X y løsning av et ligningssystem. Systemer av lineære ligninger

Ligningssystemer er mye brukt i den økonomiske industrien i matematisk modellering av ulike prosesser. For eksempel, når du løser problemer med ledelse og produksjonsplanlegging, logistikkruter ( transportoppgave) eller utstyrsplassering.

Ligningssystemer brukes ikke bare innen matematikk, men også innen fysikk, kjemi og biologi, når man løser problemer med å finne populasjonsstørrelsen.

Et system med lineære ligninger er en betegnelse på to eller flere ligninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en felles løsning for. En slik tallrekke der alle likninger blir sanne likheter eller beviser at sekvensen ikke eksisterer.

Lineær ligning

Ligninger på formen ax+by=c kalles lineære. Betegnelsene x, y er de ukjente, hvis verdi må finnes, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens friledd.
Å løse ligningen ved å plotte grafen vil se ut som en rett linje, der alle punktene er løsningen av polynomet.

Typer av systemer av lineære ligninger

De enkleste er eksempler på systemer med lineære ligninger med to variabler X og Y.

F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner og (x, y) er funksjonsvariabler.

Løs et ligningssystem - det betyr å finne slike verdier (x, y) som systemet blir en ekte likhet for, eller å fastslå at det ikke finnes passende verdier for x og y.

Et verdipar (x, y), skrevet som punktkoordinater, kalles en løsning på et system med lineære ligninger.

Hvis systemene har én felles løsning eller det ikke finnes noen løsning, kalles de likeverdige.

Homogene systemer med lineære ligninger er systemer hvis høyre side er lik null. Hvis den høyre delen etter "lik"-tegnet har en verdi eller er uttrykt av en funksjon, er ikke et slikt system homogent.

Antall variabler kan være mye mer enn to, da bør vi snakke om et eksempel på et system av lineære ligninger med tre variabler eller flere.

Overfor systemer antar skolebarn at antall ligninger nødvendigvis må falle sammen med antall ukjente, men dette er ikke tilfelle. Antall ligninger i systemet er ikke avhengig av variablene, det kan være et vilkårlig stort antall av dem.

Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer

Det finnes ingen generell analytisk måte å løse slike systemer på, alle metoder er basert på numeriske løsninger. Skolekurset i matematikk beskriver i detalj metoder som permutasjon, algebraisk addisjon, substitusjon, samt den grafiske og matrisemetoden, løsningen etter Gauss-metoden.

Hovedoppgaven i undervisningsmetoder for løsning er å lære hvordan man korrekt analyserer systemet og finner den optimale løsningsalgoritmen for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske et system med regler og handlinger for hver metode, men å forstå prinsippene for å bruke en bestemt metode.

Løse eksempler på systemer av lineære ligninger av 7. klasse av programmet ungdomsskolen ganske enkelt og forklart i detalj. I enhver lærebok om matematikk er denne delen viet nok oppmerksomhet. Løsningen av eksempler på systemer med lineære ligninger ved metoden til Gauss og Cramer studeres mer detaljert i de første kursene til høyere utdanningsinstitusjoner.

Løsning av systemer ved substitusjonsmetoden

Handlingene til substitusjonsmetoden er rettet mot å uttrykke verdien av en variabel gjennom den andre. Uttrykket settes inn i den gjenværende ligningen, deretter reduseres det til en enkelt variabelform. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet

La oss gi et eksempel på et system med lineære ligninger av 7. klasse ved substitusjonsmetoden:

Som det fremgår av eksemplet, ble variabelen x uttrykt gjennom F(X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert inn i den andre ligningen i systemet i stedet for X, hjalp til med å oppnå én variabel Y i den andre ligningen . Løsning dette eksemplet forårsaker ikke vanskeligheter og lar deg få verdien av Y. Siste steg dette er en test av de mottatte verdiene.

Det er ikke alltid mulig å løse et eksempel på et system med lineære ligninger ved substitusjon. Ligningene kan være komplekse og uttrykket av variabelen i form av den andre ukjente vil være for tungvint for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er også substitusjonsløsningen upraktisk.

Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene ligninger:

Løsning ved hjelp av algebraisk addisjon

Når du søker etter en løsning på systemer ved addisjonsmetoden, ledd-for-ledd addisjon og multiplikasjon av ligninger med ulike tall. Det endelige målet for matematiske operasjoner er en ligning med én variabel.

For applikasjoner denne metoden det krever øvelse og observasjon. Det er ikke lett å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden med antall variabler 3 eller flere. Algebraisk addisjon er nyttig når ligningene inneholder brøker og desimaltall.

Løsningshandlingsalgoritme:

1. Multipliser begge sider av ligningen med et tall. Som et resultat av den aritmetiske operasjonen må en av koeffisientene til variabelen bli lik 1.
2. Legg til det resulterende uttrykket term for term og finn en av de ukjente.
3. Bytt inn den resulterende verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.

Løsningsmetode ved å introdusere en ny variabel

En ny variabel kan introduseres hvis systemet trenger å finne en løsning for ikke mer enn to ligninger, antall ukjente bør heller ikke være mer enn to.

Metoden brukes til å forenkle en av ligningene ved å introdusere en ny variabel. Den nye ligningen løses med hensyn til den angitte ukjente, og den resulterende verdien brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.

Det kan ses av eksemplet at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere systemets 1. ligning til et standard kvadrattrinomial. Du kan løse et polynom ved å finne diskriminanten.

Det er nødvendig å finne verdien av diskriminanten ved å bruke den velkjente formelen: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er multiplikatorene til polynomet. I det gitte eksemplet er a=1, b=16, c=39, derav D=100. Hvis diskriminanten er større enn null, er det to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre enn null, er det bare én løsning: x= -b / 2*a.

Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved addisjonsmetoden.

En visuell metode for å løse systemer

Egnet for systemer med 3 ligninger. Metoden består i å plotte grafer for hver ligning som inngår i systemet på koordinataksen. Koordinatene til skjæringspunktene til kurvene vil være den generelle løsningen av systemet.

Den grafiske metoden har en rekke nyanser. Tenk på flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.

Som det fremgår av eksemplet, ble det konstruert to punkter for hver linje, verdiene til variabelen x ble valgt vilkårlig: 0 og 3. Basert på verdiene til x ble verdiene for y funnet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) ble markert på grafen og forbundet med en linje.

Trinnene må gjentas for den andre ligningen. Skjæringspunktet mellom linjene er løsningen til systemet.

I følgende eksempel er det nødvendig å finne en grafisk løsning på systemet med lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.

Som det fremgår av eksempelet, har systemet ingen løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser i hele lengden.

Systemene fra eksempel 2 og 3 er like, men når de er konstruert, blir det åpenbart at løsningene deres er forskjellige. Det skal huskes at det ikke alltid er mulig å si om systemet har en løsning eller ikke, det er alltid nødvendig å bygge en graf.

Matrix og dens varianter

Matriser brukes til forkortelse systemer av lineære ligninger. En matrise er en spesiell type tabell fylt med tall. n*m har n - rader og m - kolonner.

En matrise er kvadratisk når antall kolonner og rader er likt. En matrise-vektor er en enkelt-kolonne matrise med et uendelig mulig antall rader. En matrise med enheter langs en av diagonalene og andre nullelementer kalles identitet.

En invers matrise er en slik matrise, når multiplisert med hvilken den opprinnelige blir til en enhet én, eksisterer en slik matrise bare for den opprinnelige kvadratiske.

Regler for å transformere et ligningssystem til en matrise

Når det gjelder ligningssystemer, er koeffisientene og frie medlemmer av ligningene skrevet som tall på matrisen, én ligning er én rad i matrisen.

En matriserad kalles ikke-null hvis minst ett element i raden ikke er lik null. Derfor, hvis antallet variabler er forskjellig i noen av ligningene, er det nødvendig å angi null i stedet for den manglende ukjente.

Kolonnene i matrisen må strengt tatt samsvare med variablene. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x bare kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til den ukjente y - bare i den andre.

Når du multipliserer en matrise, multipliseres alle matriseelementer sekvensielt med et tall.

Alternativer for å finne den inverse matrisen

Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K -1 = 1 / |K|, der K -1 er den inverse matrisen og |K| - matrisedeterminant. |K| må ikke være lik null, da har systemet en løsning.

Determinanten beregnes enkelt for en to-og-to-matrise, det er bare nødvendig å multiplisere elementene diagonalt med hverandre. For alternativet "tre av tre" er det en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruke formelen, eller du kan huske at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at kolonne- og radnummerene til elementene ikke gjentar seg i produktet.

Løsning av eksempler på systemer av lineære ligninger ved matrisemetoden

Matrisemetoden for å finne en løsning gjør det mulig å redusere tungvinte oppføringer ved løsning av systemer med et stort antall variabler og ligninger.

I eksemplet er a nm koeffisientene til ligningene, matrisen er en vektor x n er variablene, og b n er de frie leddene.

Løsning av systemer etter Gauss-metoden

I høyere matematikk studeres Gauss-metoden sammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne en løsning på systemer kalles Gauss-Cramer-metoden for løsning. Disse metodene brukes til å finne systemvariabler med mange lineære ligninger.

Gaussmetoden ligner veldig på substitusjons- og algebraiske addisjonsløsninger, men er mer systematisk. I skolekurset brukes Gauss-løsningen for systemer med 3 og 4 likninger. Hensikten med metoden er å bringe systemet til form av en omvendt trapes. Ved algebraiske transformasjoner og substitusjoner finnes verdien av én variabel i en av systemets ligninger. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, og 3 og 4 - med henholdsvis 3 og 4 variabler.

Etter å ha brakt systemet til den beskrevne formen, reduseres den videre løsningen til sekvensiell substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.

I skole lærebøker for klasse 7 er et eksempel på en løsning med Gauss-metoden beskrevet som følger:

Som man kan se fra eksemplet, ble det ved trinn (3) oppnådd to ligninger 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Løsningen av en av ligningene vil tillate deg å finne ut en av variablene x n.

Teorem 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av systemets likninger erstattes med en ekvivalent, så vil det resulterende systemet også være ekvivalent med det opprinnelige.

Gauss-metoden er vanskelig for elevene å forstå videregående skole, men er en av de mest interessante måterå utvikle oppfinnsomheten til barn som er påmeldt videregående studiet i matte- og fysikktimer.

For å gjøre det enklere å registrere beregninger, er det vanlig å gjøre følgende:

Ligningskoeffisienter og friledd skrives i form av en matrise, der hver rad i matrisen tilsvarer en av systemets ligninger. skiller venstre side av ligningen fra høyre side. Romertall angir antall ligninger i systemet.

Først skriver de ned matrisen som de skal jobbe med, deretter alle handlingene som utføres med en av radene. Den resulterende matrisen skrives etter "pil"-tegnet og fortsett å utføre de nødvendige algebraiske operasjonene til resultatet er oppnådd.

Som et resultat bør en matrise oppnås der en av diagonalene er 1, og alle andre koeffisienter er lik null, det vil si at matrisen er redusert til en enkelt form. Vi må ikke glemme å gjøre beregninger med tallene på begge sider av ligningen.

Denne notasjonen er mindre tungvint og lar deg ikke bli distrahert av å liste opp mange ukjente.

Den gratis bruken av enhver løsningsmetode vil kreve omsorg og en viss mengde erfaring. Ikke alle metoder brukes. Noen måter å finne løsninger på er mer å foretrekke i et bestemt område av menneskelig aktivitet, mens andre eksisterer for læringsformål.

1. Substitusjonsmetode: fra enhver likning i systemet uttrykker vi en ukjent i form av en annen og erstatter den med den andre likningen i systemet.

Oppgave. Løs ligningssystemet:

Løsning. Fra den første ligningen av systemet uttrykker vi på gjennom X og erstatte inn i den andre ligningen av systemet. La oss få systemet tilsvarende originalen.

Etter å ha brakt slike vilkår, vil systemet ha formen:

Fra den andre ligningen finner vi:. Setter denne verdien inn i ligningen på = 2 - 2X, vi får på= 3. Derfor er løsningen av dette systemet et tallpar .

2. Algebraisk addisjonsmetode: ved å legge til to ligninger, få en ligning med én variabel.

Oppgave. Løs systemligningen:

Løsning. Multipliserer begge sider av den andre ligningen med 2, får vi systemet tilsvarende originalen. Legger vi til de to likningene til dette systemet, kommer vi til systemet

Etter å ha redusert lignende termer, vil dette systemet ta formen: Fra den andre ligningen finner vi . Sett inn denne verdien i ligning 3 X + 4på= 5, får vi , hvor . Derfor er løsningen av dette systemet et tallpar.

3. Metode for å introdusere nye variabler: vi ser etter noen gjentatte uttrykk i systemet, som vi vil betegne med nye variabler, og dermed forenkle systemets form.

Oppgave. Løs ligningssystemet:

Løsning. La oss skrive dette systemet annerledes:

La x + y = u, hu = v. Da får vi systemet

La oss løse det med substitusjonsmetoden. Fra den første ligningen av systemet uttrykker vi u gjennom v og erstatte inn i den andre ligningen av systemet. La oss få systemet de.

Fra den andre ligningen i systemet finner vi v 1 = 2, v 2 = 3.

Sett inn disse verdiene i ligningen u = 5 - v, vi får u 1 = 3,
u 2 = 2. Da har vi to systemer

Når vi løser det første systemet, får vi to tallpar (1; 2), (2; 1). Det andre systemet har ingen løsninger.

Øvelser for selvstendig arbeid

1. Løs ligningssystemer ved å bruke substitusjonsmetoden.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Instruksjon

Tilleggsmetode.
Du må skrive to strengt under hverandre:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
I en vilkårlig valgt (fra systemet) ligning, sett inn tallet 11 i stedet for det allerede funnet "spillet" og beregn det andre ukjente:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Svaret til dette ligningssystemet: x=116, y=11.

Grafisk måte.
Den består i det praktiske funnet av koordinatene til punktet der linjene er matematisk skrevet i ligningssystemet. Du bør tegne grafer av begge linjene separat i samme koordinatsystem. Generell visning: - y \u003d kx + b. For å konstruere en rett linje er det nok å finne koordinatene til to punkter, og x velges vilkårlig.
La systemet gis: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
En rett linje er bygget i henhold til den første, for enkelhets skyld må den skrives ned: y \u003d 2x-4. Kom opp med (enklere) verdier for x, bytt den inn i ligningen, løs den, finn y. To punkter oppnås, langs hvilke en rett linje bygges. (se bilde.)
x 0 1

y -4 -2
En rett linje er konstruert i henhold til den andre ligningen: y \u003d -3x + 1.
Bygg også en linje. (se bilde.)

1-5
Finn koordinatene til skjæringspunktet til to konstruerte linjer på grafen (hvis linjene ikke skjærer hverandre, så har ikke ligningssystemet - så).

Relaterte videoer

Nyttige råd

Hvis det samme likningssystemet løses med tre forskjellige måter, vil svaret være det samme (hvis løsningen er riktig).

Kilder:

• Algebra klasse 8
• løse en ligning med to ukjente på nettet
• Eksempler på å løse systemer av lineære ligninger med to

System ligninger er en samling matematiske poster, som hver inneholder et visst antall variabler. Det er flere måter å løse dem på.

Du vil trenge

• -Linjal og blyant;
• -kalkulator.

Instruksjon

Tenk på sekvensen for å løse systemet, som består av lineære ligninger med formen: a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2. Hvor x og y er ukjente variabler og b,c er frie medlemmer. Når du bruker denne metoden, er hvert system koordinatene til punktene som tilsvarer hver ligning. Først, i hvert tilfelle, uttrykk en variabel i form av den andre. Sett deretter x-variabelen til et hvilket som helst antall verdier. To er nok. Plugg inn i ligningen og finn y. Bygg et koordinatsystem, merk de oppnådde punktene på det og tegn en rett linje gjennom dem. Tilsvarende beregninger må utføres for andre deler av systemet.

Systemet har eneste avgjørelse, hvis de konstruerte linjene krysser hverandre og en felles poeng. Det er inkonsekvent hvis de er parallelle med hverandre. Og den har uendelig mange løsninger når linjene smelter sammen.

Denne metoden anses å være veldig tydelig. Den største ulempen er at de beregnede ukjente har omtrentlige verdier. Et mer nøyaktig resultat er gitt av de såkalte algebraiske metodene.

Enhver løsning på et ligningssystem er verdt å sjekke. For å gjøre dette, erstatte de oppnådde verdiene i stedet for variablene. Du kan også finne løsningen på flere måter. Hvis løsningen av systemet er riktig, bør alle vise seg like.

Ofte er det ligninger der ett av begrepene er ukjent. For å løse en ligning må du huske og gjøre et bestemt sett med handlinger med disse tallene.

Du vil trenge

• - papir;
• - Penn eller blyant.

Instruksjon

Tenk deg at du har 8 kaniner foran deg, og du har bare 5 gulrøtter. Tror du må kjøpe flere gulrøtter slik at hver kanin får en gulrot.

La oss representere dette problemet i form av en ligning: 5 + x = 8. La oss erstatte tallet 3 med x. Faktisk, 5 + 3 = 8.

Når du erstattet x med et tall, gjorde du samme operasjon som å trekke 5 fra 8. For å finne ukjent ledd, trekk det kjente leddet fra summen.

La oss si at du har 20 kaniner og bare 5 gulrøtter. La oss komponere. En ligning er en likhet som bare gjelder for visse verdier av bokstavene som er inkludert i den. Bokstavene hvis verdier du vil finne, kalles. Skriv en likning med en ukjent, kall den x. Når vi løser problemet vårt om kaniner, får vi følgende ligning: 5 + x = 20.

La oss finne forskjellen mellom 20 og 5. Når du trekker fra, reduseres tallet som det trekkes fra. Tallet som trekkes fra kalles , og det endelige resultatet kalles differansen. Så, x = 20 - 5; x = 15. Du må kjøpe 15 gulrøtter til kaniner.

Ta en sjekk: 5 + 15 = 20. Ligningen er riktig. Selvfølgelig, når vi snakker om slike enkle er det ikke nødvendig å utføre en sjekk. Men når det kommer til ligninger med tresifret, firesifret, og så videre, er det viktig å sjekke for å være helt sikker på resultatet av arbeidet ditt.

Relaterte videoer

Nyttige råd

For å finne den ukjente minuenden, må du legge til subtrahenden til forskjellen.

For å finne den ukjente subtrahenden, er det nødvendig å trekke forskjellen fra minuenden.

Tips 4: Hvordan løse et system med tre ligninger med tre ukjente

Et system med tre ligninger med tre ukjente har kanskje ikke løsninger, til tross for et tilstrekkelig antall ligninger. Du kan prøve å løse det ved å bruke substitusjonsmetoden eller ved å bruke Cramer-metoden. Cramers metode, i tillegg til å løse systemet, lar en vurdere om systemet er løsbart før man finner verdiene til de ukjente.

Instruksjon

Substitusjonsmetoden består i sekvensielt en ukjent gjennom to andre og substituering av resultatet oppnådd i systemets ligninger. La et system med tre ligninger gis inn generelt syn:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Uttrykk x fra den første ligningen: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - og bytt inn i den andre og tredje ligningen, uttryk deretter y fra den andre ligningen og bytt inn i den tredje. Du vil få et lineært uttrykk for z gjennom koeffisientene til systemets likninger. Gå nå "tilbake": plugg z inn i den andre ligningen og finn y, plugg deretter z og y inn i den første ligningen og finn x. Prosessen er generelt vist i figuren til z er funnet. Videre vil posten i generell form være for tungvint, i praksis kan du ganske enkelt finne alle tre ukjente.

Cramers metode består i å kompilere matrisen til systemet og beregne determinanten til denne matrisen, samt tre ekstra hjelpematriser. Matrisen til systemet er sammensatt av koeffisientene ved de ukjente leddene i ligningene. Kolonnen som inneholder tallene på høyre side av ligningene, kolonnen på høyre side. Det brukes ikke i systemet, men brukes ved løsning av systemet.

Relaterte videoer

Merk

Alle ligninger i systemet må gi tilleggsinformasjon uavhengig av andre ligninger. Ellers vil systemet være underbestemt og det vil ikke være mulig å finne en entydig løsning.

Nyttige råd

Etter å ha løst ligningssystemet, bytter du de funnet verdiene inn i det opprinnelige systemet og kontrollerer at de tilfredsstiller alle ligningene.

Av seg selv ligningen med tre ukjent har mange løsninger, så som oftest er det supplert med ytterligere to likninger eller betingelser. Avhengig av hva de første dataene er, vil forløpet av beslutningen i stor grad avhenge.

Du vil trenge

• - et system med tre ligninger med tre ukjente.

Instruksjon

Hvis to av de tre systemene bare har to av de tre ukjente, prøv å uttrykke noen variabler i form av de andre og koble dem til ligningen med tre ukjent. Målet ditt med dette er å gjøre det til en normal ligningen med det ukjente. Hvis dette er , er den videre løsningen ganske enkel - bytt den funnet verdien inn i andre ligninger og finn alle de andre ukjente.

Noen ligningssystemer kan trekkes fra en ligning med en annen. Se om det er mulig å multiplisere en av med eller en variabel slik at to ukjente reduseres samtidig. Hvis det er en slik mulighet, bruk den, mest sannsynlig vil den påfølgende avgjørelsen ikke være vanskelig. Ikke glem at når du multipliserer med et tall, må du multiplisere både venstre og høyre side. På samme måte, når du subtraherer ligninger, husk at høyre side også må trekkes fra.

Hvis tidligere metoder hjalp ikke, bruk den generelle metoden for å løse eventuelle ligninger med tre ukjent. For å gjøre dette, omskriv ligningene i formen a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Lag nå en matrise med koeffisienter ved x (A), en matrise med ukjente (X) og en matrise med frie (B). Vær oppmerksom, multipliser matrisen av koeffisienter med matrisen av ukjente, du vil få en matrise, en matrise av gratis medlemmer, det vil si A * X \u003d B.

Finn matrisen A i potensen (-1) etter å ha funnet , merk at den ikke skal være lik null. Etter det multipliserer du den resulterende matrisen med matrise B, som et resultat vil du få den ønskede matrisen X, som indikerer alle verdiene.

Du kan også finne en løsning på et system med tre ligninger ved hjelp av Cramer-metoden. For å gjøre dette, finn tredjeordens determinanten ∆ som tilsvarer matrisen til systemet. Finn deretter tre flere determinanter ∆1, ∆2 og ∆3 suksessivt, og bytt ut verdiene til de frie leddene i stedet for verdiene til de tilsvarende kolonnene. Finn nå x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kilder:

• løsninger av ligninger med tre ukjente

Begynn å løse et ligningssystem, finn ut hva disse ligningene er. Metodene for å løse lineære ligninger er godt studert. Ikke-lineære ligninger løses oftest ikke. Det er bare ett spesialtilfelle, som hver er praktisk talt individuell. Derfor bør studiet av løsningsmetoder begynne med lineære ligninger. Slike ligninger kan løses til og med rent algoritmisk.

nevnerne til de funnet ukjente er nøyaktig de samme. Ja, og tellerne er synlige noen mønstre av deres konstruksjon. Hvis dimensjonen til ligningssystemet var større enn to, ville eliminasjonsmetoden ført til svært tungvinte beregninger. For å unngå dem er det utviklet rene algoritmiske løsninger. Den enkleste av dem er Cramers algoritme (Cramers formler). For du burde vite det generelt system ligninger fra n ligninger.

Systemet med n lineære algebraiske ligninger med n ukjente har formen (se fig. 1a). I den er aij koeffisientene til systemet,
хj – ukjente, bi – frie medlemmer (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Et slikt system kan skrives kompakt i matriseformen AX=B. Her er A koeffisientmatrisen til systemet, X er kolonnematrisen av ukjente, B er kolonnematrisen av frie ledd (se fig. 1b). I følge Cramers metode er hver ukjent xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanten ∆ til matrisen av koeffisienter kalles hoveddeterminanten, og ∆i kalles hjelpe. For hver ukjent blir en hjelpedeterminant funnet ved å erstatte den i-te kolonnen i hoveddeterminanten med en kolonne med frie termer. Cramers metode for systemer av andre og tredje orden er presentert i detalj i fig. 2.

Et system er en forening av to eller flere likheter, som hver har to eller flere ukjente. Det er to hovedmåter å løse systemer med lineære ligninger som brukes i rammeverket skolepensum. En av dem kalles metoden, den andre er addisjonsmetoden.

Standardform av et system med to ligninger

På standard skjema den første ligningen er a1*x+b1*y=c1, den andre ligningen er a2*x+b2*y=c2, og så videre. For eksempel, i tilfelle av to deler av systemet i begge gitte a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen numeriske koeffisienter presentert i spesifikke ligninger. På sin side er x og y ukjente hvis verdier må bestemmes. De ønskede verdiene gjør begge ligningene samtidig til sanne likheter.

Løsning av systemet ved addisjonsmetoden

For å løse systemet, det vil si å finne de verdiene av x og y som vil gjøre dem til sanne likheter, må du ta noen få enkle trinn. Den første av disse er å transformere hvilken som helst av ligningene på en slik måte at de numeriske koeffisientene for variabelen x eller y i begge ligningene faller sammen i absolutt verdi, men er forskjellige i fortegn.

La for eksempel et system som består av to ligninger gis. Den første av dem har formen 2x+4y=8, den andre har formen 6x+2y=6. Et av alternativene for å fullføre oppgaven er å multiplisere den andre ligningen med en faktor på -2, som vil føre den til formen -12x-4y=-12. Riktig valg av koeffisient er en av nøkkeloppgavene i prosessen med å løse systemet ved addisjonsmetoden, siden den bestemmer hele det videre forløpet av prosedyren for å finne ukjente.

Nå er det nødvendig å legge til de to likningene til systemet. Åpenbart vil gjensidig ødeleggelse av variabler med samme verdi, men motsatte i fortegnskoeffisienter, føre den til formen -10x=-4. Etter det er det nødvendig å løse denne enkle ligningen, hvorfra det entydig følger at x=0,4.

Det siste trinnet i løsningsprosessen er å erstatte den funnet verdien til en av variablene i en av de innledende likhetene som er tilgjengelige i systemet. Hvis du for eksempel erstatter x=0,4 i den første ligningen, kan du få uttrykket 2*0,4+4y=8, hvorfra y=1,8. Dermed er x=0,4 og y=1,8 røttene til systemet vist i eksempelet.

For å sikre at røttene ble funnet riktig, er det nyttig å sjekke ved å erstatte de funnet verdiene i den andre ligningen i systemet. For eksempel i denne saken det oppnås en likhet på formen 0,4*6+1,8*2=6, som er riktig.

Relaterte videoer

Vi vil analysere to typer løsningssystemer av ligninger:

1. Løsning av systemet ved substitusjonsmetoden.
2. Løsning av systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemets ligninger.

For å løse ligningssystemet substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Vi uttrykker. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Vi løser den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å løse system ved termin-for-term addisjon (subtraksjon) trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage de samme koeffisientene for.
2. Vi adderer eller subtraherer likningene, som et resultat får vi en likning med én variabel.
3. Vi løser den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen til systemet er skjæringspunktene til grafene til funksjonen.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetoden

Løse ligningssystemet ved substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, derav viser det seg at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2. Etter å ha uttrykket, erstatter vi 3 + 10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Vi løser den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parenteser)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen av ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y. La oss finne x, i det første avsnittet der vi uttrykte vi erstatter y der.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang, vi skriver variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon).

Løse et ligningssystem ved addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Velg en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Fra den første likningen trekker du den andre for å bli kvitt variabelen x. Løs den lineære likningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av likningene, la oss si i den første likningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.