hjem › Chassis › Hvordan finne de største og minste verdiene til en funksjon i et avgrenset lukket område? Undersøkelse av grafen til en funksjon.

Hvordan finne de største og minste verdiene til en funksjon i et avgrenset lukket område? Undersøkelse av grafen til en funksjon.

I denne artikkelen vil jeg snakke om hvordan du bruker evnen til å finne på studiet av en funksjon: å finne dens største eller den minste verdien. Og så skal vi løse noen problemer fra Oppgave B15 fra åpen bank oppdrag for.

La oss som vanlig starte med teorien først.

I begynnelsen av enhver studie av en funksjon finner vi den

For å finne den største eller minste verdien av funksjonen, må du undersøke på hvilke intervaller funksjonen øker og på hvilke den avtar.

For å gjøre dette må du finne den deriverte av funksjonen og studere dens intervaller med konstant fortegn, det vil si intervallene der den deriverte beholder tegnet.

Intervallene der den deriverte av en funksjon er positiv er intervaller med økende funksjon.

Intervallene der den deriverte av en funksjon er negativ, er intervaller med avtagende funksjon.

1 . La oss løse oppgave B15 (nr. 245184)

For å løse det, vil vi følge følgende algoritme:

a) Finn domenet til funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen .

c) Sett den lik null.

d) La oss finne intervallene for konstanttegn for funksjonen.

e) Finn punktet der funksjonen har størst verdi.

f) Finn verdien av funksjonen på dette punktet.

Jeg forteller den detaljerte løsningen av denne oppgaven i VIDEOLEKSJONEN:

Sannsynligvis støttes ikke nettleseren din. For å bruke «Unified State Examination Hour»-simulatoren, prøv å laste ned
Firefox

2. La oss løse oppgave B15 (nr. 282862)

Finn den største verdien av en funksjon på segmentet

Det er åpenbart at funksjonen tar den største verdien på segmentet ved maksimumspunktet, ved x=2. Finn verdien av funksjonen på dette punktet:

Svar: 5

3 . La oss løse oppgave B15 (nr. 245180):

Finn den største verdien av en funksjon

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Siden omfanget av den opprinnelige funksjonen title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Telleren er null ved . La oss sjekke om ODZ tilhører funksjonen. For å gjøre dette, sjekk om betingelsen title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Tittel="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

så punktet tilhører funksjonens ODZ

Vi undersøker tegnet til den deriverte til høyre og venstre for punktet:

Vi ser at funksjonen har størst verdi på punktet. La oss nå finne verdien av funksjonen ved:

Merknad 1. Merk at i denne oppgaven fant vi ikke domenet til funksjonen: vi fikset bare begrensningene og sjekket om punktet der den deriverte er lik null tilhører domenet til funksjonen. I denne oppgaven viste dette seg å være nok. Dette er imidlertid ikke alltid tilfelle. Det avhenger av oppgaven.

Merknad 2. Når man studerer oppførselen til en kompleks funksjon, kan man bruke følgende regel:

hvis den ytre funksjonen til en sammensatt funksjon øker, får funksjonen sin største verdi på samme punkt der den indre funksjonen får sin største verdi. Dette følger av definisjonen av en økende funksjon: en funksjon øker på intervallet I if større verdi et argument fra dette intervallet tilsvarer en større verdi av funksjonen.
hvis den ytre funksjonen til en kompleks funksjon avtar, får funksjonen den største verdien på samme punkt der den indre funksjonen får den minste verdien . Dette følger av definisjonen av en synkende funksjon: funksjonen avtar på intervallet I hvis den større verdien av argumentet fra dette intervallet tilsvarer den mindre verdien av funksjonen

I vårt eksempel øker den ytre funksjonen over hele definisjonsdomenet. Under fortegnet til logaritmen er et uttrykk - et kvadratisk trinomium, som med en negativ seniorkoeffisient tar den største verdien på punktet . Deretter erstatter vi denne verdien av x i ligningen til funksjonen og finne dens største verdi.

La funksjonen $z=f(x,y)$ være definert og kontinuerlig i et avgrenset lukket domene $D$. La i dette området for gitt funksjon har endelige partielle deriverte av første orden (med mulig unntak av et endelig antall poeng). For å finne de største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et gitt lukket område, kreves det tre trinn av en enkel algoritme.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene av funksjonen $z=f(x,y)$ i det lukkede domenet $D$.

Finn de kritiske punktene til funksjonen $z=f(x,y)$ som tilhører regionen $D$. Beregn funksjonsverdier på kritiske punkter.
Undersøk oppførselen til funksjonen $z=f(x,y)$ på grensen til regionen $D$ ved å finne punktene for mulige maksimums- og minimumsverdier. Beregn funksjonsverdiene ved de oppnådde punktene.
Fra funksjonsverdiene oppnådd i de to foregående avsnittene, velg den største og minste.

Hva er kritiske punkter? Vis skjul

Under kritiske punkter antyde punkter der begge førsteordens partielle deriverte er lik null (dvs. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ og $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) eller minst én partiell derivativ eksisterer ikke.

Ofte kalles punktene der førsteordens partielle deriverte er lik null stasjonære punkter. Dermed er stasjonære punkter en undergruppe av kritiske punkter.

Eksempel #1

Finn maksimums- og minimumsverdiene for funksjonen $z=x^2+2xy-y^2-4x$ i det lukkede området avgrenset av linjene $x=3$, $y=0$ og $y=x +1$.

Vi vil følge ovenstående, men først skal vi behandle tegningen av et gitt område, som vi vil betegne med bokstaven $D$. Vi får likningene til tre rette linjer, som begrenser dette området. Den rette linjen $x=3$ går gjennom punktet $(3;0)$ parallelt med y-aksen (akse Oy). Den rette linjen $y=0$ er ligningen til abscisseaksen (okseaksen). Vel, for å konstruere en rett linje $y=x+1$ la oss finne to punkter som vi trekker denne rette linjen gjennom. Du kan selvfølgelig erstatte et par vilkårlige verdier i stedet for $x$. Hvis vi for eksempel erstatter $x=10$, får vi: $y=x+1=10+1=11$. Vi har funnet punktet $(10;11)$ liggende på linjen $y=x+1$. Det er imidlertid bedre å finne de punktene der linjen $y=x+1$ skjærer linjene $x=3$ og $y=0$. Hvorfor er det bedre? Fordi vi skal legge ned et par fugler i en smekk: vi får to punkter for å konstruere den rette linjen $y=x+1$ og samtidig finne ut på hvilke punkter denne rette linjen skjærer andre linjer som begrenser den gitte område. Linjen $y=x+1$ skjærer linjen $x=3$ i punktet $(3;4)$, og linjen $y=0$ - i punktet $(-1;0)$. For ikke å rote opp løsningsforløpet med hjelpeforklaringer, vil jeg sette spørsmålet om å innhente disse to punktene i et notat.

Hvordan ble poengene $(3;4)$ og $(-1;0)$ oppnådd? Vis skjul

La oss starte fra skjæringspunktet mellom linjene $y=x+1$ og $x=3$. Koordinatene til det ønskede punktet tilhører både den første og andre linjen, så for å finne ukjente koordinater, må du løse ligningssystemet:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Løsningen av et slikt system er triviell: å erstatte $x=3$ i den første ligningen vil vi ha: $y=3+1=4$. Punktet $(3;4)$ er ønsket skjæringspunkt for linjene $y=x+1$ og $x=3$.

La oss nå finne skjæringspunktet mellom linjene $y=x+1$ og $y=0$. Igjen komponerer og løser vi ligningssystemet:

$$ \venstre \( \begin(justert) & y=x+1;\\ & y=0. \end(justert) \right. $$

Ved å erstatte $y=0$ i den første ligningen får vi: $0=x+1$, $x=-1$. Punktet $(-1;0)$ er ønsket skjæringspunkt for linjene $y=x+1$ og $y=0$ (abscisseakse).

Alt er klart for å bygge en tegning som vil se slik ut:

Spørsmålet om lappen virker åpenbart, fordi alt kan sees fra figuren. Det er imidlertid verdt å huske at tegningen ikke kan tjene som bevis. Figuren er bare en illustrasjon for klarhetens skyld.

Området vårt ble satt ved å bruke linjelikningene som begrenser det. Det er åpenbart at disse linjene definerer en trekant, ikke sant? Eller ikke helt åpenbart? Eller kanskje vi får et annet område, avgrenset av de samme linjene:

Tilstanden sier selvfølgelig at området er stengt, så bildet som vises er feil. Men for å unngå slike uklarheter er det bedre å definere regioner ved ulikheter. Vi er interessert i den delen av flyet som ligger under linjen $y=x+1$? Ok, så $y ≤ x+1$. Området vårt skal ligge over linjen $y=0$? Flott, så $y ≥ 0$. Forresten, de to siste ulikhetene kombineres enkelt til én: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \venstre \( \begin(justert) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(justert) \right. $$

Disse ulikhetene definerer domenet $D$, og definerer det unikt, uten noen tvetydigheter. Men hvordan hjelper dette oss i spørsmålet i begynnelsen av fotnoten? Det vil også hjelpe :) Vi må sjekke om punktet $M_1(1;1)$ tilhører regionen $D$. La oss erstatte $x=1$ og $y=1$ i systemet av ulikheter som definerer denne regionen. Hvis begge ulikhetene er oppfylt, ligger poenget innenfor regionen. Hvis minst en av ulikhetene ikke er tilfredsstilt, tilhører ikke punktet regionen. Så:

$$ \venstre \( \begin(justert) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(justert) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(justert) \right.$$

Begge ulikhetene er sanne. Punktet $M_1(1;1)$ tilhører regionen $D$.

Nå er det turen til å undersøke funksjonen til funksjonen på grensen til domenet, dvs. gå til. La oss starte med den rette linjen $y=0$.

Den rette linjen $y=0$ (abscisseakse) begrenser området $D$ under betingelsen $-1 ≤ x ≤ 3$. Bytt inn $y=0$ i den gitte funksjonen $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Den resulterende substitusjonsfunksjonen til en variabel $x$ vil bli betegnet som $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nå for funksjonen $f_1(x)$ må vi finne de største og minste verdiene på intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Finn den deriverte av denne funksjonen og lig den med null:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Verdien $x=2$ tilhører segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, så vi legger også til $M_2(2;0)$ i punktlisten. I tillegg beregner vi verdiene til funksjonen $z$ i enden av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. på punktene $M_3(-1;0)$ og $M_4(3;0)$. Forresten, hvis punktet $M_2$ ikke tilhørte segmentet under vurdering, ville det selvfølgelig ikke være behov for å beregne verdien av funksjonen $z$ i det.

Så, la oss beregne verdiene til funksjonen $z$ ved punktene $M_2$, $M_3$, $M_4$. Du kan selvfølgelig erstatte koordinatene til disse punktene i det opprinnelige uttrykket $z=x^2+2xy-y^2-4x$. For eksempel, for punktet $M_2$ får vi:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Beregningene kan imidlertid forenkles litt. For å gjøre dette er det verdt å huske at på segmentet $M_3M_4$ har vi $z(x,y)=f_1(x)$. Jeg skal forklare det i detalj:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(justert)

Selvfølgelig er det vanligvis ikke behov for slike detaljerte poster, og i fremtiden vil vi begynne å skrive alle beregninger på en kortere måte:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

La oss nå gå til den rette linjen $x=3$. Denne linjen avgrenser domenet $D$ under betingelsen $0 ≤ y ≤ 4$. Bytt $x=3$ inn i den gitte funksjonen $z$. Som et resultat av en slik substitusjon får vi funksjonen $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

For funksjonen $f_2(y)$ må du finne de største og minste verdiene på segmentet $0 ≤ y ≤ 4$. Finn den deriverte av denne funksjonen og lig den med null:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Verdien $y=3$ tilhører intervallet $0 ≤ y ≤ 4$, så vi legger til $M_5(3;3)$ til punktene funnet tidligere. I tillegg er det nødvendig å beregne verdien av funksjonen $z$ ved punktene i enden av segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, dvs. på punktene $M_4(3;0)$ og $M_6(3;4)$. På punktet $M_4(3;0)$ har vi allerede beregnet verdien av $z$. La oss beregne verdien av funksjonen $z$ ved punktene $M_5$ og $M_6$. La meg minne deg på at på segmentet $M_4M_6$ har vi $z(x,y)=f_2(y)$, derfor:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(justert)

Og til slutt, vurder den siste grensen til $D$, dvs. linje $y=x+1$. Denne linjen avgrenser området $D$ under betingelsen $-1 ≤ x ≤ 3$. Ved å erstatte $y=x+1$ i funksjonen $z$, vil vi ha:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Nok en gang har vi en funksjon av én variabel $x$. Og igjen, du må finne de største og minste verdiene av denne funksjonen på segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$. Finn den deriverte av funksjonen $f_(3)(x)$ og lig den med null:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Verdien $x=1$ tilhører intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Hvis $x=1$, så $y=x+1=2$. La oss legge til $M_7(1;2)$ til listen over punkter og finne ut hva verdien av funksjonen $z$ er på dette tidspunktet. Punktene i enden av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. poeng $M_3(-1;0)$ og $M_6(3;4)$ ble vurdert tidligere, vi har allerede funnet verdien av funksjonen i dem.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Det andre trinnet i løsningen er fullført. Vi har syv verdier:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

La oss gå til. Ved å velge de største og minste verdiene fra tallene som ble oppnådd i tredje ledd, vil vi ha:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks)=6,$$

Problemet er løst, det gjenstår bare å skrive ned svaret.

Svar: $z_(min)=-4; \; z_(maks)=6$.

Eksempel #2

Finn de største og minste verdiene av funksjonen $z=x^2+y^2-12x+16y$ i området $x^2+y^2 ≤ 25$.

La oss lage en tegning først. Ligningen $x^2+y^2=25$ (dette er grenselinjen til det gitte området) definerer en sirkel med senter i origo (dvs. i punktet $(0;0)$) og en radius på 5. Ulikheten $x^2 +y^2 ≤ 25$ tilfredsstiller alle punkter innenfor og på den nevnte sirkelen.

Vi vil handle videre. La oss finne partielle derivater og finne ut de kritiske punktene.

$$ \frac(\delvis z)(\delvis x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Det er ingen punkter der de funnet partielle derivatene ikke eksisterer. La oss finne ut på hvilke punkter begge partielle derivater er samtidig lik null, dvs. finne stasjonære punkter.

$$ \venstre \( \begin(justert) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(justert) \right. \;\; \venstre \( \begin(justert) & x =6;\\ & y=-8.\end(justert) \right.$$

Vi fikk et stasjonært poeng $(6;-8)$. Det funnet punktet tilhører imidlertid ikke regionen $D$. Dette er enkelt å vise uten engang å ty til tegning. La oss sjekke om ulikheten $x^2+y^2 ≤ 25$, som definerer vårt domene $D$, holder. Hvis $x=6$, $y=-8$, så $x^2+y^2=36+64=100$, dvs. ulikheten $x^2+y^2 ≤ 25$ er ikke oppfylt. Konklusjon: punktet $(6;-8)$ tilhører ikke regionen $D$.

Dermed er det ingen kritiske punkter inne i $D$. La oss gå videre, til. Vi må undersøke oppførselen til funksjonen på grensen til det gitte området, dvs. på sirkelen $x^2+y^2=25$. Du kan selvfølgelig uttrykke $y$ i form av $x$, og deretter erstatte det resulterende uttrykket med vår funksjon $z$. Fra sirkelligningen får vi: $y=\sqrt(25-x^2)$ eller $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ved å erstatte for eksempel $y=\sqrt(25-x^2)$ i den gitte funksjonen, vil vi ha:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Den videre løsningen vil være helt identisk med studiet av funksjonen til funksjonen på grensen til regionen i forrige eksempel nr. 1. Imidlertid virker det for meg mer rimelig i denne situasjonen å bruke Lagrange-metoden. Vi er kun interessert i den første delen av denne metoden. Etter å ha brukt den første delen av Lagrange-metoden, vil vi få poeng der og undersøke funksjonen $z$ for minimums- og maksimumsverdier.

Vi komponerer Lagrange-funksjonen:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Vi finner de partielle deriverte av Lagrange-funksjonen og komponerer det tilsvarende likningssystemet:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \venstre \( \begin (justert) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(justert) \ høyre. \;\; \venstre \( \begin(justert) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( justert)\høyre.$$

For å løse dette systemet, la oss umiddelbart indikere at $\lambda\neq -1$. Hvorfor $\lambda\neq -1$? La oss prøve å erstatte $\lambda=-1$ i den første ligningen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Den resulterende motsigelsen $0=6$ sier at verdien $\lambda=-1$ er ugyldig. Utgang: $\lambda\neq -1$. La oss uttrykke $x$ og $y$ i form av $\lambda$:

\begin(justert) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(justert)

Jeg tror at det blir åpenbart her hvorfor vi spesifikt fastsatte $\lambda\neq -1$-betingelsen. Dette ble gjort for å passe uttrykket $1+\lambda$ inn i nevnerne uten forstyrrelser. Det vil si å være sikker på at nevneren er $1+\lambda\neq 0$.

La oss erstatte de oppnådde uttrykkene for $x$ og $y$ inn i systemets tredje likning, dvs. i $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Det følger av den resulterende likheten at $1+\lambda=2$ eller $1+\lambda=-2$. Derfor har vi to verdier av parameteren $\lambda$, nemlig: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Følgelig får vi to par med verdier $x$ og $y$:

\begin(justert) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(justert)

Så vi fikk to poeng av et mulig betinget ekstremum, dvs. $M_1(3;-4)$ og $M_2(-3;4)$. Finn verdiene til funksjonen $z$ ved punktene $M_1$ og $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(justert)

Vi bør velge de største og minste verdiene fra de vi fikk i det første og andre trinnet. Men i denne saken valget er lite :) Vi har:

$$z_(min)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Svar: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=125$.

I denne artikkelen vil jeg snakke om algoritme for å finne den største og minste verdien funksjon, minimum og maksimum poeng.

Fra teorien vil vi definitivt trenge derivattabell Og differensieringsregler. Det er alt i denne tavlen:

Algoritme for å finne de største og minste verdiene.

Jeg synes det er lettere å forklare spesifikt eksempel. Ta i betraktning:

Eksempel: Finn den største verdien av funksjonen y=x^5+20x^3–65x på segmentet [–4;0].

Trinn 1. Vi tar den deriverte.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Steg 2 Finne ekstreme punkter.

ekstremum punkt vi navngir slike punkter der funksjonen når sin maksimums- eller minimumsverdi.

For å finne ekstremumpunktene, er det nødvendig å likestille den deriverte av funksjonen til null (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nå løser vi denne biquadratiske ligningen og røttene som er funnet er våre ekstremumpunkter.

Jeg løser slike ligninger ved å erstatte t = x^2, så 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduser ligningen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Vi gjør omvendt erstatning x^2 = t:

X_(1 og 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 og 4) = ±sqrt(-13) (vi ekskluderer, det kan ikke være negative tall under roten, med mindre vi selvfølgelig snakker om komplekse tall)

Totalt: x_(1) = 1 og x_(2) = -1 - dette er våre ekstremumpunkter.

Trinn 3 Bestem den største og minste verdien.

Substitusjonsmetode.

I tilstanden fikk vi segmentet [b][–4;0]. Punktet x=1 er ikke inkludert i dette segmentet. Så vi vurderer det ikke. Men i tillegg til punktet x=-1, må vi også vurdere venstre og høyre grenser til segmentet vårt, det vil si punktene -4 og 0. For å gjøre dette, erstatter vi alle disse tre punktene i den opprinnelige funksjonen. Legg merke til at den opprinnelige er den som er gitt i tilstanden (y=x^5+20x^3–65x), noen begynner å erstatte inn i den deriverte...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Dette betyr at maksimalverdien til funksjonen er [b]44 og den nås ved punktene [b]-1, som kalles funksjonens maksimumspunkt på segmentet [-4; 0].

Vi bestemte oss og fikk svar, vi er flotte, du kan slappe av. Men stopp! Synes du ikke det er for komplisert å telle y(-4) på en eller annen måte? Under forhold med begrenset tid er det bedre å bruke en annen metode, jeg kaller det slik:

Gjennom intervaller med konstanthet.

Disse hullene finnes for den deriverte av funksjonen, det vil si for vår bikvadratiske ligning.

Jeg gjør det på følgende måte. Jeg tegner en retningslinje. Jeg setter punktene: -4, -1, 0, 1. Til tross for at 1 ikke er inkludert i det gitte segmentet, bør det likevel noteres for å kunne bestemme konstansintervallene korrekt. La oss ta et tall som er mange ganger større enn 1, la oss si 100, mentalt erstatte det med vår biquadratiske ligning 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Selv uten å telle noe, blir det åpenbart at ved punktet 100 funksjonen har plusstegn. Dette betyr at for intervaller fra 1 til 100 har den et plusstegn. Når du passerer gjennom 1 (vi går fra høyre til venstre), vil funksjonen endre fortegn til minus. Når den passerer gjennom punktet 0, vil funksjonen beholde sitt fortegn, siden dette kun er grensen til segmentet, og ikke roten til ligningen. Ved passering gjennom -1 vil funksjonen igjen endre fortegn til pluss.

Fra teorien vet vi at hvor den deriverte av funksjonen er (og vi tegnet dette for det) skifter fortegn fra pluss til minus (punkt -1 i vårt tilfelle) funksjon når sitt lokale maksimum (y(-1)=44 som beregnet tidligere) på dette segmentet (dette er logisk veldig tydelig, funksjonen har sluttet å øke, siden den nådde sitt maksimum og begynte å avta).

Følgelig, hvor den deriverte av funksjonen skifter fortegn fra minus til pluss, oppnådd lokalt minimum av en funksjon. Ja, ja, vi fant også det lokale minimumspunktet, som er 1, og y(1) er minimumsverdien til funksjonen på intervallet, la oss si fra -1 til +∞. Vær oppmerksom på at dette kun er et LOKALT MINIMUM, det vil si et minimum på et bestemt segment. Siden den faktiske (globale) minimumsfunksjonen vil nå et sted der, i -∞.

Etter min mening er den første metoden enklere teoretisk, og den andre er enklere når det gjelder aritmetiske operasjoner, men mye vanskeligere når det gjelder teori. Tross alt, noen ganger er det tilfeller der funksjonen ikke endrer fortegn når den går gjennom roten av ligningen, og du kan faktisk bli forvirret med disse lokale, globale maksima og minima, selv om du uansett må mestre det godt hvis du planlegger å gå inn på et teknisk universitet (og for hva annet å gi profileksamen og løse dette problemet). Men øvelse og bare øvelse vil lære deg hvordan du løser slike problemer en gang for alle. Og du kan trene på nettsiden vår. Her .

Hvis du har spørsmål, eller noe er uklart, sørg for å spørre. Jeg vil gjerne svare deg, og gjøre endringer, tillegg til artikkelen. Husk at vi lager denne siden sammen!

La oss se hvordan du utforsker en funksjon ved hjelp av en graf. Det viser seg at når du ser på grafen, kan du finne ut alt som interesserer oss, nemlig:

funksjonsomfang
funksjonsområde
funksjonsnuller
perioder med økning og nedgang
høye og lave punkter
den største og minste verdien av funksjonen på intervallet.

La oss avklare terminologien:

Abscisse er den horisontale koordinaten til punktet.
Ordinere- vertikal koordinat.
abscisse- den horisontale aksen, oftest kalt aksen.
Y-aksen- vertikal akse, eller akse.

Argument er en uavhengig variabel som verdiene til funksjonen avhenger av. Oftest angitt.
Med andre ord velger vi selv , erstatter i funksjonsformelen og får .

Domene funksjoner - settet med disse (og bare de) verdiene til argumentet som funksjonen eksisterer for.
Angitt: eller .

I vår figur er domenet til funksjonen et segment. Det er på dette segmentet grafen til funksjonen tegnes. Bare her eksisterer denne funksjonen.

Funksjonsområde er settet med verdier som variabelen tar. I vår figur er dette et segment - fra den laveste til den høyeste verdien.

Funksjonsnuller- punkter hvor verdien av funksjonen er lik null, dvs. I vår figur er dette punktene og .

Funksjonsverdier er positive hvor . I vår figur er dette intervallene og .
Funksjonsverdier er negative hvor . Vi har dette intervallet (eller intervallet) fra til.

De viktigste konseptene - økende og reduserende funksjoner på et sett. Som et sett kan du ta et segment, et intervall, en forening av intervaller eller hele tallinjen.

Funksjon øker

Med andre ord, jo mer, jo mer, det vil si at grafen går til høyre og opp.

Funksjon avtar på settet hvis for noen og tilhørende settet innebærer ulikheten ulikheten .

For en synkende funksjon tilsvarer en større verdi en mindre verdi. Grafen går til høyre og ned.

I vår figur øker funksjonen på intervallet og avtar på intervallene og .

La oss definere hva som er maksimum og minimum poeng for funksjonen.

Maksimal poeng- dette er et internt punkt i definisjonsdomenet, slik at verdien av funksjonen i det er større enn i alle punkter som er tilstrekkelig nærme det.
Med andre ord er maksimumspunktet et slikt punkt, verdien av funksjonen der mer enn hos naboene. Dette er en lokal "bakke" på kartet.

I vår figur - maksimumspunktet.

Lavt punkt- et internt punkt i definisjonsdomenet, slik at verdien av funksjonen i det er mindre enn i alle punkter som er tilstrekkelig nærme det.
Det vil si at minimumspunktet er slik at verdien av funksjonen i den er mindre enn i naboene. På grafen er dette et lokalt "hull".

I vår figur - minimumspunktet.

Poenget er grensen. Det er ikke et indre punkt i definisjonsdomenet og passer derfor ikke til definisjonen av et maksimumspunkt. Hun har tross alt ingen naboer til venstre. På samme måte kan det ikke være noe minimumspunkt på diagrammet vårt.

Maksimums- og minimumspoeng kalles samlet funksjonens ekstreme punkter. I vårt tilfelle er dette og .

Men hva om du trenger å finne f.eks. funksjon minimum på kuttet? I dette tilfellet er svaret: Fordi funksjon minimum er verdien på minimumspunktet.

På samme måte er maksimum av funksjonen vår . Den er nådd på punktet.

Vi kan si at ytterpunktene til funksjonen er lik og .

Noen ganger i oppgaver du trenger å finne de største og minste verdiene av funksjonen på et gitt segment. De faller ikke nødvendigvis sammen med ytterpunkter.

I vårt tilfelle minste funksjonsverdi på intervallet er lik og sammenfaller med minimum av funksjonen. Men dens største verdi på dette segmentet er lik . Den nås i venstre ende av segmentet.

I alle fall oppnås de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på et segment enten ved ytterpunktene eller i enden av segmentet.

En miniatyr og ganske enkel oppgave av den typen som fungerer som en livline for en flytende elev. I naturen, det søvnige riket i midten av juli, så det er på tide å slå seg til ro med en bærbar datamaskin på stranden. Spilte tidlig om morgenen solstråle teori for snart å fokusere på praksis, som til tross for sin påståtte letthet inneholder glassbiter i sanden. I denne forbindelse anbefaler jeg at du samvittighetsfullt vurderer noen få eksempler på denne siden. For å løse praktiske oppgaver må du kunne finne derivater og forstå materialet i artikkelen Intervaller av monotonitet og ekstrema av en funksjon.

Først kort om det viktigste. I en leksjon om funksjonskontinuitet Jeg ga definisjonen av kontinuitet på et punkt og kontinuitet på et intervall. Den eksemplariske oppførselen til en funksjon på et segment er formulert på samme måte. En funksjon er kontinuerlig på et segment hvis:

1) den er kontinuerlig i intervallet;
2) kontinuerlig på et punkt til høyre og på punktet venstre.

Annet ledd omhandler den såkalte ensidig kontinuitet fungerer på et punkt. Det er flere tilnærminger til definisjonen, men jeg vil holde meg til linjen som startet tidligere:

Funksjonen er kontinuerlig på et punkt til høyre, hvis den er definert på et gitt punkt og dens høyre grense faller sammen med verdien av funksjonen på et gitt punkt: . Den er kontinuerlig på punktet venstre, hvis definert på et gitt punkt og dens venstre grense er lik verdien på det punktet:

Tenk deg at de grønne prikkene er neglene som det magiske gummibåndet er festet på:

Mentalt ta den røde linjen i hendene. Selvfølgelig, uansett hvor langt vi strekker grafen opp og ned (langs aksen), vil funksjonen fortsatt forbli begrenset- en hekk over, en hekk under, og produktet vårt beiter i en paddock. Dermed, en funksjon kontinuerlig på et segment er avgrenset på det. I løpet av matematisk analyse blir dette tilsynelatende enkle faktum uttalt og strengt bevist Weierstrass første teorem.... Mange irriterer seg over at elementære utsagn er kjedelig underbygget i matematikk, men det er viktig betydning. Anta at en viss innbygger fra frottémiddelalderen trakk grafen til himmelen utover synlighetens grenser, ble denne satt inn. Før oppfinnelsen av teleskopet var den begrensede funksjonen i rommet slett ikke åpenbar! Ja, hvordan vet du hva som venter oss utenfor horisonten? Tross alt, en gang ble jorden ansett som flat, så i dag krever til og med vanlig teleportering bevis =)

I følge andre Weierstrass-teoremet, kontinuerlig på segmentetfunksjonen når sin eksakt toppkant og hans eksakt nedre kant .

Nummeret kalles også den maksimale verdien av funksjonen på segmentet og betegnet med , og nummeret - minimumsverdien av funksjonen på segmentet merket.

I vårt tilfelle:

Merk : i teorien er poster vanlige .

Grovt sett ligger den største verdien der den er mest høyt punkt grafikk, og den minste - hvor er det laveste punktet.

Viktig! Som allerede påpekt i artikkelen om ekstrema av funksjonen, den største verdien av funksjonen Og minste funksjonsverdi – IKKE DEN SAMME, Hva funksjon maksimalt Og funksjon minimum. Så i dette eksemplet er tallet minimum av funksjonen, men ikke minimumsverdien.

Hva skjer forresten utenfor segmentet? Ja, selv flommen, i sammenheng med problemet under vurdering, interesserer ikke dette oss i det hele tatt. Oppgaven innebærer kun å finne to tall og det er det!

Dessuten er løsningen rent analytisk, derfor ikke nødvendig å tegne!

Algoritmen ligger på overflaten og foreslår seg selv fra figuren ovenfor:

1) Finn funksjonsverdiene i kritiske punkter, som tilhører dette segmentet.

Få en godbit til: det er ikke nødvendig å sjekke en tilstrekkelig tilstand for et ekstremum, siden, som nettopp vist, tilstedeværelsen av et minimum eller maksimum ennå ikke garantert hva er minimums- eller maksimumsverdien. Demofunksjonen når sitt maksimum og etter skjebnens vilje er det samme antall høyeste verdi funksjoner på intervallet. Men en slik tilfeldighet finner selvsagt ikke alltid sted.

Så i det første trinnet er det raskere og enklere å beregne verdiene til funksjonen på kritiske punkter som tilhører segmentet, uten å bry deg om de har ekstreme eller ikke.

2) Vi beregner verdiene til funksjonen i enden av segmentet.

3) Blant verdiene til funksjonen som finnes i 1. og 2. avsnitt, velger vi den minste og mest stort antall, skriv ned svaret.

Vi sitter ved bredden av det blå havet og slår hælene på grunt vann:

Eksempel 1

Finn de største og minste verdiene til en funksjon på et segment

Løsning:
1) Beregn verdiene til funksjonen på kritiske punkter som tilhører dette segmentet:

Vi beregner verdien av funksjonen i den andre kritisk punkt:

2) Beregn verdiene til funksjonen i enden av segmentet:

3) "Fet" resultater ble oppnådd med eksponentialer og logaritmer, noe som kompliserer sammenligningen betydelig. Av denne grunn vil vi bevæpne oss med en kalkulator eller Excel og beregne de omtrentlige verdiene, og ikke glemme at: