hjem › Drivstoffsystem › Hvordan finne den minste verdien av en funksjon fra en ligning. De største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et lukket område

Hvordan finne den minste verdien av en funksjon fra en ligning. De største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et lukket område

En miniatyr og ganske enkel oppgave av den typen som fungerer som en livline for en flytende elev. I naturen, det søvnige riket i midten av juli, så det er på tide å slå seg til ro med en bærbar datamaskin på stranden. Spilte tidlig om morgenen solstråle teori for snart å fokusere på praksis, som til tross for sin påståtte letthet inneholder glassbiter i sanden. I denne forbindelse anbefaler jeg at du samvittighetsfullt vurderer noen få eksempler på denne siden. For å løse praktiske oppgaver må du kunne finne derivater og forstå materialet i artikkelen Intervaller av monotonitet og ekstrema av en funksjon.

Først kort om det viktigste. I en leksjon om funksjonskontinuitet Jeg ga definisjonen av kontinuitet på et punkt og kontinuitet på et intervall. Den eksemplariske oppførselen til en funksjon på et segment er formulert på samme måte. En funksjon er kontinuerlig på et segment hvis:

1) den er kontinuerlig i intervallet;
2) kontinuerlig på et punkt til høyre og på punktet venstre.

Annet ledd omhandler den såkalte ensidig kontinuitet fungerer på et punkt. Det er flere tilnærminger til definisjonen, men jeg vil holde meg til linjen som startet tidligere:

Funksjonen er kontinuerlig på et punkt til høyre, hvis den er definert på et gitt punkt og dens høyre grense faller sammen med verdien av funksjonen på et gitt punkt: . Den er kontinuerlig på punktet venstre, hvis definert på et gitt punkt og dens venstre grense er lik verdien på det punktet:

Tenk deg at de grønne prikkene er neglene som det magiske gummibåndet er festet på:

Mentalt ta den røde linjen i hendene. Selvfølgelig, uansett hvor langt vi strekker grafen opp og ned (langs aksen), vil funksjonen fortsatt forbli begrenset- en hekk over, en hekk under, og produktet vårt beiter i en paddock. Dermed, en funksjon kontinuerlig på et segment er avgrenset på det. I løpet av matematisk analyse blir dette tilsynelatende enkle faktum uttalt og strengt bevist Weierstrass første teorem.... Mange irriterer seg over at elementære utsagn er kjedelig underbygget i matematikk, men det er viktig betydning. Anta at en viss innbygger fra frottémiddelalderen trakk grafen til himmelen utover synlighetens grenser, ble denne satt inn. Før oppfinnelsen av teleskopet var den begrensede funksjonen i rommet slett ikke åpenbar! Ja, hvordan vet du hva som venter oss utenfor horisonten? Tross alt, en gang ble jorden ansett som flat, så i dag krever til og med vanlig teleportering bevis =)

I følge andre Weierstrass-teorem, kontinuerlig på segmentetfunksjonen når sin eksakt toppkant og hans eksakt nedre kant .

Nummeret kalles også maksimalverdien av funksjonen på segmentet og betegnet med , og nummeret - minimumsverdien av funksjonen på segmentet merket.

I vårt tilfelle:

Merk : i teorien er poster vanlige .

Omtrentlig sagt, høyeste verdi ligger der høyt punkt grafikk, og den minste - hvor er det laveste punktet.

Viktig! Som allerede påpekt i artikkelen om ekstrema av funksjonen, den største verdien av funksjonen Og minste funksjonsverdi – IKKE DEN SAMME, Hva funksjon maksimalt Og funksjon minimum. Så i dette eksemplet er tallet minimum av funksjonen, men ikke minimumsverdien.

Hva skjer forresten utenfor segmentet? Ja, selv flommen, i sammenheng med problemet under vurdering, interesserer ikke dette oss i det hele tatt. Oppgaven innebærer kun å finne to tall og det er det!

Dessuten er løsningen rent analytisk, derfor ikke nødvendig å tegne!

Algoritmen ligger på overflaten og foreslår seg selv fra figuren ovenfor:

1) Finn funksjonsverdiene i kritiske punkter, som tilhører dette segmentet.

Få en godbit til: det er ikke nødvendig å sjekke en tilstrekkelig tilstand for et ekstremum, siden, som nettopp vist, tilstedeværelsen av et minimum eller maksimum ennå ikke garantert hva er minimums- eller maksimumsverdien. Demonstrasjonsfunksjonen når sitt maksimum, og etter skjebnens vilje er det samme tallet den største verdien av funksjonen i intervallet. Men en slik tilfeldighet finner selvsagt ikke alltid sted.

Så i det første trinnet er det raskere og enklere å beregne verdiene til funksjonen på kritiske punkter som tilhører segmentet, uten å bry deg om de har ekstreme eller ikke.

2) Vi beregner verdiene til funksjonen i enden av segmentet.

3) Blant verdiene til funksjonen som finnes i 1. og 2. avsnitt, velger vi den minste og mest stort antall, skriv ned svaret.

Vi sitter ved bredden av det blå havet og slår hælene på grunt vann:

Eksempel 1

Finn den største og minste verdi funksjoner på segmentet

Løsning:
1) Beregn verdiene til funksjonen på kritiske punkter som tilhører dette segmentet:

La oss beregne verdien av funksjonen ved det andre kritiske punktet:

2) Beregn verdiene til funksjonen i enden av segmentet:

3) "Fet" resultater ble oppnådd med eksponentialer og logaritmer, noe som kompliserer sammenligningen betydelig. Av denne grunn vil vi bevæpne oss med en kalkulator eller Excel og beregne de omtrentlige verdiene, og ikke glemme at:

Nå er alt klart.

Svar:

Fraksjonell-rasjonell forekomst for uavhengig løsning:

Eksempel 6

Finn maksimums- og minimumsverdiene til en funksjon på et segment

Den største (minste) verdien av funksjonen er den største (minste) aksepterte verdien av ordinaten i det betraktede intervallet.

For å finne den største eller minste verdien av en funksjon, må du:

Sjekk hvilke stasjonære punkter som inngår i det gitte segmentet.
Beregn verdien av funksjonen ved enden av segmentet og ved stasjonære punkter fra trinn 3
Velg blant de oppnådde resultatene den største eller minste verdien.

For å finne maksimums- eller minimumspoeng må du:

Finn den deriverte av funksjonen $f"(x)$
Finn stasjonære poeng ved å løse ligningen $f"(x)=0$
Faktoriser den deriverte av en funksjon.
Tegn en koordinatlinje, plasser stasjonære punkter på den og bestem fortegnene til den deriverte i de oppnådde intervallene, ved å bruke notasjonen til klausul 3.
Finn maksimums- eller minimumspoengene i henhold til regelen: hvis den deriverte på et punkt endrer fortegn fra pluss til minus, vil dette være maksimumspunktet (hvis fra minus til pluss, vil dette være minimumspunktet). I praksis er det praktisk å bruke bildet av piler på intervallene: på intervallet der den deriverte er positiv, er pilen trukket oppover og omvendt.

Tabell over derivater av noen elementære funksjoner:

Funksjon	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grunnleggende regler for differensiering

1. Den deriverte av summen og differansen er lik den deriverte av hvert ledd

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finn den deriverte av funksjonen $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Den deriverte av summen og differansen er lik den deriverte av hvert ledd

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat av et produkt.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finn den deriverte $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivat av kvotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finn den deriverte $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den eksterne funksjonen og den deriverte av den indre funksjonen

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finn minimumspunktet for funksjonen $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finn ODZ for funksjonen: $x+11>0; x>-11$

2. Finn den deriverte av funksjonen $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finn stasjonære poeng ved å likestille den deriverte med null

$(2x+21)/(x+11)=0$

En brøk er null hvis telleren er null og nevneren ikke er null

$2x+21=0; x≠-11$

4. Tegn en koordinatlinje, plasser stasjonære punkter på den og bestem fortegnene til den deriverte i de oppnådde intervallene. For å gjøre dette, erstatter vi i den deriverte et hvilket som helst tall fra det ekstreme høyre området, for eksempel null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Ved minimumspunktet endrer den deriverte fortegn fra minus til pluss, derfor er $-10,5$-punktet minimumspunktet.

Svar: $-10,5$

Finn maksimalverdien til funksjonen $y=6x^5-90x^3-5$ på segmentet $[-5;1]$

1. Finn den deriverte av funksjonen $y′=30x^4-270x^2$

2. Lik den deriverte til null og finn stasjonære punkter

$30x^4-270x^2=0$

La oss ta den felles faktoren $30x^2$ ut av parentes

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Sett hver faktor lik null

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Velg stasjonære punkter som tilhører det gitte segmentet $[-5;1]$

Stasjonære punkter $x=0$ og $x=-3$ passer for oss

4. Beregn verdien av funksjonen i enden av segmentet og ved stasjonære punkter fra punkt 3

Hva er et ekstremum av en funksjon og hva er den nødvendige betingelsen for et ekstremum?

Ytterpunktet til en funksjon er maksimum og minimum av funksjonen.

Den nødvendige betingelsen for maksimum og minimum (ekstremum) av funksjonen er som følger: hvis funksjonen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den deriverte på dette punktet enten null eller uendelig, eller gjør eksisterer ikke.

Denne betingelsen er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. Den deriverte i punktet x = a kan forsvinne, gå til uendelig eller ikke eksistere uten at funksjonen har et ekstremum på dette punktet.

Hva er den tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ekstremum (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis, i tilstrekkelig nærhet til punktet x = a, den deriverte f?(x) er positiv til venstre for a og negativ til høyre for a, så har funksjonen f(x) i selve punktet x = a. maksimum

Hvis, i tilstrekkelig nærhet til punktet x = a, den deriverte f?(x) er negativ til venstre for a og positiv til høyre for a, så har funksjonen f(x) i selve punktet x = a. minimum forutsatt at funksjonen f(x) er kontinuerlig her.

I stedet kan du bruke den andre tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ytterpunkt:

La ved punktet x = og den første deriverte f?(x) forsvinner; hvis den andre deriverte f??(а) er negativ, så har funksjonen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så et minimum.

Hva er det kritiske punktet til en funksjon og hvordan finner man det?

Dette er verdien av funksjonsargumentet der funksjonen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For å finne den trenger du finne den deriverte funksjonen f?(x) og, likestille den med null, løse ligningen f?(x) = 0. Røttene til denne ligningen, så vel som de punktene der den deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. verdiene til argumentet der det kan være et ekstremum . De kan lett identifiseres ved å se på avledet graf: vi er interessert i de verdiene til argumentet der grafen til funksjonen skjærer abscisseaksen (okseaksen) og de der grafen lider av brudd.

La oss for eksempel finne ekstremum av parabelen.

Funksjon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funksjonsderiverte: y?(x) = 6x + 2

Vi løser ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I denne saken det kritiske punktet er x0=-1/3. Det er for denne verdien av argumentet funksjonen har ekstremum. Å få det finne, erstatter vi det funnet tallet i uttrykket med funksjonen i stedet for "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemme maksimum og minimum for en funksjon, dvs. dens største og minste verdier?

Hvis tegnet på den deriverte endres fra "pluss" til "minus" når den passerer gjennom det kritiske punktet x0, så er x0 maksimum poeng; hvis tegnet til den deriverte endres fra minus til pluss, så er x0 minimumspoeng; hvis tegnet ikke endres, så er det ved punktet x0 verken et maksimum eller et minimum.

For det betraktede eksemplet:

Vi tar en vilkårlig verdi av argumentet til venstre for kritisk punkt: x = -1

Når x = -1, vil verdien av den deriverte være y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. minustegnet).

Nå tar vi en vilkårlig verdi av argumentet til høyre for det kritiske punktet: x = 1

For x = 1 vil verdien av den deriverte være y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. plusstegnet).

Som du kan se, endret den deriverte fortegn fra minus til pluss når den passerte det kritiske punktet. Dette betyr at ved den kritiske verdien av x0 har vi et minimumspunkt.

Den største og minste verdien av funksjonen på intervallet(på segmentet) blir funnet ved samme prosedyre, bare med tanke på det faktum at kanskje ikke alle kritiske punkter vil ligge innenfor det angitte intervallet. De kritiske punktene som er utenfor intervallet må utelukkes fra vurdering. Hvis det bare er ett kritisk punkt inne i intervallet, vil det enten ha et maksimum eller et minimum. I dette tilfellet, for å bestemme de største og minste verdiene av funksjonen, tar vi også hensyn til verdiene til funksjonen i slutten av intervallet.

La oss for eksempel finne de største og minste verdiene av funksjonen

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

med intervaller:

Så den deriverte av funksjonen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Vi finner kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ikke inkludert i intervallet)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (ikke inkludert i intervallet)

Vi finner verdiene til funksjonen ved kritiske verdier av argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan sees at på intervallet [-9; 9] funksjonen har den største verdien ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den minste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] vi har bare ett kritisk punkt: x = -4,88. Verdien av funksjonen ved x = -4,88 er y = 5,398.

Vi finner verdien av funksjonen i enden av intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] vi har den største verdien av funksjonen

y = 5,398 ved x = -4,88

den minste verdien er

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finne infleksjonspunktene til en funksjonsgraf og bestemme sidene av konveksitet og konkavitet?

For å finne alle bøyningspunktene til linjen y \u003d f (x), må du finne den andre deriverte, likestille den til null (løs ligningen) og teste alle verdiene av x der den andre deriverte er null , uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gjennom en av disse verdiene, den andre deriverte endrer fortegn, så har grafen til funksjonen en bøyning på dette punktet. Hvis det ikke endres, er det ingen bøyning.

Røttene til ligningen f ? (x) = 0, samt mulige diskontinuitetspunkter for funksjonen og den andrederiverte, deler funksjonens domene inn i et antall intervaller. Konveksiteten ved hvert av deres intervaller bestemmes av tegnet til den andre deriverte. Hvis den andre deriverte i et punkt på intervallet som studeres er positiv, så er linjen y = f(x) konkav oppover her, og hvis den er negativ, så nedover.

Hvordan finne ekstrema av en funksjon av to variabler?

For å finne ytterpunktene til funksjonen f(x, y), differensierbar i tildelingsområdet, trenger du:

1) finn de kritiske punktene, og løs likningssystemet for dette

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b), undersøk om tegnet på forskjellen forblir uendret

for alle punkter (x; y) tilstrekkelig nær P0. Hvis differansen beholder et positivt fortegn, har vi ved punktet P0 et minimum, hvis negativt, så et maksimum. Hvis forskjellen ikke beholder tegnet, er det ikke noe ekstremum ved punktet Р0.

På samme måte bestemmes funksjonens ytterpunkt for et større antall argumenter.

Hva handler Shrek Forever After om?
Tegneserie: Shrek Forever After Utgivelsesår: 2010 Premiere (Russland): 20. mai 2010 Land: USA Regi: Michael Pitchel Manus: Josh Klausner, Darren Lemke Sjanger: familiekomedie, fantasy, eventyr Offisiell nettside: www.shrekforeverafter.com plot muldyr

Kan jeg donere blod i løpet av mensen?
Leger anbefaler ikke å donere blod under menstruasjon, fordi. blodtap, selv om det ikke er i en betydelig mengde, er fylt med en reduksjon i hemoglobinnivået og en forverring av kvinnens velvære. Under blodgivningsprosedyren kan tilstanden med velvære forverres frem til oppdagelsen av blødning. Derfor bør kvinner avstå fra å donere blod under menstruasjonen. Og allerede den 5. dagen etter at de var ferdige

Hvor mange kcal / time forbrukes ved gulvvask
Slags fysisk aktivitet Energiforbruk, kcal/t Matlaging 80 Påkledning 30 Kjøring 50 Støvtørking 80 Spise 30 Hagearbeid 135 Stryking 45 Rede seng 130 Handle 80 Stillesittende arbeid 75 Hogge ved 300 Vaske gulv 130 Sex 100-150 Lavintensiv aerobisk dans

Hva betyr ordet "rogue"?
En kjeltring er en tyv som er engasjert i småtyveri, eller en useriøs person som er utsatt for uredelige triks. Bekreftelse av denne definisjonen finnes i Krylovs etymologiske ordbok, ifølge hvilken ordet "svindler" er dannet av ordet "svindler" (tyv, svindler), beslektet med verbet &la

Hva er navnet på den siste publiserte historien om Strugatsky-brødrene
En liten historie Arkady og Boris Strugatsky "On the issue of cyclotation" ble først publisert i april 2008 i science fiction-antologien "Noon. XXI century" (tillegg til magasinet "Vokrug sveta", utgitt under redaksjon av Boris Strugatsky). Publikasjonen ble dedikert til 75-årsjubileet til Boris Strugatsky.

Hvor kan jeg lese historiene til deltakerne i Work And Travel USA-programmet
Work and Travel USA (arbeid og reise i USA) er et populært studentutvekslingsprogram hvor du kan tilbringe sommeren i Amerika, lovlig jobbe i servicesektoren og reise. History of the Work & Travel-programmet er en del av Cultural Exchange Pro-programmet for mellomstatlige utvekslinger

Øre. Kulinarisk og historisk referanse I mer enn to og et halvt århundre har ordet "ukha" blitt brukt for å betegne supper eller et avkok av fersk fisk. Men det var en tid da dette ordet ble tolket bredere. De betegnet suppe - ikke bare fisk, men også kjøtt, erter og til og med søtt. Så i det historiske dokumentet - "

Informasjons- og rekrutteringsportaler Superjob.ru - rekrutteringsportal Superjob.ru jobber med russisk marked online rekruttering siden 2000 og er ledende blant ressursene som tilbyr jobbsøking og bemanning. Mer enn 80 000 CVer for spesialister og mer enn 10 000 ledige stillinger legges til nettsteddatabasen daglig.

Hva er motivasjon
Definisjon av motivasjon Motivasjon (fra lat. moveo - jeg beveger meg) - en impuls til handling; en dynamisk prosess av en fysiologisk og psykologisk plan som kontrollerer menneskelig atferd, bestemmer dens retning, organisering, aktivitet og stabilitet; menneskets evne til å tilfredsstille sine behov gjennom arbeid. Motivac

Hvem er Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, ekte navn - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; født 24. mai 1941) er en amerikansk låtskriver som - ifølge en meningsmåling fra magasinet Rolling Stone - er den andre (

Hvordan transportere innendørs planter
Etter kjøpet innendørs planter, står gartneren overfor oppgaven med å levere innkjøpte eksotiske blomster uskadd. Å kjenne de grunnleggende reglene for pakking og transport av innendørs planter vil bidra til å løse dette problemet. Planter må pakkes for å kunne transporteres eller transporteres. Uansett hvor kort avstand plantene bæres, kan de bli skadet, de kan tørke ut, og om vinteren &m

Hva er et ekstremum av en funksjon og hva er den nødvendige betingelsen for et ekstremum?

Ytterpunktet til en funksjon er maksimum og minimum av funksjonen.

Denne betingelsen er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. Den deriverte i punktet x = a kan forsvinne, gå til uendelig eller ikke eksistere uten at funksjonen har et ekstremum på dette punktet.

Hva er den tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ekstremum (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis, i tilstrekkelig nærhet til punktet x = a, den deriverte f?(x) er positiv til venstre for a og negativ til høyre for a, så har funksjonen f(x) i selve punktet x = a. maksimum

I stedet kan du bruke den andre tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ytterpunkt:

La ved punktet x = og den første deriverte f?(x) forsvinner; hvis den andre deriverte f??(а) er negativ, så har funksjonen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så et minimum.

Hva er det kritiske punktet til en funksjon og hvordan finner man det?

La oss for eksempel finne ekstremum av parabelen.

Funksjon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funksjonsderiverte: y?(x) = 6x + 2

Vi løser ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I dette tilfellet er det kritiske punktet x0=-1/3. Det er for denne verdien av argumentet funksjonen har ekstremum. Å få det finne, erstatter vi det funnet tallet i uttrykket med funksjonen i stedet for "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemme maksimum og minimum for en funksjon, dvs. dens største og minste verdier?

For det betraktede eksemplet:

Vi tar en vilkårlig verdi av argumentet til venstre for det kritiske punktet: x = -1

Når x = -1, vil verdien av den deriverte være y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. minustegnet).

Nå tar vi en vilkårlig verdi av argumentet til høyre for det kritiske punktet: x = 1

For x = 1 vil verdien av den deriverte være y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. plusstegnet).

Som du kan se, endret den deriverte fortegn fra minus til pluss når den passerte det kritiske punktet. Dette betyr at ved den kritiske verdien av x0 har vi et minimumspunkt.

La oss for eksempel finne de største og minste verdiene av funksjonen

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

med intervaller:

Så den deriverte av funksjonen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Vi finner kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ikke inkludert i intervallet)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (ikke inkludert i intervallet)

Vi finner verdiene til funksjonen ved kritiske verdier av argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan sees at på intervallet [-9; 9] funksjonen har den største verdien ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den minste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] vi har bare ett kritisk punkt: x = -4,88. Verdien av funksjonen ved x = -4,88 er y = 5,398.

Vi finner verdien av funksjonen i enden av intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] vi har den største verdien av funksjonen

y = 5,398 ved x = -4,88

den minste verdien er

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finne infleksjonspunktene til en funksjonsgraf og bestemme sidene av konveksitet og konkavitet?

Hvordan finne ekstrema av en funksjon av to variabler?

For å finne ytterpunktene til funksjonen f(x, y), differensierbar i tildelingsområdet, trenger du:

1) finn de kritiske punktene, og løs likningssystemet for dette

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b), undersøk om tegnet på forskjellen forblir uendret

På samme måte bestemmes funksjonens ytterpunkt for et større antall argumenter.

Hvordan finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment?

For dette vi følger den velkjente algoritmen:

1 . Vi finner ODZ-funksjoner.

2 . Finne den deriverte av en funksjon

3 . Lik den deriverte med null

4 . Vi finner intervallene der den deriverte beholder fortegnet, og fra dem bestemmer vi intervallene for økning og reduksjon av funksjonen:

Hvis på intervallet I den deriverte av funksjonen 0" title="f^(primtall)(x)>0">, то функция !} øker over dette intervallet.

Hvis på intervallet I den deriverte av funksjonen, så funksjonen avtar over dette intervallet.

5 . Vi finner maksimum og minimum poeng for funksjonen.

I funksjonen maksimumspunkt, den deriverte endrer fortegn fra "+" til "-".

I minimumspunktet for funksjonenderiverte endrer fortegn fra "-" til "+".

6 . Vi finner verdien av funksjonen i enden av segmentet,

så sammenligner vi verdien av funksjonen i enden av segmentet og ved maksimumspunktene, og velg den største av dem hvis du trenger å finne den største verdien av funksjonen
eller vi sammenligner verdien av funksjonen i enden av segmentet og ved minimumspunktene, og velg den minste av dem hvis du trenger å finne den minste verdien av funksjonen

Men avhengig av hvordan funksjonen oppfører seg på intervallet, kan denne algoritmen reduseres betydelig.

Vurder funksjonen . Grafen til denne funksjonen ser slik ut:

La oss se på noen eksempler på å løse problemer fra åpen bank oppdrag for

1 . Oppgave B15 (#26695)

På kuttet.

1. Funksjonen er definert for alle reelle verdier av x

Åpenbart har denne ligningen ingen løsninger, og den deriverte er positiv for alle verdier av x. Derfor øker funksjonen og får den største verdien i høyre ende av intervallet, det vil si ved x=0.

Svar: 5.

2 . Oppgave B15 (nr. 26702)

Finn den største verdien av en funksjon på segmentet.

1.ODZ funksjon title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Den deriverte er null ved , men på disse punktene endrer den ikke fortegn:

Derfor, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} øker og tar den største verdien i høyre ende av intervallet, kl.

For å gjøre det klart hvorfor den deriverte ikke endrer fortegn, transformerer vi uttrykket for den deriverte som følger:

Tittel="y^(primtall)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Svar: 5.

3 . Oppgave B15 (#26708)

Finn den minste verdien av funksjonen på intervallet.

1. ODZ-funksjoner: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La oss plassere røttene til denne ligningen på en trigonometrisk sirkel.

Intervallet inneholder to tall: og

La oss sette opp skiltene. For å gjøre dette bestemmer vi tegnet til den deriverte ved punktet x=0: . Når du passerer gjennom punktene og den deriverte skifter fortegn.

La oss skildre endringen av tegn til den deriverte av funksjonen på koordinatlinjen:

Åpenbart er punktet et minimumspunkt (hvor den deriverte endrer fortegn fra "-" til "+"), og for å finne den minste verdien av funksjonen på intervallet, må du sammenligne verdiene til funksjonen ved minimumspunktet og i venstre ende av segmentet,.

Populær i kategorien: