hjem › Anmeldelser › Volumet av parallellepipedet av koordinatene til vektorene. Kryssprodukt av vektorer

Volumet av parallellepipedet av koordinatene til vektorene. Kryssprodukt av vektorer

For vektorer , og , gitt av deres koordinater , , er det blandede produktet beregnet av formelen: .

blandet produkt søke om: 1) å beregne volumene til et tetraeder og et parallellepiped bygget på vektorer , og , som på kanter, i henhold til formelen: ; 2) som en betingelse for komplanariteten til vektorene , og : og er koplanære.

Emne 5. Rette linjer og fly.

Normal linjevektor , kalles enhver vektor som ikke er null vinkelrett på den gitte linjen. Retning vektor rett , kalles enhver vektor som ikke er null parallelt med den gitte linjen.

Rett på overflaten

1) - generell ligning rett linje, hvor er normalvektoren til den rette linjen;

2) - ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt vinkelrett på en gitt vektor;

3) kanonisk ligning );

5) - linjeligninger Med helningsfaktor , hvor er punktet som linjen går gjennom; () - vinkelen som linjen lager med aksen; - lengden på segmentet (med tegnet ) avskåret av en rett linje på aksen (tegn " " hvis segmentet er avskåret på den positive delen av aksen og " " hvis på den negative delen).

6) - rettlinjeligning i kutt, hvor og er lengdene til segmentene (med tegnet ) avskåret av en rett linje på koordinataksene og (tegnet " " hvis segmentet er avskåret på den positive delen av aksen og " " hvis på den negative aksen ).

Avstand fra punkt til linje , gitt av den generelle ligningen på planet, er funnet av formelen:

Hjørne , ( )mellom rette linjer og , gitt av generelle ligninger eller ligninger med en helning, er funnet av en av følgende formler:

Hvis eller.

Hvis eller

Koordinater til skjæringspunktet mellom linjer og er funnet som en løsning på systemet lineære ligninger: eller .

Normalvektoren til planet , en hvilken som helst ikke-null vektor vinkelrett på det gitte planet kalles.

Fly i koordinatsystemet kan gis ved en ligning av en av følgende typer:

1) - generell ligning plan, hvor er normalvektoren til planet;

2) - ligningen til planet som går gjennom punktet vinkelrett på den gitte vektoren;

3) - likning av planet som går gjennom tre punkter, og;

4) - plan ligning i kutt, hvor , og er lengdene på segmentene (med tegnet ) avskåret av planet på koordinataksene , og (tegn " " hvis segmentet er avskåret på den positive delen av aksen og " " hvis på den negative ).

Avstand fra punkt til plan , gitt av den generelle ligningen , er funnet av formelen:

Hjørne ,( )mellom flyene og , gitt av generelle ligninger, er funnet av formelen:

Rett i verdensrommet i koordinatsystemet kan gis ved en ligning av en av følgende typer:

1) - generell ligning en rett linje, som skjæringslinjene mellom to plan, hvor og er normalvektorene til planene og;

2) - likning av en rett linje som går gjennom et punkt parallelt med en gitt vektor ( kanonisk ligning );

3) - likning av en rett linje som går gjennom to gitte punkter, ;

4) - likning av en rett linje som går gjennom et punkt parallelt med en gitt vektor, ( parametrisk ligning );

Hjørne , ( ) mellom rette linjer Og i verdensrommet , gitt av kanoniske ligninger, er funnet av formelen:

Koordinatene til skjæringspunktet for linjen , gitt av den parametriske ligningen og fly , gitt av den generelle ligningen, finnes som en løsning på systemet med lineære ligninger: .

Hjørne , ( ) mellom linjen , gitt av den kanoniske ligningen og fly , gitt av den generelle ligningen er funnet av formelen: .

Emne 6. Kurver av andre orden.

Algebraisk kurve av andre orden i koordinatsystemet kalles en kurve, generell ligning som ser ut som:

hvor tall - ikke er lik null på samme tid. Det er følgende klassifisering av andreordenskurver: 1) hvis , så definerer den generelle ligningen kurven elliptisk type (sirkel (for ), ellipse (for ), tom sett, punkt); 2) hvis , da - kurve hyperbolsk type (hyperbola, et par kryssende linjer); 3) hvis , da - kurve parabolsk type(parabel, tomt sett, linje, par parallelle linjer). Sirkel, ellipse, hyperbel og parabel kalles ikke-degenererte kurver av andre orden.

Den generelle ligningen , der , definerer en ikke-degenerert kurve (sirkel, ellipse, hyperbel, parabel), alltid (ved seleksjonsmetode hele firkanter) kan reduseres til en av følgende typer:

1a) - sirkelligning sentrert ved et punkt og radius (fig. 5).

1b)- ligningen til en ellipse sentrert i et punkt og symmetriakser parallelle med koordinataksene. Tallene og - kalles halvakser av en ellipse hovedrektangelet til ellipsen; toppene av ellipsen .

Slik bygger du en ellipse i koordinatsystemet: 1) marker midten av ellipsen; 2) passere gjennom sentrum stiplet linje symmetriakser til ellipsen; 3) vi bygger hovedrektangelet til en ellipse med en stiplet linje med et senter og sider parallelle med symmetriaksene; 4) skildre solid linje ellipse, ved å skrive den inn i hovedrektangelet slik at ellipsen berører sidene bare ved toppene av ellipsen (fig. 6).

På samme måte er det konstruert en sirkel, hvis hovedrektangel har sider (fig. 5).

Fig.5 Fig.6

2) - ligninger av hyperbler (kalt konjugerer) sentrert i et punkt og symmetriakser parallelt med koordinataksene. Tallene og - kalles halvakser av hyperbler ; et rektangel med sider parallelle med symmetriaksene og sentrert i et punkt - hovedrektangelet til hyperbler; skjæringspunkter for hovedrektangelet med symmetriaksene - hjørner av hyperbler; rette linjer som går gjennom motsatte hjørner av hovedrektangelet - asymptoter av hyperbler .

Slik bygger du en hyperbel i koordinatsystemet: 1) marker sentrum av hyperbelen; 2) vi tegner gjennom midten med en stiplet linje symmetriaksen til hyperbelen; 3) vi bygger hovedrektangelet til en hyperbel med en stiplet linje med et senter og sider og parallelt med symmetriaksene; 4) vi tegner rette linjer gjennom de motsatte toppunktene til hovedrektangelet med en stiplet linje, som er asymptoter av hyperbelen, som grenene til hyperbelen nærmer seg uendelig nær, i en uendelig avstand fra opprinnelsen til koordinatene, uten å krysse dem; 5) vi skildrer grenene til en hyperbel (fig. 7) eller hyperbel (fig. 8) med en heltrukket linje.

Fig.7 Fig.8

3a)- ligningen til en parabel med et toppunkt i et punkt og en symmetriakse parallelt med koordinataksen (fig. 9).

3b)- ligningen til en parabel med et toppunkt i et punkt og en symmetriakse parallelt med koordinataksen (fig. 10).

Slik bygger du en parabel i koordinatsystemet: 1) marker toppen av parabelen; 2) vi tegner gjennom toppunktet med en stiplet linje symmetriaksen til parabelen; 3) vi skildrer en parabel med en heltrukket linje, som leder dens gren, under hensyntagen til tegnet til parabelparameteren: ved - i positiv retning av koordinataksen parallelt med symmetriaksen til parablen (fig. 9a og 10a); på - inn negativ side koordinatakse (fig. 9b og 10b) .

Ris. 9a Fig. 9b

Ris. 10a Fig. 10b

Emne 7. Settene. Numeriske sett. Funksjon.

Under mange forstå et visst sett med objekter av enhver art, som kan skilles fra hverandre og tenkes som en enkelt helhet. Objektene som utgjør et sett kaller det elementer . Et sett kan være uendelig (består av et uendelig antall elementer), endelig (består av et endelig antall elementer), tomt (inneholder ikke et enkelt element). Sett er merket med , og elementene deres med . Det tomme settet er merket med .

Still inn samtale delmengde sett hvis alle elementene i settet tilhører settet og skriv . Setter og ringte lik , hvis de består av de samme elementene og skrive . To sett og vil være like hvis og bare hvis og .

Still inn samtale universell (innenfor rammen av denne matematiske teorien) , hvis elementene er alle objekter som vurderes i denne teorien.

Mange kan stilles inn: 1) oppregning av alle dens elementer, for eksempel: (bare for endelige sett); 2) ved å sette en regel for å bestemme om et element i et universelt sett tilhører et gitt sett: .

assosiasjon

kryssing setter og kalles et sett

forskjell setter og kalles et sett

Supplement sett (opp til et universelt sett) kalles et sett.

De to settene og kalles tilsvarende og skriv ~ hvis en en-til-en korrespondanse kan etableres mellom elementene i disse settene. Settet heter tellbart , hvis det er ekvivalent med settet med naturlige tall : ~ . Det tomme settet er per definisjon tellbart.

Konseptet med kardinalitet til et sett oppstår når sett sammenlignes med antall elementer de inneholder. Kardinaliteten til settet er angitt med . Kardinaliteten til et begrenset sett er antallet av elementene.

Ekvivalente sett har samme kardinalitet. Settet heter utellelig hvis kardinaliteten er større enn kardinaliteten til settet.

Gyldig (ekte) Antall kalles en uendelig desimalbrøk, tatt med tegnet "+" eller "". Reelle tall identifiseres med punkter på tallinjen. modul (absolutt verdi) av et reelt tall kalles ikke-negativt tall:

Settet heter numerisk hvis elementene er reelle tall. Numerisk med mellomrom sett med tall kalles: , , , , , , , , .

Settet med alle punkter på tallinjen som tilfredsstiller betingelsen , hvor er et vilkårlig lite tall, kalles -nabolag (eller bare et nabolag) av et punkt og er betegnet med . Settet av alle punkter av betingelsen , hvor - vilkårlig stort antall, er kalt - nabolag (eller bare et nabolag) av uendelig og er betegnet med .

En mengde som beholder samme tallverdi kalles konstant. En mengde som antar forskjellige tallverdier kalles variabel. Funksjon regelen kalles, ifølge hvilken hvert nummer er tildelt ett veldefinert nummer, og de skriver. Settet heter definisjonsdomene funksjoner, - mange ( eller region ) verdier funksjoner, - argument , - funksjonsverdi . Den vanligste måten å spesifisere en funksjon på er den analytiske metoden, der funksjonen er gitt av en formel. naturlig domene funksjon er settet med verdier til argumentet som denne formelen gir mening for. Funksjonsgraf , i et rektangulært koordinatsystem , er settet av alle punkter i planet med koordinater , .

Funksjonen kalles til og med på settet , symmetrisk med hensyn til punktet , hvis følgende betingelse er oppfylt for alle: og merkelig dersom vilkåret er oppfylt. Ellers funksjonen generelt syn eller verken partall eller rart .

Funksjonen kalles tidsskrift på settet hvis det finnes et nummer ( funksjonsperiode ) slik at følgende betingelse er oppfylt for alle: . Minste tall kalt hovedperioden.

Funksjonen kalles monotont økende (avtar ) på settet hvis større verdi argumentet tilsvarer den større (mindre) verdien av funksjonen.

Funksjonen kalles begrenset på settet , hvis det finnes et tall slik at følgende betingelse er oppfylt for alle : . Ellers er funksjonen ubegrenset .

Omvendt å fungere , , en slik funksjon kalles , som er definert på settet og til hver

Matcher slik at . For å finne funksjonen invers til funksjonen , du må løse ligningen relativt. Hvis funksjonen , er strengt monotont på , så har den alltid en invers, og hvis funksjonen øker (minker), så invers funksjonøker (minker).

En funksjon representert som , hvor , er noen funksjoner slik at domenet til funksjonsdefinisjonen inneholder hele settet med verdier til funksjonen, kalles kompleks funksjon uavhengig argumentasjon. Variabelen kalles et mellomargument. En kompleks funksjon kalles også en sammensetning av funksjoner og , og skrives: .

Grunnleggende elementært funksjoner er: makt funksjon, demonstrasjon funksjon ( , ), logaritmisk funksjon ( , ), trigonometrisk funksjoner , , , , invers trigonometrisk funksjoner , , , . Elementær kalles en funksjon hentet fra grunnleggende elementære funksjoner ved et begrenset antall av deres aritmetiske operasjoner og sammensetninger.

Hvis grafen til funksjonen er gitt, reduseres konstruksjonen av grafen til funksjonen til en rekke transformasjoner (forskyvning, kompresjon eller strekking, visning) av grafen:

1) 2) transformasjonen viser grafen symmetrisk om aksen; 3) transformasjonen forskyver grafen langs aksen med enheter ( - til høyre, - til venstre); 4) transformasjonen forskyver diagrammet langs aksen med enheter (- opp, - ned); 5) transformasjonsgraf langs aksen strekker seg i tider, hvis eller komprimerer i tider, hvis ; 6) transformering av grafen langs aksen komprimeres med en faktor hvis eller strekker seg med en faktor hvis .

Rekkefølgen av transformasjoner når du plotter en funksjonsgraf kan representeres symbolsk som:

Merk. Når du utfører en transformasjon, husk at mengden forskyvning langs aksen bestemmes av konstanten som legges direkte til argumentet, og ikke til argumentet.

Grafen til funksjonen er en parabel med toppunkt ved , hvis grener er rettet oppover hvis eller nedover hvis . Grafen til en lineær-fraksjonell funksjon er en hyperbel sentrert ved punktet , hvis asymptoter går gjennom sentrum, parallelt med koordinataksene. , som tilfredsstiller betingelsen. kalt.

Tenk på produktet av vektorer, Og , sammensatt som følger:
. Her multipliseres de to første vektorene vektorielt, og resultatet deres multipliseres skalært med den tredje vektoren. Et slikt produkt kalles et vektor-skalar, eller blandet, produkt av tre vektorer. Blandingsproduktet er et eller annet nummer.

La oss finne ut den geometriske betydningen av uttrykket
.

Teorem . Blandingsproduktet av tre vektorer er lik volumet til parallellepipedet bygget på disse vektorene, tatt med et plusstegn hvis disse vektorene danner en høyre trippel, og med et minustegn hvis de danner en venstre trippel.

Bevis.. Vi konstruerer et parallellepiped hvis kanter er vektorene , , og vektor
.

Vi har:
,
, Hvor - området av parallellogrammet bygget på vektorer Og ,
for høyre trippel av vektorer og
for venstre, hvor
er høyden på parallellepipedet. Vi får:
, dvs.
, Hvor - volumet av parallellepipedet dannet av vektorene , Og .

Blandede produktegenskaper

1. Det blandede produktet endres ikke når syklisk permutasjon av dens faktorer, dvs. .

Faktisk, i dette tilfellet endres verken volumet til parallellepipedet eller orienteringen av kantene.

2. Blandingsproduktet endres ikke når tegnene til vektor og skalar multiplikasjon reverseres, dvs.
.

Egentlig,
Og
. Vi tar det samme tegnet på høyre side av disse likhetene, siden trippelene av vektorer , , Og , , - én orientering.

Derfor,
. Dette lar oss skrive det blandede produktet av vektorer
som
uten tegn på vektor, skalar multiplikasjon.

3. Blandingsproduktet skifter fortegn når hvilke som helst to faktorvektorer bytter plass, dvs.
,
,
.

En slik permutasjon tilsvarer faktisk en permutasjon av faktorene i vektorproduktet, som endrer produktets fortegn.

4. Blandet produkt av vektorer som ikke er null , Og er null hvis og bare hvis de er koplanære.

2.12. Beregning av det blandede produktet i koordinatform på ortonormal basis

La vektorene
,
,
. La oss finne deres blandede produkt ved å bruke uttrykk i koordinater for vektor- og skalarprodukter:

. (10)

Den resulterende formelen kan skrives kortere:

siden høyre side av likhet (10) er utvidelsen av tredjeordens determinant når det gjelder elementene i den tredje raden.

Så det blandede produktet av vektorer er lik tredjeordens determinant, sammensatt av koordinatene til de multipliserte vektorene.

2.13 Noen bruksområder for det blandede produktet

Bestemme den relative orienteringen til vektorer i rommet

Bestemme den relative orienteringen til vektorer , Og basert på følgende betraktninger. Hvis
, Det , , - høyre tre Hvis
, Det , , - venstre tre.

Compplanaritetsbetingelse for vektorer

Vektorer , Og er koplanære hvis og bare hvis deres blandede produkt er null (
,
,
):

vektorer , , koplanar.

Bestemme volumene til en parallellepiped og en trekantet pyramide

Det er lett å vise at volumet til et parallellepiped bygget på vektorer , Og beregnes som
, og volumet trekantet pyramide, bygget på de samme vektorene, er lik
.

Eksempel 1 Bevis at vektorene
,
,
koplanar.

Løsning. La oss finne det blandede produktet av disse vektorene ved å bruke formelen:

Dette betyr at vektorene
koplanar.

Eksempel 2 Gitt toppunktene til et tetraeder: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Finn lengden på høyden falt fra toppunktet .

Løsning. La oss først finne volumet til tetraederet
. I følge formelen får vi:

Siden determinanten er et negativt tall, altså denne saken Før formelen må du ta et minustegn. Derfor,
.

Ønsket verdi h bestemme ut fra formelen
, Hvor S - grunnareal. La oss bestemme området S:

Hvor

Fordi det

Bytter inn i formelen
verdier
Og
, vi får h= 3.

Eksempel 3 Oppstår vektorer
basis i verdensrommet? Dekomponer vektor
på grunnlag av vektorer.

Løsning. Hvis vektorene danner en basis i rommet, så ligger de ikke i samme plan, dvs. er ikke-koplanære. Finn det blandede produktet av vektorer
:
,

Derfor er ikke vektorene koplanære og danner en basis i rommet. Hvis vektorer danner en basis i rommet, så en hvilken som helst vektor kan representeres som en lineær kombinasjon av basisvektorer, nemlig
,Hvor
vektorkoordinater på vektorbasis
. La oss finne disse koordinatene ved å kompilere og løse ligningssystemet

Å løse det ved Gauss-metoden har vi

Herfra
. Deretter .

Dermed,
.

Eksempel 4 Toppene til pyramiden er på punktene:
,
,
,
. Regne ut:

a) ansiktsområdet
;

b) volumet til pyramiden
;

c) vektorprojeksjon
til vektorens retning
;

d) vinkel
;

e) sjekk at vektorene
,
,
koplanar.

Løsning

a) Fra definisjonen av et kryssprodukt er det kjent at:

Finne vektorer
Og
, ved hjelp av formelen

,
.

For vektorer definert av deres projeksjoner, er vektorproduktet funnet av formelen

, Hvor
.

For vårt tilfelle

Vi finner lengden på den resulterende vektoren ved å bruke formelen

,
.

og så
(kvm enheter).

b) Blandingsproduktet av tre vektorer er lik i absolutt verdi med volumet til parallellepipedet bygget på vektorene , , som på ribbeina.

Blandingsproduktet beregnes med formelen:

La oss finne vektorene
,
,
, sammenfallende med kantene på pyramiden, konvergerer til toppen :

Blandingsproduktet av disse vektorene

Siden volumet av pyramiden er lik den delen av volumet til parallellepipedet bygget på vektorene
,
,
, Det
(kubikkenheter).

c) Bruke formelen
, som definerer skalarproduktet til vektorer , , kan skrives slik:

Hvor
eller
;

eller
.

For å finne projeksjonen av vektoren
til vektorens retning
finn koordinatene til vektorene
,
, og deretter bruke formelen

vi får

d) For å finne vinkelen
definere vektorer
,
, som har et felles opphav på punktet :

Deretter, i henhold til skalarproduktformelen

e) I rekkefølge for de tre vektorene

,
,

er koplanære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres blandede produkt er lik null.

I vårt tilfelle har vi
.

Derfor er vektorene koplanære.

For vektorer , og , gitt av koordinater , , er det blandede produktet beregnet av formelen: .

Blandet produkt brukes: 1) å beregne volumene til et tetraeder og et parallellepiped bygget på vektorer , og , som på kanter, i henhold til formelen: ; 2) som en betingelse for komplanariteten til vektorene , og : og er koplanære.

Emne 5. Linjer på flyet.

Normal linjevektor , kalles enhver vektor som ikke er null vinkelrett på den gitte linjen. Retning vektor rett , kalles enhver vektor som ikke er null parallelt med den gitte linjen.

Rett på overflaten i koordinatsystemet kan gis ved en ligning av en av følgende typer:

1) - generell ligning rett linje, hvor er normalvektoren til den rette linjen;

2) - ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt vinkelrett på en gitt vektor;

3) - likning av en rett linje som går gjennom et punkt parallelt med en gitt vektor ( kanonisk ligning );

4) - likning av en rett linje som går gjennom to gitte punkter, ;

5) - linjeligninger med skråning , hvor er punktet som linjen går gjennom; () - vinkelen som linjen lager med aksen; - lengden på segmentet (med tegnet ) avskåret av en rett linje på aksen (tegn " " hvis segmentet er avskåret på den positive delen av aksen og " " hvis på den negative delen).

Avstand fra punkt til linje , gitt av den generelle ligningen på planet, er funnet av formelen:

Hjørne , ( )mellom rette linjer og , gitt av generelle ligninger eller ligninger med en helning, er funnet av en av følgende formler:

Hvis eller.

Hvis eller

Koordinater til skjæringspunktet mellom linjer og finnes som en løsning på et system av lineære ligninger: eller .

Emne 10. Settene. Numeriske sett. Funksjoner.

Still inn samtale delmengde sett hvis alle elementene i settet tilhører settet og skriv .

Setter og ringte lik , hvis de består av de samme elementene og skrive . To sett og vil være like hvis og bare hvis og .

Still inn samtale universell (innenfor rammen av denne matematiske teorien) , hvis elementene er alle objekter som vurderes i denne teorien.

assosiasjon

kryssing setter og kalles et sett

forskjell setter og kalles et sett

Supplement sett (opp til et universelt sett) kalles et sett.

Gyldig (ekte) Antall kalles en uendelig desimalbrøk, tatt med tegnet "+" eller "". Reelle tall identifiseres med punkter på tallinjen.

modul (absolutt verdi) av et reelt tall er et ikke-negativt tall:

Settet heter numerisk hvis elementene er reelle tall. Numerisk med mellomrom kalles sett

tall: , , , , , , , , .

Settet med alle punkter på tallinjen som tilfredsstiller betingelsen , hvor er et vilkårlig lite tall, kalles -nabolag (eller bare et nabolag) av et punkt og er betegnet med . Settet med alle punkter av betingelsen , hvor er et vilkårlig stort tall, kalles - nabolag (eller bare et nabolag) av uendelig og er betegnet med .

Funksjonen kalles til og med på settet , symmetrisk med hensyn til punktet , hvis følgende betingelse er oppfylt for alle: og merkelig dersom vilkåret er oppfylt. Ellers en generisk funksjon eller verken partall eller rart .

Funksjonen kalles tidsskrift på settet hvis det finnes et nummer ( funksjonsperiode ) slik at følgende betingelse er oppfylt for alle: . Det minste tallet kalles hovedperioden.

Funksjonen kalles monotont økende (avtar ) på settet hvis den største verdien av argumentet tilsvarer den større (mindre) verdien til funksjonen .

Funksjonen kalles begrenset på settet , hvis det finnes et tall slik at følgende betingelse er oppfylt for alle : . Ellers er funksjonen ubegrenset .

Omvendt å fungere , , er en funksjon som er definert på et sett og tilordner hver slik at . For å finne funksjonen invers til funksjonen , du må løse ligningen relativt. Hvis funksjonen , er strengt monotont på , så har den alltid en invers, og hvis funksjonen øker (minker), så øker (minker) også den inverse funksjonen.

Grafen til funksjonen er en parabel med toppunkt ved , hvis grener er rettet oppover hvis eller nedover hvis .

I noen tilfeller, når du konstruerer en graf for en funksjon, er det tilrådelig å dele opp definisjonsdomenet i flere ikke-skjærende intervaller og sekvensielt bygge en graf på hver av dem.

Ethvert ordnet sett med reelle tall kalles prikkdimensjonal aritmetikk (koordinere) rom og betegnet eller , mens tallene kalles sin koordinater .

La og være noen sett med punkter og . Hvis hvert punkt er tildelt, i henhold til en eller annen regel, ett veldefinert reelt tall , så sier de at en numerisk funksjon av variabler er gitt på settet og skriver eller kort og , mens de kalles definisjonsdomene , - sett med verdier , - argumenter (uavhengige variabler) funksjoner.

En funksjon av to variabler er ofte betegnet, en funksjon av tre variabler -. Definisjonsdomenet til en funksjon er et visst sett med punkter i planet, funksjoner er et visst sett med punkter i rommet.

Emne 7. Numeriske sekvenser og serier. Sekvensgrense. Begrensning av en funksjon og kontinuitet.

Hvis hvert naturlig tall i henhold til en bestemt regel er assosiert med ett veldefinert reelt tall, så sier de det numerisk rekkefølge . Betegn kort. Nummeret ringes opp felles medlem av sekvensen . En sekvens kalles også en funksjon av et naturlig argument. En sekvens inneholder alltid et uendelig antall elementer, hvorav noen kan være like.

Nummeret ringes opp sekvensgrense , og skriv om det for et hvilket som helst tall er et tall slik at ulikheten er tilfredsstilt for alle .

En sekvens som har en endelig grense kalles konvergerende , ellers - avvikende .

: 1) avtar , Hvis ; 2) økende , Hvis ; 3) ikke synkende , Hvis ; 4) ikke økende , Hvis . Alle de ovennevnte sekvensene kalles monotont .

Sekvensen kalles begrenset , hvis det er et tall slik at følgende betingelse er oppfylt for alle: . Ellers er sekvensen ubegrenset .

Hver monotone avgrenset sekvens har en grense ( Weierstrass-teorem).

Sekvensen kalles uendelig liten , Hvis . Sekvensen kalles uendelig stor (konvergerer til uendelig) hvis .

Antall kalles grensen for sekvensen, hvor

Konstanten kalles nonpeer-tallet. Grunnlogaritmen til et tall kalles naturlig logaritme tall og er merket med .

Et uttrykk for formen , hvor er en tallsekvens, kalles numeriske serier og er merket. Summen av de første leddene i rekken kalles delsum rad.

Rekka heter konvergerende hvis det er en begrenset grense og avvikende hvis grensen ikke eksisterer. Nummeret ringes opp summen av en konvergent serie , mens du skriver.

Hvis serien konvergerer, da (et nødvendig kriterium for konvergens av serien ) . Det motsatte er ikke sant.

Hvis , så divergerer serien ( et tilstrekkelig kriterium for divergensen i serien ).

Generaliserte harmoniske serier kalles en serie som konvergerer ved og divergerer ved .

Geometrisk serie kalle en serie som konvergerer ved , mens summen er lik og divergerer ved . finne et tall eller symbol. (venstre semi-nabolag, høyre semi-nabolag) og

I denne leksjonen skal vi se på ytterligere to operasjoner med vektorer: kryssprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer (umiddelbar lenke for de som trenger det). Det er greit, det hender noen ganger at for fullstendig lykke, i tillegg til prikkprodukt av vektorer, mer og mer trengs. Slik er vektoravhengighet. Man kan få inntrykk av at vi er på vei inn i jungelen av analytisk geometri. Dette er feil. I denne delen av høyere matematikk er det generelt lite ved, bortsett fra kanskje nok for Pinocchio. Faktisk er materialet veldig vanlig og enkelt - neppe vanskeligere enn det samme skalært produkt, selv det vil være færre typiske oppgaver. Det viktigste i analytisk geometri, som mange vil se eller allerede har sett, er Å IKKE FEIL BEREGNINGER. Gjenta som en trolldom, så blir du glad =)

Hvis vektorene glitrer et sted langt unna, som lyn i horisonten, spiller det ingen rolle, start med leksjonen Vektorer for dummieså gjenopprette eller gjenopprette grunnleggende kunnskap om vektorer. Mer forberedte lesere kan bli kjent med informasjonen selektivt, jeg prøvde å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk jobb

Hva vil gjøre deg glad? Da jeg var liten kunne jeg sjonglere med to og til og med tre baller. Det fungerte bra. Nå er det ingen grunn til å sjonglere i det hele tatt, siden vi vil vurdere bare romvektorer, og flate vektorer med to koordinater vil bli utelatt. Hvorfor? Dette er hvordan disse handlingene ble født - vektoren og det blandede produktet av vektorer er definert og fungerer i tredimensjonalt rom. Allerede enklere!

I denne operasjonen, på samme måte som i skalarproduktet, to vektorer. La det være uforgjengelige bokstaver.

Selve handlingen angitt på følgende måte:. Det finnes andre alternativer, men jeg er vant til å betegne kryssproduktet til vektorer på denne måten, i hakeparentes med et kryss.

Og umiddelbart spørsmål: hvis i prikkprodukt av vektorer to vektorer er involvert, og her multipliseres også to vektorer, da hva er forskjellen? En klar forskjell, først og fremst, i RESULTATET:

Resultatet av skalarproduktet av vektorer er et TALL:

Resultatet av kryssproduktet av vektorer er en VEKTOR: , det vil si at vi multipliserer vektorene og får en vektor igjen. Lukket klubb. Faktisk, derav navnet på operasjonen. I ulike pedagogisk litteratur notasjonen kan også variere, jeg vil bruke bokstaven .

Definisjon av kryssprodukt

Først blir det en definisjon med et bilde, deretter kommentarer.

Definisjon: kryssprodukt ikke-kollineær vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalles VECTOR, lengde som er numerisk lik arealet av parallellogrammet, bygget på disse vektorene; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet slik at grunnlaget har en rett orientering:

Vi analyserer definisjonen av bein, det er mange interessante ting!

Så vi kan fremheve følgende viktige punkter:

1) Kildevektorer, angitt med røde piler, per definisjon ikke collineær. Det vil være hensiktsmessig å vurdere tilfellet med kollineære vektorer litt senere.

2) Vektorer tatt strengt tatt viss rekkefølge : – "a" multipliseres med "være", ikke "være" til "a". Resultatet av vektormultiplikasjon er VEKTOR , som er angitt med blått. Hvis vektorene multipliseres i omvendt rekkefølge, får vi en vektor lik lengde og motsatt i retning (karmosinrød farge). Det vil si likestillingen .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er et veldig viktig poeng! LENGDEN til den blå vektoren (og derfor den crimson vektoren ) er numerisk lik OMRÅDET til parallellogrammet bygget på vektorene . På figuren er dette parallellogrammet skyggelagt i svart.

Merk : tegningen er skjematisk, og selvfølgelig er den nominelle lengden på kryssproduktet ikke lik arealet av parallellogrammet.

Vi husker en av de geometriske formlene: arealet av et parallellogram er lik produktet av tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor, basert på det foregående, er formelen for å beregne LENGDEN til et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreker at i formelen snakker vi om LENGDEN til vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er slik at i problemer med analytisk geometri, er området til et parallellogram ofte funnet gjennom konseptet med et vektorprodukt:

Vi får den andre viktige formelen. Diagonalen til parallellogrammet (rød stiplet linje) deler det i to like trekanter. Derfor kan arealet til en trekant bygget på vektorer (rød skyggelegging) bli funnet med formelen:

4) Ikke mindre enn viktig faktum er at vektoren er ortogonal på vektorene, dvs. . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (crimson arrow) også ortogonal til de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har Ikke sant orientering. I en leksjon om overgang til et nytt grunnlag Jeg har snakket i detalj om planorientering, og nå skal vi finne ut hva plassretningen er. Jeg vil forklare på fingrene dine høyre hånd. Kombiner mentalt pekefinger med vektor og langfinger med vektor. Ringfinger og lillefinger trykk inn i håndflaten. Som et resultat tommel- vektorproduktet vil slå opp. Dette er det høyreorienterte grunnlaget (det er på figuren). Bytt nå vektorene ( indeks og langfingrene ) noen steder, som et resultat, vil tommelen snu seg, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et høyreorientert grunnlag. Kanskje du har et spørsmål: hvilket grunnlag har en venstreorientering? "Tildel" de samme fingrene venstre hand vektorer, og få venstre basis og venstre plass orientering (i dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt sett "vrir" disse basene eller orienterer rommet i forskjellige retninger. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe fjernt eller abstrakt - for eksempel endrer det mest vanlige speilet plassorienteringen, og hvis du "trekker det reflekterte objektet ut av speilet", vil det generelt ikke være mulig å kombinere det med "originalen". Ta forresten med tre fingre til speilet og analyser refleksjonen ;-)

... hvor bra det er at du nå vet om høyre- og venstreorientert baser, fordi uttalelsene fra noen forelesere om endringen av orientering er forferdelige =)

Vektorprodukt av kollineære vektorer

Definisjonen er utarbeidet i detalj, det gjenstår å finne ut hva som skjer når vektorene er kollineære. Hvis vektorene er kollineære, kan de plasseres på en rett linje og parallellogrammet vårt "brettes" også til en rett linje. Området for slike, som matematikere sier, degenerert parallellogrammet er null. Det samme følger av formelen - sinusen til null eller 180 grader er lik null, som betyr at arealet er null

Altså, hvis, da Og . Vær oppmerksom på at selve kryssproduktet er lik nullvektoren, men i praksis blir dette ofte neglisjert og skrevet at det også er lik null.

spesielt tilfelle er kryssproduktet av en vektor og seg selv:

Ved å bruke kryssproduktet kan du sjekke kollineariteten til tredimensjonale vektorer, og vi vil også analysere blant annet dette problemet.

For å løse praktiske eksempler kan det være nødvendig trigonometrisk tabell for å finne verdiene til sinusene fra den.

Vel, la oss starte en brann:

Eksempel 1

a) Finn lengden på vektorproduktet til vektorer if

b) Finn arealet til et parallellogram bygget på vektorer hvis

Løsning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, jeg gjorde med vilje de første dataene i tilstandselementene til de samme. Fordi utformingen av løsningene vil være annerledes!

a) I henhold til vilkåret kreves det å finne lengde vektor (vektorprodukt). I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Siden det ble spurt om lengden, angir vi i svaret dimensjonen - enheter.

b) Etter vilkåret kreves det å finne torget parallellogram bygget på vektorer. Arealet til dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på kryssproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at i svaret om vektorproduktet er det ingen snakk i det hele tatt, vi ble spurt om figurområde, henholdsvis dimensjonen er kvadratiske enheter.

Vi ser alltid på HVA som kreves for å finne av tilstanden, og ut fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bokstavelig talt, men det er nok litterære blant lærerne, og oppgaven med gode sjanser vil bli returnert for revisjon. Selv om dette ikke er et spesielt anstrengt pys – hvis svaret er feil, får man inntrykk av at personen ikke forstår enkle ting og/eller ikke har forstått essensen av oppgaven. Dette øyeblikket bør alltid holdes under kontroll, og løse ethvert problem i høyere matematikk, og i andre fag også.

Hvor ble det av den store bokstaven "en"? I prinsippet kan det i tillegg sitte fast på løsningen, men for å forkorte posten gjorde jeg det ikke. Jeg håper alle forstår det og er betegnelsen på det samme.

Et populært eksempel på en gjør-det-selv-løsning:

Eksempel 2

Finn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Formelen for å finne arealet av en trekant gjennom vektorproduktet er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsning og svar på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven egentlig veldig vanlig, trekanter kan generelt bli torturert.

For å løse andre problemer trenger vi:

Egenskaper til kryssproduktet til vektorer

Vi har allerede vurdert noen egenskaper til vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlige vektorer og et vilkårlig tall er følgende egenskaper sanne:

1) I andre informasjonskilder skilles denne posten vanligvis ikke ut i eiendommene, men den er veldig viktig i praksis. Så la det være.

2) - eiendommen er også omtalt ovenfor, noen ganger kalles det antikommutativitet. Med andre ord, rekkefølgen på vektorene har betydning.

3) - kombinasjon eller assosiativ vektor produktlover. Konstantene tas lett ut av grensene til vektorproduktet. Virkelig, hva gjør de der?

4) - distribusjon eller fordeling vektor produktlover. Det er heller ingen problemer med å åpne braketter.

Tenk på et kort eksempel som en demonstrasjon:

Eksempel 3

Finn hvis

Løsning: Av betingelse er det igjen påkrevd å finne lengden på vektorproduktet. La oss male miniatyren vår:

(1) I henhold til de assosiative lovene tar vi ut konstantene utover grensene til vektorproduktet.

(2) Vi tar konstanten ut av modulen, mens modulen "spiser" minustegnet. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Det som følger er klart.

Svar:

Det er på tide å kaste ved på bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Finn arealet av en trekant ved hjelp av formelen . Haken er at vektorene "ce" og "te" i seg selv er representert som summer av vektorer. Algoritmen her er standard og minner litt om eksempel nr. 3 og 4 i leksjonen. Punktprodukt av vektorer. La oss dele det ned i tre trinn for klarhet:

1) Ved det første trinnet uttrykker vi vektorproduktet gjennom vektorproduktet, faktisk, uttrykk vektoren i form av vektoren. Ingen ord om lengde ennå!

(1) Vi erstatter uttrykk for vektorer.

(2) Bruk distributive lover, åpne parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer.

(3) Ved å bruke de assosiative lovene tar vi ut alle konstantene utover vektorproduktene. Med lite erfaring kan handling 2 og 3 utføres samtidig.

(4) De første og siste leddene er lik null (nullvektor) på grunn av den hyggelige egenskapen . I det andre leddet bruker vi antikommutativitetsegenskapen til vektorproduktet:

(5) Vi presenterer lignende termer.

Som et resultat viste det seg at vektoren ble uttrykt gjennom en vektor, som var det som krevdes for å oppnås:

2) På det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet vi trenger. Denne handlingen ligner på eksempel 3:

3) Finn arealet av den nødvendige trekanten:

Trinn 2-3 i løsningen kan ordnes på én linje.

Svar:

Det vurderte problemet er ganske vanlig i kontrollarbeid, her er et eksempel på en gjør-det-selv-løsning:

Eksempel 5

Finn hvis

Kort løsning og svar på slutten av timen. La oss se hvor oppmerksom du var da du studerte de forrige eksemplene ;-)

Kryssprodukt av vektorer i koordinater

, gitt i ortonormal basis , uttrykkes med formelen:

Formelen er veldig enkel: vi skriver koordinatvektorene i den øverste linjen av determinanten, vi "pakker" koordinatene til vektorene i den andre og tredje linjen, og vi setter i streng rekkefølge- først koordinatene til vektoren "ve", deretter koordinatene til vektoren "dobbel-ve". Hvis vektorene må multipliseres i en annen rekkefølge, bør linjene også byttes:

Eksempel 10

Sjekk om følgende romvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Testen er basert på et av utsagnene i denne leksjonen: hvis vektorene er kollineære, så er deres kryssprodukt null (null vektor): .

a) Finn vektorproduktet:

Så vektorene er ikke kollineære.

b) Finn vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet til vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden det er få problemer der det blandede produktet av vektorer brukes. Faktisk vil alt hvile på definisjonen, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Det blandede produktet av vektorer er produkt av tre vektorer:

Dette er hvordan de stilte seg opp som et tog og venter, de kan ikke vente til de er beregnet.

Først igjen definisjonen og bildet:

Definisjon: Blandet produkt ikke-coplanar vektorer, tatt i denne rekkefølgen, er kalt volumet av parallellepipedet, bygget på disse vektorene, utstyrt med et "+"-tegn hvis basisen er høyre, og et "-"-tegn hvis basisen er venstre.

La oss tegne. Linjer som er usynlige for oss er tegnet med en stiplet linje:

La oss dykke ned i definisjonen:

2) Vektorer tatt i en bestemt rekkefølge, det vil si at permutasjonen av vektorer i produktet, som du kanskje gjetter, ikke går uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydningen, vil jeg legge merke til det åpenbare faktum: det blandede produktet av vektorer er et TALL: . I pedagogisk litteratur kan designet være noe annerledes, jeg pleide å betegne et blandet produkt gjennom, og resultatet av beregninger med bokstaven "pe".

A-priory det blandede produktet er volumet til parallellepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet til det gitte parallellepipedet.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bry oss igjen med konseptet om orienteringen av grunnlaget og rommet. Meningen med den siste delen er at et minustegn kan legges til volumet. Med enkle ord, kan det blandede produktet være negativt: .

Formelen for å beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer følger direkte av definisjonen.

Populær i kategorien: