hjem › Drivstoffsystem › Naturlig logaritme minus 1. LN og LOG funksjoner for beregning av naturlig logaritme i EXCEL

Naturlig logaritme minus 1. LN og LOG funksjoner for beregning av naturlig logaritme i EXCEL

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Ganske bra, ikke sant? Mens matematikere leter etter ord for å gi deg en lang, kronglete definisjon, la oss ta en nærmere titt på denne enkle og klare.

Tallet e betyr vekst

Tallet e betyr kontinuerlig vekst. Som vi så i forrige eksempel, tillater e x oss å koble rente og tid: 3 år ved 100 % vekst er det samme som 1 år ved 300 %, med forbehold om "sammensatt rente".

Du kan erstatte hvilken som helst prosentandel og tidsverdier (50 % over 4 år), men det er bedre å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld (det viser seg 100 % over 2 år). Ved å gå over til 100 % kan vi fokusere utelukkende på tidskomponenten:

e x = e prosent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Åpenbart betyr e x:

hvor mye vil mitt bidrag vokse i x tidsenheter (forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).
for eksempel vil jeg etter 3 tidsintervaller få e 3 = 20,08 ganger så mange "ting".

e x er en skaleringsfaktor som viser hvilket nivå vi vil vokse til i x tidsperioder.

Naturlig logaritme betyr tid

Den naturlige logaritmen er inversen til e, en så fancy term for det motsatte. Apropos særheter; på latin heter det logarithmus naturali, derav forkortelsen ln.

Og hva betyr denne inversjonen eller det motsatte?

e x lar oss plugge inn tiden og få veksten.
ln(x) lar oss ta vekst eller inntekt og finne ut tiden det tar å få det.

For eksempel:

e 3 tilsvarer 20.08. På tre tidsrom vil vi ha 20,08 ganger mer enn vi startet med.
ln(20.08) vil være omtrent 3. Hvis du er interessert i en 20,08x økning, trenger du 3 ganger (igjen, forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).

Leser du fortsatt? Den naturlige logaritmen viser tiden det tar å nå ønsket nivå.

Dette ikke-standard logaritmiske antallet

Du besto logaritmene - dette er merkelige skapninger. Hvordan klarte de å gjøre multiplikasjon til addisjon? Hva med divisjon i subtraksjon? La oss ta en titt.

Hva er ln(1) lik? Intuitivt er spørsmålet: hvor lenge må jeg vente for å få 1 ganger mer enn det jeg har?

Null. Null. Ikke i det hele tatt. Du har det allerede en gang. Det tar ikke tid å vokse fra nivå 1 til nivå 1.

log(1) = 0

Ok, hva med brøkverdien? Hvor lang tid vil det ta før vi har 1/2 av det vi har igjen? Vi vet at med 100 % kontinuerlig vekst betyr ln(2) tiden det tar å doble seg. Hvis vi skru tilbake tiden(dvs. vent negativt lenge), så får vi halvparten av det vi har.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke sant? Går vi tilbake (tilbaketid) med 0,693 sekunder, finner vi halvparten av tilgjengelig beløp. Generelt kan du snu brøken og ta en negativ verdi: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyr at hvis vi går tilbake i tid til 1,09 ganger, finner vi kun en tredjedel av dagens antall.

Ok, hva med logaritmen til et negativt tall? Hvor lang tid tar det å "dyrke" en koloni av bakterier fra 1 til -3?

Dette er umulig! Du kan vel ikke få et negativt bakterietall? Du kan få et maksimum (eh... minimum) på null, men det er ingen måte du kan få et negativt antall av disse små krypene. Det negative antallet bakterier gir rett og slett ikke mening.

ln(negativt tall) = udefinert

"Udefinert" betyr at det ikke er noen tid å vente på å få en negativ verdi.

Logaritmisk multiplikasjon er bare morsomt

Hvor lang tid vil det ta å firedoble veksten? Selvfølgelig kan du bare ta ln(4). Men det er for enkelt, vi går den andre veien.

Du kan tenke på firedobling som dobling (krever ln(2)-tidsenheter) og deretter doble igjen (krever ytterligere ln(2)-tidsenheter):

Tid til 4x vekst = ln(4) = Tid til å doble og deretter doble igjen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vekstrate, for eksempel 20, kan sees på som en dobling umiddelbart etter en 10x økning. Eller vekst 4 ganger, og deretter 5 ganger. Eller en tredobling og deretter en økning på 6.666 ganger. Ser du mønsteret?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen til A ganger B er log(A) + log(B). Dette forholdet gir umiddelbart mening hvis du opererer i form av vekst.

Hvis du er interessert i 30x vekst, kan du enten vente på ln(30) på én gang, eller vente på at ln(3) skal tredobles, og deretter en annen ln(10) for å multiplisere med ti. Sluttresultatet er det samme, så selvfølgelig må tiden forbli konstant (og forblir).

Hva med deling? Spesielt betyr ln(5/3): hvor lang tid tar det å vokse 5 ganger og deretter få 1/3 av det?

Flott, en faktor på 5 er ln(5). Å vokse 1/3 ganger vil ta -ln(3) tidsenheter. Så,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Dette betyr: la det vokse 5 ganger, og så "gå tilbake i tid" til det punktet hvor bare en tredjedel av den mengden gjenstår, så du får 5/3 vekst. Generelt viser det seg

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håper den rare aritmetikken til logaritmer begynner å gi mening for deg: å multiplisere veksthastigheter blir å legge til enheter for veksttid, og å dele blir å subtrahere tidsenheter. Ikke husk reglene, prøv å forstå dem.

Bruk av den naturlige logaritmen for vilkårlig vekst

Vel, selvfølgelig, - sier du, - det er bra hvis veksten er 100 %, men hva med de 5 % jeg får?

Ikke noe problem. "Tiden" vi beregner med ln() er faktisk en kombinasjon av rente og tid, samme X fra e x-ligningen. Vi har nettopp valgt å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld, men vi står fritt til å bruke et hvilket som helst tall.

La oss si at vi ønsker å oppnå 30x vekst: vi tar ln(30) og får 3,4 Dette betyr:

e x = høyde
e 3,4 = 30

Åpenbart betyr denne ligningen "100 % avkastning over 3,4 år gir opphav til 30 ganger." Vi kan skrive denne ligningen slik:

e x = e rate*tid
e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan endre verdiene for "rate" og "time", så lenge rate * time forblir 3,4. For eksempel, hvis vi er interessert i 30x vekst, hvor lenge må vi vente med en rente på 5 %?

log(30) = 3,4
rate * tid = 3,4
0,05 * tid = 3,4
tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg resonnerer slik: "ln(30) = 3,4, så ved 100 % vekst vil det ta 3,4 år. Hvis jeg dobler veksthastigheten, halveres tiden som trengs."

100 % om 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % på 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4 .

Det er flott, ikke sant? Den naturlige logaritmen kan brukes med hvilken som helst rente og tid, så lenge produktet deres forblir konstant. Du kan flytte verdiene til variablene så mye du vil.

Dårlig eksempel: Syttito-regelen

Regelen om syttito er en matematisk teknikk som lar deg anslå hvor lang tid det vil ta før pengene dine dobles. Nå skal vi utlede det (ja!), og dessuten vil vi prøve å forstå essensen.

Hvor lang tid tar det å doble pengene dine med en 100 % rente som øker hvert år?

Opp-pa. Vi brukte den naturlige logaritmen for tilfellet med kontinuerlig vekst, og nå snakker du om den årlige periodiseringen? Ville ikke denne formelen blitt uegnet for et slikt tilfelle? Ja, det vil det, men for realrenter som 5 %, 6 % eller til og med 15 %, vil forskjellen mellom å sammensette årlig og å vokse jevnt være liten. Så det grove anslaget fungerer, eh, omtrent, så vi skal late som om vi har en helt kontinuerlig opptjening.

Nå er spørsmålet enkelt: Hvor raskt kan du doble med 100 % vekst? ln(2) = 0,693. Det tar 0,693 tidsenheter (år i vårt tilfelle) å doble beløpet vårt med en kontinuerlig vekst på 100%.

Så, hva om renten ikke er 100 %, men la oss si 5 % eller 10 %?

Enkelt! Siden rate * tid = 0,693, vil vi doble beløpet:

rate * tid = 0,693
tid = 0,693 / rate

Så hvis veksten er 10 %, vil det ta 0,693 / 0,10 = 6,93 år å doble seg.

For å forenkle beregningene, la oss multiplisere begge delene med 100, så kan vi si "10" og ikke "0,10":

doblingstid = 69,3 / innsats, hvor innsatsen er uttrykt i prosent.

Nå er det på tide å doble til 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er imidlertid ikke det mest praktiske utbyttet. La oss velge et nært tall, 72, som er praktisk delelig med 2, 3, 4, 6, 8 og andre tall.

doblingstid = 72 / innsats

som er regelen for syttito. Alt er tildekket.

Hvis du trenger å finne tid til å tredoble, kan du bruke ln(3) ~ 109.8 og få

tredoblingstid = 110 / innsats

Hva er en annen nyttig regel. «Regel 72» gjelder vekst ved renter, befolkningsvekst, bakteriekulturer og alt som vokser eksponentielt.

Hva blir det neste?

Jeg håper den naturlige logaritmen nå gir mening for deg - den viser tiden det tar før et tall vokser eksponentielt. Jeg tror det kalles naturlig fordi e er et universelt mål på vekst, så ln kan betraktes som en universell måte å bestemme hvor lang tid det tar å vokse.

Hver gang du ser ln(x), husk "tiden det tar å vokse x ganger". I en kommende artikkel vil jeg beskrive e og ln i sammenheng, slik at den friske aromaen av matematikk vil fylle luften.

Komplement: Naturlig logaritme av e

Rask quiz: hvor mye vil ln(e) være?

matematikkroboten vil si: siden de er definert som invers av hverandre, er det åpenbart at ln(e) = 1.
forstå person: ln(e) er antall ganger det skal vokse "e" ganger (omtrent 2.718). Imidlertid er tallet e i seg selv et mål på vekst med en faktor på 1, så ln(e) = 1.

Tenk klart.

9. september 2013

Dette kan for eksempel være en kalkulator fra basissettet med operasjonsromsprogrammer. Windows-systemer. Lenken for å starte den er ganske skjult i hovedmenyen til operativsystemet - åpne den ved å klikke på "Start"-knappen, åpne deretter "Programmer"-delen, gå til underseksjonen "Tilbehør" og deretter til "Verktøy" og til slutt klikker du på "Kalkulator"-elementet ". Du kan bruke tastaturet og programstartdialogen i stedet for musen og navigere gjennom menyen - trykk tastekombinasjonen WIN + R, skriv calc (dette er navnet på kalkulatorens kjørbare fil) og trykk Enter-tasten.

Bytt kalkulatorens grensesnitt til avansert modus, slik at du kan . Som standard åpnes den i "normal" form, og du trenger "engineering" eller "" (avhengig av versjonen av operativsystemet du bruker). Utvid "Vis"-delen i menyen og velg riktig linje.

Skriv inn argumentet hvis naturverdi skal beregnes. Dette kan gjøres både fra tastaturet og ved å klikke på de tilsvarende knappene i kalkulatorgrensesnittet på skjermen.

Klikk på knappen merket ln - programmet vil beregne logaritmen til basen e og vise resultatet.

Bruk en av -kalkulatorene som alternativ beregning av verdien naturlig logaritme. For eksempel den som ligger på http://calc.org.ua. Grensesnittet er ekstremt enkelt - det er et enkelt inndatafelt der du må skrive inn verdien av tallet, logaritmen du vil beregne. Blant knappene, finn og klikk den som sier ln. Skriptet til denne kalkulatoren krever ikke sending av data til serveren og et svar, så du vil motta resultatet av beregningen nesten umiddelbart. Den eneste funksjonen som bør tas i betraktning er at skillet mellom brøk- og heltallsdelen av det angitte tallet må være en prikk her, og ikke .

Begrepet " logaritme"avledet fra to greske ord, hvorav den ene står for "antall" og den andre for "forhold". De betegner den matematiske operasjonen for å beregne en variabel (eksponent), som en konstant verdi (base) må heves til for å få tallet angitt under tegnet logaritme EN. Hvis grunntallet er lik en matematisk konstant, kalt tallet "e", så logaritme kalt "naturlig".

Du vil trenge

Internett-tilgang, Microsoft Office Excel eller kalkulator.

Instruksjon

Bruk de mange kalkulatorene som presenteres på Internett - dette er kanskje en enkel måte å beregne naturlig a. Du trenger ikke å søke etter den riktige tjenesten, siden mange søkemotorer selv har innebygde kalkulatorer som er ganske egnet for å jobbe med logaritme ami. Gå for eksempel til hjemmeside den største søkemotoren på nett – Google. Ingen knapper for å angi verdier og velge funksjoner er påkrevd her, bare skriv inn ønsket matematisk handling i søkefeltet. La oss si å beregne logaritme og tallene 457 i base "e" skriv inn ln 457 - dette vil være nok til at Google viser med en nøyaktighet på åtte desimaler (6.12468339) selv uten å trykke på knappen for å sende en forespørsel til serveren.

Bruk den aktuelle innebygde funksjonen hvis du trenger å beregne verdien av en naturlig logaritme men oppstår når du arbeider med data i det populære regnearkredigeringsprogrammet Microsoft Office Excel. Denne funksjonen kalles her ved å bruke den konvensjonelle notasjonen slik logaritme og med store bokstaver - LN. Velg cellen der resultatet av beregningen skal vises, og skriv inn et likhetstegn - dette er hvordan oppføringer i cellene som inneholder i "Standard"-underseksjonen i "Alle programmer"-delen av hovedmenyen skal begynne i denne tabellen redaktør. Bytt kalkulatoren til en mer funksjonell modus ved å trykke på hurtigtasten Alt + 2. Angi deretter verdien, naturlig logaritme som du ønsker å beregne, og klikk på knappen i programgrensesnittet, merket med symbolene ln. Applikasjonen vil utføre beregningen og vise resultatet.

Relaterte videoer

Logaritmen av tallet b til grunntallet a er eksponenten du må heve tallet a til for å få tallet b.

Hvis da .

Logaritmen er ekstrem viktig matematisk størrelse, siden den logaritmiske beregningen tillater ikke bare å løse eksponentielle ligninger, men også operere med indikatorer, differensiere eksponentielle og logaritmiske funksjoner, integrere dem og føre til en mer akseptabel form som kan beregnes.

I kontakt med

Alle egenskaper ved logaritmer er direkte relatert til egenskaper eksponentielle funksjoner. For eksempel det faktum at betyr at:

Det skal bemerkes at når man løser spesifikke problemer, kan egenskapene til logaritmer være viktigere og nyttige enn reglene for å jobbe med potenser.

Her er noen identiteter:

Her er de viktigste algebraiske uttrykkene:

;

Merk følgende! kan bare eksistere for x>0, x≠1, y>0.

La oss prøve å forstå spørsmålet om hva naturlige logaritmer er. Egen interesse for matematikk representerer to typer- den første har tallet "10" i basen, og kalles " desimal logaritme". Den andre kalles naturlig. Grunnlaget for den naturlige logaritmen er tallet e. Det er om ham vi vil snakke i detalj i denne artikkelen.

Betegnelser:

lg x - desimal;
ln x - naturlig.

Ved å bruke identiteten kan vi se at ln e = 1, samt at lg 10=1.

naturlig logggraf

Vi konstruerer en graf av den naturlige logaritmen på standard klassisk måte etter punkt. Hvis du ønsker det, kan du sjekke om vi bygger en funksjon riktig ved å undersøke funksjonen. Imidlertid er det fornuftig å lære å bygge det "manuelt" for å vite hvordan man korrekt beregner logaritmen.

Funksjon: y = log x. La oss skrive en tabell med punkter som grafen vil passere gjennom:

La oss forklare hvorfor vi valgte slike verdier av argumentet x. Alt handler om identitet: For en naturlig logaritme vil denne identiteten se slik ut:

For enkelhets skyld kan vi ta fem referansepunkter:

;

Dermed er telling av naturlige logaritmer en ganske enkel oppgave, dessuten forenkler det beregningen av operasjoner med potenser, og gjør dem til normal multiplikasjon.

Etter å ha bygget en graf etter poeng, får vi en omtrentlig graf:

Domenet til den naturlige logaritmen (det vil si alle gyldige verdier av X-argumentet) er alle tall større enn null.

Merk følgende! Definisjonsdomenet til den naturlige logaritmen inkluderer bare positive tall! Omfanget inkluderer ikke x=0. Dette er umulig basert på betingelsene for eksistensen av logaritmen.

Verdiområdet (dvs. alle gyldige verdier for funksjonen y = ln x) er alle tall i intervallet.

naturlig logggrense

Når man studerer grafen, oppstår spørsmålet - hvordan oppfører funksjonen seg når y<0.

Selvfølgelig har grafen til funksjonen en tendens til å krysse y-aksen, men vil ikke være i stand til å gjøre dette, siden den naturlige logaritmen til x<0 не существует.

Naturlig grense Logg kan skrives slik:

Formel for å endre basisen til en logaritme

Å håndtere en naturlig logaritme er mye enklere enn å håndtere en logaritme som har en vilkårlig base. Det er grunnen til at vi vil prøve å lære å redusere enhver logaritme til en naturlig, eller uttrykke den i en vilkårlig base gjennom naturlige logaritmer.

La oss starte med den logaritmiske identiteten:

Da kan et hvilket som helst tall eller variabel y representeres som:

hvor x er et hvilket som helst tall (positivt i henhold til egenskapene til logaritmen).

Dette uttrykket kan logaritmeres på begge sider. La oss gjøre dette med en vilkårlig base z:

La oss bruke egenskapen (bare i stedet for "med" har vi et uttrykk):

Herfra får vi den universelle formelen:

Spesielt hvis z=e, da:

Vi klarte å representere logaritmen til en vilkårlig base gjennom forholdet mellom to naturlige logaritmer.

Vi løser problemer

For å bedre navigere i naturlige logaritmer, vurder eksempler på flere problemer.

Oppgave 1. Det er nødvendig å løse likningen ln x = 3.

Løsning: Ved å bruke definisjonen av logaritmen: hvis , da , får vi:

Oppgave 2. Løs ligningen (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Løsning: Ved å bruke definisjonen av logaritmen: hvis , så får vi:

Nok en gang bruker vi definisjonen av logaritmen:

Dermed:

Du kan beregne svaret omtrentlig, eller du kan la det stå i dette skjemaet.

Oppgave 3. Løs ligningen.

Løsning: La oss gjøre en erstatning: t = ln x. Deretter vil ligningen ha følgende form:

Vi har en andregradsligning. La oss finne den diskriminerende:

Første rot av ligningen:

Den andre roten av ligningen:

Når vi husker at vi gjorde erstatningen t = ln x, får vi:

I statistikk og sannsynlighetsteori er logaritmiske størrelser svært vanlige. Dette er ikke overraskende, fordi tallet e - ofte gjenspeiler veksthastigheten til eksponentielle verdier.

I informatikk, programmering og datateori er logaritmer ganske vanlige, for eksempel for å lagre N biter i minnet.

I teoriene om fraktaler og dimensjoner brukes logaritmer konstant, siden dimensjonene til fraktaler kun bestemmes med deres hjelp.

I mekanikk og fysikk det er ingen seksjon der logaritmer ikke ble brukt. Den barometriske fordelingen, alle prinsippene for statistisk termodynamikk, Tsiolkovsky-ligningen og så videre er prosesser som bare kan beskrives matematisk ved hjelp av logaritmer.

I kjemi brukes logaritmen i Nernst-ligningene, beskrivelser av redoksprosesser.

Utrolig nok, selv i musikk, for å finne ut antall deler av en oktav, brukes logaritmer.

Naturlig logaritme Funksjon y=ln x dens egenskaper

Bevis på hovedegenskapen til den naturlige logaritmen

Hva er en logaritme?

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt - ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tror du ikke? Fint. Nå, i 10-20 minutter:

1. Forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentialligninger. Selv om du ikke har hørt om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen, og hvordan et tall heves til en potens ...

Jeg føler at du tviler ... Vel, hold tiden! Gå!

Løs først følgende ligning i tankene dine: