Vektorprodukt av vektorer i j k. Vektorprodukt av vektorer gitt av koordinater

Før vi gir begrepet et vektorprodukt, la oss gå til spørsmålet om orienteringen av den ordnede trippelen av vektorer a → , b → , c → i tredimensjonalt rom.

Til å begynne med, la oss sette til side vektorene a → , b → , c → fra ett punkt. Orienteringen av trippelen a → , b → , c → er høyre eller venstre, avhengig av retningen til vektoren c → . Fra retningen som den korteste svingen gjøres fra vektoren a → til b → fra slutten av vektoren c → , vil formen til trippelen a → , b → , c → bli bestemt.

Hvis den korteste rotasjonen er mot klokken, kalles trippelen av vektorer a → , b → , c → Ikke sant hvis med klokken - venstre.

Ta deretter to ikke-kollineære vektorer a → og b → . La oss da utsette vektorene A B → = a → og A C → = b → fra punktet A. La oss konstruere en vektor A D → = c → , som samtidig er vinkelrett på både A B → og A C → . Når vi konstruerer vektoren A D → = c →, kan vi altså gjøre to ting, gi den enten én retning eller motsatt (se illustrasjon).

Den ordnede trioen av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fant ut, være høyre eller venstre avhengig av vektorens retning.

Fra ovenstående kan vi introdusere definisjonen av et vektorprodukt. Denne definisjonen er gitt for to vektorer definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom.

Definisjon 1

Vektorproduktet av to vektorer a → og b → vi vil kalle en slik vektor gitt i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom slik at:

• hvis vektorene a → og b → er kollineære, vil den være null;
• den vil være vinkelrett på både vektor a →​​og vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lengden bestemmes av formelen: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletten av vektorene a → , b → , c → har samme orientering som det gitte koordinatsystemet.

vektor produkt vektorene a → og b → har følgende notasjon: a → × b → .

Kryss av produktkoordinater

Siden enhver vektor har visse koordinater i koordinatsystemet, er det mulig å introdusere en andre definisjon av vektorproduktet, som lar deg finne dens koordinater fra de gitte koordinatene til vektorene.

Definisjon 2

I et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom vektorprodukt av to vektorer a → = (a x ; a y ; a z) og b → = (b x ; b y ; b z) kall vektoren c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , hvor i → , j → , k → er koordinatvektorer.

Vektorproduktet kan representeres som en determinant av en kvadratisk matrise av tredje orden, der den første raden er orta-vektorene i → , j → , k → , den andre raden inneholder koordinatene til vektoren a → , og den tredje er koordinatene til vektoren b → i et gitt rektangulært koordinatsystem, ser denne matrisedeterminanten slik ut: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ved å utvide denne determinanten over elementene i den første raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b → x b → a k (→ x a y b → x b → a k a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryss produktegenskaper

Det er kjent at vektorproduktet i koordinater er representert som determinanten av matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , deretter på basis matrisedeterminantegenskaper følgende vektor produktegenskaper:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assosiativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b → , hvor λ er et vilkårlig reelt tall.

Disse egenskapene har ikke kompliserte bevis.

For eksempel kan vi bevise antikommutativitetsegenskapen til et vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definisjon, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z og b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis to rader av matrisen byttes om, bør verdien av determinanten til matrisen endres til det motsatte, derfor a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , som og beviser antikommutativiteten til vektorproduktet.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger

I de fleste tilfeller er det tre typer oppgaver.

I problemer av den første typen er lengdene til to vektorer og vinkelen mellom dem vanligvis gitt, men du må finne lengden på kryssproduktet. I dette tilfellet bruker du følgende formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Eksempel 1

Finn lengden på kryssproduktet av vektorene a → og b → hvis a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 er kjent.

Løsning

Ved å bruke definisjonen av lengden til vektorproduktet til vektorene a → og b → løser vi dette problemet: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Oppgaver av den andre typen har en forbindelse med koordinatene til vektorer, de inneholder et vektorprodukt, dets lengde, etc. søkes gjennom de kjente koordinatene til de gitte vektorene a → = (a x ; a y ; a z) Og b → = (b x ; b y ; b z) .

For denne typen oppgaver kan du løse mange alternativer for oppgaver. For eksempel, ikke koordinatene til vektorene a → og b → , men deres utvidelser i koordinatvektorer av formen b → = b x i → + b y j → + b z k → og c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , eller vektorene a → og b → kan gis av koordinatene til deres start- og sluttpunkter.

Tenk på følgende eksempler.

Eksempel 2

To vektorer settes i et rektangulært koordinatsystem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Finn deres vektorprodukt.

Løsning

I følge den andre definisjonen finner vi vektorproduktet av to vektorer i gitte koordinater: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Hvis vi skriver kryssproduktet i form av matrisedeterminanten, så er løsningen dette eksemplet ser slik ut: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Eksempel 3

Finn lengden på kryssproduktet til vektorene i → - j → og i → + j → + k → , hvor i → , j → , k → - ortene til et rektangulært kartesisk koordinatsystem.

Løsning

La oss først finne koordinatene til det gitte vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → i det gitte rektangulære koordinatsystemet.

Det er kjent at vektorene i → - j → og i → + j → + k → har henholdsvis koordinater (1 ; - 1 ; 0) og (1 ; 1 ; 1). Finn lengden på vektorproduktet ved å bruke matrisedeterminanten, så har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Derfor har vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det gitte koordinatsystemet.

Vi finner lengden på vektorproduktet ved formelen (se avsnittet om å finne lengden på vektoren): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Svar: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Eksempel 4

Koordinatene til tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) er gitt i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Finn en vektor vinkelrett på A B → og A C → samtidig.

Løsning

Vektorene A B → og A C → har følgende koordinater (- 1 ; 2 ; 2) henholdsvis (0 ; 4 ; 1). Etter å ha funnet vektorproduktet til vektorene A B → og A C → , er det åpenbart at det er en vinkelrett vektor per definisjon til både A B → og A C → , det vil si at det er løsningen på problemet vårt. Finn det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . er en av de vinkelrette vektorene.

Problemer av den tredje typen er fokusert på å bruke egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Etter å ha brukt hvilken, vil vi få en løsning på det gitte problemet.

Eksempel 5

Vektorene a → og b → er vinkelrette og lengdene deres er henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på kryssproduktet 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Løsning

Ved fordelingsegenskapen til vektorproduktet kan vi skrive 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ved assosiativitetsegenskapen tar vi ut de numeriske koeffisientene utover tegnet til vektorprodukter i det siste uttrykket: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorproduktene a → × a → og b → × b → er lik 0, siden a → × a → = a → a → sin 0 = 0 og b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , deretter 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Fra antikommutativiteten til vektorproduktet følger det - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Ved å bruke egenskapene til vektorproduktet får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ved betingelse er vektorene a → og b → perpendikulære, det vil si at vinkelen mellom dem er lik π 2 . Nå gjenstår det bare å erstatte de funnet verdiene i de tilsvarende formlene: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Svar: 3a → - b → x a → - 2 b → = 60.

Lengden på kryssproduktet til vektorer er per definisjon a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Siden det allerede er kjent (fra skolekurset) at arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av lengdene på de to sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom disse sidene. Derfor er lengden på vektorproduktet lik arealet av et parallellogram - en doblet trekant, nemlig produktet av sidene i form av vektorene a → og b → , avsatt fra ett punkt, med sinus av vinkelen mellom dem sin ∠ a → , b → .

Dette er den geometriske betydningen av vektorproduktet.

Den fysiske betydningen av vektorproduktet

I mekanikk, en av fysikkens grener, kan du takket være vektorproduktet bestemme kraftmomentet i forhold til et punkt i rommet.

Definisjon 3

Under kraftmomentet F → , påført punkt B , i forhold til punkt A vil vi forstå følgende vektorprodukt A B → × F → .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

De online kalkulator beregner kryssproduktet av vektorer. En detaljert løsning er gitt. For å beregne kryssproduktet til vektorer, skriv inn koordinatene til vektorene i cellene og klikk på "Beregn".

×

Advarsel

Vil du fjerne alle celler?

Lukk Slett

Dataregistreringsinstruksjon. Tall legges inn som hele tall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaltall (f.eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må skrives på formen a/b, der a og b (b>0) er heltall eller desimaltall. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Kryssprodukt av vektorer

Før du går videre til definisjonen av vektorproduktet til vektorer, vurder begrepene ordnet trippel av vektorer, venstre trippel av vektorer, høyre trippel av vektorer.

Definisjon 1. Tre vektorer kalles bestilt trippel(eller trippel) hvis det er indikert hvilken av disse vektorene som er den første, som er den andre og hvilken som er den tredje.

Innspilling cba- betyr - den første er en vektor c, den andre er vektoren b og den tredje er vektoren en.

Definisjon 2. En trippel av ikke-koplanare vektorer abc kalt høyre (venstre) hvis disse vektorene, når de er redusert til en felles begynnelse, er ordnet ettersom de er henholdsvis store, ubøyde indekser og langfingrene høyre (venstre) hånd.

Definisjon 2 kan formuleres på en annen måte.

Definisjon 2. En trippel av ikke-koplanare vektorer abc kalles høyre (venstre) hvis vektoren reduseres til et felles opphav c plassert på den andre siden av planet definert av vektorene en Og b, hvorfra den korteste svingen fra en Til b utføres mot klokken (med klokken).

Vektor trio abc vist i fig. 1 er rett og trippel abc vist i fig. 2 er igjen.

Hvis to trippel av vektorer er høyre eller venstre, så sies de å ha samme orientering. Ellers sies de å være av motsatt orientering.

Definisjon 3. Et kartesisk eller affint koordinatsystem kalles høyre (venstre) hvis de tre basisvektorene danner en høyre (venstre) trippel.

For nøyaktighetens skyld vil vi i det følgende kun vurdere høyrehendte koordinatsystemer.

Definisjon 4. vektor kunst vektor en per vektor b kalt vektor Med, angitt med symbolet c=[ab] (eller c=[a,b], eller c=a×b) og oppfyller følgende tre krav:

• vektorlengde Med er lik produktet av lengdene til vektorene en Og b til vinkelens sinus φ mellom dem:

|c|=|[ab]|=|en||b|sinφ;

(1)

• vektor Med ortogonalt til hver av vektorene en Og b;
• vektor c rettet slik at de tre abc er riktig.

Kryssproduktet av vektorer har følgende egenskaper:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilitet faktorer);
• [(λa)b]=λ [ab] (kompatibilitet i forhold til den numeriske faktoren);
• [(a+b)c]=[enc]+[bc] (fordeling i forhold til summen av vektorer);
• [aa]=0 for en hvilken som helst vektor en.

Geometriske egenskaper til kryssproduktet til vektorer

Teorem 1. For at to vektorer skal være kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres vektorprodukt er lik null.

Bevis. Nødvendighet. La vektorene en Og b kollineær. Da er vinkelen mellom dem 0 eller 180° og sinφ=synd180=synd 0=0. Derfor, tatt i betraktning uttrykk (1), lengden på vektoren c er lik null. Deretter c null vektor.

Tilstrekkelighet. La kryssproduktet av vektorer en Og b nav til null: [ ab]=0. La oss bevise at vektorene en Og b kollineær. Hvis minst en av vektorene en Og b null, da er disse vektorene kollineære (fordi nullvektoren har en ubestemt retning og kan betraktes som kollineære til enhver vektor).

Hvis begge vektorer en Og b ikke null, så | en|>0, |b|>0. Så fra [ ab]=0 og fra (1) følger det at sinφ=0. Derav vektorene en Og b kollineær.

Teoremet er bevist.

Teorem 2. Lengden (modulen) til vektorproduktet [ ab] er lik arealet S parallellogram bygget på vektorer redusert til et felles opphav en Og b.

Bevis. Som du vet, er arealet av et parallellogram lik produktet av de tilstøtende sidene av dette parallellogrammet og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor:

Da har kryssproduktet av disse vektorene formen:

Ved å utvide determinanten over elementene i den første raden, får vi dekomponeringen av vektoren a×b basis i, j, k, som tilsvarer formel (3).

Bevis for teorem 3. Komponer alle mulige par med basisvektorer i, j, k og beregne deres vektorprodukt. Det bør tas i betraktning at basisvektorene er gjensidig ortogonale, danner en rett trippel og har lengdeenhet (med andre ord kan vi anta at Jeg={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Da har vi:

Fra den siste likhet og relasjoner (4) får vi:

Komponer en 3×3 matrise, hvor den første raden er basisvektorene jeg, j, k, og de resterende radene er fylt med elementer av vektorer en Og b:

Dermed resultatet av kryssproduktet av vektorer en Og b vil være en vektor:

.

Eksempel 2. Finn kryssproduktet til vektorer [ ab], hvor vektoren en representert med to prikker. Utgangspunktet for vektor a: , endepunktet til vektoren en: , vektor b har formen .

Løsning Flytt den første vektoren til origo. For å gjøre dette, trekk fra de tilsvarende koordinatene til sluttpunktet koordinatene til startpunktet:

Vi beregner determinanten til denne matrisen ved å utvide den i første rad. Som et resultat av disse beregningene får vi vektorproduktet av vektorer en Og b.

vektor produkt er en pseudovektor vinkelrett på planet konstruert av to faktorer, som er resultatet av den binære operasjonen "vektormultiplikasjon" på vektorer i tredimensjonalt euklidisk rom. Vektorproduktet har ikke egenskapene til kommutativitet og assosiativitet (det er antikommutativt) og er, i motsetning til skalarproduktet av vektorer, en vektor. Mye brukt i mange tekniske og fysiske applikasjoner. For eksempel er vinkelmomentet og Lorentz-kraften matematisk skrevet som et kryssprodukt. Kryssproduktet er nyttig for å "måle" vinkelrettheten til vektorer - modulen til kryssproduktet til to vektorer er lik produktet av modulene deres hvis de er perpendikulære, og avtar til null hvis vektorene er parallelle eller antiparallelle.

Du kan definere et vektorprodukt på forskjellige måter, og teoretisk, i et rom av en hvilken som helst dimensjon n, kan du beregne produktet av n-1 vektorer, samtidig som du får en enkelt vektor vinkelrett på dem alle. Men hvis produktet er begrenset til ikke-trivielle binære produkter med vektorresultater, er det tradisjonelle vektorproduktet kun definert i tredimensjonale og syvdimensjonale rom. Resultatet av vektorproduktet, i likhet med skalarproduktet, avhenger av metrikken til det euklidiske rommet.

I motsetning til formelen for å beregne skalarproduktet fra koordinatene til vektorene i et tredimensjonalt rektangulært koordinatsystem, avhenger formelen for vektorproduktet av orienteringen til det rektangulære koordinatsystemet, eller, med andre ord, dets "kiralitet".

Definisjon:
Vektorproduktet av en vektor a og vektor b i rommet R 3 kalles en vektor c som tilfredsstiller følgende krav:
lengden til vektoren c er lik produktet av lengdene til vektorene a og b og sinusen til vinkelen φ mellom dem:
|c|=|a||b|sin φ;
vektoren c er ortogonal til hver av vektorene a og b;
vektoren c er rettet slik at trippelen av vektorer abc er rett;
i tilfellet med rommet R7, kreves assosiativiteten til trippelen av vektorene a,b,c.
Betegnelse:
c===a×b

Ris. 1. Arealet til et parallellogram er lik modulen til kryssproduktet

Geometriske egenskaper til kryssproduktet:
En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for kollineariteten til to ikke-null vektorer er likheten mellom deres vektorprodukt og null.

Tverrproduktmodul tilsvarer areal S parallellogram bygget på vektorer redusert til et felles opphav en Og b(se fig. 1).

Hvis e- enhetsvektor ortogonal til vektorene en Og b og valgt slik at trippelen a,b,e- riktig, og S- området til parallellogrammet bygget på dem (redusert til en felles opprinnelse), da er følgende formel sant for vektorproduktet:
=S e

Fig.2. Volumet av parallellepipedet ved bruk av vektor og skalarprodukt av vektorer; stiplede linjer vis projeksjonene av vektoren c på a × b og vektoren a på b × c, det første trinnet er å finne de indre produktene

Hvis c- hvilken som helst vektor π - ethvert plan som inneholder denne vektoren, e- enhetsvektor som ligger i flyet π og ortogonalt til c,g- enhetsvektor ortogonal til planet π og rettet slik at trippelen av vektorer ekg er riktig, da for enhver liggende i flyet π vektor en den riktige formelen er:
=Pr e a |c|g
der Pr e a er projeksjonen av vektoren e på a
|c|-modulen til vektor c

Når du bruker vektor- og skalarprodukter, kan du beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer redusert til et felles opphav a, b Og c. Et slikt produkt av tre vektorer kalles blandet.
V=|a (b×c)|
Figuren viser at dette volumet kan finnes på to måter: det geometriske resultatet bevares selv når "skalar" og "vektor"-produktene byttes:
V=a×b c=a b×c

Verdien av kryssproduktet avhenger av sinusen til vinkelen mellom de opprinnelige vektorene, så kryssproduktet kan betraktes som graden av "vinkelrett" av vektorene, akkurat som punktproduktet kan tenkes på som graden av "parallellisme". Kryssproduktet av to enhetsvektorer er lik 1 (en enhetsvektor) hvis startvektorene er perpendikulære, og lik 0 (nullvektorer) hvis vektorene er parallelle eller antiparallelle.

Kryssproduktuttrykk i kartesiske koordinater
Hvis to vektorer en Og b er definert av deres rektangulære kartesiske koordinater, eller mer presist, de er representert på en ortonormal basis
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
og koordinatsystemet er riktig, så har deres vektorprodukt formen
=(a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
For å huske denne formelen:
i =∑ε ijk a j b k
Hvor ε ijk- symbolet på Levi-Civita.

I denne leksjonen skal vi se på ytterligere to operasjoner med vektorer: kryssprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer (umiddelbar lenke for de som trenger det). Det er greit, det hender noen ganger at for fullstendig lykke, i tillegg til prikkprodukt av vektorer, mer og mer trengs. Slik er vektoravhengighet. Man kan få inntrykk av at vi er på vei inn i jungelen av analytisk geometri. Dette er feil. I denne delen av høyere matematikk er det generelt lite ved, bortsett fra kanskje nok for Pinocchio. Faktisk er materialet veldig vanlig og enkelt - neppe vanskeligere enn det samme skalært produkt, selv det vil være færre typiske oppgaver. Det viktigste i analytisk geometri, som mange vil se eller allerede har sett, er Å IKKE FEIL BEREGNINGER. Gjenta som en trolldom, så blir du glad =)

Hvis vektorene glitrer et sted langt unna, som lyn i horisonten, spiller det ingen rolle, start med leksjonen Vektorer for dummieså gjenopprette eller gjenopprette grunnleggende kunnskap om vektorer. Mer forberedte lesere kan bli kjent med informasjonen selektivt, jeg prøvde å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk jobb

Hva vil gjøre deg glad? Da jeg var liten kunne jeg sjonglere med to og til og med tre baller. Det fungerte bra. Nå er det ingen grunn til å sjonglere i det hele tatt, siden vi vil vurdere bare romvektorer, og flate vektorer med to koordinater vil bli utelatt. Hvorfor? Dette er hvordan disse handlingene ble født - vektoren og det blandede produktet av vektorer er definert og fungerer i tredimensjonalt rom. Allerede enklere!

I denne operasjonen, på samme måte som i skalarproduktet, to vektorer. La det være uforgjengelige bokstaver.

Selve handlingen angitt på følgende måte:. Det finnes andre alternativer, men jeg er vant til å betegne kryssproduktet til vektorer på denne måten, i hakeparentes med et kryss.

Og umiddelbart spørsmål: hvis i prikkprodukt av vektorer to vektorer er involvert, og her multipliseres også to vektorer, da hva er forskjellen? En klar forskjell, først av alt, i RESULTATET:

Resultatet av skalarproduktet av vektorer er et TALL:

Resultatet av kryssproduktet av vektorer er en VEKTOR: , det vil si at vi multipliserer vektorene og får en vektor igjen. Lukket klubb. Faktisk, derav navnet på operasjonen. I ulike pedagogisk litteratur notasjonen kan også variere, jeg vil bruke bokstaven .

Definisjon av kryssprodukt

Først blir det en definisjon med et bilde, deretter kommentarer.

Definisjon: kryssprodukt ikke-kollineær vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalles VECTOR, lengde som er numerisk lik arealet av parallellogrammet, bygget på disse vektorene; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet slik at grunnlaget har en rett orientering:

Vi analyserer definisjonen av bein, det er mange interessante ting!

Så vi kan fremheve følgende viktige punkter:

1) Kildevektorer, angitt med røde piler, per definisjon ikke collineær. Det vil være hensiktsmessig å vurdere tilfellet med kollineære vektorer litt senere.

2) Vektorer tatt strengt tatt viss rekkefølge : – "a" multipliseres med "være", ikke "være" til "a". Resultatet av vektormultiplikasjon er VEKTOR , som er angitt med blått. Hvis vektorene multipliseres i omvendt rekkefølge, får vi en vektor lik lengde og motsatt i retning (karmosinrød farge). Det vil si likestillingen .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er et veldig viktig poeng! LENGDEN til den blå vektoren (og derfor den crimson vektoren ) er numerisk lik OMRÅDET til parallellogrammet bygget på vektorene . På figuren er dette parallellogrammet skyggelagt i svart.

Merk : tegningen er skjematisk, og selvfølgelig er den nominelle lengden på kryssproduktet ikke lik arealet av parallellogrammet.

Vi husker en av de geometriske formlene: arealet av et parallellogram er lik produktet av tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor, basert på det foregående, er formelen for å beregne LENGDEN til et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreker at i formelen snakker vi om LENGDEN til vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er slik at i problemer med analytisk geometri, er området til et parallellogram ofte funnet gjennom konseptet med et vektorprodukt:

Vi får den andre viktige formelen. Diagonalen til parallellogrammet (rød stiplet linje) deler det i to like trekanter. Derfor kan arealet til en trekant bygget på vektorer (rød skyggelegging) bli funnet med formelen:

4) Ikke mindre enn viktig faktum er at vektoren er ortogonal på vektorene, dvs. . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (crimson arrow) også ortogonal til de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har Ikke sant orientering. I en leksjon om overgang til et nytt grunnlag Jeg har snakket i detalj om planorientering, og nå skal vi finne ut hva plassretningen er. Jeg vil forklare på fingrene dine høyre hånd. Kombiner mentalt pekefinger med vektor og langfinger med vektor. Ringfinger og lillefinger trykk inn i håndflaten. Som et resultat tommel- vektorproduktet vil slå opp. Dette er det høyreorienterte grunnlaget (det er på figuren). Bytt nå vektorene ( pekefinger og langfinger) noen steder, som et resultat, vil tommelen snu seg, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et høyreorientert grunnlag. Kanskje du har et spørsmål: hvilket grunnlag har en venstreorientering? "Tildel" de samme fingrene venstre hand vektorer, og få venstre basis og venstre plass orientering (i dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt sett "vrir" disse basene eller orienterer rommet i forskjellige retninger. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe fjernt eller abstrakt - for eksempel endrer det mest vanlige speilet plassorienteringen, og hvis du "trekker det reflekterte objektet ut av speilet", vil det generelt ikke være mulig å kombinere det med "originalen". Ta forresten med tre fingre til speilet og analyser refleksjonen ;-)

... hvor bra det er at du nå vet om høyre- og venstreorientert baser, fordi uttalelsene fra noen forelesere om endringen av orientering er forferdelige =)

Vektorprodukt av kollineære vektorer

Definisjonen er utarbeidet i detalj, det gjenstår å finne ut hva som skjer når vektorene er kollineære. Hvis vektorene er kollineære, kan de plasseres på en rett linje og parallellogrammet vårt "brettes" også til en rett linje. Området for slike, som matematikere sier, degenerert parallellogrammet er null. Det samme følger av formelen - sinusen til null eller 180 grader er lik null, som betyr at arealet er null

Altså, hvis, da Og . Vær oppmerksom på at selve kryssproduktet er lik nullvektoren, men i praksis blir dette ofte neglisjert og skrevet at det også er lik null.

spesielt tilfelle er kryssproduktet av en vektor og seg selv:

Ved å bruke kryssproduktet kan du sjekke kollineariteten til tredimensjonale vektorer, og vi vil også analysere blant annet dette problemet.

For å løse praktiske eksempler kan det være nødvendig trigonometrisk tabell for å finne verdiene til sinusene fra den.

Vel, la oss starte en brann:

Eksempel 1

a) Finn lengden på vektorproduktet til vektorer if

b) Finn arealet til et parallellogram bygget på vektorer hvis

Løsning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, jeg gjorde med vilje de første dataene i tilstandselementene til de samme. Fordi utformingen av løsningene vil være annerledes!

a) I henhold til vilkåret kreves det å finne lengde vektor (vektorprodukt). I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Siden det ble spurt om lengden, angir vi i svaret dimensjonen - enheter.

b) Etter vilkåret kreves det å finne torget parallellogram bygget på vektorer. Arealet til dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på kryssproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at i svaret om vektorproduktet er det ingen snakk i det hele tatt, vi ble spurt om figurområde, henholdsvis er dimensjonen kvadratiske enheter.

Vi ser alltid på HVA som kreves for å finne av tilstanden, og ut fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bokstavelig talt, men det er nok litterære blant lærerne, og oppgaven med gode sjanser vil bli returnert for revisjon. Selv om dette ikke er et spesielt anstrengt pys – hvis svaret er feil, får man inntrykk av at personen ikke forstår enkle ting og/eller ikke har forstått essensen av oppgaven. Dette øyeblikket bør alltid holdes under kontroll, og løse ethvert problem i høyere matematikk, og i andre fag også.

Hvor ble det av den store bokstaven "en"? I prinsippet kan det i tillegg sitte fast på løsningen, men for å forkorte posten gjorde jeg det ikke. Jeg håper alle forstår det og er betegnelsen på det samme.

Et populært eksempel på en gjør-det-selv-løsning:

Eksempel 2

Finn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Formelen for å finne arealet av en trekant gjennom vektorproduktet er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsning og svar på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven egentlig veldig vanlig, trekanter kan generelt bli torturert.

For å løse andre problemer trenger vi:

Egenskaper til kryssproduktet til vektorer

Vi har allerede vurdert noen egenskaper til vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlige vektorer og et vilkårlig tall er følgende egenskaper sanne:

1) I andre informasjonskilder skilles denne posten vanligvis ikke ut i eiendommene, men den er veldig viktig i praksis. Så la det være.

2) - eiendommen er også omtalt ovenfor, noen ganger kalles det antikommutativitet. Med andre ord, rekkefølgen på vektorene har betydning.

3) - kombinasjon eller assosiativ vektor produktlover. Konstantene tas lett ut av grensene til vektorproduktet. Virkelig, hva gjør de der?

4) - distribusjon eller fordeling vektor produktlover. Det er heller ingen problemer med å åpne braketter.

Tenk på et kort eksempel som en demonstrasjon:

Eksempel 3

Finn hvis

Løsning: Av betingelse er det igjen påkrevd å finne lengden på vektorproduktet. La oss male miniatyren vår:

(1) I henhold til de assosiative lovene tar vi ut konstantene utover grensene til vektorproduktet.

(2) Vi tar konstanten ut av modulen, mens modulen "spiser" minustegnet. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Det som følger er klart.

Svar:

Det er på tide å kaste ved på bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Finn arealet av en trekant ved hjelp av formelen . Haken er at vektorene "ce" og "te" i seg selv er representert som summer av vektorer. Algoritmen her er standard og minner litt om eksempel nr. 3 og 4 i leksjonen. Punktprodukt av vektorer. La oss dele det ned i tre trinn for klarhet:

1) Ved det første trinnet uttrykker vi vektorproduktet gjennom vektorproduktet, faktisk, uttrykk vektoren i form av vektoren. Ingen ord om lengde ennå!

(1) Vi erstatter uttrykk for vektorer.

(2) Ved å bruke distributive lover åpner vi parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer.

(3) Ved å bruke de assosiative lovene tar vi ut alle konstantene utover vektorproduktene. Med lite erfaring kan handling 2 og 3 utføres samtidig.

(4) De første og siste leddene er lik null (nullvektor) på grunn av den hyggelige egenskapen . I det andre leddet bruker vi antikommutativitetsegenskapen til vektorproduktet:

(5) Vi presenterer lignende termer.

Som et resultat viste det seg at vektoren ble uttrykt gjennom en vektor, som var det som krevdes for å oppnås:

2) På det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet vi trenger. Denne handlingen ligner på eksempel 3:

3) Finn arealet til den ønskede trekanten:

Trinn 2-3 i løsningen kan ordnes på én linje.

Svar:

Det vurderte problemet er ganske vanlig i kontrollarbeid, her er et eksempel på en gjør-det-selv-løsning:

Eksempel 5

Finn hvis

Kort løsning og svar på slutten av timen. La oss se hvor oppmerksom du var da du studerte de forrige eksemplene ;-)

Kryssprodukt av vektorer i koordinater

, gitt i ortonormal basis, uttrykkes med formelen:

Formelen er veldig enkel: vi skriver koordinatvektorene i den øverste linjen av determinanten, vi "pakker" koordinatene til vektorene i den andre og tredje linjen, og vi setter i streng rekkefølge- først koordinatene til vektoren "ve", deretter koordinatene til vektoren "dobbel-ve". Hvis vektorene må multipliseres i en annen rekkefølge, bør linjene også byttes:

Eksempel 10

Sjekk om følgende romvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Testen er basert på et av utsagnene i denne leksjonen: hvis vektorene er kollineære, så er deres kryssprodukt null (null vektor): .

a) Finn vektorproduktet:

Så vektorene er ikke kollineære.

b) Finn vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet til vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden det er få problemer der det blandede produktet av vektorer brukes. Faktisk vil alt hvile på definisjonen, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Blandingsproduktet av vektorer er produkt av tre vektorer:

Dette er hvordan de stilte seg opp som et tog og venter, de kan ikke vente til de er beregnet.

Først igjen definisjonen og bildet:

Definisjon: Blandet produkt ikke-coplanar vektorer, tatt i denne rekkefølgen, er kalt volumet av parallellepipedet, bygget på disse vektorene, utstyrt med et "+"-tegn hvis basisen er høyre, og et "-"-tegn hvis basisen er venstre.

La oss tegne. Linjer som er usynlige for oss er tegnet med en stiplet linje:

La oss dykke ned i definisjonen:

2) Vektorer tatt i en bestemt rekkefølge, det vil si at permutasjonen av vektorer i produktet, som du kanskje gjetter, ikke går uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydningen, vil jeg legge merke til det åpenbare faktum: det blandede produktet av vektorer er et TALL: . I pedagogisk litteratur kan designet være noe annerledes, jeg pleide å betegne et blandet produkt gjennom, og resultatet av beregninger med bokstaven "pe".

A-priory det blandede produktet er volumet til parallellepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet til det gitte parallellepipedet.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bry oss igjen med konseptet om orienteringen av grunnlaget og rommet. Meningen med den siste delen er at et minustegn kan legges til volumet. Med enkle ord, kan det blandede produktet være negativt: .

Formelen for å beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer følger direkte av definisjonen.

Vinkel mellom vektorer

For at vi skal introdusere konseptet med et kryssprodukt av to vektorer, må vi først forholde oss til et slikt konsept som vinkelen mellom disse vektorene.

La oss få to vektorer $\overline(α)$ og $\overline(β)$. La oss ta et punkt $O$ i rommet og sette til side vektorene $\overline(α)=\overline(OA)$ og $\overline(β)=\overline(OB)$ fra det, deretter vinkelen $AOB $ vil kalles vinkel mellom disse vektorene (fig. 1).

Notasjon: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Konseptet med kryssproduktet av vektorer og formelen for å finne

Definisjon 1

Vektorproduktet av to vektorer er en vektor vinkelrett på begge gitte vektorer, og dens lengde vil være lik produktet av lengdene til disse vektorene med sinusen til vinkelen mellom disse vektorene, og denne vektoren med to initiale har den samme orientering som det kartesiske koordinatsystemet.

Notasjon: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematisk ser det slik ut:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ og $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ er samme orienterte (fig. 2)

Åpenbart vil det ytre produktet av vektorer være lik nullvektoren i to tilfeller:

1. Hvis lengden på en eller begge vektorer er null.
2. Hvis vinkelen mellom disse vektorene er lik $180^\circ$ eller $0^\circ$ (fordi i dette tilfellet er sinus lik null).

For å tydelig se hvordan kryssproduktet til vektorer finnes, kan du vurdere følgende løsningseksempler.

Eksempel 1

Finn lengden på vektoren $\overline(δ)$, som vil være resultatet av kryssproduktet av vektorer, med koordinatene $\overline(α)=(0,4,0)$ og $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Løsning.

La oss skildre disse vektorene i det kartesiske koordinatrommet (fig. 3):

Figur 3. Vektorer i kartesisk koordinatrom. Author24 - nettbasert utveksling av studentoppgaver

Vi ser at disse vektorene ligger på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ aksene. Derfor vil vinkelen mellom dem være lik $90^\circ$. La oss finne lengdene til disse vektorene:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Deretter, ved definisjon 1, får vi modulen $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Svar: $12$.

Beregning av kryssproduktet ved koordinatene til vektorene

Definisjon 1 innebærer umiddelbart en måte å finne kryssproduktet for to vektorer. Siden en vektor, i tillegg til en verdi, også har en retning, er det umulig å finne den bare ved å bruke en skalarverdi. Men i tillegg er det en annen måte å finne vektorene gitt til oss ved å bruke koordinatene.

La oss gi vektorene $\overline(α)$ og $\overline(β)$, som vil ha koordinatene henholdsvis $(α_1,α_2,α_3)$ og $(β_1,β_2,β_3)$. Deretter kan vektoren til kryssproduktet (nemlig dets koordinater) finnes med følgende formel:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Ellers, ved å utvide determinanten, får vi følgende koordinater

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Eksempel 2

Finn vektoren til kryssproduktet av kollineære vektorer $\overline(α)$ og $\overline(β)$ med koordinatene $(0,3,3)$ og $(-1,2,6)$.

Løsning.

La oss bruke formelen ovenfor. Få

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Svar: $(12,-3,3)$.

Egenskaper til kryssproduktet til vektorer

For vilkårlig blandede tre vektorer $\overline(α)$, $\overline(β)$ og $\overline(γ)$, samt $r∈R$, gjelder følgende egenskaper:

Eksempel 3

Finn arealet til et parallellogram hvis toppunkter har koordinater $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ og $(3,8,0) $.

Løsning.

Tegn først dette parallellogrammet i koordinatrom (fig. 5):

Figur 5. Parallelogram i koordinatrom. Author24 - nettbasert utveksling av studentoppgaver

Vi ser at de to sidene av dette parallellogrammet er konstruert ved hjelp av kollineære vektorer med koordinater $\overline(α)=(3,0,0)$ og $\overline(β)=(0,8,0)$. Ved å bruke den fjerde egenskapen får vi:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Finn vektoren $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Derfor

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$