rumah › Sistem penyejuk › Jawatan dalam janjang aritmetik. Algebra: Perkembangan Aritmetik dan Geometri

Jawatan dalam janjang aritmetik. Algebra: Perkembangan Aritmetik dan Geometri

Maklumat teori

Maklumat teori

	Janjang aritmetik	Janjang geometri
Definisi	Janjang aritmetik a n satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama d (d- perbezaan perkembangan)	janjang geometri b n urutan nombor bukan sifar dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan nombor yang sama q (q- penyebut janjang)
Formula berulang	Untuk mana-mana semula jadi n a n + 1 = a n + d	Untuk mana-mana semula jadi n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formula penggal ke-n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
sifat ciri
Jumlah n sebutan pertama

Contoh tugasan dengan ulasan

Latihan 1

DALAM janjang aritmetik (a n) a 1 = -6, a 2

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21h

Mengikut syarat:

a 1= -6, jadi a 22= -6 + 21h.

Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 2

Cari sebutan kelima janjang geometri: -3; 6;....

Cara pertama (menggunakan formula jangka-n)

Mengikut formula ahli ke-n bagi janjang geometri:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Kerana b 1 = -3,

Cara kedua (menggunakan formula rekursif)

Oleh kerana penyebut janjang itu ialah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: b 5 = -48.

Tugasan 3

Dalam janjang aritmetik ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Cari sebutan ketujuh puluh lima janjang ini.

Untuk janjang aritmetik, sifat ciri mempunyai bentuk .

Oleh itu:

Gantikan data dalam formula:

Jawapan: 95.

Tugasan 4

Dalam janjang aritmetik ( a n ) a n= 3n - 4. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama.

Untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik, dua formula digunakan:

Yang mana satu dalam kes ini lebih senang digunakan?

Mengikut syarat, formula ahli ke-n bagi janjang asal diketahui ( a n) a n= 3n - 4. Boleh didapati dengan segera dan a 1, Dan a 16 tanpa menemui d. Oleh itu, kami menggunakan formula pertama.

Jawapan: 368.

Tugasan 5

Dalam janjang aritmetik a n) a 1 = -6; a 2= -8. Cari sebutan dua puluh dua janjang itu.

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21h.

Dengan syarat, jika a 1= -6, maka a 22= -6 + 21h. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 6

Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri direkodkan:

Cari sebutan janjang itu, yang dilambangkan dengan huruf x .

Apabila menyelesaikan, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 untuk janjang geometri. Ahli pertama perkembangan. Untuk mencari penyebut janjang q, anda perlu mengambil mana-mana sebutan janjang ini dan bahagikan dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, anda boleh mengambil dan membahagi dengan. Kami mendapat q \u003d 3. Daripada n, kami menggantikan 3 dalam formula, kerana perlu mencari sebutan ketiga bagi janjang geometri yang diberikan.

Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula, kami mendapat:

Jawapan : .

Tugasan 7

Daripada janjang aritmetik yang diberikan oleh formula sebutan ke-n, pilih yang mana syaratnya dipenuhi a 27 > 9:

Memandangkan syarat yang dinyatakan mesti dipenuhi untuk sebutan ke-27 janjang, kami menggantikan 27 dan bukannya n dalam setiap empat janjang. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapat:

Jawapan: 4.

Tugasan 8

Dalam janjang aritmetik a 1= 3, d = -1.5. Nyatakan nilai tertinggi n , yang mana ketaksamaan a n > -6.

Masalah janjang aritmetik telah wujud sejak zaman purba. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian, kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus mesir purba, yang mempunyai kandungan matematik - papirus Rhind (abad XIX SM) - mengandungi tugas berikut: bahagikan sepuluh sukat roti kepada sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan.

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Jadi, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada "Elemen" Euclid, merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik dengan bilangan ahli genap, jumlah ahli separuh ke-2 lebih daripada jumlahnya ahli 1 pada petak 1/2 daripada bilangan ahli.

Urutan an ditandakan. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Ia difahami sebagai diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan sedemikian dianggap semakin meningkat.

Janjang aritmetik dikatakan terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Dengan bilangan ahli yang sangat ramai, ini sudah kemajuan yang tidak terhingga.

Sebarang janjang aritmetik diberikan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan, yang sebaliknya, adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ini betul-betul janjang aritmetik, yang mempunyai sifat:

Setiap ahli janjang ialah min aritmetik bagi ahli sebelumnya dan yang seterusnya.
Sebaliknya: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan seterusnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan yang diberikan ialah janjang aritmetik. Kesamaan ini pada masa yang sama adalah tanda kemajuan, jadi ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana ahli jujukan, bermula dari ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang itu).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati dengan menggunakan formula berikut:

Sebagai contoh: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan kita menentukan ahli ke- janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan ke-knya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah ahli janjang aritmetik (dengan mengandaikan n anggota pertama janjang akhir) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain adalah sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung pada keadaan tugas dan data awal.

Siri asli sebarang nombor seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga satu geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu.

Objektif Pelajaran:

pengembangan dan pendalaman idea pelajar tentang tugasan yang diselesaikan menggunakan janjang aritmetik; organisasi aktiviti carian pelajar apabila memperoleh formula untuk jumlah n ahli pertama suatu janjang aritmetik;
pembangunan kemahiran untuk memperoleh pengetahuan baharu secara bebas, menggunakan pengetahuan yang telah diperoleh untuk mencapai tugas;
perkembangan keinginan dan keperluan untuk menggeneralisasikan fakta yang diperolehi, pembangunan kemerdekaan.

Tugasan:

generalisasi dan sistematikkan pengetahuan sedia ada mengenai topik "Janjang aritmetik";
terbitkan formula untuk mengira jumlah n ahli pertama suatu janjang aritmetik;
mengajar cara mengaplikasikan formula yang diperolehi dalam menyelesaikan pelbagai masalah;
menarik perhatian pelajar kepada prosedur mencari nilai ungkapan berangka.

peralatan:

kad dengan tugas untuk bekerja dalam kumpulan dan berpasangan;
kertas penilaian;
pembentangan"Janjang aritmetik".

I. Aktualisasi pengetahuan asas.

1. Kerja bebas berpasangan.

Pilihan pertama:

Tentukan janjang aritmetik. Tulis formula rekursif yang mentakrifkan janjang aritmetik. Berikan satu contoh janjang aritmetik dan nyatakan perbezaannya.

pilihan ke-2:

Tuliskan formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Cari sebutan ke-100 bagi janjang aritmetik ( a n}: 2, 5, 8 …
Pada masa ini, dua orang pelajar sisi terbalik papan menyediakan jawapan kepada soalan yang sama.
Pelajar menilai hasil kerja rakan kongsi dengan membandingkannya dengan papan. (Risalah berserta jawapan diserahkan).

2. Detik permainan.

Latihan 1.

cikgu. Saya membayangkan beberapa janjang aritmetik. Tanya saya hanya dua soalan supaya selepas jawapan anda boleh menamakan ahli ke-7 perkembangan ini dengan cepat. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Soalan daripada pelajar.

Apakah sebutan keenam janjang itu dan apakah perbezaannya?
Apakah sebutan kelapan janjang itu dan apakah perbezaannya?

Sekiranya tidak ada lagi soalan, maka guru boleh merangsang mereka - "larangan" pada d (perbezaan), iaitu, tidak dibenarkan bertanya apa perbezaannya. Anda boleh bertanya soalan: apakah penggal ke-6 janjang itu dan apakah sebutan ke-8 janjang itu?

Tugasan 2.

Terdapat 20 nombor yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan hitam. Pelajar menyebut nombor nombor, dan guru segera memanggil nombor itu sendiri. Terangkan bagaimana saya boleh melakukannya?

Guru mengingati rumus penggal ke-n a n \u003d 3n - 2 dan, menggantikan nilai n yang diberikan, mencari nilai yang sepadan a n .

II. Penyataan tugas pendidikan.

Saya bercadang untuk menyelesaikan masalah lama sejak alaf ke-2 SM, yang terdapat dalam papirus Mesir.

Tugasan:“Hendaklah dikatakan kepadamu: Bagilah 10 takar barli kepada 10 orang, selisih antara tiap-tiap orang dengan jirannya ialah 1/8 dari takaran”.

Bagaimanakah masalah ini berkaitan dengan topik janjang aritmetik? (Setiap orang seterusnya mendapat 1/8 daripada ukuran lebih banyak, jadi perbezaannya ialah d=1/8, 10 orang, jadi n=10.)
Pada pendapat anda, apakah maksud nombor 10? (Jumlah semua ahli perkembangan.)
Apa lagi yang anda perlu tahu untuk memudahkan dan mudah membahagi barli mengikut keadaan masalah? (Penggal pertama janjang.)

Objektif pelajaran- mendapatkan pergantungan jumlah syarat janjang pada bilangannya, sebutan pertama dan perbezaannya, dan menyemak sama ada masalah itu diselesaikan dengan betul pada zaman dahulu.

Sebelum mendapatkan formula, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno menyelesaikan masalah itu.

Dan mereka menyelesaikannya seperti ini:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran - bahagian purata;
2) 1 sukatan ∙ = 2 sukatan - digandakan purata kongsi.
berganda purata bahagian itu ialah jumlah saham orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 sukatan - 1/8 sukatan = 1 7/8 sukatan - dua kali ganda bahagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - bahagian kelima; dan seterusnya, anda boleh mencari bahagian setiap orang sebelumnya dan seterusnya.

Kami mendapat urutan:

III. Penyelesaian tugas.

1. Bekerja dalam kumpulan

kumpulan pertama: Cari hasil tambah 20 nombor asli berturut-turut: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Secara umum

Kumpulan II: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Kesimpulan:

Kumpulan III: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 21.

Penyelesaian: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

Kumpulan IV: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 101.

Kesimpulan:

Kaedah menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan ini dipanggil "kaedah Gauss".

2. Setiap kumpulan membentangkan penyelesaian masalah di papan tulis.

3. Generalisasi penyelesaian yang dicadangkan untuk janjang aritmetik arbitrari:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Kami mendapati jumlah ini dengan berhujah sama:

4. Sudahkah kita menyelesaikan tugas?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penggunaan formula yang diperolehi dalam menyelesaikan masalah.

1. Menyemak penyelesaian masalah lama dengan formula.

2. Aplikasi formula dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

3. Latihan untuk pembentukan kebolehan mengaplikasi rumus dalam menyelesaikan masalah.

A) No. 613

Diberi :( dan n) - janjang aritmetik;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Cari: S 1500

Penyelesaian: , dan 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberi: ( dan n) - janjang aritmetik;
(dan n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Cari: n
Penyelesaian:

V. Kerja bebas dengan pengesahan bersama.

Denis pergi bekerja sebagai kurier. Pada bulan pertama, gajinya ialah 200 rubel, pada setiap bulan berikutnya ia meningkat sebanyak 30 rubel. Berapakah pendapatannya dalam setahun?

Diberi :( dan n) - janjang aritmetik;
a 1 = 200, d=30, n=12
Cari: S 12
Penyelesaian:

Jawapan: Denis menerima 4380 rubel untuk tahun ini.

VI. Arahan kerja rumah.

ms 4.3 - pelajari terbitan formula.
№№ 585, 623 .
Susun masalah yang akan diselesaikan menggunakan formula untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik.

VII. Merumuskan pelajaran.

1. Lembaran markah

2. Sambung ayat

Hari ini dalam kelas saya belajar...
Formula yang dipelajari...
Saya percaya bahawa…

3. Bolehkah anda mencari jumlah nombor dari 1 hingga 500? Apakah kaedah yang akan anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Bibliografi.

1. Algebra, darjah 9. Buku teks untuk institusi pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscow: Pencerahan, 2009.

Ya, ya: janjang aritmetik bukan mainan untuk anda :)

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, maka bukti topi dalaman memberitahu saya bahawa anda masih tidak tahu apa itu janjang aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke perniagaan.

Sebagai permulaan, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set nombor:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apakah persamaan kesemua set ini? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap satu lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor bersebelahan sudah sama dengan lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, terdapat akar secara umum. Walau bagaimanapun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, manakala $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. dalam kes ini setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua jujukan tersebut hanya dipanggil janjang aritmetik. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan nombor di mana setiap seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama dipanggil janjang aritmetik. Jumlah perbezaan nombor dipanggil perbezaan janjang dan paling kerap dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ ialah janjang itu sendiri, $d$ ialah perbezaannya.

Dan hanya beberapa kenyataan penting. Pertama, kemajuan dianggap sahaja teratur urutan nombor: mereka dibenarkan untuk dibaca dengan ketat mengikut urutan yang ditulis - dan tidak ada yang lain. Anda tidak boleh menyusun semula atau menukar nombor.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas merupakan janjang aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu seperti (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tidak terhingga. Elipsis selepas empat, seolah-olah, membayangkan bahawa agak banyak nombor pergi lebih jauh. Tidak terhingga banyak, contohnya. :)

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan semakin meningkat dan menurun. Kita telah melihat peningkatan - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut ialah contoh perkembangan menurun:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi yang lain, saya fikir, anda faham. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baharu:

Definisi. Janjang aritmetik dipanggil:

meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada yang sebelumnya;

menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, terdapat urutan yang dipanggil "pegun" - ia terdiri daripada nombor berulang yang sama. Contohnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu soalan yang tinggal: bagaimana untuk membezakan kemajuan yang semakin meningkat daripada yang semakin berkurangan? Nasib baik, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda nombor $d$, i.e. perbezaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka janjang itu meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka kemajuan itu jelas berkurangan;
Akhirnya, terdapat kes $d=0$ — dalam kes ini keseluruhan janjang dikurangkan kepada urutan pegun nombor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...), dsb.

Mari cuba kira perbezaan $d$ untuk tiga janjang menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil mana-mana dua elemen bersebelahan (contohnya, yang pertama dan kedua) dan tolak daripada nombor di sebelah kanan, nombor di sebelah kiri. Ia akan kelihatan seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang anda lihat, dalam ketiga-tiga kes perbezaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita mengetahui lebih kurang definisinya, sudah tiba masanya untuk mengetahui cara perkembangan diterangkan dan sifat yang dimilikinya.

Ahli perkembangan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kami tidak boleh ditukar ganti, ia boleh dinomborkan:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \kanan$\]

Elemen individu set ini dipanggil ahli janjang. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nombor: ahli pertama, ahli kedua, dan seterusnya.

Di samping itu, seperti yang telah kita ketahui, ahli jiran perkembangan dikaitkan dengan formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Anak panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ringkasnya, untuk mencari sebutan $n$th bagi janjang, anda perlu mengetahui sebutan $n-1$th dan perbezaan $d$. Formula sedemikian dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda boleh mencari sebarang nombor, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya, semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula yang lebih rumit yang mengurangkan sebarang pengiraan kepada sebutan pertama dan perbezaan:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemui formula ini sebelum ini. Mereka suka memberikannya dalam semua jenis buku rujukan dan reshebnik. Dan dalam mana-mana buku teks yang masuk akal mengenai matematik, ia adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya cadangkan anda berlatih sedikit.

Tugas nombor 1. Tuliskan tiga sebutan pertama janjang aritmetik $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu sebutan pertama $((a)_(1))=8$ dan perbezaan janjang $d=-5$. Mari kita gunakan formula yang baru diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Jawapan: (8; 3; -2)

Itu sahaja! Perhatikan bahawa perkembangan kami semakin berkurangan.

Sudah tentu, $n=1$ tidak boleh digantikan - kita sudah tahu istilah pertama. Walau bagaimanapun, dengan menggantikan unit, kami memastikan bahawa walaupun untuk penggal pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, semuanya bermuara kepada aritmetik cetek.

Tugas nombor 2. Tulis tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan ketujuhnya ialah −40 dan sebutan ketujuh belasnya ialah −50.

Penyelesaian. Kami menulis keadaan masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \betul.\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Dan sekarang kita perhatikan bahawa jika kita menolak persamaan pertama dari persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), kita mendapat ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Sama seperti itu, kami mendapati perbezaan kemajuan! Ia kekal untuk menggantikan nombor yang ditemui dalam mana-mana persamaan sistem. Sebagai contoh, dalam yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui sebutan pertama dan perbezaannya, ia masih perlu mencari sebutan kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

sedia! Masalah selesai.

Jawapan: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat ingin tahu bagi janjang yang kami temui: jika kita mengambil sebutan $n$th dan $m$th dan menolaknya antara satu sama lain, kami mendapat perbezaan janjang itu didarab dengan nombor $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Simple tapi sangat harta yang berguna, yang pasti anda perlu tahu - dengan bantuannya anda boleh mempercepatkan penyelesaian banyak masalah dalam perkembangan dengan ketara. Berikut adalah contoh utama ini:

Tugas nombor 3. Sebutan kelima janjang aritmetik ialah 8.4, dan sebutan kesepuluhnya ialah 14.4. Cari sebutan kelima belas janjang ini.

Penyelesaian. Oleh kerana $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kami perlu mencari $((a)_(15))$, kami perhatikan berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita ada:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Jawapan: 20.4

Itu sahaja! Kami tidak perlu mengarang mana-mana sistem persamaan dan mengira sebutan pertama dan perbezaan - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan satu lagi jenis masalah - pencarian ahli negatif dan positif perkembangan. Bukan rahsia lagi bahawa jika janjang meningkat, manakala sebutan pertamanya negatif, maka lambat laun istilah positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat perkembangan yang semakin berkurangan lambat laun akan menjadi negatif.

Pada masa yang sama, tidak mungkin untuk mencari detik ini "di dahi", menyusun unsur-unsur secara berurutan. Selalunya, masalah direka bentuk sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui formula, pengiraan akan mengambil beberapa helaian - kami hanya akan tertidur sehingga kami menemui jawapannya. Oleh itu, kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas nombor 4. Berapa banyak sebutan negatif dalam janjang aritmetik -38.5; -35.8; …?

Penyelesaian. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, yang mana kita akan segera mencari perbezaannya:

Perhatikan bahawa perbezaannya adalah positif, jadi perkembangannya semakin meningkat. Penggal pertama adalah negatif, jadi sememangnya pada satu ketika kita akan tersandung pada nombor positif. Satu-satunya persoalan ialah bila ini akan berlaku.

Mari cuba cari: berapa lama (iaitu, sehingga nombor asli $n$) negatif istilah itu dikekalkan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\maks ))=15. \\ \end(align)\]

Baris terakhir memerlukan penjelasan. Jadi kita tahu bahawa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sebaliknya, hanya nilai integer nombor yang sesuai dengan kita (lebih-lebih lagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi nombor yang dibenarkan terbesar adalah tepat $n=15$, dan dalam kes tidak 16.

Tugas nombor 5. Dalam janjang aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Cari nombor sebutan positif pertama bagi janjang ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah jiran diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita boleh mencari perbezaan janjang dengan mudah:

Di samping itu, mari kita cuba untuk menyatakan sebutan kelima dari segi yang pertama dan perbezaan menggunakan formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mengetahui pada titik mana dalam urutan nombor positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Anak panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Penyelesaian integer minimum bagi ketaksamaan ini ialah nombor 56.

Sila ambil perhatian: dalam tugasan terakhir semuanya berpunca daripada ketidaksamaan yang ketat, jadi pilihan $n=55$ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama-tama, mari kita pelajari satu lagi sifat janjang aritmetik yang sangat berguna, yang akan menjimatkan banyak masa dan sel yang tidak sama pada masa hadapan. :)

Min aritmetik dan inden sama

Pertimbangkan beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari cuba tandakan mereka pada garis nombor:

Ahli janjang aritmetik pada garis nombor

Saya secara khusus menyatakan ahli sewenang-wenangnya $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan sebarang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dsb. Kerana peraturan, yang sekarang saya akan beritahu anda, berfungsi sama untuk mana-mana "segmen".

Dan peraturannya sangat mudah. Mari kita ingat formula rekursif dan tuliskannya untuk semua ahli yang ditanda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Walau bagaimanapun, persamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Nah, jadi apa? Tetapi hakikat bahawa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini bersamaan dengan $d$. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - ia juga dikeluarkan daripada $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama bersamaan dengan $2d$. Anda boleh meneruskan selama-lamanya, tetapi gambar menggambarkan maksud dengan baik

Ahli-ahli perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apakah maknanya bagi kita? Ini bermakna anda boleh mencari $((a)_(n))$ jika nombor jiran diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang mengagumkan: setiap ahli janjang aritmetik adalah sama dengan min aritmetik ahli jiran! Selain itu, kita boleh menyimpang dari $((a)_(n))$ kami ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan formulanya tetap betul:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita boleh mencari beberapa $((a)_(150))$ dengan mudah jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, kerana $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, nampaknya fakta ini tidak memberi kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak tugasan "diasah" khas untuk penggunaan min aritmetik. Tengoklah:

Tugas nombor 6. Cari semua nilai $x$ supaya nombor $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ ialah ahli berturut-turut bagi janjang aritmetik (dalam susunan tertentu).

Penyelesaian. Oleh kerana nombor ini adalah ahli janjang, keadaan min aritmetik dipenuhi untuk mereka: unsur pusat $x+1$ boleh dinyatakan dalam sebutan unsur jiran:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ia ternyata klasik persamaan kuadratik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawapannya.

Jawapan: -3; 2.

Tugas nombor 7. Cari nilai $$ supaya nombor $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk janjang aritmetik (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Sekali lagi, kami menyatakan istilah tengah dari segi min aritmetik bagi istilah jiran:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Satu lagi persamaan kuadratik. Dan sekali lagi dua punca: $x=6$ dan $x=1$.

Jawapan: 1; 6.

Jika dalam proses menyelesaikan masalah anda mendapat beberapa nombor yang kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang ketepatan jawapan yang ditemui, maka terdapat helah hebat yang membolehkan anda menyemak: adakah kami menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakan dalam masalah 6 kita mendapat jawapan -3 dan 2. Bagaimanakah kita boleh menyemak bahawa jawapan ini betul? Mari kita pasangkannya ke dalam keadaan asal dan lihat apa yang berlaku. Biar saya ingatkan anda bahawa kita mempunyai tiga nombor ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang sepatutnya membentuk janjang aritmetik. Gantikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Kami mendapat nombor -54; −2; 50 yang berbeza dengan 52 sudah pasti merupakan janjang aritmetik. Perkara yang sama berlaku untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Sekali lagi janjang, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu diselesaikan dengan betul. Mereka yang mahu boleh menyemak tugas kedua sendiri, tetapi saya akan katakan dengan segera: semuanya betul di sana juga.

Secara umum, semasa menyelesaikan tugasan terakhir, kami terjumpa yang lain fakta menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga nombor adalah seperti yang kedua adalah purata yang pertama dan terakhir, maka nombor ini membentuk janjang aritmetik.

Pada masa hadapan, memahami kenyataan ini akan membolehkan kita "membina" secara literal perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "pembinaan" sedemikian, kita harus memberi perhatian kepada satu lagi fakta, yang secara langsung mengikuti apa yang telah dipertimbangkan.

Pengumpulan dan jumlah unsur

Mari kita kembali ke garis nombor semula. Kami perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak ahli lain:

6 elemen yang ditanda pada garis nombor

Mari cuba nyatakan "ekor kiri" dalam sebutan $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam sebutan $((a)_(k))$ dan $ d$. Ia sangat mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sekarang ambil perhatian bahawa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Ringkasnya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen janjang, yang secara keseluruhannya adalah sama dengan beberapa nombor $S$, dan kemudian kita mula melangkah dari unsur-unsur ini ke arah yang bertentangan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah unsur yang akan kita temui juga akan sama$S$. Ini boleh diwakili dengan terbaik secara grafik:

Inden yang sama memberikan jumlah yang sama

Kefahaman fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah secara lebih asas tahap tinggi kerumitan daripada yang dibincangkan di atas. Sebagai contoh, ini:

Tugas nombor 8. Tentukan beza janjang aritmetik di mana sebutan pertama ialah 66, dan hasil darab sebutan kedua dan kedua belas adalah terkecil yang mungkin.

Penyelesaian. Mari kita tulis semua yang kita tahu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan janjang $d$. Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian akan dibina di sekeliling perbezaan, kerana produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya telah mengambil faktor sepunya 11 daripada kurungan kedua. Oleh itu, hasil darab yang dikehendaki ialah fungsi kuadratik berkenaan dengan pembolehubah $d$. Oleh itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafnya akan menjadi parabola dengan cawangan ke atas, kerana jika kita membuka kurungan, kita mendapat:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, pekali pada sebutan tertinggi ialah 11 - ini nombor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

graf fungsi kuadratik - parabola
Sila ambil perhatian: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada puncaknya dengan abscissa $((d)_(0))$. Sudah tentu, kita boleh mengira absis ini mengikut skema standard (terdapat formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi lebih munasabah untuk ambil perhatian bahawa bucu yang dikehendaki terletak pada simetri paksi parabola, jadi titik $((d)_(0))$ adalah sama jarak dari punca persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Itulah sebabnya saya tidak tergesa-gesa untuk membuka kurungan: dalam bentuk asal, akarnya sangat, sangat mudah dicari. Oleh itu, absis adalah sama dengan min aritmetik bagi nombor −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nombor yang ditemui? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil(Dengan cara ini, kami tidak mengira $((y)_(\min ))$ - kami tidak perlu melakukan ini). Pada masa yang sama, nombor ini ialah perbezaan janjang awal, i.e. kami jumpa jawapannya. :)

Jawapan: -36

Tugas nombor 9. Masukkan tiga nombor antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ supaya bersama-sama dengan nombor yang diberi ia membentuk satu janjang aritmetik.

Penyelesaian. Sebenarnya, kita perlu membuat urutan lima nombor, dengan yang pertama dan nombor terakhir sudah diketahui. Nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ambil perhatian bahawa nombor $y$ ialah "tengah" jujukan kami - ia adalah sama jarak dari nombor $x$ dan $z$, dan daripada nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari nombor $x$ dan $z$ kita masuk masa ini kita tidak dapat $y$, maka keadaannya berbeza dengan penghujung janjang. Ingat maksud aritmetik:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari nombor yang tinggal. Ambil perhatian bahawa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru ditemui. sebab tu

Berhujah sama, kita dapati nombor yang tinggal:

sedia! Kami menjumpai ketiga-tiga nombor. Mari kita tuliskannya dalam jawapan mengikut susunan yang harus disisipkan di antara nombor asal.

Jawapan: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nombor 10. Di antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang, bersama-sama dengan nombor yang diberikan, membentuk janjang aritmetik, jika diketahui bahawa jumlah nombor pertama, kedua, dan terakhir daripada nombor yang dimasukkan ialah 56.

Penyelesaian. Tugas yang lebih sukar, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui min aritmetik. Masalahnya ialah kita tidak tahu berapa banyak nombor yang perlu dimasukkan. Oleh itu, untuk kepastian, kami mengandaikan bahawa selepas memasukkan akan ada tepat $n$ nombor, dan yang pertama daripadanya ialah 2, dan yang terakhir ialah 42. Dalam kes ini, janjang aritmetik yang dikehendaki boleh diwakili sebagai:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa nombor $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh daripada nombor 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain , iaitu . ke tengah urutan. Dan ini bermakna

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tetapi ungkapan di atas boleh ditulis semula seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita boleh mencari perbezaan janjang dengan mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Anak panah kanan d=5. \\ \end(align)\]

Ia kekal hanya untuk mencari ahli yang tinggal:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai ke hujung kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhan, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugasan teks dengan janjang

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang agak mudah. Nah, yang mudah: bagi kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan belum membaca apa yang ditulis di atas, tugasan ini mungkin kelihatan seperti isyarat. Walau bagaimanapun, tugas-tugas sebegitu tepat yang ditemui dalam OGE dan USE dalam matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Tugas nombor 11. Pasukan itu menghasilkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bahagian lebih banyak daripada yang sebelumnya. Berapakah bahagian yang dihasilkan oleh briged pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas sekali, bilangan bahagian, dicat mengikut bulan, akan menjadi janjang aritmetik yang semakin meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ialah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh itu, 202 bahagian akan dikeluarkan pada bulan November.

Tugas nombor 12. Bengkel penjilidan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulan ia mengikat 4 buku lagi daripada bulan sebelumnya. Berapakah bilangan buku yang diikat oleh bengkel itu pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semuanya sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Disember ialah bulan ke-12 yang terakhir dalam tahun ini, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ini jawapannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Disember.

Nah, jika anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam janjang aritmetik. Anda boleh pergi dengan selamat pelajaran seterusnya, di mana kita akan mengkaji formula jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.

Atau aritmetik - ini adalah jenis urutan berangka tersusun, sifat-sifatnya dipelajari dalam kursus algebra sekolah. Artikel ini membincangkan secara terperinci persoalan bagaimana mencari jumlah janjang aritmetik.

Apakah perkembangan ini?

Sebelum meneruskan pertimbangan soalan (bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik), adalah wajar memahami apa yang akan dibincangkan.

Sebarang urutan nombor nyata yang diperoleh dengan menambah (menolak) beberapa nilai daripada setiap nombor sebelumnya dipanggil janjang algebra (aritmetik). Takrifan ini, diterjemahkan ke dalam bahasa matematik, mengambil bentuk:

Di sini i ialah nombor ordinal bagi unsur siri a i . Oleh itu, mengetahui hanya satu nombor awal, anda boleh memulihkan keseluruhan siri dengan mudah. Parameter d dalam formula dipanggil perbezaan janjang.

Ia boleh ditunjukkan dengan mudah bahawa kesamaan berikut berlaku untuk siri nombor yang sedang dipertimbangkan:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Iaitu, untuk mencari nilai unsur n-th mengikut tertib, tambahkan perbezaan d kepada unsur pertama a 1 n-1 kali.

Berapakah jumlah janjang aritmetik: formula

Sebelum memberikan formula untuk jumlah yang ditunjukkan, ia patut dipertimbangkan yang mudah kes istimewa. Memandangkan janjang nombor asli dari 1 hingga 10, anda perlu mencari jumlahnya. Oleh kerana terdapat beberapa istilah dalam janjang (10), adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah secara langsung, iaitu, jumlahkan semua elemen mengikut tertib.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Perlu mempertimbangkan satu perkara yang menarik: kerana setiap istilah berbeza dari yang seterusnya dengan nilai yang sama d \u003d 1, maka penjumlahan berpasangan yang pertama dengan yang kesepuluh, yang kedua dengan yang kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama . sungguh:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang anda lihat, terdapat hanya 5 daripada jumlah ini, iaitu, tepat dua kali kurang daripada bilangan elemen dalam siri itu. Kemudian mendarabkan bilangan jumlah (5) dengan hasil setiap jumlah (11), anda akan sampai kepada hasil yang diperoleh dalam contoh pertama.

Jika kita umumkan hujah-hujah ini, kita boleh menulis ungkapan berikut:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahawa tidak perlu sama sekali menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup untuk mengetahui nilai a 1 dan yang terakhir a n , dan juga jumlah nombor istilah n.

Adalah dipercayai bahawa Gauss mula-mula memikirkan kesamaan ini apabila dia mencari penyelesaian kepada masalah yang ditetapkan oleh guru sekolahnya: untuk menjumlahkan 100 integer pertama.

Jumlah unsur dari m hingga n: formula

Formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya menjawab persoalan bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik (elemen pertama), tetapi selalunya dalam tugas adalah perlu untuk menjumlahkan satu siri nombor di tengah-tengah janjang. Bagaimana hendak melakukannya?

Cara paling mudah untuk menjawab soalan ini adalah dengan mempertimbangkan contoh berikut: biarlah perlu untuk mencari jumlah sebutan dari b hingga ke n. Untuk menyelesaikan masalah, segmen tertentu dari m hingga n janjang harus diwakili sebagai siri nombor baharu. Dalam apa-apa perwakilan m-th sebutan a m akan menjadi yang pertama, dan a n akan bernombor n-(m-1). Dalam kes ini, menggunakan formula standard untuk jumlah, ungkapan berikut akan diperolehi:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh penggunaan formula

Mengetahui cara mencari jumlah janjang aritmetik, adalah wajar mempertimbangkan contoh mudah menggunakan formula di atas.

Di bawah diberikan turutan berangka, anda harus mencari jumlah ahlinya, bermula dari ke-5 dan berakhir dengan ke-12:

Nombor yang diberikan menunjukkan bahawa perbezaan d adalah sama dengan 3. Menggunakan ungkapan untuk elemen ke-n, anda boleh mencari nilai ahli ke-5 dan ke-12 janjang itu. Kesudahannya:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Mengetahui nilai nombor pada penghujung janjang algebra yang sedang dipertimbangkan, dan juga mengetahui nombor mana dalam siri yang mereka duduki, anda boleh menggunakan formula untuk jumlah yang diperoleh dalam perenggan sebelumnya. Dapatkan:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Perlu diingat bahawa nilai ini boleh diperoleh secara berbeza: pertama, cari jumlah 12 elemen pertama menggunakan formula piawai, kemudian hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan formula yang sama, dan kemudian tolak yang kedua daripada jumlah pertama. .

Popular dalam kategori: