харах функц y = а х, Хаана а> 0 ба а≠ 1, дуудагдсан экспоненциал функц.
Үндсэн экспоненциал функцийн шинж чанарууд y = а х:
Экспоненциал функцийн график
Экспоненциал функцийн график нь үзэсгэлэнд оролцогч:
Экспоненциал функцийн графикууд (экпонент)
Экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл
заалтүл мэдэгдэх хувьсагч нь зөвхөн ямар ч зэрэглэлийн илтгэгчээр олддог тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Шийдлийн хувьд экспоненциал тэгшитгэлТа дараах энгийн теоремыг мэдэж, ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй.
Теорем 1.экспоненциал тэгшитгэл а е(x) = а g(x) (Хаана а > 0, а≠ 1) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна е(x) = g(x).
Нэмж дурдахад үндсэн томъёо, үйлдлүүдийг зэрэгтэй санах нь зүйтэй.
Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}
Жишээ 1Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:Дээрх томъёо болон орлуулалтыг ашиглана уу:
Дараа нь тэгшитгэл нь:
Олж авсан квадрат тэгшитгэлийн дискриминант эерэг байна.
Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}
Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм. Бид тэдгээрийг олдог:
Сэлгээнд буцаж орвол бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй, учир нь экспоненциал функц нь тодорхойлолтын бүх мужид хатуу эерэг байдаг. Хоёр дахь асуудлыг шийдье:
Теорем 1-д хэлсэн зүйлийг харгалзан бид ижил тэгшитгэл рүү шилждэг. x= 3. Энэ нь даалгаврын хариулт байх болно.
Хариулт: x = 3.
Жишээ 2Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь зөвшөөрөгдөх утгын талбайд ямар ч хязгаарлалт байхгүй, учир нь радикал илэрхийлэл нь ямар ч утгыг илэрхийлдэг. x(экпоненциал функц y = 9 4 -хэерэг ба тэгтэй тэнцүү биш).
Бид тэгшитгэлийг үржүүлэх, хуваах дүрмийг ашиглан тэнцүү хувиргах замаар шийддэг.
Сүүлийн шилжилтийг теорем 1-ийн дагуу хийсэн.
Хариулт:x= 6.
Жишээ 3Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:Анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг 0.2-т хувааж болно x. Энэ илэрхийлэл нь ямар ч утгын хувьд тэгээс их байх тул энэ шилжилт нь тэнцүү байх болно x(экпоненциал функц нь түүний домайн дээр хатуу эерэг байдаг). Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
Хариулт: x = 0.
Жишээ 4Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:Бид өгүүллийн эхэнд өгөгдсөн хүчийг хуваах, үржүүлэх дүрмийг ашиглан тэнцүү хувиргах замаар энгийн тэгшитгэлийг хялбаршуулдаг.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг 4-т хуваана x, өмнөх жишээн дээрх шиг, энэ илэрхийлэл нь ямар ч утгын хувьд тэгтэй тэнцүү биш тул эквивалент хувиргалт юм. x.
Хариулт: x = 0.
Жишээ 5Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:функц y = 3x, тэгшитгэлийн зүүн талд зогсож байгаа нь нэмэгдэж байна. Чиг үүрэг y = —x-2/3, тэгшитгэлийн баруун талд зогсож байгаа нь буурч байна. Энэ нь хэрэв эдгээр функцүүдийн графикууд огтлолцож байвал хамгийн ихдээ нэг цэгт байна гэсэн үг юм. IN Энэ тохиолдолдграфикууд нэг цэг дээр огтлолцдог гэдгийг таахад хялбар байдаг x= -1. Өөр үндэс байхгүй болно.
Хариулт: x = -1.
Жишээ 6Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:Бид тэгшитгэлийг эквивалент хувиргалтаар хялбарчилж, экспоненциал функц нь ямар ч утгын хувьд тэгээс их байна гэдгийг хаа сайгүй санаж байна xБүтээгдэхүүнийг тооцоолох дүрэм, нийтлэлийн эхэнд өгсөн хэсэгчилсэн эрх мэдлийг ашиглан:
Хариулт: x = 2.
Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
заалтүл мэдэгдэх хувьсагч нь зөвхөн зарим зэрэглэлийн илтгэгчид агуулагдах тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг.
Шийдлийн хувьд экспоненциал тэгш бус байдалДараах теоремыг мэдэх шаардлагатай.
Теорем 2.Хэрэв а> 1, дараа нь тэгш бус байдал а е(x) > а g(x) нь ижил утгатай тэгш бус байдалтай тэнцүү байна: е(x) > g(x). Хэрэв 0< а < 1, то показательное неравенство а е(x) > а g(x) нь эсрэг утгатай тэгш бус байдалтай тэнцүү байна: е(x) < g(x).
Жишээ 7Тэгш бус байдлыг шийд:
Шийдэл:анхны тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ.
Энэ тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг 3 2-т хуваа x, ба (функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан y= 3 2x) тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй:
Орлуулахыг ашиглацгаая:
Дараа нь тэгш бус байдал дараах хэлбэрийг авна.
Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал юм.
урвуу орлуулалт руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.
Экспоненциал функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан зүүн талын тэгш бус байдал автоматаар биелдэг. Логарифмын сайн мэддэг шинж чанарыг ашиглан бид эквивалент тэгш бус байдалд шилждэг.
Зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их тоо тул (теорем 2-оор) дараах тэгш бус байдалд шилжих шилжилт болно.
Тиймээс бид эцэст нь хүрлээ хариулт:
Жишээ 8Тэгш бус байдлыг шийд:
Шийдэл:Хүчин чадлын үржүүлэх, хуваах шинж чанарыг ашиглан тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.
Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя:
Энэ орлуулалтын үед тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй байна.
Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 7-оор үржүүлбэл дараахь тэнцүү тэгш бус байдлыг олж авна.
Тиймээс тэгш бус байдал нь хувьсагчийн дараах утгуудаар хангагдана т:
Дараа нь орлуулалт руу буцаж орвол бид дараахь зүйлийг авна.
Эндхийн зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их байх тул тэгш бус байдалд шилжих нь тэнцүү байна (теорем 2-оор):
Эцэст нь бид авдаг хариулт:
Жишээ 9Тэгш бус байдлыг шийд:
Шийдэл:
Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг дараах илэрхийллээр хуваана.
Энэ нь үргэлж тэгээс их байдаг (учир нь экспоненциал функц эерэг байдаг) тиймээс тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх шаардлагагүй. Бид авах:
t , энэ нь интервалд байна:
Урвуу орлуулалт руу шилжихэд бид анхны тэгш бус байдал хоёр тохиолдолд хуваагддаг болохыг олж мэдэв.
Эхний тэгш бус байдал нь экспоненциал функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан шийдэлгүй. Хоёр дахь асуудлыг шийдье:
Жишээ 10Тэгш бус байдлыг шийд:
Шийдэл:
Параболагийн салбарууд y = 2x+2-x 2 нь доош чиглэсэн тул орой дээрээ хүрэх утгаараа дээрээс нь хязгаарлагдана:
Параболагийн салбарууд y = x 2 -2xҮзүүлэлтэд байгаа +2 нь дээш чиглэсэн бөгөөд энэ нь доороос дээд хэсэгт хүрэх утгаараа хязгаарлагддаг гэсэн үг юм.
Үүний зэрэгцээ функц нь доороос хязгаарлагдмал болж хувирдаг y = 3 x 2 -2x+2 тэгшитгэлийн баруун талд. Тэр түүнд хүрдэг хамгийн бага утгаилтгэгчийн параболын ижил цэгт байх ба энэ утга нь 3 1 = 3 байна. Тэгэхээр зүүн талын функц болон баруун талын функц нь нэг цэгт 3 гэсэн утгыг авсан тохиолдолд л анхны тэгш бус байдал үнэн болно. Эдгээр функцүүдийн хүрээг гатлах нь зөвхөн энэ тоо юм). Энэ нөхцөл нь нэг цэгт хангагдана x = 1.
Хариулт: x= 1.
Хэрхэн шийдэж сурахын тулд экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал,Та тэдний шийдлийг байнга сургах хэрэгтэй. Энэ хүнд хэцүү асуудалд янз бүрийн сургалтын хэрэглэгдэхүүн, бага ангийн математикийн бодлогын номууд, өрсөлдөөнт бодлогуудын цуглуулга, сургуулийн математикийн ангиуд, түүнчлэн бие даасан сессүүдмэргэжлийн багштай. Та бүхний бэлтгэл сургуулилтад өндөр амжилт, шалгалтанд өндөр амжилт гаргахыг чин сэтгэлээсээ хүсэн ерөөе.
Сергей Валерьевич
P.S. Эрхэм хүндэт зочид! Сэтгэгдэл хэсэгт тэгшитгэлээ шийдэх хүсэлтийг бүү бичээрэй. Харамсалтай нь надад үүнийг хийх цаг огт алга. Ийм мессежийг устгах болно. Нийтлэлийг уншина уу. Магадгүй үүнээс та даалгавраа бие даан шийдвэрлэх боломжийг олгодоггүй асуултуудын хариултыг олох болно.
