Cara mendarab pecahan mudah. Peraturan untuk mendarab dan membahagi pecahan dengan integer
Pendaraban dan pembahagian pecahan.
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")
Operasi ini jauh lebih baik daripada tambah-tolak! Kerana ia lebih mudah. Saya mengingatkan anda: untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka (ini akan menjadi pengangka hasil) dan penyebut (ini akan menjadi penyebut). Itu dia:
Sebagai contoh:
Semuanya sangat mudah. Dan tolong jangan cari penyebut biasa! Tidak perlu di sini...
Untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda perlu membalikkan kedua(ini penting!) pecahan dan darabkannya, iaitu:
Sebagai contoh:
Jika pendaraban atau pembahagian dengan integer dan pecahan ditangkap, tidak mengapa. Sebagai tambahan, kami membuat pecahan daripada nombor bulat dengan unit dalam penyebut - dan pergi! Sebagai contoh:
Di sekolah menengah, anda sering perlu berurusan dengan pecahan tiga tingkat (atau empat tingkat!). Sebagai contoh:
Bagaimana untuk membawa pecahan ini kepada bentuk yang baik? Ya, sangat mudah! Gunakan pembahagian melalui dua titik:
Tetapi jangan lupa tentang perintah pembahagian! Tidak seperti pendaraban, ini sangat penting di sini! Sudah tentu, kami tidak akan mengelirukan 4:2 atau 2:4. Tetapi dalam pecahan tiga tingkat adalah mudah untuk membuat kesilapan. Sila ambil perhatian, sebagai contoh:
Dalam kes pertama (ungkapan di sebelah kiri):
Dalam kedua (ungkapan di sebelah kanan):
Rasai kelainannya? 4 dan 1/9!
Apakah susunan pembahagian? Atau kurungan, atau (seperti di sini) panjang sengkang mendatar. Kembangkan mata. Dan jika tiada kurungan atau sempang, seperti:
kemudian bahagi-darab mengikut urutan, kiri ke kanan!
Dan satu lagi helah yang sangat mudah dan penting. Dalam tindakan dengan darjah, ia akan berguna untuk anda! Mari bahagikan unit dengan mana-mana pecahan, sebagai contoh, dengan 13/15:
Tembakan telah terbalik! Dan ia sentiasa berlaku. Apabila membahagi 1 dengan mana-mana pecahan, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya terbalik.
Itu sahaja tindakan dengan pecahan. Perkara itu agak mudah, tetapi memberikan lebih daripada cukup ralat. Catatan nasihat praktikal, dan mereka (kesilapan) akan berkurangan!
Petua Praktikal:
1. Perkara yang paling penting apabila bekerja dengan ungkapan pecahan ialah ketepatan dan perhatian! Ini bukan kata-kata biasa, bukan harapan yang baik! Ini adalah keperluan yang teruk! Lakukan semua pengiraan pada peperiksaan sebagai tugas penuh, dengan penumpuan dan kejelasan. Adalah lebih baik untuk menulis dua baris tambahan dalam draf daripada menjadi kucar-kacir apabila mengira dalam kepala anda.
2. Dalam contoh dengan jenis yang berbeza pecahan - pergi ke pecahan biasa.
3. Kami mengurangkan semua pecahan sehingga berhenti.
4. Kami mengurangkan ungkapan pecahan berbilang peringkat kepada yang biasa menggunakan pembahagian melalui dua mata (kami mengikut susunan pembahagian!).
5. Kami membahagikan unit kepada pecahan dalam fikiran kita, hanya dengan membalikkan pecahan itu.
Berikut adalah tugas yang perlu anda selesaikan. Jawapan diberikan selepas semua tugasan. Gunakan bahan topik ini dan nasihat praktikal. Anggarkan berapa banyak contoh yang anda boleh selesaikan dengan betul. Kali pertama! Tanpa kalkulator! Dan buat kesimpulan yang betul...
Ingat jawapan yang betul diperoleh dari kali kedua (terutama yang ketiga) - tidak dikira! Begitulah pahitnya kehidupan.
Jadi, selesaikan dalam mod peperiksaan ! Ini adalah persediaan untuk peperiksaan. Kami menyelesaikan contoh, kami menyemak, kami menyelesaikan perkara berikut. Kami memutuskan segala-galanya - kami menyemak semula dari yang pertama hingga yang terakhir. Tetapi hanya Kemudian lihat jawapannya.
Kira:
Adakah anda membuat keputusan?
Mencari jawapan yang sepadan dengan jawapan anda. Saya secara khusus menulisnya dalam keadaan kucar-kacir, jauh dari godaan, boleh dikatakan ... Ini dia, jawapannya, ditulis dengan koma bertitik.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Dan sekarang kita membuat kesimpulan. Jika semuanya berjaya - gembira untuk anda! Pengiraan asas dengan pecahan bukan masalah anda! Anda boleh melakukan perkara yang lebih serius. Jika tidak...
Jadi anda mempunyai satu daripada dua masalah. Atau kedua-duanya sekali.) Kurang pengetahuan dan (atau) kurang perhatian. Tetapi ini boleh diselesaikan Masalah.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)
anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Pendaraban pecahan biasa
Pertimbangkan satu contoh.
Biarkan ada $\frac(1)(3)$ bahagian epal di atas pinggan. Kita perlu mencari bahagian $\frac(1)(2)$ daripadanya. Bahagian yang diperlukan ialah hasil darab pecahan $\frac(1)(3)$ dan $\frac(1)(2)$. Hasil darab dua pecahan sepunya ialah pecahan sepunya.
Mendarab dua pecahan sepunya
Peraturan untuk mendarab pecahan biasa:
Hasil pendaraban pecahan dengan pecahan ialah pecahan yang pengangkanya sama dengan hasil darab pengangka pecahan yang didarab, dan penyebutnya sama dengan hasil darab penyebutnya:
Contoh 1
Darab pecahan biasa $\frac(3)(7)$ dan $\frac(5)(11)$.
Penyelesaian.
Mari kita gunakan peraturan pendaraban pecahan biasa:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Jawapan:$\frac(15)(77)$
Jika hasil daripada pendaraban pecahan diperoleh pecahan yang boleh dibatalkan atau tidak wajar, maka perlu dipermudahkan.
Contoh 2
Darabkan pecahan $\frac(3)(8)$ dan $\frac(1)(9)$.
Penyelesaian.
Kami menggunakan peraturan untuk mendarab pecahan biasa:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Hasilnya, kami mendapat pecahan boleh dikurangkan (berdasarkan pembahagian sebanyak $3$. Bahagikan pengangka dan penyebut pecahan itu dengan $3$, kami dapat:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Penyelesaian ringkas:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Jawapan:$\frac(1)(24).$
Apabila mendarab pecahan, anda boleh mengurangkan pengangka dan penyebut untuk mencari hasil darabnya. Dalam kes ini, pengangka dan penyebut pecahan diuraikan kepada faktor mudah, selepas itu faktor pengulangan dikurangkan dan hasilnya ditemui.
Contoh 3
Hitung hasil darab pecahan $\frac(6)(75)$ dan $\frac(15)(24)$.
Penyelesaian.
Mari kita gunakan formula untuk mendarab pecahan biasa:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Jelas sekali, pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang boleh dikurangkan secara berpasangan dengan nombor $2$, $3$ dan $5$. Kami menguraikan pengangka dan penyebut kepada faktor mudah dan membuat pengurangan:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Jawapan:$\frac(1)(20).$
Apabila mendarab pecahan, hukum komutatif boleh digunakan:
Mendarab pecahan dengan nombor asli
Peraturan untuk mendarab pecahan biasa dengan nombor asli:
Hasil pendaraban pecahan dengan nombor asli ialah pecahan di mana pengangkanya sama dengan hasil darab pengangka pecahan yang didarab dengan nombor asli, dan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan yang didarab:
di mana $\frac(a)(b)$ ialah pecahan sepunya, $n$ ialah nombor asli.
Contoh 4
Darabkan pecahan $\frac(3)(17)$ dengan $4$.
Penyelesaian.
Mari kita gunakan peraturan mendarab pecahan biasa dengan nombor asli:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Jawapan:$\frac(12)(17).$
Jangan lupa tentang menyemak hasil pendaraban untuk kebolehkontrak pecahan atau untuk pecahan tidak wajar.
Contoh 5
Darabkan pecahan $\frac(7)(15)$ dengan $3$.
Penyelesaian.
Mari kita gunakan formula untuk mendarab pecahan dengan nombor asli:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Dengan kriteria pembahagian dengan nombor $3$), boleh ditentukan bahawa pecahan yang terhasil boleh dikurangkan:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Hasilnya ialah pecahan tidak wajar. Mari ambil bahagian keseluruhan:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Penyelesaian ringkas:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Ia juga mungkin untuk mengurangkan pecahan dengan menggantikan nombor dalam pengangka dan penyebut dengan pengembangannya menjadi faktor perdana. Dalam kes ini, penyelesaian boleh ditulis seperti berikut:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Jawapan:$1\frac(2)(5).$
Apabila mendarab pecahan dengan nombor asli, anda boleh menggunakan hukum komutatif:
Pembahagian pecahan biasa
Operasi bahagi ialah songsang bagi pendaraban dan hasilnya ialah pecahan, yang mana anda perlu mendarab pecahan yang diketahui untuk mendapatkan karya terkenal dua pecahan.
Pembahagian dua pecahan sepunya
Peraturan untuk membahagi pecahan biasa: Jelas sekali, pengangka dan penyebut pecahan yang terhasil boleh diuraikan kepada faktor mudah dan mengurangkan:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Akibatnya, kami mendapat pecahan tidak wajar, dari mana kami memilih bahagian integer:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Jawapan:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Penambahan pecahan.
Menambah pecahan mempunyai banyak persamaan dengan menambah nombor bulat. Penambahan pecahan ialah tindakan yang terdiri daripada fakta bahawa beberapa nombor tertentu (istilah) digabungkan menjadi satu nombor (jumlah), yang mengandungi semua unit dan pecahan unit sebutan.
Kami akan mempertimbangkan tiga kes secara bergilir:
1. Penambahan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penambahan pecahan dengan penyebut yang berbeza.
3. Penambahan nombor bercampur.
1. Penambahan pecahan dengan penyebut yang sama.
Pertimbangkan contoh: 1 / 5 + 2 / 5 .
Ambil segmen AB (Rajah 17), ambil ia sebagai satu unit dan bahagikannya kepada 5 bahagian yang sama, maka bahagian AC segmen ini akan sama dengan 1/5 segmen AB, dan bahagian CD segmen yang sama akan sama dengan 2/5 AB.
Ia boleh dilihat dari lukisan bahawa jika kita mengambil segmen AD, maka ia akan sama dengan 3/5 AB; tetapi segmen AD ialah jumlah tepat bagi segmen AC dan CD. Jadi, kita boleh menulis:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Mempertimbangkan syarat-syarat ini dan jumlah yang terhasil, kita melihat bahawa pengangka jumlah itu diperolehi dengan menambah pengangka istilah, dan penyebutnya kekal tidak berubah.
Daripada ini kita mendapat peraturan berikut: Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda mesti menambah pengangkanya dan meninggalkan penyebut yang sama.
Pertimbangkan contoh:
2. Penambahan pecahan dengan penyebut yang berbeza.
Mari tambah pecahan: 3/4 + 3/8 Mula-mula mereka perlu dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah:
Pautan perantaraan 6/8 + 3/8 tidak boleh ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk lebih jelas.
Oleh itu, untuk menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda mesti terlebih dahulu membawanya ke penyebut biasa terendah, menambah pengangkanya dan menandatangani penyebut biasa.
Pertimbangkan contoh (kami akan menulis faktor tambahan di atas pecahan yang sepadan):
3. Penambahan nombor bercampur.
Mari tambah nombor: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Mari kita mula-mula membawa bahagian pecahan nombor kita kepada penyebut sepunya dan menulisnya semula:
Sekarang tambahkan bahagian integer dan pecahan dalam urutan:
§ 88. Penolakan pecahan.
Penolakan pecahan ditakrifkan dengan cara yang sama seperti penolakan nombor bulat. Ini adalah tindakan yang, memandangkan jumlah dua istilah dan satu daripadanya, istilah lain dijumpai. Mari kita pertimbangkan tiga kes secara bergilir:
1. Penolakan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penolakan pecahan dengan penyebut yang berbeza.
3. Penolakan nombor bercampur.
1. Penolakan pecahan dengan penyebut yang sama.
Pertimbangkan contoh:
13 / 15 - 4 / 15
Mari kita ambil segmen AB (Rajah 18), ambil ia sebagai satu unit dan bahagikannya kepada 15 bahagian yang sama; maka bahagian AC segmen ini akan menjadi 1/15 AB, dan bahagian AD segmen yang sama akan sepadan dengan 13/15 AB. Mari kita ketepikan satu lagi segmen ED, bersamaan dengan 4/15 AB.
Kita perlu menolak 4/15 daripada 13/15. Dalam lukisan, ini bermakna segmen ED mesti ditolak daripada segmen AD. Akibatnya, segmen AE akan kekal, iaitu 9/15 segmen AB. Jadi kita boleh menulis:
Contoh yang kami buat menunjukkan bahawa pengangka bagi perbezaan itu diperoleh dengan menolak pengangka, dan penyebutnya tetap sama.
Oleh itu, untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menolak pengangka penolakan daripada pengangka bagi penolakan dan meninggalkan penyebut yang sama.
2. Penolakan pecahan dengan penyebut yang berbeza.
Contoh. 3/4 - 5/8
Mula-mula, mari kita kurangkan pecahan ini kepada penyebut sepunya terkecil:
Pautan perantaraan 6 / 8 - 5 / 8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi ia boleh dilangkau pada masa hadapan.
Oleh itu, untuk menolak pecahan daripada pecahan, anda mesti terlebih dahulu membawanya kepada penyebut sepunya terkecil, kemudian tolak pengangka tolak pecahan daripada pengangka tolak dan tandatangani penyebut sepunya di bawah perbezaannya.
Pertimbangkan contoh:
3. Penolakan nombor bercampur.
Contoh. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Mari kita bawa bahagian pecahan minuend dan subtrahend kepada penyebut sepunya terendah:
Kami menolak keseluruhan daripada keseluruhan dan pecahan daripada pecahan. Tetapi terdapat kes apabila bahagian pecahan subtrahend lebih besar daripada bahagian pecahan minuend. Dalam kes sedemikian, anda perlu mengambil satu unit daripada bahagian integer yang dikurangkan, membahagikannya kepada bahagian-bahagian di mana bahagian pecahan dinyatakan, dan menambah kepada bahagian pecahan yang dikurangkan. Dan kemudian penolakan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam contoh sebelumnya:
§ 89. Pendaraban pecahan.
Apabila mengkaji pendaraban pecahan, kita akan mempertimbangkan soalan berikut:
1. Mendarab pecahan dengan integer.
2. Mencari pecahan bagi nombor yang diberi.
3. Pendaraban nombor bulat dengan pecahan.
4. Mendarab pecahan dengan pecahan.
5. Pendaraban nombor bercampur.
6. Konsep minat.
7. Mencari peratusan bagi nombor yang diberi. Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.
1. Mendarab pecahan dengan integer.
Mendarab pecahan dengan integer mempunyai makna yang sama seperti mendarab integer dengan integer. Mendarab pecahan (darab) dengan integer (pendarab) bermakna mengarang jumlah sebutan yang sama, di mana setiap sebutan adalah sama dengan pendaraban, dan bilangan sebutan adalah sama dengan pengganda.
Jadi, jika anda perlu mendarab 1/9 dengan 7, maka ini boleh dilakukan seperti ini:
Kami mendapat keputusan dengan mudah, kerana tindakan dikurangkan kepada menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Oleh itu,
Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahawa mendarab pecahan dengan integer adalah bersamaan dengan meningkatkan pecahan ini seberapa banyak bilangan unit dalam integer. Dan kerana peningkatan dalam pecahan itu dicapai sama ada dengan meningkatkan pengangkanya
atau dengan mengurangkan penyebutnya 
, maka kita boleh sama ada mendarabkan pengangka dengan integer, atau membahagikan penyebut dengannya, jika pembahagian sedemikian mungkin.
Dari sini kita mendapat peraturan:
Untuk mendarab pecahan dengan integer, anda perlu mendarabkan pengangka dengan integer ini dan membiarkan penyebutnya sama, atau, jika boleh, bahagikan penyebut dengan nombor ini, meninggalkan pengangka tidak berubah.
Apabila mendarab, singkatan adalah mungkin, contohnya:
2. Mencari pecahan bagi nombor yang diberi. Terdapat banyak masalah di mana anda perlu mencari, atau mengira, sebahagian daripada nombor tertentu. Perbezaan antara tugasan ini dan tugasan lain ialah ia memberikan bilangan beberapa objek atau unit ukuran dan anda perlu mencari sebahagian daripada nombor ini, yang juga ditunjukkan di sini oleh pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, kami akan memberikan contoh masalah sedemikian, dan kemudian memperkenalkan kaedah menyelesaikannya.
Tugasan 1. Saya mempunyai 60 rubel; 1/3 daripada wang ini saya belanjakan untuk membeli buku. Berapakah harga buku tersebut?
Tugasan 2. Kereta api mesti menempuh jarak antara bandar A dan B, sama dengan 300 km. Dia sudah menempuh 2/3 daripada jarak itu. Berapa kilometer ini?
Tugasan 3. Terdapat 400 buah rumah di kampung itu, 3/4 daripadanya adalah bata, selebihnya adalah kayu. Berapakah bilangan rumah bata?
Berikut adalah beberapa daripada banyak masalah yang perlu kita tangani untuk mencari pecahan nombor tertentu. Mereka biasanya dipanggil masalah untuk mencari pecahan nombor tertentu.
Penyelesaian masalah 1. Dari 60 rubel. Saya membelanjakan 1 / 3 untuk buku; Jadi, untuk mencari kos buku, anda perlu membahagikan nombor 60 dengan 3:
Penyelesaian masalah 2. Maksud masalahnya ialah anda perlu mencari 2 / 3 daripada 300 km. Kira 1/3 pertama daripada 300; ini dicapai dengan membahagikan 300 km dengan 3:
300: 3 = 100 (iaitu 1/3 daripada 300).
Untuk mencari dua pertiga daripada 300, anda perlu menggandakan hasil bahagi yang terhasil, iaitu, darab dengan 2:
100 x 2 = 200 (iaitu 2/3 daripada 300).
Penyelesaian masalah 3. Di sini anda perlu menentukan bilangan rumah bata, iaitu 3/4 daripada 400. Mari kita cari dahulu 1/4 daripada 400,
400: 4 = 100 (iaitu 1/4 daripada 400).
Untuk mengira tiga perempat daripada 400, hasil bahagi yang terhasil mesti digandakan tiga kali ganda, iaitu, didarab dengan 3:
100 x 3 = 300 (iaitu 3/4 daripada 400).
Berdasarkan penyelesaian masalah ini, kita boleh memperoleh peraturan berikut:
Untuk mencari nilai pecahan nombor tertentu, anda perlu membahagikan nombor ini dengan penyebut pecahan dan darab hasil bahagi yang terhasil dengan pengangkanya.
3. Pendaraban nombor bulat dengan pecahan.
Terdahulu (§ 26) telah ditetapkan bahawa pendaraban integer harus difahami sebagai penambahan istilah yang sama (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Dalam perenggan ini (perenggan 1) telah ditetapkan bahawa mendarab pecahan dengan integer bermakna mencari jumlah sebutan yang sama bersamaan dengan pecahan ini.
Dalam kedua-dua kes, pendaraban terdiri daripada mencari jumlah sebutan yang sama.
Sekarang kita beralih kepada mendarab nombor bulat dengan pecahan. Di sini kita akan bertemu dengan seperti itu, sebagai contoh, pendaraban: 9 2 / 3. Agak jelas bahawa definisi pendaraban sebelumnya tidak terpakai untuk kes ini. Ini terbukti daripada fakta bahawa kita tidak boleh menggantikan pendaraban tersebut dengan menambah nombor yang sama.
Oleh sebab itu, kita perlu memberikan takrif pendaraban baharu, iaitu, dalam erti kata lain, untuk menjawab persoalan tentang apa yang perlu difahami dengan pendaraban dengan pecahan, bagaimana tindakan ini harus difahami.
Maksud mendarab integer dengan pecahan adalah jelas daripada definisi berikut: untuk mendarab integer (pendaraban) dengan pecahan (pendaraban) bermakna mencari pecahan darab ini.
Iaitu, mendarab 9 dengan 2/3 bermakna mencari 2/3 daripada sembilan unit. Dalam perenggan sebelumnya, masalah tersebut telah diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahawa kita berakhir dengan 6.
Tetapi kini persoalan yang menarik dan penting timbul: mengapa pada pandangan pertama pelbagai aktiviti, sebagai mencari hasil tambah nombor yang sama dan mencari pecahan nombor, dalam aritmetik dipanggil perkataan yang sama "pendaraban"?
Ini berlaku kerana tindakan sebelumnya (mengulang nombor dengan istilah beberapa kali) dan tindakan baru (mencari pecahan nombor) memberikan jawapan kepada soalan homogen. Ini bermakna kita meneruskan di sini dari pertimbangan bahawa soalan atau tugasan homogen diselesaikan dengan satu tindakan yang sama.
Untuk memahami ini, pertimbangkan masalah berikut: "1 m kain berharga 50 rubel. Berapakah kos 4 m kain tersebut?
Masalah ini diselesaikan dengan mendarabkan bilangan rubel (50) dengan bilangan meter (4), iaitu 50 x 4 = 200 (rubel).
Mari kita ambil masalah yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai nombor pecahan: "1 m kain berharga 50 rubel. Berapakah kos 3/4 m kain tersebut?
Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mendarabkan bilangan rubel (50) dengan bilangan meter (3/4).
Anda juga boleh menukar nombor di dalamnya beberapa kali tanpa mengubah maksud masalah, contohnya, ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dsb.
Oleh kerana masalah ini mempunyai kandungan yang sama dan hanya berbeza dalam nombor, kami memanggil tindakan yang digunakan dalam menyelesaikannya dengan perkataan yang sama - pendaraban.
Bagaimanakah nombor bulat didarab dengan pecahan?
Mari kita ambil nombor yang dihadapi dalam masalah terakhir:
Menurut definisi, kita mesti mencari 3 / 4 daripada 50. Mula-mula kita mencari 1/4 daripada 50, dan kemudian 3/4.
1/4 daripada 50 ialah 50/4;
3/4 daripada 50 ialah .
Oleh itu.
Pertimbangkan contoh lain: 12 5 / 8 = ?
1/8 daripada 12 ialah 12/8,
5/8 daripada nombor 12 ialah .
Oleh itu,
Dari sini kita mendapat peraturan:
Untuk mendarab integer dengan pecahan, anda perlu mendarab integer dengan pengangka pecahan dan menjadikan hasil darab ini sebagai pengangka, dan menandatangani penyebut pecahan yang diberikan sebagai penyebut.
Kami menulis peraturan ini menggunakan huruf:
Untuk membuat peraturan ini jelas dengan sempurna, perlu diingat bahawa pecahan boleh dianggap sebagai hasil bagi. Oleh itu, adalah berguna untuk membandingkan peraturan yang ditemui dengan peraturan untuk mendarab nombor dengan hasil bagi, yang dinyatakan dalam § 38
Perlu diingat bahawa sebelum melakukan pendaraban, anda harus melakukan (jika boleh) luka, Sebagai contoh:
4. Mendarab pecahan dengan pecahan. Mendarab pecahan dengan pecahan mempunyai makna yang sama seperti mendarab integer dengan pecahan, iaitu, apabila mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mencari pecahan dalam pendarab daripada pecahan pertama (pendarab).
Iaitu, mendarab 3/4 dengan 1/2 (separuh) bermakna mencari separuh daripada 3/4.
Bagaimanakah anda mendarab pecahan dengan pecahan?
Mari kita ambil contoh: 3/4 kali 5/7. Ini bermakna anda perlu mencari 5 / 7 daripada 3 / 4 . Cari 1/7 pertama daripada 3/4 dan kemudian 5/7
1/7 daripada 3/4 akan dinyatakan seperti ini:
5 / 7 nombor 3 / 4 akan dinyatakan seperti berikut:
Oleh itu,
Contoh lain: 5/8 kali 4/9.
1/9 daripada 5/8 ialah ,
4/9 nombor 5/8 ialah .
Oleh itu, 
Daripada contoh-contoh ini, peraturan berikut boleh disimpulkan:
Untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dengan pengangka, dan penyebut dengan penyebut dan menjadikan hasil darab pertama sebagai pengangka dan hasil darab kedua sebagai penyebut hasil darab.
Ini adalah peraturan dalam Pandangan umum boleh ditulis seperti ini:
Apabila mendarab, adalah perlu untuk membuat (jika boleh) pengurangan. Pertimbangkan contoh:
5. Pendaraban nombor bercampur. Memandangkan nombor bercampur boleh digantikan dengan mudah dengan pecahan tak wajar, keadaan ini biasanya digunakan apabila mendarab nombor bercampur. Ini bermakna bahawa dalam kes di mana pendaraban, atau pendarab, atau kedua-dua faktor dinyatakan sebagai nombor bercampur, maka ia digantikan dengan pecahan tak wajar. Darab, sebagai contoh, nombor bercampur: 2 1/2 dan 3 1/5. Kami menukar setiap pecahan menjadi pecahan tak wajar dan kemudian kami akan mendarabkan pecahan yang terhasil mengikut peraturan mendarab pecahan dengan pecahan:
peraturan. Untuk mendarab nombor bercampur, anda mesti menukarnya kepada pecahan tak wajar dan kemudian mendarab mengikut peraturan mendarab pecahan dengan pecahan.
Catatan. Jika salah satu faktor ialah integer, maka pendaraban boleh dilakukan berdasarkan hukum taburan seperti berikut:
6. Konsep minat. Apabila menyelesaikan masalah dan semasa melakukan pelbagai pengiraan praktikal, kami menggunakan semua jenis pecahan. Tetapi kita mesti ingat bahawa banyak kuantiti tidak mengakui apa-apa, tetapi pembahagian semula jadi untuk mereka. Sebagai contoh, anda boleh mengambil seperseratus (1/100) ruble, ia akan menjadi satu sen, dua perseratus ialah 2 kopecks, tiga perseratus ialah 3 kopecks. Anda boleh mengambil 1/10 daripada ruble, ia akan menjadi "10 kopecks, atau satu sen. Anda boleh mengambil satu perempat daripada ruble, iaitu 25 kopecks, setengah ruble, iaitu 50 kopecks (lima puluh kopecks). Tetapi mereka boleh dikatakan tidak 'Jangan ambil, sebagai contoh, 2/7 rubel kerana ruble tidak dibahagikan kepada pertujuh.
Unit ukuran untuk berat, iaitu, kilogram, membenarkan, pertama sekali, pembahagian perpuluhan, contohnya, 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1/ 13 adalah jarang berlaku.
Secara umum ukuran (metrik) kami ialah perpuluhan dan membenarkan pecahan perpuluhan.
Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa ia amat berguna dan mudah dalam pelbagai kes untuk menggunakan kaedah (seragam) yang sama untuk membahagikan kuantiti. Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahawa pembahagian yang berasas sedemikian adalah bahagian "perseratus". Mari kita pertimbangkan beberapa contoh yang berkaitan dengan bidang amalan manusia yang paling pelbagai.
1. Harga buku telah menurun sebanyak 12/100 daripada harga sebelumnya.
Contoh. Harga buku sebelumnya ialah 10 rubel. Dia turun sebanyak 1 rubel. 20 kop.
2. Bank simpanan membayar sepanjang tahun kepada penyimpan 2/100 daripada jumlah yang dimasukkan ke dalam simpanan.
Contoh. 500 rubel dimasukkan ke dalam meja tunai, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini ialah 10 rubel.
3. Bilangan graduan sebuah sekolah ialah 5/100 daripada jumlah keseluruhan pelajar.
CONTOH Hanya 1,200 pelajar yang belajar di sekolah itu, 60 daripadanya lulus sekolah.
Perseratus nombor dipanggil peratusan..
Perkataan "peratus" dipinjam daripada bahasa Latin dan akarnya "sen" bermaksud seratus. Bersama-sama dengan preposisi (pro centum), perkataan ini bermaksud "untuk seratus." Maksud ungkapan ini berikutan daripada fakta bahawa pada mulanya dalam Rom kuno faedah ialah wang yang dibayar oleh penghutang kepada pemberi pinjaman "untuk setiap seratus." Perkataan "sen" didengari dalam perkataan biasa: centner (seratus kilogram), sentimeter (mereka mengatakan sentimeter).
Sebagai contoh, bukannya mengatakan bahawa kilang itu menghasilkan 1/100 daripada semua produk yang dihasilkan olehnya pada bulan lalu, kami akan mengatakan ini: kilang itu menghasilkan satu peratus daripada penolakan pada bulan lalu. Daripada berkata: kilang itu menghasilkan 4/100 lebih banyak produk daripada rancangan yang ditetapkan, kami akan berkata: kilang itu melebihi pelan sebanyak 4 peratus.
Contoh di atas boleh dinyatakan secara berbeza:
1. Harga buku telah menurun sebanyak 12 peratus daripada harga sebelumnya.
2. Bank simpanan membayar penyimpan 2 peratus setahun daripada jumlah yang dimasukkan ke dalam simpanan.
3. Bilangan graduan sebuah sekolah ialah 5 peratus daripada jumlah keseluruhan pelajar di sekolah tersebut.
Untuk memendekkan huruf, adalah kebiasaan untuk menulis tanda% dan bukannya perkataan "peratusan".
Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa tanda % biasanya tidak ditulis dalam pengiraan, ia boleh ditulis dalam pernyataan masalah dan dalam keputusan akhir. Semasa melakukan pengiraan, anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100 dan bukannya integer dengan ikon ini.
Anda perlu dapat menggantikan integer dengan ikon yang ditentukan dengan pecahan dengan penyebut 100:
Sebaliknya, anda perlu membiasakan diri menulis integer dengan ikon yang ditunjukkan dan bukannya pecahan dengan penyebut 100:
7. Mencari peratusan bagi nombor yang diberi.
Tugasan 1. Sekolah menerima 200 meter padu. m kayu api, dengan kayu api birch menyumbang 30%. Berapa banyak kayu birch yang ada?
Maksud masalah ini ialah kayu api birch hanyalah sebahagian daripada kayu api yang dihantar ke sekolah, dan bahagian ini dinyatakan sebagai pecahan 30 / 100. Jadi, kita berhadapan dengan tugas mencari pecahan nombor. Untuk menyelesaikannya, kita mesti mendarab 200 dengan 30 / 100 (tugas untuk mencari pecahan nombor diselesaikan dengan mendarab nombor dengan pecahan.).
Jadi 30% daripada 200 sama dengan 60.
Pecahan 30 / 100 yang dihadapi dalam masalah ini boleh dikurangkan sebanyak 10. Pengurangan ini boleh dilakukan dari awal lagi; penyelesaian kepada masalah tidak akan berubah.
Tugasan 2. Terdapat 300 kanak-kanak pelbagai peringkat umur di kem tersebut. Kanak-kanak berumur 11 tahun ialah 21%, kanak-kanak berumur 12 tahun ialah 61% dan akhirnya berumur 13 tahun ialah 18%. Berapa ramai kanak-kanak dari setiap umur berada di kem itu?
Dalam masalah ini, anda perlu melakukan tiga pengiraan, iaitu, berturut-turut mencari bilangan kanak-kanak berumur 11 tahun, kemudian berumur 12 tahun, dan akhirnya berumur 13 tahun.
Jadi, di sini adalah perlu untuk mencari pecahan nombor tiga kali. Mari lakukannya:
1) Berapa ramai kanak-kanak berumur 11 tahun?
2) Berapakah bilangan kanak-kanak berumur 12 tahun?
3) Berapakah bilangan kanak-kanak berumur 13 tahun?
Selepas menyelesaikan masalah, adalah berguna untuk menambah nombor yang dijumpai; jumlah mereka hendaklah 300:
63 + 183 + 54 = 300
Anda juga harus memberi perhatian kepada fakta bahawa jumlah peratusan yang diberikan dalam keadaan masalah ialah 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ini menunjukkan bahawa jumlah nombor kanak-kanak yang berada di kem diambil sebagai 100%.
3 sehari 3. Pekerja itu menerima 1,200 rubel sebulan. Daripada jumlah ini, dia membelanjakan 65% untuk makanan, 6% untuk apartmen dan pemanasan, 4% untuk gas, elektrik dan radio, 10% untuk keperluan budaya dan 15% yang dia simpan. Berapakah jumlah wang yang dibelanjakan untuk keperluan yang dinyatakan dalam tugas?
Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mencari pecahan daripada nombor 1,200 sebanyak 5 kali. Mari lakukannya.
1) Berapa banyak wang yang dibelanjakan untuk makanan? Tugas itu mengatakan bahawa perbelanjaan ini adalah 65% daripada semua pendapatan, iaitu 65/100 daripada nombor 1,200. Mari kita buat pengiraan:
2) Berapa banyak wang telah dibayar untuk sebuah apartmen dengan pemanasan? Berhujah seperti yang sebelumnya, kita sampai pada pengiraan berikut:
3) Berapa banyak wang yang anda bayar untuk gas, elektrik dan radio?
4) Berapakah jumlah wang yang dibelanjakan untuk keperluan budaya?
5) Berapakah jumlah wang yang disimpan oleh pekerja itu?
Untuk pengesahan, adalah berguna untuk menambah nombor yang terdapat dalam 5 soalan ini. Jumlahnya hendaklah 1,200 rubel. Semua pendapatan diambil sebagai 100%, yang mudah untuk diperiksa dengan menjumlahkan peratusan yang diberikan dalam pernyataan masalah.
Kami telah menyelesaikan tiga masalah. Walaupun tugas-tugas ini adalah mengenai perkara yang berbeza (penghantaran kayu api untuk sekolah, bilangan kanak-kanak yang berbeza umur, perbelanjaan pekerja), mereka diselesaikan dengan cara yang sama. Ini berlaku kerana dalam semua tugas adalah perlu untuk mencari beberapa peratus daripada nombor yang diberikan.
§ 90. Pembahagian pecahan.
Apabila mengkaji pembahagian pecahan, kita akan mempertimbangkan soalan berikut:
1. Bahagi integer dengan integer.
2. Pembahagian pecahan dengan integer
3. Pembahagian integer dengan pecahan.
4. Pembahagian pecahan dengan pecahan.
5. Pembahagian nombor bercampur.
6. Mencari nombor diberi pecahannya.
7. Mencari nombor dengan peratusannya.
Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.
1. Bahagi integer dengan integer.
Seperti yang ditunjukkan dalam bahagian integer, pembahagian ialah tindakan yang terdiri daripada fakta bahawa, memandangkan hasil darab dua faktor (dividen) dan satu daripada faktor ini (pembahagi), faktor lain ditemui.
Pembahagian integer dengan integer yang kami pertimbangkan dalam jabatan integer. Kami bertemu di sana dua kes pembahagian: pembahagian tanpa baki, atau "sepenuhnya" (150: 10 = 15), dan pembahagian dengan baki (100: 9 = 11 dan 1 dalam baki). Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa dalam bidang integer, pembahagian tepat tidak selalu mungkin, kerana dividen tidak selalu hasil darab pembahagi dan integer. Selepas pengenalan pendaraban dengan pecahan, kita boleh mempertimbangkan mana-mana kes pembahagian integer yang mungkin (hanya pembahagian dengan sifar dikecualikan).
Sebagai contoh, membahagi 7 dengan 12 bermakna mencari nombor yang hasil darabnya 12 akan menjadi 7. Nombor ini ialah pecahan 7/12 kerana 7/12 12 = 7. Contoh lain: 14: 25 = 14/25 kerana 14/25 25 = 14.
Oleh itu, untuk membahagikan integer dengan integer, anda perlu membuat pecahan, pengangkanya sama dengan dividen, dan penyebutnya ialah pembahagi.
2. Pembahagian pecahan dengan integer.
Bahagikan pecahan 6 / 7 dengan 3. Menurut definisi pembahagian yang diberikan di atas, kita ada di sini hasil darab (6/7) dan salah satu faktor (3); ia diperlukan untuk mencari faktor kedua sedemikian, yang daripada pendaraban dengan 3 akan memberi kerja ini 6/7. Jelas sekali, ia sepatutnya tiga kali lebih kecil daripada produk ini. Ini bermakna tugasan yang ditetapkan sebelum kita ialah mengurangkan pecahan 6/7 sebanyak 3 kali ganda.
Kita sedia maklum bahawa pengurangan pecahan boleh dilakukan sama ada dengan menurunkan pengangkanya atau dengan menambah penyebutnya. Oleh itu, anda boleh menulis:
DALAM kes ini pengangka 6 boleh dibahagikan dengan 3, jadi pengangka perlu dikurangkan sebanyak 3 kali.
Mari kita ambil contoh lain: 5 / 8 dibahagikan dengan 2. Di sini pengangka 5 tidak boleh dibahagikan dengan 2, yang bermaksud bahawa penyebut perlu didarab dengan nombor ini:
Berdasarkan ini, kita boleh menyatakan peraturan: Untuk membahagi pecahan dengan integer, anda perlu membahagikan pengangka pecahan dengan integer itu(jika boleh), meninggalkan penyebut yang sama, atau darabkan penyebut pecahan dengan nombor ini, meninggalkan pengangka yang sama.
3. Pembahagian integer dengan pecahan.
Biarkan ia dikehendaki membahagi 5 dengan 1 / 2, iaitu cari nombor yang, selepas didarab dengan 1 / 2, akan memberikan hasil darab 5. Jelas sekali, nombor ini mestilah lebih besar daripada 5, kerana 1/2 ialah pecahan wajar, dan apabila mendarab nombor dengan pecahan wajar, hasil darab mestilah kurang daripada darab. Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita seperti berikut: 5: 1/2 = X , jadi x 1 / 2 \u003d 5.
Kita mesti mencari nombor sedemikian X , yang, apabila didarab dengan 1/2, akan memberikan 5. Oleh kerana mendarab nombor tertentu dengan 1/2 bermakna mencari 1/2 daripada nombor ini, maka, oleh itu, 1/2 daripada nombor yang tidak diketahui X ialah 5, dan nombor bulat X dua kali lebih banyak, iaitu 5 2 \u003d 10.
Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Mari semak: 
Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh. Biarkan ia dikehendaki membahagi 6 dengan 2 / 3 . Mari cuba mula-mula mencari hasil yang diingini menggunakan lukisan (Gamb. 19).
Rajah 19
Lukiskan segmen AB, sama dengan 6 daripada beberapa unit, dan bahagikan setiap unit kepada 3 bahagian yang sama. Dalam setiap unit, tiga pertiga (3 / 3) dalam keseluruhan segmen AB adalah 6 kali lebih besar, i.e. e. 18/3. Kami menyambung dengan bantuan kurungan kecil 18 memperoleh segmen 2; Akan ada 9 segmen sahaja. Ini bermakna pecahan 2/3 terkandung dalam b unit 9 kali, atau, dengan kata lain, pecahan 2/3 ialah 9 kali kurang daripada 6 unit integer. Oleh itu,
Bagaimana untuk mendapatkan hasil ini tanpa lukisan hanya menggunakan pengiraan? Kami akan berhujah seperti berikut: ia dikehendaki membahagikan 6 dengan 2 / 3, iaitu, ia dikehendaki menjawab soalan, berapa kali 2 / 3 terkandung dalam 6. Mari kita ketahui dahulu: berapa kali 1 / 3 terkandung dalam 6? Dalam keseluruhan unit - 3 pertiga, dan dalam 6 unit - 6 kali lebih banyak, iaitu 18 pertiga; untuk mencari nombor ini, kita mesti darab 6 dengan 3. Oleh itu, 1/3 terkandung dalam b unit 18 kali, dan 2/3 terkandung dalam b unit bukan 18 kali, tetapi separuh daripada banyak kali, iaitu 18: 2 = 9 Oleh itu , apabila membahagikan 6 dengan 2 / 3 kami melakukan perkara berikut:
Dari sini kita mendapat peraturan untuk membahagikan integer dengan pecahan. Untuk membahagi integer dengan pecahan, anda perlu mendarab integer ini dengan penyebut pecahan yang diberikan dan, menjadikan hasil darab ini sebagai pengangka, bahagikannya dengan pengangka bagi pecahan yang diberikan.
Kami menulis peraturan menggunakan huruf:
Untuk membuat peraturan ini jelas dengan sempurna, perlu diingat bahawa pecahan boleh dianggap sebagai hasil bagi. Oleh itu, adalah berguna untuk membandingkan peraturan yang ditemui dengan peraturan untuk membahagi nombor dengan hasil bahagi, yang dinyatakan dalam § 38. Ambil perhatian bahawa formula yang sama diperolehi di sana.
Apabila membahagikan, singkatan adalah mungkin, contohnya:
4. Pembahagian pecahan dengan pecahan.
Biarkan ia dikehendaki membahagi 3/4 dengan 3/8. Apakah yang akan menunjukkan nombor yang akan diperolehi hasil pembahagian? Ia akan menjawab soalan berapa kali pecahan 3/8 terkandung dalam pecahan 3/4. Untuk memahami isu ini, mari buat lukisan (Gamb. 20).
Ambil segmen AB, ambil sebagai satu unit, bahagikan kepada 4 bahagian yang sama dan tandakan 3 bahagian tersebut. Segmen AC akan sama dengan 3/4 segmen AB. Sekarang mari kita bahagikan setiap empat segmen awal kepada separuh, kemudian segmen AB akan dibahagikan kepada 8 bahagian yang sama dan setiap bahagian tersebut akan sama dengan 1/8 segmen AB. Kami menyambungkan 3 segmen sedemikian dengan lengkok, maka setiap segmen AD dan DC akan sama dengan 3/8 segmen AB. Lukisan menunjukkan bahawa segmen sama dengan 3/8 terkandung dalam segmen sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Jadi hasil pembahagian boleh ditulis seperti ini:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh. Biarkan ia dikehendaki untuk membahagi 15/16 dengan 3/32:
Kita boleh membuat alasan seperti ini: kita perlu mencari nombor yang, selepas didarab dengan 3 / 32, akan memberikan hasil darab bersamaan dengan 15 / 16. Mari kita tulis pengiraan seperti ini:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nombor tidak diketahui X solek 15/16
1/32 nombor tidak diketahui X ialah ,
32 / 32 nombor X mekap .
Oleh itu,
Oleh itu, untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan mendarabkan penyebut pecahan pertama dengan pengangka kedua dan menjadikan hasil darab pertama sebagai pengangka dan kedua penyebut.
Mari tulis peraturan menggunakan huruf:
Apabila membahagikan, singkatan adalah mungkin, contohnya:
5. Pembahagian nombor bercampur.
Apabila membahagikan nombor bercampur, mereka mesti terlebih dahulu ditukar kepada pecahan tak wajar, dan kemudian pecahan yang terhasil hendaklah dibahagikan mengikut peraturan untuk membahagi nombor pecahan. Pertimbangkan contoh:
Tukar nombor bercampur kepada pecahan tak wajar:
Sekarang mari berpecah:
Oleh itu, untuk membahagi nombor bercampur, anda perlu menukarnya kepada pecahan tak wajar dan kemudian bahagikan mengikut peraturan untuk membahagi pecahan.
6. Mencari nombor diberi pecahannya.
Di antara pelbagai tugasan pada pecahan, kadangkala terdapat tugas di mana nilai beberapa pecahan nombor yang tidak diketahui diberikan dan ia diperlukan untuk mencari nombor ini. Masalah jenis ini akan menjadi songsang kepada masalah mencari pecahan nombor tertentu; terdapat nombor diberikan dan ia dikehendaki mencari beberapa pecahan nombor ini, di sini pecahan nombor diberikan dan ia dikehendaki mencari nombor ini sendiri. Idea ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih kepada penyelesaian masalah jenis ini.
Tugasan 1. Pada hari pertama, kaca mengkilap 50 tingkap, iaitu 1/3 daripada semua tingkap rumah yang dibina. Berapakah bilangan tingkap di rumah ini?
Penyelesaian. Masalahnya mengatakan bahawa 50 tingkap kaca membentuk 1/3 daripada semua tingkap rumah, yang bermaksud terdapat 3 kali lebih banyak tingkap secara keseluruhan, i.e.
Rumah itu mempunyai 150 tingkap.
Tugasan 2. Kedai itu menjual 1,500 kg tepung, iaitu 3/8 daripada jumlah stok tepung di kedai. Apakah bekalan tepung awal kedai?
Penyelesaian. Ia dapat dilihat daripada keadaan masalah bahawa 1,500 kg tepung yang dijual merupakan 3/8 daripada jumlah stok; ini bermakna 1/8 daripada stok ini akan menjadi 3 kali kurang, iaitu, untuk mengiranya, anda perlu mengurangkan 1500 sebanyak 3 kali:
1,500: 3 = 500 (iaitu 1/8 daripada stok).
Jelas sekali, keseluruhan stok akan menjadi 8 kali lebih besar. Oleh itu,
500 8 \u003d 4,000 (kg).
Bekalan awal tepung di kedai ialah 4,000 kg.
Daripada pertimbangan masalah ini, peraturan berikut dapat disimpulkan.
Untuk mencari nombor dengan nilai pecahan tertentu, cukup untuk membahagikan nilai ini dengan pengangka pecahan dan mendarabkan hasilnya dengan penyebut pecahan itu.
Kami menyelesaikan dua masalah untuk mencari nombor yang diberi pecahannya. Masalah sedemikian, kerana ia dilihat dengan baik dari yang terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembahagian (apabila satu bahagian ditemui) dan pendaraban (apabila nombor bulat ditemui).
Namun, setelah kita mengkaji pembahagian pecahan, masalah di atas boleh diselesaikan dalam satu tindakan iaitu: pembahagian dengan pecahan.
Sebagai contoh, tugas terakhir boleh diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:
Pada masa hadapan, kami akan menyelesaikan masalah mencari nombor dengan pecahannya dalam satu tindakan - pembahagian.
7. Mencari nombor dengan peratusannya.
Dalam tugasan ini, anda perlu mencari nombor, mengetahui beberapa peratus daripada nombor ini.
Tugasan 1. Pada awal tahun ini, saya menerima 60 rubel daripada bank simpanan. pendapatan daripada jumlah yang saya masukkan ke dalam simpanan setahun yang lalu. Berapa banyak wang yang saya masukkan ke dalam bank simpanan? (Pejabat tunai memberi pendeposit 2% daripada pendapatan setahun.)
Maksud masalahnya ialah sejumlah wang telah saya masukkan ke dalam bank simpanan dan berbaring di sana selama setahun. Selepas setahun, saya menerima 60 rubel daripadanya. pendapatan, iaitu 2/100 daripada wang yang saya masukkan. Berapa banyak wang yang saya deposit?
Oleh itu, mengetahui bahagian wang ini, dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan dalam pecahan), kita mesti mencari jumlah keseluruhan, yang belum diketahui. Ini adalah masalah biasa mencari nombor berdasarkan pecahannya. Tugas berikut diselesaikan dengan pembahagian:
Jadi, 3,000 rubel dimasukkan ke dalam bank simpanan.
Tugasan 2. Dalam masa dua minggu, nelayan memenuhi rancangan bulanan sebanyak 64%, setelah menyediakan 512 tan ikan. Apakah rancangan mereka?
Daripada keadaan masalah, diketahui nelayan telah menyiapkan sebahagian daripada rancangan tersebut. Bahagian ini bersamaan dengan 512 tan, iaitu 64% daripada pelan. Berapa tan ikan yang perlu dituai mengikut perancangan, kita tidak tahu. Penyelesaian masalah akan terdiri daripada mencari nombor ini.
Tugas sedemikian diselesaikan dengan membahagikan:
Jadi, mengikut rancangan, anda perlu menyediakan 800 tan ikan.
Tugasan 3. Kereta api itu pergi dari Riga ke Moscow. Apabila dia melepasi kilometer ke-276, salah seorang penumpang bertanya kepada konduktor yang lalu berapa banyak perjalanan yang telah mereka lalui. Untuk ini, konduktor menjawab: "Kami telah menampung 30% daripada keseluruhan perjalanan." Berapakah jarak dari Riga ke Moscow?
Ia dapat dilihat dari keadaan masalah bahawa 30% perjalanan dari Riga ke Moscow adalah 276 km. Kita perlu mencari keseluruhan jarak antara bandar-bandar ini, iaitu, untuk bahagian ini, cari keseluruhan:
§ 91. Nombor timbal balik. Menggantikan pembahagian dengan pendaraban.
Ambil pecahan 2/3 dan susun semula pengangka ke tempat penyebut, kita mendapat 3/2. Kami mendapat pecahan, timbal balik yang satu ini.
Untuk mendapatkan pecahan timbal balik yang diberikan, anda perlu meletakkan pengangkanya di tempat penyebut, dan penyebut di tempat pengangka. Dengan cara ini, kita boleh mendapatkan pecahan yang merupakan salingan mana-mana pecahan. Sebagai contoh:
3 / 4 , belakang 4 / 3 ; 5/6 , belakang 6/5
Dua pecahan yang mempunyai sifat bahawa pengangka pertama adalah penyebut kedua dan penyebut pertama adalah pengangka kedua disebut saling songsang.
Sekarang mari kita fikirkan apakah pecahan yang akan menjadi salingan 1/2. Jelas sekali, ia akan menjadi 2 / 1, atau hanya 2. Mencari timbal balik ini, kami mendapat integer. Dan kes ini tidak terpencil; sebaliknya, untuk semua pecahan dengan pengangka 1 (satu), kebalikannya adalah integer, misalnya:
1 / 3, songsang 3; 1 / 5, terbalik 5
Oleh kerana apabila mencari timbal balik kami juga bertemu dengan integer, pada masa akan datang kami tidak akan bercakap tentang timbal balik, tetapi tentang timbal balik.
Mari kita fikirkan cara menulis salingan nombor bulat. Untuk pecahan, ini diselesaikan dengan mudah: anda perlu meletakkan penyebut di tempat pengangka. Dengan cara yang sama, anda boleh mendapatkan salingan integer, kerana mana-mana integer boleh mempunyai penyebut 1. Oleh itu, salingan 7 akan menjadi 1 / 7, kerana 7 \u003d 7 / 1; untuk nombor 10 sebaliknya ialah 1/10 kerana 10 = 10/1
Idea ini boleh dinyatakan dengan cara lain: salingan nombor yang diberi diperoleh dengan membahagi satu dengan nombor yang diberi . Pernyataan ini benar bukan sahaja untuk integer, tetapi juga untuk pecahan. Sesungguhnya, jika anda ingin menulis nombor yang merupakan salingan pecahan 5 / 9, maka kita boleh mengambil 1 dan membahagikannya dengan 5 / 9, i.e.
Sekarang mari kita tunjukkan satu harta benda nombor saling timbal balik, yang akan berguna kepada kita: hasil darab nombor saling timbal balik adalah sama dengan satu. Sesungguhnya:
Menggunakan harta ini, kita boleh mencari timbal balik dengan cara berikut. Mari cari timbal balik 8.
Mari kita nyatakan dengan huruf X , kemudian 8 X = 1, oleh itu X = 1 / 8 . Mari kita cari nombor lain, songsang 7/12, menandakannya dengan huruf X , kemudian 7/12 X = 1, oleh itu X = 1:7 / 12 atau X = 12 / 7 .
Kami memperkenalkan di sini konsep nombor salingan untuk menambah sedikit maklumat tentang pembahagian pecahan.
Apabila kita membahagikan nombor 6 dengan 3 / 5, maka kita melakukan perkara berikut:
Beri perhatian khusus kepada ungkapan dan bandingkan dengan yang diberikan: .
Jika kita mengambil ungkapan secara berasingan, tanpa kaitan dengan yang sebelumnya, maka adalah mustahil untuk menyelesaikan persoalan dari mana asalnya: daripada membahagikan 6 dengan 3/5 atau daripada mendarab 6 dengan 5/3. Dalam kedua-dua kes, hasilnya adalah sama. Jadi kita boleh katakan bahawa membahagi satu nombor dengan yang lain boleh digantikan dengan mendarab dividen dengan salingan pembahagi.
Contoh yang kami berikan di bawah mengesahkan sepenuhnya kesimpulan ini.
Untuk mendarab pecahan dengan pecahan atau pecahan dengan nombor dengan betul, anda perlu mengetahui peraturan mudah. Kami kini akan menganalisis peraturan ini secara terperinci.
Mendarab pecahan dengan pecahan.
Untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mengira hasil darab pembilang dan hasil darab penyebut pecahan ini.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Pertimbangkan contoh:
Kami mendarabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan kami juga mendarabkan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ darab 3)(7 \kali 3) = \frac(4)(7)\\\)
Pecahan \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) telah dikurangkan sebanyak 3.
Mendarab pecahan dengan nombor.
Mari kita mulakan dengan peraturan sebarang nombor boleh diwakili sebagai pecahan \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Mari gunakan peraturan ini untuk pendaraban.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Pecahan tak wajar \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) ditukar kepada pecahan bercampur.
Dalam kata lain, Apabila mendarab nombor dengan pecahan, darabkan nombor dengan pengangka dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Contoh:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Pendaraban pecahan bercampur.
Untuk mendarab pecahan bercampur, anda mesti mewakili setiap pecahan bercampur terlebih dahulu sebagai pecahan tak wajar, dan kemudian gunakan peraturan pendaraban. Pengangka didarab dengan pengangka, penyebut didarab dengan penyebut.
Contoh:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(merah) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(merah) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Pendaraban pecahan dan nombor salingan.
Pecahan \(\bf \frac(a)(b)\) ialah songsangan bagi pecahan \(\bf \frac(b)(a)\), dengan syarat a≠0,b≠0.
Pecahan \(\bf \frac(a)(b)\) dan \(\bf \frac(b)(a)\) dipanggil salingan. Hasil darab pecahan salingan ialah 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Contoh:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Soalan berkaitan:
Bagaimana untuk mendarab pecahan dengan pecahan?
Jawapan: hasil darab pecahan biasa ialah pendaraban pengangka dengan pengangka, penyebut dengan penyebut. Untuk mendapatkan hasil darab pecahan bercampur, anda perlu menukarkannya kepada pecahan tak wajar dan darab mengikut peraturan.
Bagaimana untuk mendarab pecahan dengan penyebut yang berbeza?
Jawapan: tidak kira sama ada mereka sama atau penyebut yang berbeza bagi pecahan, pendaraban berlaku mengikut peraturan mencari hasil darab pengangka dengan pengangka, penyebut dengan penyebut.
Bagaimana untuk mendarab pecahan bercampur?
Jawapan: pertama sekali, anda perlu menukar pecahan bercampur kepada pecahan tak wajar dan kemudian mencari hasil darab mengikut peraturan pendaraban.
Bagaimana untuk mendarab nombor dengan pecahan?
Jawapan: Kami mendarabkan nombor dengan pengangka, dan biarkan penyebutnya sama.
Contoh #1:
Kirakan hasil darab: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Penyelesaian:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( merah) (5))(3 \kali \warna(merah) (5) \kali 13) = \frac(4)(39)\)
Contoh #2:
Hitung hasil darab nombor dan pecahan: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Penyelesaian:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Contoh #3:
Tuliskan salingan bagi \(\frac(1)(3)\)?
Jawapan: \(\frac(3)(1) = 3\)
Contoh #4:
Hitung hasil darab dua pecahan salingan: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Penyelesaian:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Contoh #5:
Bolehkah pecahan saling songsang menjadi:
a) kedua-dua pecahan wajar;
b) pecahan tak wajar serentak;
c) nombor asli pada masa yang sama?
Penyelesaian:
a) Mari kita gunakan contoh untuk menjawab soalan pertama. Pecahan \(\frac(2)(3)\) adalah wajar, timbal baliknya akan sama dengan \(\frac(3)(2)\) - pecahan tak wajar. Jawapan: tidak.
b) dalam hampir semua penghitungan pecahan, syarat ini tidak dipenuhi, tetapi terdapat beberapa nombor yang memenuhi syarat menjadi pecahan tak wajar pada masa yang sama. Sebagai contoh, pecahan tak wajar ialah \(\frac(3)(3)\) , salingannya ialah \(\frac(3)(3)\). Kami mendapat dua pecahan tak wajar. Jawapan: tidak selalu dalam keadaan tertentu, apabila pengangka dan penyebut adalah sama.
c) nombor asli ialah nombor yang kita gunakan semasa mengira, contohnya, 1, 2, 3, .... Jika kita mengambil nombor \(3 = \frac(3)(1)\), maka salingannya ialah \(\frac(1)(3)\). Pecahan \(\frac(1)(3)\) bukan nombor asli. Jika kita melalui semua nombor, timbal balik sentiasa pecahan, kecuali 1. Jika kita mengambil nombor 1, maka timbal baliknya ialah \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Nombor 1 ialah nombor asli. Jawapan: mereka boleh menjadi nombor asli secara serentak hanya dalam satu kes, jika nombor ini ialah 1.
Contoh #6:
Lakukan hasil darab pecahan bercampur: a) \(4 \darab 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Penyelesaian:
a) \(4 \darab 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Contoh #7:
Bolehkah dua nombor salingan boleh menjadi nombor bercampur serentak?
Mari kita lihat satu contoh. Mari kita ambil pecahan bercampur \(1\frac(1)(2)\), cari timbal baliknya, untuk ini kita terjemahkannya kepada pecahan tak wajar \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Timbal baliknya akan sama dengan \(\frac(2)(3)\) . Pecahan \(\frac(2)(3)\) ialah pecahan wajar. Jawapan: Dua pecahan saling songsang tidak boleh bercampur nombor pada masa yang sama.
Pada abad kelima SM, ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal ialah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa Achilles berlari jarak ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan berterusan selama-lamanya, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kesemua mereka, dalam satu cara atau yang lain, menganggap aporias Zeno. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan pada masa ini, komuniti saintifik masih belum berjaya mencapai pendapat umum tentang intipati paradoks ... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu ; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima secara universal untuk masalah itu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa itu penipuan.
Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada nilai kepada. Peralihan ini membayangkan penggunaan dan bukannya pemalar. Setakat yang saya faham, radas matematik aplikasi unit pembolehubah pengukuran sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Penggunaan logik biasa membawa kita ke dalam perangkap. Kami, dengan inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada timbal balik. Dari sudut fizikal, ia kelihatan seperti masa semakin perlahan untuk berhenti sepenuhnya ketika Achilles mengejar kura-kura itu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh memintas kura-kura itu.
Jika kita putar logik yang biasa kita lakukan, semuanya akan menjadi pada tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen laluan berikutnya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat memintas kura-kura."
Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan beralih kepada nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, ia kelihatan seperti ini:
Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.
Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ini bukan penyelesaian lengkap untuk masalah itu. Pernyataan Einstein tentang ketidakbolehtahanan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami masih belum mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.
Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:
Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.
Dalam aporia ini paradoks logik ia diatasi dengan sangat mudah - ia cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang terletak pada titik yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah pergerakan. Terdapat satu lagi perkara yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya, adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan kereta, dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza diperlukan, tetapi ia tidak boleh digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil titik yang berbeza ruang pada satu titik dalam masa, tetapi adalah mustahil untuk menentukan fakta pergerakan daripada mereka (secara semula jadi, data tambahan untuk pengiraan masih diperlukan, trigonometri akan membantu anda). Apa yang saya ingin nyatakan khususnya ialah dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah dua perkara berbeza yang tidak boleh dikelirukan kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penerokaan.
Rabu, 4 Julai 2018
Sangat baik perbezaan antara set dan multiset diterangkan dalam Wikipedia. Kita tengok.
Seperti yang anda lihat, "set tidak boleh mempunyai dua elemen yang sama", tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset". Makhluk yang munasabah tidak akan pernah memahami logik yang tidak masuk akal seperti itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, di mana fikiran tidak hadir dari perkataan "sepenuhnya." Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, menyampaikan idea tidak masuk akal mereka kepada kami.
Pada suatu masa dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa ujian jambatan itu. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.
Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah", atau lebih tepat "matematik mengkaji konsep abstrak", terdapat satu tali pusat yang menghubungkannya dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Marilah kita mengaplikasikan teori set matematik kepada ahli matematik itu sendiri.
Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira keseluruhan jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberikan ahli matematik "set gaji matematik"nya. Kami menerangkan matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.
Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "anda boleh menerapkannya kepada orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Selanjutnya, kami akan mula memberi jaminan bahawa pada wang kertas denominasi yang sama ada nombor yang berbeza bil, yang bermaksud ia tidak boleh dianggap sebagai elemen yang sama. Nah, kami mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan panik mengingati fizik: syiling yang berbeza mempunyai jumlah kotoran yang berbeza, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap syiling adalah unik ...
Dan sekarang saya mempunyai yang paling banyak minat Tanya: di manakah sempadan yang melampaui unsur multiset bertukar menjadi unsur set dan sebaliknya? Garis sedemikian tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains di sini tidak dekat.
Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan keluasan padang yang sama. Luas bidang adalah sama, yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita mengambil kira nama stadium yang sama, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset pada masa yang sama. Betul ke? Dan di sini ahli matematik-bomoh-shuller mengeluarkan trump ace dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.
Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan menunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."
Ahad, 18 Mac 2018
Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi mereka adalah bomoh untuk itu, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.
Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah Digit Nombor". Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang membolehkan anda mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor ialah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis nombor, dan dalam bahasa matematik, tugasnya berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya secara asas.
Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, katakan kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.
1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor kepada simbol grafik nombor. Ini bukan operasi matematik.
2. Kami memotong satu gambar yang diterima kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor berasingan. Memotong gambar bukan operasi matematik.
3. Tukar aksara grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.
4. Tambahkan nombor yang terhasil. Sekarang itu matematik.
Jumlah digit bagi nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" daripada bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.
Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor itu. Jadi, dalam sistem yang berbeza pengiraan, jumlah digit nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak mahu menipu kepala saya, pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Jom tengok hasilnya.
Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia seperti mencari luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter akan memberi anda hasil yang berbeza.
Sifar dalam semua sistem nombor kelihatan sama dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta bahawa . Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah ia ditandakan dalam matematik sebagai yang bukan nombor? Apa, bagi ahli matematik, tiada apa-apa selain nombor yang wujud? Untuk bomoh, saya boleh membenarkan ini, tetapi untuk saintis, tidak. Realiti bukan hanya tentang angka.
Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza kuantiti yang sama membawa kepada hasil yang berbeza selepas membandingkan mereka, maka ia tidak ada kaitan dengan matematik.
Apakah itu matematik sebenar? Ini adalah apabila keputusan tindakan matematik tidak bergantung pada nilai nombor, unit ukuran yang digunakan dan pada siapa yang melakukan tindakan ini.
Oh! Bukankah ini tandas wanita?
- Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kekudusan jiwa-jiwa yang tidak terbatas semasa kenaikan ke syurga! Nimbus di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?
Perempuan... Halo di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.
Jika anda mempunyai karya seni reka bentuk yang berkelip di hadapan mata anda beberapa kali sehari,
Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menemui ikon pelik di dalam kereta anda:
Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, penunjuk darjah). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip arka persepsi imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.
1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam sistem nombor heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.
